Формула n-го члена арифметической прогрессии. Информация о домашнем задании
Тема урока: Глава 2 . Арифметическая прогрессия. Формула n –ого члена арифметической прогрессии.
Цели урока:
| Оценка: определяют результаты своей работы на уроке Синтез: формулируют определение арифметической прогрессии, применяют формулу n –ого члена, используют свойства Анализ: сравнивают способы нахождения n –ого члена арифметической прогрессии Применение: демонстрируют применение формулы n –ого члена арифметической прогрессии Понимание: обсуждают вывод формулы n –ого члена арифметической прогрессии Знание: рассказывают определение арифметической прогрессии, формулу n –ого члена |
| Учебно-воспитательные задачи: Образовательная: |
| обеспечить усвоение новых знаний по данной теме, сформировать навыки применения знаний по арифметической прогрессии к задачам реальной ситуации через групповое обучение. |
| Развивающая: развитие способности выражать мысли, познавательных способностей, формирование алгоритмического мышления, расширение кругозора |
| Воспитательная: способствовать выявлению, раскрытию способностей учащихся, возбуждать интерес к предмету, побуждать учащихся к применению полученных знаний |
| Результаты обучения: Учащиеся знают: определение арифметической прогрессии, применяют формулу n –ого члена |
| Учащиеся умеют : применять формулу n –ого члена арифметической прогрессии к практическим задачам, работать в группе, ясно выражать мысли, участвовать в дискуссии, умеют слушать и слышать |
Тип урока : сообщение новых знаний
Форма проведения урока: беседа
Методы обучения :
По источнику получения знаний : словесные, наглядные, практические.
По способу организации познавательной деятельности : объяснительно-иллюстративные, репродуктивные.
Методы воспитания : Организация деятельности, формирование мировоззрения, стимулирование деятельности, осуществление контроля, взаимоконтроля, самоконтроля.
Формы обучения : коллективные, индивидуальные, групповые
Основные понятия темы:
Задание на дом : №206, 207(1,3),
Оборудование, ресурсы, наглядные пособия: учебник,раздаточный материал
Учитель: Шуринова Е.К.
Ход урока
| Этапы урока | |
| Оргмомент. Задачи: обеспечить нормальную внешнюю обстановку на уроке, психологически подготовить детей к общению | Приветствие Проверка подготовленности к уроку Организация внимания школьников Ознакомление с планом проведения урока |
| Проверка домашнего задания. Задачи: установить правильность, полноту и осознанность выполнения всеми учащимися домашнего задания, выявить пробелы в знаниях, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы | Выявление степени усвоения заданного учебного материала . Вопросы кроссворда : 1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 2. Разность последовательно одинаковых членов. 3. Способ задания последовательности. 4. Разность последующего и предыдущего членов прогрессии. 5. Элементы, из которых состоит последовательность. 6. Натуральное число, обозначающее место члена в последовательности. 7. Функция, заданная на множестве натуральных чисел. 8. Последовательность, содержащая конечное число членов. |
| Вызов. Задачи: обеспечить включение школьников в совместную деятельность по определению целей учебного занятия. | Сообщение темы урока Формулирование цели совместно с учениками Сегодня на уроке мы познакомимся с арифметической прогрессией, изучим её свойство, выведем формулу п -го члена арифметической прогрессии и решим задачи на применение этих формул. |
| Актуализация знаний и умений Задачи: психологическая подготовка ученика: сосредоточение внимания, осознание значимости предстоящей деятельности, возбуждение интереса к уроку; учащиеся воспроизводят известные им знания, осознают их, обобщают факты, связывают старые знания с новыми условиями, с новыми данными и т.д. | Деление на группы: Собрать картинку и разделиться на 4 группы. 1) 1, 3, 5, 7, 9, … 2) 5, 8, 11, 14, … 3) -1, -2, -3, -4, … 4) -2, -4, -6, -8, … Давайте вместе с вами найдём закономерности Учащиеся: 1) каждый член числовой последовательности на 2 больше предыдущего; 2) каждый член числовой последовательности на 3 больше предыдущего; 3) каждый член числовой последовательности на 1меньше предыдущего; 4) каждый член числовой последовательности на 2 меньше предыдущего . |
| Осмысление Изучение нового материала. Задачи: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание изучаемого материала, осознание своих способов проработки учебной информации | Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. a n +1 = a n + d , n є N Число d называют разностью арифметической прогрессии d = a n +1 – a n Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом. |
