Площадь поверхности вращения астроиды. Площадь поверхности вращения

Сонник кошка кусает

Символика снов

Кошки — это символ хитроумия, знак ясновидения, интуиции, умения перевоплощения. Одновременно эти животные могут олицетворять и коварство со злонравием. Исходя из этой информации, напрашивается вывод, что какое-либо проявление агрессивности кошки снится к неблагоприятным прогнозам.

Альтернативное толкование

Прежние прорицатели утверждают, что видеть гнев этого животного во сне вещает о скрытых конфликтах, предательствах, финансовых потерях.

Если приснилось что кошка кусает

Сонник Миллера

Психолог уверен, если во сне кошка бросалась на сновидца, значит у него появятся враги, готовые пойти на всё, чтобы запятнать его репутацию и оставить без имущества.

Если по сценарию сна, сновидец всё же прогоняет животное, значит судьба благоволит ему, и репутация будет на взлёте.

Лишение вас, вашими врагами, части прибыли от выгодной сделки сулит сон, где кот царапался.

Сонник Ванги

Провидица утверждает, что явление этого животного во сне, это всегда негативные прогнозы.

В случае, когда кошка кусает, или же царапает, ждите поводов для ревности в отношении к своему партнёру.

Сонник Фрейда

Старина Фрейд считает, что когда во сне вас царапает кошка, это олицетворение ваших желаний заняться сексом с элементами мазохизма.

Сонник Хассе

Если во сне вас кусает кот, опасайтесь обмана со стороны деловых партнёров.

Современное толкование

Нынешние прорицатели кошку во снах интерпретируют не только с неприятностями, но ещё и с интуицией, предчувствием.

Сонник Лоффа

Присмотритесь к окружению

Пастор уверен, что сны, где явилось это существо, несут посыл прислушиваться к своему внутреннему чувству.

Когда киса кусает вас во сне, значит у вас есть талант ясновидения. Следует лишь его развить и уметь правильно применять.

Сонник Цветкова

Эзотерик утверждает, если видеть укус кисы во сне, следует присмотреться тщательнее к своему окружению. Возможно обнаружите весьма льстивого человека, какой желает постоянно приносить вред.

Сонник Гришиной

Основываясь на бесценных заметках предков, собиравшихся четыре столетия, Гришина пишет, что укус кисы, либо царапание во снах, сулит болезни, или клевету, наговоры, и как следствие, козни завистников.

Если это животное кусает во сне кого-то постороннего, то сновидец испытает лёгкое недомогание наяву, обещает сонник.

Кошачьи драки, в ходе каких одна киса кусает другую, предрекает душевное, психологическое страдание, причиной которому станут противоречивые и разнузданные устремления.

Мусульманский сонник

Беспокойство и заболевание предвещает сон, где снится, что царапает киса.

Сюжеты сновидений

В зависимости от сценария снов, кошки могут приходить, предупреждая о чём-то важном, либо отражать наши страхи.

Кошачьи сны

К чему снится, что мурлыка кусается, если:

Детали сна

• место укуса;
• кого укусила;
• масть животного;
• царапается;
• драка с другими зверями.

Если грезится, что вас укусила киса, это предрекает предательство, или скандал. Когда во сне мурлыка кусает вас за руку, ждите клеветы от внешне, казалось бы, благонадёжного человека. Кот в данном сновидении олицетворяет расчётливого, на поверку, весьма непорядочного человека в среде друзей. Более того, истинность его сущности проявится в весьма неподходящем моменте. Это доставит вам не малые неприятности.

Очень важно какой масти кот кусает сновидца за руку. Если это белый — предстоит совершить выбор между трудовой деятельностью и личной жизнью. Укус рыжего уличает вас в распутстве, а серого — в коварстве и льстивости. Укус, который сделала чёрная киса вещает о заболеваниях и предательстве. А вот укус трёхцветного кота — окрас черепашка — сулит финансовую прибыль.

каким цветом была кошка

Если грезится, что за палец кусает полосатый или пятнистый кот, это пророчит о неопределённости в делах и из-за этого в личной жизни.

