Обчислити складні комплексні числа онлайн із рішенням. Комплексні числа

Заняття 12 . Комплексні числа.

12.1. Визначення комплексних чисел в формі алгебри. Порівняння та зображення комплексних чисел на комплексній площині. Комплексне сполучення. Додавання, множення, розподіл комплексних чисел.

12.2. Модуль аргумент комплексного числа.

12.3. Тригонометрична та показова форми запису комплексного числа.

12.4. Зведення в цілу міру та вилучення кореня з комплексного числа.

Визначення комплексних чисел в формі алгебри. Порівняння та зображення комплексних чисел на комплексній площині. Комплексне сполучення. Додавання, множення, розподіл комплексних чисел.

Комплексним числом в формі алгебри називається число

де
називається уявною одиницеюі
- дійсні числа:
називається дійсною (речовинною) частиною;
- уявною частиноюкомплексного числа . Комплексні числа виду
називаються чисто уявними числами. Безліч всіх комплексних чисел позначається буквою .

За визначенням,

Безліч усіх дійсних чисел є частиною множини
: . З іншого боку, існують комплексні числа, що не належать множині . Наприклад,
і
, т.к.
.

Комплексні числа в формі алгебри природним чином виникають при вирішенні квадратних рівнянь з негативним дискримінантом.

Приклад 1. Вирішити рівняння
.

Рішення. ,

Отже, задане квадратне рівняння має комплексне коріння.

,
.

Приклад 2. Знайти дійсну та уявну частини комплексних чисел

,

,
.

Відповідно речовинна та уявна частини числа ,

Будь-яке комплексне число
зображується вектором на комплексній площині , що представляє площину з декартовою системою координат
. Початок вектора лежить у точці , а кінець - у точці з координатами
(рис 1.)
називається речовинною віссю, а вісь
- уявною віссю комплексної площини .

Комплексні числа порівнюються між собою лише знаками
. . Якщо ж хоча б одна з рівностей:
порушено, то
. Записи типу
не мають сенсу.

За визначенням, комплексне число
називається комплексно сполученим числом
. У цьому випадку пишуть
. Очевидно, що
. Скрізь далі характеристика зверху над комплексним числом означатиме комплексне сполучення.

Наприклад, .

Над комплексними числами можна виконувати такі операції, як додавання (віднімання), множення, розподіл.

1. Додавання комплексних чиселвиробляється так:

Властивості операції складання:

- властивість комутативності;

- Якість асоціативності.

Неважко бачити, що геометричне складання комплексних чисел
означає додавання відповідних їм на площині векторів за правилом паралелограма.

Операція віднімання числа з числа виробляється так:

2. Збільшення комплексних чиселвиробляється так:

Властивості операції множення:

- властивість комутативності;

- Якість асоціативності;

- Закон дистрибутивності.

3. Розподіл комплексних чисел здійснимо тільки при
і виробляється так:

.

Приклад 3. Знайти
якщо .

Приклад 4. Обчислити
якщо .

z, т.к.
.

.(Ош!)

Неважко перевірити (пропонується це зробити самостійно) справедливість наступних тверджень:

Модуль аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа
(модуль позначається ) це - невід'ємне число
, тобто.
.

Геометричний зміст - Довжина вектора, що представляє число на комплексній площині . Рівняння
визначає безліч всіх чисел (векторів на ), кінці яких лежать на одиничному колі
.

Аргумент комплексного числа
(аргумент) позначається
) це – кут у радіанах між речовинною віссю
і числом на комплексній площині , причому позитивний, якщо він відраховується від
до проти годинникової стрілки, та від'ємний, якщо відраховується від осі
до за годинниковою стрілкою.

Таким чином, аргумент числа визначається неоднозначно, з точністю до доданку
, де
. Однозначно аргумент числа визначається в межах одного обходу одиничного кола
на площині . Зазвичай потрібно знайти
в межах інтервалу
,таке значення називається головним значенням аргументу числа і позначається
.

і
числа можна знайти з рівняння
, при цьому обов'язково потрібно враховувати, у якій чверті площині лежить кінець вектора - крапка
:

якщо
(1-а чверть площини ), то;

якщо
(2-а чверть площини ), то;

якщо
(3-я чверть площини ), то;

якщо
(4-а чверть площини ), то .

