С центральным моментом третьего порядка связан. Начальные и центральные моменты

3.4. Моменты случайной величины.

Выше мы познакомились с исчерпывающими характеристиками СВ: функцией распределения и рядом распределения - для дискретной СВ, функцией распределения и плотностью вероятности - для непрерывной СВ. Эти попарно эквивалентные по информационному содержанию характеристики представляют собой функции и полностью описывают СВ с вероятностной точки зрения. Однако, во многих практических ситуациях или невозможно, или нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Зачастую бывает достаточно указать один или несколько числовых параметров, до некоторой степени описывающих основные черты распределения, а иногда нахождение исчерпывающих характеристик является хотя и желательным, но слишком трудным математически, и оперируя числовыми параметрами, мы ограничиваемся хотя и приближенным, но более простым описанием. Указанные числовые параметры называются числовыми характеристиками случайной величины и играют большую роль в применениях теории вероятности к различным областям науки и техники, облегчая решение задач и позволяя представить результаты решения в простой и наглядной форме.

Наиболее часто применяемые числовые характеристики можно условно разбить на два вида: моменты и характеристики положения. Существует несколько видов моментов, из них наиболее часто применяются два вида: начальные и центральные . Другие виды моментов, например, абсолютные моменты, факториальные моменты , мы не рассматриваем. Чтобы избегнуть применения обобщения интеграла - так называемого интеграла Стильтьеса, дадим определения моментов по отдельности для непрерывных и дискретных СВ.

Определения. 1. Начальным моментом k -го порядка дискретной СВ называется величина

где f (x ) - плотность вероятности данной СВ.

3. Центральным моментом k -го порядка дискретной СВ называется величина

В случаях, когда одновременно в рассмотрении находятся несколько СВ, удобно, во избежание недоразумений, указывать принадлежность момента; мы будем это делать, указывая обозначение соответствующей СВ в скобках, например, , и т. д. Не следует путать это обозначение с записью функции, а букву в скобках - с аргументом функции. Суммы и интегралы в правых частях равенств (3.4.1 - 3.4.4) могут сходиться или расходиться в зависимости от значенияk и конкретного распределения. В первом случае говорят, что момент не существует или расходится , во втором - что момент существует или сходится. Если у дискретной СВ конечное число конечных значений (N конечно), то все ее моменты конечного порядка k существуют. При бесконечном N , начиная с некоторого k и для бо¢льших порядков, моменты дискретной СВ (одновременно начальные и центральные) могут не существовать. Моменты непрерывной СВ, как видно из определений, выражаются несобственными интегралами, которые могут расходится, начиная с некоторого k и для бо¢льших порядков (одновременно начальные и центральные). Моменты нулевого порядка всегда сходятся.

Рассмотрим более подробно сначала начальные, а затем центральные моменты. С математической точки зрения начальный момент k -го порядка есть «взвешенное среднее» k -ых степеней значений СВ; в случае дискретной СВ весами являются вероятности значений, в случае непрерывной СВ весовой функцией является плотность вероятности. Такого рода операции широко применяются в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т. д.); возникающие в связи с этим аналогии рассмотрены ниже.

Для лучшего понимания начальных моментов рассмотрим их отдельно при заданных k . В теории вероятностей наиболее важны моменты низших порядков, т. е. при малых k , поэтому рассмотрение следует вести в порядке возрастаниязначенийk . Начальный момент нулевого порядка равен

1 , для дискретной СВ;

=1 , для непрерывной СВ,

т.е. для любой СВ он равен одному и тому же значению - единице, и поэтому не несет никакой информации о статистических свойствах СВ.

Начальный момент первого порядка (или первый начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ.

Этот момент - важнейшая числовая характеристика любой СВ, чему есть несколько взаимосвязанных причин. Во-первых, согласно теореме Чебышёва (см. п. 7.4), при неограниченном числе испытаний над СВ среднее арифметическое наблюденных значений стремится (в некотором смысле) к , таким образом, для любой СВ- это характерное число, вокруг которого группируются ее значения на опыте. Во-вторых, для непрерывной СВчисленно равенх -овой координате центра тяжести криволинейной трапеции, образуемой кривой f (x ) (аналогичное свойство имеет место и для дискретной СВ), поэтому этот момент можно было бы назвать «центром тяжести распределения». В-третьих, этот момент имеет замечательные математические свойства, которые выяснятся в процессе прохождения курса, в частности, поэтому его величина входит в выражения для центральных моментов (см. (3.4.3) и (3.4.4)).

