Закон збереження імпульсу виконується за умови. Умови застосування закону збереження імпульсу

Застосуємо закон збереження імпульсу завдання про віддачі гармати. Спочатку, до пострілу, як гармата (маси), так і снаряд (маси) ) спочивають. Отже, сумарний імпульс системи гармата-снаряд дорівнює нулю (у формулі (50.1) можна покласти рівними до нуля швидкості і ). Після пострілу гармата та снаряд отримають швидкості та відповідно. Сумарний імпульс після пострілу також повинен дорівнювати нулю, згідно із законом збереження імпульсу. Таким чином, безпосередньо після пострілу буде виконано рівність

Або

звідки випливає, що гармата отримає швидкість, у стільки разів меншу за швидкість снаряда, у скільки разів маса гармати більша за масу снаряда; знак мінус вказує на протилежність напрямків швидкостей гармати та снаряда. Цей результат було вже нами отримано іншим способом § 48.

Ми бачимо, що завдання вдалося вирішити, не з'ясовуючи навіть, які сили протягом якого часу діяли на тіла системи; ці відомості були б потрібні, якби ми обчислювали швидкість гармати за допомогою другого закону Ньютона. До закону збереження імпульсу сили взагалі не входять. Ця обставина дозволяє вирішувати простим способом багато завдань, переважно такі, де ми цікавимося не процесом взаємодії тіл системи, а лише остаточним результатом цієї взаємодії, як у прикладі з пострілом з гармати. Звичайно, якщо сили невідомі, то повинні бути задані інші величини, що відносяться до руху. У цьому прикладі, щоб можна було визначити швидкість гармати, треба було знати швидкість снаряда після пострілу.

Якщо виміряно час взаємодії гармати зі снарядом, можна знайти середню силу, що діяла на снаряд. Якщо цей час дорівнював, то середня сила дорівнювала . Така сама по модулю середня сила (але протилежно спрямована) діяла і гармату.

Розглянемо ще одне дуже важливе завдання, яке можна вирішити, користуючись законом збереження імпульсу. Це - завдання про непружному зіткненнідвох тіл, тобто про випадок, коли тіла після зіткнення рухаються з однією і тією ж швидкістю, як це відбувається, наприклад, при зіткненні двох грудок м'якої глини, які, зіткнувшись, злипаються і продовжують рух спільно.

Мал. 74. Складання імпульсів при непружному зіткненні двох тіл

Нехай тіло маси мало до зіткнення швидкість, а тіло маси мало до зіткнення швидкість . Нехай зовнішніх сил немає. Після зіткнення обидва тіла рухатимуться разом із деякою швидкістю , яку і потрібно знайти. Сумарний імпульс тіл легко знайти шляхом векторного додавання, як це показано на рис. 74. Доданки вектори - імпульси кожного з тіл до зіткнення. Шукана ж швидкість вийде шляхом поділу сумарного імпульсу тіл на їх сумарну масу:

(51.1)

Якщо до зіткнення тіла рухалися по одній прямій, то після зіткнення вони рухатимуться по тій самій прямій. Приймемо цю пряму за вісь та спроектуємо швидкості на цю вісь. Тоді формула (51.1) перетвориться на скалярну формулу:

(51.2)

Кожна з проекцій у цій формулі дорівнює модулю відповідного вектора, взятому зі знаком плюс, якщо вектор спрямований по осі, і зі знаком мінус, якщо напрям вектора протилежний напрямку осі (пор. формулою (49.3)).

51.1. Людина маси 60 кг, що біжить уздовж рейок зі швидкістю 6 м/с, встрибує на нерухомий візок маси 30 кг, що стоїть на рейках, і зупиняється на візку. З якою швидкістю візок почне котитися рейками?

Його рухи, тобто. величина.

Імпульс- Векторна величина, що збігається у напрямку з вектором швидкості .

Одиниця виміру імпульсу в системі СІ: кг м/с .

Імпульс системи тіл дорівнює векторній сумі імпульсів усіх тіл, що входять до системи:

Закон збереження імпульсу

Якщо на систему тіл, що взаємодіють, діють додатково зовнішні сили, наприклад, то в цьому випадку справедливе співвідношення, яке іноді називають законом зміни імпульсу:

Для замкнутої системи (за відсутності зовнішніх сил) справедливий закон збереження імпульсу:

Дія закону збереження імпульсу можна пояснити явище віддачі при стрільбі з гвинтівки або при артилерійській стрільбі. Також дія закону збереження імпульсу є основою принципу роботи всіх реактивних двигунів.

