Видеокурс "Алгебра матриц и линейные пространства" бесплатное обучение, Pоссия. Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

СИНТАКСИС И ПУНКТУАЦИЯ .
Тире между подлежащим и сказуемым в простом предложении
Предупредительные, объяснительные диктанты
I. 1) Сентябрь - время боровиков, груздей, рыжиков и белянок. 2) Клюква - последняя ягода сентября. 3) Сентябрь - отлетная пора. 4) В природе сентябрь - вечер года. 5) Астра - царица маргариток. 6) Октябрь - месяц прощания птиц с родными гнездами. 7) Москва - северная граница распространения дубов. 8) Ловля на спиннинг - интересная и увлекательная спортивная охота. 9) Зяблик - защитник садов, парков, лесов, степных дубрав, неутомимый певец.
(По Д. Зуеву)
II. 1) Сорока - самая болтливая птица на свете. 2) Сова - житель полярных стран. 3) Рысь - свирепая лесная кошка. 4) Лошадь - животное травоядное. 5) Конец зимы - самое голодное время в лесу. 6) Некоторые думают, что крот - грызун.
(По В. Бианки)
III. 1) Лягушки - хладнокровные животные. (С. Образцов) 2) Крапива - одно из самых любопытных растений. (В. Солоухин) 3) Первый признак цунами - отступление океана от берега. (В. Бурлак) 4) Храбрость - сестра победы. (Пословица) 5) Усердие - мать удачи. (Пословица) 6) Наша белка - мастерица. (Л. Куликов) 7) Древняя родина синей птицы - Индия. 8) Путешествие - трудное дело. (Н. Сладков) 9) Птицы - защитники урожая. 10) Синица - любимица птицеловов. 11) Норки - хищные и прожорливые зверьки.

Знаки препинания в предложениях с однородными членами.
Схематические диктанты
I. 1) Белый снег пушистый в воздухе кружится и на землю тихо падает, ложится. (И. Суриков) 2) Солнце за день нагулялося, за кудрявый лес спускается. (И. Никитин) 3) Вот и солнце встает, из-за пашен блестит, за морями ночлег свой покинуло. (И. Никитин) 4) Уж ночь идет, огни по небу рассекает. (И. Никитин) 5) Пальнул Федор Федорович по сороке, да не попал. (Е. Чарушин)
II. 1) Я увидел в воде у берега стаю плотиц и бросил в них маленький камушек. (К. Паустовский) 2) Солнце с каждым днем раньше всходило по утрам и все неохотнее скрывалось по вечерам. (В. Бианки) 3) Опавшая листва устилает землю и громко шуршит при каждом прикосновении. (Ф. Залтен) 4) Малиновка щебетала четко, весело, звонко. (Д. Зуев) 5) Ветер осенний в лесах поднимается, шумно по чащам идет. (И. Бунин)
III. 1) После летней разлуки прилетают в город галки, вороны и занимают зимние квартиры: карнизы, чердаки, крыши. 2) Сбиваются в стаи и кружатся над полями полчища птиц: грачей, скворцов, чаек, ласточек. 3) С севера летят к нам другие птицы: щеглы, сойки, клесты. 4) Синица съедает вредных насекомых: жучка, листогрыза, листовертку. 5) В стужу белка кормится осенними припасами: орехами, желудями, грибами, шишками.
(По Д. Зуеву)

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Сборник диктантов по русскому языку, 5-9 классы, Богданова Г. А., 2010 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Контрольные и проверочные работы по русскому языку, 9 класс, К учебнику М.М. Разумовской и др. «Русский язык», Кулаева Л.М., 2010

Следующие учебники и книги:

• Русский язык, практика, 8 класс, учебник для общеобразовательных учреждений, Пичугов Ю.С., Еремеева А.П., Купалова А.Ю., 2012

Программы общеобразовательных учреждений

Г. А. Богданова

Сборник диктантов
по русскому языку
5-9 классы

Книга для учителя

Предисловие

5 класс

6 класс

7 класс

8 класс

9 класс

Предисловие

Данное пособие для учителя предназначено для организации закрепления и проверки знаний по русскому языку учащихся 5-9 классов. Составляя сборник, автор исходил прежде всего из требований базового уровня обязательной подготовки школьников по предмету и так называемых обязательных результатов обучения. Вместе с тем учитель найдет в нем материал для проверки уровня повышенной подготовки, так называемого «продвинутого уровня».

5 КЛАСС

СИНТАКСИС И ПУНКТУАЦИЯ

Тире между подлежащим и сказуемым в простом предложении

I. 1) Сентябрь - время боровиков, груздей, рыжиков и белянок. 2) Клюква - последняя ягода сентября. 3) Сентябрь - отлетная пора. 4) В природе сентябрь - вечер года. 5) Астра - царица маргариток. 6) Октябрь - месяц прощания птиц с родными гнездами. 7) Москва - северная граница распространения дубов. 8) Ловля на спиннинг - интересная и увлекательная спортивная охота. 9) Зяблик - защитник садов, парков, лесов, степных дубрав, неутомимый певец.

(По Д. Зуеву )

II. 1) Сорока - самая болтливая птица на свете. 2) Сова - житель полярных стран. 3) Рысь - свирепая лесная кошка. 4) Лошадь - животное травоядное. 5) Конец зимы - самое голодное время в лесу. 6) Некоторые думают, что крот - грызун.

(По В. Бианки )

III. 1) Лягушки - хладнокровные животные. (С. Образцов) 2) Крапива - одно из самых любопытных растений. (В. Солоухин) 3) Первый признак цунами - отступление океана от берега. (В. Бурлак) 4) Храбрость - сестра победы. (Пословица) 5) Усердие - мать удачи. (Пословица) 6) Наша белка - мастерица. (Л. Куликов) 7) Древняя родина синей птицы - Индия. 8) Путешествие - трудное дело. (Н. Сладков) 9) Птицы - защитники урожая. 10) Синица - любимица птицеловов. 11) Норки - хищные и прожорливые зверьки.

IV. 1) Семь чудес света - семь памятников, которые создали древние мастера. 2) Висячие сады Вавилона - удивительное сооружение. 3) Самые древние храмы греков - простые деревянные постройки с очагом внутри. 4) Пирамиды Египта - единственное из семи чудес, которое дошло до нас.

(По книге )

Знаки препинания в предложениях с однородными членами

Схематические диктанты

I. 1) Белый снег пушистый в воздухе кружится и на землю тихо падает, ложится. (И. Суриков) 2) Солнце за день нагулялося, за кудрявый лес спускается. (И. Никитин) 3) Вот и солнце встает, из-за пашен блестит, за морями ночлег свой покинуло. (И. Никитин) 4) Уж ночь идет, огни по небу рассекает. (И. Никитин) 5) Пальнул Федор Федорович по сороке, да не попал. (Е. Чарушин )

II. 1) Я увидел в воде у берега стаю плотиц и бросил в них маленький камушек. (К. Паустовский) 2) Солнце с каждым днем раньше всходило по утрам и все неохотнее скрывалось по вечерам. (В. Бианки) 3) Опавшая листва устилает землю и громко шуршит при каждом прикосновении. (Ф. Залтен) 4) Малиновка щебетала четко, весело, звонко. (Д. Зуев) 5) Ветер осенний в лесах поднимается, шумно по чащам идет. (И. Бунин)

III. 1) После летней разлуки прилетают в город галки, вороны и занимают зимние квартиры: карнизы, чердаки, крыши. 2) Сбиваются в стаи и кружатся над полями полчища птиц: грачей, скворцов, чаек, ласточек. 3) С севера летят к нам другие птицы: щеглы, сойки, клесты. 4) Синица съедает вредных насекомых: жучка, листогрыза, листовертку. 5) В стужу белка кормится осенними припасами: орехами, желудями, грибами, шишками.

