Висоти та серединні перпендикуляри до сторін трикутника. Властивості серединного перпендикуляра до відрізка

На попередньому уроці ми розглянули властивості бісектриси кута як укладеного у трикутник, так і вільного. Трикутник включає три кути і для кожного з них розглянуті властивості бісектриси зберігаються.

Теорема:

Бісектриси АА 1 ВВ 1 СС 1 трикутника перетинаються в одній точці О (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до теореми

Доказ:

Розглянемо спочатку дві бісектриси ВР 1 і СС 1 . Вони перетинаються, точка перетину існує. Щоб довести це, припустимо неприємне: нехай дані бісектриси не перетинаються, у такому разі вони паралельні. Тоді пряма ЗС є січною і сума кутів , це суперечить тому, що у всьому трикутнику сума кутів.

Отже, точка Про перетин двох бісектрис існує. Розглянемо її властивості:

Точка Про лежить на бісектрисі кута , отже, вона рівновіддалена від його сторін ВА та НД. Якщо ОК - перпендикуляр до НД, OL - перпендикуляр до ВА, то довжини цих перпендикулярів дорівнюють - . Також точка Про лежить на бісектрисі кута і рівновіддалена від його сторін CВ та СА, перпендикуляри ОМ та ОК рівні.

Набули такі рівності:

тобто всі три перпендикуляри, опущені з точки О на сторони трикутника, рівні між собою.

Нас цікавить рівність перпендикулярів OL та ОМ. Ця рівність говорить про те, що точка О рівновіддалена від сторін кута, звідси випливає, що вона лежить на його бісектрисі АА 1 .

Таким чином, ми довели, що всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Крім того, трикутник складається з трьох відрізків, отже нам слід розглянути властивості окремого відрізка.

Задано відрізок АВ. У будь-якого відрізка є середина і через неї можна провести перпендикуляр - позначимо його за р. Таким чином, р – серединний перпендикуляр.

Рис. 2. Ілюстрація до теореми

Будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, рівновіддалена від кінців відрізка.

Довести, що (рис. 2).

Доказ:

Розглянемо трикутники та . Вони прямокутні і рівні, тому що мають загальний катет ОМ, а катети АТ і ОВ рівні за умовою, таким чином, маємо два прямокутні трикутники, рівних по двох катетах. Звідси випливає, що гіпотенузи трикутників теж рівні, тобто, що потрібно було довести.

Справедлива зворотна теорема.

Кожна точка, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Заданий відрізок АВ, серединний перпендикуляр щодо нього р, точка М, рівновіддалена від кінців відрізка. Довести, що точка М лежить на серединному перпендикулярі відрізку (рис. 3).

Рис. 3. Ілюстрація до теореми

Доказ:

Розглянемо трикутник. Він рівнобедрений, оскільки за умовою. Розглянемо медіану трикутника: точка О – середина основи АВ, ОМ – медіана. Відповідно до властивості рівнобедреного трикутника, медіана, проведена до його основи, є одночасно висотою та бісектрисою. Звідси слідує що . Але пряма р також перпендикулярна АВ. Ми знаємо, що в точку О можна провести єдиний перпендикуляр до відрізка АВ, отже прямі ОМ і р збігаються, звідси випливає, що точка М належить прямий р, що потрібно було довести.

Пряму та зворотну теореми можна узагальнити.

Крапка лежить на серединному перпендикулярі до відрізка тоді і лише тоді, коли вона рівновіддалена від кінців цього відрізка.

Отже, повторимо, що в трикутнику три відрізки і до кожного з них застосовується властивість серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці.

Задано трикутник. Перпендикуляри для його сторін: Р 1 до сторони ВС, Р 2 до сторони АС, Р 3 до сторони АВ.

Довести, що перпендикуляри Р 1 , Р 2 та Р 3 перетинаються у точці О (рис. 4).

