Ковариантная формулировка.

Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, кото­рые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических зако­нов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач по­требовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к ми­нимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта си­стема, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый ре­зультат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику век­торного анализа.

Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить темпе­ратура. Другие очень важные в физике величины имеют на­правление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смеще­ние: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.

Все величины, имеющие направление, подобно шагу в про­странстве, называются векторами.

Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р, определяемую коорди­натами х, у и z, мы фактически должны задать три числа. Но мы будем использовать для этой цели один-единственный матема­тический символ r, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнейшем . Это не одно число: символ r задается тремя числами: х, у и z. Символ r означает три числа, но не только эти три числа, потому что при переходе к другой системе координат нужно заменить их числами х", у" и z". Однако мы хотим как можно более упростить нашу математику и исполь­зуем один и тот же символ в качестве представителя трех чи­сел х, у, z и трех чисел х", у", z" . Точнее говоря, мы используем один и тот же символ в качестве представителя первого набора чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему коор­динат. Это удобно потому, что нам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы записываем уравнения, используя координаты х, у и r, а затем меняем систему отсчета, то появляются координаты х", у" и z", но мы пишем просто r, условившись, что этот символ служит представителем х, у, z, если мы пользуемся первой системой отсчета, и х", у", z ", если мы перешли к другой системе. Три числа, которые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составляющими (компонентами) вектора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения трех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же объек­та с трех разных точек зрения. Произнося слова «один и тот же объект», мы обращаемся к нашей физической интуиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зависит от того, какими составляющими мы его описываем. Итак, символ r представляет один и тот же объект независимо от того, как мы ориентируем оси системы отсчета.

Предположим теперь, что существует другая направленная величина, например сила - еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа. Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие три числа по строго определенным математическим правилам. Эти правила должны быть теми же самыми, которые определяли пере­ход тройки чисел х, у, z в х " , у", z" . Другими словами, вектор - это величина, определяемая тремя числами, которые преобра­зуются при изменениях системы координат так же, как состав­ляющие шага в пространстве. Уравнение типа

справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя бы в одной из них. Оно заменяет нам три уравнения

F x =x, F y = y, F z =z или соответственно

F х " = х" ,F у" = у " , F z" =z".

Тот факт, что физические соотношения между какими-либо ве­личинами можно выразить в виде векторных уравнений, говорит о том, что эти соотношения верны в любой системе координат. Вот почему понятие вектора очень удобно в физике.

Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она пре­образуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем та­кой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответ­ствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа

(где k - некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к про­стому геометрическому построению.

Чтобы записывать соотношения между физическими величинами в пространстве-времени, мы должны построить нужные 4-векторы. Строя эти величины, мы имеем в виду, что в предельном случае малых скоростей преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, относительность промежутков времени и длип уже не имеет места и уравнения Ньютона соответствуют принципу относительности Галилея, если переход от одной ИСО к другой описывается преобразованиями Галилея. В описываемом предельном случае время и пространство уже не связаны друг с другом и мы можем пользоваться привычными трехмерными величинами. Поэтому, строя четырехмерные величины, мы всегда будем стремиться к тому, чтобы три их (пространственные) компоненты были сходны с соответствующими трехмерными величинами. В предельном случае малых скоростей три компоненты четырохмсрных величин должны переходить в обычные механические величины.

Построение 4-скорости и 4-ускорения мы будем вести по аналогии с построением соответствующих величин в трехмерном пространстве, где положение частицы задавалось трехмерным радиус-вектором а 3-скорость определялась как производная радиус-вектора по времени Определить 4-скорость как производную 4-радиус-вектора по времепи нельзя. Нам нужен 4-вектор скорости, а для этого 4-вектор приращения можно делить только на скаляр (инвариант преобразований Лоренца). Ни само время, ни его дифференциал скаляром не являются.

