Висоти у трапеції рівні. Корисні властивості трапеції

Трапеція - це окремий випадок чотирикутника, у якого одна пара сторін є паралельною. Термін «трапеція» походить від грецького слова τράπεζα, що означає "стіл", "столик". У цій статті ми розглянемо види трапеції та її властивості. Крім того, розберемося, як розраховувати окремі елементи цієї, наприклад, діагональ рівнобічної трапеції, середню лінію, площу та ін. Матеріал викладений у стилі елементарної популярної геометрії, тобто в легкодоступній формі.

Загальні відомості

Спочатку давайте розберемося, що таке чотирикутник. Ця фігура є окремим випадком багатокутника, що містить чотири сторони і чотири вершини. Дві вершини чотирикутника, які є сусідніми, називаються протилежними. Те саме можна сказати і про дві несуміжні сторони. Основні види чотирикутників - це паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та дельтоїд.

Отже, повернемося до трапецій. Як ми вже говорили, у цієї постаті дві сторони є паралельними. Їх називають основами. Дві інші (непаралельні) – бічні сторони. У матеріалах іспитів та різних контрольних робіт дуже часто можна зустріти завдання, пов'язані з трапеціями, вирішення яких найчастіше вимагає від учня знань, не передбачених програмою. Шкільний курс геометрії знайомить учнів із властивостями кутів та діагоналей, а також середньої лінії рівнобедреної трапеції. Але, крім цього, згадана геометрична фігура має й інші особливості. Але про них трохи згодом...

Види трапеції

Існує багато видів цієї постаті. Однак найчастіше прийнято розглядати два з них – рівнобедрену та прямокутну.

1. Прямокутна трапеція - це фігура, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. У неї два кути завжди дорівнюють дев'яноста градусам.

2. Рівностегновий трапеція - це геометрична фігура, у якої бічні сторони рівні між собою. Отже, і кути біля основ також попарно рівні.

Основні принципи методики вивчення властивостей трапеції

До основного принципу можна зарахувати використання так званого задачного підходу. По суті немає необхідності для введення в теоретичний курс геометрії нових властивостей цієї фігури. Їх можна відкривати і формулювати в процесі вирішення різних завдань (краще системних). При цьому дуже важливо, щоб викладач знав, які завдання потрібно поставити перед школярами у той чи інший момент навчального процесу. Більше того, кожна властивість трапеції може бути представлена ​​у вигляді ключового завдання у системі задач.

Другим принципом є так звана спіральна організація вивчення «чудових» властивостей трапеції. Це передбачає повернення процесі навчання до окремих ознак даної геометричної постаті. Таким чином, учням легше їх запам'ятовувати. Наприклад, властивість чотирьох точок. Його можна доводити як із вивченні подоби, і згодом з допомогою векторів. А рівновеликість трикутників, прилеглих до боків фігури, можна доводити, застосовуючи як властивості трикутників з рівними висотами, проведеними до сторон, які лежать однією прямої, а й з допомогою формули S= 1/2(ab*sinα). Крім того, можна відпрацювати на вписаній трапеції або прямокутний трикутник на описаній трапеції і т.д.

Застосування «позапрограмних» особливостей геометричної фігури у змісті шкільного курсу – це задачна технологія їхнього викладання. Постійне звернення до властивостей, що вивчаються при проходженні інших тем, дозволяє учням глибше пізнавати трапецію і забезпечує успішність вирішення поставлених завдань. Отже, приступимо до вивчення цієї чудової постаті.

Елементи та властивості рівнобедреної трапеції

Як ми вже зазначали, у цієї геометричної фігури бічні сторони рівні. Ще вона відома як правильна трапеція. А чим же вона така примітна і чому отримала таку назву? До особливостей цієї постаті належить те, у неї рівні як бічні боку й кути біля основ, а й діагоналі. Крім того, сума кутів рівнобедреної трапеції дорівнює 360 градусів. Але це ще не все! З усіх відомих трапецій тільки навколо рівнобедреного можна описати коло. Це пов'язано з тим, що сума протилежних кутів цієї фігури дорівнює 180 градусам, а тільки за такої умови можна описати коло навколо чотирикутника. Наступною властивістю аналізованої геометричної фігури є те, що відстань від вершини основи до проекції протилежної вершини на пряму, яка містить цю основу, дорівнюватиме середньої лінії.

