Комбинаторная геометрия.

КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Раздел математики, объединяющий задач, в к-рых исследуются экстремальные свойства комбинаторного характера для систем фигур. Эти задачи связаны, в первую очередь, с оптимальным в нек-ром смысле расположением выпуклых множеств. Примером одной из старейших задач такого рода может служить задача о 13 шарах: каково максимальное равных материальных шаров, к-рые можно приложить к равному всем им шару в евклидовом пространстве? И. Кеплер (J. Kepler, 1611) указал число 12, но строгое этой задачи было дано в сер. 20 в. Б. Л. Ван дер Варденом (В. L. Van der Waerden) и К. Шютте (К. Schutte).

Термин "К. г.", по-видимому, впервые появился в 1955 (см. ). Обычно с этим годом связывают возникновение К. г. как направления в математике, хотя к ней можно отнести и боЛее ранние результаты (см., напр., ). Для К. г. характерна наглядность ее задач. В К. г. широко используются комбинаторные соображения и сочетания приемов из различных областей математики (топологии, функционального анализа, геометрии в целом, теории графов и др.).

Одной из центральных групп задач К. г. являются задачи о разбиении фигур на части, напр. Ворсука проблема.

Большую группу задач К. г. составляют. задачи о покрытиях, в к-рых исследуется возможность покрытия заданного множества фигурами специального вида (см., напр., Хадвигера гипотезу о покрытии выпуклого тела минимальным числом меньших гомотетичных ему тел с коэффициентом гомотетии k, 0 освещения задачи о минимальном числе направлений пучков параллельных лучей или источников, освещающих границу выпуклого тела и др.

К. г. родственна дискретной геометрии, см., напр., определенным образом связанную с гипотезой Хадвигера и задачами освещения Эрдёша задачу о нахождении максимального числа точек евклидова пространства R n , любые три из к-рых образуют с углами, нe превосходящими p/2.

К. г. тесно примыкает к теории выпуклых множеств. См., напр., Хелли теорему, к-рая описывает пересечения нек-рых семейств выпуклых множеств в зависимости от пересечения их подсемейств.

Лит. : Нadwiger Н., "J. reine angew. Math.", 1955, Bd 194, S. 101 - 10; Alexandrоff P., Hopl H., Topologie, Bd 1, В., 1935; Xадвигер Г., Дебруннер Г., Комбинаторная плоскости, пер. с нем., М., 1965; Грюнбаум Б., Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971; Нadwiger H., Debrunner H., Combinatorial Geometry in the Plane, N. Y., 1964; Яглом И. М., О комбинаторной геометрии, М., 1971; Болтянский В. Г., Солтан П. С, Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств, Киш., 1978. П. С. Солтан.

КОМБИНАТОРНАЯ - конечное Sвместе с отношением замыкания определенным для всех подмножеств Аиз S(т. е. влечет и но не обязательно = удовлетворяющим условиям: 1) для пустого множества 2)для каждого элемента 3) если и и если но то (свойство замены). Замкнутые множества, или плоскости образуют геометрическую решетку. Подмножество независимо, если для всех все максимальные независимые множества, или базисы, имеют одинаковую . Обычным образом определяются К. г. и сужение К. г. на подмножество А. Мощность базисов сужения К. г. на Аназ. рангом (А)множества А. Ранг удовлетворяет условию:

Множество для к-рого r(А)<|А|, наз. зависимым; минимальные зависимые множества К. г. наз. циклами. Опуская условия 1) и 2) в определении К. г., получают определение предгеометрии, или матроида. Рассматриваются также бесконечные К. г., при этом требуется конечность базисов.

Пример К. г.- подмножество Sвекторного пространства Vс отношением

определенным для всех где sр(A) - , натянутая на Ав V.

Одной из основных проблем в теории К. г. является так наз. критическая проблема. Для К. г., заданной множеством Sв проективном пространстве размерности пнад полем Галуа, эта проблема состоит в том, чтобы найти наименьшее положительное k (критическую экспоненту), для к-рого существует семейство гиперплоскостей H 1 , ..., H k , различающих S(семейство гиперплоскостей различает множество S, если для всякого tОSсуществует хотя бы одна , не содержащая t).

Лит. : Whitney H., "Amer. J. Math.", 1935 V. 57 р. 509-33; Сrаро Н. Н., Rota G. С, On the foundations of combinatorial theory: combinatorial geometries, Camb.- L., 1970; Tutte W. Т., Introduction to the theory of matroids, N. Y., 1971; Уилсон Р., Введение в теорию графов, пер. с англ., М., 1977; Рыбников К. А., Введение в комбинаторный анализ, М., 1972.

