Бесконечные множества и действительные числа. Действительные числа

Множество действительных чисел - это совокупность дополнения рациональных чисел иррациональными. Обозначается это множество буквой R, а в качестве символа принято использовать запись (-∞, +∞) либо (-∞,∞).

Описать множество действительных чисел можно следующим образом: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей, конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби - рациональные числа, а бесконечные десятичные и непериодические дроби - иррациональные числа.
Любое действительное число можно указать на координатной прямой. Также уместно и обратное утверждение: любая точка на координатной прямой имеет действительную координату. На математическом языке это звучит так: между множеством точек координатной прямой и множеством R действительных чисел можно установить взаимно однозначное соотношение. Для самой координатной прямой зачастую используют термин «числовая прямая», так как координатная прямая является геометрической моделью множества действительных чисел.
Оказываться, что ваше знакомство с координатной прямой было давно, но пользовать ею вы начнете только сейчас. Почему? Ответ вы сможете найти в примере из видеоурока.

Известно, что для действительных чисел a и b выполняются уже хорошо известные вам законы сложения и умножения: коммуникативный закон сложения, коммутативный закон умножения, ассоциативный закон сложения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения и другие. Проиллюстрируем некоторые из них:
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + bc
Также выполняются следующие правила:
1. В результате произведения (частного) двух отрицательных чисел получается число положительное.
2. В результате произведения (частного) отрицательного и положительного числа получается число отрицательное.
Сравнить действительные числа друг с другом можно, опираясь на определение:
Действительное число a больше или меньше действительного числа b, в том случае, когда разность a - b является положительным или отрицательным числом.
Записывается это так: a > b, a < b.
Это значит, что а является положительным числом, а b - отрицательное.
То есть, в случае, когда a > 0 => a положительно;
a < 0 => a отрицательное;
a > b, то a - b положительно => a - b > 0;
a < b, то a - b отрицательное => a - b < 0.
Помимо знаков (<; >) строгих неравенств, используются и знаки нестрогих неравенств - (≤;≥).
Например, для любого числа b, выполняется неравенство b2 ≥ 0.
Примеры сравнения чисел и расположения их в порядке возрастания Вы можете в видеоуроке.
Благодаря геометрической модели множества действительных чисел - числовой прямой, операция сравнения выглядит особо наглядно.

Основное свойство алгебраической дроби

Мы продолжаем знакомство с алгебраическими дробями. Если на предыдущем уроке речь шла об основных понятиях, то на этом уроке вы узнаете об основном свойстве алгебраической дроби. Определение основного свойства дроби известно из курса математики 6 класса (сокращение дробей). В чем же оно состоит? Часто при решении задач, уравнений возникает необходимость преобразовать одну «неудобную» для вычислений дробь в другую, «удобную». Именно для выполнения таких преобразований и необходимо знать её основное свойство и правила изменения знаков, с которыми вы познакомитесь, просмотрев видеоурок.

Значение обыкновенной дроби останется неизменным при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число (кроме нуля). В этом и состоит основное свойство дроби.
Рассмотрим пример:
7/9 = 14/18
Имеем две дроби, тождественно равные друг другу. Числитель и знаменатель в данном случае умножили на 2, при этом значение дроби не изменилось.
Что происходит с дробью при делении числителя и знаменателя на одно и то же число, вы узнаете из видеоурока.
Алгебраическая дробь - это, в принципе, та же самая обыкновенная дробь, над ней можно выполнять те же действия, что и над обыкновенной.
Выражение, стоящее в числителе, и выражение, стоящее в знаменателе дроби, можно домножить или разделить на одно и то же буквенно-цифровое выражение (многочлен или одночлен), одно и то же число (кроме нуля: если выражение или число, стоящее в знаменателе дроби, умножить на ноль, он примет нулевое значение; а, как известно, на ноль делить нельзя). Такое преобразование алгебраической дроби называют её сокращением. В этом и состоит основное свойство алгебраической дроби. Как оно реализуется на практике - вы можете узнать из видеоурока.
Преобразование дробей в дроби с одинаковыми знаменателями называют приведением дробей к общему знаменателю. Для выполнения данного действия необходимо выполнить определенную последовательность действий, состоящую в следующем:

Разложив все знаменатели на множители, определяем НОК для числовых коэффициентов.
. Записываем произведение, с учетом НОК коэффициентов и всех буквенных множителей. Если множители одинаковые, берём множитель один раз. Из всех степеней, у которых одинаковые основания, берем множитель с максимальным показателем степени.
. Находим значения, являющиеся дополнительными множителями для числителя каждой из дробей.
. Для каждой дроби определяем новый числитель - как произведение старого числителя на дополнительный множитель.
. Записываем дроби с новым числителем, который определили, и общим знаменателем.

