Виды письменной нумерации системы счисления кратко. II

Целью всякой нумерации является изображение любого натурального числа с помощью небольшого количества индивидуальных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака - 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда записывалось бы повторением символа единицы столько раз, сколько в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание - к вычеркиванию (вытиранию) их. Идея, которая лежит в основе такой системы, проста, однако эта система очень неудобна. Для записи больших чисел она практически непригодна, и ею пользуются только народы, счет которых не выходит за пределы одного-двух десятков.

С развитием человеческого общества увеличиваются знания людей и все значительнее становится потребность в счете и записи результатов счета довольно больших множеств, в измерении больших величин.

У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр; каждую вещь, каждое действие изображали рисунком. Это были реальные рисунки, которые отображали то или другое количество. Постепенно они упрощались, становились все более удобными для записи. Речь идет о записи чисел иероглифами. Иероглифы древних египтян свидетельствуют о том, что искусство счета было развито у них достаточно высоко, с помощью иероглифов изображались большие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи, которая позволяла бы обозначать числа специальными, более удобными знаками (цифрами). Происхождение цифр у каждого народа различное.

Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н. э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мягкой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки размещались и горизонтально и вертикально, в зависимости от их значения. Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные - так называемые «десятки» - единицы второго разряда.

Тема: Изучение нумерации чисел.

План :

1. Цель и образовательные задачи изучения нумерации.

2. Последовательность изучения нумерации целых неотрицательных чисел.

3. Методика изучения нумерации.

Основные теоретические положения данного раздела.

В начальном курсе математики под нумерацией понимают совокупность приемов обозначения и наименования натуральных чисел .

Различают устную и письменную нумерацию.

Устная нумерация – совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих слов составлять названия для многих чисел. В ходе изучения устной нумерации необходимо раскрыть правила счета, чтения, образования чисел; знать цифры от 0 до 9, слова – числительные – сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард.

Правила образования названий и чтения чисел.

1. Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность – при чтении сначала называется нижний разряд, затем остальные. (один – на – дцать; две – на – дцать).

2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности; чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.

3. При образовании и чтении многозначных чисел соблюдается принцип чтения по классам.

Письменная нумерация – это совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих знаков обозначать любые числа. В ходе изучения письменной нумерации вводится понятие «цифры». Проводится целенаправленная систематическая работа по различению понятий «число» и «цифра». Вводятся знаки (цифры) для обозначения первых девяти чисел. Запись всех остальных чисел выполняется с использованием тех же десяти цифр (от 0 до 9), но с помощью двух или более цифр, значение которых зависит от места, которое занимает цифра в записи числа (т. е. поместное значение цифры или позиционный принцип записи чисел).

Устная и письменная нумерация чисел опирается на знание десятичной системы счисления.

Основные понятия десятичной системы счисления:

1. Счетная единица - то, что берем за основу счета. Каждая следующая счетная единица больше предшествующей в 10 раз (один десяток в 10 раз больше одной единицы; одна сотня в 10 раз больше одного десятка и т.д.).

2. Разряд – место цифры в записи числа.

3. Единицы I, II, III разряда и т. д.- единицы, стоящие на первом (единицы), втором (десятки), третьем (сотни) месте в записи числа, считая справа налево.

4. Разрядное число – число, состоящее из единиц одного разряда, например: 10,20,30,40,50,60… – числа, состоящие только из десятков (круглые десятки); 100, 200, 300, …- числа, состоящие только из сотен (круглые сотни); 1000, 2000, 3000 - числа, состоящие только из единиц тысяч (круглые единицы тысяч) и т.п.

5. Неразрядное число – число, состоящее из единиц разных разрядов, например, числа, состоящие из десятков и единиц (11,22,35,47,89); числа, состоящие из сотен и единиц (208, 406); состоящие из сотен и десятков (240, 560); состоящие из сотен, десятков и единиц (346, 683) и т.п.

6. Полные числа – числа, в которых имеются единицы всех разрядов, например, полное трехзначное число 134, четырехзначное 5674

7. Неполные числа – числа, в которых отсутствуют единицы того или иного разряда (в этом случае на их месте пишется нуль), например: неполные трехзначные числа 560, 404, неполные четырехзначные числа 1002, 1020, 1200, 1220 и т.п.