А. М. Рееякин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ" в других словарях:

В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Пика классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисле … Википедия

Часть математики, первоначальным предметом к рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем… … Математическая энциклопедия

N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия

Множества X любое семейство подмножеств этого множества, объединение к рого есть X. 1) Под П. топологического пространства, равномерного пространства и вообще какого либо множества, наделенного тем или иным строением, понимают произвольное П.… … Математическая энциклопедия

Гипотеза Борсука опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что Любое тело диаметра d в n мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d. Гипотеза была выдвинута… … Википедия

Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия

Случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия

Многогранник (точнее многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело) … Википедия

Теорема Хелли классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Предположим, что есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства, такое что пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех… … Википедия

- (парадокс 18 точек) одна из задач вычислительной геометрии. Поместим на отрезок точку с номером 1. Затем добавим ещё одну с номером 2 таким образом, чтобы они оказались в разных половинах отрезка. Третью точку добавим таким образом, чтобы все три … Википедия

Книги

• Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии , Фоменко А., Мищенко А., Соловьев Ю.. Настоящий сборник задач призван максимально отразить существующие требования к курсам дифференциальной геометрии и топологии как со стороны новых программ, так исо стороны других курсов…

К комбинации геометрических тел следует отнести расположенные рядом друг с другом или сочленённые между собой различные геометрические объекты (плоскости, призмы, конусы, цилиндры и т. д.), за исключением опорной поверхности.

Рассмотрим построение тени, падающей от выступающей части предмета на поверхность того же предмета. На рис. 5.14 задана призматическая поверхность в прямоугольной изометрии, которую можно рассматривать, как комбинацию из двух сочленённых между собой призм. Построение тени призмы на плоскость x Oy было показано ранее (рис. 5.7).

В данном примере показано ещё построение тени на плоскость четырёхугольника BEE 1 B 1 . Точка, принадлежащая тени бокового ребра, является тенью искомой точкиK .

Значит, для определения положения точки K надо провести обратный луч (его направление противоположно лучам света) из точкиK 0 параллельноr до пересечения с ребромEE 1 . Соединив точкиB иK , получим границу собственной тени на плоскости четырёхугольникаBEE 1 B 1 .

В результате выполненных построений границей собственной тени является ломаная линия ABKEMCC 1 M 1 E 1 B 1 A 1 , а падающей тени - многоугольникA 1 A 0 K 0 E 0 M 0 C 0 C 1 M 1 E 1 B 1 A 1 .

На рис. 5.15 задан конус в прямоугольной изометрии, направление световых лучейr и их вторичных проекцийr 1 , а также задана плоскостьP xOy , на которую должна падать тень от конуса.

Чтобы построить падающую и собственную тень от конуса, сначала находим тень C 0 от точкиC на плоскостьx Oy . Затем через точкуC 0 проводим касательныеC 0 D иC 0 B к контуру основания конуса. Отмечаем точкиE иF . ОтрезокEF определяет линию перегиба падающей тени.

Как видно, тень от точкиC на плоскостьP находится на линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости, в которую заключается световой луч, и плоскости P .

Соединив точкиE иF с точкой , получим контур части тени, падающей на плоскость P . Границы собственной тени конуса определяются образующимиCD иCB .

На рис. 5.16 рассмотрен пример построения тени, падающей от горизонтально-проецирующе-го стержня AB на конус. По ортогональным проекциям стержняAB и конуса построим их изображения в прямоугольной изометрии. Затем определяем падающую и собственную тени конуса при заданном направлении светового лучаr и его вторичной проекции r 1 . Потом строим тень отAB на плоскость х Oy . Световые лучи, проходящие через AB , образуют горизонтально-проецирущую плоскостьΣ , которая пересекает коническую поверхность по гиперболеEMKT .

Гиперболу можно построить, используя вторичные проекции точек, принадлежащих гиперболе. Например, взяв на следе Σ 1 точкуM 1 (вторичная проекция), проведём через неё линиюOD (проекция образующейCD ). Соединим точкуC с точкойD и на образующейCD отметим точкуM , принадлежащую гиперболе (см. рис. 4.8), причём точкаK , лежащая на границе собственной тени конуса, определена с помощью обратного лучаK 0 K .

На рис. 5.17 представлено построение тени от фигуры, состоящей из двух сочленённых поверхностей – цилиндра и конуса.

Сначала можно построить собственную и падающую тени от конуса по заданному направлению светового луча r и его вторичной проекции r 1 , а затем - собственную и падающую тени от цилиндра (см. построение).

Необходимо отметить, что границы собственных теней конуса и цилиндра на линии их общего основания не совпадают.

