Комбинаторная геометрия. Комбинации геометрических тел

КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Раздел математики, объединяющий задач, в к-рых исследуются экстремальные свойства комбинаторного характера для систем фигур. Эти задачи связаны, в первую очередь, с оптимальным в нек-ром смысле расположением выпуклых множеств. Примером одной из старейших задач такого рода может служить задача о 13 шарах: каково максимальное равных материальных шаров, к-рые можно приложить к равному всем им шару в евклидовом пространстве? И. Кеплер (J. Kepler, 1611) указал число 12, но строгое этой задачи было дано в сер. 20 в. Б. Л. Ван дер Варденом (В. L. Van der Waerden) и К. Шютте (К. Schutte).

Термин "К. г.", по-видимому, впервые появился в 1955 (см. ). Обычно с этим годом связывают возникновение К. г. как направления в математике, хотя к ней можно отнести и боЛее ранние результаты (см., напр., ). Для К. г. характерна наглядность ее задач. В К. г. широко используются комбинаторные соображения и сочетания приемов из различных областей математики (топологии, функционального анализа, геометрии в целом, теории графов и др.).

Одной из центральных групп задач К. г. являются задачи о разбиении фигур на части, напр. Ворсука проблема.

Большую группу задач К. г. составляют. задачи о покрытиях, в к-рых исследуется возможность покрытия заданного множества фигурами специального вида (см., напр., Хадвигера гипотезу о покрытии выпуклого тела минимальным числом меньших гомотетичных ему тел с коэффициентом гомотетии k, 0 освещения задачи о минимальном числе направлений пучков параллельных лучей или источников, освещающих границу выпуклого тела и др.

К. г. родственна дискретной геометрии, см., напр., определенным образом связанную с гипотезой Хадвигера и задачами освещения Эрдёша задачу о нахождении максимального числа точек евклидова пространства R n , любые три из к-рых образуют с углами, нe превосходящими p/2.

К. г. тесно примыкает к теории выпуклых множеств. См., напр., Хелли теорему, к-рая описывает пересечения нек-рых семейств выпуклых множеств в зависимости от пересечения их подсемейств.

Лит. : Нadwiger Н., "J. reine angew. Math.", 1955, Bd 194, S. 101 - 10; Alexandrоff P., Hopl H., Topologie, Bd 1, В., 1935; Xадвигер Г., Дебруннер Г., Комбинаторная плоскости, пер. с нем., М., 1965; Грюнбаум Б., Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971; Нadwiger H., Debrunner H., Combinatorial Geometry in the Plane, N. Y., 1964; Яглом И. М., О комбинаторной геометрии, М., 1971; Болтянский В. Г., Солтан П. С, Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств, Киш., 1978. П. С. Солтан.

КОМБИНАТОРНАЯ - конечное Sвместе с отношением замыкания определенным для всех подмножеств Аиз S(т. е. влечет и но не обязательно = удовлетворяющим условиям: 1) для пустого множества 2)для каждого элемента 3) если и и если но то (свойство замены). Замкнутые множества, или плоскости образуют геометрическую решетку. Подмножество независимо, если для всех все максимальные независимые множества, или базисы, имеют одинаковую . Обычным образом определяются К. г. и сужение К. г. на подмножество А. Мощность базисов сужения К. г. на Аназ. рангом (А)множества А. Ранг удовлетворяет условию:

Множество для к-рого r(А)<|А|, наз. зависимым; минимальные зависимые множества К. г. наз. циклами. Опуская условия 1) и 2) в определении К. г., получают определение предгеометрии, или матроида. Рассматриваются также бесконечные К. г., при этом требуется конечность базисов.

Пример К. г.- подмножество Sвекторного пространства Vс отношением

определенным для всех где sр(A) - , натянутая на Ав V.

Одной из основных проблем в теории К. г. является так наз. критическая проблема. Для К. г., заданной множеством Sв проективном пространстве размерности пнад полем Галуа, эта проблема состоит в том, чтобы найти наименьшее положительное k (критическую экспоненту), для к-рого существует семейство гиперплоскостей H 1 , ..., H k , различающих S(семейство гиперплоскостей различает множество S, если для всякого tОSсуществует хотя бы одна , не содержащая t).

Лит. : Whitney H., "Amer. J. Math.", 1935 V. 57 р. 509-33; Сrаро Н. Н., Rota G. С, On the foundations of combinatorial theory: combinatorial geometries, Camb.- L., 1970; Tutte W. Т., Introduction to the theory of matroids, N. Y., 1971; Уилсон Р., Введение в теорию графов, пер. с англ., М., 1977; Рыбников К. А., Введение в комбинаторный анализ, М., 1972.

А. М. Рееякин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ" в других словарях:

В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Пика классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисле … Википедия

Часть математики, первоначальным предметом к рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем… … Математическая энциклопедия

N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия

Множества X любое семейство подмножеств этого множества, объединение к рого есть X. 1) Под П. топологического пространства, равномерного пространства и вообще какого либо множества, наделенного тем или иным строением, понимают произвольное П.… … Математическая энциклопедия

Гипотеза Борсука опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что Любое тело диаметра d в n мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d. Гипотеза была выдвинута… … Википедия

Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия

Случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия

Многогранник (точнее многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело) … Википедия

Теорема Хелли классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Предположим, что есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства, такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех… … Википедия

- (парадокс 18 точек) одна из задач вычислительной геометрии. Поместим на отрезок точку с номером 1. Затем добавим ещё одну с номером 2 таким образом, чтобы они оказались в разных половинах отрезка. Третью точку добавим таким образом, чтобы все три … Википедия

Книги

• Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии , Фоменко А., Мищенко А., Соловьев Ю.. Настоящий сборник задач призван максимально отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии как со стороны новых программ, так исо стороны других курсов…

К комбинации геометрических тел следует отнести расположенные рядом друг с другом или сочленённые между собой различные геометрические объекты (плоскости, призмы, конусы, цилиндры и т. д.), за исключением опорной поверхности.

