Чи є площина геометричною фігурою. Геометричні фігури

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Геометрія - одне з найважливіших компонент математичного освіти, необхідна придбання конкретних знання просторі і практично значимих умінь, формування мови описи об'єктів навколишнього світу, у розвиток просторової уяви та інтуїції, математичної культури, і навіть для естетичного виховання. Вивчення геометрії робить внесок у розвиток логічного мислення, формування навичок доказу.

У курсі геометрії 7 класу систематизуються знання про найпростіші геометричні фігури та їх властивості; запроваджується поняття рівності фігур; виробляється вміння доводити рівність трикутників з допомогою вивчених ознак; вводиться клас завдань на побудову за допомогою циркуля та лінійки; вводиться одне з найважливіших понять - поняття про паралельні прямі; розглядаються нові цікаві та важливі властивості трикутників; розглядається одна з найважливіших теорем у геометрії – теорема про суму кутів трикутника, яка дозволяє дати класифікацію трикутників по кутах (гострокутний, прямокутний, тупокутний).

Протягом занять, особливо під час переходу від однієї частини заняття до іншої, зміну діяльності постає питання підтримки інтересу до занять. Таким чином, актуальнимстає питання про застосування на заняттях з геометрії завдань, у яких є умова проблемної ситуації та елементи творчості. Таким чином, метоюданого дослідження є систематизація завдань геометричного змісту з елементами творчості та проблемних ситуацій.

Об'єкт дослідження: Завдання з геометрії з елементами творчості, цікавості та проблемних ситуацій

Завдання дослідження:Проаналізувати існуючі завдання з геометрії, спрямовані на розвиток логіки, уяви та творчого мислення. Показати, як цікавими прийомами можна розвинути інтерес до предмета.

Теоретична та практична значущість дослідженняполягає в тому, що зібраний матеріал може бути використаний у процесі додаткових занять з геометрії, а саме на олімпіадах та конкурсах з геометрії.

Обсяг та структура дослідження:

Дослідження складається із вступу, двох розділів, висновків, бібліографічного списку, містить 14 сторінок основного машинописного тексту, 1 таблицю, 10 малюнків.

Глава 1. ПЛОСЬКІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ

1.1. Основні геометричні фігури в архітектурі будівель та споруд

У навколишньому світі існує безліч матеріальних предметів різних форм і розмірів: житлові будинки, деталі машин, книги, прикраси, іграшки тощо.

У геометрії замість слова предмет кажуть геометрична фігура, розділяючи геометричні фігури на плоскі і просторові. У цій роботі буде розглянуто один із найцікавіших розділів геометрії - планіметрія, в якій розглядаються лише плоскі фігури. Планіметрія(від латів. planum — «площина», др.-грец. μετρεω — «вимірюю») — розділ евклідової геометрії, що вивчає двовимірні (одноплощинні) фігури, тобто фігури, які можна розташувати в межах однієї площини. Плоскою геометричною фігурою називається така, всі точки якої лежать на одній площині. Подання про таку фігуру дає будь-який малюнок, зроблений на аркуші паперу.

Але перш, ніж розглядати пласкі фігури, необхідно познайомитися з простими, але дуже важливими постатями, без яких пласкі фігури просто не можуть існувати.

Найпростішою геометричною фігурою є крапка.Це одна з головних постатей геометрії. Вона дуже маленька, але її завжди використовують для побудови різних форм на площині. Крапка - це головна фігура для всіх побудов, навіть найвищої складності. З точки зору математики точка — це абстрактний просторовий об'єкт, який не має таких характеристик, як площа, обсяг, але при цьому залишається фундаментальним поняттям у геометрії.

Пряма- одне з фундаментальних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії (евклідової). Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити, як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками.