8. Класс – объединение по определенным признакам единиц трех разрядов. Каждая единица следующего класса больше предшествующей в тысячу раз. (Так, 1 единица класса единиц меньше в 1000 раз 1 единицы класса тысяч и т. д.)

В математике системой счисления называют набор знаков, правил операций и порядка записи этих знаков при образовании числа. Различают два типа систем счисления:

1. Непозиционная система, которая характеризуется тем, что каждому знаку независимо от формы записи числа приписывается одно вполне определенное значение (например, римская нумерация).

2. Позиционная система (например, десятичная система счисления), которая характеризуется следующими свойствами:

Каждая цифра принимает различные значения в зависимости от ее положения в записи числа (позиционный принцип записи);

Каждая цифра в зависимости от ее положения называется разрядной единицей; разрядные единицы следующие: единицы, десятки, сотни и т. д.

10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда, т. е. соотношение разрядных единиц равно десяти (10 ед.= 1 дес.; 10 дес. = 1 сот. и т. д.)

Начиная, справа налево и подряд каждые 3 разрядные единицы образуют разрядные классы (единиц, тысяч, миллионов и др.).

Прибавление к девяти единицам еще одной единицы данного разряда дает единицу следующего, более высшего (старшего) разряда.

Свойства отрезка натурального ряда:

1. Натуральный ряд чисел начинается с единицы.

2. Каждое число имеет свое место. Каждое следующее число на единицу больше предыдущего; каждое предыдущее на единицу меньше последующего.

3. Все числа, стоящие до выделенного числа меньше его; все стоящие после – больше изученного числа.

4. Бесконечность натурального ряда чисел.

Цель и образовательные задачи изучения нумерации

Цель изучения нумерации – усвоение общих принципов, лежащих в основе десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации.

Основные образовательные задачи изучения нумерации:

1.Сформировать систему знаний:

О натуральном числе и числе «0»;

О натуральной последовательности чисел;

Об устной и письменной нумерации;

2.Ознакомить с вычислительными приемами, основанными на знании нумерации.

При изучении данной темы у учащихся должны быть сформированы следующие умения :

2. обозначать число письменно;

3. сравнивать любые числа разными способами;

4. заменять число суммой разрядных слагаемых;

5. дать характеристику любого числа.

У учащихся необходимо сформировать следующие знания и умения:

1. Выделить число из других понятий.

2. Правильно назвать число.

3. Знать способы образования числа (в результате счета; в результате измерения; в результате выполнения арифметических действий).

4. Знать способы обозначения чисел с помощью цифр.

5. Знать различные функции числа. (Количественная функция, функция порядка, измерительная функция.)

Письменная нумерация.

В десятичной системе счисления для записи чисел используют десять знаков: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Знаки для записи чисел называют цифрами .

Разряд – место для записи цифр в числе. Каждый разряд имеет свое название. Название разрядов совпадает с названием единиц счета – разряд единиц, десятков, сотен и т.д. Кроме того, разрядам дают названия, совпадающие с номером места, занимаемого разрядом в записи числа. Разряды нумеруют справа налево. Соответственно: 1-ый разряд – разряд единиц; 2-ой разряд- разряд десятков; 3-ий разряд – разряд сотен, 4-ый разряд – разряд единиц тысяч и т. д.

Запись чисел ведется на основе принципа поместного значения цифр : значение цифры зависит от места занимаемого этой цифрой в записи числа

В устной нумерации для обозначения разрядов или классов, не содержащих ни одной единицы, особые слова не требуются, ибо названия этих разрядных единиц просто опускаются. В письменной нумерации на месте отсутствующих единиц в каком-либо разряде или классе ставится цифра 0. Изобразим рассмотренные выше факты в виде схемы (см. схему 1).

При изучении нумерации учащиеся знакомятся с характеристикой числа:

2. Указать, сколько в нем счетных единиц каждого рода (единиц, десятков, сотен и т.д.).

3. Сколько единиц в каждом разряде.

4. Назвать непосредственно следующее и пред-шествующее числа для данного числа (соседей числа).

5. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых.

В математике существует 3 подхода к формированию понятия числа: аксиоматический, теоретико-множест-венный и через измерение величин.

В традиционной и некоторых других образовательных системах («Гармония», система Л.В. Занкова и др.) понятие числа формируется на основе теоретико-множест-венного подхода с элементами аксиоматического, который позволяет усваивать свойства ряда натуральных чисел.