Важность этого момента для теоретических и практических задач теории вероятностей и его замечательные математические свойства привели к тому, что кроме обозначения и названия «первый начальный момент» в литературе используются и другие обозначения и названия, в большей или меньшей мере удобные и отражающие упомянутые свойства. Наиболее часто встречаются названия:математическое ожидание , среднее значение , и обозначения: m , M [X ], . Мы будем чаще всего использовать термин «математическое ожидание» и обозначение m ; при наличии нескольких СВ будем использовать нижний индекс, указывающий принадлежность математического ожидания, например, m x , m y и т. д.

Начальный момент второго порядка (или второй начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ;

иногда он называется средним квадратом случайной величины и обозначается M .

Начальный момент третьего порядка (или третий начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ

иногда он называется средним кубом случайной величины и обозначается M [X 3 ].

Нет смысла продолжать дальше перечисление начальных моментов. Остановимся на важной интерпретации моментов порядка k >1. Пусть, наряду со СВ X имеется также СВ Y , причем Y=X k (k =2, 3, ...). Это равенство означает, что случайные величины X и Y связаны детерминировано в том смысле, что когда СВ X принимает значение x , СВ Y принимает значение y=x k (в дальнейшем такая связь СВ будет рассмотрена более подробно). Тогда, согласно (3.4.1) и (3.4.2)

=m y , k =2, 3, ...,

т. е. k -ый начальный момент СВ равен математическому ожиданию k -ой степени этой случайной величины . Например, третий начальный момент длины ребра случайного кубика равен математическому ожиданию объема кубика. Возможность понимания моментов как неких математических ожиданий - еще одна грань важности понятия математического ожидания.

Перейдем к рассмотрению центральных моментов. Поскольку, как выяснится несколько ниже, центральные моменты однозначно выражаются через начальные и наоборот, встает вопрос, зачем вообще нужны центральные моменты и почему недостаточно начальных моментов. Рассмотрим СВ X (непрерывную или дискретную) и другую СВ Y, связанную с первой как Y=X+a , где a 0 - неслучайное вещественное число. Каждому значению x случайной величины X соответствует значение y=x+a случайной величины Y , следовательно распределение СВ Y будет иметь ту же форму (выраженную многоугольником распределения в дискретном случае или плотностью вероятности - в непрерывном случае), что и распределение СВ X , но сдвинуто по оси абсцисс на величину a . Следовательно, начальные моменты СВ Y будут отличаться от соответствующих моментов СВ X . Например, как нетрудно видеть, m y =m x +a (моменты более высокого порядка связаны более сложными соотношениями). Итак, мы установили, что начальные моменты не инвариантны относительно сдвига распределения в целом . Тот же результат получится, если сдвигать не распределение, а начало оси абсцисс по горизонтали на величину -a , т.е. справедлив и эквивалентный вывод: начальные моменты не инвариантны относительно сдвига начала оси абсцисс по горизонтали.

От этого недостатка свободны центральные моменты, предназначенные для описания тех свойств распределений, которые не зависят от их сдвига в целом. Действительно, как видно из (3.4.3) и (3.4.4), при сдвиге распределения в целом на величину a , или, что то же самое, сдвиге начала оси абсцисс на величину -a , все значения x , при тех же вероятностях (в дискретном случае) или той же плотности вероятности (в непрерывном случае), изменятся на величину a , но настолько же изменится величина m , так что значения скобок в правых частях равенств не изменятся. Таким образом, центральные моменты инвариантны относительно сдвига распределения в целом, или, что то же самое, относительно сдвига начала оси абсцисс по горизонтали. Название «центральные» эти моменты получили в те времена, когда первый начальный момент назывался «центром». Полезно заметить, что центральный момент СВ X можно понимать как соответствующий начальный момент СВ X 0 , равной

СВ X 0 называется центрированной (по отношению к СВ X ), а приводящая к ней операция, т. е. вычитание из случайной величины ее математического ожидания, называется центрированием . Как мы увидим в дальнейшем, это понятие и эта операция будут полезны на протяжении всего курса. Заметим, что центральный момент порядка k >1 можно рассматривать как математическое ожидание (среднее) k -ой степени центрированной СВ: .

Рассмотрим по отдельности центральные моменты низших порядков. Центральный момент нулевого порядка равен

, для дискретных СВ;

, для непрерывных СВ;

т. е. для любой СВ и не несет никакой информации о статистических свойствах этой СВ.

Центральный момент первого порядка (или первый центральный момент) равен

для дискретной СВ;

для непрерывной СВ; т. е. для любой СВ и не несет никакой информации о статистических свойствах этой СВ.

