Знаменнику шляхом знаходження спільного. Записи з міткою "найменший спільний знаменник"

Більшість дій з дробами алгебри, такі, наприклад, як додавання і віднімання, вимагають попереднього приведення цих дробів до однакових знаменників. Такі знаменники також часто позначаються словосполученням "загальний знаменник". У цій темі ми розглянемо визначення понять «загальний знаменник дробів алгебри» і «найменший загальний знаменник дробів алгебри (НОЗ)», розглянемо за пунктами алгоритм знаходження спільного знаменника і вирішимо кілька завдань по темі.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Загальний знаменник алгебраїчних дробів

Якщо говорити про прості дроби, то загальним знаменником є таке число, яке ділиться на будь-який із знаменників вихідних дробів. Для звичайних дробів 1 2 і 5 9 число 36 може бути загальним знаменником, так як без залишку ділиться на 2 та на 9 .

Загальний знаменник алгебраїчних дробів визначається схожим чином, тільки замість чисел використовуються багаточлени, оскільки саме вони стоять у чисельниках та знаменниках алгебраїчного дробу.

Визначення 1

Загальний знаменник алгебраїчного дробу– це багаточлен, який ділиться на знаменник будь-якого дробу.

У зв'язку з особливостями алгебраїчних дробів, про які піде нижче, ми частіше матимемо справу із загальними знаменниками, представленими як твори, а чи не як стандартного многочлена.

Приклад 1

Багаточлену, записаному у вигляді твору 3 · x 2 · (x + 1)відповідає багаточлен стандартного вигляду 3 · x 3 + 3 · x 2. Цей многочлен може бути загальним знаменником алгебраїчних дробів 2 x , - 3 · x · y x 2 і y + 3 x + 1 у зв'язку з тим, що він ділиться на x, на x 2і на x + 1. Інформація про розподіл багаточленів є у відповідній темі нашого ресурсу.

Найменший загальний знаменник (НОЗ)

Для заданих алгебраїчних дробів кількість спільних знаменників може бути безліч.

Приклад 2

Візьмемо для прикладу дробу 1 2 · x та x + 1 x 2 + 3 . Їх спільним знаменником є 2 · x · (x 2 + 3), як і − 2 · x · (x 2 + 3), як і x · (x 2 + 3), як і 6 , 4 · x · (x 2 + 3) · (y + y 4), як і − 31 · x 5 · (x 2 + 3) 3, і т.п.

При вирішенні завдань можна полегшити собі роботу, використовуючи загальний знаменник, який серед безлічі знаменників має найпростіший вид. Такий знаменник найчастіше позначається як найменший загальний знаменник.

Визначення 2

Найменший загальний знаменник алгебраїчних дробів- це загальний знаменник алгебраїчних дробів, який має найпростіший вигляд.

До слова, термін «найменший спільний знаменник» перестав бути загальновизнаним, тому краще обмежуватися терміном «загальний знаменник». І ось чому.

Раніше ми сфокусували вашу увагу на фразі «знаменник найпростішого вигляду». Основний зміст цієї фрази наступний: на знаменник найпростішого виду має без залишку ділитися будь-який інший загальний знаменник даних за умови завдання алгебраїчних дробів. При цьому у творі, який є спільним знаменником дробів, можна використовувати різні числові коефіцієнти.

Приклад 3

Візьмемо дроби 1 2 · x та x + 1 x 2 + 3 . Ми вже з'ясували, що найпростіше працювати нам буде із спільним знаменником виду 2 · x · (x 2 + 3). Також спільним знаменником для цих двох дробів може бути x · (x 2 + 3), Що не містить числового коефіцієнта. Питання, який із цих двох спільних знаменників вважати найменшим загальним знаменником дробів. Однозначної відповіді немає, тому правильніше говорити просто про спільний знаменник, а в роботу брати той варіант, з яким працювати буде найзручніше. Так ми можемо використовувати і такі спільні знаменники як x 2 · (x 2 + 3) · (y + y 4)або − 15 · x 5 · (x 2 + 3) 3, які мають складніший вигляд, але проводити з ними дії може бути складніше.