Прямі в просторі можуть займати різні положення, розглянемо деякі з них і наведемо приклади, що зустрічаються в архітектурному вигляді будівель та споруд (табл. 1):

Таблиця 1

1.2. Плоскі геометричні фігури. Властивості та визначення

Спостерігаючи за формами рослин і тварин, гір і звивинами річок, за особливостями ландшафту та далекими планетами, людина запозичила у природи її правильні форми, розміри та властивості. Матеріальні потреби спонукали людину будувати житла, виготовляти знаряддя праці та полювання, ліпити з глини посуд та інше. Усе це поступово сприяло з того що людина дійшла усвідомлення основних геометричних понять.

Чотирикутники:

Паралелограм(ін.-грец. παραλληλόγραμμον від παράλληλος - паралельний і γραμμή - риса, лінія) - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Ознаки паралелограма:

Чотирикутник є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов: 1. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то чотирикутник – паралелограм. 2. Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм. 3. Якщо в чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник – паралелограм.

Паралелограм, у якого всі кути прямі, називається прямокутником.

Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.

Трапеція-це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не є паралельними. Також трапецією називається чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна, і сторони не рівні між собою.

Трикутник— це найпростіша геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Вказані три точки називаються вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутник.Саме через свою простоту трикутник став основою багатьох вимірів. Землеміри при своїх обчисленнях площ земельних ділянок та астрономи при знаходженні відстаней до планет та зірок використовують властивості трикутників. Так виникла наука тригонометрія - наука про вимір трикутників, про вираз сторін через його кути. Через площу трикутника виражається площа будь-якого багатокутника: достатньо розбити цей багатокутник на трикутники, обчислити їхні площі та скласти результати. Щоправда, вірну формулу для площі трикутника вдалося знайти не одразу.

Особливо активно властивості трикутника досліджувалися у XV-XVI століттях. Ось одна з найкрасивіших теорем того часу, що належить Леонарду Ейлеру:

Величезна кількість робіт з геометрії трикутника, проведене в XY-XIX століттях, створило враження, що про трикутник вже відомо все.

Багатокутникце геометрична фігура, яка зазвичай визначається як замкнута ламана.

Коло— геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, яка називається центром кола, не перевищує заданого невід'ємного числа, що називається радіусом цього кола. Якщо радіус дорівнює нулю, то коло вироджується у крапку.

Існує велика кількість геометричних фігур, всі вони відрізняються параметрами та властивостями, часом дивуючи своїми формами.

Щоб краще запам'ятати та відрізняти плоскі фігури за властивостями та ознаками, я вигадав геометричну казку, яку хотів би представити вашій увазі у наступному параграфі.

Глава 2. ЗАВДАННЯ-ГОЛОВОЛОМКИ З ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР

2.1.Головоломки на побудову складної фігури з набору плоских геометричних елементів.

Вивчивши плоскі фігури, я задумався, а існують якісь цікаві завдання з плоскими фігурами, які можна використовувати як завдання-ігри або завдання-головоломки. І першим завданням, яке я знайшов, була головоломка "Танграм".

Це китайська головоломка. У Китаї її називають «чи тао ту», тобто розумова головоломка із семи частин. У Європі назва «Танграм» виникла, найімовірніше, від слова «тань», що означає «китаєць» та кореня «грама» (грец. – «буква»).

Для початку необхідно накреслити квадрат 10х10 і розділити його на сім частин: п'ять трикутників 1-5 , квадрат 6 та паралелограм 7 . Суть головоломки у тому, щоб, використовуючи всі сім частин, скласти фігурки, показані на рис.3.

Рис.3. Елементи гри «Танграм» та геометричні фігури

Рис.4. Завдання «Танграм»

Особливо цікаво складати з плоских постатей «образні» багатокутники, знаючи лише контури предметів (рис.4). Кілька таких завдань-обрисів я вигадав сам і показав ці завдання своїм однокласникам, які із задоволенням почали розгадувати завдання і склали багато цікавих фігур-багатогранників, схожих на обриси предметів навколишнього світу.

