Завдання на класичне визначення ймовірності. Застосування комбінаторики до підрахунку ймовірності

Загальна кількість рівноможливих результатів під час виборів квитків на іспиті дорівнює 25. Нехай А – подія «учню дістався квиток, якого він готовий». Число таких результатів дорівнює 25-(11+8) = 6. отже Р(А) = 6/25 = 0,24.

Також розглянемо завдання, у яких для підрахунку числа сприятливих чи всіх результатів необхідно скористатися комбінаторними формулами.

На тримісну лаву довільним

чином сідають двоє чоловіків та жінка. Яка ймовірність того, що чоловіки опиняться поряд?

Кількість всіх можливих результатів - це число перестановок трьох елементів, а воно дорівнює 3! = 6. Нехай А - подія «чоловіки виявилися поруч», кількість сприятливих результатів для цієї події дорівнює чотирьом (коли обидва сидять з одного краю - 2 варіанти і аналогічно для іншого теж два варіанти). Таким чином, Р(А) = 4/6 = 2/3.

Окрім статистичного та класичного визначень ймовірності існує ще геометрична ймовірність. Розглянемо наступний приклад. На квадратному столі виділено чорний квадратик. Як визначити ймовірність того, що фішка потрапить до чорного квадратика, якщо її кинути на стіл навмання.

Ця можливість дорівнює відношенню площі чорного квадрата до площі поверхні столу. Якщо, наприклад, площа столу дорівнює 0,6м ² , а площа чорного квадрата – 0,04 м ² то Р = 0,04/0,6 = 1/15.

Стрілець, не цілячись, стріляє в трикутну мету (рис.1) і потрапляє.

Яка ймовірність того, що він потрапить до «трійки»? "двійку"? "одиницю"?

Візьмемо площу одного трикутника за 1. всі вони рівні між собою, тому площа всього великого трикутника = 16. Імовірність того, що він потрапить у «3» дорівнює 1/16. ймовірність влучення в «2», дорівнюватиме 6/16 (загальна площа трикутників з «2» дорівнюватиме 6), і ймовірність влучення в «1» дорівнює 9/16.

§5 Методика реалізації стохастичної лінії 9 класі.

Основні завдання:

· На основі всіх раніше отриманих знань показати їх застосування для статистичного дослідження

· Ознайомити з такими поняттями як генеральна сукупність, репрезентативна вибірка, вибіркове обстеження. Інтервальний ряд.

· Ознайомити з новим видом графічного представлення результатів статистичного дослідження – полігонами та гістограмами.

У 9 класі розглядаються статистичні дослідження, на прикладах, близьких до життєвого досвіду учнів. Це – «Дослідження якості знань школярів», «Чи зручно розташована школа?» та «Куди піти працювати?».

Розглянемо вивчення якості знань школярів, з прикладу вивчення математичної підготовки школярів. Припустимо, що в одному з регіонів вирішили з'ясувати рівень знань дев'ятикласників з математики та склали контрольну роботу із 6 завдань. Досить складно організувати у всіх школах регіону одночасне проведення, перевірку та обробку отриманих результатів. Але, як стверджує статистика, отримання цілком достовірної інформації досить провести вибіркове обстеження, тобто. перевірити лише частину школярів.

Усі дев'ятикласники регіону будуть генеральною сукупністю, про яку судитимемо за репрезентативною (представницькою) вибіркою. Зазвичай обмежуються обстеженням 5-10% всієї досліджуваної сукупності, у своїй здійснюється випадковий відбір, забезпечуючи однакову можливість потрапляння у вибірку будь-якого об'єкта генеральної сукупності.

Розглянемо можливі результати такого вибіркового обстеження деяким містом регіону. Нехай у місті проживають 710 дев'ятикласників, з яких випадково було обрано 50. проти кожного прізвища виставили число вірно вирішених завдань та отримали наступний ряд:

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

З цього ряду складно зробити якісь певні висновки, і щоб зручніше було аналізувати інформацію, у разі числові дані ранжують, маючи в порядку зростання. В результаті ранжирування ряд набуде такого вигляду:

0;0;0; 1;1;1;1; 2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2; 3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;

4;4;4;4;4;4;4;4; 5;5;5; 6;6;6;6;6.

Ми бачимо, що ряд розбився на 7 груп. Кожна група представляє певний результат експерименту: не вирішено жодного завдання, вирішено одне завдання тощо. У цьому ряду ми можемо підрахувати частоту кожному за результату експерименту. Наприклад, частота появи події «дев'ятикласник вирішив жодного завдання» дорівнює 3. Відносна частота дорівнює відношенню його частоти обсягу вибірки, тобто. 3/50, чи 6%.