(По Д. Зуеву )

Предупредительные, объяснительные диктанты

I. 1) Мы лечили разных птиц: цаплю, синицу, скворца. (Л. Успенский) 2) Дождь бил по стеклам, по жестяным крышам, по деревянным перилам, журчал по водосточной трубе. (В. Бурлак) 3) Облепили лампу мошки, греют тоненькие ножки. (В. Лунин) 4) Солнце за море садится, машет рыжей головой. (С. Козлов) 5) По ночам в леса, в овраги заползает синий мрак. (В. Левин) 6) Месяц огненным шаром встает, красным заревом лес обдает. (И. Никитин) 7) Разбухшие лиловые ветки тополей трепались весело и бойко. (А. Толстой) 8) Села пчелка на цветок, опустила хоботок. (Г. Ладонщиков) 9) Весной голые прутики на берегу расцветут и превратятся в чудесные кусты вербы. (Г. Снегирев) 10) Филька запахнул тулупчик, выскочил на улицу и побежал к мельнице. (К. Паустовский) 11) На рисунке этом вещи: ящик, щетка, плащ и клещи. (А. Барто) 12) Снег долго сыпал белой пылью, запорошил стекла. (К. Паустовский) 13) Кот воровал все: рыбу, мясо, сметану. (К. Паустовский) 14) На воде россыпью сидит множество птиц: утки разных пород, лебеди, чайки.

II. 1) В сентябре удочкой ловится разная рыба: судаки, сомы. 2) На клумбах зажигаются кострами цветы: астры, георгины, флоксы. 3) Зяблик уничтожает вредных насекомых: гусениц, жучков, мелких бабочек. 4) Умылись дождем деревья: тополя, осины, орешник. 5) В октябре сбор даров лета: калины, рябины, клюквы.

(По Д. Зуеву )

Знаки препинания

Схематические диктанты

I. 1) Утром выпал снег, и все вокруг побелело. 2) Занесет ветер кусты снегом и помчится дальше. (Г. Снегирев) 3) Тихо ночь ложится на вершины гор, и луна глядится в зеркало озер. (И. Никитин) 4) Тайга дышит теплом и доносит запах смолы. 5) Дождь прошел, и трава будто ожила.

II. 1) Коала ест много листьев эвкалипта, и их сок заменяет ему воду. (А. Бабенешев) 2) День выдался жаркий, и звери потянулись к реке. 3) Свежий ветер врывался в окно и напоминал о море. 4) Огонь погас, и комары вновь атаковали нас. 5) Собака рванулась вперед, и охотник отпустил поводок.

III. 1) В этот миг Снежная королева подхватила Кая, и они взвились на черное облако. (Г. Андерсен) 2) Старая королева сбросила с кровати тюфяки и положила на голые доски горошину. (Г. Андерсен) 3) Сойка вытянула шею и беспокойно завертела головой. (В. Бурлак) 4) Наконец мальчик облюбовал дерево и полез на него. (В. Астафьев) 5) Желтеет сень кудрявая дубов, и красен круглый лист осины. (Е. Баратынский)

IV. 1) Кусты зашевелились, и на поляну вышел огромный лось. 2) Была гроза с сильным ветром, и ночью гнилое дерево рухнуло. 3) Кот смотрел на нас сверху дикими глазами и грозно выл. (К. Паустовский) 4) Пеликан поспешно вылез из воды и приковылял к нашему привалу. (К. Паустовский) 5) Медленно расходятся по воде зеленые створки кувшинок, и белые листочки разворачиваются в пышный цветок. (Э. Шим)

V. 1) Раздался всплеск, и тело тюленя исчезло в воде. 2) Рано появилась луна и нарушила мир совы. 3) Море слегка поблескивало вдали, и на фоне воды темными силуэтами выделялись отдельные острова. (Г. Скребицкий) 4) Смолкает привычный шум прибоя, и на сотни метров обнажается дно. (В. Бурлак) 5) Мы ловили рыбу и разводили костры в прибрежных зарослях. (К. Паустовский)

VI. 1) Небо голубое весело глядит, и село большое беззаботно спит. (И. Никитин) 2) Уснули в сумраке равнины, и только изредка прохладный ветерок пошевелит листы осины. (И. Никитин) 3) Гроза прошла, и ветка белых роз в окно мне дышит ароматом. (А. Блок) 4) Мы спали на листьях и насквозь пропитались их запахом. (К. Паустовский) 5) Косой свет солнца падал на темную воду и отражался в ней. (К. Паустовский)

VII. 1) Вдруг налетела буря с крупным градом, и разметала она всю листву. 2) Апрельский дождь прошел впервые и освежил все вокруг. 3) Сквозь дождь лучилось солнце, и оно золотило капли на траве. 4) Вода журчала теперь под толщей сугроба и набирала силу для победы весны. 5) Открыл ученый аист лесную школу, и собрал он малышей на первый урок. (М. Пляцковский)

Предупредительные, объяснительные диктанты

I. 1) Венчики трав качались над головами и обсыпали плечи желтой цветочной пылью. 2) Полосы света проникали в гущу трав и кустарников, и на одно мгновение берега вспыхивали сотнями красок. 3) Воздушные змеи косо дрожали в синеве и уходили с жужжанием в тень облаков. 4) Ветер быстро набирает силу, и через два-три часа жестокий ураган уже хлещет с гор на бухту и город. 5) Метели по лесу полетели, и морозы усилились. 6) Над лугами шел холодный дождь, и ветер налетал косыми ударами. 7) В свете луны слабо светились березы и бросали на снег легкие тени. 8) Мы отдыхали в густых зарослях осин и берез и дышали грибным прелым запахом травы. 9) Он встретился со мной глазами и кивнул мне головой. 10) Кот украл со стола кусок ливерной колбасы и полез с ним на березу.

(Из произведений К. Паустовского )

II. 1) Осень наступила, высохли цветы, и глядят уныло голые кусты. (А. Плещеев) 2) Мальчики отыскали сухое место, расселись на берегу и раскинули удочки. 3) Вдруг солнце показалось из-за горизонта и брызнуло своими лучами на землю. 4) Ночь прошла под большой чистой луной, и к утру лег первый снег. (М. Пришвин) 5) Солнце уже пригрело землю, и его лучи осветили окрестность. 6) Ветки слегка шумели от легкого ветерка и будто ощупывали друг друга. 7) Ранней весной горячий луч солнца все осветил и тронул даже шишку на верху старой ели. (М. Пришвин)

III. 1) Подкрался Иванушка к коню и разом накинул ему на шею веревку. 2) Пустил стрелу Иван-царевич, и полетела его стрела прямо в топкое болото. 3) Подъехала карета к крыльцу, и из нее вышла Василиса Премудрая.

(Из русских народных сказок )

IV. 1) Вертолет поднимался по косой линии и вскоре исчез за лесистым склоном. 2) Шумел прибой, и бесчисленные солнечные зайчики сверкали в волнах океана. 3) Тьма поредела, и вдали показались неясные очертания гор. 4) Она с трудом вылезла из сугроба и села на снег. 5) Зеленоватые валы накатывались на скалы и с шумом разбивались о камни. 6) Дверь распахнулась, и на пороге появилась девочка. 7) Внезапно блеснул яркий свет, и мы вышли на большую поляну. 8) Ветер унес тучи, и лунный свет потоком хлынул в окна дворца. 9) Солнце скрылось за деревьями, и на западе в чистом небе загорелась первая звездочка.