Для розвитку уяви можна використовувати такі форми цікавих головоломок, як завдання на розрізання і відтворення заданих фігур.

Приклад 2. Завдання на розрізання (паркетування) можуть здатися, здавалося б, дуже різноманітними. Однак у більшості в них використовується лише кілька основних типів розрізань (як правило, ті, за допомогою яких з одного паралелограма можна отримати інший).

Розглянемо деякі прийоми розрізань. При цьому розрізані фігури називатимемо багатокутників.

Рис. 5. Прийоми розрізань

На рис.5 представлені геометричні фігури, з яких можна зібрати різні орнаментальні композиції та скласти орнамент своїми руками.

Приклад 3. Ще одне цікаве завдання, яке можна самостійно придумати та обмінюватися з іншими учнями, при цьому хто більше збере розрізані фігури, той оголошується переможцем. Завдань такого типу може бути чимало. Для кодування можна взяти всі існуючі геометричні фігури, що розрізаються на три чи чотири частини.

Рис.6.Приклади завдань на розрізання:

------ - відтворений квадрат; - Розріз ножицями;

Основна фігура

2.2.Рівновеликі і рівноскладені фігури

Розглянемо ще один цікавий прийом на розрізання плоских фігур, де основними героями розрізань будуть багатокутники. При обчисленні площ багатокутників використовується простий прийом, який називається методом розбиття.

Взагалі багатокутники називаються рівноскладеними, якщо певним чином розрізавши багатокутник F на кінцеве число частин, можна, розташовуючи ці частини інакше, скласти їх багатокутник Н.

Звідси випливає наступна теорема:рівноскладені багатокутники мають однакову площу, тому вони вважатимуться рівновеликими.

На прикладі рівноскладених багатокутників можна розглянути і цікаве розрізання, як перетворення «грецького хреста» в квадрат (рис.7).

Рис.7. Перетворення «грецького хреста»

У разі мозаїки (паркету), складеної з грецьких хрестів, паралелограм періодів є квадратом. Ми можемо вирішити задачу, накладаючи мозаїку, складену з квадратів, на мозаїку, утворену за допомогою хрестів, так, щоб при цьому конгруентні точки однієї мозаїки збіглися з конгруентними точками іншої (рис.8).

На малюнку конгруентні точки мозаїки з хрестів, саме центри хрестів, збігаються з конгруентними точками «квадратної» мозаїки - вершинами квадратів. Паралельно зсунувши квадратну мозаїку, ми завжди матимемо рішення задачі. Причому завдання має кілька варіантів рішень, якщо при складанні орнаменту паркету використовується колір.

Рис.8. Паркет, зібраний із грецького хреста

Ще один приклад рівноскладених фігур можна розглянути на прикладі паралелограма. Наприклад, паралелограм рівно складений із прямокутником (рис.9).

Цей приклад ілюструє метод розбиття, що полягає в тому, що для обчислення площі багатокутника намагаються розбити його на кінцеве число частин таким чином, щоб з цих частин можна було скласти простіший багатокутник, площа якого нам вже відома.

Наприклад, трикутник рівноскладний з паралелограмом, що має ту саму основу і вдвічі меншу висоту. З цього положення легко виводиться формула площі трикутника.

Зазначимо, що для наведеної вище теореми справедлива і зворотна теорема:якщо два багатокутники рівновеликі, то вони рівноскладені.

Цю теорему, доведену у першій половині ХІХ ст. угорським математиком Ф.Бойяї та німецьким офіцером і любителем математики П.Гервіном, можна уявити і в такому вигляді: якщо є торт у формі багатокутника та багатокутна коробка, зовсім іншої форми, але тієї ж площі, то можна так розрізати торт на кінцеву кількість шматків (не перевертаючи їх кремом вниз), що їх вдасться покласти в цю коробку.