Рис. 4. Ілюстрація до теореми

Доказ:

Розглянемо два серединні перпендикуляри Р 2 і Р 3 вони перетинаються, точка перетину Про існує. Доведемо цей факт від неприємного - нехай перпендикуляри Р 2 і Р 3 паралельні. Тоді кут розгорнутий, що суперечить тому факту, що сума трьох кутів трикутника становить . Отже, існує точка Про перетин двох з трьох серединних перпендикулярів. Властивості точки О: вона лежить на серединному перпендикулярі до сторони АВ, отже вона рівновіддалена від кінців відрізка АВ: . Також вона лежить на серединному перпендикулярі до сторони АС, отже, . Набули такі рівності.

Інструкція

Через точки перетину кіл проведіть пряму. Ви отримали серединний перпендикуляр до заданого відрізка.

Нехай тепер нам задана точка та пряма. Необхідно провести перпендикуляр із цієї точки до .Поставте голку в крапку. Проведіть коло радіуса (радіус повинен бути від точки до прямої, щоб коло могло перетнути пряме у двох точках). Тепер у вас є дві точки на прямий. Ці точки створюють відрізок. Побудуйте серединний перпендикуляр до відрізка, кінцями є отримані точки за алгоритмом, розглянутим вище. Перпендикуляр має пройти крізь початкову точку.

Побудова прямих – основа технічного креслення. Зараз це все частіше робиться за допомогою графічних редакторів, які надають проектувальнику більші можливості. Проте деякі принципи побудови залишаються тими самими, що у класичному кресленні - з допомогою олівця і лінійки.

Вам знадобиться

• - аркуш паперу;
• - олівець;
• - Лінійка;
• - комп'ютер із програмою AutoCAD.

Інструкція

Почніть із класичної побудови. Визначте площину, в якій ви будуватимете пряму. Нехай це буде поверхня аркуша паперу. Залежно від умов завдання розташуйте. Вони можуть бути довільними, але не виключено, що задана система координат. Довільні точки поставте там, де вам більше сподобається. Позначте їх як А та В. За допомогою лінійки з'єднайте їх. Згідно з аксіомою, через дві точки завжди можна провести пряму, до того ж лише одну.

Накресліть систему координат. Нехай вам дано точки А (х1; у1). Щоб їх необхідно відкласти по осі х потрібне число і провести через зазначену точку пряму, паралельну осі у. Потім відкладіть величину, рівну у1, відповідною осі. З зазначеної точки проведіть перпендикуляр до перетину з . Місце їх перетину і буде точкою А. У такий же спосіб знайдіть точку В, координати якої можна позначити як (х2; у2). З'єднайте обидві точки.

У програмі AutoCAD пряму можна побудувати кількома. Функція «за» зазвичай встановлена ​​за умовчанням. У верхньому меню знайдіть вкладку «Головна». Ви побачите перед собою панель "Малювання". Знайдіть кнопку із зображенням прямої лінії та натисніть на неї.

AutoCAD дозволяє також задати координати обох. Наберіть у командному рядку (_xline), що знаходиться внизу. Натисніть клавішу Enter. Введіть координати першої точки і натисніть на введення. Так само визначте і другу точку. Її можна вказати і клацанням миші, поставивши курсор у потрібну точку екрана.

У AutoCAD можна побудувати пряму не тільки за двома точками, а й за кутом нахилу. У контекстному меню "Малювання" виберіть пряму, а потім опцію "Кут". Вихідну точку можна поставити клацанням миші або по , як і в попередньому способі. Потім встановіть розмір кута та натисніть на введення. За промовчанням пряма розташується під потрібним кутом до горизонталі.

Відео на тему

На комплексному кресленні (епюрі) перпендикулярністьпрямий і площинівизначається основними положеннями: якщо одна сторона прямого кута паралельна площиніпроекцій, то цю площину прямий кут проектується без спотворення; якщо пряма перпендикулярна двом прямим перетинається прямим площині, вона перпендикулярна до цієї площині.

Вам знадобиться

• Олівець, лінійка, транспортир, трикутник.

Інструкція

Приклад: через точку M провести перпендикуляр до площиніЩоб провести перпендикуляр до площині, слідує дві перетинаються прямі, що лежать у цій площиніі побудувати перпендикулярну до них пряму. В якості цих двох прямих, що перетинаються, вибираються фронталь і горизонталь. площині.

