Видеоурок «Элементы симметрии правильных многогранников. Вывод урока делают сами ученики

Правильные многогранники. Симметрия в пространстве. «Симметрия…есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснять и создавать порядок, красоту и совершенство» (Герман Вейль) Многогранник- геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется правильным, если: -он выпуклый -все его грани являются равными правильными многоугольниками -в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер. Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название. Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково. Закон взаимности 4 В каждой вершине многогранника должно сходиться столько правильных n – угольников, чтобы сумма их углов была меньше 0 0 360 . Т.е должна выполняться формула βk < 360 (βградусная мера угла многоугольника, являющегося гранью многогранника, k – число многоугольников, сходящихся в одной вершине многогранника.) название β k Сумма плоских углов тетраэдр 60 3 180 октаэдр 60 4 240 икосаэдр 60 5 300 гексаэдр 90 3 270 додекаэдр 108 3 324 5 Выводы: Многогранник называется правильным, если: Он выпуклый; Все его грани равные правильные многоугольники; В каждой вершине сходится одно число граней; Все его двугранные углы равны. 6 Тетраэдр - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это – правильная треугольная пирамида). ППространственная теорема Пифагора Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра- прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней. Гексаэдр - правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов Октаэдр - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины. Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Если все грани - правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p,q} .Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814-1895г.р.), швейцарским математиком, которому принадлежат не мало изящных результатов в геометрии и математическом анализе. Название Запись Шлефли Число вершин N0 Число ребер N1 Число граней N2 Тетраэдр {3,3} 4 6 4 Куб {4,3} 8 12 6 Октаэдр {3,4} 6 12 8 Икосаэдр {3,5} 12 30 20 Додекаэдр {5,3} 20 30 12 Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (17071783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников. Вершины + Грани - Рёбра = 2. Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N0, числом рёбер N1 и числом граней N2 любого выпуклого правильного многогранника {p,q} .Речь идёт о соотношении N0 - N1 +N2= 2, которое называется «формулой Эйлера». Левая часть этой формулы называется «эйлеровой характеристикой». Полуправильные многогранники или Архимедовы тела - выпуклые, многогранники обладающие двумя свойствами: -Все грани являются правильными многогранниками двух или более типов (если все грани - правильные многоугольники одного типа, это -правильный многогранник); -Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. Двойственные к полуправильным многогранникам, так называемые Каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. Первое построение полуправильных многогранников приписывается, Архимеду хотя соответствующие работы утеряны. Существует две бесконечные последовательности полуправильных многогранников - правильные призмы и антипризмы. Кроме них, существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел. Усечённый тетраэдр Усечённый додекаэдр Усечённый куб Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники. Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя 100 лет переоткрыт Иоганом Кеплером (1571-1630) в 1619 году, и назвал его stella octangula - восьмиугольная звезда. Малый звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра. При дальнейшем продолжении граней до нового пересечения образуется средний звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр второго продолжения. Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра является звездчатый додекаэдр третьего продолжения - большой звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения. Симметрией в геометрии называют способность фигур к отображению. В переводе с древнегреческого это слово обозначает «соразмерность». Существует несколько видов симметрии - зеркальная, лучевая, центральная, осевая. На практике симметричные построения применяются в архитектуре, дизайне и многих других отраслях. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Рассматривается 3 случая расположения центра симметрии: центр вне фигуры; центр внутри фигуры; центр – точка данной фигуры. Практическая работа Ж У Н Г О Ш Б П Т Распределите по видам симметрии. Определение Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М1. М ММ М м М К К ОО К1 М1М ОМ=ОМ1 ; ММ1 М1 МК=М1К1 Фигуры, симметричные относительно плоскости Фигура (тело) называется симметричной относительно некоторой плоскости, если эта плоскость разбивает фигуру на две равные симметричные части. Сколько плоскостей симметрии имеет куб? Ответы: 2; 4; 5; 6; 9 Симметрия в пирамиде Верно ли высказывание: правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии Зеркальная симметрия в призме 1)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная призма? Ответы: а)2 б)4 в)3 г) г)5 5 д)12 2)Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник? Ответы: б)б)33 в)1 а)2 г)4 д)8 3)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная призма? Ответы: а) а)44 б)3 в)1 г)2 д)5 Симметрии тетраэдра Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Элементы симметрии правильных многогранников тетраэдр октаэдр икосаэдр гексаэдр додекаэдр Центры симметрии - 1 1 1 1 Оси симметрии 3 9 15 9 15 Плоскости симметрии 6 9 15 9 15 28 Задачи на дом. 1. Сколько плоскостей симметрии имеет пирамида, в основании которой лежит прямоугольник, ромб? Какое дополнительное условие должно присутствовать в условии задачи, чтобы ваш ответ был верен? Задачи на дом. 2. Начертить четырехугольную пирамиду, которая имеет одну плоскость симметрии. а) какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды? б) куда должна проектироваться вершина пирамиды? 3.Существует ли четырехугольная пирамида, не имеющая ни одной плоскости симметрии? (привести пример)

Элементы симметрии правильных многогранников Геометрия. 10 класс.

Тетраэдр - (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.

Элементы симметрии тетраэдра

Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер.

Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.

Октаэдр - (от греческого okto – восемь и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер. Каждая вершина октаэдра является вершиной 4 треугольников, таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240° .

Элементы симметрии октаэдра

Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер. Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии.

Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости.

Шесть плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер.