При вирішенні фізичних завдань законом збереження імпульсу користуються, коли знання всіх деталей руху не потрібно, а важливим є результат взаємодії тіл. Такими завданнями, наприклад, є завдання про зіткнення або зіткнення тел. Законом збереження імпульсу користуються при розгляді руху тіл змінної маси, таких як ракети-носії. Більшість маси такої ракети становить паливо. На активній ділянці польоту це паливо вигоряє, і маса ракети на цій ділянці траєкторії швидко зменшується. Також закон збереження імпульсу необхідний у випадках, коли поняття . Важко собі уявити ситуацію, коли нерухоме тіло набуває деякої швидкості миттєво. У звичайній практиці тіла завжди розганяються та набирають швидкість поступово. Однак при русі електронів та інших субатомних частинок зміна їхнього стану відбувається стрибком без перебування у проміжних станах. У разі класичне поняття «прискорення» застосовувати не можна.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2

ПРИКЛАД 3

Почну з кількох визначень, без знання яких подальший розгляд питання буде безглуздим.

Опір, який чинить тіло при спробі привести його в рух або змінити його швидкість, називається інертністю.

Міра інертності – маса.

Таким чином можна зробити такі висновки:

1. Чим більша маса тіла, тим більше воно чинить опір силам, які намагаються вивести його зі стану спокою.
2. Чим більша маса тіла, тим більше воно чинить опір силам, які намагаються змінити його швидкість, якщо тіло рухається рівномірно.

Резюмуючи, можна сказати, що інертність тіла протидіє спробам надати тілу прискорення. А маса є показником рівня інертності. Чим більша маса, тим більшу силу потрібно застосувати для на тіло, щоб надати йому прискорення.

Замкнена система (ізольована)– система тіл, на яку не впливають інші тіла, що не входять до цієї системи. Тіла в такій системі взаємодіють лише між собою.

Якщо хоча б одна з двох умов вище не виконується, то замкнуту систему назвати не можна. Нехай є система, що складається з двох матеріальних точок, що мають швидкості і відповідно. Уявімо, що між точками відбулася взаємодія, внаслідок якої швидкості точок змінилися. Позначимо через збільшення цих швидкостей за час взаємодії між точками . Вважатимемо, що прирощення мають протилежні напрями та пов'язані співвідношенням . Ми знаємо, що коефіцієнти не залежать від характеру взаємодії матеріальних точок — це підтверджено безліччю експериментів. Коефіцієнти є характеристиками самих точок. Ці коефіцієнти називаються масами (інертними). Наведене співвідношення для збільшення швидкостей і мас можна описати наступним чином.

Відношення мас двох матеріальних точок дорівнює відношенню прирощень швидкостей цих матеріальних точок внаслідок взаємодії між ними.

Подане вище співвідношення можна подати в іншому вигляді. Позначимо швидкості тіл до взаємодії як і, а після взаємодії — і . У цьому випадку збільшення швидкостей можуть бути представлені в такому вигляді - і . Отже, співвідношення можна записати так.

Імпульс (кількість енергії матеріальної точки)- Вектор рівний добутку маси матеріальної точки на вектор її швидкості -

Імпульс системи (кількість руху системи матеріальних точок)- Векторна сума імпульсів матеріальних точок, з яких ця система складається - .

Можна дійти невтішного висновку, що у разі замкнутої системи імпульс до і після взаємодії матеріальних точок має залишитися тим самим — , де і . Можна сформулювати закон закон збереження імпульсу.

Імпульс ізольованої системи залишається незмінним у часі, незалежно від взаємодії між ними.

Необхідне визначення:

Консервативні сили – сили, робота яких залежить від траєкторії, а зумовлена ​​лише початковими і кінцевими координатами точки.

Формулювання закону збереження енергії:

У системі, у якій діють лише консервативні сили, повна енергія системи залишається незмінною. Можливі лише перетворення потенційної енергії на кінетичну і назад.

