Теоретико-множественный смысл разности. Разностью a – b двух рациональных чисел a и b называется рациональное

Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Около школы посадили 8 деревьев – берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?»

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из 8 вычесть 3: 8-3=5.

Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие? Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком.

Среди посаженных деревьев 3 березы – на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть 3, т.е.5.

Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого подмножества, т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнением подмножества.

Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется число элементов в дополнении множества B до множества A при условии, что n(A)=a, n(B)=b и B A.

Пример. Объясним, используя данное определение, что 7-4=3. 7 –это число элементов множества B, которое является подмножеством множества A. Возьмем, например, множества A= {x, y, z, t, p, r, s}, B={x, y, z, t}. Найдем дополнение множества В до множества А: А\В={p, r, s}. Получаем, что n(А\В) = 3. Следовательно, 7-4 = 3.

Очевидно, в качестве таких множеств Аи В, что п(А) = 7, п (В) = 4 и B A,можно было выбрать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность а - в не зависит от выбора множеств А и В,удовлетворяющих условиям п (А) = а, п(В) - в и B A.

№17.Определение разности двух целых неотрицательных чисел. Существование разности и её единственность.

Действие, при помощи которого находят разность а - в, называется вычитанием, чис­ло а - уменьшаемым, число b - вычитаемым.

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обра­щаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между дейст­виями вычитания и сложения.

Пусть даны целые неотрицательные числа аи в, такие, что а= п (А),в- п (В)и В А, и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества Вдо множества А, т. е. а - в = п (А\В).

На кругах Эйлера множества А, В, А\Визображаются так:

Известно, что A = B (A\B),откуда п (А) = п (В (А\В)).Так как В∩(А\В)= Ø, то имеем п (А) = п (В(А\В)) = п (В) + (А\В)= в +(а - в ). Следовательно, получаем, что а = в + (а - в), т. е. разность а - в есть такое число, сумма которого и числа в равна числу а.

Установленный факт дает возможность по-другому дать опреде­ление разности.

Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа в равна а.

Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел a и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существуют два значения разности a-b: a-b=c1 и a-b=c2. Тогда по определению разности имеем a=b+c1 и a=b+c2. Отсюда следует b+c1=d+c2 и, значит, c1=c2.

Теорема. Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b < или = а.

Доказательство. Если а=b, то а-b=0, и, следовательно, разность а-b cсуществует.

Если b<а, то по определению отношения «меньше» существует такое натуральное число с, что а=b+с. Тогда по определению разности с=а-b, т.е. разность а-b существует. Если разность а-b существует, то по определению разности найдется такое целое неотрицательное число с, что а=b+с. Если с=0, то а=b, если с>0, то b <а по определению меньше. Итак, b<или = а.

Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n (A )= a , n (B )= b , BA , т.е. а - b = n (A B ). Это обуславливается тем, что А=В(АВ), т.е. n (A )= n (B ) + n (A B ).

Докажем это. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то их можно представить так, как на рис. 3.

Вычитание натуральных (целых неотрицательных) чисел определяется как операция, обратная сложению: а - b = с () b + c = a.

Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пресекаются и их объединение равно А . Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A)=n(B) + n(AB) , откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем n(AB) = а - b.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а . Так как А=А, АА=, то а - 0 = а и а - а = 0.

Разность а - b целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда .

Действие, при помощи которого находят разность а - b , называется вычитанием , число а - уменьшаемым, b - вычитаемым.

Используя определения, покажем, что 8 - 5 = 3. Пусть даны два множества такие, что n(A) = 8, n(B) = 5. И пусть множество В является подмножеством множества А . Например, А = {a, s, d, f, g, h, j, k }, B = {a, s, d, f, g }.

Найдем дополнение множества В до множества А: АВ = {h, j, k }. Получаем, что n(AB) = 3.

