Записати визначення межі. Межі математики для чайників: пояснення, теорія, приклади рішень

(x)у точці x 0 :
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0
2) для будь-якої послідовності ( x n ), що сходить до x 0 :
, елементи якої належать околиці ,
послідовність (f(x n))сходиться до a:
.

Тут x 0 і можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими точками. Околиця може бути як двосторонньою, так і односторонньою.

.

Друге визначення межі функції (за Кошою)

Число a називається межею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0 , де функція визначена;
2) для будь-якого позитивного числа ε > 0 існує таке число δε > 0 , що залежить від ε , що для всіх x , що належать проколоті δ ε - околиці точки x 0 :
,
значення функції f (x)належать ε - околиці точки a:
.

Крапки x 0 і можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими точками. Околиця також може бути як двосторонньою, так і односторонньою.

Запишемо це визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
.

У цьому вся визначенні використовуються околиці з рівновіддаленими кінцями. Можна дати і еквівалентне визначення, використовуючи довільні околиці точок.

Визначення з використанням довільних околиць
Число a називається межею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0 , де функція визначена;
2) для будь-якого околиці U (a)точки a існує така проколота околиця точки x 0 , що для всіх x , що належать проколоті околиці точки x 0 :
,
значення функції f (x)належать околиці U (a)точки a:
.

За допомогою логічних символів існування та загальності це визначення можна записати так:
.

Односторонні та двосторонні межі

Наведені вище визначення універсальні тому, що їх можна використовувати будь-яких типів околиць. Якщо, як ми використовуємо ліву проколоту околицю кінцевої точки, то отримаємо визначення лівосторонньої межі . Якщо в околиці використовувати околицю нескінченно віддаленої точки, то отримаємо визначення межі на нескінченності.

Для визначення межі по Гейні це зводиться до того що, що на довільну, схожу до , послідовність накладається додаткове обмеження - її елементи повинні належати відповідної проколотої околиці точки .

Для визначення межі по Коші необхідно у кожному разі перетворити висловлювання й у нерівності, використовуючи відповідні визначення околиці точки.
Див. «Навколо точки».

Визначення, що точка a не є межею функції

Часто виникає необхідність використовувати умову, що точка a не є межею функції при . Побудуємо заперечення до викладених вище ухвал. Вони ми припускаємо, що функція f (x)визначена на деякій проколотій околиці точки x 0 . Точки a та x 0 можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими. Все сформульоване нижче стосується як двосторонніх, так і односторонніх меж.

За Гейном.
Число a не ємежею функції f (x)у точці x 0 : ,
якщо існує така послідовність ( x n ), що сходить до x 0 :
,
елементи якої належать околиці,
що послідовність (f(x n))не сходиться до a:
.
.

По Коші.
Число a не ємежею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо існує таке позитивне число? > 0 так для будь-якого позитивного числа δ > 0 існує таке x , що належить проколотій δ - околиці точки x 0 :
,
що значення функції f (x)не належить ε - околиці точки a :
.
.

Зрозуміло, якщо точка a не є межею функції при , то це не означає, що у неї не може бути межі. Можливо, існує межа , але вона не дорівнює a . Також можливий випадок, коли функція визначена в проколоті околиці точки , але не має межі при .

Функція f(x) = sin(1/x)не має межі за x → 0.

Наприклад, функція визначена при , але межі немає. Для доказу візьмемо послідовність. Вона сходиться до точки 0 : . Оскільки, то.
Візьмемо послідовність. Вона також сходиться до точки 0 : . Але оскільки, то.
Тоді межа не може дорівнювати жодному числу a. Дійсно, при , Існує послідовність , З якої . Тому будь-яке відмінне від нуля число не є межею. Але також не є межею, оскільки існує послідовність , з якою .

Еквівалентність визначень межі по Гейні та Коші

Теорема
Визначення межі функції по Гейні та Коші еквівалентні.

Доведення

При доказі ми припускаємо, що функція визначена в деякій проколоті околиці точки (кінцевої або нескінченно віддаленої). Точка a також може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою.

Доказ Гейне ⇒ Коші

Нехай функція має у точці межу a згідно з першим визначенням (за Гейном). Тобто для будь-якої послідовності, що належить околиці точки і має межу
(1) ,
межа послідовності дорівнює a:
(2) .

Покажемо, що функція має межу в точці Коші. Тобто для кожного існує, що для всіх.

Допустимо неприємне. Нехай умови (1) та (2) виконані, але функція не має межі по Коші. Тобто існує таке, що для будь-кого існує, тож
.

Візьмемо , де n – натуральне число. Тоді існує , причому
.
Таким чином ми побудували послідовність, що сходить до, але межа послідовності не дорівнює a. Це суперечить умові теореми.

Першу частину доведено.

Доказ Коші ⇒ Гейне

Нехай функція має в точці межу a відповідно до другого визначення (за Кошою). Тобто для будь-кого існує, що
(3) для всіх .

Покажемо, що функція має межу a у точці за Гейном.
Візьмемо довільне число. Згідно з визначенням Коші, існує число , так що виконується (3).

Візьмемо довільну послідовність, що належить проколотому околиці і сходить до. За визначенням послідовності, що сходить, для будь-якого існує , що
при .
Тоді з (3) випливає, що
при .
Оскільки це виконується для будь-кого, то
.