Центральный момент второго порядка (или второй центральный момент) равен

, для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ.

Как выяснится ниже, этот момент - один из важнейших в теории вероятностей, т. к. используется как характеристика меры разброса (или рассеяния) значений СВ, поэтому часто называется дисперсией и обозначается D х. Заметим, что можно понимать как средний квадрат центрированной СВ.

Центральный момент третьего порядка (третий центральный момент) равен

Особое значение для характеристики распределения случайной величины имеют числовые характеристики, называемые начальными и центральными моментами.

Начальным моментом k -го порядка α k (Х ) случайной величины Х k -ой степени этой величины, т.е.

α k (Х ) = М (Х k ) (6.8)

Формула (6.8) в силу определения математического ожидания для различных случайных величин имеет свой вид, а именно, для дискретной случайной величины с конечным множеством значений

для непрерывной случайной величины

, (6.10)

где f (x ) - плотность распределения случайной величины Х .

Несобственный интеграл в формуле (6.10) превращается в определенный интеграл по конечному промежутку, если значения непрерывной случайной величины имеются только в этом промежутке.

Одна из ранее введенных числовых характеристик – математическое ожидание – является не чем иным, как начальным моментом первого порядка, или, как говорят, первым начальным моментом:

М (Х ) = α 1 (Х ).

В предыдущем пункте было введено понятие центрированной случайной величины Х – М (Х ). Если эту величину рассматривать в качестве основной, то для нее также могут быть найдены начальные моменты. Для самой величины Х эти моменты будут называться центральными.

Центральным моментом k -го порядка μ k (Х ) случайной величины Х называется математическое ожидание k -ой степени центрированной случайной величины, т.е.

μ k (Х ) = М [(Х – М (Х )) k ] (6.11)

Иначе говоря, центральный момент k -го порядка – это математическое ожидание k -ой степени отклонения.

Центральный момент k -го порядка для дискретной случайной величины с конечным множеством значений находится по формуле:

, (6.12)

для непрерывной случайной величины по формуле:

(6.13)

В дальнейшем, когда будет понятно о какой случайной величине идет речь, то ее в обозначениях начальных и центральных моментах писать не будем, т.е. вместо α k (Х ) и μ k (Х ) будем писать просто α k и μ k .

Очевидно, что центральный момент первого порядка равен нулю, так как это ни что иное, как математическое ожидание отклонения, которое равно нулю по ранее доказанному, т.е. .

Нетрудно понять, что центральный момент второго порядка случайной величины Х совпадает с дисперсией этой же случайной величины, т.е.

Кроме этого, существуют следующие формулы, связывающие начальные и центральные моменты:

Итак, моменты первого и второго порядков (математическое ожидание и дисперсия) характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разброса значений. Для более подробного описания распределения служат моменты более высоких порядков. Покажем это.

Предположим, что распределение случайной величины симметрично относительно своего математического ожидания. Тогда все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны нулю. Это объясняется тем, что в силу симметричности распределения для каждого положительного значения величины Х − М (Х ) существует равное ему по модулю отрицательное значение, при этом вероятности этих значений равны. Следовательно, сумма в формуле (6.12) состоит из нескольких пар, равных по модулю, но разных по знаку слагаемых, которые при суммировании взаимно уничтожаются. Таким образом, вся сумма, т.е. центральный момент любого нечетного порядка дискретной случайной величины равен нулю. Аналогично, центральный момент любого нечетного порядка непрерывной случайной величины равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.

Естественно предположить, что если центральный момент нечетного порядка отличен от нуля, то и само распределение не будет симметрично относительно своего математического ожидания. При этом, чем больше центральный момент отличается от нуля, тем больше асимметрия в распределении. Возьмем в качестве характеристики асимметрии центральный момент наименьшего нечетного порядка. Так как центральный момент первого порядка равен нулю для случайных величин, имеющих любые распределения, то для этой цели лучше использовать центральный момент третьего порядка. Однако этот момент имеет размерность куба случайной величины. Чтобы избавиться от этого недостатка и перейти к безразмерной случайной величине, делят значение центрального момента на куб среднеквадратического отклонения.

Коэффициентом асимметрии А s или просто асимметрией называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения, т.е.

Иногда асимметрию называют "скошенностью" и обозначают S k , что происходит от английского слова skew – "косой".

Если коэффициент асимметрии отрицательный, то на его величину достаточно сильно влияние отрицательных слагаемых (отклонений) и распределение будет иметь левую асимметрию , а график (кривая) распределения является более пологим слева от математического ожидания. Если коэффициент положителен, то асимметрия правая , а кривая более полога справа от математического ожидания (рис.6.1).