Икосаэдр – (от греческого ico - шесть и hedra - грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна

Элементы симметрии икосаэдра

Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии.

Плоскостей симметрии также 15.Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных ребер.

Куб или гексаэдр (от греческого hex - шесть и hedra - грань) составлен из 6 квадратов. Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700. У куба 12 ребер, имеющих равную длину.

Элементы симметрии куба

Ось симметрии куба может проходить либо через середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, либо через точку пересечения диагоналей противоположных граней. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей.

Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии.

Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра

(таких плоскостей-6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3).

Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra– грань) это правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240.

Элементы симметрии додекаэдра

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Развертки правильных многогранников

Развертка- это способ развернуть многогранник на плоскость после проведения разрезов по нескольким ребрам. Развертка представляет собой плоский многоугольник, составленный из меньших многоугольников - граней исходного многогранника. Один и тот же многогранник может иметь несколько разных разверток.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель изучения

• Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников - правильными многогранниками.
• Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез.
• Показать связь геометрии и природы.
• Изучить элементы симметрии правильных многогранников.

Прогнозируемый результат

• Знать определение правильных выпуклых многогранников.
• Уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел.
• Уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников.
• Знать теорему Эйлера (без доказательства).
• Иметь понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная).
• Знать примеры симметрий в окружающем мире.
• Знать элементы симметрии каждого правильного многогранника.
• Уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.

План урока

• Организационный момент.
• Актуализация знаний.
• Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранников.
• Правильные многогранники в философской картине мира Платона (сообщение учащегося).
• Формула Эйлера (исследовательская работа класса).
• Правильные многогранники (сообщение учащегося).
• Правильные многогранники на картинах великих художников (сообщения учащегося).
• Правильные многогранники и природа (сообщения учащегося).
• Элементы симметрии правильных многогранников (сообщения учащегося).
• Решение задач.
• Подведение итога урока.
• Домашнее задание.

Оборудование

• Чертёжные инструменты.
• Модели многогранников.
• Репродукция картины С. Дали "Тайная вечеря".
• Компьютер, проектор.
• Иллюстрации к сообщениям учащихся:
  • модель солнечной системы И. Кеплера;
  • икосаэдро-додекаэдровая структура земли;
  • правильные многогранники в природе.

"Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный
по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".
Л. Кэрролл

Ход урока

На данный момент уже вы имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. На сегодняшнем уроке у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогранниках, вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках. С некоторыми понятиями вы уже знакомы - это многогранники и выпуклые многогранники. Вспомним их.

• Дайте определение многогранника.
• Какой многогранник называется выпуклым?

Нами уже использовались словосочетания "правильные призмы" и "правильные пирамиды". Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

Может показаться, что вторая часть определения является лишней и достаточно сказать, что выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон. Достаточно ли этого на самом деле?

Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью) . Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет! ). Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых - четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным. Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n - угольники при n 6.

В самом деле, угол правильного n-угольника при n 6 не меньше 120 о (объясните почему). С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при n 6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120 о * 3 = 360 о . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 о.

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

• "эдра" - грань
• "тетра" - 4
• "гекса" - 6
• "окта" - 8
• "икоса" - 20
• "додека" - 12

Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и доказать, что других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.

Обращаю внимание на слова Л. Кэрролла, которые являются эпиграфом сегодняшнего урока: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажут:

Сообщение "Правильные многогранники в философской картине мира Платона"

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх "стихий" - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих "стихий" имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Учитель. А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI - XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 - 1630).

Сообщение "Кубок Кеплера"

Рис.6. Модель Солнечной системы И. Кеплера

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы - столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы - как его собственных, так и великих предшественников - астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который

вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название "Космического кубка" Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге "Тайна мироздания". Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

Учитель. Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Сообщение "Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли"

Рис 7. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Учитель. А сейчас от научных гипотез перейдём к научным фактам.

Исследовательская работа "Формула Эйлера"

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу № 1.

Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: "Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?" По-видимому, нет. Например, в столбце "грани" казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 12, 12 + 2 20). В столбце "вершины" нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце "рёбра" закономерности тоже не видно.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах "грани" и "вершины" (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов (см. табл. № 2). Вот теперь закономерности может не заметить только "слепой". Сформулируем её так: "Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ", т.е.

Г + В = Р + 2

Итак, мы вместе "открыли" формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Запомните эту формулу, она пригодится вам для решения некоторых задач.

"Тайняя вечеря" С. Дали

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 - 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине "Тайная вечеря" изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего - нет, он "подсмотрел" их у природы.

Послушаем сообщение: "Правильные многогранники и природа".

Сообщение "Правильные многогранники и природа"

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр (рис. 8).

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись.

Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Учитель. Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии. Послушаем сообщение симметрии правильных многогранников.

Тем не менее, снова возвращаемся к вычислениям.

Решим несколько задач.

Задача. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 9. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Задача: № 28.

Подходит к концу урок, подведём итоги.

• С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились?
• Почему Л. Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников?

Дома: параграф 3, п.32, № 274, 279. Рис. 9

Литература.

• Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. М.: Школа-Пресс, 1998. (Библиотека журнала "Математика в школе". Вып.7).
• Винниджер. Модели многогранников. М., 1975.
• Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.-5-е изд.- М.: Просвещение, 1997.
• Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.
• Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.
• Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.
• Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.

Радиусы описанной () и вписанной () сфер задаются формулами:

где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h - величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Лощадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объем правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой - радиус вписанной сферы r:

История.