Случайные величины имеют следующий совместный закон распределения. §4

УРОК 19/ III-2 Отражение света. Законы отражения.

Отражение света. Законы отражения света.

Объяснение нового материала

Благодаря отражению света все живые организмы могут видеть окружающие предметы. Черные поверхности мы видим благодаря тому, что эти поверхности поглощают все лучи, падающие на эту поверхность, красные – отражают красные лучи, а остальные – поглощают.

Ученых давно интересовало, как происходит отражение света и законы отражения были открыты очень давно.

Проведем следующий опыт. (Демонстрируется отражение от плоского зеркала с помощью оптического диска). В результате учащиеся должны прийти к выводы, что падающий луч, отражаясь от зеркала, возвращается в туже среду. Это явление и называется отражением света.

Опытным путем устанавливаются законы отражения света.

Первый закон отражения света

Луч света направляют на поверхность зеркала так, чтобы луч лежал в плоскости зеркала. Закрывая четверть диска, где проходит световой луч, листом плотной бумаги устанавливают, что отраженный луч является видимым только тогда, когда бумага плотно прижата к диску и плоскость бумаги совпадает с плоскостью диска. В результате наблюдения учащиеся должны убедиться, что падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром к поверхности отражения, проведенным из точки падения луча.

Второй закон отражения света

Передвигая источник света по краю диска, изменяют направление падающего луча. При этом каждый раз изменяется направление отраженного луча. Необходимо обратить внимание, что углы падения и отражения при этом всегда остаются равными. Для установления связи между падающим и отраженным лучами, учащиеся чертят в тетради схему опыта и записывают определения падающего луча, отраженного и их равенство между собой.

Обратимость световых лучей

Из законов отражения света вытекает, что падающий и отраженные лучи обратимы. Если в результате с опытов с оптическим диском световой луч будет падать вдоль прямой, по которой распространялся падающий луч, то после отражения он будет распространяться вдоль прямой по которой проходил падающий луч.

Это свойство называется обратимостью световых лучей.

Построение изображения в плоском зеркале

Зеркало – очень привычная вещь в жизни каждого человека. Наиболее часто используется в жизни человека плоское зеркало.

Зеркало, поверхность которого является плоской, называют плоским зеркалом.

Если перед плоским зеркалом разместить предмет, например, свечу, то кажется, что за зеркалом размещен такой же предмет, который мы называем изображением в плоском зеркале.

Известно, что человек видит светящуюся точку, если лучи, выходящие из нее, непосредственно попадаю в глаз. Лучи света (при отражении от зеркала, см. рис.) не попадают непосредственно в глаз человека. Вместе с тем,

12-Д. Отражение света

Проделаем опыт. На зеркало, лежащее на столе, поставим полуоткрытую книгу. Сверху направим пучок света так, чтобы он отражался от зеркала, но на книгу не попадал. В темноте мы увидим падающий и отраженный пучки света. Накроем теперь зеркало бумагой. В этом случае мы будем видеть падающий пучок, а отраженного пучка не будет. Выходит, что свет от бумаги не отражается?

Приглядимся к рисункам внимательнее. Заметьте, когда свет падает на зеркало, текст книги практически нельзя прочесть из-за слабого освещения. Но когда свет падает на лист бумаги, текст книги становится видимым гораздо отчетливее, особенно в нижней своей части. Следовательно, книга освещается сильнее. Но что же ее освещает?

При падении света на разные поверхности возможны два варианта. Первый. Пучок света, падающий на поверхность, отражается ею также в виде пучка. Такое отражение света называется зеркальным отражением. Второй. Пучок света, падающий на поверхность, отражается ею во всех направлениях. Такое отражение света называют рассеянным отражением или просто рассеянием света.

Зеркальное отражение возникает на очень гладких (полированных) поверхностях. Если же поверхность шероховата, то она обязательно будет рассеивть свет. Именно это мы и наблюдали, когда накрывали зеркало листом бумаги. Она отражала свет, рассеивая его по всевозможным направлениям, в том числе и на книгу, освещая ее.

ражающей поверхности в точке излома луча (угол b).