В качестве инвариаптной величины, зависящей от времени, можно взять интервал или собственное время частицы (ср. § 3.3). Мы еще раз введем понятие собственного времени, связав его с интервалом между событиями. Мы пользуемся тем обстоятельством, что движение частицы в 3-пространстве - это непрерывная последовательность событий, состоящих в том, что частица в данный момент занимает определенную точку пространства. Пусть в системе К координаты частицы за время изменились на а ее смещепие равно Рассмотрим мгновенно-сопутствующую частице инерциальную систему К (мгновенно-сопутствующий частице ИСО называется система, постоянная скорость которой V равна мгновенной скорости частицы). В системе за бесконечно малый промежуток времени координаты частицы не меняются: Имея в виду инвариантность интервала между событиями,

В системе промежуток это промежуток собственного времепи. В этой главе мы будем обозначать его через (обозначением , использованным в предыдущих главах, в этой главе мы не пользуемся). Из предыдущего равенства имеем

Мы пришли к уже известному нам (§ 3.3) результату, а заодно доказали инвариантность собственного времени . Выпишем нужные для дальнейшего формулы:

Мы видим, что собственное время частицы отсчитывается по часам мгновенно-сопутствующей ИСО. Но за конечный промежуток времени для частицы, движущейся с ускорением, мгиовенно-сопутствующие ИСО меняются. Конечное собственное время частицы определяется как суммарное время, отсчитанное многими ИСО. В принципе часы жестко связывать с частицей следует, поскольку всякое ускорение влияет на ход часов. Лишь в том случае, когда ускорение, испытываемое частицей, практически на ход часов не влияет, собственное время можно отсчитывать но часам, жестко связанным с частицей. Но отсчет «собственного времени» легко провести по времепи, отсчитываемому часами системы К (относительно которой частица движется), если известна зависимость скорости частицы от времени, т. е.

Из формул (5.1) и последней формулы видно, что координатное время (время, отсчитываемое всеми часами из К) является функцией собственного времени т. Из формулы видно, что на равных правах с собственным временем можно пользоваться интервалом причем все формулы будут отличаться на некоторые степени инвариантного множителя с.

Итак, введем 4-вектор скорости

Поскольку - инвариант, а - вектор, векторный характер V не вызывает сомпений. Раскроем трехмерный смысл первых

трех компонент (5.2) в обозначениях (4.7а):

где - компоненты обычной 3-скорости. Итак, три первые компоненты 4-скорости - это компоненты обычной 3-скорости, умноженные на множитель у, зависящий от абсолютной величины скорости частицы. Четвертую компоненту найдем отдельно:

В обозначениях (4.7) имеем

В духе записи можно написать

При т. e. при скоростях тела , множитель и тогда первые три компоненты 4-скорости и последние три компоненты (5.56) совпадают с обычной скоростью. Особый иптерес представляют четвертая компонента (5.5а) и нулевая . Они отличпы от нуля даже тогда, когда частица покоится (при Последний результат имеет ясный смысл. Время остановить нельзя, оно всегда течет. «Покой нам только снится», и в четырехмерном мире «покоя» (в том смысле, что быть не может. Что касается «скорости течения времепи», то она, разумеется, определяется выбором единиц времепи.

Можно записать компоненты 4-скорости еще и так:

Квадрат 4-вектора является инвариантом. Он находится по формулам (4.11а) и (4.116) соответственно:

Вычисление проще всего производится в собственной системе отсчета частицы, т. е. в системе отсчета, где опа покоится Тогда в (5.5а) останется лишь Следовательно,

квадрат 4-скорости в (5.7а) и (5.76) разного знака в силу различного определения интервала (см. гл. 4), но этот знак при выбранном определении уже не меняется, откуда следует, что всегда.

Как только скорость в 4-пространстве записана в виде 4-вектора, сразу же можно записать формулы преобразования ее компонент при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Пусть в системе К заданы составляющие 4-скорости Согласно формулам (4.10а) в системе К мы получим

но 4-скорости имеют составляющие подставляя которые в (5.8) получим

Из последнего равенства (5.9) следует, что

Подставляя это выражение в три первых равенства (5.9):

получим для компонепт скорости в К формулы, выведеппыгв в гл. 3 из преобразований Лоренца.

Заметим попутно, что если вместо формул перехода от К к К (5.8) мы используем формулы обратного перехода, то вместо (5.10) найдем

что позволяет получить значение выраженное через компоненты скорости в системе К. Из (5.10) следует формула полученная иным путем:

Из формулы (5.10) вытекает, что если частица покоится в то ; этот результат очевиден, потому что частица, неподвижная в К, движется относительно К со скоростью -V.