Знаходження спільного знаменника алгебраїчних дробів: алгоритм дій

Припустимо, що ми маємо кілька алгебраїчних дробів, котрим нам потрібно знайти спільний знаменник. Для вирішення цього завдання ми можемо використати наступний алгоритм дій. Спочатку нам необхідно розкласти на множники знаменники вихідних дробів. Потім ми складаємо твір, до якого послідовно вмикаємо:

всі множники із знаменника першого дробу разом із ступенями;
всі множники, присутні у знаменнику другого дробу, але яких немає у записаному творі або їх ступінь недостатньо;
всі множники, що бракують, із знаменника третього дробу, і так далі.

Отриманий твір буде спільним знаменником алгебраїчних дробів.

Як множники твору ми можемо взяти всі знаменники дробів, даних за умови завдання. Однак множник, який ми отримаємо в результаті, буде далекий від НОЗ і використання його буде ірраціональним.

Приклад 4

Визначте загальний знаменник дробів 1 x 2 · y, 5 x + 1 та y - 3 x 5 · y.

Рішення

В даному випадку ми не маємо необхідності розкладати знаменники вихідних дробів на множники. Тому почнемо застосовувати алгоритм зі складання твору.

Зі знаменника першого дробу візьмемо множник x 2 · y, із знаменника другого дробу множник x + 1. Отримуємо твір x 2 · y · (x + 1).

Знаменник третього дробу може дати нам множник x 5 · y, однак у складеному нами раніше творі вже є множники x 2і y. Отже, додаємо ще x 5 − 2 = x 3. Отримуємо твір x 2 · y · (x + 1) · x 3, яке можна привести до вигляду x 5 · y · (x + 1). Це і буде наш НОЗ алгебраїчних дробів.

Відповідь: x 5 · y · (x + 1) .

Тепер розглянемо приклади завдань, як у знаменниках алгебраїчних дробів є цілі числові множники. У таких випадках ми також діємо за алгоритмом, попередньо розклавши цілі числові множники на прості множники.

Приклад 5

Знайдіть спільний знаменник дробів 1 12 · x та 1 90 · x 2 .

Рішення

Розклавши числа у знаменниках дробів на прості множники, отримуємо 1 2 2 · 3 · x та 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Тепер ми можемо перейти до упорядкування спільного знаменника. Для цього зі знаменника першого дробу візьмемо твір 2 2 · 3 · xі додамо до нього множники 3 , 5 і xіз знаменника другого дробу. Отримуємо 2 2 · 3 · x · 3 · 5 · x = 180 · x 2. Це і є наш спільний знаменник.

Відповідь: 180 · x 2.

Якщо уважно подивитися на результати двох розібраних прикладів, можна помітити, що загальні знаменники дробів містять усі множники, присутні у розкладаннях знаменників, причому якщо деякий множник є у кількох знаменниках, він береться з найбільшим з наявних показників ступеня. Якщо ж у знаменниках є цілі коефіцієнти, то загальному знаменнику присутній числовий множник, рівний найменшому загальному кратному цих числових коефіцієнтів.

Приклад 6

У знаменниках обох дробів алгебри 1 12 · x і 1 90 · x 2 є множник x. У другому випадку множник x зведений квадрат. Для складання спільного знаменника це множник необхідно взяти найбільшою мірою, тобто. x 2. Інших множників із змінними немає. Цілі числові коефіцієнти вихідних дробів 12 і 90 , А їх найменше загальне кратне дорівнює 180 . Виходить, що спільний знаменник має вигляд 180 · x 2.

Тепер ми можемо записати ще один алгоритм знаходження загального множника дробів алгебри. Для цього ми:

розкладаємо знаменники всіх дробів на множники;
складаємо добуток всіх літерних множників (за наявності множника в декількох розкладах, беремо варіант з найбільшим показником ступеня);
додаємо НОК числових коефіцієнтів розкладів до отриманого твору.

Наведені алгоритми рівноцінні, так що використовувати у розв'язанні задач можна будь-який із них. Важливо приділяти увагу деталям.