Для наочності, розглянемо табличне та графічне уявлення результатів.

Побудуємо діаграму:

Окрім діаграм для графічного представлення результатів використовують так звані полігони. Для їх побудови у системі координат відзначають точки, абсциси яких – результати випадкового експерименту, а ординати – відповідні частоти. Для нашого випадку полігон буде виглядати так:

Оскільки ми вважаємо, що вибірка була репрезентативною, то на підставі отриманих результатів можна з достатньою впевненістю судити про рівень знань усіх дев'ятикласників міста.

Наприклад, у вибірці 10% школярів вирішили всі завдання. Отже, очікується, що і з 710 учнів приблизно 10% впораються з усіма шістьма завданнями. Це означає, що близько 70 дев'ятикласників міста мають високий рівень математичної підготовки.

Відповіді

Завдання

Вправи.

1. Знайдіть серед наступних випадкових подій достовірні та неможливі події:

А 1 – поява 10 очок при киданні гральної кістки,

А 2 – поява 10 очок при киданні трьох гральних кісток,

А 3 – поява 20 очок при киданні трьох гральних кісток,

А 4 - навмання обране двозначне число не більше 100,

А 5 – поява двох гербів під час кидання двох монет.

2. Чи є несумісними події А 1 та А 2:

б) випробування - кидання гральної кістки; події: А 1 – поява трьох очок, А 2 – поява непарного числа очок,

в) випробування – кидання двох монет; події: А 1 - поява герба на одній монеті, А 2 - поява герба на іншій монеті?

3. Чи є рівноможливими події А1 і А2:

а) випробування - кидання гральної кістки; події: А 1 – поява двох очок, А 2 – поява п'яти очок;

б) випробування - кидання гральної кістки; події: А 1 – поява двох очок, А 2 – поява парного числа очок;

в) випробування – два постріли по мішені; події: А 1 -промах при першому пострілі, А 2 - промах при другому пострілі?

4. Чи утворять повну групу події:

а) випробування – кидання монети; події: А 1 – поява герба, А 2 – поява цифри;

б) випробування – два постріли по мішені; події: А 1 – жодного влучення, А 2 – одне влучення, А 3 – два влучення?

5. Знайти суму подій:

б) випробування - кидання гральної кістки; події: А – поява одного очка, У – поява двох очок, З – поява трьох очок;

в) випробування – придбання лотерейних білетів; події: А - виграш 10 рублів; В – виграш 20 рублів; С – виграш 25 рублів.

6. Знайти твір подій:

а) випробування – два постріли по мішені; події: А – попадання першим пострілом, У – попадання другим пострілом;

б) випробування - кидання гральної кістки; події: А – непоява трьох очок, У – непоява п'яти очок, З – поява непарного числа очок.

1. Зі слова НАУГАД вибирається навмання одна літера. Якою є ймовірність того, що це буква А? Яка ймовірність того, що це голосна?

2. Кидають гральну кістку. Яка можливість випадання номера 4? Яка можливість випадання номера більшого 4?

3. Підлягають контролю 250 деталей, у тому числі 5 нестандартних. Яка ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться:

а) нестандартною;

б) стандартною?

4. На картках написані літери О, К, Т. Картки навмання розставлені в ряд. Яка можливість прочитати слово КОТ?

5. На кожній із шести однакових карток написані літери Т, Р, С, О, А, М. Картки перемішуються і з них чотири викладаються навмання в ряд. Якою є ймовірність появи слова ТРОС?

6. З п'яти карток з літерами А, Б, В, Г, Д навмання одна за одною вибираються три і розташовуються в ряд у порядку появи. Якою є ймовірність того, що вийде слово ДВА?

7. Абонент забув дві останні цифри телефону і, набираючи номер навмання, пам'ятав лише, що вони різні. Знайти ймовірність того, що вибрано потрібні цифри.

Розв'язати завдання, якщо забуто три останні цифри.

8. В урні 3 білих та 7 чорних куль. Яка ймовірність того, що вийняті навмання дві кулі виявляться чорними?

9. Підкинуто мідну та срібну монети. Якою є ймовірність того, що на обох монетах з'явиться ГЕРБ?

10. У ящику є 15 деталей, серед яких 10 пофарбованих. Складальник навмання витягує три деталі. Знайти ймовірність того, що витягнуті деталі виявляться забарвленими.

11. В упаковці на складі 10 бачків змивних, серед них 4 з пластмасовими поплавцями. На удачу взято 2 бачки. Знайти ймовірність того, що обидва бачки з пластмасовими поплавцями.

