Задачи на тему Напряженность электрического поля. Электрическое смещение

Понятия электрического поля аналогичны понятиям гравитационного поля. Если поместить пробный заряд на расстоянииот источника поля – заряда, то действующая насо сторонысила будет равна

. (2.12)

Разделив
на, мы получим величину, характеризующую:

. (2.13)

Эта новая величина, равная силе, действующей на единичный заряд, называется напряженностью электрического поля , создаваемого источником. Обозначимчерез. Тогда напряженность электрического поля однородного сферического зарядана расстоянии от него

(2.14)

Разумеется, величина, характеризующая электрическое поле, является вектором. Направление условно выбирается вдоль направления силы, которая действует в поле на положительный пробный заряд. Поэтому вектор напряженности поля, созданного положительным зарядом, направлен от источника поля, а поля, созданного отрицательным зарядом, – к источнику (рис.2.10).

Размерность равна

[]=ед. СГСЭ заряда/см 2 =

Ед. СГСЭ потенциала/см=

Дин/ед. СГСЭ заряда.

Если ввести в это электрическое поле пробный заряд , то на него будет действовать сила

. (2.15)

Вектор напряженности электрического поля подчиняется принципу суперпозиции: полный вектор

где
- векторы напряженности полей отдельных зарядов в данной точке, вычисленные независимо для каждого из зарядов. Гравитационное и электрическое поля независимы друг от друга. Эти поля могут сосуществовать в данной точке пространства, и одно из полей ни в коей мере не влияет на другое. Суммарная сила, действующая на пробную частицу, обладающую и массой и зарядом, есть векторная сумма двух сили, но не имеет смысла суммировать векторыи, поскольку они имеют разную размерность, т.е. несоизмеримы. Измеримы, а потому и имеют физический смысл лишь силы.

Потенциальная энергия заряда , находящегося на расстоянииот другого заряда (назовем его источником поля)равна

. (2.17)

Разделим это выражение на и назовем новую величинуэлектрическим потенциалом
:

. (2.18)

есть потенциальная энергия единицы заряда и имеет размерность

[
]=ед. СГСЭ заряда/см=

Ед. СГСЭ потенциала

Эрг/ ед. СГСЭ заряда.

Электрический потенциал удовлетворяет принципу суперпозиции: полный потенциал

Из классической теории известно, что работа по перемещению заряда из одной точки в другую в электростатическом поле равна разности потенциальных энергий
в этих двух точках. Соответствующая работа, необходимая для перемещения между этими точками единичного заряда, равна изменению потенциала
.

, (2.20)

где есть разность потенциалов илинапряжение между двумя точками.

Единицы измерения различных электрических величин представлены в таблице 2.1.

Единицы измерения электрических величин - Таблица 2.1

Полученные выше выражения для напряженностей, сил и потенциалов как гравитационного, так и электрического полей справедливы в случаях, когда массы или заряды источников этих полей распределены по сфере либо являются точечными, т.е. имеют бесконечно малые размеры.

Однако реальные физические тела не имеют правильной сферической формы и не являются точечными. Поэтому полученные выше соотношения для них не подходят. Однако благодаря принципу суперпозиции полей любое протяженное тело можно рассматривать как совокупность большого числа «точечных» тел и вычислять поля суммированием вкладов от всех них.

Пробная масса в гравитационном поле всегда испытывает силу притяжения к источнику этого поля, потому силовые линии поля тяготения всегда направлены к источнику. Электрический пробный заряд может либо отталкиваться, либо притягиваться к заряду – источнику поля в зависимости от знаков обоих зарядов. Условились выбирать направление силовых линий электрического поля таким, чтобы оно совпадало с направлением силы, действующей при любом знаке заряда источника на положительный пробный заряд. Силовые линии в случае положительно заряженного источника поля направлены по радиусам от него, а в случае отрицательно заряженного источника – по радиусам к нему. Это соглашение совпадает с тем, что принято для вектора напряженности электрического поля.

Куда тянутся силовые линии? Если бы мы располагали изолированным зарядом, то силовые линии в виде прямых уходили бы в бесконечность. Но существование изолированного заряда физически невозможно. Вся Вселенная в целом состоит из одинакового числа положительных и отрицательных зарядов и поэтому электрически нейтральна. Отдельные тела могут быть заряжены, но это достигается пространственным разделением положительных и отрицательных зарядов в первоначально нейтральных телах.

Рассмотрим случай двух тел с равными и разноименными зарядами. Как обычно, можно построить картину силовых линий, измерив или вычислив величину и направление силы, действующей на положительно заряженное пробное тело. Силовые линии при этом исходят из тела с положительным зарядом и по плавным кривым входят в отрицательно заряженное тело. Следовательно, электрические силовые линии начинаются на положительных и оканчиваются на отрицательных зарядах. В этом заключается один из важнейших результатов теоретической электростатики. Он отличается от случая гравитационного поля, где нет определенных точек, где силовые линии начинались бы, и вместе с тем они простираются до бесконечности.

Форму силовых линий для различных геометрических конфигураций можно определить различными способами, дающими наглядные изображения полей. Например, в масле взвешивают пыльцу растений, а затем эту взвесь заливают вокруг изучаемой системы зарядов. Электрическое поле вызывает разделение зарядов на частичках. Один конец частички становится отрицательно, а другой – положительно заряженным, но в целом частичка остается электрически нейтральной. Такое явление называется электрической поляризацией. Поляризованные частички пыльцы ориентируются вдоль силовых линий, делая тем самым видимой их форму. Ряд конфигураций, полученных таким способом, показан на рис.2.11.