Рассмотрим построение тени, падающей от выступающей части предмета на поверхность того же предмета. На рис. 5.14 задана призматическая поверхность в прямоугольной изометрии, которую можно рассматривать, как комбинацию из двух сочленённых между собой призм. Построение тени призмы на плоскость x Oy было показано ранее (рис. 5.7).

В данном примере показано ещё построение тени на плоскость четырёхугольника BEE 1 B 1 . Точка, принадлежащая тени бокового ребра, является тенью искомой точкиK .

Значит, для определения положения точки K надо провести обратный луч (его направление противоположно лучам света) из точкиK 0 параллельноr до пересечения с ребромEE 1 . Соединив точкиB иK , получим границу собственной тени на плоскости четырёхугольникаBEE 1 B 1 .

В результате выполненных построений границей собственной тени является ломаная линия ABKEMCC 1 M 1 E 1 B 1 A 1 , а падающей тени - многоугольникA 1 A 0 K 0 E 0 M 0 C 0 C 1 M 1 E 1 B 1 A 1 .

На рис. 5.15 задан конус в прямоугольной изометрии, направление световых лучейr и их вторичных проекцийr 1 , а также задана плоскостьP xOy , на которую должна падать тень от конуса.

Чтобы построить падающую и собственную тень от конуса, сначала находим тень C 0 от точкиC на плоскостьx Oy . Затем через точкуC 0 проводим касательныеC 0 D иC 0 B к контуру основания конуса. Отмечаем точкиE иF . ОтрезокEF определяет линию перегиба падающей тени.

Как видно, тень от точкиC на плоскостьP находится на линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости, в которую заключается световой луч, и плоскости P .

Соединив точкиE иF с точкой , получим контур части тени, падающей на плоскость P . Границы собственной тени конуса определяются образующимиCD иCB .

На рис. 5.16 рассмотрен пример построения тени, падающей от горизонтально-проецирующе-го стержня AB на конус. По ортогональным проекциям стержняAB и конуса построим их изображения в прямоугольной изометрии. Затем определяем падающую и собственную тени конуса при заданном направлении светового лучаr и его вторичной проекции r 1 . Потом строим тень отAB на плоскость х Oy . Световые лучи, проходящие через AB , образуют горизонтально-проецирущую плоскостьΣ , которая пересекает коническую поверхность по гиперболеEMKT .

Гиперболу можно построить, используя вторичные проекции точек, принадлежащих гиперболе. Например, взяв на следе Σ 1 точкуM 1 (вторичная проекция), проведём через неё линиюOD (проекция образующейCD ). Соединим точкуC с точкойD и на образующейCD отметим точкуM , принадлежащую гиперболе (см. рис. 4.8), причём точкаK , лежащая на границе собственной тени конуса, определена с помощью обратного лучаK 0 K .

На рис. 5.17 представлено построение тени от фигуры, состоящей из двух сочленённых поверхностей – цилиндра и конуса.

Сначала можно построить собственную и падающую тени от конуса по заданному направлению светового луча r и его вторичной проекции r 1 , а затем - собственную и падающую тени от цилиндра (см. построение).

Необходимо отметить, что границы собственных теней конуса и цилиндра на линии их общего основания не совпадают.

___________________________________________

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ………………………………………...………3

В В Е Д Е Н И Е………………………………………………………………...4

1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ……………………………………………...………...6

1.1. Основные понятия и определения…………………………………..……6

1.1.1. Геометрические фигуры. ………………………………………….6

1.1.2. Элементы и особенности метода проекций………………………6

1.2. Системы проецирования………………………………………..….……...7

1.2.1. Центральная система проецирования…………………….……….7

1.2.2. Параллельная система проецирования……………………………8

1.2.3. Свойства изображений……………………………………………..8

1.2.4. Свойства параллельных проекций………………………………...9

1.2.5. Проецирующие геометрические фигуры…………………..……12

1.2.6. Дополнения однокартинного чертежа…………………………..12

2.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР…...…14

2.1. Проекции точки…………………………………………………………..14

2.1.1. Комплексный двухкартинный чертеж точки…………………...14

2.1.2. Замена плоскостей проекций…………………………….……….16

2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки……………………18

2.2. Проекции прямых линий………………………………………………...22

2.2.1. Прямые общего положения………………………………………22

2.2.2. Прямые уровня……………………………………….……………23

2.2.3. Проецирующие прямые…………………………………………..24

2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой

общего положения……………………………………………………….25

2.2.5. Взаимное положение прямых…………………………………….26

2.3. Проекции кривых линий………………………………………………....29

2.3.1. Плоские кривые линии……………………………………………29

2.3.2. Пространственные кривые линии……………………………..…31

2.4. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже……….…..34

2.4.1. Задание поверхности с помощью определителя………….……..34

2.4.2. Каркас поверхности………………………………………….……36

2.4.3. Задание поверхности, не имеющей определителя…….………..36

2.4.4. Очерк поверхности………………………………………..………37

2.4.5. Проекции плоскостей……………………………………………..38

2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве…….….39

2.4.7. Примеры на инцидентность………………………………………43

2.4.8. Параллельность прямой и плоскости… ………………………….45

2.4.9. Параллельные плоскости…………………………………….…...45

2.4.10. Построение проекций плоскости при замене плоскостей

проекций………………………………………………………….………46

2.4.11. Классификация поверхностей…………………………………..48

2.4.12. Многогранные поверхности и многогранники………………...48

2.4.13. Поверхности вращения………………………………………….52

3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.………………………………………...…….60

3.1. Пересечение геометрических объектов, когда оба

геометрических объекта проецирующие………….………………………...60

3.1.1. Построение линии пересечения двух горизонтально-проецирующих плоскостей ……………………………………………..60