При отражении света всегда выполняются две закономерности: Первая. Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к отражающей поверхности в точке излома луча всегда лежат в одной плоскости. Вторая. Угол падения равен углу отражения. Эти два утверждения выражают суть закона отражения света.

На левом рисунке лучи и перпендикуляр к зеркалу не лежат в одной плоскости. На правом рисунке угол отражения не равен углу падения. Поэтому такое отражение лучей нельзя получить на опыте.

Закон отражения является справедливым как для случая зеркального, так и для случая рассеянного отражения света. Обратимся еще раз к чертежам на предыдущей странице. Несмотря на кажущуюся беспорядочность в отражении лучей на правом чертеже, все они расположены так, что углы отражения равны углам падения. Взгляните, шероховатую поверхность правого чертежа мы "разрезали" на отдельные элементы и провели перпендикуляры в точках излома лучей:

Решение качественных задач

Угол между падающим лучом и зеркальной поверхностью составляет 50 0 . Чему равен угол падения, угол отражения, угол между падающим и отраженными лучами. Во сколько раз угол между падающим и отраженными лучами больше, чем угол падения? (Ответ: 40 0 , 40 0 , 80 0 , в два раза).

Чему равен угол падения, если световой луч падает перпендикулярно к зеркальной поверхности? (Ответ: 0 0).

Угол падения увеличился на 20 0 . На сколько увеличится угол между падающи и отраженными лучами? (Ответ: 40 0).

Угал падения вдвое больше, чем угол между отраженным лучом и зеркальном поверхностью. Чему равен угол падения? (Ответ: 30 0).

ПРОВЕРЬ СЕБЯ - Закрепление нового материала

Сформулируйте закон отражения света.

В чем заключается закон явления отражения света?

Какой угол называется углом падения; отражения?

Какое свойство падающего и отраженного луча называют обратимым?

Почему иногда днем окна домов нам кажутся темными, а иногда – светлыми?

Какими темными или светлыми мы видим дорогу и лужи на ней, если ночью при отсутствии внешнего освещения включить фары автомобиля?

ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА. (записать в тетрадь)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА

(выполнить задания:

с 1 по 16 записать только ответ,

Пусть пространство элементарных исходов W случайного эксперимента таково, что каждому исходу w i j ставиться в соответствие значение случайной величины X, равное x i и значение случайной величины Y, равное y j .

1. Представим себе упаковку деталей, характеризующихся 2-я габаритными размерами. Случайный эксперимент заключается в случайном выборе одной детали. Эта деталь имеет длину, которую будем обозначать X и толщину-Y

2. Если результат эксперимента – выбор студента для представления к повышенной стипендии. Тогда Х и Y – средние баллы за последние две сессии

В этом случае мы можем говорить о совместном распределении случайных величин X и Y или о “двумерной” случайной величине.

Если X и Y дискретны и принимают конечное число значений (X – n значений, а Y – m значений), то закон совместного распределения случайных величин X и Y можно задать, если каждой паре чисел x i , y j (где x i принадлежит множеству значений X, а y j -множеству значений Y) поставить в соответствие вероятность p ij , равную вероятности события, объединяющего все исходы w ij (и состоящего лишь из этих исходов), которые приводят к значениям X = x i ; Y = y j .

Такой закон распределения можно задать в виде таблицы:

а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины Y. Таблица является законом распределения двумерной дискретной случайной величины, если сумма вероятностей в последней строке или в последнем столбце (и соответственно, сумма вероятностей внутри таблицы) = 1.

Пользуясь этой таблицей, по аналогии с одномерным случаем, можно определить совместную функцию распределения. Для этого необходимо просуммировать р ij по всем i, j для которых x i < x, y j < y

Рассмотрим пример («ТВ» МГТУ им.Баумана)

В соответствии со схемой Бернулли с вероятностью успеха p, и вероятностью неудачи q =1-p проводятся 2 испытания.

Рассмотрим распределение двумерного вектора (Х 1 , Х 2), каждая из которых может принимать 2 значения: 0 или 1 (число успехов в соответствующем опыте) . Число успехов в обоих испытаниях равно 0, когда произойдут 2 неудачи, а это в силу независимости равно qq. Поэтому

и на пересечении «0» столбцов пишем q 2 .