Потенційна енергія матеріальної точки є лише функцією координат цієї точки. Тобто. потенційна енергія залежить від положення точки у системі. Отже сили , що діють точку, можна визначити так: можна визначити так: . - Потенційна енергія матеріальної точки. Помножимо обидві частини на та отримаємо . Перетворимо і отримаємо вираз доказуючий закон збереження енергії .

Пружні та непружні зіткнення

Абсолютно непружний удар - Зіткнення двох тіл, в результаті якого вони з'єднуються і далі рухаються як одне ціле.

Дві кулі, з і відчувають абсолютно непружний дар один з одним. За законом збереження імпульсу. Звідси можна виразити швидкість двох куль, що рухаються після зіткнення як єдине ціле. . Кінетичні енергії до та після удару: і . Знайдемо різницю

,

де – наведена маса куль . Звідси видно, що з абсолютно непружному зіткненні двох куль відбувається втрата кінетичної енергії макроскопічного руху. Ця втрата дорівнює половині добутку наведеної маси на квадрат відносної швидкості.

Закон збереження імпульсує наслідком законів Ньютона і застосовується визначення миттєвих швидкостей тіл після їх взаємодії.

Імпульсом тіла (матеріальної точки) називається векторна фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість p -> = mϑ -> , де m – маса тіла, ϑ -> – миттєва швидкість. Імпульсом системи тіл називається векторна сума імпульсів тіл p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + … + p n -> .

Згідно з першим законом Ньютона, якщо тіла не взаємодіють, зберігається імпульс кожного тіла та імпульс кількох тіл, що входять до системи. При взаємодії всередині системи між тілами виникають пари сил рівні за величиною і протилежні за напрямом, згідно з третім законом Ньютона.

Векторна фізична величина, що є мірою дії сили протягом деякого проміжку часу, називається імпульсом сили і позначається F -> Δt.З другого закону Ньютона у разі дії однієї сили та визначення прискорення випливає F -> = ma -> , a -> = ( ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

F -> = m( ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = m ϑ -> - m ϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

Це рівняння є законом збереження імпульсу імпульсної формі.Імпульс сили (рівнодіючої) дорівнює зміні імпульсу тіла (матеріальної точки). У замкнутій системі взаємодії відбуваються попарно, причому імпульс одного тіла змінюється на величину F 21 -> Δt, імпульс другого на F 12 -> Δt, де F 12 -> - сила, що діє з боку першого тіла на друге і F 21 -> - сила, що діє з боку другого тіла на перше.

Замкнутою назвемо систему тіл, що взаємодіють лише між собою.

Імпульс першого тіла змінюється на величину F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt, імпульс другого тіла змінюється на величину F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. Але імпульс системи тіл залишається постійною величиною

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> , оскільки F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0, оскільки F 12 -> = -F 21 -> .

При будь-якій взаємодії двох тіл усередині замкнутої системи імпульс усієї системи не змінюється. Сформулюємо закон збереження імпульсу.

Векторна сума імпульсів тіл, що взаємодіють, що становлять замкнуту систему, залишається незмінною.

При використанні закону збереження імпульсу в задачі робимо два схематичні малюнки, показуючи стан системи тіл до і після взаємодії. Для розв'язання векторних рівнянь вибираємо однакові системи координат.

Завдання 1. Непружний удар.

Вагон масою 30 т рухається зі швидкістю 4 м/с і стикається з нерухомою платформою масою 10 т. Знайти швидкість вагона та платформи після того, як спрацює автозчеп.

Рішення.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1 ϑ 1 -> = (M1 + M2) ϑ ->

ОХ: M 1 ϑ 1 = (M 1 + M 2) ϑ

Звідси: ϑ = M 1 ϑ 1/(M 1 + M 2);

ϑ = (30 · 103 · 4) / (30 · 103 + 10 · 103) = 0,75 м / с

[ϑ] = (кг · м / с) / кг = м / с

Відповідь. 0,75 м/с

Закон збереження імпульсу можна застосувати для незамкнутих систем, якщо взаємодія тіл відбувається миттєво і визначаються швидкості тіл відразу після взаємодії.

Завдання 2. Поділ на частини.

Граната, що летить зі швидкістю 20 м/с, розривається на два уламки масами 1,2 кг і 1,8 кг. Більший уламок продовжує рухатися у тому напрямку зі швидкістю 50 м/с. Знайти швидкість меншого уламка.

Рішення.