Фронталь f(f₁f₂) – це пряма, що лежить у площиніта паралельна фронтальній площиніпроекцій П₂. Значить f₂ її натуральній величині, а f₁ завжди паралельна x₁₂. З точки А₂ проведіть h₂ паралельно x₁₂ та отримайте на В₂С₂ точку 1₂.

За допомогою проекційної лінії зв'язку точку 1₁ на В₁С₁. Поєднайте з А₁ – це h₁ – натуральна величина горизонталі. З точки В₁ проведіть f₁‖x₁₂, на А₁С₁ отримайте точку 2₁. Знайдіть за допомогою лінії проекційного зв'язку точку 2₂ на А₂С₂. Поєднайте з точкою В₂ – це буде f₂ – натуральна величина фронталі.

Побудовані натуральні горизонталі h₁ та фронталі f₂ проекцій перпендикуляра до площині. З точки М₂ проведіть його фронтальну проекцію a₂ під кутом 90

Початковий рівень

Описане коло. Візуальний гід (2019)

Перше питання, яке може виникнути: описана – навколо чого?

Ну, взагалі-то іноді буває і навколо чого завгодно, а ми міркуватимемо про коло, описаного навколо (іноді ще кажуть «біля») трикутника. Що це таке?

І ось, уяви собі, має місце дивовижний факт:

Чому цей факт дивовижний?

Але ж трикутники – то бувають різні!

І для кожного знайдеться коло, яке пройде через усі три вершини, тобто описане коло.

Доказ цього дивовижного факту можеш знайти в наступних рівнях теорії, а тут зауважимо тільки, що якщо взяти, наприклад, чотирикутник, то вже зовсім не для кожного знайдеться коло, яке проходить через чотири вершини. Ось, скажімо, паралелограм - відмінний чотирикутник, а кола, що проходить через усі його чотири вершини - ні!

А є лише для прямокутника:

Ну ось, а трикутник кожен і завжди має власне описане коло!І навіть завжди досить просто знайти центр цього кола.

Чи знаєш ти, що таке серединний перпендикуляр?

А тепер подивимося, що вийде, якщо ми розглянемо цілих три серединні перпендикуляри до сторін трикутника.

Ось виявляється (і це якраз і треба доводити, хоч ми й не будемо), що всі три перпендикуляри перетнуться в одній точці.Дивись на малюнок - всі три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці.

Як ти думаєш, чи завжди центр описаного кола лежить усередині трикутника? Уяви собі - зовсім не завжди!

А от якщо гострокутний, то - всередині:

Що робити з прямокутним трикутником?

Та ще з додатковим бонусом:

Раз вже заговорили про радіус описаного кола: чому він дорівнює довільному трикутнику? І є відповідь це питання: так звана .

А саме:

Ну і, звісно,

1. Існування та центр описаного кола

Тут виникає запитання: а чи для будь-якого трикутника існує таке коло? Ось виявляється, що так, для кожного. Більше того, ми зараз сформулюємо теорему, яка ще й відповідає на питання, де ж знаходиться центр описаного кола.

Дивись, ось так:

Давай наберемося мужності та доведемо цю теорему. Якщо ти вже читав тему « » розбирався в тому, чому ж три бісектриси перетинаються в одній точці, то тобі буде легше, але і якщо не читав - не переживай: зараз у всьому розберемося.

Доказ проводитимемо, використовуючи поняття геометричного місця точок (ГМТ).

Ну от, наприклад, чи є безліч м'ячів – «геометричним місцем» круглих предметів? Ні, звичайно, тому що бувають круглі кавуни. А чи є безліч людей, «геометричним місцем», які вміють говорити? Теж ні, бо є немовлята, які не вміють говорити. У житті взагалі складно знайти приклад справжнього геометричного місця точок. У геометрії простіше. Ось, наприклад, саме те, що нам потрібно:

Тут безліч - це серединний перпендикуляр, а властивість "" - це "бути рівновіддаленою (точкою) від кінців відрізка".

