Завдання з комбінаторики. Приклади рішень

Комбінаторика- це наука, з якою кожен зустрічається у повсякденному житті: скільки способів вибрати 3 чергові для прибирання класу або скільки способів скласти слово з цих літер. Загалом комбінаторика дозволяє обчислити, скільки різних комбінацій, згідно з деякими умовами, можна скласти із заданих об'єктів (однакових або різних).

Як наука комбінаторика виникла ще у 16 ​​столітті, а тепер її вивчає кожен студент (і найчастіше навіть школяр). Починають вивчення з понять перестановок, розміщень, поєднань (з повтореннями чи ні), на ці теми ви знайдете завдання і нижче. Найбільш відомі правила комбінаторики - правила суми та твори, які найчастіше застосовуються у типових комбінаторних завданнях.

Нижче ви знайдете кілька прикладів завдань із рішеннями на комбінаторні поняття та правила, які дозволять розібратися з типовими завданнями. Якщо є труднощі із завданнями - замовляйте контрольну по комбінаториці.

Калькулятори онлайн та приклади

Завдання з комбінаторики з рішеннями онлайн

Завдання 1.У мами 2 яблука та 3 груші. Щодня протягом 5 днів поспіль вона видає по одному фрукту. Скільки способами це може бути зроблено?

Завдання 2.Підприємство може надати роботу за однією спеціальністю 4 жінками, за іншою – 6 чоловіками, по третій – 3 працівниками незалежно від статі. Скільки способами можна заповнити вакантні місця, якщо є 14 претендентів: 6 жінок та 8 чоловіків?

Завдання 3.У пасажирському поїзді 9 вагонів. Скільки способами можна розсадити в поїзді 4 особи, за умови, що всі вони повинні їхати в різних вагонах?

Завдання 4.У групі 9 осіб. Скільки можна утворити різних підгруп за умови, що до підгрупи входить щонайменше 2 особи?

Завдання 5.Групу з 20 студентів потрібно розділити на 3 бригади, причому до першої бригади повинні входити 3 особи, до другої - 5 і до третьої - 12. Скільки способами це можна зробити.

Завдання 6.Для участі в команді тренер відбирає 5 хлопчиків із 10. Скільки способами він може сформувати команду, якщо 2 певні хлопчики повинні увійти в команду?

Завдання 7.У шаховому турнірі брали участь 15 шахістів, причому кожен із них зіграв лише одну партію з кожним із решти. Скільки всього партій було зіграно у цьому турнірі?

Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.

Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.

Перпендикулярний переріз (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ усіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ усіх основ та бічних граней (сума площі бічної поверхні та основ)
• Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
• Діагональ B 1 D
• Діагональ основи BD
• Діагональний переріз BB 1 D 1 D
• Перпендикулярний переріз A2B2C2D2.

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівні квадрати
• Підстави паралельні одна одній
• Боковими гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні основам
• Бічні ребра паралельні між собою та рівні
• Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічним ребрам і паралельно основам
• Кути перпендикулярного перерізу – прямі
• Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
• Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні до площин основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореня у розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі основи

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Автомобілі з механічною коробкою передач, яку скорочено називають МКПП, донедавна становили абсолютну більшість серед інших ТС з різними.

Більш того, механічна (ручна) коробка і сьогодні залишається досить поширеним пристроєм для зміни та передачі крутного моменту двигуна. Далі ми поговоримо про те, як влаштована та працює «механіка», як виглядає схема КПП даного типу, а також які переваги та недоліки має дане рішення.

Читайте у цій статті

Схема механічної коробки передач та особливості

Почнемо з того, що механічним даний тип КПП називається тому, що подібний агрегат передбачає ручне перемикання передач. Іншими словами, на машинах із МКПП передачі перемикає сам водій.

Ідемо далі. Коробка «механіка» є ступінчастою, тобто момент, що крутить, змінюється ступенями. Багато автолюбителів знають, що фактично коробка передач має шестерні та вали, проте не всі розуміють, як працює агрегат.

Отже, ступенем (вона ж передача) є пара шестерень (провідна та ведена шестерня), що взаємодіють між собою. Кожен такий ступінь забезпечує обертання з тією чи іншою кутовою швидкістю, тобто має своє передатне число.