Тот же самый результат получится, если мы воспользуемся определением (5.66) и формулами преобразования (4.106). Мы

предоставим это сделать читателю. Наш результат очевиден - пространственные компоненты 4-скорости определяют преобразование привычной 3-скорости.

Теперь нам следуат определить 4-ускорение, которое мы также сразу построим как 4-лектор:

или же в компонентах:

Ниже мы выпишем несколько формул, касающихся ускорения, по нужных нам лишь для специальных вопросов, в обозначениях (4.7а). Компоненты четырехмерного ускорения можно выразить через компоненты трехмерных векторов и . Мы получаем

потому что, как легко проверить,

а . Четвертая компонента ускорения:

В случае равпомерного движепия все четыре компоненты ускорения обращаются в нуль. Б системе отсчета, в которой частица покоится,

Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

4-вектор (четы́ре-ве́ктор , четырёхве́ктор ) - вектор в четырёхмерном пространстве Минковского . Координаты 4-вектора [где? ] при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы отсчёта относительно прежней.

• В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1, 2, 3 - совпадающим с x, y, z (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
• Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым и иногда - в силу своего удобства - используется и в современной литературе.
• 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в простых случаях это различие весьма просто.

Примеры 4-векторов

• 4-перемещение texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): dx^i = (cdt,~dx,~dy,~dz),
• 4-скорость Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): u^i =\frac{dx^i}{ds}=\frac1c \frac{dx^i}{d\tau}, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc - «собственное время », равное деленному на скорость света интервалу , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \tau=\frac1c\int{ds} , измеренному вдоль мировой линии . Геометрически 4-скорость является единичным вектором , касательным к мировой линии частицы.
• 4-ускорение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a^i =\frac{du^i}{ds}= \frac1c\frac{du^i}{d\tau}, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \tau - см. выше. Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии частицы.
• 4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p^i = \left(\frac{\varepsilon}{c},~ p_x,~ p_y,~ p_z \right)
• четырёхмерная плотность тока (4-ток) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): j^i = (c\rho,~j_x,~j_y,~j_z);
• волновой 4-вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k_i = \left(\frac{\omega}{c}, -k_x, -k_y, -k_z \right);
• Электромагнитный потенциал Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A_i = (\varphi,~-A_x,~-A_y,~-A_z).

Свойства

• Закон преобразования четырёхвектора:

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): S_j^i - матрица из группы Лоренца - матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

• Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
  • Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном - пространственно-временном - смысле).
  • Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) - её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m^2 = E^2/c^4 - p^2/c^2 и т. д.

Обозначения

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a обозначается как: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a_i.

Координаты, 3 пространственные и временную, обычно обозначают как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x^i.

Что означает при этом использование верхнего (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a^i ) или нижнего (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a_i ) индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним - ковариантные координаты . Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления - контравариантное и ковариантное .

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчета , как в электродинамике , специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временно́й (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры - пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

и в частности

(Как видим, эти формулы были верны и для Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь - в общем случае - уже не сводятся).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы , так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно - контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\partial_0, -\partial_1, -\partial_2, -\partial_3), так как полный дифференциал Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): df = \partial_0 f dx^0 + \partial_1 f dx^1 + \partial_2 f dx^2 + \partial_3 f dx^3 - должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \eta_{ij}.

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временно́й компоненты лишен этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры ; впрочем, выбор сигнатуры - всё равно дело договоренности). То есть о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \eta_{ij}, то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

• 4-перемещение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): dx_\mu = (i c ~dt, dx, dy, dz),
• 4-импульс Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p_\mu = (i E / c, p_x, p_y, p_z),
• четырёхмерная плотность тока Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): j_\mu = (i c \rho,j_x,j_y,j_z),
• волновой 4-вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k_\mu = (i \omega / c, k_x, k_y, k_z),
• электромагнитный потенциал Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A_\mu = (i \phi, A_x, A_y, A_z),

и т. д., где i - мнимая единица .