(Из произведений В. Губарева )

Знаки препинания

Схематические диктанты

I. 1) Снега покрылись твердым настом, по которому голодные волки подходили по ночам к самой усадьбе. (А. Толстой) 2) В лесу еще снег лежит, а на просеке уже чернеют пятна земли. 3) Я пригляделся и увидел, что синичка ловит ртом снежинки. (В. Белов) 4) И лягушкам не поется, если осень настает. (С. Козлов) 5) Месяц под косой блестит, а во лбу звезда горит. (А. Пушкин)

II. 1) Бежит заяц по полю, а след за ним тянется. (В. Бианки) 2) Я увидел, что выпал снег. 3) Летом будет хороший урожай трав, если в апреле на заливных лугах стоит вода. 4) Как-то раз Кот узнал, что король собирается на прогулку по берегу реки. (Ш. Перро) 5) Во всем сестры спрашивали совета у Золушки, потому что у нее был хороший вкус. (Ш. Перро)

III. 1) Потянул свежий ветерок, и белая туча вскоре заволокла горизонт. 2) Когда мы проснулись, солнце уже поднялось высоко. 3) Я заметил, что мои спутники устали. 4) Весенний лес не смолкает ни на минуту, и ухо ловит невольно каждый звук. 5) Солнце уже скрылось, и длинные тени быстро надвигались со стороны леса.

IV. 1) Когда мы поднялись на гору, я увидел большое селение внизу. 2) Петя не пойдет в поход, потому что заболел. 3) Вдруг я увидел, что из кустов выскочила лисица. 4) На деревьях шелестела молодая листва, а в кустах звонко щебетали птицы. 5) Жилин знал, что его письмо не дойдет. (Л. Толстой)

V. 1) Уж роса пала, а Жилин до края леса не дошел. (Л. Толстой) 2) Осенью олени перебираются к югу, где они находят много корма. 3) Когда мы ложились спать, ежик бегал по дому. 4) Дверь тихонько отворилась, и царевна очутилась в светлой горнице. (А. Пушкин) 5) Когда на небе вспыхнула вечерняя заря, лес спокойно заснул.

VI. 1) Мы перебрались через лесной овраг, и перед нами открылась большая поляна. 2) Когда из-за вершин деревьев выглянуло солнце, в каждой капле росы зажегся фонарик. 3) Я разбудил брата, и мы пошли на рыбалку. 4) Буря утихла, и по воде поплыли большие льдины. 5) Но вот зашуршал камыш, и на воде появились кружки от первых капель. (В. Астафьев)

Предупредительный, объяснительный диктант

1) Была ночь, когда охотник вышел из леса на берег моря. (В. Бианки) 2) Неожиданно он увидел впереди малышей, которые играли посреди бульвара. (Н. Носов) 3) Рожь уже выколосилась, и по ней плыли легкие тени от облаков. (Г. Скребицкий) 4) Снег в лесу стаял, и на лесных тропинках заголубел лед. (Н. Сладков) 5) Наступил день, и на городской улице появились бродячие циркачи. 6) Повалил снег, и вскоре белое одеяло скрыло все следы. 7) Я направился к тому месту, где вчера охотники устроили привал. (В. Песков) 8) Он-то и рассказал мне, что вчера медведь приходил на пасеку. (В. Песков) 9) Неопытный человек скажет, что все соловьи поют одинаково. (В. Песков) 10) Ударили первые морозы, и скоро земля потонула в белой пелене метелей.

Знаки препинания

Схематические диктанты

I. 1) Воевода говорит: «Петушок опять кричит». (А. Пушкин) 2) «А ты чего тут распоряжаешься?» - вмешался Незнайка. (Н. Носов) 3) «А почему медведь зимой не спит?» - спросила Катюша отца.

II. 1) Петька встретил меня ворчаньем: «Ты что так долго?» 2) Бабушка сказала: «Сейчас уху варить будем». 3) «Расскажи», - попросила мама. 4) Мама напомнила: «Далеко от дороги не ходите». 5) «Что-то мне плохо», - сказал раненый. 6) Раненый поинтересовался: «Отец-то где работает?» 7) «Теперь с Сенькой помириться не стыдно», - объявил Петька. 8) Петька выпалил: «Слышали ваш разговор». 9) «А как ее звать?» - спрашивают ребята. 10) Ребята после этого вовсе на голубую змейку осердились: «Не будем о ней говорить!» 11) Девочка попросила: «Возьми меня завтра на рудник с собой». 12) Она и говорит: «Вот бы мне такой цветочек». 13) Девочка тогда и говорит: «Она тебя в снегу согреет и домой выведет». 14) «А как же зимой в лесу ночевать станешь?» - спрашивает Даренка.

(По сказам П. Бажова )

Предупредительные, объяснительные диктанты

I. 1) «Алеша, помоги мне поймать курицу!» - кричала кухарка. 2) Король отвечал: «Не думал я, что ты такой ленивец». 3) «Знаете ли вы урок ваш?» - спросил учитель. 4) Министр сказал сквозь слезы: «Алеша, я вас прощаю».

(А. Погорельский)

II. 1) «Повернись ко мне, избушка, передом», - говорит Иван. 2) Квакушка говорит царевичу: «Отправляйся один на пир, а я следом за тобой буду». 3) Царь прежде взял ковер у старшего царевича, посмотрел и молвил: «Этим ковром только от дождя лошадей накрывать».

(Из сказки «Царевна-лягушка» )

III. 1) «Хочешь, Пулька, я подарю тебе твой портрет?» - предложил Незнайка. 2) «Стыдно, малыши!» - воскликнула Синеглазка. 3) Гусля залез на сцену и закричал: «Ко мне, братцы!» 4) «Смотрите, братцы, кто-то бежит за нами!» - закричал Пончик. (Н. Носов)

Знаки препинания при диалоге

Объяснительный диктант

Воробей и Синица

Угадай, Синица, какое у людей самое страшное оружие?
- Ружье.
- Э-э, не угадала!
- Пушка?
- Опять не угадала!
- Какое же тогда, Воробей?
- Рогатка...

(Н. Сладков)

Повторение по теме «Синтаксис и пунктуация»

Схематические диктанты

I. 1) Рощицы молодых сосен толпятся на берегу, и все осиновые листья дружно блестят на солнце. 2) Дед рассказал, что черта он встретил на протоке у самого озера. 3) Мы боялись, что от первой спички лес вспыхнет. 4) Синицы висели вниз головами на ветках и заглядывали в окно из-под листьев клена. 5) Облака переваливаются через хребет и падают к морю.

(К. Паустовский)

II. 1) Сидела лягушка в болоте, ловила комаров да мошку, весною квакала вместе со своими подружками. 2) Однажды она сидела на сучке высунувшейся из воды коряги и наслаждалась теплым дождиком. 3) Утки сели в то самое болото, где жила лягушка. 4) Когда утки рассказали ей о юге, лягушка пришла в восторг. 5) «Это я придумала!» - закричала она.

(По В. Гаршину )

III. 1) Когда солнце село за горизонт, ветер утих. 2) Они направились туда, где горел костер. 3) Солнце теплое ходит высóко и душистого ландыша ждет. (А. Фет) 4) Свет упал на крыльцо и на круглую клумбу с яркими цветами. (В. Губарев) 5) Подъехала карета к крыльцу, и из нее вышла Василиса Премудрая. (Сказка)

IV. 1) Подкрался Иванушка к коню и разом накинул ему на шею веревку. (Сказка) 2) Пустил стрелу Иван-царевич, и полетела его стрела прямо в топкое болото. (Сказка) 3) Мы едва добрались до дороги, потому что снег налипал к полозьям лыж. 4) Когда ударили морозы, полынья замерзла. 5) Ребята добрались до того места, где река поворачивала на юг.

V. 1) Они долго шли по узкому коридору и наконец увидели впереди огонек. (В. Губарев) 2) Она открыла глаза и сейчас же зажмурилась от солнца. (В. Губарев) 3) Я понял, что Володя опоздает к приходу поезда. 4) Ребята присмирели, когда послышался шорох в кустах. 5) Они остались в деревне, потому что всю ночь лил дождь.