___________________________________________

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ………………………………………...………3

В В Е Д Е Н И Е………………………………………………………………...4

1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ……………………………………………...………...6

1.1. Основные понятия и определения…………………………………..……6

1.1.1. Геометрические фигуры. ………………………………………….6

1.1.2. Элементы и особенности метода проекций………………………6

1.2. Системы проецирования………………………………………..….……...7

1.2.1. Центральная система проецирования…………………….……….7

1.2.2. Параллельная система проецирования……………………………8

1.2.3. Свойства изображений……………………………………………..8

1.2.4. Свойства параллельных проекций………………………………...9

1.2.5. Проецирующие геометрические фигуры…………………..……12

1.2.6. Дополнения однокартинного чертежа…………………………..12

2.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР…...…14

2.1. Проекции точки…………………………………………………………..14

2.1.1. Комплексный двухкартинный чертеж точки…………………...14

2.1.2. Замена плоскостей проекций…………………………….……….16

2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки……………………18

2.2. Проекции прямых линий………………………………………………...22

2.2.1. Прямые общего положения………………………………………22

2.2.2. Прямые уровня……………………………………….……………23

2.2.3. Проецирующие прямые…………………………………………..24

2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой

общего положения……………………………………………………….25

2.2.5. Взаимное положение прямых…………………………………….26

2.3. Проекции кривых линий………………………………………………....29

2.3.1. Плоские кривые линии……………………………………………29

2.3.2. Пространственные кривые линии……………………………..…31

2.4. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже……….…..34

2.4.1. Задание поверхности с помощью определителя………….……..34

2.4.2. Каркас поверхности………………………………………….……36

2.4.3. Задание поверхности, не имеющей определителя…….………..36

2.4.4. Очерк поверхности………………………………………..………37

2.4.5. Проекции плоскостей……………………………………………..38

2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве…….….39

2.4.7. Примеры на инцидентность………………………………………43

2.4.8. Параллельность прямой и плоскости… ………………………….45

2.4.9. Параллельные плоскости…………………………………….…...45

2.4.10. Построение проекций плоскости при замене плоскостей

проекций………………………………………………………….………46

2.4.11. Классификация поверхностей…………………………………..48

2.4.12. Многогранные поверхности и многогранники………………...48

2.4.13. Поверхности вращения………………………………………….52

3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.………………………………………...…….60

3.1. Пересечение геометрических объектов, когда оба

геометрических объекта проецирующие………….………………………...60

3.1.1. Построение линии пересечения двух горизонтально-проецирующих плоскостей ……………………………………………..60

3.1.2. Виды линий пересечения прямого кругового цилиндра

с плоскостями…………………………………………………………….60

3.1.3. Определение проекций линии пересечения двух круговых

цилиндров………………………………………………………………..62

3.2. Пересечение геометрических объектов, когда один из

геометрических объектов проецирующий, а другой непроецирующий…..62

3.2.1. Построение линии пересечения двух плоскостей …………...…62

3.2.2. Линии пересечения конической поверхности с плоскостями….63

3.2.3. Построение проекций и натуральной величины линии

пересечения конической поверхности с плоскостью …………………63

3.2.4. Построение проекций и натуральной величины линии пересечения сферы с плоскостью …………………………………………….….64

3.2.5. Построение проекций линии пересечения конуса и призмы…..65

3.3. Пересечение геометрических объектов, когда оба

геометрических объекта – непроецирующие…….…………………………65

3.3.1. Алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей...65

3.3.2. Построение линии пересечения двух плоскостей общего

положения………………………………………………………………..66

3.3.3. Построение проекций линии пересечения двух кривых

поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей…..67

3.3.4. Пересечение соосных поверхностей вращения…………………68

3.3.5. Построение проекций линий пересечения поверхностей

вращения с помощью вспомогательных сфер (концентрических)…..69

3.4. Пересечение линии с поверхностью………………………..…………..71

3.4.1. Пересечение линии с поверхностью, когда оба

геометрических объекта проецирующие………………………………71

3.4.2. Пересечение линии с поверхностью, когда один из

пересекающихся геометрических объектов проецирующий,

а другой – непроецирующий……………………………………………71

3.4.3. Пересечение линии с поверхностью, когда оба

геометрических объекта непроецирующие……………………………72

3.5. Перпендикулярные геометрические объекты………………………….76

3.5.1. Перпендикулярные прямые………………………………………76

3.5.2. Перпендикулярные прямая и плоскость…………………………76

3.5.3. Перпендикулярные плоскости……………………………………77

4. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ…………………….…………...78

4.1. Образование и виды аксонометрических проекций…………………...78

4.2. Прямоугольные аксонометрические проекции………………………...79

4.2.1. Прямоугольная изометрическая проекция………………………79

4.2.2. Прямоугольная диметрическая проекция……………………….81

4.2.3. Пространственные геометрические объекты в

прямоугольной аксонометрии…………………………………………..82

4.3. Косоугольные аксонометрические проекции…………………………..83

4.3.1. Косоугольная фронтальная изометрическая проекция…………83

4.3.2. Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция……...83

4.3.3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция………….83

5. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИИ…………………….………………………...84

5.1. Основные понятия теории теней…………………………….…………..84

5.2. Тени в аксонометрии при центральном освещении……………………85

5.3. Тени в аксонометрии при параллельном освещении……….………….86

5.3.1. Тени от точки, прямой и плоской фигуры………………………86

5.3.2. Построение теней многогранников………………………………88

На рис. 1 каждый из шести кругов имеет общую точку с кругом, расположенным внутри; при этом никакие два круга не имеют общих внутренних точек. А на рис. 2 имеется восемь квадратов, каждый из которых также имеет общую точку с внутренним квадратом (и снова фигуры попарно не имеют общих внутренних точек). А можно ли вокруг некоторой выпуклой фигуры таким же образом расположить девять равных ей фигур, полученных из исходной с помощью параллельного переноса? Ответ отрицателен, хотя доказать это и непросто.