Совместная функция распределения F (x 1 , x 2 ) задает поверхность в трехмерном пространстве.

Определение . Условным законом распределения (X |Y=y j)(j сохраняет одно и то же значение при всех значениях Х) называют совокупность условных вероятноястей р(x 1 |y j), р(x 2 |y j),… р(x n |y j), а условные вероятности вычисляются по формулам:

р(X=x i |Y=y j) = р(X=x i ,Y=y j) / р(Y=y j)

Пример. Задана дискретная двумерная величина

р(X=x 1 |Y=y 1) = р(X=x 1 ,Y=y 1) / р(Y=y 1)= 0,15/0,8 = 3/16

р(X=x 2 |Y=y 1) = р(X=x 2 ,Y=y 1) / р(Y=y 1)=0,3/0,8 = 3/8

р(X=x 3 |Y=y 1) = р(X=x 3 ,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0,35/0,8 = 7/16

Проверка: сумма вероятностей равна 1.

Замечание . Таким образом, можно проверить и независимость случайных величин. Аналогично случаю независимости событий, независимость случайных величин может быть определена через условные вероятности. Остается только сравнить условный и безусловный законы распределения.

Пример.

Рассмотрим коробку, в которой лежат две карточки с цифрой 1 и три карточки с цифрой 2. Одна за другой вынимаются две карточки. X – номер на первой карточке. Y – на второй. Найти совместный закон распределения (X,Y)

Используем формулу произведения вероятностей P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10

Сумма вероятностей = 1.

Пусть пространство элементарных исходов  случайного эксперимента таково, что каждому исходу  i j ставиться в соответствие значение случайной величины , равное x i и значение случайной величины , равное y j .

1. Представим себе большую совокупность деталей, имеющих вид стержня. Эксперимент заключается в случайном выборе одного стержня. Этот стержень имеет длину, которую будем обозначать  и толщину- (можно указать другие параметры-объем, вес, чистота обработки, выраженная в стандартных единицах).

2. Если рассмотреть акции двух различных корпораций, то в данный день биржевых торгов они каждая из них характеризуется определённой доходностью. Случайные величины  и  –это доходности акций этих корпораций.

В этих случаях мы можем говорить о совместном распределении случайных величин  и  или о “двумерной” случайной величине.

Если  и  дискретны и принимают конечное число значений ( – n значений, а  – k значений), то закон совместного распределения случайных величин  и  можно задать, если каждой паре чисел x i , y j (где x i принадлежит множеству значений , а y j -множеству значений ) поставить в соответствие вероятность p i j , равную вероятности события, объединяющего все исходы  i j (и состоящего лишь из этих исходов), которые приводят к значениям  = xi ;  = y j .

Такой закон распределения можно задать в виде таблицы:

Очевидно

Если просуммировать все р i j в i –й строке, то получим –вероятность того, что случайная величина  примет значение x i . Аналогично, если просуммировать все р i j в j –м столбце, то получим

вероятность того, что  принимает значение y j .

Соответствие x i  P i (i = 1,2,,n ) определяет закон распределения , также как соответствие y j  P j (j = 1,2,,k ) определяет закон распределения случайной величины .

Очевидно ,.

Раньше мы говорили, что случайные величины  и  независимы, если

pij=Pi P j (i= 1,2,,n ; j= 1,2,,k).

Если это не выполняется, то  и  зависимы.

В чем проявляется зависимость случайных величин  и  и как ее выявить из таблицы?

Рассмотрим столбец y 1 . Каждому числу x i поставим в соответствие число

p i / 1 = (1)

которое будем называть условной вероятностью = x i при =y 1 . Обратите внимание на то, что это не вероятность P i события = x i , и сравните формулу (1) с уже известной формулой условной вероятности .

Соответствие

x i р i / 1 , (i =1,2,,n )

будем называть условным распределением случайной величины  при =y 1 . Очевидно .

Аналогичные условные законы распределения случайной величины  можно построить при всех остальных значениях , равных y 2 ; y 3 ,, y n ,ставя в соответствие числу x i условную вероятность p i / j =().