| Закрепления новых знаний и умений. Задачи: обеспечить повышение уровня осмысления учащимися изученного материала, глубины его усвоения | 1. Найдите разность арифметической прогрессии, если а8 – а5= - 21,3. Решение: используя формулу п-го члена арифметической прогрессии, имеем: a 8 =d(8-1)+а 1 и а5=d(5-1)+а1. Получим: а8 – а5= - 21,3 7d+ а1 – (4d +а1)= - 21,3 7d+ а1 – 4d - а1= - 21,3 3d = - 21,3 d = - 7,1 Ответ: d = - 7,1 Двое учащихся записывают решение на доске, ответы вписывают в окошечко и проверяют правильность своего решения. 2. Техническая задача. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду? Решение: а1=7, d = 3. Найдём а8. а8=d(8-1)+а1=3 7+7=28. Значит за восьмую секунду тело прошло 28 метров . Ответ: 28 метров. Приложение1 |
| Проверка новых знаний Задачи: установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления | Работа с учебником. Уровень А: № 208,209 Уровень В: 212 |
| Коррекция знаний. Задачи: скорректировать выявленные проблемы | Организация деятельности учащихся по коррекции выявленных недостатков Повторное разъяснение учителя. |
| Подведение итогов. Рефлексия. Задачи: инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, дать оценку работе отдельных учащихся и всего класса | Мобилизация учащихся на рефлексию Оценить по 10-бальной шкале работу на занятии с позиции: „Я" 0________10 „Мы" 0________10 „Дело" 0________10 Выставление оценок. |
Задача 1 На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на один час, на два часа, на три часа и т.д.?
Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d" title="Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> title="Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d">
1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" class="link_thumb"> 23 : Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член арифметической прогрессии 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар"> 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член арифметической прогрессии"> 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар"> title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар">
Задача 1* На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на двое суток?
План-конспект урока по теме: «Формула n -ого члена геометрической прогрессии». Подготовка к ОГЭ.
Основная цель : закрепить понятие геометрической прогрессии;
познакомить учащихся с формулой n-ого члена геометрической прогрессии;
применение этой формулы и свойства на примерах и задачах.
УМК: Алгебра.9класс.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ (А.Г.Мордкович и др.); под редакцией А.Г.Мордковича.-11-е изд., стер.-М.:Мнемозина, 2009.-255 с.: ил.
Класс: 9
Тип урока: урок изучения нового материала.
Ход урока.
Организационный момент (1 мин)
Учитель приветствует детей.
Устная работа.(9 мин)
Найдите среднее геометрическое чисел 16 и 25; 9 и 36; 49 и 81; 12 и 25.
Решите уравнение: b 2 =3, b 2 =-3, b 3 =-27, x 6 =164.
Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи сутки? На восьмые сутки? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)
Мы с вами видим, что полученная нами последовательность является... геометрической прогрессией. Давайте вспомним ее определение.
Дается определение : Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Вопрос: - Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Делением предыдущего члена на 2 или умножением на 12 ). Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают q .
Проверка домашнего задания (5 мин)
Изучение нового материала.(10 мин)
Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи.
В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты каждая из них делится на две. Сколько бактерий появилось на 5-ой минуте? (см. рис.1)
Сколько их будет через три минуты?
На 1-ой минуте - 2
на 2-ой минуте - 4
на 3-ей минуте - 8
на 4-ой минуте - 16
на 5-ой минуте - 32
Можем продолжить?
на 6-ой минуте - 64
на 7-ой минуте - 128
на 8-ой минуте - 256
на 9-ой минуте - 512
на 10-ой минуте - 1024
на 11-ой минуте - 2048
на 12-ой минуте - 4096
на 13-ой минуте - 8192
Вывод: следовательно необходима формула для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии.
Рассмотрим геометрическую прогрессию b 1 ; b 2 ; b 3 ,...,b n , со знаменателем q. Имеем:
b 1 = b 1
b 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q 2
b 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 3
b 5 = b 3 q = (b 1 q 3) q = b 1 q 4 и т.д.
Нетрудно догадаться что для любого n справедливо неравенство
b n = b 1 q n - 1
Это n -ого члена геометрической прогрессии.
Попробуем проверить справедливость этой формулы для уже известной нам задачи с бактериями. Посчитаем 5-ый член последовательности
b n = b 1 q n - 1 = b 5 = b 1 q 5-1 = 1·2 4 = 1·16=16.
b n = b 1 q n - 1 = b 11 = b 1 q 11-1 = 1·2 10 = 1·1024=1024.