Рассмотренный вопрос относится к комбинаторной геометрии новой ветви математики, сформировавшейся лишь в XX в. Она занимается различными задачами, связанными с взаимным расположением нескольких фигур (чаще всего выпуклых), с разрезанием фигур на части, с освещением границы фигуры несколькими источниками света и т. п. При этом всегда ставится экстремальная задача: найти наибольшее число выпуклых фигур, расположенных так, как говорилось выше (рис. 1, 2), найти наименьшее число параллельных световых пучков, освещающих всю границу выпуклого тела (рис. 3), и т. п. Различных постановок комбинаторно-геометрических задач очень много, причем, как правило, они легко формулируются, но решение каждой из них требует огромных усилий.

В настоящее время в комбинаторной геометрии выделились несколько ведущих направлений. Одним из них является круг задач, связанных с теоремой Хелли (см. Выпуклые фигуры). Например, из теоремы Хелли следует, что для любого набора точек на плоскости, такого, что каждые три его точки можно покрыть кругом радиуса , найдется такой круг радиуса , который покроет все эти точки.

Вот еще пример утверждения, которое легко получить из теоремы Хелли. В параллелограмме (или иной центрально симметричной фигуре) имеется такая точка , что на любой прямой, проходящей через , высекаются отрезки , отношение которых равно 1 (рис. 4). В треугольнике такой точки нет, но можно выбрать такую точку , что отношение отрезков и заключено между и 2 (рис. 5). Оказывается, что внутри любой выпуклой фигуры на плоскости найдется такая точка , для которой отношение отрезков и (на любой прямой, проходящей через ) заключено между и 2. Треугольник в этом смысле самая несимметричная фигура.

Теорема Хелли и различные ее обобщения и применения составляют сегодня важный раздел комбинаторной геометрии. Причем применяется она не только в геометрии, но и во многих других областях математики. Например, в прошлом столетии русский математик П. Л. Чебышев установил ряд интересных свойств функций, «наименее уклоняющихся от нуля». А впоследствии оказалось, что свойства этих функций наиболее просто и геометрично выводятся именно с помощью теоремы Хелли.

Зарождение еще одного направления в комбинаторной геометрии связано с именем польского математика К. Борсука. Он исходил из интересного результата, полученною венгерским математиком Палом: всякая фигура диаметра (т. е. фигура, у которой наибольшее расстояние между двумя точками равно ) может быть вмещена в правильный шестиугольник, у которого расстояние между противоположными сторонами равно (рис. 6). Этот шестиугольник (а вместе с ним и расположенная в нем фигура) может быть разбит на три части, каждая из которых имеет диаметр (рис. 7). Итак, любая плоская фигура диаметра может быть разбита на три части меньшего диаметра. Для некоторых фигур существует разбиение и на две части меньшего диаметра (рис. 8), но трех частей достаточно для любой плоской фигуры. Опираясь на этот факт, в 1930 г. Борсук сформулировал гипотезу: любая фигура диаметра в пространстве может быть разбита на 4 части, каждая из которых имеет диаметр . Для шара такое разбиение показано на рис. 9. Лишь в 1955 г. английский математик Эгглстон доказал, что эта гипотеза Борсука справедлива.

Вот интересная комбинаторная проблема, еще не решенная для пространства. На рис. 10 показано, что параллелограмм можно покрыть четырьмя меньшими параллелограммами, полученными из данного гомотетиями. А иные фигуры – даже тремя меньшими «копиями» (рис. 11). Ясно, что в пространстве надо разрешить иметь восемь меньших «копий»: ведь параллелепипед нельзя покрыть семью меньшими гомотетичными параллелепипедами (поскольку сразу две вершины одной меньшей «копией» не покрываются). Но можно ли любое выпуклое тело в пространстве покрыть восемью меньшими гомотетичными телами? Это неизвестно даже для выпуклых многогранников. Гипотеза швейцарского математика Хадвигера (любое выпуклое тело может быть покрыто 8 меньшими гомотетичными «копиями») еще ждет своего решения.