Трапляються випадки, коли загальні множники у знаменниках дробів можуть бути непомітні за числовими коефіцієнтами. Тут доцільно спочатку винести числові коефіцієнти при старших ступенях змінних за дужки у кожному з множників, що є у знаменнику.

Приклад 7

Який загальний знаменник мають дроби 3 5 - x та 5 - x · y 2 2 · x - 10 .

Рішення

У першому випадку за дужки потрібно винести мінус одиницю. Отримуємо 3-х-5. Помножуємо чисельник і знаменник на - 1 у тому, щоб позбутися мінуса в знаменнику: - 3 x - 5 .

У другому випадку за дужку виносимо двійку. Це дозволяє нам отримати дріб 5 - x · y 2 2 · x - 5 .

Очевидно, що загальний знаменник даних дробів алгебри - 3 x - 5 і 5 - x · y 2 2 · x - 5 це 2 · (x − 5).

Відповідь:2 · (x − 5).

Дані за умови завдання дробу можуть мати дробові коефіцієнти. У цих випадках необхідно спочатку позбавитися дробових коефіцієнтів шляхом множення чисельника і знаменника на деяке число.

Приклад 8

Спростіть дроби алгебри 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 і - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , після чого визначте їх спільний знаменник.

Рішення

Позбавимося дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник у першому випадку на 14 , у другому випадку на 3 . Отримуємо:

1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 = 14 · 1 2 · x + 1 14 · 1 14 · x 2 + 1 7 = 7 · x + 1 x 2 + 2 і - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Після проведених змін стає зрозуміло, що спільний знаменник – це 2 · (x 2 + 2).

Відповідь: 2 · (x 2 + 2).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника до параграфу «Складання та віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її така велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай ми маємо два дроби з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоби знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яка, нагадаю, звучить так:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються – цей процес називається приведенням до спільного знаменника. А числа, які «вирівнюють» знаменники, називаються додатковими множниками.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Є багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них – у порядку зростання складності та, у певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і найнадійніший спосіб, який гарантовано вирівнює знаменники. Діятимемо «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другий – на знаменник першого. У результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Так, так усе просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом - так ви застрахуєте себе від багатьох помилок і гарантовано отримаєте результат.

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, він застосовується досить рідко. Метод полягає в наступному:

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод спільних множників. Маємо:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

До речі, дроби у цьому прикладі я взяв не випадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими самими, але роботи буде набагато більше.

У цьому полягає сила методу спільних дільників, але, повторюся, застосовувати його можна лише тому випадку, коли з знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Приведення дробів до найменшого спільного знаменника, як правило, приклади, рішення.

Матеріал цієї статті пояснює, як знайти найменший спільний знаменникі як привести дроби до спільного знаменника.

Спочатку дано визначення спільного знаменника дробів та найменшого спільного знаменника, а також показано, як знайти спільний знаменник дробів. Далі наведено правило приведення дробів до спільного знаменника та розглянуто приклади застосування цього правила. На закінчення розібрано приклади приведення трьох і більшої кількості дробів до спільного знаменника.

Що називають приведенням дробів до спільного знаменника?

Якщо звичайні дроби мають рівні знаменники, то ці дроби говорять, що вони наведено до спільного знаменника.

Так дроби 45/76 та 143/76 приведені до спільного знаменника 76, а дроби 1/3, 3/3, 17/3 та 1000/3 приведені до спільного знаменника 3.

Якщо ж знаменники дробів не рівні, то такі дроби можна привести до спільного знаменника, помноживши їх чисельник і знаменник на певні додаткові множники.

Наприклад, звичайні дроби 2/5 і 7/4 за допомогою додаткових множників 4 і 5 відповідно наводяться до спільного знаменника 20. Дійсно, помноживши чисельник і знаменник дробу 2/5 на 4, отримаємо дріб 8/20, а, помноживши чисельник і знаменник дробу 7/4 на 5, прийдемо до дробу 35/20 (дивіться приведення дробів до нового знаменника).

