Закон больцмана щодо розподілу частинок у зовнішньому потенційному полі. Ідеальний газ у зовнішньому гравітаційному полі Розподіл частинок на зовнішньому потенційному полі

Нехай ідеальний газ знаходиться у полі консервативних сил за умов теплової рівноваги. При цьому концентрація газу буде різною в точках із різною потенційною енергією, що необхідно для дотримання умов механічної рівноваги. Так, число молекул у одиничному обсязі nзменшується з видаленням від Землі, і тиск, через співвідношення P = nkTпадає.

Якщо відоме число молекул у одиничному обсязі, то відомо і тиск, і навпаки. Тиск і густина пропорційні один одному, оскільки температура в нашому випадку постійна. Тиск із зменшенням висоти повинен зростати, тому що нижньому шару доводиться витримувати вагу всіх розташованих зверху атомів.

Виходячи з основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії: P = nkT, замінимо Pі P 0у барометричній формулі (2.4.1) на nі n 0і отримаємо розподіл Больцмана для молярної маси газу:

Оскільки а , то (2.5.1) можна у вигляді

На малюнку 2.11 показано залежність концентрації різних газів від висоти. Видно, що кількість більш важких молекул з висотою меншає швидше, ніж легень.

Больцман довів, що співвідношення (2.5.3) справедливе у потенційному полі сил гравітації, а й у будь-якому потенційному полі, для сукупності будь-яких однакових частинок, що у стані хаотичного теплового руху.

Закон больцмана для розподілу частинок у зовнішньому потенційному полі

МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА ТА ТЕРМОДИНАМІКА

БОЛЬЦМАН (Boltzmann) Людвіг(1844-1906), австрійський фізик, один із засновників статистичної фізики та фізичної кінетики, іноземний член-кореспондент Петербурзької АН (1899). Вивів функцію розподілу, названу його ім'ям, та основне кінетичне рівняння газів. Дав (1872) статистичне обґрунтування другого початку термодинаміки. Вивів один із законів теплового випромінювання (закон Стефана – Больцмана).

Через хаотичний рух зміни в положенні кожної частинки (молекули, атома і т.д.) фізичної системи (макроскопічного тіла) носять характер випадкового процесу. Тому можна говорити про можливість виявити частинку в тій чи іншій області простору.

З кінематики відомо, що положення частинки у просторі характеризується її радіусом-вектором чи координатами.

Розглянемо ймовірність dW() виявити частинку в області простору значень радіуса-вектора, що визначається малим інтервалом , якщо фізична система знаходиться в стані термодинамічної рівноваги.

Векторний інтервал вимірюватимемо обсягом dV=dxdydz.

Щільність ймовірності (функція ймовірності розподілу значень радіусу-вектора)

Частка в даний момент часу реально десь знаходиться у зазначеному просторі, отже має виконуватися умова нормування:

Знайдемо функцію ймовірності розподілу часток f() класичного ідеального газу. Газ займає весь об'єм V і перебуває у стані термодинамічної рівноваги з температурою Т.

За відсутності зовнішнього силового поля, всі положення кожної частки рівноймовірні, тобто. газ займає весь об'єм з однаковою густиною. Тому f() = c onst.

Використовуючи умову нормування, знайдемо, що

Якщо число частинок газу N, то концентрація n = N/V.

Отже, f(r) = n/N.

Висновок: відсутність зовнішнього силового поля ймовірність dW() виявити частинку ідеального газу в обсязі dV не залежить від положення цього об'єму в просторі, тобто. .

Помістимо ідеальний газ у зовнішнє силове поле.

Внаслідок просторового перерозподілу частинок газу щільність ймовірності f() ¹ c onst.

Концентрація частинок газу n і його Р будуть різними, тобто. у межі де D N — середня кількість частинок обсягом D V і тиск у межі , де D F- абсолютне значення середньої сили, що діє нормально на майданчик D S.

Якщо сили зовнішнього поля є потенційними і діють в одному напрямку (наприклад, сила тяжіння Землі спрямована вздовж осі z), то сили тиску, що діють на верхнє dS 2 і нижнє dS 1 основи об'єму dV, не будуть рівними один одному (рис. 2.2) .