Удивительно, что проблема Хадвигера эквивалентна следующей проблеме, поставленной советским математиком В. Г. Болтянским: какое наименьшее число пучков параллельных лучей нужно взять, чтобы осветить всю границу выпуклого тела? В частности, границу любого ли выпуклого трехмерного многогранника можно осветить восемью параллельными пучками лучей? При этом лучи, проходящие по касательной, как на рис. 12, не считаются освещающими точку касания (т.е. луч, освещающий точку , должен после прохождения через эту точку войти внутрь тела, рис. 13). Интересно отметить, что теорема об эквивалентности указанных проблем справедлива лишь для ограниченных выпуклых фигур. На рис. 14 показано, что для параболической области любая меньшая гомотетичная фигура содержит лишь конечную дугу границы фигуры . Поэтому нужно бесконечное число «копий», чтобы покрыть всю фигуру , т.е. для этой фигуры число Хадвигера равно . А число освещающих параллельных пучков равно 1 (рис. 15).

После освоения заданий первого раздела занятий по композиции следует обратиться к разделу специальных заданий. Одно из них — задание на составление геометрических фигур под названием .

В этом задании перед учеником стоит задача взять за основу геометрический элемент — модуль, на его основе разработать орнаментальные конструкции и скомбинировать из них циклические композиции.

Название Комбинаторика происходит от латинского слова «combina» , что переводится как «сочетать, соединять» . Чаще этот термин используется в области математики, где применяется в изучении дискретных объектов. К счастью, в художественной сфере с комбинаторикой дело обстоит проще. Комбинаторика в искусстве , в частности, в орнаменте — это метод сочетания, расположения и упорядочивания отдельных изображений.

Несмотря на техническое происхождение, комбинаторика имеет свои непосредственно художественные стороны.
Впервые принципы комбинаторики сформулировали и начали использовать на практике в 1920-х советские конструктивисты, в том числе А. Родченко, В. Татлин, К. Мельников. Метод комбинаторики был применен как один из видов проектирования. Само направление появилось как ответ на запрос нового времени, новых подходов к производству, оформлению и агитации, где искусство становилось непосредственной частью созидательного процесса.

Метод активно применялся для проектирования целого комплекса утилитарных бытовых вещей: одежды, мебели, предметов интерьера, а также для средств визуальной презентации: сцен, выставочных павильонов, стендов и т.д.

Определение комбинаторики звучит довольно просто, но логично – комбинирование новых элементов из набора простых геометрических форм, нахождение соединений, сочетаний при перестановке данных элементов.
Все искусство конструктивизма построено на этом принципе.

Описание задания Комбинаторика.

Первоочередная задача, стоящая перед учеником, найти комбинаторный элемент, из которого будет собираться дальнейшая композиция.
Комбинаторный элемент чаще всего представляет собой геометрическую форму с прямолинейными контурами, так как любые формы с округлыми и криволинейными абрисами обладают меньшими формообразующими способностями нежели формы с прямыми линиями типа квадрат или треугольник.

Далее путем соприкосновения форм, перестановок, поворотов, различных способах стыковки необходимо создать безразрывные, циклические цепи орнаментов. Из них могут собираться также и раппортные полотна, представляющие самостоятельные графические композиции.
Для составления цепочек элементов нужно использовать такие композиционные приемы, которые дают максимальную эстетическую и декоративную выразительность. Сам элемент должен выглядеть как составная часть конструкции, органично помещенный в структуру орнамента.

В нашей мастерской строятся таким образом, чтобы ученик принимал активное участие в творческом процессе. Занимался поиском изобразительных образов, самостоятельно выполнял эскизы, предлагал варианты. Задача педагога — оказывать помощь советами и выбором перспективного направления для реализации эскизов в проект.

Практика показывает, что такой способ намного эффективнее, чем синхронное по-вторение действий за педагогом, где ученик должен механически копировать каждое движение. Такой подход уместен в других художественных дисциплинах, но только не в композиции, так как развивает технику, но оставляет незадействованным важный навык – способность генерировать и придумывать художественные идеи .

На данном этапе прохождения мы используем полезное дополнение к заданию, которое совершенно точно пригодится в художественной деятельности. Ученик, представляя свой проект, должен обосновать выбор комбина-торных элементов и описать графическую концепцию, получаемую в процессе комбинирования. Это помогает сосредоточиться на выполнении задания, осмысленно подходить к своим действиям, а также представлять конечный вид своей работы.

Задания подобного типа нужны для:

• развития интуитивных навыков построения композиции;
• поиска самого оптимального сочетания;
• решения изобразительных задач минимальными средствами.

Задание выполняется на листе форматом А2 графическими материалами, такими как ручки, маркеры, линнеры и рапидографы, можно использовать гуашь или темперу.