Теорему доведено.

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.

Постійне число аназивається межею послідовності(x n ), якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числаε > 0 існує номер N, що всі значення x n, у яких n>N, задовольняють нерівності

| x n - a |< ε. (6.1)

Записують це так: або x n → a.

Нерівність (6.1) рівносильна подвійній нерівності

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

яке означає, що точки x n, починаючи з деякого номера n>N, лежать усередині інтервалу (a-ε, a+ ε ), тобто. потрапляють у будь-яку малуε -околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається схожій, в іншому випадку - розходиться.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, оскільки межу послідовності можна розглядати як межу функції x n = f(n) цілого аргументу n.

Нехай дана функція f(x) та нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D(f), тобто. така точка, будь-яка околиця якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Крапка aможе належати множині D(f), а може і не належати йому.

Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо для будь-якої послідовності (x n ) значень аргументу, що прагне а, відповідні їм послідовності (f(x n)) мають одну і ту ж межу А.

Це визначення називають визначенням межі функції за Гейном,або “ мовою послідовностей”.

Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо, задавши довільне як завгодно мале позитивне число ε, можна знайти таке δ>0 (що залежить від ε), що для всіх xлежачи вε-околиці числа а, тобто. для x, що задовольняють нерівності
0 < x-a< ε значення функції f(x) будуть лежати вε-околиці числа А, тобто.|f(x)-A|< ε.

Це визначення називають визначенням межі функції по Коші,або “на мові ε - δ “.

Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f(x) за x →a має межа, рівний А, записується у вигляді

. (6.3)

У тому випадку, якщо послідовність (f(x n)) необмежено зростає (або зменшується) за будь-якого способу наближення xдо своєї межі а, то говоритимемо, що функція f(x) має нескінченна межа,і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність або функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу практично користуються наступними теоремами.

Теорема 1 . Якщо існує кожна межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду зветься "розкриття невизначеностей".

Теорема 2. (6.7)

тобто. можна переходити до межі на підставі ступеня за постійного показника, зокрема, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

де e » 2.7 - основа натурального логарифму. Формули (6.10) і (6.11) звуться перший чудової межіта друга чудова межа.

Використовуються на практиці та наслідки формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Якщо x → a і при цьому x > a, пишуть x→a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно якщо x →a і при цьому x a-0. Числа і називаються відповідно межа праворучі межа зліва функції f(x) у точці а. Щоб існувала межа функції f(x) при x→a необхідно і достатньо, щоб . Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо межа

. (6.15)

Умову (6.15) можна переписати у вигляді:

,

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона безперервна у цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушена, то кажуть, що при x = x o функція f(x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1/x. Областю визначення цієї функції є безліч R, крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D(f), оскільки у її околиці, тобто. у будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x o)= f(0) не визначено, у точці x o = 0 функція має розрив.

Функція f(x) називається безперервної праворуч у точці x o , якщо межа

,

і безперервної зліва в точці x o, якщо межа

.

Безперервність функції у точці x oрівносильна її безперервності у цій точці одночасно праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була безперервною у точці x o, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала кінцева межа , а по-друге, щоб ця межа дорівнювала f(x o). Отже, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція матиме розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f(x o), то кажуть, що функція f(x) у точці x o має розрив першого роду,або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює+∞ або -∞ або не існує, то кажуть, що в точці x o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x за x→ +0 має межу, рівну +∞, Отже, у точці x = 0 вона має розрив другого роду. Функція y = E(x) (ціла частина від x) у точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервнийв. Безперервна функція зображується суцільною кривою.

До другої чудової межі приводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, належать: зростання вкладу згідно із законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій тощо.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа eу завданні про складні відсотки. Число eє межа . У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише через рік, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після півріччя 100 ден. од. зростуть у 100× 1,5 = 150, а ще через півроку – у 150× 1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100× (1 +1/3) 3 » 237 (ден. од.). Частішатимемо терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. од.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. од.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. од.).

При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу секунду, тому що межа

Приклад 3.1.Користуючись визначенням межі числової послідовності, довести, що послідовність x n =(n-1)/n має межу, що дорівнює 1.

Рішення.Нам треба довести, що яке бε > 0 ми взяли, йому знайдеться натуральне число N, таке, що всіх n N має місце нерівність| x n -1 |< ε.

Візьмемо будь-яке e > 0. Оскільки ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то відшукання N досить вирішити нерівність 1/n< e. Звідси n>1/e і, отже, за N можна прийняти цілу частину від 1/ e, N = E(1/ e ). Ми тим самим довели, що .

Приклад 3.2 . Знайти межу послідовності, заданої спільним членом .

Рішення.Застосуємо теорему межу суми і знайдемо межу кожного доданка. При n→ ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прагне нескінченності, і ми можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x nрозділивши чисельник і знаменник першого доданку на n 2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межу частки та межу суми, знайдемо:

.

Приклад 3.3. . Знайти.

Рішення. .

Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеня від межі основи.

Приклад 3.4 . Знайти ( ).

Рішення.Застосовувати теорему межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞ . Перетворимо формулу загального члена:

.

Приклад 3.5 . Дано функцію f(x)=2 1/x . Довести, що межі немає.