В таблице приведён условный закон распределения случайной величины  при =y j

Можно ввести понятие условного математического ожидания  при  = y j

Заметим, что  и  равноценны. Можно ввести условное распределение  при =x i соответствием

(j = 1,2,,k )

Также можно ввести понятие условного математического ожидания случайной величины  при =x i :

Из определения следует, что если  и  независимы, то все условные законы распределения одинаковы и совпадают с законом распределения  (напоминаем, что закон распределения  определяется в таблице (*) первым и последним столбцом). При этом очевидно, совпадают все условные математические ожидания М (/ = y j ) при j = 1,2,,k , которые равны М.

Если условные законы распределения  при различных значениях  различны, то говорят, что между  и  имеет место статистическая зависимость.

Пример I. Пусть закон совместного распределения двух случайных величин  и  задан следующей таблицей. Здесь, как говорилось ранее, первый и последний столбцы определяют закон распределения случайной величины , а первая и последняя строки – закон распределения случайной величины .

Полигоны условных распределений можно изобразить на трехмерном графике (рис. 1).

Пример II. (Уже встре­чавшийся).

Пусть даны две неза­висимые случайные вели­чины  и  с законами распределения

Построим таблицу закона совместного распределения  и .

Чтобы получить =2 и =0, нужно чтобы  приняла значение 0, а  приняла значение 2. Так как  и  независимы, то

Р(=2; =0)= Р(=0; =2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.

Очевидно также Р(=3; =0)=0.

Пример III.

Рассмотрим закон совместного распределения  и , заданный таблицей

В этом случае выполняется условие P(=x i ; =y j )=P(=x i )P(=y j ), i , j =1,2,3

Построим законы условных распределений

Законы условных распределений  не отличаются друг от друга при =1,2,3 и совпадают с законом распределения случайной величины . В данном случае  и  независимы.

Характеристикой зависимости между случайными величинами  и  служит математическое ожидание произведения отклонений  и  от их центров распределений (так иногда называют математическое ожидание случайной величины), которое называется коэффициентом ковариации или просто ковариацией.

cov(; ) = M ((–M )(–M ))

Пусть  = x 1 , x 2 , x 3 ,, x n ,  = y 1 , y 2 , y 3 ,,y k . Тогда

cov(; )=(2)

Эту формулу можно интерпретировать так. Если при больших значениях  более вероятны большие значения , а при малых значениях  более вероятны малые значения , то в правой части формулы (2) положительные слагаемые доминируют, и ковариация принимает положительные значения.

Если же более вероятны произведения (x i – M )(y j – M ), состоящие из сомножителей разного знака, то есть исходы случайного эксперимента, приводящие к большим значениям  в основном приводят к малым значениям  и наоборот, то ковариация принимает большие по модулю отрицательные значения.

В первом случае принято говорить о прямой связи: с ростом  случайная величина  имеет тенденцию к возрастанию.

Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом  случайная величина  имеет тенденцию к уменьшению или падению.

Если примерно одинаковый вклад в сумму дают и положительные и отрицательные произведения (x i – M )(y j – M )p i j , то можно сказать, что в сумме они будут “гасить” друг друга и ковариация будет близка к нулю. В этом случае не просматривается зависимость одной случайной величины от другой.

Легко показать, что если P (( = x i )∩( = y j )) = P ( = x i )P ( = y j ) (i = 1,2,,n ; j = 1,2,,k ), то cov(; )= 0.

Действительно из (2) следует

Здесь использовано очень важное свойство математического ожидания: математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю .

Доказательство (для дискретных случайных величин с конечным числом значений).

Ковариацию удобно представлять в виде

cov(; )=M (–M –M +M M )=M ()–M (M )–M (M )+M (M M )=

=M ()–M M –M M +M M =M ()–M M 

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.

Легко доказывается следующее свойство математического ожидания: если  и -независимые случайные величины, то М ()=М М . (Доказать самим, используя формулу M () = )

Таким образом, для независимых случайных величин  и  cov(;)=0. Задачи . 1. Монету подбрасывают 5 раз. Случайная величина  – число выпавших гербов, случайная величина  – число выпавших гербов в последних двух бросках. Построить совместный закон распределения случайных величин, построить условные законы распределения  при различных значениях . Найти условные математические ожидания и ковариацию  и .