У цьому випадку різниця сил тиску dF на підставі dS 1 і dS 2 повинна бути компенсована дією сил зовнішнього поля.

Сумарна різниця сил тиску dF = nGdV,

де G – сила, що діє на одну частинку з боку зовнішнього поля.

Різниця сил тиску (за визначенням тиску) dF = dPdxdy. Отже, dP = nGdz.

З механіки відомо, що потенційна енергія частки у зовнішньому силовому полі пов'язана із силою цього поля співвідношенням .

Тоді різниця тисків на верхню та нижню основи виділеного об'єму dP = - n dW p .

У стані термодинамічної рівноваги фізичної системи її температура Т у межах обсягу dV скрізь однакова. Тому використовуємо рівняння стану ідеального газу тиску dP = kTdn.

Вирішивши спільно останні дві рівності отримаємо, що

- ndW p = kTdn або .

Після перетворень знайдемо, що

де ℓ n n o — стала інтегрування (n o — концентрації частинок там місці, де W p =0).

Після потенціювання, отримаємо

Висновок: у стані термодинамічної рівноваги концентрація (щільність) частинок ідеального газу, що знаходиться у зовнішньому силовому полі, змінюється за законом, що визначається формулою (2.11), яку називають розподілом Больцмана.

З урахуванням (2.11) функція ймовірності розподілу молекул у полі сили тяжіння набуває вигляду

Імовірність виявити частинку ідеального газу в обсязі dV, розташованого біля точки, що визначається радіусом-вектором, представимо у вигляді

Для ідеального газу тиск відрізняється від концентрації лише постійним множником kT (P=nkT).

Отже, для таких газів тиск

Застосуємо розподіл Больцмана до атмосферного повітря, що у полі тяжіння Землі.

До складу атмосфери Землі входять гази: азот – 78,1 %; кисень - 21%; аргон-0,9%. Маса атмосфери -5,15×10 18 кг. На висоті 20-25 км – шар озону.

Поблизу земної поверхні потенційна енергія частинок повітря на висоті h W p = m o gh , де m o маса частинки.

Потенційна енергія лише на рівні Землі (h=0) дорівнює нулю (W p =0).

Якщо в стані термодинамічної рівноваги частинки земної атмосфери мають температуру Т, то зміна тиску атмосферного повітря з висотою відбувається за законом

Формула (2.15) називається барометричною формулою; застосовується для розріджених сумішей газів.

Висновок: для земної атмосфери що важче газ, то швидше падає його тиск залежно від висоти, тобто. у міру збільшення висоти атмосфера має дедалі більше збагачуватися легкими газами. Через зміну температури атмосфера не перебуває у рівноважному стані. Отже, барометричну формулу можна застосовувати до малих ділянок, у яких зміни температури немає. Крім того, на нерівноважність земної атмосфери впливає гравітаційне поле Землі, яке не може утримати її поблизу поверхні планети. Відбувається розсіювання атмосфери і тим швидше, ніж слабше гравітаційне поле. Наприклад, земна атмосфера розсіюється досить повільно. За час існування Землі (

4-5 млрд. років) вона втратила малу частину своєї атмосфери (в основному легких газів: водню, гелію та ін.).

Гравітаційне поле Місяця слабше земного, тому він практично повністю втратив свою атмосферу.

Нерівноважність земної атмосфери можна довести в такий спосіб. Припустимо, що атмосфера Землі прийшла в стан термодинамічної рівноваги і в будь-якій точці її простору має постійну температуру. Застосуємо формулу Больцмана (2.11), де роль потенційної енергії виконує потенційна енергія гравітаційного поля Землі, тобто.

де g - гравітаційна стала; М з маса Землі; m o - Маса частки повітря; r – відстань частинки від центру Землі.

При r ® ¥ W p =0. Тому розподіл Больцмана (2.11) набуває вигляду

files.lib.sfu-kras.ru

11.2 Закон розподілу молекул ідеального газу у зовнішньому силовому полі

При розгляді кінетичної теорії газів та закону розподілу Максвелла передбачалося, що на молекули газу не діють жодні сили, за винятком ударів молекул. Тому молекули поступово розподіляються по всій посудині. Насправді молекули будь-якого газу завжди перебувають у полі тяжіння Землі. Внаслідок цього кожна молекула масою m відчуває дію сили тяжіння f = mg.