Рассмотрим теперь порядок изучения нумерации в системе Л.В. Занкова .

В данной системе выделяются следующие разделы «Однозначные числа», «Двузначные числа», «Трехзначные числа», «Многозначные числа», «Числа в пределах миллиона». Изучение нумерации проходит в два этапа: подготовительный (дочисловой) этап и изучение чисел.

На подготовительном этапе учащиеся закрепляют понятия «больше», «меньше», «равно», уточняются пространственные представления учащихся.

Изучение натурального ряда чисел начинается с ознакомления учащихся с историей возникновения чисел (когда люди не знали чисел, как они считали и др. вопросы). Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход. Число возникает как инвариантная характеристика класса равносильных множеств, а основным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимно однозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств. На этой основе формируются понятия об отношениях больше, меньше, равно, неравно как между множествами, так и между соответствующими им числами. На данном этапе учащиеся соотносят число с конкретными конечными множествами.

С числами и цифрами дети знакомятся вне их упорядоченного расположения. Написание цифр изучается в порядке возрастания трудности их изображения: 1, 4, 6, 9, 5, 3, 2, 7, 8.

На следующем этапе однозначные натуральные числа, с которыми дети познакомились в процессе сравнения множеств, упорядочиваются в начало натурального ряда чисел и происходит знакомство с его основными свойствами.

План работы на данном этапе:

1. Активизация представлений детей о наведении порядка в самом общем смысле этого слова и о многообразии возможностей его наведения (Задание: На рисунке ты видишь много разных геометрических фигур. Как ты думаешь, есть на этом рисунке порядок? Расскажи, как бы ты навел порядок среди этих фигур. Сделай рисунок.)

2. Формирование представлений о некоторых способах упорядочивания в математике, сосредоточив основное внимание на упорядочивании в порядке возрастания и в порядке убывания.

3. Упорядочивание расположения нескольких разночисленных множеств в порядке увеличения (уменьшения) количества элементов.

Задание: Что можно сказать о рядах кругов? Можно ли сказать, что они расположены в порядке увеличения? Запишите числом, сколько кругов в каждом ряду. Поставьте знаки сравнения.

4. Упорядочивание соответствующих множествам чисел как различающихся на одно и тоже число, так и на разные числа.

5. Упорядочивание всех однозначных натуральных чисел и введение понятия натурального ряда чисел.

6. Знакомство со свойствами натурального ряда чисел (начинается с 1, каждое следующее на 1 больше предыдущего, бесконечный).

7. Понятие об отрезке натурального ряда чисел, сходство и различие между натуральным рядом чисел и его отрезком.

Затем учащиеся знакомятся с числом 0 (число 0 характеризует отсутствие объектов пересчета).

Изучение концентра «Двузначные числа» начинается с числа 10.

Алгоритм изучения двузначных чисел:

· Образование новой счетной единицы – десятка объединением десяти предыдущих единиц.

· Образование десяти как следующего числа натурального ряда.

· Запись 10 и анализ записи.

· Счет десятками до 90.

· Запись получившихся чисел.

· Знакомство с названиями круглых десятков и анализ их образования.

· Заполнение промежутков между круглыми десятками в натуральном ряду чисел.

· Знакомство с название двузначных чисел, стоящих между десятками. Установление общего принципа образования этих названий.

· Сравнение всех изученных натуральных чисел.

Перед изучением новой счетной единицы проходит подготовительная работа: На дом детям дается задание узнать когда и какие предметы считают разными группами и зачем это делают (пара ботинок, перчаток, коробка карандашей 6 (12, 18) и др.).

Ознакомление с числами второго, третьего и т.д. десятка идет постепенно. Каждый новый десяток рассматривается отдельно (сначала образование чисел второго десятка, через несколько уроков образование чисел третьего десятка и т.д.). Изучение двузначных чисел значительно растянуто во времени. Это сделано для того, чтобы дети имели возможность глубоко осознать принцип построения той системы счисления, которой мы пользуемся.

Изучение трехзначных чисел начинается в конце 2 класса и идет в соответствии с тем алгоритмом, который мы написали для двузначных чисел.

В 3 и 4 классах учащиеся продолжают знакомиться с натуральным рядом чисел. Рассмотрение темы «Многозначные числа » разбито на 2 этапа: сначала дети изучают числа в пределах первых двух классов (класса единиц и класса тысяч), а затем знакомятся с числами класса миллионов.