Закрепление изученного материала: (10)
ПР Пример 1-2.
УЧ: № 17.10(а,б),
№ 17.11(а,б),
№ 17.12(а,б)
Физкультминутка (1 мин)
Подготовка к ОГЭ. (15 мин)
Карточки
Домашнее задание: (1 мин.)
№ 17.10(в,г), 17.12(в,г), 17.14, 17.16
Подведение итогов урока (1 мин)
Задача № 1
Чтобы найти сумму арифметической прогрессии
у нас есть две формулы
.
разность прогрессии
.
d=a2-a1=-5-(-7)=2.
Подставляем все в формулу:
S50=50*(2*(-7)+(50-1)*2)/2=50*(-14+98)/2=50*42=2100
Ответ: S50=2100
Задача № 2
d=a2-a1=3-1=2.
Подставляем все в формулу:
S60=60*(2*1+(60-1)*2)/2=30*(2+118)=30*120=3600
Ответ: S60=3600
Задача № 3
Зная, что an+1=an+4, т.е. a10=a9+4, можно,конечно, вычислить все первые 10 членов последовательности, но это трудоемко. К тому же, если бы потребовалось вычислить 300-ый член, то это заняло бы очень много времени.
Есть способ проще:
В арифметической прогрессии
an=a1+(n-1)d, нам неизвестна только d. Вычислить ее можно по формуле: d=an+1-an
Используя эту формулу и условие задачи, мы видим, что d=4. Тогда:
a10=a1+(10-1)4
a10=3+9*4=39.Ответ: a10=39
Задача № 4
Зная, что bn+1=1/2*bn, т.е. b7=1/2*b6, можно,конечно, вычислить все первые 7 членов последовательности, но это трудоемко. К тому же, если бы потребовалось вычислить 300-ый член, то это заняло бы очень много времени.
Есть способ проще:
В геометрической прогрессии
bn=b1qn-1, нам неизвестна только q. Вычислить ее можно по формуле: bn+1/bn=q
Используя эту формулу и условие задачи, мы видим, что q=1/2. Тогда:
b7=b1(1/2)(7-1)
b7=-128*(1/2)6=-128*1/64=-2.
Ответ: b7=-2
Задача № 5
Чтобы найти сумму первых 4 членов данной геометрической прогрессии
, воспользуемсяформулами
. В нашем случае, удобней воспользоваться первой. Для этого необходимо узнать b1 - первый член прогрессии и q - знаменатель прогрессии
.
b1=62,5*21=125 (из условия задачи). А q=2.
Тогда S4=125*(1-24)/(1-2)=125*(1-16)/(-1)=125*15=1875
Ответ: S4=1875
Задача № 6
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
bn=b1qn-1
Тогда b2=b1q2-1=b1q
По условию:
1) b1+b2=75
b1+b1q=75
b1(1+q)=75
2) b2+b3=150
b1q+b1q2=150
b1(q+q2)=150
b1(q+1)q=150
Подставляем из п. 1)
75q=150 = q=2, тогда b1(1+2)=75 = b1=25
b2=25*2=50
b3=25*22=100
Ответ: b1=25, b2=50, b3=100
Задача № 7
В данном случае, вместо того, чтобы воспользоваться формулами
для геометрической прогрессии
, легче решить эту задачу "в лоб". Т.е. найти b2, b3, ..., b7.
b1=64 (по условию).
b2=b1*1/2=64*1/2=64/2=32
b3=b2*1/2=32/2=16
b4=16/2=8
b5=8/2=4
b6=4/2=2
b7=2/2=1 Ответ: b7=1
| Карточка 1 №1 . Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов. №2 . Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов. №3. Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями: a 1 =3, a n+1 =a n +4. Найдите a 10 . №4. Геометрическая прогрессия (b n) задана условиями: b 1 = –128, b n+1 =1/2*b n . Найдите b 7 . №5. Геометрическая прогрессия задана условием b n =62,5*2 n . Найдите сумму первых её 4 членов. №6 №7. Геометрическая прогрессия (b n) задана условиями: b 1 =64, b n+1 =b n *1/2. Найдите b 7 . |
| Карточка 1 №1 . Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов. №2 . Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов. №3. Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями: a 1 =3, a n+1 =a n +4. Найдите a 10 . №4. Геометрическая прогрессия (b n) задана условиями: b 1 = –128, b n+1 =1/2*b n . Найдите b 7 . №5. Геометрическая прогрессия задана условием b n =62,5*2 n . Найдите сумму первых её 4 членов. №6 . В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии. № 7. Геометрическая прогрессия (b n ) задана условиями: b 1 =64, b n+1 =b n *1/2. Найдите b 7 . |
Задача №3 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 1C5D03
Показать решение задачи
Дана арифметическая прогрессия: -6; -2; 2; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.