12. Пристрій складається з п'яти елементів, з яких два зношені. При включенні пристрою включаються випадково два елементи. Знайти ймовірність того, що включеними виявляться незношені елементи.

13. Для облицювання житлового будинку завезено облицювальну плитку. У ящику є 300 плиток. Шлюб продукції становить 2%. Знайти ймовірність того, що перші три узяті плитки не будуть браковані.

14. У цеху працюють шість чоловіків та чотири жінки. За табельними номерами навмання відібрано сім осіб. Знайти ймовірність того, що серед відібраних осіб опиняться троє жінок.

15. На складі є 15 кінескопів, причому 10 із них виготовлено Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед п'яти взятих навмання кінескопів виявляться три кінескопи Львівського заводу.

16. У групі 12 студентів, серед яких 8 відмінників. За списком навмання відібрано 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів є п'ять відмінників.

17. Десять книг навмання розставлені на полиці. Знайти ймовірність того, що три певні книги будуть поруч.

18. Оля та Коля домовилися зустріти Новий рік у компанії з 10 осіб. Вони обоє хотіли сидіти за святковим столом поряд. Знайти ймовірність виконання їхнього бажання, якщо серед друзів прийнято місця розподіляти за жеребкуванням.

19. Серед 20 квитків 5 виграшних. Знайти ймовірність того, що серед куплених квитків виявиться:

а) усі три виграшні;

б) жодного виграшного;

в) 2 виграшні;

г) 1 виграшний.

20. На п'ятимісцеву лаву випадково сідають 5 осіб. Яка ймовірність того, що 3 певні особи виявляться поруч?

21. У команді із 12 спортсменів – 5 майстрів спорту. За жеребкуванням з команди обирають 3-х спортсменів. Якою є ймовірність того, що всі обрані є майстрами спорту?

22. Серед 17 студентів групи, з яких 8 дівчат, розігрується 7 квитків. Яка ймовірність того, що серед власників квитків виявляться 4 дівчини?

23. У урні 6 білих і 4 чорні кулі. З цієї урни навмання витягли 5 куль. Якою є ймовірність того, що 2 з них білі, а 3 чорні?

24. У партії із 60 виробів 5 бракованих. З партії вибираються навмання 6 виробів. Визначити ймовірність того, що серед цих 6 виробів 2 виявляться бракованими.

25. У лотереї n квитків, у тому числі m виграшних. Учасник лотереї купує квитків. Визначити ймовірність того, що виграє бодай один квиток.

26. Є r куль, які випадково розкидаються по n ящиках. В тому самому ящику можуть знаходитися кілька куль і навіть всі кулі. Знайти ймовірність того, що в перший ящик потраплять рівно r 1 куль, у другий r 2 куль і т.д., в n-ий ящик r n куль.

27. До ліфту семиповерхового будинку на першому поверсі увійшли 3 особи. Кожен із них з однаковою ймовірністю виходить на будь-якому з поверхів, починаючи з другого. Знайти ймовірність наступних подій:

А=(всі пасажири вийдуть четвертому поверсі);

У = (Всі пасажири вийдуть одночасно на тому самому поверсі);

С=(всі пасажири вийдуть різних поверхах).

28. Знайти ймовірність того, що дні народження 12 осіб припадуть на різні місяці року.

29. У точці С, положення якої на телефонній лінії АВ довжини рівноможливо, стався розрив. Визначити ймовірність того, що точка С віддалена від точки А на відстань, не меншу, ніж l .

30. Точка кинута в коло радіусу R. Знайдіть ймовірність того, що вона потрапить усередину квадрата, що вписаний у це коло.

31. Слово складено з карток, на кожній з яких написано одну літеру. Картки змішують та виймають без повернення по одній. Знайти ймовірність того, що картки з літерами виймаються як слідування літер заданого слова: а) «подія»; б) "статистика".

32. П'ятитомні збори творів розташовані на полиці у випадковому порядку. Якою є ймовірність того, що книги стоять зліва направо в порядку нумерації томів (від 1 до 5)?

33. Серед 25 студентів, з яких 15 дівчат, розігруються чотири квитки, причому кожен може виграти лише один квиток. Якою є ймовірність того, що серед власників квитка виявляться: а) чотири дівчата; б)чотири юнаки; в) три юнаки та одна дівчина?

34. З 20 ощадбанків 10 розташовані за межею міста. Для обстеження випадково відібрано 5 ощадбанків. Яка ймовірність того, що серед відібраних банків опиниться в межах міста: а) 3 ощадбанки; б) хоч би один?