Фактично, модуль та аргумент числа
, це полярні координати
крапки
- кінця вектора на площині .

Приклад 5. Знайти модуль та головне значення аргументу чисел:

.

Аргументи чисел, лежачих осях
, що поділяють чверті 1,2,3,4 комплексної площини , знаходяться відразу ж за графічними зображеннями цих чисел на площині .

Тригонометрична та показова форми запису комплексного числа. Множення та розподіл комплексних чисел у тригонометричній та показовій формах запису.

Тригонометрична форма записукомплексного числа
має вигляд:

, (2)

де - модуль, - аргумент комплексного числа . Таке уявлення комплексних чисел випливає з рівностей.

Показова(експоненційна) форма запису комплексного числа
має вигляд:

, (3)

де - модуль, - аргумент числа . Можливість представлення комплексних чисел у показовій формі (3) випливає із тригонометричної форми (2) та формули Ейлера:

. (4)

Ця формула доводиться у курсі ТФКП (Теорія функцій комплексного змінного).

Приклад 6. Знайти тригонометричну та експоненційну форми запису комплексних чисел: з прикладу 5.

Рішення. Скористаємося результатами прикладу 5, у якому знайдено модулі та аргументи всіх зазначених чисел.

,

.

- Тригонометрична форма запису числа ,

- Показова (експоненційна) форма запису числа .

3)

- Тригонометрична форма запису числа ,

- Показова (експоненційна) форма запису числа .

Тригонометрична форма запису числа ,

- Показова (експоненційна) форма запису числа .

5)

- Тригонометрична форма запису числа ,

- Показова (експоненційна) форма запису числа .

Тригонометрична форма числа ,

.

7)

- Тригонометрична форма запису числа ,

- Показова (експоненційна) форма числа .

- Тригонометрична форма запису числа ,

- Показова (експоненційна) форма запису числа .

Показова форма запису комплексних чисел призводить до наступного геометричного трактування операцій множення та поділу комплексних чисел. Нехай
- показові форми чисел
.

1. При перемноженні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються.

2. При розподілі комплексного числа на число виходить комплексне число , модуль якого дорівнює відношенню модулів , а аргумент - Різниці
аргументів чисел
.

Зведення в цілу міру та вилучення кореня з комплексного числа.

За визначенням,

При зведенні в цілий ступінь комплексного числа
, слід діяти так: спочатку знайти модуль та аргумент цього числа; уявити у показовій формі
; знайти
, виконавши таку послідовність дій

Де. (5)

Зауваження.Аргумент
числа
може не належати інтервалу
. У цьому випадку слідує за отриманим значенням знайти головне значення аргументу

числа
, додаючи (або віднімаючи) число
з таким значенням
, щоб

належало інтервалу
. Після цього потрібно замінити у формулах (5) на .

Приклад 7. Знайти і
, якщо
.

1)
=
(Див. число з прикладу 6).

2)
, де
.
.
.

Отже, можна замінити на і, отже,

Де
.

3)
, де
.
.

Замінимо на . Отже,

Вилучення кореня -го ступеня
з комплексного числа
проводиться за формулою Муавра-Лапласа

Для розв'язання задач із комплексними числами необхідно розібратися з основними визначеннями. Головне завдання цієї оглядової статті - пояснити, що таке комплексні числа, і пред'явити методи вирішення основних завдань з комплексними числами. Отже, комплексним числом називатимемо число виду z = a + bi, де a, b- Речові числа, які називають дійсною і уявною частиною комплексного числа відповідно і позначають a = Re (z), b = Im (z).
iназивається уявною одиницею. i 2 = -1. Зокрема, будь-яке речове число можна вважати комплексним: a = a + 0i, де a - речове. Якщо ж a = 0і b ≠ 0, то число прийнято називати чисто уявним.

Тепер запровадимо операції над комплексними числами.
Розглянемо два комплексні числа z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 i.

Розглянемо z = a + bi.

Безліч комплексних чисел розширює безліч дійсних чисел, яке своєю чергою розширює безліч раціональних чисел тощо. Цей ланцюжок вкладень можна розглянути малюнку: N – натуральні числа, Z – цілі, Q – раціональні, R – речові, C – комплексні.