Виділимо горизонтальний елемент об'єму газу висотою dh та площею основи S (рис. 11.2). Вважаємо газ однорідним та температуру його постійною. Число молекул у цьому обсязі дорівнює добутку його об'єму dV = Sdh на число молекул в одиниці об'єму. Повна вага молекул у виділеному елементі дорівнює

Дія ваги dF викликає тиск, що дорівнює

мінус - т.к. зі збільшенням dh тиск зменшується. Відповідно до основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії

Прирівнюючи праві частини (11.2) та (11.3), отримуємо

або

Інтегруючи цей вираз у межах від до h (відповідно концентрація змінюється від до n):

отримаємо

Потенціюючи отриманий вираз, знаходимо

Показник ступеня при exp має множник , який визначає збільшення потенційної енергії молекул газу. Якщо перемістити молекулу з рівня до рівня h, зміна її потенційної енергії буде

Тоді рівняння для концентрації молекул перетворюється на вигляд

Це рівняння відображає загальний закон Больцмана та дає розподіл числа частинок залежно від їхньої потенційної енергії. Він застосовується до будь-якої системи частинок, що знаходяться в силовому полі, наприклад, в електричному.

physics-lectures.ru

Розподіл Больцмана

Нічого не зрозуміло?

Спробуй звернутися за допомогою до викладачів

Припустимо, що газ знаходиться у зовнішньому потенційному полі. У такому разі молекула газу маси $m_0\ ,$ що рухається зі швидкістю $\overrightarrow \ $має енергію $_p$, яка виражається формулою:

Імовірність ($dw$) знаходження цієї частки у фазовому обсязі $dxdydzdp_xdp_ydp_z$ дорівнює:

Щільності ймовірності координат частки та її імпульсів незалежні, отже:

Формула (5) дає розподіл Максвелла для швидкостей молекул. Розглянемо уважніше вираз (4), що призводить до розподілу Больцмана. $dw_1\left(x,y,z\right)$ - щільність ймовірності знаходження частки в обсязі $dxdydz$ поблизу точки з координатами $\left(x,y,z\right)$. Вважатимемо, що молекули газу незалежні й у виділеному обсязі газу n частинок. Тоді за формулою складання ймовірностей отримаємо:

Коефіцієнт $A_1$ перебуває з умови нормування, яке у разі випадку означає, що у виділеному обсязі n частинок:

Що таке розподіл Больцмана

Розподілом Больцмана називають вираз:

Вираз (8) задає просторовий розподіл концентрації частинок залежно від їхньої потенційної енергії. Коефіцієнт $A_1$ не обчислюють, якщо необхідно знати лише розподіл концентрації частинок, а чи не їх кількість. Припустимо, що у точці ($x_0,y_ z_0$) задана концентрація $n_0$=$n_0$ $(x_0,y_ z_0)=\frac $, потенційна енергія в тій же точці $U_0=U_0\left(x_0,y_ z_0\right).$ Позначимо концентрацію частинок у точці (x,y,z) $n_0\ \left(x,y,z\right).\ $Підставимо дані у формулу (8), отримаємо для однієї точки:

для другої точки:

Виразимо $A_1$ з (9), підставимо в (10):

Найчастіше розподіл Больцмана використовують саме як (11). Особливо зручно підібрати нормування, при якому $ U_0 \ left (x, y, z \ right) = 0 $.

Розподіл Больцмана у полі сил тяжіння

Розподіл Больцмана в полі сил тяжкості можна записати в наступному вигляді:

де $U\left(x,y,z\right)=m_0gz$ — потенційна енергія молекули маси $m_0$ у полі тяжкості Землі, $g$ — прискорення вільного падіння, $z$ — висота. Або для густини газу розподіл (12) запишеться як:

Вираз (13) називають барометричною формулою.