4-вектор в математике

Напишите отзыв о статье "4-вектор"

Литература

• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. § 2. Интервал. § 3. Собственное время. § 6. Четырёхмерные векторы. § 7. Четырёхмерная скорость. // Теория поля. - Издание 7-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 512 с. - («Теоретическая физика », том II). - ISBN 5-02-014420-7. .
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). - Эдиториал УРСС. - ISBN 5-354-00704-6. - гл. 25. «Электродинамика в релятивистских обозначениях». (Это простое введение для студентов младших курсов; во избежание путаницы следует обратить внимание, что в этой книге используются только нижние индексы, относящиеся, однако, к контравариантным компонентам 4-векторов).

Отрывок, характеризующий 4-вектор

Но вскоре, через каких-то шесть месяцев, к ним пришла добрая новость – мама снова была беременна... Папа вначале перепугался, но видя, что мама вдруг очень быстро начала оживать, решился идти на риск, и теперь уже все с большим нетерпением ждали второго ребёнка... На этот раз они были очень осторожны, и пытались всячески уберечь маму от любых нежелательных случайностей. Но, к сожалению, беде, видимо по какой-то причине, полюбилась эта гостеприимная дверь... И она постучалась опять...
С перепугу, зная печальную историю первой маминой беременности, и боясь, как бы опять что-то не пошло «не так», врачи решили делать «кесарево сечение» ещё до того, как начнутся схватки (!). И видимо сделали это слишком рано... Так или иначе, родилась девочка, которую назвали Марианной. Но прожить ей, к сожалению, удалось тоже очень недолго – через три дня эта хрупкая, чуть распустившаяся жизнь, по никому не известным причинам, прервалась...
Создавалось жуткое впечатление, что кому-то очень не хочется, чтобы мама родила вообще... И хотя по своей природе и по генетике она была сильной и абсолютно пригодной для деторождения женщиной, она уже боялась даже подумать о повторении такой жестокой попытки когда-то вообще...
Но человек – существо, на удивление, сильное, и способно вынести намного больше, чем он сам когда-либо мог бы себе представить... Ну, а боль, даже самая страшная, (если она сразу не разрывает сердце) когда-то видимо притупляется, вытесняемая, вечно живущей в каждом из нас, надеждой. Вот поэтому, ровно через год, очень легко и без каких-либо осложнений, ранним декабрьским утром у семьи Серёгиных родилась ещё одна дочь, и этой счастливой дочерью оказалась я... Но... и это появление на свет наверняка кончилось бы не так счастливо, если бы всё и дальше происходило по заранее подготовленному плану наших «сердобольных» врачей... Холодным декабрьским утром маму отвезли в больницу, ещё до того, как у неё начались схватки, чтобы, опять же, «быть уверенными», что «ничего плохого» не произойдёт (!!!)... Дико нервничавший от «плохих предчувствий» папа, метался туда-сюда по длинному больничному коридору, не в состоянии успокоиться, так как знал, что, по их общему договору, мама делала такую попытку в последний раз и, если с ребёнком что-то случится и на этот раз – значит, им никогда не суждено будет увидеть своих детей... Решение было тяжёлое, но папа предпочитал видеть, если не детей, то хотя бы свою любимую «звёздочку» живой, а не похоронить сразу всю свою семью, даже по-настоящему ещё не поняв, что же такое по-настоящему означает – его семья...
К папиному большому сожалению, маму опять же пришёл проверять доктор Ингелявичус, который всё ещё оставался там главным хирургом, и избежать его «высокого» внимания было очень и очень сложно... «Внимательно» осмотрев маму, Ингелявичус заявил, что придёт завтра в 6 часов утра, делать маме очередное «кесарево сечение», на что у бедного папы чуть не случился сердечный удар...
Но около пяти часов утра к маме явилась очень приятная молодая акушерка и, к большому маминому удивлению, весело сказала:
– А ну, давайте-ка готовиться, сейчас будем рожать!
Когда перепуганная мама спросила – а как же доктор? Женщина, спокойно посмотрев ей в глаза, ласково ответила, что по её мнению, маме уже давно пора рожать живых (!) детей... И начала мягко и осторожно массировать маме живот, как бы понемножку готовя её к «скорому и счастливому» деторождению... И вот, с лёгкой руки этой чудесной незнакомой акушерки, около шести часов утра, у мамы легко и быстро родился её первый живой ребёнок, которым, на своё счастье, и оказалась я.
– А ну, посмотри-ка на эту куколку, мама! – весело воскликнула акушерка, принося маме уже умытый и чистенький, маленький кричащий сверток. А мама, увидев впервые свою, живую и здоровую, маленькую дочь... от радости потеряла сознание...