Предупредительные, объяснительные диктанты

I. 1) Февраль - месяц бескормицы для птиц. (Д. Зуев) 2) Дождя отшумевшего капли тихонько по листьям текли, тихонько шептались деревья, кукушка кричала вдали. (А. Толстой) 3) Мороз трещит, и воет вьюга, и хлопья снега друг на друга ложатся, и растет сугроб. (И. Никитин) 4) Зимою окна зачастую замерзали, но дети нагревали на печке медные монеты и прикладывали их к замерзшим стеклам. (Г. Андерсен) 5) Уж и есть за что, Русь могучая, полюбить тебя, назвать матерью. (И. Никитин) 6) Иногда деревья расступались и открывали солнечные полянки. 7) Солнце стоит неподвижно над головой и жжет траву. (И. Гончаров) 8) Дед понял, что начался лесной пожар. (К. Паустовский) 9) Когда дождь прошел, мы по тропе вышли из леса. 10) Я слушал, как шумят на болоте журавли. 11) Питаются бобры растительной пищей: водорослями, осокой, корой деревьев.

II. 1) Когда голубыми звездочками зацветал на полях лен, мы ходили ночами на дальнюю речку на рыбалку. 2) Вот от солнца остается серебристый ободок, и на лес спускается темнота. 3) Глухари - древнейшие птицы на земле. 4) Я видел, как по полю движутся огоньки фонарей. 5) Шумно вылетает из куста птица и летит между стволами деревьев. 6) Тетеревята разбегаются и прячутся в высокой траве. 7) Десятки узеньких тропок разбегаются от муравьиного города, и потоком деловито бегут по ним муравьи. 8) Питаются бобры корою деревьев: ив, осин, берез. 9) Когда заяц подбежал совсем близко, я крикнул: «Улепетывай, косой, скорее!» 10) По заповеднику бродили звери: медведи, олени, белые куропатки. 11) Уже взошло солнце, стояла беззвучная тишина. 12) Над кувшинками летали стрекозы, в небе кружили ласточки. 13) Днем еж забирался в старый сапог, а ночью выходил на добычу. 14) Прошуршит под ногами мышь, провоют на болоте голодные волки. 15) Еще спят в своих теплых берлогах звери: медведи, барсуки. 16) Апрель - самый шумный месяц вешней воды.

(По И. Соколову-Микитову )

III. День давно погас, и вечер тихо таял и переливался в ночь. Солнце садилось, широкими багровыми полосами разбегались его последние лучи.
Деревья сливались в большие чернеющие массы, а на синем небе робко выступили первые звездочки.

(По И. Тургеневу )

IV. Гроза надвигалась. Впереди огромная лиловая туча медленно поднималась из-за леса, а надо мной и мне навстречу неслись серые облака. Ракиты тревожно шевелились и трепетали. Душный жар внезапно сменился влажным холодом, тени быстро густели. Крупные капли дождя резко застучали, зашлепали по листьям, сверкнула молния, и разразилась гроза.

(По И. Тургеневу )

V. Черное озеро названо так по цвету воды. Этот цвет особенно хорош осенью, когда на черную воду слетают желтые и красные листья берез и осин. Они устилают воду так густо, что челн шуршит по листве и оставляет за собой блестящую черную дорогу.

(По К. Паустовскому )

Контрольные диктанты

(По Г. Скребицкому )

Последняя улыбка солнца млеет и гаснет на нежной зелени березки. Распускаются ее клейкие листочки. Раз в году бывает такой свежий аромат.

(По Д. Зуеву )

Мы долго бродили по лесу. День кончался, и приближались сумерки. Далекое солнце уходило за горизонт и бросало на землю свои последние лучи. Лесные поляны наливались густой темнотой, и она ползла от земли к верхушкам деревьев: елей, сосен.

Однокоренные слова и формы
одного и того же слова.
Окончание, корень слова

Словарные диктанты

I. Записать, выделить корень в словах.

1) Объяснить; далекий; объединение; насладиться; потрясти; подарить; приближаться; прошептать; посветить (фонарем); увлекаться.
2) Задрожать от холода; раздаваться в тишине; удивительное явление; слепит глаза; появляться в небе; скрипучий пол; трепетать от страха; выползать из норы; растрепались косы; разделить на части.

II. Выделить корни в глаголах; подчеркнуть слова с нулевым окончанием.

Трещит по швам; ухватиться за веревку; посвятить рассказ; подарить альбом; спишите пример; не обижай малыша; накормить брата; шелестят листья; поласкать сестренку; отварить грибы; посидеть на крыльце; примерять одежду; умолять о помощи.

III. Выделить в словах ту морфему, которая указывает на грамматические признаки существительных, прилагательных, глаголов.

Написать; увидишь; беленького; охотнику; лебедушкой; желтоватым; построила; камыш; шепчет.

IV. Записать, подчеркнуть разные формы одного и того же слова.

Светелка; просвещение; посветить (свечой); просветление; светить; осветить; в светелке.
Посвятить (стихотворение); посвящение; святой; посвятил (произведение); святые (места).

Выборочные диктанты

I. Распределить слова в два столбика в зависимости от того, как можно сказать о слове: 1) оканчивается на а; 2) имеет окончание а.

1) Справа; природа красива; долина; у горизонта; проявляла; откуда.

II. Записать слова, распределив их по столбикам:

1) проверяемые гласные в корнях; 2) непроверяемые гласные в корнях; 3) чередующиеся гласные в корнях.

Передавать; удивляться; портфель; зарастать; потрясти; вырастут; изложить; появляться; предложить; прилагательное; угощать; директор; кашне.

III. Выписать слова с чередующейся гласной в корне.

Изложить; предполагать; ложка; возраст; лагерь; тире; располагаться; обрастать; растаять; ложбина; ложный; раствор; растеря; растопка; росистый; роскошный; отрасль.

IV. Прослушать отрывок из повести К. Сергиенко «Дни поздней осени». Выписать в два столбика однокоренные слова и разные формы одного и того же слова.

Эта неделя серебряная. Смотри, даже на яблоках серебристый свет. Лунный свет особенно серебряный, и звезды сделаны из серебра. Если ты выйдешь ночью и скажешь что-нибудь в глубину сада, отзвук будет мерцающий, серебристый. В голосе твоем серебро, особенно когда смеешься. На эту неделю тебе подошли бы серебряные туфельки и платье серебряного перламутра...

Предупредительные, объяснительные диктанты

I. Указать слова без окончания и с нулевым окончанием.

Звездное небо стыло над черной тайгой. Деревья казались неподвижными, и от этого особенно грозно звучал их глухой шум. Ледяная луна висела над головой. Ее свет был чист и далек и словно не достигал земли.

(По Э. Шиму )

II. Подобрать к 2-3 существительным однокоренные слова и разные формы одного и того же слова. Разобрать по составу любой глагол с приставкой.

Ребята вышли за деревню, рассыпались по краю дороги. Они ищут грибы по склонам канавы, под старыми одинокими березками, где ломается и крошится под ногами растущий мох.

(По Э. Шиму )

III. Указать однокоренные слова и разные формы одного слова.

Гриб без дерева и дерево без грибов не живет. Грибы можно сажать в садах и парках. Белые и черные грибы надо сажать под березами, дубами, елями и соснами, рыжики - под елками и возле сосен.

(По Д. Зуеву )

IV. Найти однокоренные слова и разные формы одного слова. Указать прилагательные, строение которых соответствует схемам:

. Выделить в первом абзаце окончания в словах, относящихся к самостоятельным частям речи.

В сыроватых лесах гнездятся серые подберезовики. У них мягкие, восковые шляпки на высоких и тонких ножках, фиолетово-коричневая мякоть на изломе.