35. З ящика, що містить 5 пар взуття, з яких три пари чоловічого, а дві пари жіночого взуття, перекладають навмання 2 пари взуття в інший ящик, що містить однакову кількість пар жіночого та чоловічого взуття. Яка ймовірність того, що в другій скриньці після цього виявиться однакова кількість пар чоловічого та жіночого взуття?

36. У магазині є 30 телевізорів, причому 20 із них імпортних. Знайти ймовірність того, що серед 5 проданих протягом дня телевізорів виявиться більше 3 імпортних телевізорів, припускаючи, що ймовірність покупки різних марок однакові.

37. Навмання взятий телефонний номер складається з 5 цифр. Якою є ймовірність того, що в ньому всі цифри: а) різні; б) однакові; в) непарні? Відомо, що номер телефону не починається із цифри нуль.

38. Для проведення змагань 16 волейбольних команд розбито за жеребом на дві підгрупи (по вісім команд у кожній). Знайти ймовірність того, що дві найсильніші команди виявляться: а) у різних підгрупах; б) у одній підгрупі.

39. Студент знає 20 із 25 питань програми. Залік вважається зданим, якщо студент відповість не менше ніж на три з чотирьох поставлених у квитку питань. Поглянувши на перше запитання квитка, студент виявив, що він його знає. Якою є ймовірність того, що студент: а) здасть залік; б) чи не здасть залік?

40. У збирача є 10 деталей, що мало відрізняються один від одного, з них чотири – першого, по дві – другого, третього та четвертого видів. Якою є ймовірність того, що серед шести взятих одночасно деталей три виявляться першого виду, два – другого та одна – третього?

41. Знайти ймовірність того, що з десяти книг, розташованих у випадковому порядку, 3 певні книги будуть поруч.

42. У старовинній грі в кістки необхідно було для виграшу отримати при киданні трьох гральних кісток суму очок, що перевищує 10. Знайти ймовірність: а) випадання 11 очок; б) виграшу.

43. На фірмі працюють 8 аудиторів, у тому числі 3 – високої кваліфікації, і 5 програмістів, у тому числі 2 – високої кваліфікації. У відрядження треба відправити групу з 3 аудиторів та 2 програмістів. Якою є ймовірність того, що в цій групі виявиться принаймні 1 аудитор високої кваліфікації і хоча б 1 програміст високої кваліфікації, якщо кожен спеціаліст має рівні можливості поїхати у відрядження?

44. Дві особи домовилися зустрітися в певному місці між 18 і 19 годинами і домовилися, що той, хто прийшов першим, чекає іншого протягом 15 хвилин, після чого йде. Знайти ймовірність їхньої зустрічі, якщо прихід кожного протягом зазначеної години може відбутися у будь-який час та моменти приходу незалежні.

45. Яка ймовірність того, що навмання кинута в коло точка виявиться всередині вписаного в нього квадрата.

46. ​​Під час приймання партії виробів перевіряється половина виробів. Умова приймання – наявність шлюбу вибірці менше 2 %. Обчислити ймовірність того, що партію зі 100 виробів, що містить 5 % шлюбу, буде прийнято.

	1/3, 1/2	19 б	91/228	33 а
	1/6, 1/3	19 в	5/38	33 б
	1/50, 49/50	19 г	35/76	33 в
	1/6		3/10	34 а
	1/360		1/22	34 б
	1/60		0,302
	1/90		0,2381
	7/15		0,049	37 а
	1/6			37 б
	24/91			37 в
	2/15	27 а	1/216	38 а
	0,3	27 б	1/36	38 б
		27 в	5/54	39 а
	½			39 б	0,099
	0,4
	14/55		.
	1/15	31 а	1/Р 7=1/7!= =0,000198		а) 0,125; б) 0,5
	1/5	31 б	Р 2 Р 3 Р 2 Р 2/Р 10=2!3!2!2!/10! = 0,0000132
19 а	1/114		1/Р 5=1/5!= =,00833		0,4375

Студент повинен знати:

Основні формули теорії ймовірностей

Студент повинен вміти:

Знаходити ймовірність твору, суми подій, появи хоча б однієї події;

Література:стор.37-43.

§ 7. Застосування комбінаторики до підрахунку ймовірності

Якщо із сукупності обсягу nпроводиться вибірка kелементів з поверненням, то можливість отримання кожної конкретної вибірки вважається рівною .

Якщо вибірка провадиться без повернення, то ця ймовірність дорівнює .

Нехай настання події А полягає у появі вибірки з якимись додатковими обмеженнями та кількість таких вибірок дорівнює m. Тоді у разі вибірки з поверненням маємо:

у разі вибірки без повернення:

Приклад 1. Навмання вибирається тризначне число, в десятковому запису якого немає нуля. Яка ймовірність того, що у вибраного числа є дві однакові цифри?