Висновок

Наприкінці зазначу, що завдань на плоскі постаті досить представлено різних джерелах, але інтерес представили мені ті, виходячи з яких мені довелося вигадувати свої завдання-головоломки.

Адже вирішуючи такі завдання, можна не просто накопичити життєвий досвід, а й набути нових знань та вмінь.

У головоломках при побудові дій-ходів використовуючи повороти, зрушення, переноси на площині або їх композиції, у мене вийшли самостійно створені нові образи, наприклад фігурки-багатогранники з гри «Танграм».

Відомо, що основним критерієм рухливості мислення людини є здатність шляхом відтворювальної та творчої уяви виконати у встановлений час певні дії, а в нашому випадку - ходи фігур на площині. Тому вивчення математики і, зокрема, геометрії в школі дасть мені ще більше знань, щоб надалі застосувати їх у своїй майбутній професійній діяльності.

бібліографічний список

1. Павлова, Л.В. Нетрадиційні підходи до навчання кресленню: навчальний посібник/Л.В. Павлова. – Нижній Новгород: Вид-во НДТУ, 2002. – 73 с.

2. Енциклопедичний словник молодого математика / Упоряд. А.П. Савин. - М: Педагогіка, 1985. - 352 с.

3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053

Додаток 1

Анкета-опитувальник для однокласників

1. Чи знаєте ви, що таке головоломка "Танграм"?

2. Що таке «грецький хрест»?

3. Чи було б вам цікаво дізнатися, що таке «Танграм»?

4. Чи було б вам цікаво дізнатися, що таке «грецький хрест»?

Було опитано 22 учні 8 класу. Результати: 22 учні не знають, що таке «Танграм» та «грецький хрест». 20-ти учням було б цікаво дізнатися про те, як за допомогою головоломки "Танграм", що складається з семи плоских фігур, отримати складнішу фігуру. Результати опитування узагальнені на діаграмі.

Додаток 2

Елементи гри «Танграм» та геометричні фігури

Перетворення «грецького хреста»

Планіметрія- Це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури на площині.

Фігури, що вивчаються планіметрією:

3. Паралелограм (приватні випадки: квадрат, прямокутник, ромб)

4. Трапеція

5. Окружність

6. Трикутник

7. Багатокутник

1) Крапка:

У геометрії, топології та близьких розділах математики точкою називають абстрактний об'єкт у просторі, що не має ні об'єму, ні площі, ні довжини, ні якихось інших аналогічних характеристик великих розмірностей. Таким чином, точкою називають нульмерний об'єкт. Крапка одна із фундаментальних понять у математиці.

Крапка в Евклідовій геометрії:

Крапка - це одне з фундаментальних понять геометрії, тому "крапка" не має визначення. Евклід визначив крапку як те, що не можна поділити.

Пряма – одне з основних понять геометрії.

Геометрична пряма (пряма лінія) - незамкнутий з двох сторін, протяжний геометричний об'єкт, що не викривляється, поперечний переріз якого прагне до нуля, а поздовжня проекція на площину дає точку.

При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії.

Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками.

3) Паралелограм:

Паралелограм-це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих. Приватними випадками паралелограм є прямокутник, квадрат і ромб.

Приватні випадки:

Квадрат- правильний чотирикутник або ромб, у якого всі кути прямі, або паралелограм, у якого всі сторони та кути рівні.

Квадрат може бути визначений як: прямокутник, у якого дві суміжні сторони рівні;

ромб, у якого всі кути прямі (будь-який квадрат є ромбом, але не будь-який ромб є квадратом).

Прямокутник- це паралелограм, у якого всі кути прямі (рівні 90 градусів).

Ромб- це паралелограм, у якого усі сторони рівні. Ромб із прямими кутами називається квадратом.

4) Трапеція:

Трапеція- Чотирикутник, у якого рівно одна пара протилежних сторін паралельна.

1. Трапеція, у якої бічні сторони не рівні,

називається різнобічної .

2. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобокий.