Укус жирного, холеного кота за палец указывает на такую черту характера сновидца, как большую лень и не меньшую склонность к сладострастиям.

Если женщине снится, что она гладит кису на руках, а та её стала покусывать от удовольствия за палец, значит сновидице удастся соблазнить и окончательно завоевать желанного мужчину.

Видеть в грёзах, как собака в драке с кошкой получила укус, предвестник ситуации, где ваш преданный друг пострадает, защищая вас. Однако истина будет восстановлена.

К чему снится огромная киса, которая сильно исцарапала вас. Это предрекает грядущую схватку с опасным врагом, облачённым властью и огромным могуществом. Эта схватка принесёт серьёзные неприятности.

К чему снится кот, заскочивший к вам на руки, и в азарте поцарапал вас, от того, что рядом была собака. Он её испугался. Это указывает на то, что среди вашего окружения есть хитрый человек, который подкупает своим обаянием. Однако это та ситуация, когда можно сказать — обаяние не повод доверять.

К чему можно видеть в грёзах, что собака, которая мирно сидит рядом с котом положила свою лапу вам на ногу. Это указывает на то, что к одному из ваших друзей у вас сложилось ошибочное представление.

Виной всему наглые наговоры в его сторону. У вас нет причин ему не доверять. Если только собака не рычит на кота.

Случилось видеть в грёзах, как собака дралась с облезлой кошкой, которая сделала вам укус. Наяву у вас есть искренний и надёжный защитник.

если кошка была с собакой

Интересная трактовка сна, где собака дралась с кошкой, которая была чёрная.

Ваш тайный поклонник каким-то образом узнал, что вам хотят навредить, привлекая тёмные силы. И он пытается вам помочь всеми возможными способами.

Человек в образе кошки

Случается видеть необычные сны, где люди являются в образе каких-то животных. На форумах, где обсуждаются разные сновидения, можно встретить интересные комментарии:

• сновидец в образе кота;
• собака — кот.

Одна девушка писала — к чему мне снилось, словно меня кто-то заколдовывает, после чего я перевоплощаюсь и становлюсь кошкой. Некоторое время я живу в её облике, более того я разговариваю с избранными людьми, которые верят во что-то необычное. Через время меня возвращают в облик человека, сохраняя кошачьи черты — слух, зрение, умение мурлыкать. А в полнолуние я красивая чёрная киса, ноги которую несут к жилищу ведьмы. Она говорит: либо я стану ей служить и мне откроется неведомое, либо меня навсегда оставят в облике зверя. И только раз в году я смогу становиться человеком.

Провидица объяснила девушке сон способом толкования Кастанеды. Возможно это предупреждение о каких-то соблазнах и сонник советует им не поддаваться, чтобы не распасться как личность.

Вот ещё один рассказ — к чему мне приснилось много пегих собак, бегающих друг за другом, словно играя. А потом одна чёрная собака превратилась в кота такой же масти и стала всех кусать.

Ответ специалиста — это указывает, что в окружении ваших друзей один резко отличается от всех остальных своей наигранностью и неискренностью. И придёт момент, когда он сам себя скомпрометирует в лжи и предательстве. Просто будьте на чеку, чтобы ущерб от его козней был минимальным.

Поверхность вращения - поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси - цилиндрическая, если скрещивается с осью - однополостныйгиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых. Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат действительна формула

Механические приложения определённого интеграла (работа сил, статические моменты, центр тяжести).

Вычисление работы сил

Материальная точка движется по непрерывно дифференцируемой кривой, при этом на нее действует сила, направленная по касательной к траектории в направлении движения. Полная работа, совершаeмая силой F(s):

Если положение точки на траектории движения описывается другим параметром, то формула приобретает вид:

Вычисление статических моментов и центра тяжести
Пусть на координатной плоскости Оху некоторая масса М распределена с плотностью р = р(у) на некотором множестве точек S (это может быть дуга кривой или ограниченная плоская фигура). Обозначим s(у) - меру указанного множества (длина дуги или площадь).

Определение 2. Число называется k-м моментом массы М относительно оси Ох.
При k = 0 М 0 = М - масса,
k = 1 М 1 - статический момент,
k = 2 М 2 - момент инерции.