Рішення. Уявімо, що на 9 однакових картках написано цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і ці картки поміщені в урну. Вибір навмання тризначного числа рівносильний послідовному витягу з поверненням з урни 3 карток і записуванням цифр у порядку їх появи. Отже, число всіх елементарних результатів досвіду дорівнює 93 = 729. Кількість сприятливих випадків для події А, що цікавить нас, підраховуємо так: 2 різні цифри х і у можна вибрати способами; якщо х і в обрані, то з них можна скласти.

Приклад 2. З букв слова «ротор», складеного за допомогою розрізної абетки, навмання послідовно витягуються 3 букви і складаються в ряд. Яка ймовірність того, що вийде слово тор?

Рішення. Щоб відрізняти однакові літери одна від одної, забезпечимо їх номерами: р1, р2, о1, о2. Тоді загальна кількість елементарних результатів дорівнює: . Слово «тор» вийде в 1 × 2 × 2 = 4 випадках (то1р1, то1р2, то2р1, то2р2). .

Приклад 3. У партії N деталей є n бракованих. Яка ймовірність того, що серед навмання відібраних k деталей виявиться s бракованих?

Рішення. Кількість всіх елементарних результатів дорівнює. Для підрахунку числа сприятливих випадків міркуємо так: з n бракованих можна вибрати s деталей способами, та якщо з - n небракованих можна вибрати k – s небракованих деталей способами; за правилом твору число сприятливих випадків дорівнює ×. Шукана ймовірність дорівнює:

.

Приклад 4. У бригаді 4 жінки та 3 чоловіків. Серед членів бригади розігруються 4 квитки до театру. Яка ймовірність того, що серед власників квитків виявиться 2 жінки та 2 чоловіки?

Рішення. Застосуємо схему статистичного вибору. З 7 членів бригади 4 особи можна вибрати = 35 способами, отже, число всіх елементарних результатів випробування дорівнює 35..gif" width="28" height="34">= 3 способами. 18..gif" width="21" height="41">. Скільки в урні білих куль?

150. У урні n білих та m чорних куль. Наудачу витягнуті k куль (k>m). Яка ймовірність того, що в урні залишилися самі білі кулі?

151. З урни, що містить N куль, N разів витягають по одній кулі, щоразу повертаючи витягнуту кулю. Якою є ймовірність того, що всі кулі витягувалися по одному разу?

152. Повна колода карт (52 аркуша) ділиться навмання на 2 рівні частини (по 26 карт). Знайдіть ймовірності наступних подій:

А – у кожній частині виявиться по 2 тузи;

В – в одній із частин не буде жодного туза;

С – в одній із частин буде рівно один туз.

153. В урні a білих, b чорних та з червоних куль. З цієї урни один за одним виймають без повернення всі кулі та записують їх кольори. Знайдіть ймовірність того, що в цьому списку білий колір зустрінеться раніше від чорного.

154. Є 2 урни: у першій a білих та b чорних куль; другий з білим і d чорний. З кожної урни виймається по кулі. Знайдіть ймовірність того, що обидві кулі будуть білими (подія А) і ймовірність того, що кулі будуть різного кольору (подія В).

155. 2n команд розбито на 2 підгрупи по n команд. Знайдіть ймовірність того, що 2 найсильніші команди потраплять: а) до різних підгруп (подія А); б) одну підгрупу (подія У).

156. З колоди в 36 карт навмання витягуються 3 карти. Визначте ймовірність того, що сума очок у цих картах дорівнює 21, якщо валет становить 2 очки, дама – 3, король – 4, туз – 11, а решта карт – відповідно 6, 7, 8, 9, 10 очок.

157. Власник однієї картки лотереї «Спортлото» (6 із 49) закреслює 6 номерів. Яка ймовірність того, що їм буде вгадано:

а) усі 6 номерів у черговому тиражі;

б) 5 чи 6 номерів;

в) принаймні 3 номери?

158. Автобус, у якому 15 пасажирів, має зробити 20 зупинок. Припускаючи, що всілякі способи розподілу пасажирів зупинками рівноможливі, знайдіть ймовірність того, що ніякі 2 пасажири не вийдуть на одній зупинці.

159. З чисел 1, 2, …, N вибирають навмання r різних чисел (r £ N). Знайдіть ймовірність того, що буде обрано r послідовних чисел.

160. З повної колоди карт (52 аркуша) витягують відразу кілька карт. Скільки карток потрібно витягти для того, щоб із ймовірністю більшою ніж 0,5 стверджувати, що серед них будуть карти однієї і тієї ж масті?