При виведенні розподілу Больцмана жодних обмежень маси частки не застосовувалося. Отже, воно можна застосувати і для важких частинок. Якщо маса частки велика, показник експоненти швидко змінюється з висотою. Таким чином, сама експонента швидко прагне нуля. Для того, щоб важкі частинки «не осіли на дно», необхідно, щоб їхня потенційна енергія була малою. Це досягається в тому випадку, якщо частинки поміщають, наприклад, щільну рідину. Потенційна енергія частки U(h) на висоті h зважена в рідині:

де $V_0$-об'єм частинок, $\rho $- щільність частинок, $_0$ - щільність рідини, h - відстань (висота) від дна судини. Отже, розподіл концентрації частинок зважених у рідині:

Для того, щоб ефект був помітний, частки мають бути малі. Візуально цей ефект спостерігають мікроскопом.

Лінь читати?

Задай питання фахівцям та отримай
відповідь вже за 15 хвилин!

Середня довжина вільного пробігумолекули дорівнює відношенню шляху, пройденого молекулою за 1 с, до зіткнень, що відбулися за цей час: = / =1/(42r 2 n 0).

24.Внутрішня енергія ідеального газу.

Внутрішня енергія– це сума енергій молекулярних взаємодій та енергії теплового руху молекул.

Внутрішня енергія системи залежить від її стану і є однозначною функцією стану.

Внутрішня енергіяідеального газу пропорційна масі газу та його термодинамічній температурі.

Робота газу під час розширення.

Нехай у циліндрі під поршнем знаходиться газ, що займає об'єм V під тиском p. Площа поршня S. Сила, з якою газ тисне поршень, F=pS. При розширенні газу поршень розуміється на висоту dh, у своїй газ здійснює роботу A=Fdh=pSdh. Але Sdh=dV – збільшення обсягу газу. Отже, елементарна робота A=pdV. Повну роботу A, що здійснюється газом при зміні його обсягу від V1 до V2 знайдемо інтегруванням

Результат інтегрування залежить від процесу, що протікає у газах.

При изохорном процесі V=const, отже, dV=0 і A=0.

При ізобарному процесі p=const, тоді

Робота при ізобарному розширенні газу дорівнює добутку тиску газу збільшення обсягу.

При ізотермічному процесі T=const. p=(mRT)/(MV).

Кількість теплоти.

Енергія, передана газу шляхом теплообміну, називається кількістю теплоти Q.

При повідомленні системі нескінченно малої кількості теплоти Q його температура зміниться на dT.

26. ТеплоємністюЗ системи називають величину, що дорівнює відношенню повідомленої системі кількості теплоти Q до зміни температури dT системи: C=Q/dT.

Розрізняють питому теплоємність(теплоємність 1 кг речовини) c=Q/(mdT) та молярну теплоємність(Теплоємність 1 моль речовини) c = Mc.

При різних процесах, які у термодинамічних системах, теплоємності будуть різні.

23. Барометрична формула. Розподіл Больцмана для частинок у зовнішньому потенційному полі.

закон зміни тиску з висотою, припускаючи, що поле тяжіння однорідне, температура постійна і маса всіх молекул однакова

Вираз (45.2) називається барометричною формулою.Вона дозволяє знайти атмосферний тиск залежно від висоти або, вимірявши тиск, знайти висоту: Так як висоти позначаються щодо рівня моря, де тиск вважається нормальним, то вираз (45.2) може бути записаний у вигляді

де р -тиск на висоті h.

Барометричну формулу (45.3) можна перетворити, якщо скористатися виразом (42.6) p= nkT:

де n- Концентрація молекул на висоті h, n 0 – те саме, на висоті h= 0. Оскільки M = m 0 N A ( N A – постійна Авогадро, т 0 – маса однієї молекули), a R= kN A , то

де m 0 gh=П - потенційна енергія молекули у полі тяжіння, тобто.

Вираз (45.5) називається розподілом Больцманадля зовнішнього потенційного поля. З вето випливає, що при постійній температурі щільність газу більша там, де менша потенційна енергія його молекул.

Якщо частинки мають однакову масу і перебувають у стані хаотичного теплового руху, то розподіл Больцмана (45.5) справедливий у будь-якому зовнішньому потенційному полі, а чи не лише полі сил тяжкості.

24. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями свободи. Число ступенів свободи. Середня кінетична енергія теплового руху молекул.

Це є закон Больцмана про рівномірний розподіл середньої кінетичної енергії за ступенями свободи. Молекули можна як системи матеріальних точок (атомів) здійснюють як поступальний, і обертальний руху. При русі точки прямої лінії з метою оцінки її становища необхідно знати одну координату, тобто. точка має один ступінь свободи. Якщо точка руху площиною, її положення характеризується двома координатами; при цьому точка має два ступені свободи. Положення точки у просторі визначається 3 координатами. Число ступенів свободи зазвичай позначають літерою i. Молекули, які складаються із звичайного атома, вважаються матеріальними точками та мають три ступені свободи (аргон, гелій). Середня кінетична енергія молекул газу (в розрахунку на одну молекулу) визначається виразом Кінетична енергія поступального руху атомів і молекул, усереднена за величезною кількістю часток, що безладно рухаються, є мірилом того, що називається температурою. Якщо температура T вимірюється в градусах Кельвіна (К), то зв'язок її з Ek дається співвідношенням З рівнянь (6) і (7) можна визначити значення середньоквадратичної швидкості молекул Внутрішня енергія ідеального газу дорівнює сумі кінетичних енергій всіх частинок газу, що знаходяться в безперервному та безладному тепловому русі. Звідси випливає закон Джоуля, який підтверджують численні експерименти. Внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від його температури і не залежить від обсягу Молекулярно-кінетична теорія призводить до наступного виразу для внутрішньої енергії одного моля ідеального одноатомного газу (гелій, неон та ін), молекули якого здійснюють тільки поступальний рух: Оскільки потенційна енергія взаємодії молекул залежить від відстані між ними, в загальному випадку внутрішня енергія тіла U поряд з температурою T також і від об'єму V: U = U (T, V). Вважається, що внутрішня енергія є функцією стану.

Розглянемо вертикальний стовп повітря біля Землі (рис. 10.2). Якщо висота стовпа порівняно невелика (не перевищує кількох сотень метрів), густина газу та кількість молекул в одиниці об'єму (концентрація) будуть приблизно однаковими. Однак, якщо висота стовпа близько кілометра і більше, рівномірність розподілу молекул по висоті порушується дією сили тяжіння, що прагне сконцентрувати молекули на поверхні Землі. Внаслідок цього щільність повітря та атмосферний тиск будуть спадати в міру віддалення від поверхні Землі.

Визначимо закон зміни тиску з висотою (знайдемо барометричну формулу).

Барометрична формулапоказує, як залежить атмосферний тиск Pвід висоти hнад поверхнею Землі. Нехай біля Землі на висоті
тиск
. Тиск відомо. Потрібно знайти зміну тиску з висотою .

При висновку припускаємо, що температура газу залишається постійною. Виділимо над поверхнею Землі циліндричний стовп газу (повітря) із перетином . Розглянемо шар газу нескінченно малої товщини
, що знаходиться на висоті від основи стовпа.

Різниця сил
, що діють на верхню і нижню основу шару, що дорівнює вазі газу, укладеного в даному шарі, тобто.

Безмежно мала маса
газу у шарі обчислюється за формулою

де
- Об'єм шару газу.

Тоді
, де - Щільність газу; - Прискорення сили тяжіння.

Різниця тисків на обидва підстави шару:

І ще треба поставити знак мінус

, (10.12)

тому що знак мінус має фізичний сенс. Він показує, що тиск газу зменшується з висотою. Якщо піднятися на висоту
, то тиск газу зменшиться на величину
.

Щільність газу знаходимо з рівняння Менделєєва – Клапейрона.

;

,
.

Підставимо вираз
у (10.12), маємо

Це диференціальне рівняння з змінними, що розділяються:

Інтегруємо:

Отримаємо барометричну формулу

(10.13)

На рис. 10.3 показано графіки залежності тиску з висотою для двох значень температури T 1 та T 2 (T 2 >T 1). Зі зміною температури газу тиск P 0 біля Землі залишається незмінним, т.к. воно дорівнює вазі розташованого над земною поверхнею вертикального стовпа газу одиничної площі основи та необмеженого по висоті. Вага газу від температури не залежить.