А тепер давайте розберемося, як знайти кути рівнобедреної трапеції. Розглянемо варіант розв'язання цього завдання за умови, що відомі розміри сторін фігури.

Рішення

Зазвичай чотирикутник прийнято позначати літерами А, Б, С, Д, де БС та АТ - це підстави. У рівнобедреній трапеції бічні сторони рівні. Вважатимемо, що й розмір дорівнює Х, а розміри підстав рівні Y і Z (меншого і більшого відповідно). Для проведення обчислення необхідно з кута провести висоту Н. В результаті вийшов прямокутний трикутник АБН, де АБ - гіпотенуза, а БН і АН - катети. Обчислюємо розмір катета АН: від більшої основи забираємо менше, і результат ділимо на 2. Запишемо у вигляді формули: (Z-Y)/2 = F. Тепер для обчислення гострого кута трикутника скористаємося функцією cos. Отримуємо наступний запис: cos(β) = Х/F. Тепер обчислюємо кут: β=arcos (Х/F). Далі, знаючи один кут, ми можемо визначити і другий, для цього чинимо елементарну арифметичну дію: 180 - β. Усі кути визначені.

Існує і друге вирішення цієї задачі. Спочатку опускаємо з кута У висоту Н. Обчислюємо значення катета БН. Нам відомо, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Отримуємо: БН = √(Х2-F2). Далі використовуємо тригонометричну функцію tg. В результаті маємо: β = arctg (БН/F). Гострий кут знайдено. Далі визначаємо аналогічно першому способу.

Властивість діагоналей рівнобедреної трапеції

Спочатку запишемо чотири правила. Якщо діагоналі в рівнобедреній трапеції перпендикулярні, то:

Висота фігури дорівнюватиме сумі підстав, поділеної на дві;

Її висота та середня лінія рівні;

Центр кола є точкою, в якій перетинаються;

Якщо бічна сторона ділиться точкою торкання відрізки М і М, тоді дорівнює квадратному кореню добутку цих відрізків;

Чотирьохкутник, який утворився точками торкання, вершиною трапеції та центром вписаного кола - це квадрат, у якого сторона дорівнює радіусу;

Площа постаті дорівнює добутку підстав та добутку напівсуми підстав на її висоту.

Подібні трапеції

Ця тема дуже зручна для вивчення властивостей цієї прикладу. Наприклад, діагоналі розбивають трапецію на чотири трикутники, причому прилеглі до основ є подібними, а до бічних сторін - рівновеликими. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями. Перша частина цього твердження доводиться через ознаку подібності з двох кутів. Для доказу другої частини краще скористатися способом, наведеним нижче.

Доказ теореми

Приймаємо, що фігура АБСД (АТ та БС – основи трапеції) розбивається діагоналями ВД та АС. Точка їх перетину - О. Отримуємо чотири трикутники: АОС - у нижньої основи, БОС - у верхньої основи, АБО та СОД у бокових сторін. Трикутники СОД та БОС мають загальну висоту в тому випадку, якщо відрізки БО та ОД є їх підставами. Отримуємо, що різниця їх площ (П) дорівнює різниці цих відрізків: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Отже, ПСОД = ПБОС/К. Аналогічно, трикутники БОС та АОБ мають загальну висоту. Приймаємо за їх підстави відрізки СО та ОА. Отримуємо ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К та ПАОБ = ПБОС/К. На цьому випливає, що ПСОД = ПАОБ.

Для закріплення матеріалу учням рекомендується знайти зв'язок між площами отриманих трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями, вирішивши таке завдання. Відомо, що у трикутників БОС та АОД площі рівні, необхідно знайти площу трапеції. Оскільки ПСОД = ПАОБ, отже, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. З подоби трикутників БОС та АОД випливає, що БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отже, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отримуємо ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тоді ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Властивості подоби

Продовжуючи розвивати цю тему, можна доводити інші цікаві особливості трапецій. Так, за допомогою подібності можна довести властивість відрізка, який проходить через точку, утворену перетином діагоналей цієї геометричної фігури, паралельно до основ. Для цього розв'яжемо наступне завдання: необхідно знайти довжину відрізка РК, який проходить через точку О. З подоби трикутників АОД і БОС випливає, що АО/ОС=АД/БС. З подоби трикутників АОР і АСБ випливає, що АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Звідси отримуємо, що РВ = БС * АТ / (БС + АТ). Аналогічно з подоби трикутників ДОК і ДБС випливає, що ОК = БС * АД / (БС + АД). Звідси отримуємо, що РВ=ОК і РК=2*БС*АД/(БС+АД). Відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей, паралельний основам і сполучає дві бічні сторони, ділиться точкою перетину навпіл. Його довжина - це середня гармонійна підстава фігури.