161. Є n кульок, які випадково розкидаються по m лунках. Знайдіть ймовірність того, що в першу лунку впаде рівно k1 кульок, у другу – k2 кульок і т. д., в m-ю – km кульок, якщо k1+k2+…+km=n.

162. В умовах попередньої задачі знайдіть ймовірність того, що в одній із лунок (байдуже в якій) буде k1 кульок, а в іншій – k2 кульок і т. д., у m-й – km кульок (числа k1,k2,... ,km Передбачаються різними).

163. З множини (1, 2,…, N) послідовно без повернення вибираються числа х1 і х2. Знайдіть р(x2 > x1).

1рукописів розкладено по 30 папках (один рукопис займає 3 папки). Знайдіть ймовірність того, що у випадково викинутих 6 папках не міститься повністю жодного рукопису.

165. Яка ймовірність того, що в компанії з r чоловік хоча б у двох збігатимуться дні народження? (Для простоти передбачається, що 29 лютого не є днем ​​народження).

166. Використовуючи таблицю значень lgn! та умову попередньої задачі, обчисліть ймовірності при r = 22, 23, 60.

167.Ви поставили собі за мету знайти людину, день народження якої збігається з Вашим. Скільки незнайомців Вам доведеться опитати, щоб ймовірність зустрічі такої людини була б не меншою ніж 0,5?

168. За Державною позикою щорічно розігрується 6 основних тиражів та один додатковий, що відбувається після основної п'ятої. З 100 000 серій у кожному основному тиражі виграють 170 серій, а в кожному додатковому – 230 серій. Знайдіть ймовірність виграшу однієї облігації за перші 10 років: а) в основному тиражі; б) у додатковому тиражі; в) у якомусь тиражі.

Завдання на класичне визначення імовірності.
Приклади рішень

На третьому уроці ми розглянемо різні завдання щодо безпосереднього застосування класичного визначення ймовірності. Для ефективного вивчення матеріалів цієї статті рекомендую ознайомитись із базовими поняттями теорії ймовірностейі основами комбінаторики. Завдання на класичне визначення ймовірності з ймовірністю, яка прагне одиниці, буде присутня у вашій самостійній/контрольній роботі по терверу, тому налаштовуємося на серйозну роботу. Ви запитаєте, чого тут серйозного? …всього одна примітивна формула . Застерігаю від легковажності – тематичні завдання досить різноманітні, і багато з них можуть поставити в безвихідь. У цьому зв'язку окрім опрацювання основного уроку, постарайтеся вивчити додаткові завдання на тему, що знаходиться в скарбничці готових рішень з вищої математики. Прийоми рішення прийомами рішення, а «друзів» все-таки «треба знати в обличчя», бо багата фантазія обмежена і типових завдань теж вистачає. Ну а я постараюся у високій якості розібрати максимальну їх кількість.

Згадуємо класику жанру:

Імовірність настання події в деякому випробуванні дорівнює відношенню , де:

– загальна кількість усіх рівноможливих, елементарнихрезультатів даного випробування, які утворюють повну групу подій;

– кількість елементарнихрезультатів, що сприяють події.

І відразу негайний піт-стоп. Чи зрозумілі вам підкреслені терміни? Мається на увазі чітке, а чи не інтуїтивне розуміння. Якщо ні, то все-таки краще повернутися до 1-ї статті за теорії ймовірностейі лише після цього їхати далі.

Будь ласка, не пропускайте перші приклади – у них я повторю один принципово важливий момент, а також розповім, як правильно оформлювати рішення та якими способами це можна зробити:

Завдання 1

У урні знаходиться 15 білих, 5 червоних та 10 чорних куль. Навмання витягується 1 куля, знайти ймовірність того, що вона буде: а) білим, б) червоним, в) чорним.

Рішення: найважливішою передумовою для використання класичного визначення ймовірності є можливість підрахунку загальної кількості результатів.

Всього в урні: 15 + 5 + 10 = 30 куль, і, очевидно, справедливі такі факти:

- Вилучення будь-якої кулі однаково можливе (рівноможливістьрезультатів), при цьому результати елементарні і утворюють повну групу подій (тобто в результаті випробування обов'язково буде витягнуто якусь одну з 30 куль).

Таким чином, загальна кількість результатів:

Розглянемо подію: – з урни буде вилучено білу кулю. Цій події сприяють елементарнихрезультатів, тому за класичним визначенням:
- Імовірність того, то з урни буде вилучено білу кулю.