Аналогично вводятся моменты относительно оси Оу. В пространстве подобным же образом вводятся понятия моментов массы относительно координатных плоскостей.
Если р = 1, то соoтветствующие моменты называются геометрическими. Координаты центра тяжести однородной (р - const) плоской фигуры определяются по формулам:

где М 1 y , М 1 x - геометрические статические моменты фигуры относительно осей Оу и Ox; S - площадь фигуры.

I. Объемы тел вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п°п° 197, 198* Разберите подробно примеры, приведенные в п° 198.

508. Вычислить объем тела, образуемого вращением эллипсаВокруг оси Ох.

Таким образом,

530. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги синусоиды у = sin х от точки X = 0 до точки X = It.

531. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой h и радиусом г.

532. Вычислить площадь поверхности, образованной

вращением астроиды х3 -)- у* — а3 вокруг оси Ох.

533. Вычислить площадь поверхности, образованной цращением петли кривой 18 уг — х (6 — х)г вокруг оси Ох.

534. Найти поверхность тора, производимого вращением круга X2 - j - (у—З)2 = 4 вокруг оси Ох.

535. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением окружности X = a cost, y = asint вокруг оси Ох.

536. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = 9t2, у = St — 9t3 вокруг оси Ох.

537. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой х = е*sint, у = el cost вокруг оси Ox

от t = 0 до t = —.

538. Показать, что поверхность, производимая вращением дуги циклоиды х = a (q> —sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Oy, равна 16 и2 о2.

539. Найти поверхность, полученную вращением кардиоидыВокруг полярной оси.

540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискатыВокруг полярной оси.

Дополнительные задачи к главе IV

Площади плоских фигур

541. Найтивсю площадь области, ограниченной кривойИ осью Ох.

542. Найти площадь области, ограниченной кривой

И осью Ох.

543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой

л осями координат.

544. Найти площадь области, содержащейся внутри

петли:

545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:

546. Найти площадь области, содержащейся внутри петли:

547. Найти площадь области, ограниченной кривой

И осью Ох.

548. Найти площадь области, ограниченной кривой

И осью Ох.

549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr

прямойИ кривой

Данная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример. Найти объем эллипсоида x 2 + y 2 + z 2 = 1 . a 2b 2c 2

Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстояниих от нее (-а ≤х ≤а ), получим эллипс (см. рис. 15):

Площадь этого эллипса равна

Поэтому, по формуле (16), имеем

Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функцииу = f (x ) ≥ 0, гдех [а ,b ], a функцияу = f (x ) и её производнаяу" = f" (x ) непрерывны на этом отрезке.

Тогда площадь S поверхности, образованной вращением кривойАВ вокруг осиОх вычисляется по формуле

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениямих = x (t ),у = у (t ),t 1 ≤t ≤t 2 , то формула для площади поверхности вращения принимает вид

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Пример Найти площадь поверхности шара радиуса R. Решение:

Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = R 2 − x 2 ,- R ≤х ≤R , вокруг осиОх. По формуле (19) находим

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Пример . Дана циклоида x = a (t − sin t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π . y = a (1− cost ) ,

Найти площадь поверхности, образованной вращением её вокруг оси Ох. Решение:

При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у = f(x), где, а ≤ х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у = f(x) и ее производная y′ = f′ (x) непрерывны на отрезке [а ,b ], то криваяАВ имеет длину, равную

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

где x (t ) иy (t ) – непрерывные функции с непрерывными производными иx (α ) =а, x (β ) =b , то длинаl кривойАВ находится по формуле

Значит, l = 2π R. Если уравнение окружности записать в параметрическом видех = R cost, у = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), то

Полярные координаты

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах r =r (ϕ ),α ≤ ϕ ≤ β . Предположим, чтоr (ϕ ) иr" (ϕ ) непрерывны на отрезке [α ,β ].

Если в равенствах х = r cosϕ ,у =r sinϕ , связывающих полярные и декартовы координаты,

параметром считать угол ϕ , то кривуюАВ можно задать параметрическиx = r (ϕ ) cos ϕ ,

y = r (ϕ ) sinϕ .