Подання комплексних чисел

Алгебраїчна форма запису.

Розглянемо комплексне число z = a + bi, така форма запису комплексного числа називається алгебраїчної. Цю форму запису ми вже детально розібрали у попередньому розділі. Досить часто використовують наступний наочний малюнок

Тригонометрична форма.

З малюнка видно, що число z = a + biможна записати інакше. Очевидно, що a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, отже z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) називається аргументом комплексного числа. Таке уявлення комплексного числа називається тригонометричною формою. Тригонометрична форма запису часом дуже зручна. Наприклад, її зручно використовувати для зведення комплексного числа в цілий ступінь, а саме, якщо z = rcos(φ) + rsin(φ)i, то z n = r n cos(n?) + r n sin(n?) i, ця формула називається формулою Муавра.

Показова форма.

Розглянемо z = rcos(φ) + rsin(φ)i- Комплексне число в тригонометричній формі, запишемо в іншому вигляді z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, остання рівність випливає з формули Ейлера, таким чином ми отримали нову форму запису комплексного числа: z = re iφ, яка називається показовою. Така форма запису також дуже зручна для зведення комплексного числа в ступінь: z n = r n e inφ, тут nне обов'язково ціле, а може бути довільним речовим числом. Така форма запису часто використовується на вирішення завдань.

Основна теорема вищої алгебри

Уявімо, що ми маємо квадратне рівняння x 2 + x + 1 = 0 . Очевидно, що дискримінант цього рівняння негативний і речових коренів воно не має, але виявляється, що це рівняння має два різні комплексні корені. Так от, основна теорема вищої алгебри стверджує, що будь-який багаточлен ступеня n має хоча б один комплексний корінь. З цього випливає, що будь-який багаточлен ступеня n має рівно n комплексного коріння з урахуванням їх кратності. Ця теорема є дуже важливим результатом математики і широко застосовується. Простим наслідком цієї теореми є такий результат: існує рівно n різних коренів ступеня n з одиниці.

Основні типи завдань

У цьому розділі будуть розглянуті основні типи найпростіших завдань на комплексні числа. Умовно завдання на комплексні числа можна розбити на такі категорії.

• Виконує найпростіші арифметичні операції над комплексними числами.
• Знаходження коріння багаточленів у комплексних числах.
• Зведення комплексних чисел у ступінь.
• Вилучення коренів із комплексних чисел.
• Застосування комплексних чисел для вирішення інших завдань.

Тепер розглянемо загальні методики розв'язання цих завдань.

Виконання найпростіших арифметичних операцій з комплексними числами відбувається за правилами описаними в першому розділі, якщо комплексні числа представлені в тригонометричній або показовій формах, то в цьому випадку можна перевести їх в форму алгебри і проводити операції за відомими правилами.

Знаходження коренів багаточленів зазвичай зводиться до знаходження коренів квадратного рівняння. Припустимо, що у нас є квадратне рівняння, якщо його дискримінант невід'ємний, то його коріння буде речовим і знаходиться за відомою формулою. Якщо ж дискримінант негативний, тобто D = -1∙a 2, де a- Деяке число, то можна представити дискримінант у вигляді D = (ia) 2, отже √D = i|a|а далі можна скористатися вже відомою формулою для коренів квадратного рівняння.

приклад. Повернемося до згаданого вище квадратного рівняння x2+x+1=0.
Дискримінант D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Тепер з легкістю знайдемо коріння:

Зведення комплексних чисел у ступінь можна виконувати кількома способами. Якщо потрібно звести комплексне число в формі алгебри в невеликий ступінь (2 або 3), то можна зробити це безпосереднім перемноженням, але якщо ступінь більше (у завданнях вона часто буває набагато більше), то потрібно записати це число в тригонометричній або показовій формах і скористатися вже відомими методами.

приклад. Розглянемо z = 1 + i і зведемо до десятого ступеня.
Запишемо z у показовій формі: z = √2 e iπ/4 .
Тоді z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Повернемося до форми алгебри: z 10 = -32i .