Як не дивно, навіть у такому простому завданні можна допустити серйозну неточність, на якій я вже загострював увагу в першій статті з теорії ймовірностей. Де тут підводний камінь? Тут некоректно міркувати, що «якщо половина куль білі, то ймовірність вилучення білої кулі» . У класичному визначенні ймовірності йдеться про ЕЛЕМЕНТАРНИХрезультатах, і дріб слід обов'язково прописати!

З іншими пунктами аналогічно розглянемо такі події:

– з урни буде вилучено червону кулю;
- З урни буде витягнуто чорну кулю.

Події сприяє 5 елементарних наслідків, а події – 10 елементарних наслідків. Таким чином, відповідні ймовірності:

Типова перевірка багатьох завдань по терверу здійснюється за допомогою теореми про суму ймовірностей подій, що утворюють повну групу. У разі події утворюють повну групу, отже, сума відповідних ймовірностей повинна обов'язково дорівнювати одиниці: .

Перевіримо, чи це так: , у чому й хотілося переконатися.

Відповідь:

В принципі, відповідь можна записати і докладніше, але особисто я звик ставити туди тільки числа – тому, що коли починаєш «штампувати» завдання сотнями і тисячами, то прагнеш максимально скоротити запис рішення. До речі, про стислість: на практиці поширений «швидкісний» варіант оформлення рішення:

Усього: 15 + 5 + 10 = 30 куль в урні. За класичним визначенням:
- ймовірність того, що з урни буде вилучено білу кулю;
- ймовірність того, що з урни буде вилучено червону кулю;
- Імовірність того, то з урни буде вилучено чорну кулю.

Відповідь:

Однак якщо в умові кілька пунктів, то рішення найчастіше зручніше оформити першим способом, який забирає трохи більше часу, але все «розкладає по поличках» і дозволяє легше зорієнтуватися в задачі.

Розминаємось:

Завдання 2

До магазину надійшло 30 холодильників, п'ять із яких мають заводський дефект. Випадково вибирають один холодильник. Якою є ймовірність того, що він буде без дефекту?

Виберіть доцільний варіант оформлення та звіртеся зі зразком унизу сторінки.

У найпростіших прикладах кількість загальних і сприятливих результатів лежать лежить на поверхні, але найчастіше картоплю доводиться викопувати самостійно. Канонічна серія завдань про забудькуватого абонента:

Завдання 3

Набираючи номер телефону, абонент забув дві останні цифри, але пам'ятає, що одна з них – нуль, а інша – непарна. Знайти ймовірність, що він набере правильний номер.

Примітка : нуль – це парне число (ділиться на 2 без залишку)

Рішення: спочатку знайдемо загальну кількість результатів За умовою абонент пам'ятає, що одна з цифр – нуль, а інша цифра – непарна. Тут раціональніше не мудрувати з комбінаторикою і користуватися методом прямого перерахування результатів . Тобто при оформленні рішення просто записуємо всі комбінації:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

І підраховуємо їх – всього: 10 наслідків.

Сприятливий результат один: правильний номер.

За класичним визначенням:
- Імовірність того, що абонент набере правильний номер

Відповідь: 0,1

Десяткові дроби теорії ймовірностей виглядають цілком доречно, але можна дотримуватися і традиційного вышматовского стилю, оперуючи лише звичайними дробами.

Просунуте завдання для самостійного вирішення:

Завдання 4

Абонент забув пін-код до своєї сім-карти, проте пам'ятає, що він містить три «п'ятірки», а одна з цифр – чи то «сімка», чи то «вісімка». Якою є ймовірність успішної авторизації з першої спроби?

Тут ще можна розвинути думку про можливість того, що абонента чекає автомобіля у вигляді пук-коду, але, на жаль, міркування вже вийдуть за рамки даного уроку

Рішення та відповідь внизу.

Іноді перерахування комбінацій виявляється дуже кропітким заняттям. Зокрема, так справи в наступній, не менш популярній групі завдань, де підкидаються 2 гральні кубики. (рідше – велика кількість):

Завдання 5

Знайти ймовірність того, що при киданні двох гральних кісток у сумі випаде:

а) п'ять очок;
б) не більше чотирьох очок;
в) від 3 до 9 очок включно.

Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:

Способами може випасти грань 1-го кубика іспособами може випасти грань 2 кубика; по правилу множення комбінацій, всього: можливі комбінації. Іншими словами, кожнагрань 1-го кубика може становити упорядкованупару з кожноюгранню 2-го кубика. Умовимося записувати таку пару у вигляді , де цифра, що випала на 1-му кубику, - цифра, що випала на 2-му кубику. Наприклад:

- На першому кубику випало 3 очки, на другому - 5 очок, сума очок: 3 + 5 = 8;
- На першому кубику випало 6 очок, на другому - 1 очко, сума очок: 6 + 1 = 7;
– на обох кістках випало 2 очки, сума: 2+2=4.