Розглянемо таку якість трапеції, яку називають властивістю чотирьох точок. Точки перетину діагоналей (О), перетину продовження бічних сторін (Е), а також середини основ (Т та Ж) завжди лежать на одній лінії. Це легко доводиться методом подібності. Отримані трикутники БЕС та АЕД подібні, і в кожному з них медіани ЕТ та ЇЖ ділять кут при вершині Е на рівні частини. Отже, точки Е, Т та Ж лежать на одній прямій. Так само на одній прямій розташовуються точки Т, О, і Ж. Все це випливає з подоби трикутників БОС та АОД. Звідси робимо висновок, що всі чотири точки – Е, Т, Про та Ж – лежатимуть на одній прямій.

Використовуючи такі трапеції, можна запропонувати учням знайти довжину відрізка (ЛФ), який розбиває фігуру на дві подібні. Даний відрізок повинен бути паралельний до основ. Оскільки отримані трапеції АЛФД і ЛБСФ подібні, БС/ЛФ=ЛФ/АД. Звідси випливає, що ЛФ=√(БС*АД). Отримуємо, що відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні, має довжину, що дорівнює середньому геометричному довжини основ фігури.

Розглянемо таку властивість подібності. В його основі лежить відрізок, який поділяє трапецію на дві рівновеликі постаті. Вважаємо, що трапеція АБСД розділена відрізком ЄП на дві подібні. З вершини Б опущена висота, яка розбивається відрізком ЄП на дві частини – В1 та В2. Отримуємо: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 та ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далі складаємо систему, перше рівняння якої (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 та друге (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Звідси випливає, що В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) і БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Отримуємо, що довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює середньому квадратичному довжини основ: √((БС2+АД2)/2).

Висновки подібності

Таким чином, ми довели, що:

1. Відрізок, що з'єднує у трапеції середини бічних сторін, паралельний АТ і БС і дорівнює середньому арифметичному БС та АТ (довжина основи трапеції).

2. Риса, яка проходить через точку Про перетину діагоналей паралельно АТ і БС, дорівнюватиме середньому гармонійному чисел АТ і БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Відрізок, що розбиває трапецію на подібні, має довжину середньої геометричної основ БС та АТ.

4. Елемент, що ділить фігуру на дві рівновеликі, має довжину середнього квадратичного чисел АТ та БС.

Для закріплення матеріалу та усвідомлення зв'язку між розглянутими відрізками учню необхідно збудувати їх для конкретної трапеції. Він легко зможе відобразити середню лінію і відрізок, який проходить через точку О - перетин діагоналів фігури - паралельно підставам. А ось де будуть перебувати третій та четвертий? Ця відповідь приведе учня до відкриття шуканого зв'язку між середніми величинами.

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції

Розглянемо таку властивість цієї фігури. Приймаємо, що відрізок МН паралельний основам і поділяє діагоналі навпіл. Точки перетину назвемо Ш і Щ. Даний відрізок дорівнюватиме напіврізності підстав. Розберемо це детальніше. МШ – середня лінія трикутника АБС, вона дорівнює БС/2. МЩ – середня лінія трикутника АБД, вона дорівнює АТ/2. Тоді отримуємо, що ШЩ = МЩ-МШ, отже, ШЩ = АТ/2-БС/2 = (АТ+ВС)/2.

Центр ваги

Давайте розглянемо, як визначається цей елемент для даної геометричної фігури. Для цього необхідно продовжити підстави у протилежні сторони. Що це означає? Потрібно до верхньої основи додати нижнє - у будь-яку зі сторін, наприклад, праворуч. А нижнє подовжуємо на довжину верхнього вліво. Далі з'єднуємо їхню діагоналлю. Точка перетину цього відрізка із середньою лінією фігури і є центром тяжкості трапеції.

Вписані та описані трапеції

Давайте перерахуємо особливості таких фігур:

1. Трапеція може бути вписана в коло тільки у тому випадку, якщо вона рівнобедрена.

2. Біля кола можна описати трапецію, за умови, що сума довжин їх підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Наслідки вписаного кола:

1. Висота описаної трапеції завжди дорівнює двом радіусам.