Чтобы найти сумму арифметической прогрессии
у нас есть две формулы
.
a50 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии
.
d=a2-a1=-2-(-6)=4.
Подставляем все в формулу:
S50=50*(2*(-6)+(50-1)*4)/2=50*(-12+196)/2=50*92=4600
Ответ: S50=4600
Задача №4 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - FD1ABB
Показать решение задачи
Дана арифметическая прогрессия: -1; 2; 5; … . Найдите сумму первых пятидесяти пяти её членов.
Чтобы найти сумму арифметической прогрессии
у нас есть две формулы
.
a55 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии
.
d=a2-a1=2-(-1)=3.
Подставляем все в формулу:
S55=55*(2*(-1)+(55-1)*3)/2=55*(-2+162)/2=55*80=4400
Ответ: S55=4400
Задача №19 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 34D7F8
Показать решение задачи
Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?
n-ый член арифметической прогрессии
равен a1+(n-1)d
a1=20
d=a2-a1=17-20=-3
a91=a1+(n-1)d=20+(91-1)(-3)=20-270=-250
Ответ: a91=-250
Задача №22 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4CBA5B
Показать решение задачи
Записаны первые три члена арифметической прогрессии: -4; 2; 8; … Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 81-м месте?
n-ый член арифметической прогрессии
равен a1+(n-1)d
a1=-4
d=a2-a1=2-(-4)=6
a81=a1+(n-1)d=-4+(81-1)6=-4+480=476
Ответ: a81=476
Задача №79 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4C12DC
Показать решение задачи
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -7; -5; -3; … Найдите её шестнадцатый член.
n-ый член арифметической прогрессии
равен a1+(n-1)d
a1=-7 (по условию)
a2=-5 (по условию)
d=a2-a1=-5-(-7)=2
a16=a1+(n-1)d=-7+(16-1)2=-7+30=23
Ответ: a16=23
Задача №82 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4D6C7C
Показать решение задачи
Дана геометрическая прогрессия (b n), знаменатель которой равен 2, b 1 =16. Найдите b 4 .
Каждый член геометрической прогрессии
можно выразить через первый член.
bn=b1qn-1
Следовательно, b4=b1q4-1=b1q3=16*23=16*8=128
Ответ: 128
Срочный вклад, положенный в сберегательный банк ежегодно увеличивался на 5%. Каким станет вклад через 8 лет, если вначале он был равен 1000 руб.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;…) Вопрос: Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Умножением предыдущего на 1,05).
В чём главная суть формулы?
Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.
Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)
Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.
Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .
А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:
a n
Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.
И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...
Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.
В формуле n-го члена арифметической прогрессии:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1 - первый член арифметической прогрессии;
n - номер члена.
Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.
Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:
a n = 5 + (n-1)·2.
Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.
А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:
a n = 3 + 2n.
Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.
В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.
Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.
В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.
Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)
А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.
В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:
Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:
a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23
Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.
Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:
Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.
Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...
У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)
Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.
Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...
Ещё одна популярная задачка:
Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.
Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:
12=2 + (15-1)d
Считаем арифметику.)
12=2 + 14d
d =10/14 = 5/7
Это правильный ответ.
Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:
Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.
Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:
a n = 12 + (n-1)·3
На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1)·3
Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.
А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):
Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)
Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:
117 = -3,6 + (n-1)·1,2
Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:
Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.
Задача на основе реального варианта ГИА:
Арифметическая прогрессия задана условием:
a n = -4 + 6,8n
Найти первый и десятый члены прогрессии.
Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.
Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)
Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:
a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8
Вот! Первый член 2,8, а не -4!
Аналогично ищем десятый член:
a 10 = -4 + 6,8·10 = 64
Вот и все дела.
А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)
Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?
Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:
Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :
a 2 =a 1 +1 ·d
Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .
a 3 =a 1 +2 ·d
Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).
Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .
a 4 =a 1 +3 ·d
Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...
Задания для самостоятельного решения.
Для разминки:
1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .
Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)
А это - уже не разминка.)
2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .
Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...
3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.
В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!
4. Дана арифметическая прогрессия (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.
6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .
Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.
Ответы (в беспорядке):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Получилось? Это приятно!)
Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.
Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
