Формула разложения 4 степени. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) - формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) - формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

2015. Система А2Б подключила телефонию к CRM

Система управления бизнесом А2Б интегрировала свою CRM с сервисом телефонии СКОРОЗВОН. Теперь можно звонить клиентам одним кликом всего от 40 копеек в минуту. Удобные звонки и быстрое фиксирование результатов позволят менеджерам не тратить время на поиск номера контактного лица и его набор в телефоне. Сервис СКОРОЗВОН предоставляет возможность записи телефонных разговоров и хранит их до 1 года (в зависимости от тарифа). Система А2Б также позволяет управлять проектами, контролировать поручения, вести планирование. Стоимость по прежнему - от 500 руб/месяц на всю компанию.

2015. В CRM А2Б расширена аналитика и реализованы настройки доступа

Система управления бизнесом А2Б выпустила в марте несколько значительных обновлений модуля CRM: расширена аналитика, реализована кастомизация стадий продаж, добавлена возможность настроек доступа для менеджеров. Расширенные отчеты показывают работу менеджеров, прогноз продаж, популярность товаров, воронку на любой промежуток времени в графическом и табличном виде. Дополнительные фильтры помогут детализировать отчет под текущие запросы. Теперь каждая компания может установить свои правила доступа к базе клиентов, продаж и взаимодействий для своих менеджеров. Настроить можно от возможности просмотра до возможности удаления определенных записей в базе. Как и прежде, модуль CRM, входящий в состав системы А2Б, стоит от 500 руб/месяц на всю компанию. Для трех пользователей система бесплатна.

2015. В А2Б появилась система электронного документооборота

В системе управления бизнесом А2Б появился модуль электронного документооборота, доступный как в онлайн, так и в коробочном варианте. Модуль СЭД включает самые востребованные возможности для управления внутренним документооборотом компании и предназначен для сокращения времени на согласование и контроль соответствующих поручений. Система позволяет быстро найти любой документ, просмотреть историю и упростить формирование отчетов. СЭД А2Б подходит для компаний малого и среднего бизнеса, а также крупных компаний с облегченными требованиями к программе. Стоимость модуля СЭД - от 500 руб/месяц на всю компанию (до трех пользователей можно использовать бесплатно).

2014. В А2Б появился сборщик электронной почты

Система управления бизнесом А2Б теперь позволяет собирать в едином доступе задачи по продажам, проектам, планам развития компании. Теперь здесь же можно работать и с электронной почтой. Сборщик почты позволяет просматривать письма сразу с нескольких почтовых ящиков, читать, отправлять, отвечать и пересылать письма из интерфейса А2Б. Также реализован полнотекстовый поиск по адресам, теме и тексту письма. Используя сборщик можно значительно сократить время на работу с письмами и задачами: не надо открывать разные почтовые аккаунты и вводить логины/пароли, просматривать ящики, даже если новых писем нет. Теперь можно держать открытой только одну вкладку - А2Б. Здесь и задачи, и планы, и почта.

2014. Система управления бизнесом А2Б добавила бесплатную версию

Теперь SaaS система управления А2Б доступна бесплатно для трех пользователей. Бесплатная конфигурация не ограничена по функционалу и включает CRM, управление проектами и планирование, контроль поручений и учет идей, календарь и хранилище документов. Бесплатная версия А2Б будет интересна как начинающим свой бизнес компаниям, так и уже стабильно развивающимся, а также небольшим проектным группам. На бесплатном тарифе можно выбрать только те модули для использования, которые необходимы в работе компании. Для хранения файлов доступно 5Гб дискового пространства. Также, отметим что на днях в системе появился модуль СЭД для автоматизации документооборота. ***

2014. А2Б обновила CRM модуль

В онлайн-системе управления бизнесом А2Б существенно обновлен модуль "Клиенты" (CRM). Теперь список клиентов, продаж и взаимодействий доступен в едином окне. Работа по продаже включает учет товаров и услуг, выписку счетов и внесение платежей. Удобная связка клиентов, контактных лиц, продаж и взаимодействий позволяет оперативно увидеть всю проделанную и запланированную работу по продаже. Подробные отчеты показывают результаты работы менеджеров в представлении воронки продаж, менеджеров, сделок, товаров/услуг, также представлен ABC-анализ. Весь функционал CRM доступен от 500 руб/месяц на всю компанию. Кроме того, А2Б начала продажу коробочной версии системы на неограниченное количество пользователей. Коробка доступна за 100000 руб.

2013. Компания А2Б выпустила новую версию модуля Поручения

В онлайн-системе управления бизнесом А2Б полностью обновлен модуль "Поручения". Кроме нового интерфейса, был добавлен новый функционал. Теперь работать с поручениями стало удобнее: вся информация на одном экране. В новой версии добавлена роль наблюдателя, отображается динамика по исполнению поручения, добавлен быстрый поиск. Теперь авторы и исполнители поручений смогут эффективнее работать с задачами: обсуждать, прикладывать файлы, отчитываться и согласовывать одним кликом. Вся история работы с поручением фиксируется в журнале. Все шаги по делегированию задачи в целом или ее части также будут отображаться в карточке поручения. Кроме этого, поручение можно выдавать из проекта или документа. Основание поручения также отображается в его карточке.

2013. В сервисе А2Б появился модуль расписаний

В системе управления бизнесом А2Б появился новый модуль «Расписания», который может выполнять роль центрального планировщика на предприятии, собирая информацию по расписаниям в едином месте. В модуле «Расписания» можно планировать графики отпусков, дежурств, обучения персонала, производственные планы деятельности, расписания занятий, приема больных, движения транспорта, любые другие таблицы, используемые в текущей деятельности компании. В новом модуле удобно назначать ответственных и отслеживать исполнение плановых событий, планировать активность на персону, подразделение или любой внешний субъект, строить план-графики и расписания в привычном "шахматном" представлении.

2013. A2B - теоретически правильная система управления предприятием

Если вы с отличием закончили какой-нибудь институт менеджмента и легко ориентируетесь в учебниках по стратегическому управлению предприятием, если вы считаете что бизнесу нужны не социальные игрушки, а автоматизация, то вам очень понравится новая SaaS система A2B. В ней - все сделано правильно. Посмотрите, на схему выше. Вот так должна выглядеть оптимальная система автоматизации предприятия. Начинается все с целей. Вы ставите цели, потом разрабатываете планы их достижения, потом исходя из этих планов - создаются проекты, в которых менеджеры согласно иерархии ставят поручения своим подчиненным и контролируют их выполнение. После выполнения поручения сотрудник должен отчитаться, либо он может делегировать поручение другому сотруднику. По мере выполнения поручений и проектов, вы, как руководитель, можете в любой момент времени определить, на сколько процентов достигнута каждая цель и сравнить план с фактом.

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи - ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение - это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных - о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая - готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая...

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения . Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов . Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а 2 - b 2 = (а - b)(a + b)

Разберем для наглядности:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов . Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

(а + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула это квадрат разности . Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b) 2 = а 2 - 2аb + b 2

где (а - b) 2 равняется (b - а) 2 . В доказательство чему, (а-b) 2 = а 2 -2аb+b 2 = b 2 -2аb + а 2 = (b-а) 2

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы . Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

(а+b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3

Пятая, как вы уже поняли называется куб разности . Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b) 3 = а 3 - 3а 2 b + 3аb 2 - b 3

Шестая называется - сумма кубов . Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 + b 3 = (а+b)(а 2 -аb+b 2)

По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 - b 3 = (а-b)(а 2 +аb+b 2)

И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм . Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!