Подробную информацию о записи на занятия, стоимости и времени, а также, какие материалы принести с собой на первое занятие, вы можете узнать по телефонам: 8 903 669-80-89 и 8 903 669-49-59 или написать нам на почту [email protected]

Одним из перспективных методов формообразования является комбинаторика. Комбинаторика - это приемы нахождения различных соединений (комбинаций), сочетаний, размещений из данных элементов в определенном порядке. Комбинаторные (вариантные) методы формообразования применяются для выявления наибольшего разнообразия сочетаний ограниченного числа элементов. Сложность целостной формы, отвечающей множеству требований - функциональных, конструктивных, эстетических и др., затрудняет создание развитых комбинаторных систем «в чистом виде». При проектировании идея комбинаторики выступает лишь в качестве стимула - за основу формообразования берутся те элементы формы, из которых можно создать комбинаторную систему (геометрические, конструктивные, цветовые и др.). Принципиально важным обстоятельством для управления комбинаторным процессом является тот факт, что в комбинаторике всегда присутствуют два начала: постоянное и переменное. Постоянным началом комбинаторики служат идея, концепция или схема, направляющая комбинаторный поиск - концептуальная комбинаторика.

При поиске комбинаторного элемента должны решаться следующие основные задачи: неповторимость разнообразных композиционных приемов, декоративная и эстетическая ценность. Декоративный комбинаторный элемент должен вписываться в любую структуру, быть составной частью композиции. Поиск декоративного комбинаторного элемента на основе геометрических фигур с прямолинейными контурами является наиболее продуктивным. В природе встречаются самые разнообразные геометрические формы. Очень часто природа унифицирует геометрические конструкции - лепестки цветов, листья деревьев, семена злаков, чешуя рыб, панцири животных. Декоративный комбинаторный элемент на основе природного аналога с криволинейными контурами обладает меньшими формообразующими способностями. Формообразующие способности элементов зависят от их структурного типа (геометрических параметров), от степени регулярности его строения и уровня собственной симметрии. Наименьшие они у круга или криволинейного контура, велики у квадрата, правильного треугольника или прямоугольного контура.

В ряду идей программированного формообразования комбинаторика занимает одно из главных мест. Процесс создания комбинаторных систем может идти разными путями: совершенствование исходных элементов, чтобы получить ряд дискретных конструктивных или композиционных построений; поиск новых конструктивных построений на основе известных элементов и систем связей. Наиболее перспективным для автоматизации видом комбинаторики является формальная комбинаторика - всевозможные операции по изменению морфологических качеств объекта (формы, конфигурации, размеров, расположения частей и т.д.). К числу таких операций относятся:

· перестановки (размещение) частей или элементов целого;

· образование сочетаний элементов и их качеств;

· изменение количества элементов, образующих целое;

· изменение элементной базы (объемных и геометрических деталей);

· изменение материала, фактуры и цвета.

К основным приемам комбинаторного формообразования относятся: комбинирование элементов на плоскости при создании раппортных композиций; соединение типизированных стандартных элементов (модулей) в единой целостной объемно-пространственной форме; комбинирование деталей, пропорциональных членений внутри формы. Главная специфика комбинаторного формообразования состоит в том, что это пространственная комбинаторика, которая подчиняется геометрическим законам, опирается на теорию симметрии и комбинаторную симметрию. Примером прикладного комбинаторного формообразования в полиграфии, колористическим прототипом которого в изобразительном искусстве был пуантализм, может быть применение принципа растра, позволяющего на основе различных комбинаций точек ограниченной разновидности и определенной (квадратной) сетчатой матрицы получать тональные изображения. В числе компьютерно-комбинаторных задач - автоматизированный способ создания и реализации паркет-орнаментов. Пример паркет-орнамента, составленного из треугольников. Ключевыми в программах такого рода являются применение режима графической компоновки, определенной номенклатуры исходных элементов переноса и поворота базисного графического элемента. Правила комбинаторной компоновки могут быть различными, в том числе допускающими наложение ячеек друг на друга. Однако для получения плотных плоских многокомплектных раскладок деталей изделий, в частности в швейной отрасли, необходимо добиться, чтобы на произвольно взятой плоскости отношение площади покрытых фигурами (лекалами) участков ко всей площади раскладки было бы максимальным.

Мера эффективности комбинаторного формообразования зависит от структуры геометрии типоэлемента, способа компоновки заданных типоэлементов; от состава серии-номенклатуры типоэлементов; относительных размеров, в том числе от модульности. Композиционная и геометрическая сочетаемость орнаментальных элементов зависит от взаиморасположения изобразительных мотивов, степени регулярности их строения, уровня собственной симметрии. Однако к комбинаторным можно отнести только такие элементы, которые обладают свойством универсальности и высокой формообразующей способностью. Образование различных комбинаторных форм из набора общих и повторяемых исходных элементов осуществляется всей поверхностью (или контуром), частью поверхности, линией, точкой или вообще без примыкания.