Під передавальним числом слід розуміти відношення числа зубів веденої шестерні до зубів на провідній шестерні. При цьому різні ступені коробки одержують різні передавальні числа. Найнижчий ступінь (знижена передача) має найбільше передавальне число, а найвищий ступінь (підвищена передача) має найменше передавальне число.

Стає зрозуміло, що кількість щаблів дорівнює кількості передач на тій чи іншій коробці (чотириступінчаста КПП, п'ятиступінчаста і т.д.). Раніше 4-х ступінчасті механічні коробки поступово відійшли на задній план.

Влаштування механічної коробки передач

Отже, хоча конструкцій такої коробки з тими чи іншими особливостями може бути багато, проте на початковому етапі можна виділити два основні типи:

• тривальні КПП;
• двовальні коробки;

На автомобілі із заднім приводом зазвичай встановлюється тривальна механічна коробка передач, тоді як двовальна КПП ставиться на передньопривідні легкові авто. При цьому пристрій механічних коробок як першого, так і другого типу може помітно відрізнятися.

Почнемо з тривальної механічної коробки. Така коробка складається з:

• провідного валу, який ще називається первинним;
• проміжного валу КПП;
• веденого валу (вторинного);

На валах встановлені шестірні із синхронізаторами. Також пристрій КПП включений механізм перемикання передач. Зазначені складові елементи розташовані в корпусі коробки, який ще називають картером КПП.

Завданням провідного валу є створення з'єднання зі зчепленням. На провідному валу виконані шліци для веденого диска зчеплення. Що стосується моменту, що крутить, зазначений момент від провідного валу передається через шестерню, яка знаходиться з ним в жорсткому зачепленні.

Торкаючись роботи проміжного валу, цей вал розташовується паралельно до первинного валу КПП, на ньому встановлена ​​група шестерень, яка знаходиться в жорсткому зачепленні. У свою чергу ведений вал встановлений на одній осі з провідним валом.

Така установка реалізована за допомогою торцевого підшипника на провідному валу. У цей підшипник входить ведений вал. Група шестерень на веденому валу не має жорсткого зачеплення з самим валом і тому вільно обертається на ньому. При цьому група шестерень проміжного валу, веденого валу та шестерня ведучого валу знаходяться у постійному зачепленні.

Синхронізатори (муфти синхронізаторів) встановлені між шестернями веденого валу. Їх завданням є вирівнювання кутових швидкостей шестерень веденого валу з кутовою швидкістю самого валу за допомогою сили тертя.

Синхронізатори знаходяться в жорсткому зачепленні з веденим валом, а також мають можливість переміщатися по валу в поздовжньому напрямку завдяки наявності шліцевого з'єднання. Сучасні коробки мають муфти синхронізаторів на всіх передачах.

Якщо розглядати механізм перемикання передач на тривальних КПП, найчастіше цей механізм встановлений на корпусі агрегату. Конструкція включає важеля управління, повзуни і виделки.

Корпус коробки (картер) виготовлений з алюмінієвих або магнієвих сплавів, необхідний для встановлення валів із шестернями та механізмів, а також ряду інших деталей. Ще в картері коробки знаходиться трансмісійне масло (масло коробки передач).

• Щоб зрозуміти, як працює механічна (ручна) коробка передач тривального типу, давайте розглянемо принцип її дії. Коли важіль перемикання передач знаходиться в нейтральному положенні, передачі моменту, що крутить, від двигуна на провідні колеса автомобіля не відбувається.

Після того, як водій здійснить переміщення важеля, вилка перемістить муфту синхронізатора тієї чи іншої передачі. Потім синхронізатор вирівняє кутові швидкості потрібної шестерні та веденого валу. Потім зубчастий вінець муфти увійде в зачеплення з аналогічним вінцем шестірні, що забезпечить блокування шестірні на веденому валу.

Додамо, що задній хід автомобіля забезпечує задня передача КПП. У цьому випадку проміжна шестерня заднього ходу, встановлена ​​на окремій осі, дозволяє змінити напрямок обертання.