Система не замкнута на тіло та його частини діє сила тяжіння, але оскільки розрив відбувається миттєво, зміною імпульсу кожної частини силою тяжіння можна знехтувати. Застосуємо закон збереження імпульсу у векторному вигляді.

M ϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M 2 ϑ -> 2

ОХ: M ϑ = M 1 ϑ 1 + M 2 ϑ 2

Звідси: ϑ 2х = (M ϑ - M 1 ϑ 1)/M 2

ϑ 2х = (3 · 20 - 1,8 · 50) / 1,2 = -25 м / с

[ϑ] = (кг · м / с) / кг = м / с

Відповідь.

Закон збереження імпульсу може бути застосований у проекціях на вісь, якщо проекція рівнодіючої зовнішніх сил на цю вісь дорівнює О. p х = 0; p 01х + p 02х = p 1х + p 2х.

Завдання 3. Постріл під кутом.

Зі зброї, встановленого на платформі масою М, роблять постріл снарядом маси m під кутом a до горизонту і швидкістю V щодо землі, визначити швидкість платформи після пострілу.

Рішення.

Система не замкнута, на тіло під час пострілу діє додаткова сила реакції опори, яка повідомляє снаряду імпульс уздовж вертикальної осі ОY, її проекція на горизонтальну вісь ОХ дорівнює 0, інших сил, що діють уздовж осі ОХ немає, отже, можна застосувати закон збереження імпульсу в проекціях на вісь ОХ.

p х = p 1х + p 2х

ОХ: 0 = MU x + m ϑ x

0 = MU x + m ϑ cosα

U x = m ϑcosα/М

[U] = (кг · м/с)/кг = м/с

Залишились питання? Не знаєте, як вирішити завдання закон збереження імпульсу?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

При взаємодії тіл, імпульс одного тіла може частково або повністю передаватися іншому тілу. Якщо систему тіл не діють зовнішні сили з боку інших тіл, то така система називається замкненою.

У замкнутій системі векторна сума імпульсів всіх тіл, що входять до системи, залишається постійною за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою.

Цей фундаментальний закон природи називається законом збереження імпульсу . Він є наслідком другого і третього законів Ньютона.

Розглянемо якісь два взаємодіючі тіла, що входять до складу замкнутої системи. Сили взаємодії між цими тілами позначимо через і За третім законом Ньютона

Якщо ці тіла взаємодіють протягом часу t, то імпульси сил взаємодії однакові за модулем і направлені в протилежні сторони:

Застосуємо до цих тіл другий закон Ньютона:

Де і - імпульси тіл у початковий час, і - імпульси тіл наприкінці взаємодії. З цих співвідношень випливає, що в результаті взаємодії двох тіл їхній сумарний імпульс не змінився:

Закон збереження імпульсу:

Розглядаючи тепер всілякі парні взаємодії тіл, які входять у замкнуту систему, можна дійти невтішного висновку, що внутрішні сили замкнутої системи що неспроможні змінити її сумарний імпульс, т. е. векторну суму імпульсів всіх тіл, які входять у цю систему.

Мал. 1.17.1 ілюструє закон збереження імпульсу з прикладу нецентрального зіткненнядвох куль різних мас, одна з яких до зіткнення перебував у стані спокою.

Зображені на рис. 1.17.1 вектора імпульсів куль до і після зіткнення можна спроектувати на координатні осі OXі OY. Закон збереження імпульсу виконується для проекцій векторів на кожну вісь. Зокрема, з діаграми імпульсів (рис. 1.17.1) випливає, що проекції векторів та імпульсів обох куль після зіткнення на вісь OYповинні бути однакові за модулем і мати різні знаки, щоб їхня сума дорівнювала нулю.

Закон збереження імпульсуу багатьох випадках дозволяє знаходити швидкості тіл, що взаємодіють, навіть тоді, коли значення діючих сил невідомі. Прикладом може бути реактивний рух .