Вилучення коренів із комплексних чисел є зворотною операцією по відношенню до операції зведення в ступінь, тому проводиться аналогічним чином. Для отримання коріння досить часто використовується показова форма запису числа.

приклад. Знайдемо все коріння ступеня 3 із одиниці. Для цього знайдемо всі корені рівняння z 3 = 1, коріння шукатимемо у показовій формі.
Підставимо в рівняння: r 3 e 3iφ = 1 або r 3 e 3iφ = e 0 .
Звідси: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, отже φ = 2πk/3.
Різне коріння виходить при φ = 0, 2π/3, 4π/3 .
Отже 1, e i2π/3, e i4π/3 - коріння.
Або в формі алгебри:

Останній тип завдань включає в себе безліч завдань і немає загальних методів їх вирішення. Наведемо простий приклад такого завдання:

Знайти суму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Хоч у формулюванні цього завдання й не йдеться про комплексні числа, але за допомогою їх можна легко вирішити. Для її вирішення використовуються такі уявлення:


Якщо тепер підставити це уявлення у суму, то завдання зводиться до підсумовування звичайної геометричної прогресії.

Висновок

Комплексні числа широко застосовуються в математиці, у цій оглядовій статті було розглянуто основні операції над комплексними числами, описано кілька типів стандартних завдань та коротко описано загальні методи їх вирішення, для більш детального вивчення можливостей комплексних чисел рекомендується використовувати спеціалізовану літературу.

Література

§ 1.Комплексні числа: визначення, геометрична інтерпретація, дії в алгебраїчній, тригонометричній та показовій формах

Визначення комплексного числа

Комплексні рівності

Геометричне зображення комплексних чисел

Модуль та аргумент комплексного числа

Алгебраїчна та тригонометрична форми комплексного числа

Показова форма комплексного числа

Формули Ейлера

§ 2. Цілі функції (багаточлени) та їх основні властивості. Розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел

Визначення рівняння алгебри -й ступеня

Основні властивості багаточленів

Приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел

Запитання для самоперевірки

Глосарій

§ 1. Комплексні числа: визначення, геометрична інтерпретація, дії в алгебраїчній, тригонометричній та показовій формах

Визначення комплексного числа ( Сформулюйте визначення комплексного числа)

Комплексним числом z називається вираз такого виду:

Комплексне число в формі алгебри,(1)

Де x, y Î;

- комплексно пов'язане число числу z ;

- протилежне число числу z ;

- комплексний нуль ;

- Так позначається безліч комплексних чисел.

1)z = 1 + iÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Re z= -1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Якщо Im z= 0, то z = x- дійсне число;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Якщо Re z= 0, то z = iy - чисто уявне число.

Комплексні рівності (Сформулюйте сенс комплексної рівності)

1) ;

2) .

Одна комплексна рівність рівносильна системі двох дійсних рівностей. Ці дійсні рівності виходять із комплексної рівності поділом дійсних та уявних частин.

1) ;

2) .

Геометричне зображення комплексних чисел ( У чому полягає геометричне зображення комплексних чисел?)

Комплексне число zзображується точкою ( x , y) на комплексній площині або радіусом-вектором цієї точки.

Знак zу другій чверті означає, що система декартових координат використовуватиметься як комплексна площина.

Модуль та аргумент комплексного числа ( Що таке модуль та аргумент комплексного числа?)

Модулем комплексного числа називається невід'ємне дійсне число

.(2)

Геометрично модуль комплексного числа - це довжина вектора, що зображає число z, або полярний радіус точки ( x , y).

Зобразити на комплексній площині такі числа та записати їх у тригонометричній формі.

1)z = 1 + i Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

тобто для z = 0 буде

, jне визначений.

Арифметичні дії над комплексними числами (Дайте визначення та перерахуйте основні властивості арифметичних дій над комплексними числами.)

Додавання (віднімання) комплексних чисел

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

тобто при складанні (відніманні) комплексних чисел складаються (віднімаються) їх дійсні та уявні частини.

