Как решать многочлены - wikiHow. Действия над одночленами и многочленами

- многочленами . В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Навигация по странице.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и - это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b , где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x 2 +b·x+c , где a , b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 , x·7,2−4 , а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2 и −x 2 , а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2 , вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду .

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Определение.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов , находящихся в его составе.

Определение.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Определение.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .

Решение.

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 .

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена. , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Или, строго, - конечная формальная сумма вида

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

  С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля , отрицательных , а затем и комплексных чисел , а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

  Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе .

  Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии , объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

  Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре , теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.

  Связанные определения

  • Многочлен вида c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} называется одночленом или мономом мультииндекса I = (i 1 , … , i n) {\displaystyle I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})} .
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу I = (0 , … , 0) {\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)} называется свободным членом .
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} называется целое число | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n {\displaystyle |I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}} .
  • Множество мультииндексов I , для которых коэффициенты c I {\displaystyle c_{I}} ненулевые, называется носителем многочлена , а его выпуклая оболочка - многогранником Ньютона .
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением − ∞ {\displaystyle -\infty } .
  • Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом ,
  • Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом .
  • Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R {\displaystyle R} (чаще всего поля , например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R {\displaystyle R} без делителей нуля) которое обозначается R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . {\displaystyle R.}

  Полиномиальные функции

  Пусть A {\displaystyle A} есть алгебра над кольцом R {\displaystyle R} . Произвольный многочлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle p(x)\in R} определяет полиномиальную функцию

  p R: A → A {\displaystyle p_{R}:A\to A} .

  Чаще всего рассматривают случай A = R {\displaystyle A=R} .

  В случае, если R {\displaystyle R} есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f p: R n → R {\displaystyle f_{p}:R^{n}\to R} полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p 1 (x) ≡ x {\displaystyle p_{1}(x)\equiv x} и p 2 (x) ≡ x 2 {\displaystyle p_{2}(x)\equiv x^{2}} из Z 2 [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x]} определяют тождественно равные функции Z 2 → Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}} .

  Виды многочленов

  Свойства

  • Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
  • Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым. Например, верна теорема: если произведение мнгогочленов p q {\displaystyle pq} делится на неприводимый многочлен , то p или q делится на λ {\displaystyle \lambda } . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

    Например, многочлен x 4 − 2 {\displaystyle x^{4}-2} , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

    Вообще, каждый многочлен от одного переменного x {\displaystyle x} разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (основная теорема алгебры).

    Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 {\displaystyle n>2} существуют многочлены от n {\displaystyle n} переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

    Вариации и обобщения

    • Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см.

  Понятие многочлена

  Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:

  здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.

  Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.

  Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).

  Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.

  Число ноль - это нулевой многочлен.

  Стандартный вид многочлена

  Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.

  Пример многочлена в стандартном виде:

  здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.

  Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:

  здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:

  Ещё пример:

  Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:

  Степень многочлена

  Что такое степень многочлена?

  Степень многочлена определение:

  Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.

  Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.

  Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.

  Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.

  Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.

  Определение 3.3. Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и степеней с натуральным показателем.

  Например, каждое из выражений ,
  ,
  является одночленом.

  Говорят, что одночлен имеет стандартный вид , если он содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Числовой множитель одночлена, записного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена . Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех его переменных.

  Определение 3.4. Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена .

  Подобные слагаемые – одночлены в многочлене – называют подобными членами многочлена .

  Определение 3.5. Многочленом стандартного вида называют многочлен, в котором все слагаемые записаны в стандартном виде и приведены подобные члены. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

  Например, – многочлен стандартного вида четвертой степени.

  Действия над одночленами и многочленами

  Сумму и разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. При сложении двух многочленов записываются все их члены и приводятся подобные члены. При вычитании знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.

  Например:

  Члены многочлена можно разбивать на группы и заключать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее правило заключения в скобки : если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с их знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.

  Например,

  Правило умножения многочлена на многочлен : чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

  Например,

  Определение 3.6. Многочленом от одной переменной степени называют выражение вида

  где
  – любые числа, которые называют коэффициентами многочлена , причем
  ,– целое неотрицательное число.

  Если
  , то коэффициентназываютстаршим коэффициентом многочлена
  , одночлен
  – его старшим членом , коэффициент – свободным членом .

  Если вместо переменной в многочлен
  подставить действительное число, то в результате получится действительное число
  , которое называютзначением многочлена
  при
  .

  Определение 3.7. Число называют корнем многочлена
  , если
  .

  Рассмотрим деление многочлена на многочлен, где
  и- натуральные числа. Деление возможно, если степень многочлена-делимого
  не меньше степени многочлена-делителя
  , то есть
  .

  Разделить многочлен
  на многочлен
  ,
  ,– значит найти два таких многочлена
  и
  , чтобы

  При этом многочлен
  степени
  называютмногочленом-частным ,
  – остатком ,
  .