Когда ровно в шесть часов утра доктор Ингелявичус вошёл в палату, перед его глазами предстала чудесная картинка – на кровати лежала очень счастливая пара – это была моя мама и я, её живая новорожденная дочурка... Но вместо того, чтобы порадоваться за такой неожиданный счастливый конец, доктор почему-то пришёл в настоящее бешенство и, не сказав ни слова, выскочил из палаты...
Мы так никогда и не узнали, что по-настоящему происходило со всеми «трагично-необычными» родами моей бедной, настрадавшейся мамы. Но одно было ясно наверняка – кому-то очень не хотелось, чтобы хоть один мамин ребёнок появился живым на этот свет. Но видимо тот, кто так бережно и надёжно оберегал меня всю мою дальнейшую жизнь, на этот раз решил не допустить гибели ребёнка Серёгиных, каким-то образом зная, что в этой семье он наверняка окажется последним...
Вот так, «с препятствиями», началась когда-то моя удивительная и необычная жизнь, появление которой, ещё до моего рождения, готовила мне, уже тогда достаточно сложная и непредсказуемая, судьба....
А может, это был кто-то, кто тогда уже знал, что моя жизнь кому-то и для чего-то будет нужна, и кто-то очень постарался, чтобы я всё-таки родилась на этой земле, вопреки всем создаваемым «тяжёлым препятствиям»...

Время шло. На дворе уже полностью властвовала моя десятая зима, покрывшая всё вокруг белоснежным пушистым покровом, как бы желая показать, что полноправной хозяйкой на данный момент является здесь она.
Всё больше и больше людей заходило в магазины, чтобы заранее запастись Новогодними подарками, и даже в воздухе уже «пахло» праздником.
Приближались два моих самых любимых дня – день моего рождения и Новый Год, между которыми была всего лишь двухнедельная разница, что позволяло мне полностью насладиться их «празднованием», без какого-либо большого перерыва...
Я целыми днями крутилась «в разведке» возле бабушки, пытаясь разузнать, что же получу на свой «особый» день в этом году?.. Но бабушка почему-то не поддавалась, хотя раньше мне никогда не составляло большого труда «растопить» её молчание ещё до своего дня рождения и узнать какой такой «приятности» я могу ожидать. Но в этом году, почему-то, на все мои «безнадёжные» попытки, бабушка только загадочно улыбалась и отвечала, что это «сюрприз», и что она совершенно уверена, что он мне очень понравится. Так что, как бы я ни старалась, она держалась стойко и ни на какие провокации не поддавалась. Деваться было некуда – приходилось ждать...
Поэтому, чтобы хоть чем-то себя занять и не думать о подарках, я начала составлять «праздничное меню», которое бабушка в этом году разрешила мне выбирать по своему усмотрению. Но, надо честно сказать, это не была самая лёгкая задача, так как бабушка могла делать настоящие кулинарные чудеса и выбрать из такого «изобилия» было не так-то просто, а уж, тем более – поймать бабушку на чём-то невыполнимом, было вообще делом почти что безнадёжным. Даже самым привередливым гурманам, думаю, нашлось бы, чем у неё полакомиться!.. А мне очень хотелось, чтобы на этот раз у нас «пахло» чем-то совершенно особенным, так как это был мой первый «серьёзный» день рождения и мне впервые разрешалось приглашать так много гостей. Бабушка очень серьёзно ко всему этому отнеслась, и мы сидели с ней около часа, обсуждая, что бы такое особенное она могла бы для меня «наворожить». Сейчас, конечно же, я понимаю, что она просто хотела сделать мне приятное и показать, что то, что важно для меня – точно так же важно и для неё. Это всегда было очень приятно и помогало мне чувствовать себя нужной и в какой-то степени даже «значительной», как если бы я была взрослым, зрелым человеком, который для неё достаточно много значил. Думаю, это очень важно для каждого из нас (детей), чтобы кто-то в нас по-настоящему верил, так как все мы нуждаемся в поддержании нашей уверенности в себе в это хрупкое и сильно «колеблющееся» время детского созревания, которое и так почти всегда являет собой бурный комплекс неполноценности и крайнего риска во всём, что мы пытаемся пробовать, пытаясь доказать свою человеческую ценность. Бабушка это прекрасно понимала, и её дружеское отношение всегда помогало мне без боязни продолжать мои «сумасшедшие» поиски себя в любых попадавшихся жизненных обстоятельствах.
Наконец-то закончив составлять вместе с бабушкой свой «деньрожденческий стол», я отправилась на поиски папы, у которого был выходной день и который (я почти была в этом уверена) находился где-то в «своём углу», за своим любимым занятием...
Как я и думала, уютно устроившись на диване, папа спокойно читал какую-то очень старую книгу, одну из тех, которых брать мне пока ещё не разрешалось, и до которых, как я понимала, я пока что ещё не доросла. Серый кот Гришка, свернувшись тёплым калачиком у папы на коленях, от избытка переполнявших его чувств довольно жмурился, вдохновенно мурлыча за целый «кошачий оркестр»... Я подсела к папе на краешек дивана, как делала очень часто, и тихонечко стала наблюдать за выражением его лица... Он был где-то далеко, в мире своих дум и грёз, следуя за ниточкой, которую, видимо очень увлечённо плёл автор, и в то же время, наверняка уже расставлял получаемую информацию по полочкам своего «логического мышления», чтобы потом пропустить через своё понимание и восприятие, и уже готовенькую отправить в свой огромный «мысленный архив»...