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Основні властивості додавання

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Розмноження комплексних чисел в алгебраїчній формі

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

тобто множення комплексних чисел в формі алгебри проводиться за правилом алгебраїчного множення двочлена на двочлен з наступною заміною і приведенням подібних за дійсними і уявними доданками.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Розмноження комплексних чисел тригонометричної форми

z 1∙z 2 = r 1(cos j 1 + i sin j 1)× r 2(cos j 2 + i sin j 2) =

= r 1r 2(cos j 1cos j 2 + i cos j 1sin j 2 + i sin j 1cos j 2 + i 2 sin j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – sin j 1sin j 2) + i(cos j 1sin j 2 + sin j 1cos j 2))

Добуток комплексних чисел у тригонометричній формі, тобто при множенні комплексних чисел у тригонометричній формі їх модулі перемножуються, а аргументи складаються.

Основні властивості множення

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 – комутативність;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) – асоціативність;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - дистрибутивність щодо додавання;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Розподіл комплексних чисел

Поділ - це зворотна множення операція, тому

якщо z × z 2 = z 1 і z 2 ¹ 0, то .

При виконанні поділу в формі алгебри чисельник і знаменник дробу множаться на число, комплексно пов'язане знаменнику:

Розподіл комплексних чисел в формі алгебри.(7)

При виконанні поділу у тригонометричній формі модулі діляться, а аргументи віднімаються:

Розподіл комплексних чисел у тригонометричній формі.(8)

2)
.

Зведення комплексного числа у натуральний ступінь

Зведення в натуральний ступінь зручніше виконувати у тригонометричній формі:

Формула Муавра,(9)

тобто при зведенні комплексного числа в натуральну міру його модуль зводиться в цей ступінь, а аргумент множиться на показник ступеня.

Обчислити (1+ i)10.

Зауваження

1. При виконанні операцій множення та зведення в натуральний ступінь у тригонометричній формі можуть виходити значення кутів за межами одного повного обороту. Але їх можна звести до кутів чи скиданням цілого числа повних оборотів за властивостями періодичності функцій і .

2. Значення називають головним значенням аргументу комплексного числа;

при цьому значення всіх можливих кутів позначають;

очевидно, що , .

Вилучення кореня натурального ступеня з комплексного числа

Формули Ейлера(16)

за якими тригонометричні функції та дійсною змінною виражаються через показову функцію (експоненту) з чисто уявним показником.

§ 2. Цілі функції (багаточлени) та його основні властивості. Розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел

Два багаточлени одного ступеня nтотожно рівні один одному тоді і лише тоді, коли збігаються їх коефіцієнти при однакових ступенях змінної x, тобто

Доведення

w Тотожність (3) справедлива при "xÎ (або "xÎ)"

воно справедливе при ; підставляючи , отримаємо аn = bn .

Взаємно знищимо в (3) доданки аnі bnі поділимо обидві частини на x :

Це тотожність теж вірно при " x, у тому числі при x = 0

вважаючи x= 0, отримаємо аn – 1 = bn – 1.

Взаємно знищимо в (3") доданки аn- 1 і a n- 1 і поділимо обидві частини на x, в результаті отримаємо

Аналогічно продовжуючи міркування, отримаємо, що аn – 2 = bn –2, …, а 0 = b 0.

Таким чином, доведено, що з тотожної рівності 2-х багаточленів випливає збіг їх коефіцієнтів за однакових ступенів. x .

Зворотне твердження справедливо очевидно, тобто. якщо два многочлена мають однаковими всі коефіцієнти, всі вони є однакові функції, отже, їх значення збігаються при всіх значеннях аргументу, що означає їх тотожну рівність. Властивість 1 доведено повністю. v

При розподілі багаточлена Pn (x) на різницю ( x – х 0) виходить залишок, рівний Pn (x 0), тобто

Теорема Безу,(4)

де Qn – 1(x) - ціла частина від поділу, є багаточленом ступеня ( n – 1).

Доведення

w Запишемо формулу поділу із залишком:

Pn (x) = (x – х 0)∙Qn – 1(x) + A ,

де Qn – 1(x) - багаточлен ступеня ( n – 1),

A- залишок, який є числом унаслідок відомого алгоритму поділу багаточлена на двочлен «у стовпчик».