Перевіримо? Отже, потрібно впевнитись у двох речах:

1. Будь-яка точка, яка рівновіддалена від кінців відрізка - знаходиться на серединному перпендикулярі до нього.

З'єднаємо з і с. Тоді лінія є медіаною та висотою ст. Значить, рівнобедрений, переконалися, що будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, однаково віддалена від точок і.

Візьмемо – середину і з'єднаємо в. Вийшла медіана. Але – рівнобедрений за умовою не лише медіана, а й висота, тобто – серединний перпендикуляр. Значить, точка – точно лежить на серединному перпендикулярі.

Всі! Повністю перевірили той факт, що серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, що рівно віддалені від кінців відрізка.

Це все добре, але чи не забули ми про описане коло? Зовсім ні, ми якраз підготували собі «плацдарм для нападу».

Розглянемо трикутник. Проведемо два серединні перпендикуляри і, скажімо, до відрізків і. Вони перетнуться в якійсь точці, яку ми назвемо.

А тепер, увага!

Крапка лежить на серединному перпендикулярі;
точка лежить на серединному перпендикулярі.
Отже, в.

Звідси випливає відразу кілька речей:

По - перше , точка повинна лежати третьому серединному перпендикулярі, до відрізку.

Тобто серединний перпендикуляр теж повинен пройти через точку, і всі три серединні перпендикуляри перетнулися в одній точці.

По - друге: якщо ми проведемо коло з центром у точці і радіусом, то це коло також пройде і через точку, і через точку, тобто буде описаним колом. Значить, вже є, що перетин трьох серединних перпендикулярів - центр описаного кола для будь-якого трикутника.

І останнє: про єдиність. Ясно (майже), що точку можна отримати єдиним чином, тому й коло - єдине. Ну, а "майже" - залишимо на твоє роздуми. Ось і довели теорему. Можна кричати "Ура!".

А якщо в задачі стоїть питання «знайдіть радіус описаного кола»? Або навпаки, радіус дано, а потрібно знайти щось інше? Чи є формула, що зв'язує радіус описаного кола з іншими елементами трикутника?

Зверніть увагу: теорема синусів повідомляє, що для того щоб знайти радіус описаного кола, тобі потрібна одна сторона (будь-яка!) і протилежний їй кут. І все!

3. Центр кола - усередині чи зовні

А тепер питання: чи може центр описаного кола лежати зовні трикутника.
Відповідь: ще як може. Більше того, так завжди буває у тупокутному трикутнику.

І взагалі:

ОПИСАНА ОКРУЖНІСТЬ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Окружність, описана біля трикутника

Це коло, яке проходить через усі три вершини цього трикутника.

2. Існування та центр описаного кола

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Словник термінів планіметрії- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї Ж З І К Л М Н О П Р С … Вікіпедія

Колінеарні точки

Конкурентні прямі- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Окружність Аполонія- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Перетворення площини- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Чевіана- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Глосарій планіметрії– Ця сторінка глосарій. також основну статтю: Планіметрія Тут зібрані визначення термінів планіметрії. Курсивом виділено посилання на терміни у цьому словнику (на цій сторінці) … Вікіпедія

Завдання Аполлонія- Завдання Аполлонія побудувати за допомогою циркуля та лінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульоване Аполлонієм Пергським приблизно 220 р. до н. е. у книзі «Касанія», яка була втрачена… Вікіпедія

Завдання Аполонія- Завдання Аполлонія побудувати за допомогою циркуля та лінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульоване Аполлонієм Пергським приблизно 220 р. до н. е. у книзі «Касанія», яка була втрачена, але… … Вікіпедія

Діаграма Вороного- випадкової множини точок на площині Діаграма Вороної кінцевої множини точок S на площині представляє таке розбиття площини, при якому … Вікіпедія

Властивості

Напишіть відгук про статтю "Серединний перпендикуляр"

Примітки

Уривок, що характеризує Серединний перпендикуляр