Разложение определителя по строке или столбцу.

Лекция 2. определители

Определители второго порядка

Определители третьего порядка

Алгебраические дополнения и миноры

Разложение определителя по строке или столбцу

Свойства определителей

Обратная матрица

Свойства обратной матрицы

1. Определители второго порядка

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы .

Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:

.

Пример 1.
.

2. Определители третьего порядка

В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.

Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.

Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.

Пример 2 .

3. Алгебраические дополнения и миноры

Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления.

Пример 3. Минор
определителя есть.

.

Полезно запомнить, что
и
.

Пример 4. В примере 3алгебраическое дополнение

4. Разложение определителя по строке или столбцу

Вычисление определителя -го порядка можно свести к вычислению определителей порядка
, используя следующие формулы.

Это число равно сумме произведений элементов любой -й строки на их алгебраические дополнения .

Пример 5 . Вычислить определитель третьего порядка
разложением по первой строке.

Решение

Это число равно сумме произведений элементов любого -го столбца на их алгебраические дополнения.

Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.

5. Свойства определителей

1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется:
.

Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например,
.

3. Определитель равен нулю , если:

а) он имеет нулевую строку (столбец)
;

б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец)
.

4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например,
.

5. Определитель не изменяется , если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

Например,
.

6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:

.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:

.

8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

6. Обратная матрица

Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.

Обозначается обратная матрица
, то есть .

Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как
. Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается
.

Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы». Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу
, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицыбыл не равен нулю.

Правило нахождения обратной матрицы

0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.

1) Вычисляем определитель матрицы
: если он не равен нулю, то обратная матрица существует:
; если равен нулю, то обратной матрицы нет.

2) Для каждого элемента матрицы вычисляем его алгебраическое дополнение.

3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем:
.

4) Каждый элемент матрицы
делим на определитель:
Получаем матрицу, обратную данной.

7. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка

Пример 6. Дана матрица
. Найти обратную матрицу.

Решение .

Проверка. Убедимся, что найдена действительно обратная матрица. Найдем произведение матриц и
.

8. Свойства обратной матрицы

1.
,

где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.

2.
.

3.
.

4.
.

Контрольные вопросы

Что называется определителем второго порядка?

Как вычислить определитель третьего порядка?

Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?

Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Приведите примеры для определителей 2 и 3 порядков.

Напишите разложения определителя третьего порядка по элементам произвольной строки и произвольного столбца.

На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:

1. коэффициенты в формулах постоянные,
2. неизвестные входят в формулы только в первой степени,
3. отсутствуют произведения между самими неизвестными,

то тогда такие зависимости называют линейными.

Пример . В лаборатории 10 образцов имеют общий вес 280 г. Найти средний вес одного образца, если тара весит 15 г.

Решение . Для ответа на вопрос воспользуемся простым уравнением:

обозначив за x средний вес одного образца. Решением составленного уравнения будет 26,5 г.

Пример . В лаборатории 10 образцов, поступивших от 1 отдела, и 10 образцов, поступивших от 2-го отдела, имеют общий вес 280 г, а 5 образцов из первого набора и 2 образца из второго набора имеют общий вес 128 г. Найти средний вес образцов в каждом наборе.

Решение . Для ответа на вопрос составим два уравнения, обозначив за x - средний вес образца породы 1, а за y - средний вес образца породы 2,

10x+10y=280; 5x+2y=128,

решая которые совместно, получаем x=24 г; y=4 г .

В обоих рассмотренных примерах мы имели дело с линейными зависимостями: в первом случае – с линейным уравнением , а во втором – с линейной системой уравнений .

Заменим коэффициенты буквами и получим линейную систему уравнений:

Определение 1 . Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел a ij

Определение 2 . Элементы a ij из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы

Определение 3 . Определителем второго порядка или детерминантом , соответствующим матрице (1.2) назовем число D такое, что

Определитель обозначается буквами D или и записывается

Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, по определению 3, но до тех пор пока не найдено его значение в виде единственного числа ( по формуле 1.2 или еще каким-либо допустимым способом), он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить " определитель , соответствующий матрице". Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно слово – определитель . Для того, чтобы различить что имеется в виду – сам определитель в виде таблицы или его найденное значение , во втором случае используют слово детерминант. Поэтому, если говорят, например, "количество строк в определителе…", то имеют в виду определитель , соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А, если говорят детерминант, то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.

Пример . Дана система уравнений

Составить матрицу системы и вычислить определитель .

Решение . Из коэффициентов системы составим матрицу: и соответствующий ей детерминант

Выполним вычисления по формуле (2), получим

Определение 4 . Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

В примере был вычислен определитель второго порядка.

Определители обладают следующими свойствами.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка

Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель

Сравнивая D с D * можно убедиться, что D = D * .

Определение 5 . Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.

Свойство 2 . При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.

Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель

Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель .

Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель , действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.

КОНСПЕКТ 2

2.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице

) называется число

Пример1 : Вычислим определитель матрицы

Пример 2. Вычислить определители второго порядка:

2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

=

2.2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

А =

Определителем (или детерминантом) третьего порядка , соответствующим данной матрице, называют число

det A = =

Пример 3

Первый способ решения:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок». Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример 3

Второй способ решения:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Пример 4

Вычислить определитель третьего порядка:

Пример 5

Вычислить определитель третьего порядка

ПРАКТИКУМ 2

ЗАДАНИЕ N 1 , то…

Решение:

то

По условию, тогда

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка

, то…

Решение:

В нашем случае имеем

По условию, тогда

ЗАДАНИЕ N 3

Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка

, то…

Решение: Так как определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:

то

По условию, тогда

ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка, то…

Решение: Напоминаем, что определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:

В нашем случае имеем

По условию, тогда

ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.Тогда определительравен …

Решение:

ЗАДАНИЕ N 6

Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.Тогда определительравен …

Решение: Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, из которых три берутся со знаком «+» и три – со знаком «−». Правило вычисления слагаемых со знаком «+» схематически указано на рис. 1. Одно из слагаемых равно произведению элементов определителя, лежащих на главной диагонали. Каждое из двух других находится как произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла определителя. Слагаемые со знаком «−» получаются таким же образом, но относительно второй диагонали (рис. 2). Тогда

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2

ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка, то…

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.