З барометричної формули дуже легко отримати розподіл Больцмана для випадку, коли зовнішнім впливом газ є сила земного тяжіння.

Тиск газу на висоті прямо пропорційно числу молекул в одиниці об'єму на цій висоті,
,- Концентрація молекул на висоті , а
, - Концентрація молекул газу на висоті
.

Деякі уявлення про розподіл молекул відразу ж випливають із хаотичності теплового руху. Це стосується розподілу молекул за напрямками швидкостей або розподілу молекул за обсягом для випадку, коли на газ не діють будь-які сили. Проте є безліч випадків, котрим заздалегідь не очевидні наслідки припущення про хаотичність теплового руху.

Насамперед виникає питання про розподіл молекул за величинами швидкостей. Який відсоток швидких, середніх за швидкістю, повільних молекул? Далі, може постати завдання: знайти, як зміниться рівномірний розподіл молекул за щільностями при внесенні газу в поле сил, скажімо, в полі тяжкості, або в електричне або магнітне поле, якщо молекули мають електричні або магнітні властивості. На ці та подібні питання! відповідає закон

Больдман, який можна вивести, використовуючи апарат теорії ймовірностей.

Розглянемо невеликий обсяг простору – кубик зі сторонами побудований у точці Нехай у цьому кубику знаходиться значна кількість молекул. Серед них ми відберемо ті, які мають компоненти швидкості, що лежать в межах від до від і від Величини такі, щоб у зазначеному інтервалі швидкостей знаходилася велика кількість молекул. Це потрібно для того, щоб до цих малих обсягів можна було застосовувати закони статистичної фізики (фізично нескінченно малі обсяги). Надалі будемо говорити про такі молекули, що вони володіють координатами навколо і швидкостями під. Ще раз підкреслимо, що говорити про кількість молекул, що мають точно задану швидкість, не можна, оскільки можливість зустріти таку молекулу дуже мала. Так як кінетична енергія молекули визначається значенням швидкості, а потенційна енергія молекули у зовнішньому полі залежить від координат молекули у просторі, то всі виділені нами молекули мають практично одну й ту саму енергію

Закон Больцмана, обгрунтування якого слід шукати в курсах теоретичної фізики, дає загальний вираз для числа молекул, що володіють координатами і швидкостями у це число одно

тут А - постійна, яка може бути знайдена для конкретного завдання, абсолютна постійна температура Больцмана.

Енергія, що входить в експоненту, є сумою кінетичної енергії поступального руху молекули та її потенційної енергії у зовнішньому полі.

Формула поширюється і на випадок, коли молекула має інші форми енергії, наприклад обертальної або коливальної. Тоді ці складові енергії треба внести до

Закон Больцмана, або, як ще кажуть, розподіл Больцмана, показує, що найбільшій енергії відповідає найменша кількість частинок, швидкості та координати яких лежать у заданому інтервалі.

Закон Больцмана ми застосуємо для вирішення двох важливих питань, що стосуються розподілу частинок з висотою та розподілу молекул за швидкостями.

Розподіл Больцмана для частинок у зовнішньому потенційному полі

Газ, на який не діє зовнішнє силове поле, рівномірно заповнює об'єм, в якому він знаходиться завдяки хаотичності теплового руху молекул. Якщо на молекули газу діють зовнішні сили, то концентрація газу не буде однаковою у всіх точках об'єму. Розглянемо як приклад атмосферний газ, що у полі земного тяжіння. Якби не було теплового руху, то всі молекули атмосфери опустилися б на поверхню Землі під дією сил тяжіння і земна атмосфера не могла б існувати. Однак цьому перешкоджає хаотичний рух молекул, що сприяє зворотному процесу - прагненню атмосферного газу розсіятися та заповнити рівномірно весь Всесвіт. Отже, атмосфера Землі може існувати за рахунок цих двох факторів у деякому рівноважному стані, при якому її щільність, концентрація молекул та тиск залежатимуть від просторових координат.