Двохвальна механічна коробка передач: пристрій та принцип роботи

Розібравшись з тим, з чого складається коробка передач із трьома валами, перейдемо до двовальних коробок. Даний тип КПП має у своєму пристрої два вали: первинний та вторинний. Первинний вал є провідним, вторинним веденим. На валах закріплені шестірні та синхронізатори. Також у картері коробки знаходиться головна передача та диференціал.

Ведучий вал відповідає за з'єднання зі зчепленням, також на валу знаходиться блок шестерень у жорсткому зачепленні з валом. Ведомий вал розташований паралельно ведучому, при цьому шестерні веденого валу в постійному зачепленні з шестернями ведучого валу, а також вільно обертаються на самому валу.

Також на веденому валу жорстко закріплюється провідна шестерня головної передачі, а між самими шестернями веденого валу розташовані муфти синхронізаторів. Додамо, щоб зменшити розміри КПП, а також збільшити кількість передач, в сучасних коробках нерідко замість одного веденого валу може бути встановлений 2 або навіть 3 вали.

На кожному такому валу жорстко закріплена шестерня головної передачі, при цьому така шестерня має жорстке зачеплення з шестернею. Виходить, конструкція практично реалізує три основні передачі.

Сама головна передача, а також диференціал у пристрої КПП здійснюють передачу моменту, що крутить, від вторинного валу на провідні колеса. При цьому диференціал може забезпечити таке обертання коліс, коли провідні колеса обертаються з різними кутовими швидкостями.

Щодо механізму перемикання передач, на двовальних КПП він винесений окремо, тобто за межі корпусу. Коробка пов'язана з механізмом перемикання тросами або спеціальними тягами. Найчастіше зустрічається з'єднання за допомогою тросів.

Сам механізм перемикання 2-х вальної коробки має важіль, який з'єднується тросами з важелем вибору та важелем включення передачі. Зазначені важелі з'єднуються із центральним штоком перемикання передач, який також має вилки.

• Якщо говорити про принцип роботи двовальної механічної коробки, він схожий на принцип тривальної КПП. Відмінності полягають у тому, як працює механізм перемикання передач. У двох словах, важіль може здійснювати як поздовжні, так і поперечні рухи щодо осі автомобіля. Під час поперечного руху відбувається вибір передачі, оскільки зусилля йде на трос вибору передач, який впливає на важіль вибору передач.

Далі важіль рухається поздовжньо, а зусилля йде вже на трос перемикання передач. Відповідний важіль горизонтально переміщує шток з вилками, вилка на штоку зміщує синхронізатор, що призводить до блокування шестерні веденого валу.

Насамкінець відзначимо, що також механічні коробки різних типів мають додаткові блокувальні пристрої, які перешкоджають включенню одночасно двох передач або непередбачуваного вимкнення передачі.

Читайте також

Вижимання зчеплення перед запуском мотора: коли потрібно вичавлювати зчеплення і в яких випадках робити це не рекомендується. Корисні поради та рекомендації.

Запам'ятайте, що обсяг прямокутного паралелепіпеда (або звичайної коробки) дорівнює добутку його довжини, ширини та висоти. Якщо ваша коробка має прямокутну або квадратну форму, вам потрібно лише дізнатися її довжину, ширину і висоту. Для отримання обсягу необхідно перемножити результати вимірювання. Формула розрахунку скороченому вигляді нерідко представляється так: V = Д x Ш x В.
Приклад завдання: "Якщо довжина коробки дорівнює 10 см, ширина – 4 см, а висота – 5 см, то який її об'єм?"
V = Д x Ш x В
V = 10 см x 4 см x 5 см
V = 200 см 3
"Висота" коробки може згадуватися як "глибина". Наприклад, у задачі могла бути зазначена наступна інформація: "Довжина коробки дорівнює 10 см, ширина – 4 см, а глибина – 5 см."

2
Виміряйте довжину коробки. Якщо подивитися на коробку зверху, то вона постане перед вашими очима у вигляді прямокутника. Довжиною коробки буде найдовша сторона цього прямокутника. Запишіть результат виміру цієї сторони як значення параметра "довжина".
Під час виконання вимірів обов'язково використовуйте єдині одиниці виміру. Якщо ви виміряли одну сторону в сантиметрах, то й інші сторони також необхідно виміряти в сантиметрах.