Определители любого порядка. Свойства определителей.

Сначала опишем основные свойства определителей относительно преобразования матриц. Знание этих свойств поможет упрошать вычисления и находить определители произвольного порядка.

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании . Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).

Исходя из первого свойства, в остальных свойствах мы можем говорить только о строках, подразумевая, что эти свойства применими также и к столбцам.

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю .

Свойство 3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак .

Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю .

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число .

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю .

Свойство 7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлен в виде суммы двух слагаемых: a ij =b j +c j , j = 1, ..., n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, - такие же, как и в заданом определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b j , в другом - из элементов c j .

Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитеь равен нулю. .

Свойство 9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк .

Теорема (о разложении определителя по строке): определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения . Это означает, что определитель матрицы n×n равен (алгебраическое дополнение A ij =(-1) i+j M ij . Здесь минор M ij - определитель получаемый из основного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца)

Теорема о разложении определителя по строке позволяет свести вычисление определителя матрицы n×n к вычичлению n определителей матриц (n-1)×(n-1). Таким образом, вычисление определителей с порядком выше третьего сводится к разложению на сумму определителей третьего порядка.

С помощью описанных выше свойств определителей можно провести предварительные преобразования матрицы, облегчающие дальнейшие вычисления. Например, если перед разложением определителя n-го порядка по какой-либо строке накопить в этой строке нули, то разложение приводит к меньшему количеству определителей порядка n-1. Ниже приводится пример, в котором сначала из первой строки вычитается вторая (при этом появляются два нуля), а затем идет разложение по первой строке (из-за двух нулей получается не четыре определителя третьего порядка, а только два):

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПРАВИЛО КРАМЕРА

2.1. Определители второго порядка

Определитель матрицы второго порядка находится следующим образом :

(2.1)
Он равен произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов второй диагонали .

Например,


Следует еще раз подчеркнуть, что матрица есть таблица чисел, тогда как определитель есть число, определяемое через элементы квадратной матрицы.

Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Используя понятие определителя 2-го порядка, решение этой системы можно записать в виде:

(2.2)

Это есть правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными при условии, что 0.

Пример 2.1. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

Решение . Найдем определители:



Историческая справка. Идея понятия «определителя» могла бы принадлежать Г. Лейбницу (1646-1716), если бы он развил и опубликовал свои идеи относительно определителей, к которым он пришел в 1693 г. Поэтому приоритет в разработке метода определителей решения систем линейных уравнений принадлежит Г. Крамеру (1704-1752), который опубликовал свои исследования по этой теме в 1750 г. Однако Крамер не построил полноценной теории определителей, к тому же ему не доставало удобного обозначения. Первое обширное исследование , посвященное определителям, было А. Вандермондом (1735-1796) в 1772 г. Он дал логическое изложение теории определителей и ввел правило разложения определителя с помощью миноров. Полное изложение теории определителей было дано лишь в 1812 г.
Ж. Бине (1786-1856) и О. Коши (1789-1858). Термин «определитель» («детерминант» ) в современном его значении был введен Коши (ранее этот термин использовался К. Гауссом для обозначения дискриминанта квадратичной формы).

2.2. Определители третьего порядка

(2.3)

Естественно, что запомнить эту формулу довольно трудно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка.

Правило треугольников : три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящих со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.

Правило Саррюса : припишем к матрице справа первый, а затем второй столбец. Тогда "положительные" слагаемые будут находиться на линиях параллельных главной диагонали, а "отрицательные" на линиях, параллельных второй диагонали .

2.3. Правило Крамера

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы:

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя.

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число.

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

2.6.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки (столбца) на число, не равное нулю; 2) прибавление одной строки (столбца) к другой; 3) перестановка двух строк (столбцов).

Метод элементарных преобразований заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований, учитывая свойства определителей, привести матрицу к треугольному виду.

Пример 2.5. Вычислить определитель при помощи элементарных преобразований, приведя их к треугольному виду:



Пример 2.6. Вычислить определитель:

.

Решение . Упростим данный определитель , а затем вычислим его:

. 
Пример 2.7. Вычислить определитель
.

Решение . Способ 1 .При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:

–6

2

-2


.
Способ 2 .При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:

. 

Вычисление определителей при помощи элементарных преобразований, путем приведения его к треугольному виду, является одним из самых распространенных методов. Это связано с тем, что он является основным методом при реализации вычислений определителей на ЭВМ. Точнее он является одной из модификаций метода Гаусса , который обычно используется при решении систем линейных уравнений.

Пример 2.8. Вычислить определитель методом Гаусса:

Решение. Рассмотрим первый столбец и выберем в нем ту строку, которая содержит 1. Если единиц нет, то нужно эту единицу создать при помощи элементарных преобразований: переставляя строки или столбцы, складывая или вычитая их друг с другом, умножая или деля их на какое-либо число (учитывая при этом, конечно свойства определителей). Возьмем за основу вторую строку и получим при помощи ее нули в первом столбце:

После этого на первую строку больше внимания не обращаем. Рассмотрим 2-й столбец.

В результате, получилась треугольная матрица. Для того чтобы вычислить определитель, осталось только перемножить элементы матрицы, находящиеся на главной диагонали. Таким образом, получаем ответ: –2(–1)(–1)1334 = –264. 