Тепер ми можемо сказати, що таке приведення дробів до спільного знаменника. Приведення дробів до спільного знаменника– це множення чисельників та знаменників даних дробів на такі додаткові множники, що в результаті виходять дроби з однаковими знаменниками.

На початок сторінки

Загальний знаменник, визначення, приклади

Тепер настав час дати визначення спільного знаменника дробів.

Іншими словами, загальним знаменником деякого набору звичайних дробів є будь-яке натуральне число, яке ділиться на всі знаменники цих дробів.

З озвученого визначення випливає, що даний набір дробів має нескінченно багато спільних знаменників, оскільки існує безліч спільних кратних всіх знаменників вихідного набору дробів.

Визначення спільного знаменника дробів дозволяє знаходити спільні знаменники цих дробів. Нехай, наприклад, дані дроби 1/4 і 5/6, їх знаменники дорівнюють 4 і 6 відповідно.

Позитивними загальними кратними чисел 4 та 6 є числа 12, 24, 36, 48, … Будь-яке з цих чисел є спільним знаменником дробів 1/4 та 5/6.

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення наступного прикладу.

Чи можна дроби 2/3, 23/6 та 7/12 привести до спільного знаменника 150?

Для відповіді на поставлене питання нам потрібно з'ясувати, чи є число 150 загальним кратним знаменників 3, 6 і 12. Для цього перевіримо, чи ділиться 150 націло на кожне з цих чисел (при необхідності дивіться правила та приклади поділу натуральних чисел, а також правила і приклади поділу натуральних чисел із залишком): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (зуп.

Отже, 150 не ділиться націло на 12, отже, 150 не є загальним кратним чисел 3, 6 і 12. Отже, число 150 може бути загальним знаменником вихідних дробів.

На початок сторінки

Найменший спільний знаменник, як його знайти?

У багатьох чисел, що є загальними знаменниками даних дробів, існує найменше натуральне число, яке називають найменшим загальним знаменником.

Сформулюємо визначення найменшого спільного знаменника цих дробів.

Залишилося розібратися із питанням, як знайти найменший спільний дільник.

Оскільки найменше загальне кратне є найменшим позитивним спільним дільником даного набору чисел, то НОК знаменників цих дробів є найменшим загальним знаменником цих дробів.

Таким чином, знаходження найменшого спільного знаменника дробів зводиться до знаходження НОК знаменників цих дробів.

Розберемо рішення прикладу.

Знайдіть найменший загальний знаменник дробів 3/10 та 277/28.

Знаменники даних дробів дорівнюють 10 і 28. Найменший загальний знаменник, що шукається, знаходиться як НОК чисел 10 і 28. У нашому випадку легко знайти НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники: так як 10=2·5, а 28=2·2·7 , то НОК (15, 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140.

На початок сторінки

Як привести дроби до спільного знаменника? Правило, приклади, рішення

Зазвичай прості дроби призводять до найменшого спільного знаменника.

Зараз ми запишемо правило, яке пояснює, як привести дроби до найменшого спільного знаменника.

Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменникаскладається з трьох кроків:

По-перше, є найменший загальний знаменник дробів.
По-друге, кожному дробу обчислюється додатковий множник, навіщо найменший загальний знаменник ділиться на знаменник кожної дроби.
По-третє, чисельник та знаменник кожного дробу множиться на його додатковий множник.

Застосуємо озвучене правило для вирішення наступного прикладу.

Приведіть дроби 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника.

Виконаємо всі кроки алгоритму приведення дробів до найменшого спільного знаменника.

Спочатку знаходимо найменший загальний знаменник, який дорівнює найменшому загальному кратному чисел 14 і 18. Так як 14 = 2 · 7 і 18 = 2 · 3 · 3, то НОК (14, 18) = 2 · 3 · 3 · 7 = 126.

Тепер обчислюємо додаткові множники, за допомогою яких дроби 5/14 та 7/18 будуть приведені до знаменника 126. Для дробу 5/14 додатковий множник дорівнює 126:14=9, а для дробу 7/18 додатковий множник дорівнює 126:18=7 .

Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів 5/14 та 7/18 на додаткові множники 9 та 7 відповідно.

Маємо і .

Отже, приведення дробів 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника завершено.

У результаті вийшли дроби 45/126 та 49/126.

На початок сторінки

Приведення до найменшого спільного знаменника трьох і більше дробів

Правило з попереднього пункту дозволяє призводити до найменшого спільного знаменника не тільки два дроби, а й три дроби, і більшу їх кількість.

Розглянемо рішення прикладу.

Приведіть чотири звичайні дроби 3/2, 5/6, 3/8 та 17/18 до найменшого спільного знаменника.

Найменший загальний знаменник даних дробів дорівнює найменшому загальному кратному чисел 2, 6, 8 і 18. Для знаходження НОК(2, 6, 8, 18) скористаємося інформацією розділу знаходження НОК трьох і більшої кількості чисел.

Отримуємо НОК(2, 6)=6, НОК(6, 8)=24, нарешті, НОК(24, 18)=72, тому, НОК(2, 6, 8, 18)=72. Отже, найменший загальний знаменник дорівнює 72.

Тепер обчислюємо додаткові множники. Для дробу 3/2 додатковий множник дорівнює 72:2=36, для дробу 5/6 він дорівнює 72:6=12, для дробу 3/8 додатковий множник є 72:8=9, а для дробу 17/18 він дорівнює 72 :18=4.

Приведення дробів до спільного знаменника

Залишився останній крок у приведенні вихідних дробів до найменшого спільного знаменника: .

На початок сторінки

Спільний знаменник– це будь-яке позитивне загальне кратне всіх знаменників цих дробів.

Найменший спільний знаменник– це найменше, зі всіх спільних знаменників цих дробів.

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загально освітніх установ.
Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.

Загальний знаменник звичайних дробів

Якщо звичайні фракції мають однакові знаменники, ці фракції мають спільний знаменник. Наприклад,

вони мають спільний знаменник.

Спільний знаменникЦе число є знаменником для двох або більше регулярних дробів.

Фракції із різними знаменниками можна звести до спільного знаменника.

Надання фракцій спільному знаменнику

Надання фракцій спільному знаменникуЧи заміна цих фракцій різними знаменниками тих же фракцій з тими ж знаменниками?

Фракції можна просто привести до спільного знаменника чи найменшого спільного знаменника.

Найменший спільний знаменникЦе найменший загальний знаменник цих дробів.

Загальний знаменник фракцій в Інтернеті

Щоб дати фракції найменшому спільному знаменнику, вам потрібно:

Якщо можливо, виконайте скорочення фракції.
Знайдіть найменші загальні каталоги цих дробів. NOC стане їх найменшим спільним знаменником.
Розділіть LCM на знаменники цих дробів. Цей захід знаходить додатковий фактор для кожної з цих фракцій. Додатковий коефіцієнтЧи є число, для якого необхідно помножити члени фракції, щоб привести його до спільного знаменника?
Помножте чисельник та знаменник кожної фракції з додатковим фактором.

приклад.

1) Знайдіть імена NOC цих фракцій:

NOC (8, 12) = 24

2) Знайдено додаткові фактори:

24: 8 = 3 (для ) та 24: 12 = 2 (для )

3) Помножте члени кожної фракції з додатковим фактором:

Зменшення загального знаменника можна записати у більш короткій формі, вказуючи на додатковий коефіцієнт на додаток до лічильника кожної фракції (верхній правий або верхній лівий) та не записуючи проміжні обчислення:

Загальний знаменник можна зменшити легше, помноживши члени першої фракції з другою часткою іманентної і членами другої фракції знаменником першої.

приклад.Отримати спільний знаменник фракцій та:

Як спільний знаменник фракцій можна взяти твір їх знаменників.

Зменшення фракцій до загального знаменника використовується для додавання, віднімання та порівняння дробів з різними знаменниками.

Калькулятор зниження до спільного знаменника

Цей калькулятор допоможе вам довести звичайні фракції до найнижчого загального знаменника.