Рішення.Скористаємося визначенням 1 межі функції через послідовність. Візьмемо послідовність ( x n ), що сходить до 0, тобто. Покажемо, що величина f(x n)= для різних послідовностей поводиться по-різному. Нехай xn = 1/n. Очевидно, що тоді межа Виберемо тепер як x nпослідовність із загальним членом x n = -1/n, що також прагне до нуля. Тому межі немає.

Приклад 3.6 . Довести, що межі немає.

Рішення.Нехай x 1 , x 2 ,..., x n ,... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f(x n)) = (sin x n ) при різних x n → ∞

Якщо x n = p n то sin x n = sin p n = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 всім nі отже межа. Отже, немає.

Віджет для обчислення меж on-line

У верхньому вікні замість sin(x)/x введіть функцію, межу якої потрібно знайти. У нижнє віконце введіть число, до якого прагне х і натисніть кнопку Calcular, отримайте межу, що шукається. А якщо у вікні результату натиснете Show steps у правому верхньому кутку, то отримаєте докладне рішення.

Правила введення функцій: sqrt(x)- квадратний корінь, cbrt(x) - кубічний корінь, exp(x) - експонента, ln(x) - натуральний логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan (x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксінус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * множення, / поділу, зведення в ступінь, замість нескінченності Infinity. Приклад: функція вводиться так sqrt(tan(x/2)).

Визначення 1. Нехай Е- Безліч безліч. Якщо будь-яка околиця містить точки множини Е, відмінні від точки а, то аназивається граничною точкою множини Е.

Визначення 2. (Генріх Гейне (1821-1881)). Нехай функція
визначено на безлічі Хі Аназивається межею функції
у точці (або при
якщо для будь-якої послідовності значень аргументу
, що сходить до , відповідна послідовність значень функції сходить до А. Пишуть:
.

Приклади. 1) Функція
має межу, рівну з, у будь-якій точці числової прямої.

Дійсно, для будь-якої точки та будь-якої послідовності значень аргументу
, що сходить до і що складається з чисел, відмінних від , відповідна послідовність значень функції має вигляд
, а ми знаємо, що ця послідовність сходиться до з. Тому
.

2) Для функції

.

Це очевидно, тому що якщо
, то й
.

3) Функція Діріхле
не має межі в жодній точці.

Справді, нехай
і
, причому все - Раціональні числа. Тоді
для всіх nтому
. Якщо ж
і все - ірраціональні числа, то
для всіх nтому
. Ми бачимо, що умови визначення 2 не виконуються, тому
не існує.

4)
.

Справді, візьмемо довільну послідовність
, що сходить до

числу 2. Тоді . Що й потрібно було довести.

Визначення 3. (Коші (1789-1857)). Нехай функція
визначено на безлічі Хі - Гранична точка цієї множини. Число Аназивається межею функції
у точці (або при
, якщо для будь-кого
знайдеться
, таке, що для всіх значень аргументу х, що задовольняють нерівності

,

справедлива нерівність

.

Пишуть:
.

Визначення Коші можна дати і за допомогою околиць, якщо помітити, що :

нехай функція
визначено на безлічі Хі - Гранична точка цієї множини. Число Аназивається межею функції
у точці якщо для будь-якої -околиці точки А
знайдеться проколота - околиця точки
,така, що
.

Це визначення корисно проілюструвати малюнком.

приклад 5.
.

Справді, візьмемо
довільно та знайдемо
, таке, що для всіх х, що задовольняють нерівності
виконується нерівність
. Остання нерівність рівнозначна нерівності
тому бачимо, що достатньо взяти
. Твердження доведене.

Справедлива

Теорема 1. Визначення межі функції по Гейні та Коші еквівалентні.

Доведення. 1) Нехай
по Коші. Доведемо, що це число є межею і за Гейне.

Візьмемо
довільно. Відповідно до визначення 3 існує
, таке, що для всіх
виконується нерівність
. Нехай
- довільна послідовність така, що
при
. Тоді існує номер Nтакий, що для всіх
виконується нерівність
тому
для всіх
, тобто.

по Гейні.

2) Нехай тепер
по Гейні. Доведемо, що
і по Коші.

Припустимо неприємне, тобто. що
по Коші. Тоді існує
таке, що для будь-кого
знайдеться
,
і
. Розглянемо послідовність
. Для вказаного
та будь-якого nіснує

і
. Це означає, що
хоча
, тобто. число Ане є межею
у точці по Гейні. Набули протиріччя, яке і доводить твердження. Теорему доведено.

Теорема 2 (про єдиність межі). Якщо існує межа функції у точці , То він єдиний.

Доведення. Якщо межа визначена по Гейне, його єдиність випливає з єдиності межі послідовності. Якщо межа визначена по Коші, його єдиність випливає з еквівалентності визначень межі по Коші і за Гейне. Теорему доведено.

Аналогічно критерію Коші для послідовностей має місце критерій Коші існування межі функції. Перш ніж його сформулювати, дамо

Визначення 4. Кажуть, що функція
задовольняє умові Коші у точці , якщо для будь-кого
існує

, таких, що
і
, виконується нерівність
.

Теорема 3 (критерій Коші існування межі). Для того, щоб функція
мала в точці кінцева межа, необхідно і достатньо, щоб у цій точці функція задовольняла умові Коші.

Доведення.Необхідність. Нехай
. Потрібно довести, що
задовольняє у точці умові Коші.