Пример 1: Привести следующие дроби a/4b2 b a2/6b3 к общему знаменателю.
Решение:
Для начала определим общий знаменатель. (Он равен 12b2).
Затем, следуя алгоритму, определим дополнительный множитель для каждой из дробей. (Для первой - 3b, для второй - 2).
Выполнив умножение, получим результат.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 и (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2 .
Пример 2: Привести дроби c/(c - d) и c/(c + d) к общему знаменателю.
Решение:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c - d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 - d2)
c*(c - d)/(c + d)(c - d) = (c2 - cd)/(c2 - d2)

Более подробное решение аналогичных примеров вы найдете в видеоуроке.
Основное свойство алгебраической дроби имеет следствие в виде правила изменения знаков:
a - b/c - d = b - a/d - c
В этом случае числитель и знаменатель дроби умножили на -1. Аналогичные действия можно производить не со всей дробью, а только с числителем или только со знаменателем. Как изменится результат, если, например, только числитель или только знаменатель умножить на -1, вы узнаете, просмотрев видеоурок.
Теперь, изучив основное свойство алгебраической дроби и вытекающее из него правило, нам по силам решать более сложные задачи, а именно: вычитание и сложение дробей. Но это уже тема следующего урока.

Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (-оо, +оо) или (-оо, оо).

Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей; конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.

Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно, говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное со ответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая.

Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая — объект геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность
отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».

Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности.

Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис. 100), диагональ квадрата ОВ отложена на координатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали квадрата, т. е. . Это число, как
мы теперь знаем, не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе координату точки D вы бы найти не смогли.

Потому мы до сих пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая».

Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать
любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве
(а + Ь){а-b) = а 2 -b 2 в роли а и b могут выступать любые числа, не обязательно
рациональные. Этим мы уже пользовались в конце предыдущего параграфа. Этим же мы пользовались и в § 18 — в частности, в примерах 6, 7, 8 из указанного параграфа.

Для действительных чисел а, b, с выполняются привычные законы:
а + b = b + а;
аЬ = bа;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(а + b) с = ас + bc и т. д.
Выполняются и привычные правила: произведение (частное) двух положительных чисел — положительное число;
произведение (частное) двух отрицательных чисел — положительное число;
произведение (частное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.

Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.

Определение . Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность а - b — положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (а < b).

Из этого определения следует, что всякое положительное число а больше нуля (поскольку разность а - 0 = а — положительное число), а всякое отрицательное число b меньше нуля (поскольку разность b - 0 = b — отрицательное число).

Итак, а > 0 означает, что а — положительное число;
а < 0 означает, что а — отрицательное число;
а>b означает, что а -b — положительное число, т. е. а - b > 0;
a т.е. а - b < 0.
Наряду со знаками строгих неравенств (<, >) используют знаки нестрогих неравенств:
а 0 означает, что а больше нуля или равно нулю, т. е. а — неотрицательное число (положительное или 0), или что а не меньше нуля;
а 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю, т. е. а — неположительное число (отрицательное или 0), или что а не больше нуля;
а b означает, что а больше или равно b, т. е. а - b — неотрицательное число, или что а не меньше b; а - b 0;
а b означает, что а меньше или равно b, т. е. а - b — неположительное число, или что а не больше Ь; а - b 0.
Например, для любого числа а верно неравенство а 2 0;
для любых чисел а и b верно неравенство (а - b) 2 0.
Впрочем, для сравнения действительных чисел необязательно каждый раз составлять их разность и выяснять, положительна она или отрицательна. Можно сделать соответствующий вывод, сравнивая записи чисел в виде десятичных дробей.

Геометрическая модель множества действительных чисел, т. е. числовая прямая, делает операцию сравнения чисел особенно наглядной: из двух чисел а, b больше то, которое располагается на числовой прямой правее.

Таким образом, к сравнению действительных чисел нужно подходить достаточно гибко, что мы и используем в следующем примере.

Пример 1. Сравнить числа:

Пример 2. Расположить в порядке возрастания числа

Исторически первыми возникли натуральные числа $N$, как результат пересчета пердметов. Множество этих чисел бесконечно и образует натуральный ряд $N=\{1, 2, 3, ..., n, ...\}$. В этом множестве выполнимы операции сложения и умножения. Для выполнения операции вычитания потребовались новые числа, что привело к появлению множества целых чисел: $Z$. $Z=N_+\cup N_- \cup \{0\}$. Таким образом в множестве целых чисел всегда выполняются операции сложения, умножения, вычитания.

Рациональные числа

Необходимость выполнения деления привела к множеству рациональных чисел $Q$. $Q=\{\frac{m}{n}, m\in Z, n\in N\}$.

Определение. Два рациональных числа равны: $\frac{m_1}{n_1}=\frac{m_2}{n_2}$ - если $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Это означает, что всякое рациональное число можно представить единственным образом в виде несократмой дроби $\frac{m}{n}$. $НОД(m, n)=1$.

Свойства множества рациональных чисел

1. В результате арифметических операций над рациональными числами (сложение, умножение, вычитание, деление, кроме деления на ноль) получается рациональное число.

2. Множество рациональных чисел упорядочено, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ либо $ab$.