3
Виміряйте ширину коробки. Ширину коробки представлятиме інша, більш коротка, сторона видимого зверху прямокутника. Якщо візуально з'єднати вимірювані по довжині та ширині сторони коробки, то вони з'являться у вигляді літери "Г". Запишіть значення останнього виміру як "ширина".
Ширина - це завжди більш короткий бік коробки.

4
Виміряйте висоту коробки. Це останній параметр, який ви ще не виміряли. Він є відстанню від верхнього краю коробки до нижнього. Запишіть значення цього виміру як "висота".
Залежно від того, на який бік ви покладете коробку, конкретні сторони, які ви позначите "довжиною", "шириною" або "заввишки", можуть бути різними. Тим не менш, це не має жодного значення, вам лише потрібні результати вимірів трьох різних сторін.

5
Перемножте результати трьох вимірювань між собою. Як згадувалося, формула розрахунку обсягу виглядає так: V = Довжина x Ширина x Висота; тому для отримання обсягу необхідно просто перемножити усі три сторони. Обов'язково вкажіть у розрахунку використані вами одиниці виміру, щоб не забути, що саме означають отримані значення.

6
При позначенні одиниць виміру обсягу не забудьте вказати третій ступінь "3". Розрахований обсяг має цифровий вираз, але без правильної вказівки одиниць виміру ваші розрахунки будуть безглуздими. Для коректного відображення одиниць виміру обсягу їх слід зазначити у кубі. Наприклад, якщо всі сторони були виміряні в сантиметрах, то одиниці виміру об'єму будуть вказані як см3.
Приклад завдання: "Якщо ящик має довжину 2 м, ширину - 1 м, а висоту 3 м, то який його об'єм?"
V = Д x Ш x В
V = 2 м x 1 м x 4 м
V = 8 м 3
Примітка: Вказівка ​​кубічних одиниць об'єму дозволяє зрозуміти скільки таких кубів можна помістити всередину коробки. Якщо звернутися до попереднього прикладу, це означає, що в ящик поміщається вісім кубічних метрів.

Розрахунок обсягу коробок інших форм

Визначте об'єм циліндра. Циліндр є круглою трубкою з колами на обох кінцях. Для визначення об'єму циліндра використовується формула: V = π x r 2 x h, де π = 3,14, r – радіус круглої сторони циліндра, а h – його висота.
Для визначення обсягу конуса, або піраміди з круглою основою, використовується та сама формула, але помножена на 1/3. Тобто обсяг конуса розраховується за формулою: V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Визначте об'єм піраміди. Піраміда - це фігура, що має плоску основу і сходяться вгорі в одну точку сторони. Для визначення обсягу піраміди необхідно взяти 1/3 від добутку площі її основи на висоту. Тобто формула розрахунку виглядає так: Об'єм піраміди = 1/3 (Площа основи x Висота).
У більшості випадків піраміди мають квадратну або прямокутну основу. У такій ситуації площа основи розраховується множенням довжини основи на ширину.

Для визначення об'єму коробки складних форм складіть об'єми її частин. Наприклад, вам може знадобитися виміряти об'єм коробки, що має форму літери "Г". У такому випадку коробка матиме більше сторін, які необхідно виміряти. Якщо ви розіб'єте цю коробку на дві частини, то ви зможете стандартним чином виміряти об'єм цих двох частин, а потім скласти отримані значення. У випадку з коробкою у формі літери "Г", більш довгу частину можна розглядати як окрему довгу прямокутну коробку, а більш коротку – як приставлену до неї квадратну (або майже квадратну) коробку.
Якщо ваша коробка має дуже складні форми, то знайте, що є безліч способів визначення обсягу предметів будь-якої форми.

20? У скільки разкілометр більшеміліметра? ... двасудини ємністю 3 та 5 літрів, набрати 4 літри води? 7) Дан ... радіус) 78. Твердження, яке треба довести (теорема) 79. Саме менше... кола циркуль Об `ємодного... розрізняча Кордон кулісфера Незалежна...