Просто введіть дві фракції та натисніть.

5.4.5. Приклади перетворення звичайних дробів у найменший загальний знаменник

Найменшим спільним знаменником безперервних дробів є найменший загальний знаменник цих дробів. (див. розділ «Пошук найменшого загального кратного»: 5.3.5. Знайдіть найменшу кількість кратних (NOC) заданих номерів).

Щоб зменшити частку найменшому спільному знаменнику, необхідно: 1) знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, і це буде найменший спільний знаменник.

2) знаходить додатковий коефіцієнт кожної з фракцій, котрим новий знаменник розподіляється з ім'ям кожної фракції. 3) помножити чисельник та знаменник кожної фракції з додатковим фактором.

приклади. Щоб зменшити наступні фракції до найнижчого спільного знаменника.

Ми бачимо найменший загальний багатозначний знаменник: LCM (5; 4) = 20, оскільки 20 — найменше, розділене на 5 і 4.

Для першої частки знайдено додатковий коефіцієнт 4 (20 : 5 = 4). Для другої фракції є додатковий коефіцієнт 5 (20 : 4 = 5). Помножте число та знаменник першої фракції на 4, а лічильник та знаменник другої частини на 5.

20 ).

Найменшим загальним знаменником цих дробів є число 8, оскільки воно ділиться на 4 і всередині.

Для першої частки немає додаткового фактора (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), другий фактор є додатковим фактором 2 (8 : 4 = 2). Помножте чисельник та знаменник другої фракції на 2.

Онлайн калькулятор. Надання фракцій спільному знаменнику

Ми зменшили ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 8-е місце).

Ці фракції не є нестерпними.

Першу фракцію було зменшено на 4, а другу фракцію було зменшено на 2. (Див. Приклади для скорочення звичайних фракцій: Карта сайту → 5.4.2.

приклади скорочення звичайних фракцій). Знахідки НОК (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Додатковим фактором для 1-ї фракції є 5 (80 : 16 = 5). Додатковим фактором для другої фракції є 4 (80 : 20 = 4).

Ми множимо чисельник і знаменник першої фракції з 5, а лічильник і знаменник другої фракції 4. Дробна інформація була дана найменшому загальному знаменнику ( 80 ).

Знайдіть найменший спільний знаменник NOx (5 ; 6 та 15) = NOK (5 ; 6 та 15) = 30. Додатковим фактором для першої фракції є 6 (30 : 5 = 6), є додатковим фактором у другій частині 5 (30 : 6 = 5) є додатковим фактором для третьої фракції 2 (30 : 15 = 2).

Число і знаменник першої фракції множаться на 6, лічильник і знаменник другої фракції з 5, лічильник і знаменник третьої фракції з 2. Частковим даним був дано найменший загальний знаменник 30 ).

Сторінка 1 з 11

Найменший загальний знаменник.

Що таке найменший спільний знаменник?

Визначення:
Найменший спільний знаменник- Це найменше позитивне число кратне знаменникам цих дробів.

Як привести до найменшого спільного знаменника? Щоб відповісти на це питання, розглянемо приклад:

Наведіть дроби з різними знаменниками до найменшого спільного знаменника.

Рішення:
Щоб знайти найменший спільний знаменник, потрібно знайти найменше загальне кратне (НОК) знаменників цих дробів.

У першого дробу знаменник дорівнює 20 розкладемо його на прості множники.
20=2⋅5⋅2

Також розкладемо і другий знаменник дробу 14 на прості множники.
14=7⋅2

НОК(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Відповідь: найменший загальний знаменник дорівнюватиме 140.

Як привести дріб до спільного знаменника?

Потрібно перший дріб \(\frac(1)(20)\) домножити на 7, щоб отримати знаменник 140.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
А другий дріб помножити на 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)

Правила чи алгоритм приведення дробів до спільного знаменника.