(Д. Зуев)

V. Указать однокоренные слова и разные формы слова. Разобрать по составу глаголы с приставками. Найти два слова с нулевым окончанием.

Холодина! Слипаются ресницы, ноздри. Снег визжит под ногами. Речушка замерзла, но на самой быстрине под полыньей пар - речка дышит. От ее холодного дыхания вырастают на закраинах льда белые венчики цветов.
Дыхание зимы родит чудесные цветы. Только ледяные цветы холодны и мертвы.

(По Н. Сладкову )

Правописание гласных и согласных в приставках

Словарный диктант

Выделить приставки в глаголах.

Умолять о помощи; поласкать сестренку; осветить фонарем; спиши упражнение; развевается на ветру; прошептать; заболеть; проредить посевы; прилетают скворцы; выдержать натиск; спилить дерево; отдавать долг; предчувствовать опасность; подсластить чай; обставлять мебелью; уточнить расписание; расписать стены; надписать книгу.

Выборочные диктанты

I. Выписать слова с приставками, выделить их.

Подумать; полоса; ураган; удивляться; узнать; полено; удаться; удалой; поросенок; доверять; доброта; домашний; договорить; разнобой; работа; роспись; радость; обои; описать; роскошный; наслаждение; извещать; сокращать; угощать; увлекать.

II. Выписать слова с приставкой по-.

Портфель; подбородок; подосиновик; побродить; потолок; потолковать; пояснить; поэма; полевой; появляются; повыше; почта; поземка; потрясти.

III. Выписать слова с приставкой ис-.

Искать; история; исказить; истолковать; истребитель; иссушить; Исландия; испугаться; искра; истина.

IV. Выписать слова с приставкой с-.

Сметана; смешной; смолкает; смеркаться; сдуть; сказочный; смахнуть; сжечь; смелый; сладость; скворушка; спорить; спросить; сквозняк.

V. Выписать слова с приставкой подо-.

Подошва; пододеяльник; подоить; подорожная; подоконник; подосиновик.

VI. Распределить слова по группам:

Спрос; сблизиться; станция; стоять; вспыхнуть; сдуть; стереть; воскликнуть; всхлипнуть; восполнить; воспевать; сгореть.

VII. Выписать глаголы с приставками.

Наступил долгожданный день. Ребята отправились в лес. Подошли к речке и переправились на лодке на другую сторону.
Вот и лес. На опушке растут густые ели и молодая березка. Лучи солнца освещают верхушки деревьев. На сосне возится дятел. На березе много майских жуков. Они объедают молодые клейкие листочки. С юга вереницей потянулись вестники весны. Под деревьями уже показалась зеленая травка.

VIII. Выписать в два столбика глаголы с приставками: 1) изменяемыми; 2) неизменяемыми.

Я пришел к тебе с приветом,
Рассказать, что солнце встало,
Что оно горячим светом
По листам затрепетало;
Рассказать, что лес проснулся,
Весь проснулся, веткой каждой,
Каждой птицей встрепенулся
И весенней полон жажды...
(А. Фет)

Предупредительные диктанты

I. Выделить приставки в словах. Найти прилагательное, строение которого соответствует схеме: .

Мы прошли по двум перелескам, обогнули клеверное поле и вступили в сосновый бор. Прохладная тишина и сумрак поглотили нас. Только впереди сияли косые столбы солнечного света.

(По Э. Шиму )

II. Выделить приставки в глаголах. Найти прилагательное, строение которого соответствует схеме: .

Ребятишки вдруг закричали разом и побежали. Они что-то увидели впереди. Я тоже прибавил шагу. Высветлилось за темными стволами, забелело. Сосновый бор неожиданно кончился, будто его отрезали. И впереди открылось озеро.

(По Э. Шиму )

III. Назвать глаголы, указывающие усиление действия. Выделить в них приставки.

Снег растаял. В низинах скопилась вода и переливалась ручьями по склонам, качала желтые метелки прошлогодней травы, уносила щепки.

(По Э. Шиму )

IV. Указать общие для всех глаголов предложения морфологические признаки. Какая морфема указывает на это? Определить значение приставок в первых четырех глаголах.

Сильный ветер загудел в вышине, деревья забушевали, крупные капли дождя застучали, зашлепали по листьям, сверкнула молния, и гроза разразилась.

Буквы з и с на конце приставок

Словарные диктанты

I. Сумерки сгущаются; бесследно исчезнуть в темноте; бесснежная зима; громко рассмеяться; здание школы; сжал руку; сделал правильно; здешний климат; сбил огонь; красивая роспись; расписаться в журнале; бесчисленные вопросы; хмурый рассвет.

II. Беззвездная ночь; расцеловать бабушку; расцвел под окном; рассмотреть пейзаж; бессвязный рассказ; бессердечный человек; расспросить отца; расследовать до конца; точно рассчитать; точный расчет; бесспорный ответ.

Выборочный диктант

Распределить слова в два столбика: 1) з на конце приставки; 2) с на конце приставки. Подчеркнуть в словах первую букву корня.

Рассыпать; вздрогнуть; растолочь; сгибать; бесценный; беззвучный; сбросил; россказни; безжалостный; сжег; бестолковый; расспросить; бесцельный; распилить; расчирикался; сдуть; издалека; бесшумный; вспахать; сдвинуть; бесполезный.

Предупредительный диктант

1) Много поразительных открытий сделали ученые на древней египетской земле. 2) Раскопки вскрыли остатки каменной кладки. 3) Ученый рассчитывал найти остатки пирамиды. 4) Трудно было разгадать тайну пирамиды. 5) Известняковую скалу расчищали от песка и вырубали в ней отверстия. 6) Из небольших отверстий сверху свет ниспадал на мраморный пол храма. 7) Надписи пирамид восхваляли фараонов. 8) Здесь можно увидеть сцены жизни простых людей. 9) До наших дней на каменных страницах стен сохранились рассказы о жизни египтян. 10) Тяжелые стволы колонн сбросили на землю. 11) Здание было разрушено. 12) Для строительства нужно было сделать точные расчеты. 13) Ученые обнаружили бесчисленные мраморные обломки. 14) Во время землетрясения статуя сдвинулась с места и верхняя ее часть рухнула на землю. 15) Работы не прекращались.

(Из книги А. Нейхардт, И. Шишовой «Семь чудес света» )

Буквы а - о в корнях

Словарные диктанты

I. Графически объяснить выбор гласной в корнях с чередованием а - о .

1) Излагать содержание; хорошо изложить; знать признаки прилагательных; написать изложение; слагаемые числа; расположиться на ночлег; располагать свободным временем.
2) Роскошные растения; гул нарастает; зáросли кустов; молодой росток; заросло травой; выросли цветы; зеленые водоросли; сращение костей; город Ростов.
3) Предположения не осуществились; капельки росы; тропа зарастает; растительное масло; возлагать обязанности; изменить положение; слагать стихи; лепестки растений; желуди проросли; сберечь растения; просека зарастает; отрастить волосы; проложить лыжню; наложить шов; предлагать помощь.

II. Подчеркнуть слова с чередующейся гласной в корне.

Растение; подрастает; растяпа; растворить; роскошный; растаять; раствор; вырос; оросил.

III. Подчеркнуть те словосочетания, в которых есть слова с чередующейся гласной в корне.

Простое предложение; поросло травой; горная растительность; увядать без воды; сотрясать воздух; возлагать надежды; развеваться на ветру; расположиться у костра.

Выборочные диктанты

Распределить слова в два столбика, объяснив графически выбор гласной а - о в корне.

1) Предлагать; расположиться; излагать; изложение; слагаемое; положение; предложить; возлагать; приложить.