Візьмемо
довільно і покладемо
. За визначенням межі для існує
, таке, що для будь-яких значень
, що задовольняють нерівності
і
, виконуються нерівності
і
. Тоді

Необхідність доведена.

Достатність. Нехай функція
задовольняє у точці умові Коші. Потрібно довести, що вона має в точці кінцева межа.

Візьмемо
довільно. За визначенням 4 знайдеться
, таке, що з нерівностей
,
випливає, що
– це дано.

Покажемо спочатку, що для будь-якої послідовності
, що сходить до , послідовність
значень функції сходиться. Справді, якщо
, то, з визначення межі послідовності, для заданого
знайдеться номер N, такий, що для будь-яких

і
. Оскільки
у точці задовольняє умові Коші, маємо
. Тоді за критерієм Коші для послідовностей послідовність
сходиться. Покажемо, що всі такі послідовності
сходяться до однієї й тієї ж межі. Припустимо неприємне, тобто. що є послідовності
і
,
,
, такі, що. Розглянемо послідовність. Ясно, що вона сходить до тому по доведеному вище послідовність сходиться, що неможливо, тому що підпослідовності
і
мають різні межі і . Отримана суперечність показує, що =. Тому за визначенням Гейне функція має у точці кінцева межа. Достатність, отже і теорема, доведено.

функцією y = f (x)називається закон (правило), згідно з яким, кожному елементу x множини X ставиться у відповідність один і тільки один елемент y множини Y .

Елемент x ∈ Xназивають аргументом функціїабо незалежної змінної.
Елемент y ∈ Yназивають значенням функціїабо залежною змінною.

Безліч X називається областю визначення функції.
Безліч елементів y ∈ Y, які мають прообрази у множині X , називається областю або безліччю значень функції.

Дійсна функція називається обмеженою зверху (знизу)якщо існує таке число M , що для всіх виконується нерівність:
.
Числова функція називається обмеженоюякщо існує таке число M, що для всіх:
.

Верхньою граннюабо точним верхнім кордономНасправді функції називають найменше з чисел, що обмежує область її значень зверху. Тобто це таке число s, для якого для всіх і для будь-якого, знайдеться такий аргумент, значення функції якого перевищує s′:.
Верхня грань функції може позначатися так:
.

Відповідно нижньою граннюабо точним нижнім кордономНасправді функції називають найбільше з чисел, що обмежує область її значень знизу. Тобто це таке число i , для якого для всіх і для будь - якого , знайдеться такий аргумент , значення функції якого менше ніж i : .
Нижня грань функції може позначатися так:
.

Визначення межі функції

Визначення межі функції по Коші

Кінцеві межі функції у кінцевих точках

Нехай функція визначена в околиці кінцевої точки за винятком, можливо, самої точки . у точці, якщо для будь-кого існує таке, що залежить від того, що для всіх x, для яких виконується нерівність
.
Межа функції позначається так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення межі функції можна записати так:
.

Односторонні межі.
Ліва межа в точці (лівостороння межа):
.
Права межа в точці (правостороння межа):
.
Межі ліворуч і праворуч часто позначають так:
; .

Кінцеві межі функції у нескінченно віддалених точках

Аналогічно визначаються межі в нескінченно віддалених точках.
.
.
.
Їх часто позначають так:
; ; .

Використання поняття околиці точки

Якщо ввести поняття проколотого околиці точки , можна дати єдине визначення кінцевої межі функції в кінцевих і нескінченно віддалених точках:
.
Тут для кінцевих точок
; ;
.
Будь-які околиці нескінченно віддалених точок є проколотими:
; ; .

Нескінченні межі функції

Визначення
Нехай функція визначена в деякому проколоті околиці точки (кінцевої або нескінченно віддаленої). Межа функції f (x)при x → x 0 дорівнює нескінченностіякщо для будь-якого, скільки завгодно великого числа M > 0 існує таке число δ M > 0 , що залежить від M , що для всіх x , що належать проколоті M - околиці точки : , виконується нерівність:
.
Нескінченну межу позначають так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.

Також можна запровадити визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.

Універсальне визначення межі функції

Використовуючи поняття околиці точки, можна дати універсальне визначення кінцевої та нескінченної межі функції, що застосовується як для кінцевих (двосторонніх та односторонніх), так і для нескінченно віддалених точок:
.

Визначення межі функції за Гейном

Нехай функція визначена на деякій множині X: .
Число a називається межею функціїв точці:
,
якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 :
,
елементи якої належать множині X : ,
.

Запишемо це визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
.

Якщо як безліч X взяти лівосторонню околицю точки x 0 , то отримаємо визначення лівої межі. Якщо правосторонню – то отримаємо визначення правої межі. Якщо як безліч X взяти околицю нескінченно віддаленої точки, то отримаємо визначення межі функції на нескінченності.

Теорема
Визначення межі функції по Коші та Гейні еквівалентні.
Доведення

Властивості та теореми межі функції

Далі ми вважаємо, що ці функції визначені у відповідній околиці точки , яка є кінцевим числом або одним із символів: . Також може бути точкою односторонньої межі, тобто мати вигляд або . Околиця є двосторонньою для двосторонньої межі та односторонньою для односторонньої.