4-вектор

4-вектор (четыре-вектор , четырёхвектор ) - вектор в четырёхмерном пространстве Минковского . Координаты 4-вектора при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы отсчёта относительно прежней.

• В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1, 2, 3 - совпадающим с (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
• Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым, однако не слишком редко - в силу своего удобства - используется и в современной литературе.
• 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в простых случаях это различие весьма просто.

Примеры 4-векторов

Свойства

• Закон преобразования четырёхвектора:

где - матрица из группы Лоренца - матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

Обозначения

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор обозначается как: (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или

Координаты, пространственную и временную, обычно обозначают как .

Что означает при этом использование верхнего () или нижнего индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним - ковариантные координаты . Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления - контравариантное и ковариантное .

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчета , как в электродинамике , специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временной (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры - пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

и в частности

(Как видим, эти формулы были верны и для , но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь - в общем случае - уже не сводятся).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы , так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно - контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: так как полный дифференциал - должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за .

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временной компоненты лишен этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры ; впрочем, выбор сигнатуры - всё равно дело договоренности). То есть, о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже , то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

4-вектор в математике

Литература

• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. § 6. Четырёхмерные векторы. // Теория поля. - Издание 7-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 512 с. - («Теоретическая физика» , том II). - ISBN 5-02-014420-7 .
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). - Эдиториал УРСС. - ISBN 5-354-00704-6 - гл. 25. «Электродинамика в релятивистских обозначениях». (Это простое введение для студентов младших курсов; во избежание путаницы следует обратить внимание, что в этой книге используются только нижние индексы, относящиеся, однако, к контравариантным компонентам 4-векторов).

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "4-вектор" в других словарях:

В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины курсивом, например, . В классической механике вектором Лапласа Рунге Ленца называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по… … Википедия

Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор … Википедия

Тип Домашний компьютер Выпущен 1987 Процессор … Википедия

Вектор многозначный термин; величина, характеризующаяся размером и направлением. В Викисловаре есть статья «вектор» … Википедия

Тип Домашний компьютер Выпущен 1987 Выпускался по Процессор КР580ВМ80А … Википедия

Вектор: Содержание 1 В биологии 2 В информатике 3 В математике 4 В физике … Википедия

Вектор функция функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть: одна скалярная переменная тогда значения вектор функции определяют в некоторую… … Википедия