2. Бічна сторона описаної трапеції спостерігається із центру кола під прямим кутом.

Перше слідство очевидно, а для доказу другого потрібно встановити, що кут СОД є прямим, що, по суті, також не складе великих зусиль. Зате знання даної властивості дозволить при розв'язанні задач застосовувати прямокутний трикутник.

Тепер конкретизуємо ці наслідки для рівнобедреної трапеції, яка вписана у коло. Отримуємо, що висота є середнім геометричним підставам фігури: Н=2R=√(БС*АД). Відпрацьовуючи основний прийом розв'язання завдань для трапецій (принцип проведення двох висот), учень має вирішити таке завдання. Приймаємо, що БТ – висота рівнобедреної фігури АБСД. Необхідно знайти відрізки АТ та ТД. Застосовуючи формулу, описану вище, це зробити не складно.

Тепер давайте розберемося, як визначити радіус кола, використовуючи площу описаної трапеції. Опускаємо з вершини Б висоту на основу АТ. Оскільки коло вписано в трапецію, то БС+АД = 2АБ або АБ = (БС+АД)/2. З трикутника АБН знаходимо sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АТ). ПАБСД = (БС + АТ) * БН / 2, БН = 2R. Отримуємо ПАБСД = (БС+АД)*R, звідси випливає, що R = ПАБСД/(БС+АД).

Усі формули середньої лінії трапеції

Тепер настав час перейти до останнього елемента даної геометричної фігури. Розберемося, чому дорівнює середня лінія трапеції (М):

1. Через підстави: М = (А + Б)/2.

2. Через висоту, основу та кути:

М = А-Н * (ctgα + ctgβ) / 2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через висоту, діагоналі та кут між ними. Наприклад, Д1 і Д2 - діагоналі трапеції; α , β - кути між ними:

М = Д1 * Д2 * sinα / 2Н = Д1 * Д2 * sinβ / 2Н.

4. Через площу та висоту: М = П/Н.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Трапецією називається опуклий чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна один до одного, а інша - ні.

Виходячи з визначення трапеції та ознак паралелограма, паралельні сторони трапеції не можуть дорівнювати один одному. Інакше інша пара сторін також стала б паралельною та рівною один одному. У такому разі ми мали б справу з паралелограмом.

Паралельні протилежні сторони трапеції називають її підставами. Тобто у трапеції дві підстави. Непаралельні протилежні сторони трапеції називають її бічними сторонами.

Залежно від того, які бічні сторони, які кути вони утворюють із основами, виділяють різні види трапецій. Найчастіше трапеції ділять на нерівностегнові (різнобокі), рівностегнові (рівнобокі) та прямокутні.

У різнобоких трапеційбічні сторони не рівні одна одній. При цьому з великою основою вони обидві можуть утворювати тільки гострі кути, або один кут буде тупим, а другим гострим. У першому випадку трапецію називають гострокутної, у другому - тупокутної.

У рівнобедрених трапеційбічні сторони рівні одна одній. У цьому з великою підставою можуть утворювати лише гострі кути, тобто. всі рівностегнові трапеції гострокутні. Тому їх не ділять на гострокутні та тупокутні.

У прямокутних трапеційодна бічна сторона перпендикулярна основам. Друга сторона не може бути ним перпендикулярна, тому що в цьому випадку ми мали б справу з прямокутником. У прямокутних трапеціях неперпендикулярна бічна сторона утворює з великою основою завжди гострий кут. Перпендикулярна бічна сторона перпендикулярна до обох основ, тому що основи паралельні.

Багатокутник – частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією. Кути у багатокутника позначаються точками вершин ламаною. Вершини кутів багатокутника і вершини багатокутника - це точки, що збігаються.

Визначення. Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.

Властивості паралелограма

1. Протилежні сторони рівні.
На рис. 11 AB = CD; BC = AD.

2. Протилежні кути рівні (два гострі і два тупі кути).
На рис. 11 ∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Діагоналі (відрізки прямої, що з'єднують дві протилежні вершини) перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

На рис. 11 відрізки AO = OC; BO = OD.

Визначення. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші – ні.

Паралельні сторони називаються її підставами, а дві інші сторони - бічними сторонами.

Види трапецій

1. Трапеція, у якої бічні сторони не рівні,
називається різнобічної(Рис. 12).

2. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобокий(Рис. 13).