Ця рівність вірна при " x, у тому числі при x = х 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (х 0), ч.т.д. v

Наслідок з теореми Безу. Про розподіл багаточлена на двочлен без залишку

Якщо число х 0 є нулем многочлена, цей многочлен ділиться на різницю ( x – х 0) без залишку, тобто

Þ .(5)

1) , оскільки P 3(1) º 0

2) , оскільки P 4(–2) º 0

3) , оскільки P 2(–1/2) º 0

Розподіл багаточленів на двочлени «в стовпчик»:

_

_

_

_

_

Кожен багаточлен ступеня n ³ 1 має принаймні один нуль, дійсний або комплексний

Доказ цієї теореми виходить за межі нашого курсу. Тому ухвалимо теорему без доказу.

Попрацюємо з цієї теореми і з теореми Безу з многочленом Pn (x).

Після n-кратного застосування цих теорем отримаємо, що

де a 0 - це коефіцієнт при x nв Pn (x).

Наслідок із основної теореми алгебри. Про розкладання багаточлена на лінійні множники

Будь-який багаточлен ступеня на безлічі комплексних чисел розкладається на nлінійних співмножників, тобто

Розкладання многочлена на лінійні множники,(6)

дех1, х2, … хn – це нулі багаточлена.

При цьому якщо kчисел із набору х 1, х 2, … хnзбігаються між собою і з числом a, то у творі (6) виходить множник ( x– a) k. Тоді число x= a називається k-кратним нулем багаточлена Pn ( x) . Якщо k= 1, то нуль називається простим нулем багаточлена Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - простий нуль, x 2 = 4 – триразовий нуль;

2)P 4(x) = (x – i)4 Þ x = i- нуль кратності 4.

Властивість 4 (про кількість коренів рівняння алгебри)

Будь-яке рівняння алгебри Pn(x) = 0 ступеня n має на безлічі комплексних чисел рівно n коренів, якщо вважати кожен корінь стільки разів, яка його кратність.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - рівняння алгебри другого ступеня

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- два корені;

2)x 3 + 1 = 0 - рівняння алгебри третього ступеня

Þ x 1,2,3 = - три корені;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, т.к. P 3(1) = 0.

Розділимо багаточлен P 3(x) на ( x – 1):

Вихідне рівняння

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 – простий корінь, x 2 = -1 - дворазовий корінь.

1) – парне комплексно пов'язане коріння;

Будь-який многочлен із дійсними коефіцієнтами розкладається на добуток лінійних та квадратичних функцій із дійсними коефіцієнтами.

Доведення

w Нехай x 0 = a + bi- нуль багаточлена Pn (x). Якщо всі коефіцієнти цього многочлена є дійсними числами, теж є його банкрутом (за якістю 5).

Обчислимо твір двочленів :

комплексне число багаточленів рівняння

Отримали ( x – a)2 + b 2 – квадратний тричленс дійсними коефіцієнтами.

Таким чином, будь-яка пара двочленів з комплексно сполученим корінням у формулі (6) призводить до квадратного тричлену з дійсними коефіцієнтами. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел ( Наведіть приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел)

1. Алгебраїчні рівняння першого ступеня:

, - Єдиний простий корінь.

2. Квадратні рівняння:

, - Завжди має два корені (різних або рівних).

1) .

3. Двуковані рівняння ступеня:

, – завжди має різного коріння.

,

Відповідь: , .

4. Розв'язати кубічне рівняння.

Рівняння третього ступеня має три корені (дійсні або комплексні), при цьому потрібно вважати кожен корінь стільки разів, як його кратність. Оскільки всі коефіцієнти даного рівняння є дійсними числами, то комплексне коріння рівняння, якщо вони є, будуть парними комплексно пов'язаними.

Підбором знаходимо перший корінь рівняння, оскільки.

По слідству з теореми Безу. Обчислюємо цей поділ «у стовпчик»:

_
_
_

Представляючи тепер многочлен як твори лінійно і квадратного множника, отримаємо:

.

Інші коріння знаходимо як коріння квадратного рівняння:

Відповідь: , .

5. Скласти алгебраїчне рівняння найменшого ступеня з дійсними коефіцієнтами, якщо відомо, що числа x 1 = 3 та x 2 = 1 + iє його корінням, причому x 1 є дворазовим коренем, а x 2 – простим.