Алгоритм приведення дробів до найменшого спільного знаменника:

Потрібно розкласти на звичайні множники знаменники дробів.
Потрібно визначити найменше загальне кратне (НОК) для знаменників цих дробів.
Привести дроби до спільного знаменника, тобто помножити і чисельник та знаменник дробу на множник.

Загальний знаменник для кількох дробів.

Як знайти спільний знаменник для кількох дробів?

Розглянемо приклад:
Знайдіть найменший загальний знаменник для дробів \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Рішення:
Розкладемо знаменники 11, 15 та 22 на прості множники.

Число 11 воно саме собою вже просте число, тому його розписувати не потрібно.
Розкладемо число 15=5⋅3
Розкладемо число 22=11⋅2

Знайдемо найменше загальне кратне (НОК) знаменників 11, 15 та 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Ми знайшли найменший спільний знаменник для цих дробів. Тепер наведемо дані дробу \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) до спільного знаменника дорівнює 330.

\(\begin(align)
\frac(2)(11)=\frac(2 \times 30)(11 \times 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \times 22)(15 \times 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \times 15)(22 \times 15)=\frac(60)(330) \\\\
\end(align)\)

Множення «хрест-навхрест»

Метод спільних дільників

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-навхрест».

Загальний знаменник дробів

Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Дивіться також:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються – цей процес називається. А числа, які «вирівнюють» знаменники, називаються.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми, по суті, намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен із знаменників. Потім наводимо до цього знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше їх зовсім не обов'язково дорівнюватиме прямому твору знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 та 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Це число набагато менше за добуток 8 · 12 = 96.

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Як знайти найменший спільний знаменник

Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множники 2 та 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 – загальний. Тому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Не думайте, що таких складних дробів у прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання – не межа!

Єдина проблема - як знайти цей НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але загалом це складне обчислювальне завдання, яке потребує окремого розгляду. Тут ми цього не стосуватимемо.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника?

Загальний знаменник, поняття та визначення.

Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-навхрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Погляньте:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа.

Приведення дробів до спільного знаменника

Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Наприклад, для знаменників 8 та 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Це число набагато менше від твору 8 · 12 = 96 .

Найменше число, яке ділиться кожен із знаменників, називається їх найменшим загальним кратним (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a і b позначається НОК (a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24 .

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3 . Численні 2 і 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 - загальний. Тому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Численні 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 - загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба: 1) знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде найменшим спільним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, навіщо ділити новий знаменник на знаменник кожної дроби. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

приклади. Привести такі дроби до найменшого спільного знаменника.

Знаходимо найменше загальне кратне знаменників: НОК (5; 4) = 20, тому що 20 - найменше число, яке ділиться і на 5 і на 4. Знаходимо для 1-го дробу додатковий множник 4 (20 : 5 = 4). Для 2-го дробу додатковий множник дорівнює 5 (20 : 4 = 5). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 4, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 5. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 20 ).

Найменший загальний знаменник цих дробів — число 8, оскільки 8 ділиться на 4 і саме себе. Додаткового множника до 1-го дробу не буде (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), до 2-го дробу додатковий множник дорівнює 2 (8 : 4 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 2-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 8 ).

Дані дроби є нескоротними.

Скоротимо 1-й дріб на 4, а 2-й дріб скоротимо на 2. ( див. приклади скорочення звичайних дробів: Мапа сайту → 5.4.2. Приклади скорочення звичайних дробів). Знаходимо НОК(16) ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Додатковий множник для 1-го дробу дорівнює 5 (80 : 16 = 5). Додатковий множник для 2-го дробу дорівнює 4 (80 : 20 = 4). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 5, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 4. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 80 ).

Знаходимо найменший спільний знаменник НОЗ(5 ; 6 і 15) = НОК (5 ; 6 та 15) = 30. Додатковий множник до 1-го дробу дорівнює 6 (30 : 5=6), додатковий множник до 2-го дробу дорівнює 5 (30 : 6=5), додатковий множник до 3-го дробу дорівнює 2 (30 : 15 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 6, чисельник і знаменник 2-го дробу на 5, чисельник і знаменник 3-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 30 ).

Сторінка 1 з 1 1