Основні властивості

Якщо значення функції f (x)змінити (або зробити невизначеними) у кінцевому числі точок x 1, x 2, x 3, ... x n, то ця зміна ніяк не вплине на існування та величину межі функції у довільній точці x 0 .

Якщо існує кінцева межа, то існує така проколота околиця точки x 0 , на якій функція f (x)обмежена:
.

Нехай функція має у точці x 0 кінцева межа, відмінна від нуля:
.
Тоді, для будь-якого числа c з інтервалу існує така проколота околиця точки x 0 , що для ,
, якщо;
якщо .

Якщо, на деякому проколоті околиці точки, - постійна, то .

Якщо існують кінцеві межі та й на деякому проколотом околиці точки x 0
,
те.

Якщо , і на околиці точки
,
те.
Зокрема, якщо на деякій околиці точки
,
то якщо, то і;
якщо, то і.

Якщо на деякому проколотом околиці точки x 0 :
,
і існують кінцеві (або нескінченні певного знака) рівні межі:
, то
.

Докази основних властивостей наведено на сторінці
"Основні властивості меж функції".

Арифметичні властивості межі функції

Нехай функції і визначені в деякій проколоті околиці точки. І нехай існують кінцеві межі:
та .
І нехай C – постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .

Якщо то .

Докази арифметичних властивостей наведено на сторінці
"Арифметичні властивості меж функції".

Критерій Коші існування межі функції

Теорема
Для того, щоб функція , визначена на деякій проколоті околиці кінцевої або нескінченно віддаленої точки x 0 , мала в цій точці кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існувала така проколота околиця точки x 0 , Що для будь-яких точок і з цієї околиці, виконувалася нерівність:
.

Межа складної функції

Теорема про межу складної функції
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки. Нехай функція визначена на околиці і має на ній межу.
Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: . Околиці та відповідні їм межі може бути як двосторонні, і односторонні.
Тоді існує межа складної функції і він дорівнює:
.

Теорема про межу складної функції застосовується у тому випадку, коли функція не визначена в точці або має значення, відмінне від граничного . Для застосування цієї теореми, має існувати проколота околиця точки , де безліч значень функції не містить точку :
.

Якщо функція безперервна у точці , то знак межі можна застосовувати до аргументу безперервної функції:
.
Далі наводиться теорема, що відповідає цьому випадку.

Теорема про межу безперервної функції від функції
Нехай існує межа функції g (t)при t → t 0 , і він дорівнює x 0 :
.
Тут точка t 0 може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою: .
І нехай функція f (x)безперервна в точці x 0 .
Тоді існує межа складної функції f (g(t)), і він дорівнює f (x 0):
.

Докази теорем наведено на сторінці
«Межа і безперервність складної функції».

Нескінченно малі та нескінченно великі функції

Нескінченно малі функції

Визначення
Функція називається нескінченно малою при , якщо
.

Сума, різниця та твіркінцевого числа нескінченно малих функцій при є нескінченно малою функцією при .

Добуток функції, обмеженоїна деякому проколоті околиці точки , на нескінченно малу при є нескінченно малою функцією при .

Для того, щоб функція мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функція при .

«Властивості нескінченно малих функцій».

Нескінченно великі функції

Визначення
Функція називається нескінченно великою при , якщо
.

Сума або різниця обмеженої функції, на деякому проколоті околиці точки , і нескінченно великий функції при є нескінченно великою функцією при .

Якщо функція є нескінченно великою при , а функція - обмежена, на деякому проколоті околиці точки , то
.

Якщо функція , на деякому проколоті околиці точки , задовольняє нерівності:
,
а функція є нескінченно малою при:
, і (на деякому проколоті околиці точки ), то
.

Докази властивостей викладені у розділі
"Властивості нескінченно великих функцій".

Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями

З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями.

Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Якщо функція є нескінченно малою при , і , то функція є нескінченно великою при .

Зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою функцією можна виразити символічним чином:
, .

Якщо нескінченно мала функція має певний знак при , тобто позитивна (або негативна) на деякому проколоті околиці точки , то цей факт можна виразити так:
.
Так само якщо нескінченно велика функція має певний знак при , то пишуть:
.

Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями можна доповнити такими співвідношеннями:
, ,
, .

Додаткові формули, що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки та їх властивості».

Межі монотонних функцій

Визначення
Функція , визначена на деякій множині дійсних чисел X називається строго зростаючоюякщо для всіх таких що виконується нерівність:
.
Відповідно, для суворо спадаючоюфункції виконується нерівність:
.
Для невпадаючою:
.
Для незростаючою:
.

Звідси випливає, що функція, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна функція також є незростаючою.

Функція називається монотонної, якщо вона незнижена або незростаюча.

Теорема
Нехай функція не зменшується на інтервалі, де.
Якщо вона обмежена зверху числом M:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена зверху, то .
Якщо обмежена знизу числом m:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена знизу, то .

Якщо точки a і b є нескінченно віддаленими, то виразах під знаками меж мається на увазі, що .
Цю теорему можна сформулювати компактніше.

Нехай функція не зменшується на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі в точках a і b:
;
.

Аналогічна теорема для функції, що не зростає.

Нехай функція не зростає на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі:
;
.

Доказ теореми викладено на сторінці
"Межі монотонних функцій".