3. Трапеція, у якої одна бічна сторона становить прямий кут із основами, називається прямокутної(Рис. 14).

Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції (рис. 15), називається середньою лінією трапеції ( MN). Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Трапецію можна назвати усіченим трикутником (рис. 17), тому й назви трапецій подібні до назв трикутників (трикутники бувають різнобічні, рівнобедрені, прямокутні).

Площа паралелограма та трапеції

Правило. Площа паралелограмадорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Для того, щоб почуватися на уроках геометрії впевнено та успішно вирішувати завдання, недостатньо вивчити формули. Їх треба насамперед розуміти. Боятися, а тим більше ненавидіти формули – непродуктивно. У цій статті доступною мовою буде проаналізовано різні способи пошуку площі трапеції. Для кращого засвоєння відповідних правил та теорем приділимо деяку увагу її властивостям. Це допоможе розібратися в тому, як працюють правила та в яких випадках слід застосовувати ті чи інші формули.

Визначаємо трапецію

Що це за фігура загалом? Трапецією називають багатокутник із чотирьох кутів із двома паралельними сторонами. Дві інші сторони трапеції можуть бути нахилені під різними кутами. Її паралельні сторони називають основами, а для непаралельних сторін застосовують найменування "бічні сторони" або "стегна". Такі постаті часто зустрічаються у повсякденному житті. Контури трапеції можна побачити в силуетах одягу, предметах інтер'єру, меблів, посуду та багатьох інших. Трапеція буває різних видів: різнобічна, рівнобока та прямокутна. Більш детально їх типи та властивості розберемо далі у статті.

Властивості трапеції

Зупинимося коротко на властивостях цієї постаті. Сума кутів, що прилягають до будь-якої сторони, завжди дорівнює 180°. Слід зазначити, що це кути трапеції у сумі становлять 360°. У трапеції є поняття середньої лінії. Якщо з'єднати середини бічних сторін відрізком – це буде середня лінія. Її позначають m. У середній лінії є важливі властивості: вона завжди паралельна основам (ми пам'ятаємо, що основи також паралельні між собою) і дорівнює їх напівсумі:

Це визначення обов'язково треба вивчити і зрозуміти, адже це ключ до вирішення безлічі завдань!

У трапеції завжди можна опустити висоту на основу. Висота - це перпендикуляр, що часто позначається символом h, який проведений з будь-якої точки однієї основи на іншу основу або її продовження. Середня лінія та висота допоможуть знайти площу трапеції. Подібні завдання є найпоширенішими у шкільному курсі геометрії та регулярно з'являються серед контрольних та екзаменаційних робіт.

Найпростіші формули площі трапеції

Розберемо дві найпопулярніші та найпростіші формули, за допомогою яких знаходять площу трапеції. Достатньо помножити висоту на півсуму підстав, щоб легко знайти те, що шукає:

S = h * (a + b) /2.

У цій формулі a, b позначають основи трапеції, h – висоту. Для зручності сприйняття цієї статті знаки множення позначені символом (*) у формулах, хоча у офіційних довідниках знак множення зазвичай опускають.

Розглянемо приклад.

Дано: трапеція з двома основами, рівними 10 і 14 см, висота становить 7 см. Чому дорівнює площа трапеції?

Розберемо розв'язання цього завдання. За цією формулою спочатку потрібно знайти напівсуму основ: (10+14)/2 = 12. Отже, напівсума дорівнює 12 см. Тепер напівсуму множимо на висоту: 12*7 = 84. Знайдене. Відповідь: площа трапеції дорівнює 84 кв. див.

Друга відома формула свідчить: площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту трапеції. Тобто фактично випливає із попереднього поняття середньої лінії: S = m * h.

Використання діагоналей для обчислень

Інший спосіб знаходження площі трапеції насправді не такий вже й складний. Він пов'язаний із її діагоналями. За цією формулою для знаходження площі потрібно помножити напівтвор її діагоналей (d 1 d 2) на синус кута між ними:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Розглянемо завдання, що свідчить про застосування цього способу. Дано: трапеція з довжиною діагоналей, що дорівнює відповідно 8 і 13 см. Кут a між діагоналями дорівнює 30°. Знайти площу трапеції.

Рішення. Використовуючи наведену вище формулу, легко обчислити необхідне. Як відомо, sin 30° становить 0,5. Отже, S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Відповідь: площа дорівнює 52 кв. див.