Применяя формулу (15), получаем l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Пример Найти длину кардиоиды r =a (1 + cosϕ ). Решение:

Кардиоида r =a (1 + cosϕ ) имеет вид, изображенный на рисунке 14. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

Таким образом, 1 2 l = 4 a . Значит,l = 8а.

Поэтому сразу перейду к основным понятиям и практическим примерам.

Посмотрим на лаконичную картинку

И вспомним: что можно вычислить с помощью определённого интеграла ?

В первую очередь, конечно, площадь криволинейной трапеции . Знакомо со школьных времён.

Если же данная фигура вращается вокруг координатной оси, то речь уже идёт о нахождении объёма тела вращения . Тоже просто.

Что ещё? Не так давно была рассмотрена задача о длине дуги кривой .

И сегодня мы научимся рассчитывать ещё одну характеристику – ещё одну площадь. Представьте, что линия вращается вокруг оси . В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения . В данном случае она напоминает такой горшок без дна. И без крышки. Как бы сказал ослик Иа-Иа, душераздирающее зрелище =)

Чтобы исключить двусмысленную трактовку, сделаю занудное, но важное уточнение:

с геометрической точки зрения наш «горшок» имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями – внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности .

В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:

или, если компактнее: .

К функции и её производной предъявляются те же требования, что и при нахождении длины дуги кривой , но, кроме того, кривая должна располагаться выше оси . Это существенно! Нетрудно понять, что если линия располагается под осью , то подынтегральная функция будет отрицательной : , и поэтому к формуле придётся добавить знак «минус» дабы сохранить геометрический смысл задачи.

Рассмотрим незаслуженно обойденную вниманием фигуру:

Площадь поверхности тора

В двух словах, тор – это бублик . Хрестоматийный пример, рассматриваемый практически во всех учебниках по матану, посвящён нахождению объёма тора, и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности . Сначала с конкретными числовыми значениями:

Пример 1

Вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси .

Решение : как вы знаете, уравнение задаёт окружность единичного радиуса с центром в точке . При этом легко получить две функции:

– задаёт верхнюю полуокружность;
– задаёт нижнюю полуокружность:

Суть кристально прозрачна: окружность вращается вокруг оси абсцисс и образует поверхность бублика. Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: если вращать круг , ограниченный окружностью , то получится геометрическое тело , то есть сам бублик. И сейчас разговор о площади его поверхности , которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:

1) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «синей» дуги вокруг оси абсцисс. Используем формулу . Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно:

Берём функцию и находим её производную :

И, наконец, заряжаем результат в формулу:

Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат.

2) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «красной» дуги вокруг оси абсцисс. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь:


3) Таким образом, площадь поверхности тора:

Ответ :

Задачу можно было решить в общем виде – вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси абсцисс, и получить ответ . Однако для наглядности и бОльшей простоты я провёл решение на конкретных числах.

Если вам необходимо рассчитать объём самого бублика, пожалуйста, обратитесь к учебнику, в качестве экспресс-справки:

Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что на данном промежутке), таким образом:

Ответ :

Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус.

Что-то больно простая задачка, даже стыдно стало…. предлагаю вам исправить такую недоработку =)

Пример 4

Вычислить площадь поверхности, полученной вращением первой арки циклоиды вокруг оси .

Задание креативное. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений – их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования.

График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически . Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю с чем сравнить… что-то неземное – округлой формы с остроконечным углублением посередине. Вот для случая вращения циклоиды вокруг оси ассоциация в голову мгновенно пришла – продолговатый мяч для игры в регби.

Решение и ответ в конце урока.

Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат . Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. авторов), то сможете раздобыть добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно найдётся нужная вам задача.

Как вычислить площадь поверхности вращения,
если линия задана в полярной системе координат?

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , и функция имеет непрерывную производную на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле , где – угловые значения, соответствующие концам кривой.

В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция , а это достигается только при условии ( и заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.

Пример 5

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.

Решение : график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).

Поверхность вращения будет напоминать яблочко.

Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:

Составим и упростим корень:

Надеюсь, с заштатными