Знайдемо закон зміни цих величин, залежно від висоти над поверхнею Землі. Вважатимемо, що газ перебуває у стані термодинамічної рівноваги і його температура всюди однакова. Виділимо деякий стовп газу, що має форму циліндра, площею поперечного перерізу s, і направимо вісь zвздовж стовпа у напрямку від Землі. Встановимо початок відліку координати zна Землі (рис. 19.3).

Виділимо на висоті zелементарний шар стовпа газу завтовшки dzі скористаємося тим, що цей шар, як і весь стовп, перебуває у стані механічної рівноваги. Це означає, що рівнодіюча всіх сил, що діють на шар, дорівнює нулю. З рис. 19.3 видно, що рівнодіюча складається з трьох сил: дві сили тиску F H та F B , що діють на нижню і верхню основу шару, і сила тяжіння dPсамого шару. Позначимо тиск газу в точках нижньої основи p, а в точках верхньої основи р+ dp.Тоді

F H = pS;F B = (p + dp) S; dP =ρ gSdz,

де ρ – щільність шару повітря.

З урахуванням напрямку сил умова рівноваги шару запишеться у вигляді

F B + dP = F H (18.28)

(р+ dp) S+ ρ gSdz = pS.(18.29)

Розкривши в (18.29) дужки, отримаємо диференціальне рівняння

dp = -ρ gdz.(18.30)

З рівняння Клапейрона - Менделєєва слід, що щільність газу пов'язані з тиском формулою

де т а- Маса молекули газу.

Використовуючи (18.31), перетворюємо диференціальне рівняння (18.30) на вигляд

. (18.32)

Інтегруючи це рівняння за висотою від 0 до z, отримуємо

, (18.33)

де ln p 0- Постійна інтегрування.

Потенціюючи (18.33), маємо

З (18.34) видно, що р 0має сенс тиску атмосфери лежить на поверхні Землі, де z = 0.

Отримане рівняння визначає залежність тиску атмосфери поблизу Землі від висоти над рівнем моря. Як і слід очікувати, зі збільшенням висоти тиск зменшується. Відповідно до формули (18.34), яка називається барометричною, це зменшення підпорядковується експоненційному закону. Вимірюючи тиск барометру, проградуйованому відповідно до барометричної формулою, можна визначити висоту об'єкта над поверхнею Землі. Такий пристрій називається альтиметром і широко застосовується в авіації.

Використовуючи барометричну формулу, легко встановити закон розподілу концентрації молекул за висотою hнад поверхнею Землі. З цією метою скористаємось рівнянням стану ідеального газу p = nkT.У цій формулі тиск рта концентрація молекул пзалежить від висоти, тоді як температура Тпостійна відповідно до припущення, що газ перебуває у стані термодинамічної рівноваги. З рівняння стану та барометричної формули для концентрації пна висоті hвитікає:

, (18.35)

де n 0- концентрація молекул повітря при h= 0.

Звернувши увагу на те, що до показника експоненти у правій частині (18.35) входить потенційна енергія молекули у поле сили тяжіння W ПОТ = m a gh,перепишемо (18.35) у вигляді

. (18.36)

Виявляється, що вираз (18.36) для розподілу молекул має загальний характер і справедливий для частинок, що знаходяться у зовнішньому потенційному полі будь-якого виду. Цей розподіл називається розподілом Больцмана.

У розподілі Больцмана (18.36) під n 0слід розуміти концентрацію молекул у точці поля, де їх потенційна енергія дорівнює нулю, W ПОТ= 0, а пє концентрацією молекул у точці, де їх потенційна енергія дорівнює W ПОТ.

Як відомо, щільність газу ρ прямо пропорційна концентрації молекул п.Тому, використовуючи (18.35), неважко показати, що розподіл густини повітря в атмосфері Землі описуватиметься виразом:

, (18.37)

де М- молярна маса газу.

З (18.34), (18.35) та (18.37) випливає, що в атмосфері Землі р, пі ρ повітря зменшуються однаково зі збільшенням висоти.

Враховуючи, що концентрація пза визначенням дорівнює , де dN- Число молекул в елементарному обсязі dV, можна уявити розподіл Больцмана у формі