Предупредительные, объяснительные диктанты

I. 1) Ложился на поля туман. (А. Пушкин) 2) Из-за ветров горные деревья часто вырастают однобокими. 3) Цветы росли прямо у кустов. 4) Плотной стеной темнели заросли камыша. 5) Щенок успел вырасти в толкового пса. 6) В доме еще не ложились спать. 7) Утки зябли в зарослях и крякали всю ночь. (К. Паустовский) 8) Я добрался до пихтовой заросли и расположился на крохотной полянке. (В. Бурлак) 9) Снежные хлопья все росли и обратились в огромных белых кур. (Г. Андерсен) 10) В густой тени елового леса растут лишь немногие растения. (И. Соколов-Микитов) 11) Вдоль стен располагались шкафы с книгами. 12) Мы предполагали выехать утром. 13) Густые кусты разрослись по склонам оврага. 14) Кратко изложи содержание параграфа. 15) Дом располагался на краю поселка. 16) Песня росла, разливалась. (И. Тургенев) 17) Волны выбросили на берег много водорослей. 18) Из семечка липы вырастает могучее дерево.

II. Выписать из текста слова, строение которых соответствует схемам:

Прилагательное,
- глагол,
- существительное.

Приближались сумерки, но мы продолжали бродить по лесу. Казалось, лесные поляны наливались густой темнотой. Она ползла откуда-то из земли, ложилась у наших ног, на растения. Птицы постепенно замолкали. Скоро стало трудно различать очертания веток. След знакомой тропинки стал пропадать, но сквозь густые заросли кустов еще виднелись лучи солнца.

(По К. Паустовскому )

III. Мы проезжали по живописным местам. Вдруг горы словно раздвинулись. Солнце воспользовалось этим и ярко осветило ущелье, которое растянулось до самого горизонта. В этом месте через ущелье перекинулся мост. С правой стороны от моста слышалось беспрерывное журчание ручья, который внезапно исчезал в зарослях кустов. С левой стороны горы были покрыты густой растительностью. Мы предполагали здесь сделать остановку.

IV. Найти (по одному примеру) слова, строение которых соответствует схемам:

- существительное,
- глагол,
- прилагательное.

Одинаков ли морфемный состав слов розового и белого ? Доказать. Подобрать синонимы к словам тосковала, поразительное.

Одно из семи чудес света

По приказу царя Вавилона в честь его жены воздвигли висячие сады. Это поразительное сооружение. Сады располагались на широкой четырехъярусной башне. Ярусы поднимались уступами и были выложены плитами розового и белого цвета.

(Из книги А. Нейхардт, И. Шишовой «Семь чудес света» )

Буквы е - о после шипящих в корне.

196 Глава 9. Линейные пространства

где не все k i , 1i r + 1, равны нулю. Если быk r +1 = 0, то нетривиальная линейная комбинацияk 1 α 1 +. . . +k r α r = 0, равная

нулю, означала бы, что система α 1 , . . . , α r линейно зависима, что противоречит предположению.

Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства K V в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов).Пусть {α 1 , . . . , α r } - линейно независимая система элементов линейного пространства K V и

β = k1 α1 + . . .+ kr αr = k1 α1 + . . .+ kr αr , ki , ki K.

Тогда k1 = k1 ,. . . , kr = kr .

Доказательство. Действительно,

(k1 − k1 ) α1 + . . .+ (kr − kr ) αr = 0 ,

и поэтому k 1 − k 1 = 0,. . . ,k r − k r = 0.

9.3. Максимальные линейно независимые подсистемы систем элементов линейных пространств, базис линейного пространства

Пусть S K V . Наиболее важные для нас случаи: а)S - конечное подмножество элементов вK V ;

б) S =K V .

Подсистема v1 , . . . , vr SK Vназывается максимальной линейно независимой подсистемойв S, если:

1) v 1 , . . . , v r - линейно независимая система;

2) v 1 , . . . , v r , v - линейно зависимая система для всякогоv S , или, что эквивалентно,

2) любой элемент v S является линейной комбинацией элементовv 1 , . . . , v r .

Максимальная линейно независимая подсистема v 1 , . . . , v r вS =K V (если вK V существует такаяконечная система) называетсябазисом линейного пространстваK V . Линейное пространствоK V с конечным базисомv 1 , . . . , v r называетсяконечномерным линейным пространством (при этом будет показано, что любой другой базис линейного пространства содержит то же самое число элементов).

Пример 9.3.1. Как мы уже видели, система строк

ε1 = (1 ,0 , . . . ,0) , ε2 = (0 ,1 , . . . ,0) ,

εn = (0 ,0 , . . . ,1)

является базисом линейного пространства строк K n .

Лемма 9.3.2. Любую линейно независимую подсистему v1 , . . . , vr в S Kn можно дополнить до максимальной линейно независимой подсистемы в S Kn .

Доказательство. Если v1 , . . . , vr - максимальная линейно независимая подсистема в S Kn , то все доказано. Если нет, то най-

дётся элемент v S такой, чтоv 1 , v 2 , . . . , v r , v =v r +1 - линейно независимая подсистема вS . После конечного числа шагов процесс

остановится, так как любые системы из n + 1 элементов в линейном пространствеK n оказываются линейно зависимыми.

Следствие 9.3.3. Любой ненулевой элемент0 = v S Kn дополняем до максимальной линейно независимой подсистемы в S.

Следствие 9.3.4. В S= R n (или S= Kn для бесконечного поля K) бесконечно много различных базисов. Если поле K конечно, |K|= q(например, K= Z 2 ) , то число элементов в Kn равно qn , и поэтому число базисов в Kn конечно. Найдите их число.

Замечание 9.3.5. Пусть строкиa 1 , . . . , a s K n линейно независимы,s < n . Тогда существуют такие строкиa s +1 , . . . , a n K n ,

что {a 1 , . . . , a n } - базис линейного пространстваK n . Практическое нахождение строкa s +1 , . . . , a n можно осуществить следующим образом. Запишем строкиa 1 , . . . , a s по столбцам и приведём полученную матрицу к ступенчатому виду:ϕ (a 1 , . . . , a s ) =A ступ , где

(a 1 , . . . , a s ), A ступ Mn,s (K ),ϕ - последовательность элементарных преобразований строк. Так как строкиa 1 , . . . , a s линейно независи-

мы, то в A ступ имеется ровноs ненулевых строк (первыеs строк).

а остальные элементы равны 0, i =s + 1, . . . , n . Припишем эти столбцы справа к матрицеA ступ . ПустьB Mn (K ) - полученная матрица. Применяя к матрицеB последовательность элементарных преобразо-

ваний строк, обратную к, приходим к матрице ˜ . При этом˜ -

ϕ B (B)

матрица, в которой первые s строк - этоa 1 , . . . , a s , а последующие строки дополняют их до базиса линейного пространстваK n .

9.4. Замечание о линейной выражаемости конечных систем элементов в линейном пространстве

Пусть K V - линейное пространство,S 1 K V ,S 2 K V . Будем говорить, что системаS 2 элементовu 1 , . . . , u s линейно выражается через системуS 1 элементовv 1 , . . . , v r , если каждый элементu i S 2 , 1i s , является линейной комбинацией элементовv 1 , . . . , v r системыS 1 ,

u i= m ijv j, m ijK.

Если к тому же система S 3 элементовw 1 , . . . , w t линейно выражается через системуS 2 ,

т. е. система S 3 линейно выражается через системуS 1 .

Системы S 1 иS 2 называютсяэквивалентными , если они линейно выражаются друг через друга (обозначение:S 1 S 2 ).

Следствие 9.4.1. Отношение «быть эквивалентными системами», S1 S2 , является отношением эквивалентности.

Следствие 9.4.2. Если элемент vK V является линейной комбинацией элементов v1 , . . . , vr системы S1 , S1 S2 , где S2 - система элементов u1 , . . . , us , то элемент v является линейной комбинацией элементов u1 , . . . , us системы S2 .