3. Трапеція, у якої одна бічна сторона становить прямий кут із основами, називається прямокутної .

Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінієютрапеції (MN). Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Трапецію можна назвати усіченим трикутником, тому й назви трапецій подібні до назв трикутників (трикутники бувають різнобічні, рівнобедрені, прямокутні).

5) Коло:

Окружність- геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром, на задану ненульову відстань, яку називають її радіусом.

6) Трикутник:

Трикутник- найпростіший багатокутник, що має 3 вершини (кута) та 3 сторони; частина площини, обмежена трьома точками, і трьома відрізками, що попарно з'єднують ці точки.

7) Багатокутник:

Багатокутник- це геометрична фігура, що визначається як замкнута ламана. Існують три різні варіанти визначення:

Плоскі замкнуті ламані;

Плоскі замкнуті ламані без самоперетинів;

Частини площини обмежені ламаними.

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а відрізки – сторонами багатокутника.

Основні властивості прямої та точки:

1. Якою б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій і не належать їй.

Через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.

2. З трьох точок на прямій одна і лише одна лежить між двома іншими.

3. Кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, куди він розбивається будь-якою його точкою.

6. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і лише один.

7. Від будь-якої напівпрямої в задану напівплощину можна відкласти кут із заданим градусним заходом, меншим за 180О, і тільки один.

8. Яким би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у заданому розташуванні щодо даної напівпрямої.

Властивості трикутника:

Співвідношення між сторонами та кутами трикутника:

1) Проти більшої сторони лежить більший кут.

2) Проти більшого кута лежить велика сторона.

3) Проти рівних сторін лежать рівні кути, і, проти рівних кутів лежать рівні сторони.

Співвідношення між внутрішніми та зовнішніми кутами трикутника:

1) Сума двох будь-яких внутрішніх кутів трикутника дорівнює зовнішньому куту трикутника, суміжного з третім кутом.

2) Сторони та кути трикутника пов'язані між собою також співвідношеннями, званими теоремою синусів та теоремою косінусів.

Трикутник називається тупокутним, прямокутним або гострокутним якщо його найбільший внутрішній кут відповідно більше, дорівнює або менше 90∘.

Середньою лінієюТрикутник називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника.

Властивості середньої лінії трикутника:

1) Пряма, що містить середню лінію трикутника, паралельна прямій, що містить третю сторону трикутника.

2) Середня лінія трикутника дорівнює половині третьої сторони.

3) Середня лінія трикутника відсікає від трикутника такий трикутник.

Властивості прямокутника:

1) протилежні сторони рівні та паралельні одна одній;

2) діагоналі рівні й у точці перетину діляться навпіл;

3) сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх (чотирьох) сторін;

4) прямокутниками одного розміру можна повністю замостити площину;

5) прямокутник можна двома способами розділити на два рівні між собою прямокутника;

6) прямокутник можна розділити на два рівні між собою прямогульних трикутника;

7) навколо прямокутника можна описати коло, діаметр якого дорівнює діагоналі прямокутника;

8) у прямогульник (крім квадрата) не можна вписати коло так, щоб воно торкалося всіх його сторін.

Властивості паралелограма:

1) Середина діагоналі паралелограма є його центром симетрії.

2) Протилежні сторони паралелограма рівні.

3) Протилежні кути паралелограма рівні.

4) Кожна діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

5) Діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.

6) Сума квадратів діагоналей паралелограма (d1 і d2) дорівнює сумі квадратів усіх його сторін: d21+d22=2(a2+b2)

З властивості квадрата:

1) Усі кути квадрата – прямі, всі сторони квадрата – рівні.

2) Діагоналі квадрата дорівнюють і перетинаються під прямим кутом.

3) Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл.

Властивості ромба:

1. Діагональ ромба ділить його на два рівні трикутники.

2. Діагоналі ромба у точці їх перетину діляться навпіл.