Орнамент в общем случае - это типичная форма-структура, то есть одна из разновидностей комбинаторных форм. Когда группа разных орнаментов образуется на основе общих элементарных узоров, налицо пример наиболее активного комбинаторного формообразования. Построение модульных, комбинаторных, кинетических систем базируется на законах симметрических преобразований. Наиболее разработанными в этом плане являются программы, получаемые на основе симметрических сеток, поворотной, переносной и зеркальной симметрии, симметрии подобия. Создание группы комбинаторных орнаментов возможно на основе асимметричной фигуры только одной разновидности. Все возможное структурное разнообразие комбинаторных орнаментов одного семейства на основе одного унифицированного типоэлемента определяется всеми возможными комбинациями видов симметрии и численно равно 17: квадратная, правильная треугольная, ромбическая, прямоугольная, косая параллелограмматическая сетки, 5- и 6-гранные сетки. «Рисунок, построенный сечением сотов, таит в себе больше возможностей разнообразия и гибкости, где дело касается движения людей» - Ф.Л. Райт .

В очень многих утилитарных рукотворных предметах орнамент прямо или художественно опосредованно выражает их технологические, конструктивные и иные свойства (например в формах переплетения тканей и циновок, швов каменной кладки, пластического узора на гончарных изделиях), справедливо называется в этих случаях структурным, или конструктивным и является, по существу, архитектоничным.

По критерию структурной и экономической эффективности сфера и круг - абсолютные образцы геометрического построения объемных и плоских форм. Эти структурно-эффективные формы оптимальны также в конструктивном и эстетическом отношениях. В 1915 г. Казимир Малевич (1878-1935 гг.) разработал свой стиль, явившийся новой ступенью художественного сознания - беспредметный «супрематизм». Малевич и его сторонники сводили живопись к нескольким формальным фигурам, имевшим символическое содержание. Регулярные геометрические фигуры, написанные чистыми локальными цветами, погружались в некоторое трансцендентное пространство, где господствовали законы комбинаторики, динамики и статики. Супрематизм на уровне проектно-композиционной стилистики сначала выплеснулся в виде орнамента и декора на стены домов, плакаты, ткань, посуду, предметы туалета, трамваи, трибуны и т.д. Развитие супрематизма в творчестве Малевича привело к усилению роли геометрических плоскостей в общей композиции картины, цвет начал отходить на второй план. Следующий шаг привел к формированию объемов, развитию пространственного искусства, включая архитектуру. Здесь вступали в силу новые архитектонические закономерности. В середине 20-х гг. Малевич делает новый шаг в процессе «выхода» супрематизма в архитектуру в виде реальных объемных композиций - архитектон. Таким образом, Малевич первый нашел предельно простые комбинаторные стилеобразующие элементы, которые получили дальнейшее развитие в XX-XXI вв.

Комбинаторный метод формообразования в дизайне основывается на поиске, исследовании и применении закономерностей вариантного изменения пространственных, конструктивных, функциональных и графических структур, а также на способах проектирования объектов дизайна из типизированных элементов. Комбинаторика дает возможность осуществлять проектную деятельность в двух направлениях: создание новых структурных построений и варьирование исходных элементов.

Комбинаторика оперирует определенными принципами комбинирования: перестановкой, группировкой, переворотами, организацией ритмов. Комбинаторные методы в проектировании одежды впервые применили советские конструктивисты А. Родченко, Л. Попова, В. Степанова. Они применяли программированные методы формообразования: комбинирование стандартных элементов из набора простейших геометрических форм; комбинирование различных видов декора на основе базовой формы; варианты трансформации одежды в процессе эксплуатации. Впоследствии программированные методы формообразования не только стали ведущими методами при проектировании промышленных коллекций, но и легли в основу графических компьютерных программ.

Комбинаторные методы на сегодняшний день являются основными в проектировании костюма. К ним относятся: комбинаторика, трансформация, кинетизм, создание одежды из целого плоского куска ткани. Комбинаторный метод проектирования применяется при создании безразмерной одежды.

Комбинаторный прием перестановки, или эвристическое комбинирование, предполагает изменение элементов, их замену. Его можно охарактеризовать как комбинаторный поиск компоновочных решений.

К частному приему в комбинаторике относится прием вставок (врезок) в определенную форму для создания сложной формы. Широко используются в современном дизайне костюма вставки в разрезы одежды из плоских кусков ткани простой геометрической формы (квадрат, прямоугольник, треугольники разной конфигурации, круг, полукруг, сектор, сегмент, трапеция).

Трансформация (от лат. transformatio - превращение) - метод превращения или изменения формы, часто используемый при проектировании одежды. Процесс трансформации определяется динамикой, движением превращения или небольшого изменения.

Комбинаторные методы вбирают некоторые элементы трансформации, модульного проектирования. Трансформация разделяется следующим образом: превращение одной формы в другую; трансформация деталей внутри одной формы. Процесс превращения может быть достаточно многовариантным.

Кинетизм (от греч. kinetiko"s - приводящий в движение) относится к комбинаторным методам проектирования, в частности к методу трансформации. Кинетизм - вид художественного творчества, в основе которого лежит идея движения формы, любого ее изменения. Метод кинетизма заключается в создании динамики форм, декора.