Число також є коренем рівняння, т.к. коефіцієнти рівняння мають бути дійсними.

Усього шукане рівняння має 4 корені: x 1, x 1,x 2, . Тому його ступінь дорівнює 4. Складаємо багаточлен 4-го ступеня з нулями x

11. Що таке комплексний нуль?

13. Сформулюйте сенс комплексної рівності.

15. Що таке модуль та аргумент комплексного числа?

17. Що таке аргумент комплексного числа?

18. Яку назву чи зміст має формула?

19. Поясніть зміст позначень у цій формулі:

27. Дайте визначення та перерахуйте основні властивості арифметичних дій над комплексними числами.

28. Яку назву чи зміст має формула?

29. Поясніть зміст позначень у цій формулі:

31. Яку назву чи зміст має формула?

32. Поясніть зміст позначень у цій формулі:

34. Яку назву чи зміст має формула?

35. Поясніть зміст позначень у цій формулі:

61. Перерахуйте основні властивості багаточленів.

63. Сформулюйте властивість розподілу многочлена на різницю (x – х0).

65. Яку назву чи зміст має формула?

66. Поясніть зміст позначень у цій формулі:

67. ⌂ .

69. Сформулюйте основну теорему теорема алгебри.

70. Яку назву чи зміст має формула?

71. Поясніть зміст позначень у цій формулі:

75. Сформулюйте властивість кількості коренів алгебраїчного рівняння.

78. Сформулюйте властивість про розкладання багаточлена із дійсними коефіцієнтами на лінійні та квадратичні множники.

Глосарій

k-кратним нулем багаточлена називається... (Стор. 18)

алгебраїчним багаточленом називається ... (Стор. 14)

алгебраїчним рівнянням n-го ступеня називається... (стор. 14)

алгебраїчною формою комплексного числа називається... (стор. 5)

аргумент комплексного числа це... (стор. 4)

дійсна частина комплексного числа z це... (стор. 2)

комплексно пов'язане число це... (стор. 2)

комплексний нуль це... (стор. 2)

комплексним числом називається... (стор. 2)

коренем ступеня n із комплексного числа називається... (стор. 10)

коренем рівняння називається... (стор. 14)

коефіцієнти многочлена це... (стор. 14)

уявна одиниця це... (стор. 2)

уявна частина комплексного числа z це... (стор. 2)

модулем комплексного числа називається... (стор. 4)

нулем функції називається... (стор. 14)

показовою формою комплексного числа називається... (стор. 11)

поліномом називається... (стор. 14)

простим нулем багаточлена називається ... (Стор. 18)

протилежне число це... (стор. 2)

ступінь багаточлена це... (Стор. 14)

тригонометричною формою комплексного числа називається... (стор. 5)

формула Муавра це... (стор. 9)

формули Ейлера це... (Стор. 13)

цілою функцією називається... (стор. 14)

чисто уявне число це... (стор. 2)

Використання калькулятора

Для обчислення виразу необхідно ввести рядок для обчислення. При введенні чисел, роздільником цілої та дробової частини є точка. Можна використовувати дужки. Операціями над комплексними числами є множення (*), розподіл (/), додавання (+), віднімання (-), зведення у ступінь (^) та інші. Як запис комплексних чисел можна використовувати показову та алгебраїчну форму. Вводити уявну одиницю iможна без знака множення, в інших випадках знак множення є обов'язковим, наприклад, між дужками або між числом і константою. Також можуть бути використані константи: число π вводиться як pi, експонента e, будь-які вирази у показнику мають бути обрамлені дужками.

Приклад рядка для обчислення: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), Що відповідає виразу \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

У калькуляторі можливе використання констант, математичних функцій, додаткових операцій та складніших виразів, ознайомитися з цими можливостями ви можете на сторінці загальних правил використання калькуляторів на цьому сайті.

Сайт знаходиться у розробці, деякі сторінки можуть бути недоступними.

Новини

07.07.2016
Доданий калькулятор на вирішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь: .

30.06.2016
На сайті реалізовано адаптивний дизайн, сторінки адекватно відображаються як на великих моніторах, так і мобільних пристроях.

Спонсор

РГРОнлайн.ru - миттєве рішення робіт з електротехніки онлайн.