3.1.2. Виды линий пересечения прямого кругового цилиндра

с плоскостями…………………………………………………………….60

3.1.3. Определение проекций линии пересечения двух круговых

цилиндров………………………………………………………………..62

3.2. Пересечение геометрических объектов, когда один из

геометрических объектов проецирующий, а другой непроецирующий…..62

3.2.1. Построение линии пересечения двух плоскостей …………...…62

3.2.2. Линии пересечения конической поверхности с плоскостями….63

3.2.3. Построение проекций и натуральной величины линии

пересечения конической поверхности с плоскостью …………………63

3.2.4. Построение проекций и натуральной величины линии пересечения сферы с плоскостью …………………………………………….….64

3.2.5. Построение проекций линии пересечения конуса и призмы…..65

3.3. Пересечение геометрических объектов, когда оба

геометрических объекта – непроецирующие…….…………………………65

3.3.1. Алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей...65

3.3.2. Построение линии пересечения двух плоскостей общего

положения………………………………………………………………..66

3.3.3. Построение проекций линии пересечения двух кривых

поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей…..67

3.3.4. Пересечение соосных поверхностей вращения…………………68

3.3.5. Построение проекций линий пересечения поверхностей

вращения с помощью вспомогательных сфер (концентрических)…..69

3.4. Пересечение линии с поверхностью………………………..…………..71

3.4.1. Пересечение линии с поверхностью, когда оба

геометрических объекта проецирующие………………………………71

3.4.2. Пересечение линии с поверхностью, когда один из

пересекающихся геометрических объектов проецирующий,

а другой – непроецирующий……………………………………………71

3.4.3. Пересечение линии с поверхностью, когда оба

геометрических объекта непроецирующие……………………………72

3.5. Перпендикулярные геометрические объекты………………………….76

3.5.1. Перпендикулярные прямые………………………………………76

3.5.2. Перпендикулярные прямая и плоскость…………………………76

3.5.3. Перпендикулярные плоскости……………………………………77

4. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ…………………….…………...78

4.1. Образование и виды аксонометрических проекций…………………...78

4.2. Прямоугольные аксонометрические проекции………………………...79

4.2.1. Прямоугольная изометрическая проекция………………………79

4.2.2. Прямоугольная диметрическая проекция……………………….81

4.2.3. Пространственные геометрические объекты в

прямоугольной аксонометрии…………………………………………..82

4.3. Косоугольные аксонометрические проекции…………………………..83

4.3.1. Косоугольная фронтальная изометрическая проекция…………83

4.3.2. Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция……...83

4.3.3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция………….83

5. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИИ…………………….………………………...84

5.1. Основные понятия теории теней…………………………….…………..84

5.2. Тени в аксонометрии при центральном освещении……………………85

5.3. Тени в аксонометрии при параллельном освещении……….………….86

5.3.1. Тени от точки, прямой и плоской фигуры………………………86

5.3.2. Построение теней многогранников………………………………88

ГБОУ СПО «ТПТ»

Сборник методических пособий по рисунку натюрморта

дисциплина «Рисунок»

Введение

Практическая работа № 1 «Рисунок натюрморта, из 3-х геометрических тел на плоском фоне»

Практическая работа № 2 «Рисунок натюрморта из 4 – 5 геометрических тел на плоском фоне»

Практическая работа № 3 «Комбинаторика геометрических тел»

4 Практическая работа № 4 «Рисунок натюрморта, составленного из предметов домашнего быта на фоне драпировки»

Заключение

Приложение А – образец практической работы № 1

Приложение Б – образец практической работы № 2

Приложение В – образец практической работы № 3

Приложение Г – образец практической работы № 4

Литература

Введение

«Не доверяйте архитектору,

не умеющему рисовать».

Преподавание рисунка на архитектурных кафедрах учебных заведений должно быть ориентировано на предстоящую деятельность архитектора, призванного совместно с инженерами, учёными, скульпторами и живописцами, заказчиками и утверждающими учреждениями создавать новые пространственные формы и организацию среды, окружающей человека.

Архитектор должен постоянно стремиться к более совершенному решению всех проблем проектирования, и рисунок – одно из средств достижения этой цели.

Владея техникой рисунка, архитектор, образно и логически познаёт бесконечное богатство окружающего мира, в том числе и архитектуру, фиксирует свои разнообразные архитектурно-художественные, технические идеи на пути их выполнения.

Практическая работа № 1 – 10 часов.

Тема: «Рисунок натюрморта из 3-х геометрических тел на плоском фоне».

Цели:

Оборудование:

Кнопки канцелярские.

Резинка стирательная.

Теория

Рисунок – это изображение, выполненное от руки, на глаз, с помощью графических средств: линий, штрихов и пятен. Существуют многочисленные разновидности рисунка, различающиеся по методам рисования, темам и жанрам, назначению, технике и характеру исполнения.