При стрільбі зі зброї виникає віддача- снаряд рухається вперед, а знаряддя - відкочується назад. Снаряд і знаряддя – два взаємодіючі тіла. Швидкість, яку набуває зброю при віддачі, залежить тільки від швидкості снаряда та відношення мас (рис. 1.17.2). Якщо швидкості зброї та снаряда позначити через і їх маси через Mі m, то на підставі закону збереження імпульсу можна записати у проекціях на вісь OX

На принципі віддачі ґрунтується реактивний рух. У ракетіпри згорянні палива гази, нагріті до високої температури, викидаються із сопла з великою швидкістю щодо ракети. Позначимо масу викинутих газів через m, а масу ракети після закінчення газів через M. Тоді для замкнутої системи «ракета + гази» на підставі закону збереження імпульсу (за аналогією із завданням про постріл зі зброї) можна записати:

де V- Швидкість ракети після закінчення газів. У разі передбачається, що початкова швидкість ракети дорівнювала нулю.

Отримана формула для швидкості ракети справедлива лише за умови, що вся маса згорілого палива викидається з ракети одночасно. Насправді закінчення відбувається поступово протягом усього часу прискореного руху ракети. Кожна наступна порція газу викидається з ракети, яка вже набула певної швидкості.

Для отримання точної формули процес витікання газу із сопла ракети слід розглянути більш детально. Нехай ракета на момент часу tмає масу Mта рухається зі швидкістю (рис. 1.17.3 (1)). Протягом малого проміжку часу Δ tз ракети буде викинуто деяку порцію газу з відносною швидкістю Ракета в момент t + Δ tматиме швидкість, а її маса стане рівною M + Δ M, де Δ M < 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна -ΔM> 0. Швидкість газів в інерційній системі OXДорівнюватиме Застосуємо закон збереження імпульсу. У момент часу t + Δ tімпульс ракети дорівнює , а імпульс випущених газів дорівнює . У момент часу tімпульс усієї системи дорівнював Передбачаючи систему «ракета + гази» замкненою, можна записати:

Величиною можна знехтувати, оскільки | M| << M. Розділивши обидві частини останнього співвідношення на Δ tта перейшовши до межі при Δ t→0, отримуємо:

Величина є витрата палива за одиницю часу. Величина називається реактивною силою тягиРеактивна сила тяги діє на ракету з боку витікаючих газів, вона спрямована у бік, протилежний відносній швидкості. Співвідношення
висловлює другий закон Ньютона для тіла змінної маси. Якщо гази викидаються з сопла ракети строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярній формі це співвідношення набуває вигляду:

де u- Модуль відносної швидкості. За допомогою математичної операції інтегрування з цього співвідношення можна отримати формулуЦіолковськогодля кінцевої швидкості υ ракети:

де - відношення початкової та кінцевої мас ракети.

З неї випливає, що кінцева швидкість ракети може перевищувати відносну швидкість витікання газів. Отже, ракета може бути розігнана до великих швидкостей, необхідні космічних польотів. Але це може бути досягнуто лише шляхом витрати значної маси палива, що становить велику частку початкової маси ракети. Наприклад, для досягнення першої космічної швидкості υ = υ 1 = 7,9 10 3 м/с при u= 3·10 3 м/с (швидкості закінчення газів при згорянні палива бувають близько 2-4 км/с) стартова маса одноступінчастої ракетиповинна приблизно 14 разів перевищувати кінцеву масу. Для досягнення кінцевої швидкості = 4 uвідношення має дорівнювати 50.

Реактивний рух заснований на законі збереження імпульсу, і це безперечно. Тільки багато завдань вирішуються у різний спосіб. Я пропоную наступний. Найпростіший реактивний двигун: камера, в якій за допомогою спалювання палива підтримується постійний тиск, в нижньому днищі камери отвір, через яке з певною швидкістю відбувається витікання газу. Відповідно до закону збереження імпульсу камера починає рухатися (великі істини). Інший спосіб. У нижньому днищі камери отвір, тобто. площа нижнього днища менше площі верхнього днища на площу отвору. Добуток тиску на площу дає силу. Сила, що діє на верхнє днище більше ніж на нижнє (через різницю площ), отримуємо неврівноважену силу, яка приводить камеру в рух. F = p (S1-S2) = pS отвори, де S1 площа верхнього днища, S2 площа нижнього днища, S отвори площа отвору. Якщо вирішувати завдання традиційним методом та запропонованим мною результат буде той самий. Запропонований мною спосіб складніший, але він пояснює динаміку реактивного руху. Розв'язання задач за допомогою закону збереження імпульсу простіше, але воно не дає зрозуміти звідки береться сила, що приводить камеру в рух.