Шукаємо площу рівнобічної трапеції

Трапеція може бути рівнобокою (рівностегнової). Її бічні сторони однакові І кути при основах рівні, що добре ілюструє малюнок. Рівностегнова трапеція має такі ж властивості, що і звичайна плюс ряд особливих. Навколо рівнобічної трапеції може бути описана коло, і в неї може бути вписано коло.

Які є методики обчислення площі такої фігури? Нижченаведений спосіб вимагатиме великих обчислень. Для його застосування потрібно знати значення синуса (sin) та косинуса (cos) кута на підставі трапеції. Для їх розрахунків потрібні таблиці Брадіса або інженерний калькулятор. Ось ця формула:

S = c*sin a*(a - c*cos a),

де з- бічне стегно, a- Кут при нижній підставі.

Рівнобока трапеція має діагоналі однакової довжини. Правильне і зворотне твердження: якщо в трапеції діагоналі рівні, вона є рівнобедренной. Звідси наступна формула, що допомагає знайти площу трапеції - напівтвор квадрата діагоналей на синус кута між ними: S = ½ d 2 sin a.

Знаходимо площу прямокутної трапеції

Відомий окремий випадок прямокутної трапеції. Це трапеція, у якої одна бічна сторона (її стегно) примикає до основ під прямим кутом. Вона має властивості звичайної трапеції. Крім цього, вона має дуже цікаву особливість. Різниця квадратів діагоналей такої трапеції дорівнює різниці квадратів її основ. Для неї використовують усі раніше наведені методики обчислення площі.

Застосовуємо кмітливість

Є одна хитрість, яка може допомогти у разі забудькуватості специфічних формул. Розглянемо уважніше, що є трапеція. Якщо подумки розділити її на частини, ми отримаємо знайомі і зрозумілі геометричні фігури: квадрат чи прямокутник і трикутник (один чи два). Якщо відомі висота та сторони трапеції, можна скористатися формулами площі трикутника та прямокутника, після чого скласти всі отримані величини.

Проілюструємо це наступним прикладом. Дано прямокутну трапецію. Кут C = 45 °, кути A, D становлять 90 °. Верхня основа трапеції дорівнює 20 см, висота дорівнює 16 см. Потрібно обчислити площу фігури.

Дана фігура очевидно складається з прямокутника (якщо два кути дорівнюють 90°) і трикутника. Так як трапеція прямокутна, отже її висота дорівнює її бічній стороні, тобто 16 см. Маємо прямокутник зі сторонами 20 і 16 см відповідно. Розглянемо тепер трикутник, кут якого дорівнює 45 °. Ми знаємо, що одна його сторона становить 16 см. Так як ця сторона є одночасно висотою трапеції (а нам відомо, що висота опускається на основу під прямим кутом), отже, другий кут трикутника дорівнює 90 °. Звідси кут трикутника, що залишився, становить 45°. Наслідком цього ми отримуємо прямокутний рівнобедрений трикутник, у якого дві сторони однакові. Значить, інша сторона трикутника дорівнює висоті, тобто 16 см. Залишилося обчислити площу трикутника та прямокутника і скласти отримані величини.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твору його катетів: S = (16 * 16) / 2 = 128. Площа прямокутника дорівнює добутку його ширини на довжину: S = 20 * 16 = 320. Ми знайшли необхідне: площа трапеції S = 128 + 320 = 448 кв. див. Можна легко себе перевіряти ще раз, скориставшись наведеними вище формулами, відповідь буде ідентична.

Використовуємо формулу Піка

S = M/2 + N - 1,

у цій формулі M – кількість вузлів, тобто. перетинів ліній фігури з лініями клітини на межах трапеції (помаранчеві точки на малюнку), N – кількість вузлів усередині фігури (сині точки). Найзручніше користуватися нею при знаходженні площі неправильного багатокутника. Тим не менш, чим більше арсенал використовуваних методик, тим менше помилок і кращі результати.

Зрозуміло, наведеними відомостями далеко ще не вичерпуються типи та властивості трапеції, і навіть способи пошуку її площі. У цій статті наведено огляд найважливіших її характеристик. У вирішенні геометричних завдань важливо діяти поступово, починати з легких формул і завдань, послідовно закріплювати розуміння, переходити на інший рівень складності.

Зібрані докупи найпоширеніші формули допоможуть учням зорієнтуватися у різноманітних способах обчислення площі трапеції та якісніше підготуватися до тестів та контрольних робіт з цієї теми.