Очевидно, що найменшу суму дає пара, а найбільшу – дві «шістки».

а) Розглянемо подію: – при киданні двох гральних кісток випаде 5 очок. Запишемо та підрахуємо кількість наслідків, які сприяють даній події:

Разом: 4 сприятливих результатів. За класичним визначенням:
- Шукана ймовірність.

б) Розглянемо подію: – випаде трохи більше 4 очок. Тобто або 2, або 3, або 4 очки. Знову перераховуємо і підраховуємо сприятливі комбінації, зліва я записуватиму сумарну кількість очок, а після двокрапки – відповідні пари:

Разом: 6 сприятливих комбінацій. Таким чином:
- Імовірність того, що випаде не більше 4 очок.

в) Розглянемо подію: – випаде від 3 до 9 очок включно. Тут можна піти прямою дорогою, але... щось не хочеться. Так, деякі пари вже перераховані в попередніх пунктах, але роботи все одно доведеться забагато.

Як краще вчинити? У подібних випадках раціональним виявляється манівець. Розглянемо протилежна подія: – випаде 2 або 10 або 11 чи 12 очок.

В чому сенс? Протилежній події сприяє значно менша кількість пар:

Разом: 7 сприятливих результатів.

За класичним визначенням:
- Імовірність того, що випаде менше трьох або більше 9 очок.

Крім прямого перерахування та підрахунку результатів, у ході також різні комбінаторні формули. І знову епічне завдання про ліфт:

Завдання 7

До ліфту 20-поверхового будинку на першому поверсі зайшли 3 особи. І поїхали. Знайти ймовірність того, що:

а) вони вийдуть на різних поверхах
б) двоє вийдуть одному поверсі;
в) усі вийдуть на одному поверсі.

Наше захоплююче заняття добігло кінця, і наостанок ще раз наполегливо рекомендую якщо не вирішувати, то хоча б розібратися в додаткові завдання на класичне визначення ймовірності. Як я вже зазначав, «набивання руки» теж має значення!

Далі по курсу – Геометричне визначення ймовірностіі Теореми складання та множення ймовірностейі ... везіння в головному!

Рішення та відповіді:

Завдання 2: Рішення: 30 – 5 = 25 холодильників немає дефекту.

- Імовірність того, що навмання обраний холодильник не має дефекту.
Відповідь :

Завдання 4: Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:
способами можна вибрати місце, на якому розташована сумнівна цифра і на кожномуз цих 4 місць можуть розташовуватися 2 цифри (сімка або вісімка). За правилом множення комбінацій, загальна кількість результатів: .
Як варіант, у рішенні можна просто перерахувати всі результати (благо їх небагато):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Сприятливий результат один (правильний пін-код).
Таким чином, за класичним визначенням:
- Імовірність того, що абонент авторизується з 1-ї спроби
Відповідь :

Завдання 6: Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:
способами можуть випасти цифри на 2 кубиках.

а) Розглянемо подію: – при кидку двох гральних кісток добуток очок дорівнюватиме семи. Для цієї події немає сприятливих результатів, за класичним визначенням ймовірності:
, тобто. ця подія є неможливою.

б) Розглянемо подію: – при кидку двох гральних кісток твір очок виявиться щонайменше 20. Цій події сприяють такі результаты:

Разом: 8
За класичним визначенням:
- Шукана ймовірність.

в) Розглянемо протилежні події:
– добуток очок буде парним;
– добуток очок буде непарним.
Перерахуємо всі результати, що сприяють події:

Разом: 9 сприятливих результатів.
За класичним визначенням ймовірності:
Протилежні події утворюють повну групу, тому:
- Шукана ймовірність.

Відповідь :

Завдання 8: Рішення: обчислимо загальну кількість результатів: способами можуть впасти десять монет.
Інший шлях: способами може впасти 1-а монета іспособами може впасти 2-а монета і … іспособами може впасти 10-та монета. За правилом множення комбінацій, 10 монет можуть впасти методами.
а) Розглянемо подію: – всіх монетах випаде орел. Цій події сприяє єдиний результат, за класичним визначенням ймовірності: .
б) Розглянемо подію: – на 9 монетах випаде орел, але в одній – решка.
Існує монети, на яких може випасти решка. За класичним визначенням ймовірності: .
в) Розглянемо подію: – орел випаде на половині монет.
Існує унікальних комбінацій із п'яти монет, на яких може випасти орел. За класичним визначенням ймовірності:
Відповідь :