  Замечание 3.2. Если делитель
  – не нуль-многочлен, то деление
  на
  ,
  , всегда выполнимо, а частное и остаток определяются однозначно.

  Замечание 3.3. В случае, когда
  при всех , то есть

  говорят, что многочлен
  нацело делится (или делится ) на многочлен
  .

  Деление многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел: сначала старший член многочлена-делимого делят на старший член многочлена-делителя, затем частное от деления этих членов, которое будет старшим членом многочлена-частного, умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. В результате получают многочлен – первый остаток, который делят на многочлен-делитель аналогичным образом и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или степень многочлена остатка будет меньше степени многочлена-делителя.

  При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера.

  Схема Горнера

  Пусть требуется разделить многочлен

  на двучлен
  . Обозначим частное от деления как многочлен

  а остаток – . Значение, коэффициенты многочленов
  ,
  и остатокзапишем в следующей форме:

  В этой схеме каждый из коэффициентов
  ,
  ,
  , …,получается из предыдущего числа нижней строки умножением на числои прибавлением к полученному результату соответствующего числа верхней строки, стоящего над искомым коэффициентом. Если какая-либо степеньв многочлене отсутствует, то соответствующий коэффициент равен нулю. Определив коэффициенты по приведенной схеме, записываем частное

  и результат деления, если
  ,

  или ,

  если
  ,

  Теорема 3.1. Для того чтобы несократимая дробь (
  
  ,
  
  ) была корнем многочлена
  с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы числобыло делителем свободного члена, а число- делителем старшего коэффициента.

  Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Остаток от деления многочлена
  на двучлен
  равен значению многочлена
  при
  , то есть
  .

  При делении многочлена
  на двучлен
  имеем равенство

  Оно справедливо, в частности, при
  , то есть
  .

  Пример 3.2. Разделить на
  .

  Решение. Применим схему Горнера:

  Следовательно,

  Пример 3.3. Разделить на
  .

  Решение. Применим схему Горнера:

  Следовательно,

  ,

  Пример 3.4. Разделить на
  .

  Решение.

  

  

  

  

  В итоге получаем

  Пример 3.5. Разделить
  на
  .

  Решение. Проведем деление многочленов столбиком:

  Тогда получаем

  .

  Иногда бывает полезным представление многочлена в виде равного ему произведения двух или нескольких многочленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители . Рассмотрим основные способы такого разложения.

  Вынесение общего множителя за скобки. Для того чтобы разложить многочлен на множители способом вынесения общего множителя за скобки, необходимо:

  1) найти общий множитель. Для этого, если все коэффициенты многочлена – целые числа, в качестве коэффициента общего множителя рассматривают наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена, а каждую переменную, входящую во все члены многочлена, берут с наибольшем показателем, который она имеет в данном многочлене;

  2) найти частное от деления данного многочлена на общий множитель;

  3) записать произведение общего множителя и полученного частного.

  Группировка членов. При разложении многочлена на множители способом группировки его члены разбиваются на две или более групп с таким расчетом, чтобы каждую из них можно было преобразовать в произведение, и полученные произведения имели бы общий множитель. После этого применяется способ вынесения за скобки общего множителя вновь преобразованных членов.

  Применение формул сокращенного умножения. В тех случаях, когда многочлен, подлежащий разложению на множители, имеет вид правой части какой-либо формулы сокращенного умножения, его разложение на множители достигается применением соответствующей формулы, записанной в другом порядке.

  Пусть
  
  , тогда справедливы следующиеформулы сокращенного умножения:

  Для :
  Если нечетное ( ):
  Бином Ньютона: где – число сочетаний изпо.

  Введение новых вспомогательных членов. Данный способ заключается в том, что многочлен заменяется другим многочленом, тождественно равным ему, но содержащим другое число членов, путем введения двух противоположных членов или замены какого-либо члена тождественно равной ему суммой подобных одночленов. Замена производится с таким расчетом, чтобы к полученному многочлену можно было применить способ группировки членов.

  Пример 3.6. .

  Решение. Все члены многочлена содержат общий множитель
  . Следовательно,.

  Ответ: .

  Пример 3.7.

  Решение. Группируем отдельно члены, содержащие коэффициент , и члены, содержащие. Вынося за скобки общие множители групп, получаем:

  .

  Ответ:
  .

  Пример 3.8. Разложить на множители многочлен
  .

  Решение. Используя соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

  Ответ: .

  Пример 3.9. Разложить на множители многочлен
  .

  Решение. Используя способ группировки и соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

  .

  Ответ: .

  Пример 3.10. Разложить на множители многочлен
  .

  Решение. Заменим на
  , сгруппируем члены, применим формулы сокращенного умножения:

  .

  Ответ:
  .

  Пример 3.11. Разложить на множители многочлен

  Решение. Так как ,
  ,
  , то