Рисунок, как правило, исполняется одним цветом. Различными сочетаниями пятен и линий, комбинацией штрихов в рисунке достигаются пластическая моделировка, тональные и световые эффекты. Выполненный на высоком уровне рисунок имеет самостоятельную художественную ценность.

По назначению рисунок может быть научно-вспомогательного, прикладного, технического характера или изобразительным. Исключительное значение имеет рисунок как средство познания и изучения действительности. Рисунок является частью культуры, формирует и развивает мышление .

В процессе обучения изобразительному искусству рисунок является ведущей дисциплиной.

Умение грамотно рисовать необходимо любому квалифицированному работнику, так как рисунок лежит в основе не только изобразительного (живопись, графика, скульптура), но и других видов пластических искусств, в том числе прикладного, декоративного и оформительского творчества.

Начинать учиться рисованию надо с простых по форме предметов, например, геометрических тел , таких как куб, шар, цилиндр, конус и призма. От простого к сложному – таков принцип овладения навыками изобразительной грамоты в школе реалистического искусства.

В учебном рисовании особое значение приобретает понимание конструкции формы с точки зрения её пространственной организации, геометрической структуры внешнего пластического строения.

Познавая предмет с внешней стороны, нужно стремиться проникнуть в сущность его внутреннего строения . По мере осознания этой сущности возникает более ясное представление о предмете.

Конструкция объёмных тел определяется взаимным расположением характерных точек в пространстве. У гранёных форм этими узловыми точками служат вершины пространственных углов. Например, куб характеризуется восемью точками вершин углов и двенадцатью линиями ребер, четырёхгранная пирамида – четырьмя точками пространственных углов основания, точкой вершины и восемью линиями рёбер и т.д.

Рисование геометрических тел имеет непосредственное практическое значение, так как в своей деятельности архитектор использует формы, близкие, как правило, к геометрическим.

При рисовании натюрморта необходимо соблюдать основные последовательные стадии работы.

1-я стадия – пометка композиционного размещения на листе крайними точками, определении центра размещения изображения с учётом пропорций и перспективы при данной точке зрения.

2-я стадия – прорисовка конструкции лёгкими тонкими линиями по намеченным узловым пунктам с учётом горизонта и точек схода.

3-я стадия – уточнение пропорций и перспективного построения более сильными линиями. Нахождение характерных пунктов собственной и падающей тени.

4-я стадия – решение больших тональных отношений: нанесение собственной тени, падающей тени и определение фона.

5-я стадия – полная тональная проработка всего рисунка: передача отношений в тенях и светах до выявления рефлексов и бликов; нахождение обобщающих тональных отношений для придания цельности рисунку.

Задание

В данной практической работе выполняется рисунок натюрморта, составленный из 3-х геометрических тел на бумаге формата А2.

Порядок работы

Убрать рабочее место.

Контрольные вопросы

Что входит в комплект материалов и принадлежностей на занятиях по учебному рисунку?

Как подготовить рабочее место к началу урока?

Какие основные последовательные стадии необходимо соблюдать при выполнении рисунка?

Практическая работа № 2 – 10 часов.

Тема: «Рисунок натюрморта из 4 – 5 геометрических тел на плоском фоне».

Цели:

Образовательная – освоение и совершенствование навыков работы в рисунке.

Развивающая – развитие глазомера, умение видеть пропорциональные отношения между предметами, мыслить формой и линией.

Воспитательная – воспитывать требовательность к себе, аккуратность, дисциплинированность.

Оборудование:

1. Бумага (рисовальная или чертёжная бумага типа «ватман»).

   Карандаши графитные (средней твёрдости «ТМ», «М» и «2М».

3 Кнопки канцелярские.

Резинка стирательная.

Доска для рисования (размер 45 х 65 см) или специальный мольберт для рисования.

Краткая теория

Задание

В данной практической работе выполняется рисунок натюрморта, составленного из 4 – 5 геометрических тел на бумаге формата А2.

Порядок работы

Подготовить рабочее место (прикрепить лист бумаги при помощи кнопок, разложить карандаши и стирательную резинку).

Выполнить весь рисунок по стадиям (см. раздел «Теория»).

Убрать рабочее место.

Контрольные вопросы

1 Какую роль в строении формы играет его конструкция?

2 Как строить в перспективе простейшие геометрические тела?

Практическая работа № 3 – 8 часов.

Тема: «Комбинаторика геометрических тел. Рисунок по воображению».

Цели:

Образовательная – освоение и совершенствование навыков работы в рисунке.

Развивающая – развитие глазомера, умения видеть пропорциональные отношения между предметами, мыслить формой и линией.

Воспитательная – воспитывать требовательность к себе, аккуратность, дисциплинированность.

Оборудование:

1. Бумага (рисовальная или чертёжная бумага типа «ватман»).

   Карандаши графитные (средней твёрдости «ТМ», «М» и «2М».

3 Кнопки канцелярские.

Резинка стирательная.

Доска для рисования (размер 45 х 65 см) или специальный мольберт для рисования.

Краткая теория

Основные положения теории смотреть в методическом пособии для практической работы № 1 раздел «Теория».

Комбинаторика геометрических тел имеет целью развить у учащегося объёмно-пространственное мышление. Студент должен придумать пространственную композицию и изобразить её в перспективном рисунке . При этом композиция должна изображаться как монолит . В основу рисунка рекомендуются примеры использования архитекторами геометрических форм в практике проектирования архитектурных сооружений, а также формотворчество дизайнеров .