Центральным моментом каждого нового расширения множества натуральных чисел является образование новой счетной единицы (тысячи, десятка тысяч, сотни тысяч и т.д.). Каждая такая единица возникает в первую очередь как результат объединения десяти предыдущих единиц в единое целое: десять сотен – одна тысяча, десять тысяч – один десяток тысяч и т.д.

Хотя первоначально натуральное число возникает перед учениками в теоретико-множественном подходе, уже в первом классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении таких величин как длина, масса, емкость и др. Эти два подхода продолжают сосуществовать и в дальнейшем, завершаясь обобщением, в результате которого появляются понятия точного и приближенного числа. Расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также положительными и отрицательными числами.

Ольга Перькова
Виды письменной нумерации (презентация)

Виды письменной нумерации .

Развитие счета началось в то время, когда человеку стали знакомые такие формы производства, как охота и рыболовство. Стало необходимым изготавливать орудия для овладения данными производствами. А переместившись в холодные страны, люди стали изготавливать такие предметы орудий труда, которыми легко можно было обработать прочную кожу.

Пальцевой счёт.

Счет стал развиваться быстрее с того времени, когда люди догадались обратиться к своим пальцам. Именно они стали тем простым и в то же время уникальным «аппаратом» , который положил дальнейшее начало развитию нумерации письменной .

Существовал, конечно, и словесный счет, но он стал активен только после того, как развилось сельское хозяйство.

Со временем многие народы стали придумывать наименованиям различные слова, которые и закрепились за числами. Например, если необходимо было обозначить число один, то его обозначали как «нос» . «рот» , «голова» (тем, что имеется у человека в одном количестве) . Соответственно, за числом два закрепились слова «глаза» , «руки» , «ноги» и т. д.

Пальцевой счет постепенно привел к тому, что счет стал упорядочиваться, а человек, соответственно словесно упрощал числа. Допустим, выражение, которое соответствовало числу 13 – «десять пальцев на обеих ногах и три пальца на одной руке» - упрощалось в «палец на руке» ; для выражения числа 26 вместо слов «десять пальцев на обеих ногах, десять пальцев на обеих руках и три пальца на ноге другого человека» говорилось иначе : «три пальца другого человека» .

Появление систем счисления

Переход человека к пальцевому счету привел к созданию нескольких различных систем счисления.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась и получила распространение в Америке.

Дальнейшее развитие систем счисления пошло по двум путям. Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее – по пальцам ног.

Естественной единицей высшего разряда при возникновении двадцатеричной системы явился «человек» как обладатель 20 пальцев. В этой системе 40 выражается как «два человека» , 80 – «четыре человека» и т. п.

Так постепенно человечество создавало свои методы счета и достигло момента, когда появился тот метод, которым и пользуется современная математика.

Нумерация на Руси .

Первым русским памятником математического содержания до настоящего времени считается рукописное сочинение новгородского монаха Кирика, написанное им в 1136 г.

К XVI в. относится изобретение замечательного счетного прибора, получившего впоследствии название «русские счеты»

Письменная система счисления претерпела множество изменений

по мере развития и становления человеческого общества, при плавном переходе от древнего человека к современной личности.

Миллионов составляют 1 миллиард.

Устная нумерация.

Примеры и задачи для устных вычислений.

Геометрический материал.

Более сложные задачи на все действия.

Примеры и задачи на все действия.

Порядок действий. Скобки.

Изменение частного.

Деление многозначных чисел.

Изменение произведения.

Умножение многозначных чисел.

Повторение сложения и вычитания.

Изменение разности.

Вычитание многозначных чисел.

Изменение суммы.

Письменная нумерация.

Устная нумерация.

Нумерация целых чисел любой величины.

2 . Назвать числа, в которых:

а) 3 сотни миллионов 2 десятка миллионов;

б) 8 сотен миллионов 4 десятка миллионов 5 миллионов;

в) 6 сотен миллионов 9 миллионов.

3 . Сколько миллионов, десятков и сотен миллионов в числах: 378 миллионов; 905 миллионов; 540 миллионов?