2. Две карты наудачу извлекаются из колоды в 32 листа. Случайная величина  – число тузов в выборке, случайная величина  – число королей в выборке. Построить совместный закон распределения  и , построить условные законы распределения  при различных значениях . Найти условные математические ожидания и ковариацию  и .

Многоугольник распределения СВХ – выпадение очков при бросании игральной кости.

3Ряд распределения, многоугольник распределения

Способы или формы представления закона распределения СВ могут быть различными.

Простейшей формой задания закона распределения ДСВ X является ряд распределения.

Рядом распределения вероятностей ДСВ X называют таблицу в которой перечислены все возможные значения СВ и вероятности того, что СB примет эти значения.

Так как события несовместны, потому что может принять в результате опыта только одно значение, и образуют полную группу событий, то.

Поэтому для проверки правильности составления таблицы, необходимо просуммировать все вероятности.

Для наглядности ряд распределения представляют графически. Для этого все возможные значения СВ откладывают по оси 0х , а по оси 0у - соответствующие вероятности. Вершины полученных ординат обычно соединяют отрезками прямых.

Соединение вершин ординат делается только в целях наглядности, т.к. в промежутках между и,ии т.д. СВ X значений принять не может, поэтому вероятности ее появления в.этих промежутках равны нулю.

Такая фигура называется многоугольником распределения.

Многоугольник распределения, также как и ряд распределения является одной из форм задания закона распределения ДСВ Х.

Многоугольники распределения могут иметь самую различную форму.

Пример - Вероятность того, что курсант сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и В соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить ряд распределения и построить многоугольник распределения числа семестровых экзаменов, которые сдает курсант.

Решение Возможные значения С В X - число сданных экзаменов - 0, I, 2.

Пусть событие состоит в том, что курсант сдаетi -й экзамен (i =1, 2).

Считая инезависимыми, будем иметь вероятность того,

что курсант не сдаст экзамены

что сдаст один экзамен

что сдаст два экзамена

Ряд распределения и многоугольник распределения будут иметь вид

Закон распределения ССВ может быть задан в различных формах. Одной из форм задания является таблица распределения СДСВ.

Пусть X и У - ДСВ, возможные значения которых , где,. Тогда распределение системы таких СВ может быть охарактеризовано указанием вероятностейтого, что СВ X примет значениеи одновременно с этим С В У примет значение. Вероятностисводятся в таблицу вида

Такая таблица называется таблицей (матрицей) распределения СДСВ с конечным числом возможных значений. Все возможные события составляют полную группу несовместных событий, поэтому

Итоговые столбец или строка таблицы распределения представляют соответственно распределение одномерных составляющихили.

Действительно, распределение одномерной СВХ можно получить, вычислив вероятность события , как сумму вероятностей несовместных событий

Аналогично

Таким образом, чтобы по таблице распределения найти вероятность того, что одномерная СВ приняла определенное значение, надо просуммировать вероятности из соответствующей этому значению строки (столбца) данной таблицы.

Если зафиксировать значение одного аргумента, например, положить , то полученное распределение СВХ называется условным распределением X при условии.

Вероятности этого распределения будут условными вероятностями события, найденными при условии, что событиепроизошло.

Из определения условной вероятности

Аналогично условнее распределение СВУ при условии равно

Стандартные распределения случайных величин. Равномерное распределение и его особенности.

Закон распределения случайной величины и случайного вектора

При изучении СВ нельзя ограничиваться только лишь знанием множеств их возможных значений.

Необходимо также знать с какими вероятностями СВ принимает эти значения, и более обще, каковы вероятности попадания СВ в те или иные интервалы множества точек оси 0х . Обычно рассматривают интервалы

Если известны все возможные значения СВ, и если имеет возможность находить вероятности различных событий, связанных со СВ, т.е. находить вероятности попадания в тот или мной интервал, то с вероятностной точки зрения об этой СВ известно всё.

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями. Про СВ говорят, что она подчинена данному закону распределения. Его можно задать аналитически, таблично, графически.