Идея кинетического рисунка стала чрезвычайно интересной для художников по текстилю, так как создает необыкновенные и парадоксальные эффекты графики. Кинетизм дает возможность создать мощную динамику внутри статичной формы. Среди наиболее определенных и апробированных вариантов мобильного формообразования отмечаются такие, как вращение спирали, эффекты волнового колебания, муаровый эффект и т.д. Вращение спирали порождает впечатление бесконечного подъема или спуска элементов композиции. Прием волнового колебания связывают с возникновением иллюзорных пластических изменений неподвижной формы, которые создают иллюзию перетекания изгибов формы в пространстве.

Придание изделию современного вида за счет изменения внешней формы без изменения функции и конструктивных свойств относится к стайлингу, стилизации, модернизации с целью обновления внешнего вида. Однако стайлинг внешней формы в целях повышения эстетических качеств изделий зачастую противоречит сути индустриального формообразования.

Большую роль играет цвет и цветосочетания в дизайне.

Иногда мы воспринимаем предмет как цветовое пятно, а уже потом как объем. Цвет и цветовые сочетания могут быть очень активными, а могут быть и нейтральными, могут настораживать или расслаблять.

Восприятие цвета в какой-то степени субъективно и оно у разных людей, в общем, сходно. У цвета есть объективные качества, их нужно знать, чтобы анализировать свои ощущения и пользоваться цветом как средством создания гармонической предметной среды.

«Чистые» (хроматические) цвета спектра можно разделить на теплые (красный, оранжевый, желтый) и холодные (фиолетовый, синий, голубой). Желто-зеленые занимают промежуточное положение между этими двумя группами. Чистыми цветами практически почти не пользуются, к ним добавляют так называемые ахроматические тона (белый, серый, черный).

Цвет влияет на наше восприятие реального пространства: цвета «теплого» спектра зрительно приближаются. Поэтому плоскости, окрашенные оранжевым или красным, например, кажутся нам ближе, чем равноудаленные плоскости голубого цвета. Тёмные цвета делают предметы зрительно весомее, массивнее, чем светлые. Вместе с тем теплые цвета связываются с большим весом, чем холодные. Окраска влияет и на восприятие величины: светлое пятно на тёмном фоне кажется больше, чем равновеликое ему тёмное.

Мы воспринимаем цвет, как правило, в сочетании с другими смежными цветами. В результате этого складывается общая, воспринимаемая человеком картина. «Цветовая гармония», «красивый колорит», «удачное цветосочетание» выражения нам знакомые, и за ними кроется примерно одинаковое содержание.

Отношение цветов между собой могут быть контрастными, а могут быть и сближенными - нюансными. Гармонизировать нюансные цвета сравнительно легче, чем контрастные, но это не означает, что они всегда предпочтительнее.

Выбор цвета может быть и обусловленным. Существует понятие «функциональная окраска», т.е. окраска, связанная с определенной функцией, действием, основанная на объективных свойствах цвета, с одной стороны, и реальной ситуацией - с другой.

При помощи цвета решается и другая задача - снижение нервного напряжения. Здесь пользуются нейтральными тонами, избегая резких сопоставлений и цветовых контрастов.

Прежде чем приступить к окраске, намечают схему распределения цвета, а уже после этого подбирают сами цвета. Часто выбор цвета практически ничем не обусловлен и не ограничен.

Подбор цвета - трудная, а иногда и ответственная задача. Здесь имеет значение и «вкусовой» момент, особенно когда речь идет о жилище. Для колористического решения важно не только наименование цвета или ряда цветов, важна и мера : какой именно оттенок красного - разбеленный или с примесью черного, сине-зеленый или сине-фиолетовый - будет сочетаться со смежным тоном.

Зная объективные закономерности восприятия цвета, человек может сделать свое предметное окружение красивым. Он имеет возможность как бы со стороны оценивать цветосочетания, анализируя свои личные вкусы и пристрастия.

«Вкус цвета» будет определять цветовое комбинаторное решение внешнего вида графической продукции промышленного дизайна.

Все спектральные цвета тем или иным образом влияют на функциональные системы человека:

· Красный - возбуждающий, согревающий, активный, энергичный, проникающий, тепловой, активизирует все функции организма.

· Оранжевый - тонизирующий; действует в том же направлении, что и красный, но слабее; ускоряет пульсацию крови, улучшает пищеварение.

· Желтый (самый светлый в спектре) - тонизирующий, физиологически оптимальный, наименее утомляющий; стимулирует зрение и нервную деятельность.

· Зеленый (самый привычный для органа зрения) - физиологически оптимальный; на продолжительное время повышает двигательно-мускульную работоспособность.

· Голубой - успокаивающий; снижает мускульное напряжение и кровяное давление, успокаивает пульс и замедляет ритм дыхания.

· Синий - успокаивающее действие переходит в угнетающее; способствует затормаживанию функций физиологических систем человека.

· Фиолетовый - соединяет эффект красного и синего цветов; производит угнетающее действие на нервную систему.