В рисунке надо правильно передать взаимоположение форм и их соотношение . Сначала выполняется эскиз в малом размере, после этого в соответствии с эскизом делается рисунок всей композиции. На листе бумаги помечаются общие размеры изображения, основные объёмы, их сопряжения.

В стадии выявления формы тоном намечаются собственные и падающие тени. После осознанной пометки теней они прокладываются тоном, выявляющим общие светотеневые отношения.

Задание

В данной практической работе выполняется комбинаторика геометрических тел (рисунок по воображению) на бумаге формата А2.

Порядок работы

Подготовить рабочее место (прикрепить лист бумаги, разложить карандаши и резинки).

Выполнить эскиз небольшого размера.

На большом листе пометить общие размеры изображения и основные объёмы.

Наметить сопряжения объёмов.

Наметить и сделать собственные и падающие тени.

Сделать общие светотеневые отношения и обобщить рисунок.

Убрать рабочее место.

Контрольные вопросы

С чего начинается рисунок по воображению?

Какое главное условие изображения композиции?

Практическая работа № 4 – 12 часов.

Тема: «Натюрморт, составленный из предметов домашнего обихода и труда с драпировкой».

Цели:

1 Образовательная – освоение и совершенствование навыков работы в рисунке.

2 Развивающая – развитие глазомера, умения видеть пропорциональные отношения между предметами, мыслить формой и линией.

3 Воспитательная – воспитывать требовательность к себе, аккуратность, дисциплинированность.

Оборудование:

Бумага (рисовальная или чертёжная бумага типа «ватман»).

Карандаши графитные (средней твёрдости «ТМ», «М» и «2М».

Кнопки канцелярские.

Резинка стирательная.

Доска для рисования (размер 45 х 65 см) или специальный мольберт для рисования.

Краткая теория

Основные положения теории смотреть в методическом пособии для практической работы № 1 раздел «Теория».

Принципы и методика рисунка могут осваиваться на таких предметах как посуда и кухонная утварь, т.к. все они имеют в большинстве случаев геометрическую основу конструкции и вместе с тем разнообразны по форме и пластике. Основное внимание следует обращать на конструктивное построение формы , не увлекаясь живописной стороной фактуры и цвета. Рисовать нужно как внешний вид предмета, так и внутренний .

При рисовании сложных предметов, образованных рядом геометрических форм, необходимо проанализировать все составляющие их части и пометить характерные точки линий пересечения или сопряжения. Этот анализ даст возможность точнее определить характер конструкции, правильнее построить перспективу рисунка, учитывая пространственное сокращение форм, видимое с данной точки зрения, сознательно построить элементы светотени.

Задание

В данной практической работе на бумаге формата А2 выполняется рисунок натюрморта, составленного из предметов домашнего обихода и труда с драпировкой.

Порядок работы

Подготовить рабочее место (прикрепить лист бумаги при помощи кнопок, разложить карандаши и стирательную резинку).

Выполнить весь рисунок по стадиям (см. раздел «Теория»).

Убрать рабочее место.

Контрольные вопросы

Какую основу имеют в большинстве случаев предметы домашнего обихода и труда?

На что следует обращать основное внимание при рисовании предметов быта?

Что необходимо анализировать при рисовании сложных по форме и конструкции предметов?

Заключение

Современный архитектор может успешно выполнять своё назначение, если будет обладать всесторонней культурой и широким кругозором. Культура архитектора, его кругозор должны быть тесно связаны с рисунком.

Главная задача архитектора – создание новых форм в натуре, в природе, в трёхмерном измерении, в пространстве – определяет требования и основную манеру учебного рисунка.

Учебный рисунок должен обострять зрение на природу, заставлять сознание рисующего проникать внутрь строения формы, т.е. за внешними проявлениями видеть их более глубокие причины.

Рисунок как учебный предмет требует огромного целенаправленного труда и каждодневных упражнений.

Литература

1 Тихонов С.В. и др.

Рисунок: учебное пособие для ВУЗов /С.В.Тихонов, В.Г.Демьянов, В.Б.Подрезков. – М.: Стройиздат, 1995 – 296 с. илл.

2 Кирцер Ю.М.

Рисунок и живописью: учебное пособие – 2-е издение, переработанное и дополненное. – М.: Высшая школа, 1997

Комбинаторные методы в проектировании одежды впервые применили в 1920-х гг. советские конструктивисты А. Родченко, Л. Попова, В. Степанова. Освоив системный структурный анализ, а также занимаясь «формальными экспериментами» в области беспредметной живописи, конструктивисты использовали эти методы и при разработке образцов одежды. Основные принципы конструктивистов: конструктивность, функциональность, экономичность материалов и конструкций. При проектировании производственной одежды они применяли программированные методы формообразования нескольких уровней: комбинирование стандартных элементов из набора простейших геометрических форм (конструктивистские ткани), комбинирование различных видов декора на основе базовой формы, трансформацию одежды в процессе эксплуатации, комбинирование стандартных готовых объектов. А также упростить существующую вещь, т.е., снять с нее украшения, выявить конструкцию, убрать неработающие части. Улучшить существующую вещь – сделать ее более удобной, может быть многофункциональной, по-новому решить цвет и материал. Впоследствии программированные методы формообразования стали не только ведущими методами при проектировании костюма, но и легли в основу графических компьютерных программ.