Характеристикой случайного вектора также является её закон распределения.

Законом распределения ССВ называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений ССВ и вероятностями появления системы в этих областях.

Так же как и для одной СВ, закон распределения ССВ может быть задан в различных формах.

Совместное распределение нескольких случайных величин

Для изучения системы случайных величин нужно знать закон совместного распределœения их вероятностей. Рассмотрим систему 2-х случайных величин x и y , ᴛ.ᴇ. двумерную случайную величину. Систему двух случайных величин рассматриваем как систему двух одномерных величин. Каждую из величин x и y называют компонентой двумерной случайной величины. Двумерную случайную величину называют дискретной если ее компоненты дискретны.

(x i ; y j) – возможные

Случайная величина представляет систему двух случайных величин ее декартовых координат. Задание закона ее совместного распределœения величин x и y означает задание вероятности попадания случайной точки величины x, y в точку x i ; y j . Вероятность Р(x=x i ; y=y j )=P i,j , i =1……n; j =1……..m . Эти вероятности бывают любыми неотрицательными числами, сумма которых равна 1. Т.к. события x=x i ; y=y j образуют полную группу. Т.е. закон распределœения задан в виде таблицы с двумя входами. 1 столбец содержит всœе возможные значения x , а первая строка всœе возможные значения компоненты y , каждую вероятность P i,j можно рассматривать как совмещение случайных событий x=x i ; y=y j .

	y 1	y 2 ……….	y m
x 1	P 11	P 12	P 1m
x 2	P 21	P 22	P 2n
x n	P n1	P n2	P nm

Две дискретные величины x, y называются независимыми, в случае если для всœех их возможных значений x i ; y j имеет место равенство

P i,j =Р(Х=x i)×P(Y=y j)

Это определœение распределœения и наибольшее число дискретных случайных величин.

Пример: В первом ящике 6 шаров, во вором также 6 шаров

I 1 шар с номером 1

2 шара с номером 2 Х - № из I ящика

3 шара с номером 3

II 2 шара с номером 1

3 шара с номером 2 Х - № из II ящика

1 шар с номером 3

Из каждого ящика взяли по шару, составить таблицу закона распределœения системы случайных величин. Найти законы распределœения составляющих.

Пусть (х, у) – двумерная непрерывная случайная величина. Двумерную случайную величину (х, у) – называют непрерывной, в случае если ее компоненты непрерывны. Кроме того величины х, у обладают непрерывной плотностью распределœения.

P(x

Как дифференцируемая функция

Функция удовлетворяет 2-м основным свойствам f(x,y)³ 0 и двойной интеграл

Вероятность попадания случайной точки в любую область D на плоскости х, у , должна быть представлена в виде двойного интеграла:

Функция распределœения должна быть выражена, как:

F(x;y)=

График плотности распределœения называют поверхностью распределœения вероятности.

Пример: Найти функцию распределœения двумерной случайной величины с плотностью распределœения:

f(x;y)=e -x-y (x³0,y³0)

P(0

Распределœение компонент непрерывной случайной величины (х; у).

Закон совместного распределœения величин х и у полностью определяет законы распределœения каждой из величин х и у . Пусть F(x;y) – плотность совместного распределœения величин х и у . Найдем плотность распределœения величины х . Рассмотрим вероятность попадания значения величины х в любой интервал от х 1 до х 2 .

т.к. попадание абсциссы в интервале равносильно попаданию точки в вертикальную область D , то вероятности этих событий равны.

Данный интеграл можно записать и таким образом

Сравним с другим равенством. Согласно определœению плотности распределœения следует, что искомая плотность равна

,

Аналогично площадь распределœения величины у будет равна

Эти понятия обобщаются для систем более 2-х величин.

Определœение: Непрерывные случайные величины х и у называются независимыми, в случае если плотность совместного распределœения равна произведению плотности этих величин

Условие независимости.

Совместное распределение нескольких случайных величин - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Совместное распределение нескольких случайных величин" 2017, 2018.

Воспользуемся изложенным выше общим методом для решения одной задачи, а именно для нахождения закона распределения суммы двух случайных величин. Имеется система двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,у).