3. Множество рациональных чисел плотно, то есть для любой пары рациональных чисел $a$ и $b$ существует такое рациональное число $c$, что $a

Всякое положительное рациональное число всегда можно представить в виде десятичной дроби: либо конечной, либо бесконечной периодической. Например: $\frac{3}{5}=0,6$, $\frac{1}{3}=0,333...=0,(3)$.

$\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ - называется периодом десятичной дроби, где не все $b_i=0$.

Заметим, что конечная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической с нулем в периоде. $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Однако, чаще встречается другое представление рациональных чисел в виде десятичной дроби: $\frac{m}{n}=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

Отрицательные рациональные числа $-\frac{m}{n}$ записываютсяв виде десятичного разложения рационального числа вида $\frac{m}{n}$, взятого с противоположным знаком.

Число $0$ представляется в виде $0,000...$.

Таким образом, всякое рациональное число всегда представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби не содержащей $0$ в периоде, кроме самого числа $0$. Такое представление единственное.

Иррациональные числа

Множество рациональных чисел замкнуто относительно четырёх арифметических операций. Однако в множестве рациональных чисел не всегда имеет место решение простейшего уравнения вида $x^2-n=0$. Поэтому возникает необходимость введения новых чисел.

Покажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен трём. Доказательство проведём методом от противного.

Предположим, что существует рациональное число $\frac{m}{n}$ такое, что его квадрат равен трём: $\left(\frac{m}{n}\right)^2=3\;\;\;(1)$.

$\frac{m^2}{n^2}=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Правая часть равенства (2) делится на 3. Значит и $m^2$ делится на 3, следовательно $m$ делится на 3, а это значит, что $m=3k$. Подставим в равенство (2), получим:

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

Левая часть равенства $(3)$ делится на $3$, значит и правая часть делится на $3$. Следовательно $n^2$ делится на $3$, значит и $n$ делится на $3$, откуда $n=3p$. В результате получаем: $\frac{m}{n}=\frac{3k}{3p}$, то есть дробь $\frac{m}{n}$ оказалась сократимой, что противоречит предположению. Значит, среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен трём.

Но число, квадрат которого равен трём, существует. Оно представимо в виде бесконечной непериодической дроби. И мы получили новый вид чисел. Назовём их иррациональными.

Определение. Иррациональным числом называется любая бесконечная непериодическая дробь.

Множество всех бесконечных непериодических дробей называется множеством иррациональных чисел и обозначается $I$.

Действительные числа

Объединение множества рациональных чисел $Q$ и иррациональных чисел $I$ даёт множество действительных чисел $R$: $Q\cup I=R$.

Таким образом всякое действительное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби: периодической в случае рационального числа и непериодической в случае иррационального числа.

Сравнение действительных чисел

Для действительных чисел $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ сравнение осуществляется следующим образом:

1) Пусть $a$ и $b$ оба положительны: $a>0$, $b>0$, тогда:

$a=b$, если для любого $k$ $a_k=b_k$;

$a>b$, если $\exists s$ $\forall kb_s$.

2) Пусть $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0

3) Пусть $a$ и $b$ оба отрицательны: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, если для $-a=-b$;

Является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х 2 +2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы - малыми буквами a, b,... ...,х,у,...

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х Î X; запись хÏ Х или х Î X означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х:0≤х≤2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АÌ В («А включено в В») или ВÉ А («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АÌ В и ВÌ А. Другими словами, множества , состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х:хєА или хєВ}.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В={х:хєА и хєВ}

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

ΑÞ ß - означает «из предложения α следует предложение ß»;

ΑÛ ß - «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;

" - означает «для любого», «для всякого»;

$ - «существует», «найдется»;

: - «имеет место», «такое что»;

→ - «соответствие».

Например:
1) запись " xÎ А:α означает: «для всякого элемента хÎ А имеет место предложение α»;
2) (х єA U В) <==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.

13.2. Числовые множества . Множество действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2; 3; ...; n; ... } - множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } - множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} - множество целых чисел;

Q={m/n: mÎ Z,nÎ N} - множество рациональных чисел.

R-множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... - рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.

Теорема 13.1.

Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

▼Допустим, что существует рацыональное число, представленное несократимой дробью m/n, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

(m/n) 2 =2, т. е. m 2 =2n 2 .

Отсюда следует, что m 2 (а значит, и m) - четное число, т. е. m=2k. Подставив m=2k в равенство m 2 =2n 2 , получим 4k 2 = 2n 2 , т. е. 2k 2 =n 2 ,

Отсюда следует, что число n-четное, т. е. n=2l.Но тогда дробь m/n=2k/2l сократима. Это противоречит допущению, что m/n дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2. ▲

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так,√2=1,4142356...- иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать

R={х: х=α,α 1 α 2 α 3 ...}, где аєZ, а i є{0,1,...,9}.

Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а

2. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х

Так, если a

(a

3. Множество R непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел aєА и bєВ выполнено неравенство a

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу хєR соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».