Комбинаторные методы являются основными методами проектирования с применением комбинирования. К ним относятся комбинаторика, трансформация, кинетизм, создание безразмерной одежды, создание одежды из целого плоского куска ткани.

Комбинаторика (от лат. Combinare- соединять, сочетать, от com-bino – связанные по два) - метод формообразования в дизайне, основанный на поиске, исследовании и применении вариантного изменения пространственных, конструктивных, функциональных и графических структур, а также на способах проектирования объектов дизайна из типизированных элементов.

Комбинаторика – комбинирование различными способами форм и их элементов или вариантный поиск, который можно подразделить на ряд основных приемов:

Комбинирование элементов на плоскости при создании текстильных композиций, раппортных тканей или трикотажных полотен;

Комбинирование типизированных стандартных элементов (модулей) при создании целостной формы;

Комбинирование деталей, пропорциональных членений внутри определенной формы (по одной конструктивной основе или базовой форме);

Компьютерный поиск готовых вариантов организации готовых комплектов.

Математический смысл комбинаторного метода заключается в установлении определенного порядка следования элементов некоторого множества друг за другом.

Специфика комбинаторики близка к природному формообразованию: дает возможность наиболее экономично использовать элементы конструкций и имеет прямое отношение к унифицированному массовому производству.

Практическая задача метода состоит в выборе серии одного или нескольких объектов, имеющих функциональную значимость. Комбинаторика дает возможность дизайнеру совершенствовать свою деятельность в двух направлениях:

создавать новые структурные построения,

варьировать исходные элементы.

Ткани В. Степановой и Л. Поповой явились одним из немногих реализованных достижений производственников. Принципы создания этих тканей:

соответствие рисунка назначению ткани (для платья, для халата, занавески, скатерти)

соответствие его технологии производства (печать). Учитывались также особенности использования ткани при изготовлении массовой одежды. Следовательно, подход к рисунку ткани был глубоко функциональным, не только художественно, но и технически оправданным.

Примерно те же принципы были заложены и в проектах костюмов – прежде всего их целесообразность, их профессиональная оправданность и удобство для данной функции (работа, отдых, спорт), удобство и технологичность их массового пошива, их конструктивность.

Комбинаторика оперирует определенными приемами комбинирования: перестановкой, вставкой, группировкой, переворотом, организацией ритмов.

Прием перестановки , или эвристическое комбинирование , предполагает изменение элементов, их замену. Этот прием получил широкое применение в проектной практике как наиболее простой и дающий достаточно неожиданные результаты. Его можно охарактеризовать как комбинаторный поиск компоновочных решений. Этот прием часто используется при вариантном применении деталей изделия на одной конструктивной основе, при компоновке деталей одежды по всему изделию, при замене одних деталей другими. Например, замена воротников карманами, поясами, сумками, трансформирующимися полотнами в виде квадратов, треугольников, кругов. Авангардисты в моде с успехом используют этот метод проектирования, так как в процессе свою первоначальную идею можно довести до гротеска, абсурда, а потом найти в этом рациональное зерно решения.

Прием вставок (врезок) используется для создания сложной формы из простой. Для этого можно взять любую простую давно известную форму одежды: прямую, расширенную или зауженную книзу юбку, платье такого же силуэта, рукава, капюшоны, сумки, головные уборы. Другими словами, взять любую цилиндрическую или коническую форму, разрезать ее в определенном направлении (вертикально, горизонтально, диагонально или смешанно) по боковым швам, в других местах (можно соблюдать равные расстояния между разрезами или располагать разрезы в динамическом ритме). Вставить в разрезы плоские куски ткани простой геометрической формы (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, полукруг, сектор, трапецию и т.д.). Можно вставить любые сложные формы. Число вставок может быть любым.

Трансформация (от лат. – превращение) – метод превращения или изменения формы, часто используемый при проектировании одежды. Сам процесс трансформации определяется динамикой, движением, изменением. Трансформация осуществляется следующим образом:

Превращение одной формы в другую (например, была длинная юбка, стала короткой при помощи кулисок; шапка-ушанка, складная сумка);

Трансформация деталей внутри одной формы (например, концы воротника загибаются, складываются в гармошку, завязываются вокруг шеи, заплетаются в косичку).

Процесс превращения может носить бесконечный характер, т.е. вариантов изменений можно придумать много. В этом есть положительный момент, так как изделие вследствие своей многообразности не надоедает и срок его эксплуатации продлевается.

Кинетизм (от греческого – приводящий в движение) – комбинаторный метод проектирования, в основе которого лежит идея движения формы, любого ее изменения.

Метод кинетизма заключается в создании динамики форм, декора, рисунков тканей, а также демонстрация движения в естественном виде. Идея движущейся формы принадлежит художникам советского авангарда 1910-1920-х гг. – конструктивистам Татлину, Мельникову, Родченко. В Европе в 1920-1960-х гг. идеи кинетизма развивали Мохой-Надь, Дюшан, Сото, Шоффер. Первые опыты создания движущихся моделей проводились в Баухаузе и ВХУТЕМАСе

Исторически признаки кинетизма можно проследить в народных праздниках (движущиеся объекты, марионетки, игры с фейерверками), механических игрушках, часах, музыкальных шкатулках. Средневековые представления всегда использовали динамику света и динамику объектов.

Кинетизм как система эстетических взглядов сложился в условиях развития технического прогресса, когда художники использовали новейшие достижения технологии, инженерной мысли и науки, нашедшие отражение в дизайне, телевидении, театре, массовых праздниках, профессиональных дефиле, компьютерной графике, лазерных шоу, оформлении городской среды.