Рассмотрим сумму случайных величин X и Y: и найдем закон распределения величины Z. Для этого построим на плоскости хОу линию, уравнение которой (рис. 6.3.1). Это - прямая, отсекающая на осях отрезки, равные z. Прямая делит плоскость хОу на две части; правее и выше ее ; левее и ниже

Область D в данном случае - левая нижняя часть пло­скости хОу, заштрихованная на рис. 6.3.1. Согласно формуле (6.3.2) имеем:

Это - общая формула для плотности распределения суммы двух случайных величин.

Из соображений симметричности задачи относительно X и Y можно написать другой вариант той же формулы:

Требуется произвести композицию этих законов, т. е. найти закон распределения величины: .

Применим общую формулу для композиции законов рас­пределения:

Подставляя эти выражения в уже встречавшуюся нам формулу

а это есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеи­вания

К тому же выводу можно прийти значительно проще с помощью следующих качественных рассуждений.

Не раскрывая скобок и не производя преобразований в подынте­гральной функции (6.3.3), сразу приходим к выводу, что показатель степени есть квадратный трехчлен относительно х вида

где в коэффициент А величина z не входит совсем, в коэффициент В входит в первой степени, а в коэффициент С - в квадрате. Имея это в виду и применяя формулу(6.3.4), приходим к заключению, что g(z) есть показательная функция, показатель степени которой - квадратный трехчлен относительно z, а плотность аспределения; такого вида соответствует нормальному закону. Таким образом, мы; приходим к чисто качественному выводу: закон распределения вели­чины z должен быть нормальным. Чтобы найти параметры этого закона - и - воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий и теоремой сложения дисперсий.

По теореме сложения математических ожиданий . По теореме сложения дисперсий или откуда следует формула (6.3.7).

Переходя от среднеквадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим:
.

Таким образом, мы пришли к следующему правилу: при компо­зиции нормальных законов получается снова нормальный за­кон, причем математические ожидания и дисперсии (или квад­раты вероятных отклонений) суммируются.

Правило композиции нормальных законов может быть обобщено на случай произвольного числа независимых случайных величин.

Если имеется n независимых случайных величин: подчиненных нормальным законам с центрами рассеивания и среднеквадратическими отклонениями ,то величина также подчинена нормальному закону с параметрами

Если система случайных величин (X, Y) распределена по нормальному закону, но величины X, Y зависимы, то нетрудно доказать, так же как раньше, исходя из общей формулы (6.3.1), что закон распределения величины есть тоже нормальный закон. Центры рассеивания по-прежнему складываются алгебраически, но для среднеквадратических отклонений правило становится более сложным: , где, r - коэффициент корреляции величин X и Y.

При сложении нескольких зависимых случайных величин, подчиненных в своей совокупности нормальному закону, закон распределения суммы также оказывается нормальным с параметрами

где - коэффициент корреляции величин X i , X j , а суммирование распространяется на все различные попарные комбинации величин .

Мы убедились в весьма важном свойстве нормального закона: при композиции нормальных законов получается снова нормальный закон. Это - так называемое «свойство устойчивости». Закон распределения называется устойчивым, если при композиции двух законов этого типа получается снова закон того же типа. Выше мы показали, что нормальный закон является устойчивым. Свойством устойчивости обладают весьма немногие законы распределения. Закон равномерной плотности неустойчив: при композиции двух законов равномерной плотности на участках от 0 до 1 мы получили закон Симпсона.

Устойчивость нормального закона - одно из существенных условий его широкого распространения на практике. Однако свойством устойчивости, кроме нормального, обладают и некоторые другие законы распределения. Особенностью нор­мального закона является то, что при композиции достаточно боль­шого числа практически произвольных законов распределения суммарный закон оказывается сколь угодно близок к нормальному вне зависимости от того, каковы были законы распределения слагаемых. Это можно проиллюстрировать, например, составляя композицию трех законов равномерной плотности на уча­стках от 0 до 1. Получающийся при этом закон распределения g(z) изображен на рис. 6.3.1. Как видно из чертежа, график функции g(z) весьма напоминает график нормального закона.