Как было показано, для характеристики разброса значений случайной величины вокруг своего математического ожидания служит второй центральный момент, т.е. дисперсия. Если этот момент имеет большое числовое значение, то данная случайная величина имеет большой разброс значений и соответствующая кривая распределения имеет более пологий вид, чем кривая, для которой второй центральный момент имеет меньшее значение. Поэтому второй центральный момент характеризует, в какой-то степени, "плосковершинность" или "островершинность" кривой распределения. Однако эта характеристика не очень удобная. Центральный момент второго порядка имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Если попытаться получить безразмерную величину, поделив значение момента на квадрат среднеквадратического отклонения, то для любой случайной величины получим: . Таким образом, этот коэффициент не может являться какой-либо характеристикой распределения случайной величины. Он одинаков для всех распределений. В этом случае можно использовать центральный момент четвертого порядка.

Эксцессом E k называется величина, определяемая по формуле

(6.15)

Эксцесс, в основном, применяется для непрерывных случайных величин и служит для характеристики, так называемой "крутости" кривой распределения, или иначе, как уже было сказано, для характеристики "плосковершинности" или "островершинности" кривой распределения. В качестве эталонной кривой распределения считается кривая нормального распределения (о нем будет подробно идти речь в следующем главе). Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет место равенство . Поэтому эксцесс, заданный формулой (6.15), служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого эксцесс получается равным нулю.

Если для какой-то случайной величины получен положительный эксцесс, то кривая распределения этой величины является более островершинной, чем кривая нормального распределения. Если же эксцесс отрицателен, то кривая является более плосковершинной по сравнению с кривой нормального распределения (рис. 6.2).

Перейдем теперь к конкретным видам законов распределения дискретной и непрерывной случайных величин.

Найдем математическое ожидание Х 2 :

М (Х 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

Видим, что М (X 2) значительно больше М (X ). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X 2 , соответствующее значению x =100 величины X, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от М (X )к М (X 2)позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина X имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X 2 , а тем более к величинам X 3 , X 4 и т. д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X k:

v k = M (X ).

В частности,

v 1 = M (X ), v 2 = M (X 2).

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D (X ) = M (X 2)- [М (X )] 2 можно записать так:

D (X )= v 2 – . (*)

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X-М (X ).

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х-М (Х )) k:

В частности,

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим

m 2= v 2 – .

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

m 3= v 3 – 3 v 2 v 1 + 2 ,

m 4= v 4 – 4 v 3 v 1 + 6 v 2 + 3 .

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Замечание. Моменты, рассмотренные здесь, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими. Определения эмпирических моментов даны далее (см. гл. XVII, § 2).

Задачи

1. Известны дисперсии двух независимых случайных величин: D (X ) = 4, D (Y )=3. Найти дисперсию суммы этих величин.

Отв. 7.

2. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) X -1; б) -2Х; в) ЗХ + 6.

Отв. а) 5; б) 20; в) 45.

3. Случайная величина X принимает только два значения: +С и -С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.

Отв. С 2 .

4. , зная закон ее распределения

Отв. 67,6404.

5. Случайная величина X может принимать два возможных значения: х 1 с вероятностью 0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем х 2 > х 1 . Найти x 1 и x 2 , зная, что М (Х ) = 2, 7и D (X ) =0,21.

Отв. x 1 = 2, x 2 = 3.

6. Найти дисперсию случайной величины X -числа появлений событий А в двух независимых испытаниях, если М (Х ) = 0, 8.

Указание. Написать биномиальный закон распределения вероятностей числа появлений события А в двух независимых испытаниях.

Отв. 0, 48.

7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р 1 = 0,3; р 2 = 0,4; p 3 = 0,5; р 4 = 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Отв. 1,8; 0,94.

8. Найти дисперсию случайной величины X - числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7.

Отв. 21.

9. Дисперсия случайной величины D (Х ) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение s(X ).

Отв. 2, 5.

10. Случайная величина задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение этой величины.

Отв. 2, 2.

11. Дсперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

Отв. 4.

12. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.

Отв. 2,5.

Глава девятая

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Предварительные замечания

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли-простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого неравенства для дискретных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную таблицей распределения:

Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа e. Если e достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем 1-D (Х )/ e 2 :

Р (|Х -М (Х )|< e ) 1-D (X )/ e 2 .

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств |Х-М (Х )|и |Х-М (Х )| e, противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.