В дизайне одежды метод кинетизма используется все шире, особенно в профессиональных показах: в динамике трансформирующихся деталей костюма, в применении светящихся объектов, световодов, автономного освещения, крутящихся или движущихся элементов костюма. Особое место занимает создание моделей, даже целых коллекций, в стиле «оп-арт» с использованием графических иллюзий, например движения, в декоре или в рисунках тканей, трикотажных полотнах, украшениях.

Оп-арт возник как авангардистское течение в западноевропейском искусстве 1950-1960-х гг. Большинство оп-художников заранее составляли свои геометрические образы, используя научные теории, позволяющие создать ощущение подвижности. При этом достигался необычный в искусстве результат, вызывающий физический, а не эмоциональный или психологический отклик. Композиции оп-арта основывались на игре фигуры и фона, эффектах обмана зрения, использовании прозрачных материалов. Основатель течения – итальянских живописец и график В.Вазарели с 1930 г. жил и работал в Париже. Его произведения следуют оптическим закономерностям взаимодействия черного и белого. Оп-арт стал очень тенденциозным жанром и оказал большое влияние на моду.

Этот прием проник в современное моделирование промышленных изделий – орнаментальные графические работы переносятся один к одному на трикотажные или тканые полотна.

Идея кинетического рисунка стала чрезвычайно интересной для художников по текстилю, так как позволяет создать необыкновенные и парадоксальные эффекты графики. Кинетизм дает возможность создать мощную динамику внутри статичной формы. Таким образом, метод кинетизма как проектный метод – достаточно новый в дизайне одежды, но имеет устойчивую тенденцию к расширению его использования.

Применение модульного проектирования в производстве изделий дизайна есть высшая форма деятельности в области стандартизации. При этом стандартизация выявляет и закрепляет наиболее перспективные методы и средства проектирования. Этот метод способствует унификации структурных элементов изделий. В технике наличие унифицированных узлов и деталей и установка их в различных сочетаниях позволяют преобразовывать конструкции одних изделий в другие. Основной принцип унификации – разнообразие продуктов дизайна при минимальном использовании унифицированных элементов (модулей). Модульное проектирование предполагает конструктивную, технологическую и функциональную завершенность. Сам модуль может быть законченным изделием или являться составной частью изделия, в том числе другого функционального назначения.

Модуль – единица меры. Раньше части тела человека служили единицами измерения: дюйм – длина сустава большого пальца; фут – средняя длина стопы человека и др. Применение модуля в архитектуре прошлого несло в себе художественное начало, служило средством гармонизации целого и его частей.

Модуль – это исходная единица измерения, которая повторяется и укладывается без остатка в целостной форме (объекте). Кратность (укладываемость модуля без остатка) позволяет собирать различные формы и обеспечивает их взаимозаменяемость. Современный архитектурный модуль равен 10см, укрупненный строительный модуль – 30 ил 40 см, оборудование интерьера строится на модуле 5 и 15см.

Вариантность художественных форм, т.е. возможность из ограниченного числа типов создавать разнообразные произведения, - одна из особенностей народного творчества. Как правило, все народные орнаменты состоят из ограниченного числа элементов, с помощью которых создается бесчисленное число мотивов. Таким образом, использование модулей – это не новый прием, им пользовались всегда в архитектуре и прикладном искусстве.

Модули могут быть одинакового размера, который выбирается от размеров антропологии тела человека и оптимальных размеров готовой одежды. Модули, как правило, имеют простые геометрические формы. Технологически каждый модуль обрабатывается отдельно. Главная особенность модуля в дизайне одежды – он обрабатывается «чисто» с лица и с изнанки. Если модули сшиты из двух материалов или из одной ткани двух цветов, то их можно переворачивать и использовать для составления двухцветных или двухфактурных полос, клеток, орнаментов.

Модули могут быть в форме квадратов, прямоугольников, треугольников, кругов и ромбов.

Способы соединения модулей: с помощью завязок, ленточек, бантов, узлов – торчащие концы могут создать дополнительный декоративный эффект; незаметно с помощью крючков, «липучек», супатных застежек. Можно соединить модули кнопками, пуговицами, если применяется метод трансформации – изменения формы изделия, его назначения, ассортимента.

Причины изменения формы:

из маленькой формы сделать большую и, наоборот, из короткого – длинное и наоборот – прием модульного свертывания и модульного развертывания.

из простой формы составить сложную и наоборот (к жилету пристегнуть или привязать модули и получить длинное пальто с капюшоном, кокетками, карманами, сумками и головными уборами; из простых модулей составить сложный орнаментальный узор, который органично впишется в изделие).

изменяя форму, изменить назначение изделия (был жилет – стало пальто – верхняя одежда).

Можно из одинаковых модулей составлять разные изделия: жилеты разной длины и формы, сарафаны, юбки разной длины блузоны, полупальто, пальто и др.

Форма модулей может быть более сложная: в виде цветов, листьев, бабочек, зверей, птиц. Модули разной конфигурации могут создавать сложные варианты комплектования одежды, наслаиваясь друг на друга. Интересные формы получаются при моделировании из модулей семейства головных уборов или сумок.

Достоинство модульного проектирования состоит в том, что технологическая обработка модуля очень проста, ее может выполнить неквалифицированный специалист даже в домашних условиях. Проектирование и сборка фрагментов в разнообразные изделия таят огромные возможности. К сожалению, такой прием проектирования применяется редко.