Следовательно, 8 - 5 = 3.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач.Выясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания, и решите ее: «У школы росло 7 деревьев, из них 3 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное возле школы кружком (рис. 4). Среди них есть 3 березы - на рисунке выделим их штриховкой. Тогда остальные деревья - не заштрихованные кружки - и есть липы. Т. е. их столько, сколько будет из 7 вычесть 3, т. е. 4.

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В - берез, которое является подмножеством А , и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А . В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.

По условию n(A) = 7, n(B) = 3 и BА. Пусть А = {a, b, c, d, e, f, g }, B = {a, b, c }. Найдем дополнение множества А до В : AB = {d, e, f, g} и n(AB) = 4.

Значит, n(C) = n(AB) = n(A)- n(B) = 7 - 3 = 4.

Следовательно, у школы росло 4 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций различные правила.

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое, т.е. при ас имеем, что (a+b)-c=(a-c)+b; при bc имеем, что (a+b)-c=a+(b-c) ; при ac и bc можно использовать любую из данных формул.

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С - такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и AB= , СА (рис.5).

Нетрудно доказать с помощью кругов Эйлера, что для данных множеств имеет место равенство .

Правая часть равенства имеет вид:

Левая часть равенства имеет вид: Следовательно (a + b) - c = (a- c) + b ,при условии, что а> c .

Правило вычитания суммы из числа : чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. при условии, что a b +c, имеем а - (b + c) = (a - b) - c.

Выясним смысл данного правила. Для данных множеств имеет место равенство .

Тогда получим, что правая часть равенства имеет вид:. Левая часть равенства имеет вид: .

Следовательно (a + b) - c = (a- c) + b , при условии, что а> c .

Правило вычитания разности из числа: чтобы вычесть из числа а разность b - c , достаточно к данному числу прибавить вычитаемое с и из полученного результата вычесть уменьшаемое b ; при a > b можно вычесть из числа а уменьшаемое b и к полученному результату прибавить вычитаемое с, т.е. а - (b - c) = (a + c) - b = (a - b) +c.

Значит, А(ВС) = .

Следовательно, n(А(ВС)) = n( ) и а - (b - c) = (a + c) - b .

Правило вычитания числа из разности: чтобы из разности двух чисел вычесть третье число, достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел, т.е. (а - b) - c = a - (b + c). Доказывается аналогично правилу вычитания суммы из числа.

Пример. Какими способами можно найти разность: а) 15 - (5 + 6); б) (12 + 6) - 2?

Решение . а) Используем правило вычитания суммы из числа: 15 - (5 + 6) = (15 - 5) - 6 = 10 - 6 = 4.

Или 15 - (5 + 6) = (15 - 6) - 5 = 9 - 4 = 4.

Или 15 - (5 + 6) = 15 - 11= 4.

б) Используем правило вычитания числа из суммы: (12 + 6) - 2 = (12 - 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Или (12 + 6) - 2 = 12 + (6 - 2) = 12 + 4 = 16.

Или (12 + 6) - 2 = 18 - 2 = 16.

Данные правила позволяют упростить вычисления и широко используются в начальном курсе математики.

Определение 1. Если два числа 1) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r , то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p .

Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде

Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p −1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.

Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s 1 p +r 1 . Тогда

(2)

Так как r 1 принимает один из чисел 0,1, ..., p −1, то абсолютное значение r 1 −r меньше p . Но из (2) следует, что r 1 −r кратно p . Следовательно r 1 =r и s 1 =s .

Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p ).

Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то a−b делится на p .

Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то они при делении на p имеют один и тот же остаток p . Тогда

делится на p , т.к. правая часть уравнения (3) делится на p .

Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p , то эти числа сравнимы по модулю p .

Доказательство. Обозначим через r и r 1 остатки от деления a и b на p . Тогда

Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.

Свойства сравнений по модулю

Свойство 1. Для любого a и p всегда

не всегда следует сравнение

где λ это наибольший общий делитель чисел m и p .

Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p . Тогда

Так как m(a−b) делится на k , то

Следовательно

и m является один из делителей числа p , то

где h=pqs.

Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod (p ) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p . Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.