3. Протилежні сторони ромба рівні між собою, рівні та протилежні кути його.

Крім того, ромб має ще такі властивості:

а) діагоналі ромба взаємно перпендикулярні;

б) діагональ ромба поділяє кут його навпіл.

Властивості кола:

1) Пряма може мати з колом загальних точок; мати з колом одну загальну точку (дотична); мати з нею дві спільні точки (що січе).

2) Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і до того ж лише одну.

3) Точка торкання двох кіл лежить на лінії, що з'єднує їх центри.

Властивості багатокутника:

1) Сума внутрішніх кутів плоского опуклого n-кутника дорівнює.

2) Число діагоналей будь-якого n-кутника дорівнює.

3).Вироби сторін багатокутника на синус кута між ними дорівнює площі багатокутника.

Точка та пряма є основними геометричними фігурами на площині.

Давньогрецький учений Евклід говорив: «крапка» – те, що немає частин». Слово «крапка» у перекладі латинської означає результат миттєвого дотику, укол. Крапка є основою для побудови будь-якої геометричної фігури.

Пряма лінія або просто пряма - це лінія, вздовж якої відстань між двома точками є найкоротшим. Пряма лінія нескінченна і зобразити всю пряму і виміряти її неможливо.

Крапки позначають великими латинськими літерами А, В, С, D, Е та ін., а прямі тими ж літерами, але малими а, b, c, d, e та ін. ній. Наприклад, пряму a можна позначити АВ.

Можна сміливо сказати, що точки АВ лежать на прямий а чи належать прямий а. А можна сказати, що пряма проходить через точки А і В.

Найпростіші геометричні фігури на площині – це відрізок, промінь, ламана лінія.

Відрізок – це частина прямої, яка складається з усіх точок прямої, обмежених двома обраними точками. Ці точки – кінці відрізка. Відрізок позначається вказівкою його кінців.

Промінь або напівпряма – це частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по одну сторону від цієї точки. Ця точка називається початковою точкою напівпрямої або початком променя. Промінь має точку початку, але не має кінця.

Напівпрямі або промені позначаються двома малими латинськими літерами: початковою та будь-якою іншою літерою, що відповідає точці, що належить напівпрямій. У цьому початкова точка ставиться першому місці.

Виходить, що пряма нескінченна: вона не має ні початку, ні кінця; у променя є лише початок, але немає кінця, а відрізок має початок і кінець. Тому лише відрізок ми можемо виміряти.

Декілька відрізків, які послідовно з'єднані між собою так, що мають одну загальну точку відрізки (сусідні) розташовуються не на одній прямій, являють собою ламану лінію.

Ламана лінія може бути замкненою та незамкненою. Якщо кінець останнього відрізка збігається з початком першого, перед нами замкнута ламана лінія, якщо ні – незамкнута.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Сторінка 1 з 3

§1. Контрольні питання
Питання 1. Наведіть приклади геометричних фігур.
Відповідь.Приклади геометричних фігур: трикутник, квадрат, коло.

Запитання 2.Назвіть основні геометричні фігури на площині.
Відповідь.Основними геометричними фігурами на площині є точка та пряма.

Запитання 3.Як позначаються точки та прямі?
Відповідь.Крапки позначаються великими латинськими літерами: A, B, C, D, … . Прямі позначаються малими латинськими літерами: a, b, c, d, ….
Пряму можна позначати двома точками, що лежать на ній. Наприклад, пряму a малюнку 4 можна позначити AC, а пряму b можна позначити BC.

Запитання 4.Сформулюйте основні властивості належності точок та прямих.
Відповідь.Якою б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.
Запитання 5.Поясніть, що таке відрізок із кінцями у даних точках.
Відповідь.Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. Відрізок позначається вказівкою його кінців. Коли говорять або пишуть: "відрізок AB", то мають на увазі відрізок з кінцями у точках A та B.