Следствие 9.4.3. Любая(конечная) система элементов SK V эквивалентна своей максимальной линейно независимой подсистеме.

Следствие 9.4.4. Любые две(конечные) максимально независимые подсистемы любой системы SK V эквивалентны.

Замечание 9.4.5. ЕслиA, B Mm,n (K ) и матрицаB получена из матрицыA конечным числом элементарных преобразований 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицыB является линейной комбинацией строк матрицыA (поскольку от матрицыB мы можем вернуться к матрицеA с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицыA является линейной комбинацией строк матрицыB ). Таким образом, в линейном пространстве строкK n системы строкA 1 , . . . , A m матрицыA иB 1 , . . . , B m матрицыB линейно выражаются друг через друга.

Теорема 9.4.6 (основная теорема о линейной зависимости).

Пусть в линейном пространстве K V линейно независимая система элементов v1 , . . . , vr линейно выражается через другую систему элементов u1 , . . . , us . Тогда r s.

Доказательство. Допустим противное: пустьr > s . В силу нашего предположения

v1 = a11 u1 + . . .+ a1 s us ,

vr = ar 1 u1 + . . .+ ars us , aij K.

200 Глава 9. Линейные пространства

Так как r > s , тоr строк

(a11 , . . . , a1 s ) ,

(ar 1 , . . . , ars )

в линейном пространстве строк K s линейно зависимы: найдётся их линейная комбинация с коэффициентамиk 1 , . . . , k r , гдеk i = 0 для некоторогоi , равная нулевой строке (0, . . . , 0)K s . Но тогда и линейная комбинация элементовv 1 , . . . , v r с этими же коэффициентами

k 1 , . . . , k r , равна нулю,k 1 v 1 +. . . +k r v r = 0. Таким образом, система элементовv 1 , . . . , v r линейно зависима, что приводит нас к противо-

Следствие 9.4.7. Две эквивалентные конечные линейно независимые системы в линейном пространствеK V содержат равное число элементов.

Следствие 9.4.8. Для системы SK V , гдеK V - конечномерное линейное пространство, любые две(конечные) максимальные линейно независимые подсистемы содержат одинаковое число элементовr(S) , называемоерангом системы S.

Следствие 9.4.9. Если S= K V иK V - конечномерное линейное пространство, то любые два базиса вK V состоят из одного и того же числа элементов n, это число n называется размерностью линейного пространстваK V , обозначение: dim K V= n.

Как мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространстве строк K K n является система строк

ε1 = (1 ,0 , . . . ,0) ,

εn = (0 ,0 , . . . ,1) ,

и поэтому dim K K n =n .

Следствие 9.4.10. Если в конечномерном линейном пространствеK V одна система элементов S1 линейно выражается через другую систему S2 , тоr(S1 ) r(S2 ) .

Следствие 9.4.11. Если в линейном пространствеK V система M из m элементов имеет ранг r, то любая её подсистема S из s элементов(s m) имеет ранг не меньше чем r+ s − m.

Доказательство. Действительно, еслиR - максимальная линейно независимая подсистема вM ,|R| =r , тоR \ (R ∩S )M \S , и поэтому|R \ (R ∩ S )| m − s . Следовательно,|R ∩ S| r − (m − s ) =

R+ s − m.

Следствие 9.4.12. Для системы строк v1 , . . . , vr Kn следующие условия эквивалентны:

1) система строк v 1 , . . . , vr является базисом линейного пространства строк Kn (т. е. максимальной линейно независимой подсистемой строк в Kn ; и тогда r= n);

2) каждая строка v K n единственным образом представляется в виде линейной комбинации

v = λ1 v1 + . . .+ λr vr , λ1 , . . . , λr K

(и тогда r= n);

3) r = n и система строк v1 , . . . , vn линейно независима;

4) r = n и каждая строка v Kn представима в виде линейной комбинации

v = λ1 v1 + . . .+ λn vn , λ1 , . . . , λn K.

Доказательство. Мы уже показали, что 1) = 2). Покажем, что 2) = 1). Еслиv 1 , . . . , v r - линейно зависимая система строк,λ 1 v 1 +. . . +λ r v r = 0 с некоторымλ i = 0, то нулевая строка имеет два различных представления

0 = 0 · v1 + . . .+ 0 · vr = λ1 v1 + . . .+ λr vr , λi = 0 .

При этом r =n , так как любые базисы вK n содержатn элементов. Ясно, что 1) = 3). Покажем, что 3) = 1). Для любой строкиv K n система строкv 1 , . . . , v n , v линейно зависима (n + 1> n ). Так

202 Глава 9. Линейные пространства

как v 1 , . . . , v n - линейно независимая система, тоv =λ 1 v 1 +. . . +λ n v n для некоторыхλ 1 , . . . , λ n K .

Ясно, что 1) = 4). Покажем, что 4) = 1). Допустим, что v 1 , . . . , v n - линейно зависимая система. Тогда её максимально линейно независимая подсистемаv i 1 , . . . , v ir ,r < n , является максимальной линейно независимой подсистемой вK n , что противоречит

r = n.

9.5. Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Теорема 9.5.1. Пусть A, B, CM m,n (K) , B и C - ступенчатые матрицы, полученные из ненулевой матрицы A конечным числом элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов. Тогда:

1) системы строк {B 1 , . . . , Bm } матрицы B и {C1 , . . . , Cm } матрицы C в линейном пространстве строк Kn линейно выражаются друг через друга(другими словами, линейные оболоч-

ки строк матриц A, B и C в Kn совпадают: A1 , . . . , Am = = B1 , . . . , Bm = C1 , . . . , Cm , см. с.107);

2) числа r1 и r2 ненулевых строк в ступенчатых матрицах B и C соответственно совпадают(при этом r= r1 = r2 = = dim K A1 , . . . , Am ; другие интерпретации числа r= r(A) будут даны в теореме9.16.1 о ранге матрицы);

3) лидеры строк ступенчатых матриц B и C располагаются в одних и тех же столбцах ;

4) если B и C - главные ступенчатые виды ненулевой матрицы

A M m,n (K) , то B= C.

Доказательство.

1) В силу замечания 9.4.5, в линейном пространстве строк K n

системы строк {A1 , . . . , Am }матрицы Aи {B1 , . . . , Bm }матрицы Bлинейно выражаются друг через друга. Аналогично, системы строк

{A1 , . . . , Am }матрицы Aи {C1 , . . . , Cm }матрицы Cтакже линейно выражаются друг через друга. Принимая во внимание транзитив-

ность линейной выражаемости систем строк (см. следствие 9.4.2), по-

лучаем, что системы строк {B 1 , . . . , B m } матрицыB и{C 1 , . . . , C m } матрицыC линейно выражаются друг через друга. Следовательно,

A1 , . . . , Am = B1 , . . . , Bm = C1 , . . . , Cm .

2) Так как ненулевые строки ступенчатой матрицы образуют максимально независимую подсистему строк, то из 1) следует, что r 1 =r 2 (см. следствие 9.4.10), при этом

r = r1 = r2 = dim B1 , . . . , Bm =

Dim C1 , . . . , Cm = dim A1 , . . . , Am .

3) Пусть лидеры r ненулевых строкB 1 , B 2 , . . . , B r ступенчатой матрицыB расположены в столбцах с номерамиk 1 , k 2 , . . . , k r ,

k1 < k2 < . . . < kr , а лидеры rненулевых строк C1 , C2 , . . . , Cr ступенчатой матрицы Cрасположены в столбцах с номерами l1 , l2 , . . . , lr ,

l1 < l2 < . . . < lr . Так как системы строк {B1 , B2 , . . . , Br }, {C1 , C2 , . . . , Cr }линейно выражаются друг через друга, то, в си-

{B 2 , . . . , B r } и{C 2 , . . . , C r } , которые линейно выражаются друг через друга, получаем, чтоk 2 =l 2 .

Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что k 3 =l 3 , . . . ,

k r= l r.

4) В 2) и 3) доказано, что число ненулевых строк r и номера

столбцов l 1 , . . . , l r , 1l 1 < l 2 < . . . < l r n , в которых находятся главные неизвестные главных ступенчатых видовB иC , определе-

ны однозначно. Таким образом, разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами B иC , совпадают. Поскольку главные неизвестные однозначно выражаются через свободные (в эквивалентных однородных системах линейных уравнений с главными ступенчатыми матрицамиB иC ), при этом главный ступенчатый вид определяется этим выражением однозначно (см. замечание 3.6.9), тоB =C .

Замечание 9.5.2 (матричное доказательство п. 4 теоремы о единственности главного ступенчатого вида). Для A M m,n (K )

существуют такие обратимые матрицы F, G Mm (K ) (произведения матриц, соответствующих элементарным преобразованиям строк), что

A = F · B= G · C.

Следовательно,

Используя определение главного ступенчатого вида и переставляя столбцы матриц B иC , имеем:

где Q Mn (K ) (матрицаQ - обратимая матрица, соответствующая последовательности элементарных преобразований столбцов; мы уже доказали в п. 2 и 3, что числаr и столбцыj 1 , . . . , j r , в которых стоят лидеры строк, одинаковы для ступенчатых матрицB иC , соответственно; нулевые блоки могут отсутствовать (еслиk =r =m )). Следовательно, матрицаD имеет следующий блочный вид:

где матрица ˜ Mm,m−r (K ) (еслиr < m ) состоит из произвольных элементов поляK . Поэтому, умножаяD на

и приравнивая к

получаем, что = Mm−r,n−r (K ). Умножая (9.1) справа наQ − 1 , получаемB =C .

9.6. Изоморфизм линейных пространств

Пусть K U ,K V - линейные пространства над полемK . Биективное отображение

f : K U →K V,

для которого

f (u 1 +u 2 ) =f (u 1 ) +f (u 2 ),

f (ku) = kf(u)

для всех u 1 , u 2 , u K U ,k K , называетсяизоморфизмом линейных пространствK U иK V (в этом случае будем говорить, что линейные

пространства K U иK V изоморфны , обозначение:K U K V ).

Упражнение 9.6.1. ОтношениеU V является отношением

K = K

{f (e1 ) , . . . , f(en ) } - базис вK V , и поэтомуdim K V= n= dim K U .

Доказательство.

1) Если v K V , тоf (u ) =v для некоторогоu K U . Пустьu =k 1 e 1 +. . . +k n e n , гдеk 1 , . . . , k n K . Тогда

v = f(u) = k1 f(e1 ) + . . .+ kn f(en ) .

2) Пусть k 1 f (e 1 ) +. . . +k n f (e n ) = 0 дляk 1 , . . . , k n K . Тогда

0 = k1 f(e1 ) + . . .+ kn f(en ) = f(k1 e1 + . . .+ kn en ) ,

и поэтому

k1 e1 + . . .+ kn en = 0 ,

следовательно, k 1 =k 2 =. . . =k n = 0.

Итак, в силу 1) и 2), {f (e 1 ), . . . , f (e n )} - базис линейного пространстваK V .

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица B , полученная из исходной матрицы A конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной . Это обозначается A\sim B .

Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.

Покажем, как при помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4). Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены единичные элементы матрицы, символом * - обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточно использовать только элементарные преобразования строк матрицы .

\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\ \mathsf{Ris.~1.4}\end{gathered}

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы

A=\begin{pmatrix}3&9\\2&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}2&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.

Решение. В первом столбце матрицы A выбираем ведущий элемент a_{11}=3\ne0 . Делим все элементы первой строки на a_{11}=3 (или, что то же 1 1. самое, умножаем на \tfrac{1}{a_{11}}=\tfrac{1}{3} ):

A=\begin{pmatrix}\boxed{3}&9\\2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\!.

\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&-2\end{pmatrix}\!.

Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида

\begin{pmatrix}1&3\\0&\boxed{-2}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\!.

В первом столбце матрицы B выбираем ведущий элемент b_{21}=2\ne0 . Меняем местами строки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки на ведущий элемент 2:

B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\boxed{2}&4&6\\0&2&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&2&3\end{pmatrix}\!.

Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент - число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:

B\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&\boxed{2}&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1,\!5\end{pmatrix}\!.

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.

В первом столбце матрицы C выбираем ведущий элемент c_{11}=2\ne0 . Первая строка - ведущая. Делим ее элементы на c_{11}=2 . Получаем

C= \begin{pmatrix}\boxed{2}&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.

C\sim \begin{pmatrix}\boxed{1}&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\0&-5\end{pmatrix}\!.

Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:

C\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&\boxed{-1}\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\!.

Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид - ступенчатый.

Замечания 1.8.

1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.

2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу

A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&3&2\\0&2&2&1&2&1\\0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}

Решение. Первый столбец матрицы A - нулевой. Исключаем его из рассмотрения и исследуем оставшуюся часть (последние 5 столбцов):

A=\begin{pmatrix}0\!&\vline\!\!&1&1&1&1&1\\0\!\!&\vline\!\!&1&1&2&3&2\\0\!\!&\vline\!\!&2&2&1&2&1\\0\!\!&\vline\!\!&4&4&4&6&4\end{pmatrix}

Берем в качестве ведущего элемент a_{12}=1 . Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на (-1); к третьей строке - первую, умноженную на (-2); к четвертой строке - первую, умноженную на (-4). Тем самым "обнуляются" все элементы второго столбца, расположенные ниже ведущего элемента:

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

Полученная матрица не имеет ступенчатого вида, так как одна из ступенек имеет высоту в три строки. Продолжаем преобразования. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку первый столбец в оставшейся части матрицы нулевой, исключаем его. Теперь оставшаяся часть матрицы - это матрица (размеров 3\times3 ), образованная элементами, расположенными в последних трех строках и трех столбцах полученной матрицы. В качестве ведущего элемента выбираем a_{24}=1 . К третьей строке прибавляем вторую. Получаем матрицу

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент a_{35}=2 в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).

Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).

\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\ \mathsf{Ris.~1.5}\end{gathered}

Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * - обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.

Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу

A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):

A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).

\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}_{m\times n}=\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\!.\\ \mathsf{Ris.~~1.6}\end{gathered}

Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка r~(0\leqslant r\leqslant\min\{m,n\}) , а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица уже имеет простейший вид (при r=0 ).

Пример 1.32. Привести матрицу A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&4&5\end{pmatrix} к простейшему виду.

Решение. В качестве ведущего элемента возьмем a_{11}=1 . Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2):

A\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.

A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.

A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\!.

Таким образом, исходная матрица A при помощи элементарных преобразований приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).

Свойства элементарных преобразований матриц

Подчеркнем следующие свойства элементарных преобразований матриц .

Теорема 1.1 о приведении матрицы к ступенчатому виду . Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.

Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.

Замечания 1.11

1. Преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными . В самом деле, если в матрице поменяли местами два столбца (преобразование I типа), то исходную матрицу можно получить, еще раз поменяв местами эти столбцы. Если столбец матрицы умножили на число \lambda\ne0 (преобразование II типа), то для получения исходной матрицы надо этот столбец умножить на обратное число \tfrac{1}{\lambda}\ne0 . Если к i-му столбцу матрицы прибавили j-й столбец, умноженный на число \lambda , то для получения исходной матрицы достаточно к i-му столбцу матрицы прибавить j-й столбец, умноженный на противоположное число (-\lambda ).

2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.

3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.

Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса-Жордана . Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ее ступенчатый вид.