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

Сьогодні на уроці ми розберемо суворе визначення послідовностіі суворе визначення межі функції, а також навчимося вирішувати відповідні завдання теоретичного характеру. Стаття призначена, перш за все, для студентів 1-го курсу природничо-технічних спеціальностей, які почали вивчати теорію математичного аналізу, і зіткнулися з труднощами в плані розуміння цього розділу вищої математики. Крім того, матеріал цілком доступний і учням старших класів.

За роки існування сайту я отримав недобрий десяток листів приблизно такого змісту: "Погано розумію математичний аналіз, що робити?", "Зовсім не розумію матан, думаю кинути навчання" і т.п. Саме матан часто проріджує студентську групу після першої ж сесії. Чому так справи? Тому що предмет неймовірно складний? Зовсім ні! Теорія математичного аналізу не така важка, як своєрідна. І її потрібно прийняти і полюбити такою, якою вона є =)

Почнемо з найважчого випадку. Перше та головне – не треба кидати навчання. Зрозумійте правильно, кинути, воно завжди встигнеться;-) Безумовно, якщо через рік-два від обраної спеціальності нудитиме, тоді так – слід задуматися (А не пороти гарячку!)про зміну діяльності. Але поки що варто продовжити. І, будь ласка, забудьте фразу «Нічого не розумію» – так не буває, щоб ЗОВСІМ нічого не розуміти.

Що робити, якщо з теорією погано? Це, до речі, стосується як математичного аналізу. Якщо з теорією погано, то спочатку потрібно СЕРЙОЗНО налягти на практику. При цьому вирішуються одразу два стратегічні завдання:

- По-перше, значна частка теоретичних знань з'явилася завдяки практиці. І тому багато людей розуміють теорію через… – вірно! Ні-ні, ви не про те подумали =)

– І, по-друге, практичні навички з великою ймовірністю «витягнуть» вас на іспиті, навіть якщо… але не будемо так налаштовуватися! Все реально і все реально підняти в досить короткі терміни. Математичний аналіз – це мій улюблений розділ вищої математики, і тому я просто не міг не простягнути вам ноги руку допомоги:

На початку 1-го семестру зазвичай проходять межі послідовностей та межі функцій. Чи не розумієте, що це таке і не знаєте, як їх вирішувати? Почніть зі статті Межі функцій, у якій «на пальцях» розглянуто саме поняття та розібрано найпростіші приклади. Далі опрацюйте інші уроки на тему, у тому числі урок про межах послідовностей, На якому я фактично вже сформулював суворе визначення.

Які значки крім знаків нерівностей та модуля ви знаєте?

- Довга вертикальна палиця читається так: "таке, що", "така, що", "такий, що" або "такі, що", у нашому випадку, очевидно, йдеться про номер – тому такий, що;

– для всіх «ен», більших за ;

– знак модуля означає відстань, тобто. цей запис повідомляє нам про те, що відстань між значеннями менша за епсілон.

Ну як, вбивчо складно? =)

Після освоєння практики чекаю на вас у наступному параграфі:

І справді, трохи поміркуємо – як сформулювати суворе визначення послідовності? …Перше, що спадає на думку у світлі практичного заняття: «межа послідовності – це число, якого нескінченно близько наближаються члени послідовності».

Добре, розпишемо послідовність :

Неважко вловити, що підпослідовність нескінченно близько наближаються до –1, а члени з парними номерами - До «одиниці».

А може бути межі дві? Але тоді чому якась послідовність їх не може мати десять чи двадцять? Так можна зайти далеко. У зв'язку з цим логічно вважати, що якщо у послідовності існує межа, то він єдиний.

Примітка : у послідовності немає межі, проте з неї можна виділити дві підпослідовності (див. вище), у кожної з яких існує своя межа.

Таким чином, висловлене вище визначення виявляється неспроможним. Так, воно працює для випадків на кшталт (Чим я не зовсім коректно користувався у спрощених поясненнях практичних прикладів), Але тепер нам необхідно знайти суворе визначення.

Спроба друга: «межа послідовності - це число, до якого наближаються ВСІ члени послідовності, за винятком, хіба що їх кінцевогокількості». Це вже ближче до істини, але все одно не зовсім точно. Так, наприклад, у послідовності половина членів зовсім не наближається до нуля - вони йому просто рівні =) До речі, «мигалка» взагалі приймає два фіксованих значення.

Формулювання неважко уточнити, але тоді виникає інше питання: як записати визначення у математичних знаках? Науковий світ довго бився над цією проблемою, доки ситуацію не вирішив відомий маестро, який, по суті, і оформив класичний матаналіз у всій його строгості. Коші запропонував оперувати околицями чим значно просунув теорію.

Розглянемо деяку точку та її довільну-околиця:

Значення «епсілон» завжди позитивне, і, більше того, ми маємо право вибрати його самостійно. Припустимо, що в околиці знаходиться безліч членів (Не обов'язково все)деякої послідовності. Як записати той факт, що, наприклад, десятий член потрапив в околицю? Нехай він знаходиться у правій її частині. Тоді відстань між точками і повинна бути меншою за «епсілон»: . Однак якщо «ікс десяте» розташоване ліворуч від точки «а», то різниця буде негативна, і тому до неї потрібно додати знак модуля: .