Запитання 6.Сформулюйте основну властивість розташування точок на прямій.
Відповідь.З трьох точок на прямій одна і лише одна лежить між двома іншими.
Запитання 7.Сформулюйте основні властивості виміру відрізків.
Відповідь.Кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, куди він розбивається будь-якою його точкою.
Запитання 8.Що називається відстанню між двома даними точками?
Відповідь.Довжину відрізка AB називають відстанню між точками A та B.
Запитання 9.Якими властивостями має розбиття площини на дві напівплощини?
Відповідь.Розбиття площини на дві напівплощини має наступну властивість. Якщо кінці якогось відрізка належать до однієї напівплощини, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать різним напівплощин, то відрізок перетинає пряму.

Фігура - це довільна множина точок на площині. Крапка, пряма, відрізок, промінь, трикутник, коло, квадрат і так далі - все це приклади геометричних фігур.

Основними геометричними фігурами на площині є точка та пряма. Цим фігурам у геометрії немає визначення.

Невизначеними геометричними фігурами на площині є точка та пряма.

Точки прийнято позначати великими латинськими літерами: А, У, З, D …. Прямі позначаються малими латинськими літерами: а, b, с, d ….

Фігури, що вивчаються планіметрією:

3. Паралелограм (приватні випадки: квадрат, прямокутник, ромб)

4. Трапеція

5. Окружність

6. Трикутник

7. Багатокутник

У геометрії, топології та близьких розділах математики точкою називають абстрактний об'єкт у просторі, що не має ні об'єму, ні площі, ні довжини, ні якихось інших аналогічних характеристик великих розмірностей. Таким чином, точкою називають нульмерний об'єкт. Крапка одна із фундаментальних понять у математиці.

Крапка - це одне з фундаментальних понять геометрії, тому "крапка" не має визначення. Евклід визначив крапку як те, що не можна поділити.

Також у геометрії немає визначення "прямий" (мається на увазі пряма лінія).

Пряма - одне з основних понять геометрії.

Геометрична пряма (пряма лінія) - незамкнутий з двох сторін, протяжний геометричний об'єкт, що не викривляється, поперечний переріз якого прагне до нуля, а поздовжня проекція на площину дає точку.

При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії.

Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками.

3) Паралелограм

Паралелограм- це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих. Приватними випадками паралелограм є прямокутник, квадрат і ромб.

Приватні випадки:

Квадрат - правильний чотирикутник або ромб, у якого всі кути прямі, або паралелограм, у якого всі боки та кути рівні.

Квадрат може бути визначений як:

§ прямокутник, у якого дві суміжні сторони рівні

§ ромб, у якого всі кути прямі (будь-який квадрат є ромбом, але не будь-який ромб є квадратом).

Прямокутник - це паралелограм, у якого всі кути прямі (рівні 90 градусів).

Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Ромб із прямими кутами називається квадратом.

4) Трапеція

Трапеція - чотирикутник, у якого рівно одна пара протилежних сторін паралельна.

Іноді трапеція визначається як чотирикутник, у якого пара протилежних сторін паралельна (про іншу не уточнюється), у цьому випадку паралелограм є окремим випадком трапеції. Зокрема існує поняття як криволінійна трапеція.

Прямокутна трапеція

5) Окружність

Окружність - геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром, на задану ненульову відстань, яку називають її радіусом.

6) Трикутник

Трикутник - найпростіший багатокутник, що має 3 вершини (кута) та 3 сторони; частина площини, обмежена трьома точками, і трьома відрізками, що попарно з'єднують ці точки.

Якщо всі три точки трикутника лежать на одній прямій, він називається виродженим.

7) Багатокутник

Багатокутник - це геометрична фігура, що визначається як замкнута ламана. Існують три різні варіанти визначення:

§ Плоскі замкнуті ламані;

§ Плоскі замкнуті ламані без самоперетинів;

§ Частини площини, обмежені ламаними.

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а відрізки - сторонами багатокутника.