Деструкция (от лат. – разрушение) – в истории искусства качество формы, противоположное конструктивности (построение) и тектоничности (строение, искусство построения), выражению внутренней конструкции на поверхности формы. К конструктивным стилям классического искусства относят произведения античной классики, архитектуры Классицизма, к деструктивным – Барокко, к атектоничным – произведения Модерна. В отношении искусства постмодернизма используют термин – «деконструкция».

Термин «деконструкция» означает, что мы разбирает одежду на составные части.

По одним данным метод был предложен японскими дизайнерами Е.Ямамото и Р.Кавакубо в начале 1980-х гг, а затем разработан представителями «бельгийской школы» в дизайне одежды, по другим - стиль зародился в Антверпене, Бельгия. Основоположники стиля Мартин Маржиела (родился в 1957г.), Анн Домельмейстер (родилась в 1959 г.), Дрис Ван Нотен (родился в 1958 г.) и Уолтер Ван Биерендонк. Все они – сторонники деконструкции, хотя прошли школу традиционного кроя и техники отшива изделий в ателье Парижа, Милана или лондонской Сэвайл-роу.

Несмотря на общее происхождение и воспитание, каждый из дизайнеров имеет свой почерк, который отражает мрачноватую североевропейскую эстетику, но сохранил собственную индивидуальность. Ключевыми для Дрисса Ван Нотена являются этнические мотивы и цвет в сочетании с дикой какофонией рисунка и текстуры на длинном слоистом силуэте. Демельмейстер известна своими необычными наложениями материалов и новаторскими формами. Мартин Маржиела радикально изменил представление о дизайне, перемещая по телу отверстия для рук, переворачивая силуэты вверх ногами и выставляя напоказ внутренние швы пиджаков и пальто.

Этот метод также использовали Ж.-П. Готье и Дж. Гальяно.

Метод деконструкции представляет собой свободное манипулирование формой и посадкой изделия на фигуре. Используются: асимметричный крой, неровные края одежды, разрывы, прорези и дырки, деление конструкции на правую и левую половины, инверсия (швы наружу, лацканы на спине, застежки в нетрадиционных местах, вытачки «налицо»), элементы незавершенности, нарушение традиционной технологии.

Метод инверсии довольно часто используется при деконструкции, так как разрушает привычные приемы моделирования одежды. Примеры применения этого метода в дизайне одежды:

одежда, сшитая швами наружу,

сумки с множеством внешних карманов, но пустые внутри,

двухсторонние пальто, плащи, костюмы, жилеты, которые можно носить на обе стороны,

превращение нижнего белья в одежду,

вынесение лейбла фирмы на лицевую сторону изделия.

Инверсия способствует всестороннему развитию гибкости мышления дизайнера и позволяет получить совершенно новые, порой парадоксальные решения.

В 2000-2001 гг. деконструкция изменилась в сторону большего разрушения привычных комплексов одежды:

блузы, майки, куртки с одним рукавом,

брюки с одной штаниной, половина юбки плюс одна штанина и др.

Изменились способы ношения одежды. Сказалось сильное влияние стиля «грандж»: нарочитая небрежность, наслоение вещей с разной длиной. Центральным образом, характеризующим этот стиль, стала маргинальная личность (бомж, бродяга, нищий), что дало основание для определения этой тенденции в массовой моде как «маргинальный шик». Стиль «грандж», сформировавшийся в начале 1990-х гг., утвердил право своих приверженцев выглядеть неряшливо. Его с восторгом приняли все принципиальные противники официальной моды – от уличных подростков до радикальных поп-звезд. «Грандж» - это поношенные, даже рваные вещи, которые явно малы или велики, не сочетаются друг с другом по цвету и по стилю. Первые адепты новой эстетики выискивали одежду в магазинах «сэконд-хэнда», но вскоре дизайнеры подхватили идею и манекенщицы, одетые в стиле «грандж», появились на подиумах.

Деконструкция стала отличительной чертой дизайна конца 1990-х – начала XXI в., часто применяемым приемом проектирования одежды. Она обусловила более свободное отношение к посадке одежды на фигуре, наличие заминов, пространства и воздуха между тканью и телом, что сделало одежду более комфортной. Деконструкция предложила разрушение устойчивых комплексов классического костюма и новые способы ношения одежды.

Цилиндр, вписанный в конус (см. рисунок ниже), если нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, оси конуса и цилиндра совпадают, верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основе, на расстоянии, равном высоте цилиндра, от основы.

Призмой , вписанной в цилиндр (см. рисунок ниже), называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами - образующие цилиндра. Следовательно, высоты призмы и цилиндра совпадают, а основания призмы являются вписанными многоугольниками для оснований цилиндра.

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.
Призмой, описанной вокруг цилиндра (см. рисунок ниже), называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

В этом случае основания призмы являются описанными многоугольниками вокруг оснований цилиндра, а высоты цилиндра и призмы совпадают.
Случаи «призма, вписанная в конус», «призма, описанная вокруг конуса» аналогичны комбинациям «конус - цилиндр». Им же аналогичные комбинации «цилиндр - пирамида».
Пирамидой, вписанной в конус , называется такая пирамида, основанием которой является многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной - вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются созидательными конуса.
Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, проведенного через эту образующую.
Пирамидой, описанной вокруг конуса (см. рисунок ниже), называется пирамида, в основании которой лежит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями к конусу.
Многогранник называется вписанным в шар , если все его вершины лежат на поверхности шара. Многогранник называется описанным около шара , если все его грани касаются поверхности шара.