Визначення: число називається межею послідовності, якщо для будь-якоїйого околиці (заздалегідь обраною)існує натуральний номер – ТАКИЙ, що ВСІчлени послідовності з більшими номерами виявляться всередині околиці:

Або коротше: якщо

Іншими словами, яке б мале значення «епсілон» ми не взяли, рано чи пізно «нескінченний хвіст» послідовності ПОВНІСТТЮ опиниться в цій околиці.

Так, наприклад, "нескінченний хвіст" послідовності ПОВНІСТТЮ зайде в будь-яку скільки завгодно малу - околицю точки. Таким чином, це значення є межею послідовності визначення. Нагадую, що послідовність, межа якої дорівнює нулю, називають нескінченно малою.

Слід зазначити, що з послідовності не можна сказати «нескінченний хвіст зайде» – члени з непарними номерами за фактом дорівнюють нулю і «нікуди не заходять» =) Саме тому у визначенні використано дієслово «виявляться». І, зрозуміло, члени такої послідовності, як також «нікуди не йдуть». До речі, перевірте, чи буде її числом межею.

Тепер покажемо, що послідовність не має межі. Розглянемо, наприклад, околицю точки. Цілком зрозуміло, що немає такого номера, після якого всі члени опиняться в даній околиці – непарні члени завжди «вискакуватимуть» до «мінус одиниці». З аналогічної причини немає межі й у точці.

Закріпимо матеріал практикою:

Приклад 1

Довести, що межа послідовності дорівнює нулю. Вказати номер, після якого, всі члени послідовності гарантовано виявляться всередині будь-якої скільки завгодно малої околиці точки.

Примітка : у багатьох послідовностей шуканий натуральний номер залежить від значення - звідси і позначення.

Рішення: розглянемо довільну чи знайдетьсяномер – такий, що ВСІ члени з більшими номерами виявляться всередині цієї околиці:

Щоб показати існування шуканого номера, виразимо через.

Так як за будь-якого значення «ен» , то знак модуля можна прибрати:

Використовуємо «шкільні» дії з нерівностями, які я повторював під час уроків Лінійні нерівностіі Область визначення функції. При цьому важливою обставиною є те, що «епсілон» та «ен» позитивні:

Оскільки зліва йдеться про натуральні номери, а права частина в загальному випадку дробова, то її потрібно округлити:

Примітка : іноді для перестрахування праворуч додають одиницю, але насправді це надмірність. Умовно кажучи, якщо і ми послабимо результат округленням у менший бік, то найближчий відповідний номер («трійка») все одно задовольнятиме початкову нерівність.

А тепер дивимося на нерівність та згадуємо, що спочатку ми розглядали довільну-околиця, тобто. «епсілон» може бути рівним будь-комупозитивного числа.

Висновок: для будь-якої малої -околиці точки знайшлося значення . Таким чином, число є межею послідовності визначення. Що й потрібно було довести.

До речі, з отриманого результату добре проглядається природна закономірність: що менше -околиця – то більше вписувалося номер , після якого ВСІ члени послідовності опиняться у цій околиці. Але яким би малим не було «епсілон» – усередині завжди буде «нескінченний хвіст», а зовні – хай навіть велике, проте кінцевеЧисло членів.

Як враження? =) Згоден, що дивно. Але ж суворо!Будь ласка, перечитайте та осмисліть все ще раз.

Розглянемо аналогічний приклад та познайомимося з іншими технічними прийомами:

Приклад 2

Рішення: за визначенням послідовності потрібно довести, що (Промовляємо вголос!).

Розглянемо довільну-околиця точки і перевіримо, чи існуєнатуральний номер – такий, що для всіх великих номерів виконано нерівність:

Щоб показати існування такого, потрібно висловити "ен" через "епсілон". Спрощуємо вираз під знаком модуля:

Модуль знищує знак "мінус":

Знаменник позитивний за будь-якого «ен», отже, палиці можна прибрати:

Перетасування:

Тепер треба б витягти квадратний корінь, але проблема полягає в тому, що при деяких «епсілон» права частина буде негативною. Щоб уникнути цієї неприємності посилимонерівність модулем:

Чому можна так зробити? Якщо, умовно кажучи, виявиться, що , то буде виконано і умова . Модуль може тільки збільшитиномер, що розшукується, і це нас теж влаштує! Грубо кажучи, якщо підходить сотий, то підійде і двохсот! Відповідно до визначення, потрібно показати сам факт існування номера(хоча якогось), після якого всі члени послідовності виявляться в околиці. До речі, саме тому нам не страшне фінальне округлення правої частини у більший бік.

Вилучаємо корінь:

І округляємо результат:

Висновок: т.к. значення «епсілон» вибиралося довільно, то для будь-якої скільки завгодно малої околиці точки знайшлося значення , таке, що для всіх великих номерів виконано нерівність . Таким чином, за визначенням. Що й потрібно було довести.

Раджу особливоРозібратися у посиленні та ослабленні нерівностей – це типові та дуже поширені прийоми математичного аналізу. Єдине, слід стежити за коректністю тієї чи іншої дії. Так, наприклад, нерівність ні в якому разі не можна послаблювати, віднімаючи, скажімо, одиницю:

Знову ж умовно: якщо номер точно підійде, попередній може вже й не підійти.