5. Назвать числа, в которых:

а) 5 сотен миллиардов 6 десятков миллиардов;

б) 8 сотен миллиардов 3 десятка миллиардов 4 миллиарда;

в) 6 сотен миллиардов 5 миллиардов;

6 . Сколько миллиардов, десятков миллиардов и сотен миллиардов в числах: 504 млрд.; 790 млрд.; 456 млрд.; 935 млрд.?

Назвать разряды чисел, в которых:

а) 345 миллиардов 248 миллионов;

б) 400 миллиардов 736 миллионов;

в) 680 миллиардов 24 миллиона.

8. Назвать числа, в которых:

а) 385 единиц первого класса;

б) 508 единиц второго класса;

в) 743 единицы третьего класса;

г) 214 единиц четвертого класса;

9. Назвать числа, в которых:

а) 56 единиц третьего класса и 380 единиц второго класса;

б) 5 единиц четвертого класса и 25 единиц третьего класса;

в) 1 единица четвертого класса, 300 единиц третьего класса, 286 единиц второго класса и 85 единиц первого класса.

10 . Назвать разряды и классы каждого числа таблицы и прочитать числа.

Каждое число таблицы записать в тетрадь.

14 . Прочитайте следующее сообщение:

На главной площади столицы королевства состоится награждение звездочетов - победителей.

Звездочет А. насчитал 3056800000 небесных тел,

звездочет В - 1317500000 , а

звездочет С - 1845800000.

Одновременно спрашивается, кто получит первый, кто второй, а кто третий приз?

15 . Написать цифрами следующие числа:

а) один миллиард один миллион;

б) триста двадцать пять тысяч шестьсот восемнадцать;

в) восемь миллионов двадцать три тысячи триста;

г) пятьсот миллионов пятьсот единиц;

д) четыре миллиарда десять миллионов одна тысяча и одна единица;

е) десять миллиардов девятьсот шесть тысяч;

ж) восемьдесят миллионов семь тысяч тридцать единиц;

16 . Какие разряды обозначают различные цифры следующих чисел:

568; 6798; 207886; 2326728; 20192837; 35796234865 ?

17 . Записать в виде одного числа:

а) 2000000 + 40000 + 400 + 30 + 5;

б) 20000000 + 3000000 + 700000 + 8000 + 200 + 5;

в) 300000000 + 4000000 + 50000 + 600 + 8;

18 . Разложить на разрядные слагаемые числа:

32750; 148004; 250070; 2435600; 750420045;

19 . Скольковсего десятков в следующих числах:

34560; 145634; 2000000; 34567280; 142345675; ?

20 . Скольковсего тысяч в каждом из следующих чисел:

32010; 60518; 212268; 504308; 760390; ?

21 . Сколько всего десятков тысяч в каждом из следующих чисел:

100000; 245624; 1000000; 34567310; 1000000000; 384104500000 ?

22. Обозначить цифрами числа, в которых:

а) шестьсот сорок восемь сотен;

б) одна тысяча двести шестьдесят два десятка;

в) тридцать пять сотен тысяч;

г) семнадцать десятков сотен;

д) две тысячи пятьсот четыре сотни три единицы;

23 . Написать:

а) шестизначное число, в котором отсутствуют единицы разряда сотен;

б) восьмизначное число, в котором нет единиц разряда тысяч;

в) десятизначное число, в котором нет единиц разряда десятеов тысяч.

24 . Написать:

а) наименьшее четырехзначное число;

б) наибольшее семизначное число;

в) наименьшее пятизначное число;

25 . Написать число, состоящее из трех классов, из двух классов, из четырех классов.

26. Записать цифрами следующие данные:

Радиограммы с космического корабля:

а) Полет проходит нормально. Из девяноста четырех миллионов ста тридцати восьми тысяч ста пятидесяти девяти километров осталось пролететь всего девяносто один миллион сто тринадцать тысяч сто пятьдесят три километра.

б) Попали в метеоритный поток. Бортовой компьютер насчитал сто восемьдесят миллиардов триста миллионов ударов о корпус корабля.

27 . Записать числа цифрами: 4 млн. 216 тыс. и 4 млн. 236 тыс.

28 . Округлить до тысяч числа: 145374 и 145680; 21450 и 21550; 76459 и 76511;

29. Округлить до миллионов числа: 3567400; 35247000; 115620000; 115450000; 28742000; 28327000;

30 . Округлить до миллиардов числа: 5780000000; 6460000000; 37047560000; 84915036000;