Наступний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 3

Використовуючи визначення послідовності, довести, що

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Якщо послідовність нескінченно великато визначення межі формулюється схожим чином: точка називається межею послідовності, якщо для будь-якого, скільки завгодно великогочисла існує номер , такий, що для всіх більших номерів буде виконано нерівність . Число називають околицею точки «плюс нескінченність»:

Іншими словами, яке б велике значення ми не взяли, «нескінченний хвіст» послідовності обов'язково зайде в околицю точки, залишивши зліва лише кінцеве число членів.

Черговий приклад:

І скорочений запис: якщо

Для випадку запишіть визначення самостійно. Правильна версія наприкінці уроку.

Після того, як ви набили руку на практичних прикладах і розібралися з визначенням межі послідовності, можна звернутися до літератури з математичного аналізу та/або свого зошита з лекціями. Рекомендую закачати 1-й том Бохана (простіше – для заочників)та Фіхтенгольця (Детальніше і докладніше). З інших авторів раджу Піскунова, курс якого орієнтований на технічні вузи.

Спробуйте сумлінно вивчити теореми, що стосуються межі послідовності, їх доказів, наслідків. Спочатку теорія може здаватися "каламутною", але це нормально - просто потрібно звикнути. І багато хто навіть увійдуть у смак!

Суворе визначення межі функції

Почнемо з того самого – як сформулювати це поняття? Словесне визначення межі функції формулюється значно простіше: «число є межею функції , якщо при «ікс», що прагне (І зліва, і праворуч), відповідні значення функції прагнуть до » (Див. креслення). Все начебто нормально, але словами словами, сенс змістом, значок значком, а строгих математичних позначень замало. І в другому параграфі ми познайомимося із двома підходами до вирішення цього питання.

Нехай функція визначена на деякому проміжку, за винятком, можливо, точки . У навчальній літературі вважають, що функція там невизначено:

Такий вибір наголошує суть межі функції: «ікс» нескінченно близьконаближається до , і відповідні значення функції – нескінченно близькодо. Іншими словами, поняття межі має на увазі не «точний захід» у крапки, а саме нескінченно близьке наближення, при цьому не важливо – чи визначено функцію в точці чи ні.

Перше визначення межі функції, що не дивно, формулюється за допомогою двох послідовностей. По-перше, поняття споріднені, і, по-друге, межі функцій зазвичай вивчають після меж послідовностей.

Розглянемо послідовність точок (на кресленні відсутні), що належать проміжку та відмінних від, яка сходитьсядо. Тоді відповідні значення функції також утворюють числову послідовність, члени якої розташовуються на осі ординат.

Межа функції по Гейні для будь-якоїпослідовності точок (належних та відмінних від ), яка сходить до точки , відповідна послідовність значень функції сходить до .

Едуард Гейне – німецький математик. …І не треба тут нічого такого думати, гей у Європі лише один – це Гей-Люссак =)

Друге визначення межі спорудив… так-так, ви маєте рацію. Але спочатку розберемося у його конструкції. Розглянемо довільну околицю точки («чорна» околиця). За мотивами попереднього параграфа запис означає, що деяке значенняФункція знаходиться всередині «епсілон»-околиці.

Тепер знайдемо -околиця, яка відповідає заданій -околиці (подумки проводимо чорні пунктирні лінії зліва направо і потім зверху донизу). Зверніть увагу, що значення вибирається по довжині меншого відрізка, у разі – по довжині більш короткого лівого відрізка. Більше того, «малинову» -окраїну точки можна навіть зменшити, оскільки в наступному визначенні важливий сам факт існуванняцієї околиці. І, аналогічно, запис означає, що деяке значення знаходиться всередині "дельта"-околиці.

Межа функції по Коші: число називається межею функції у точці , якщо для будь-якої заздалегідь обраноюоколиці (як завгодно малої), існує-околиця точки, ТАКА, що: ЯК ТІЛЬКИ значення (належні)входять у цю околицю: (червоні стрілки)- ТАК ВІДРАЗУ відповідні значення функції гарантовано зайдуть в околицю: (сині стрілки).

Повинен попередити, що з метою більшої зрозумілості я трохи симпровізував, тому не зловживайте =)

Короткий запис: якщо

У чому суть визначення? Образно кажучи, нескінченно зменшуючи околиця, ми «супроводжуємо» значення функції до своєї межі, не залишаючи їм альтернативи наближатися кудись ще. Досить незвично, але знову ж таки суворо! Щоб як слід перейнятися ідеєю, перечитайте формулювання ще раз.

! Увага: якщо вам потрібно сформулювати тільки визначення по Гейнічи тільки визначення по Коші, будь ласка, не забувайте про суттєвомупопередньому коментарі: "Розглянемо функцію , яка визначена на деякому проміжку за винятком, можливо, точки". Я позначив це одного разу на самому початку і щоразу не повторював.

Відповідно до відповідної теореми математичного аналізу, визначення по Гейні та Коші еквівалентні, проте найбільш відомий другий варіант (ще б!), який також називають «кордон на мові»:

Приклад 4

Використовуючи визначення межі, довести, що

Рішення: функція визначена на всій числовій прямій крім точки. Використовуючи визначення , доведемо існування межі у цій точці.

Примітка : величина «дельта»-околиці залежить від «епсілон», звідси і позначення

Розглянемо довільну-околиця. Завдання полягає в тому, щоб за цим значенням перевірити, чи існує-околиця, ТАКА, що з нерівності слідує нерівність .

Припускаючи, що , перетворимо останню нерівність:
(розклали квадратний тричлен)