При изучении рис. 2.11,а видно, что картина силовых линий поля двух одинаково заряженных тел такая же, как для случая двух одинаковых масс (рис.2.7). Рис.2.11 иллюстрирует два общих результата.

1. Электрическое поле внутри сплошного или полого проводника, по которому не течет ток, равно нулю (рис.2.11,в и г). Рассмотрим вначале сплошной проводник.

Если внутрь такого проводника внести некоторый заряд и если заряды могут свободно перемешаться, то вследствие взаимного отталкивания они разбегутся к поверхности. Если этот поверхностный заряд создаст поле внутри проводника, то оно заставит двигаться электроны проводимости и тогда появится электрический ток. Но это находится в противоречии со сделанным допущением, что в проводнике нет тока.

Теперь рассмотрим полый проводник в виде шара. Если шар зарядить, то заряд равномерно распределится по его поверхности. На пробный заряд, помещенный в центре шара, сила действовать не будет. В этой точке результирующая сила и напряженность поля равны нулю. Однако, что можно сказать о поле в других точках полости? Рассмотрим случай, представленный рис. 2.12.

Определим результирующую силу, действующую на пробный заряд в точке .

Построим два концентрических конуса, направленных в противоположные стороны с общей вершиной в точке . Эти конусы вырезают площадки на противоположных сторонах сферы. Поскольку заряд распределен по поверхности сферы равномерно, сила, действующая на пробный заряд от каждого из вырезанных сегментов шара, пропорциональна площади сегмента. Обе силы направлены противоположно друг другу. Но сегмент с большей площадью отстоит от точкидальше, чем сегмент с меньшей площадью. Увеличение силы, действующей на пробный заряд, с ростом площади сегмента (пропорционально) компенсируется уменьшением её из-за большей удаленности сегмента (пропорционально
). В результате обе силы оказываются равными так, что результирующая сила равна нулю. Эту аргументацию можно распространить и на остальную поверхность сферы. В результате оказывается, что на пробный заряд не будет действовать сила. Точно такой же вывод получается и для всех прочих точек внутри шара. Следовательно, электрическое поле внутри сферической оболочки отсутствует. Применяя более сложный математический метод, можно получить такой же результат не только для сферы, но и для любой другой замкнутой поверхности.

Помещая электрический зонд в различные точки поля, можно изучить на опыте электрическое поле, обусловленное заряженными телами любой формы. Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Заряженный шар, удаленный от других предметов. Если шар достаточно удален от других предметов (например, укреплен на высокой изолирующей ножке или подвешен на длинной нити), то электрометр в опыте, изображенном на рис. 49, дает одни и те же показания, когда зонд находится в точках, одинаково удаленных от центра шара. Это значит, что эквипотенциальные поверхности в этом случае имеют вид концентрических сфер. Передвигая зонд вдоль радиуса шара, мы находим, наоборот, наиболее быстрое изменение потенциала. Это показывает, что мы движемся вдоль линии поля. Эквипотенциальные поверхности и линии поля вокруг заряженного шара изображены на рис. 50. Отметим, что с приближением к другим предметам, например к стенам комнаты, эквипотенциальные поверхности перестают быть сферами и принимают более сложную форму. Однако, как показывает рис. 50, вдали от этих предметов, вблизи шара, и эквипотенциальные поверхности и линии поля имеют тот же вид, что и для точечного заряда, помещенного в центре шара (рис. 40). Заряженный шар, удаленный от других предметов, создает вокруг себя такое же поле, как если бы его заряд был сосредоточен в центре.

2. Плоские параллельные пластины. На рис. 51 изображены эквипотенциальные поверхности и линии поля между двумя плоскими параллельными пластинами, заряженными до некоторой разности потенциалов друг относительно друга. Мы видим, что эквипотенциальные поверхности имеют довольно сложную форму. Однако между пластинами эквипотенциальные поверхности почти не отличаются от плоскостей, параллельных поверхности пластин, а линии поля – от параллельных между собой прямых, перпендикулярных к пластинам. Если размеры пластин велики по сравнению с расстоянием между ними, то между пластинами (за исключением областей вблизи краев пластин) поле оказывается однородным, т. е. напряженность в разных точках одна и та же по модулю и направлению (§ 17).

Рис. 51. Эквипотенциальные поверхности (сплошные линии) и линии поля (штриховые линии) между двумя параллельными пластинами, заряженными противоположно

Мы знаем (§ 23), что напряженность поля равна падению напряжения на единице длины линий поля. Поэтому, если обозначить расстояние между пластинами через , а разность потенциалов между ними через , то напряженность поля между пластинами

30.1. Между горизонтально расположенными пластинами конденсатора, заряженного до разности потенциалов 600 В, висит капелька ртути, несущая некоторый заряд и удерживаемая силами электростатического поля. Найдите этот заряд. Расстояние между пластинами равно 0,5 см, масса капельки равна кг.

3. Коаксиальные цилиндры. Рассмотрим в заключение электрическое поле, возникающее между двумя коаксиальными (имеющими общую ось) цилиндрами, заряженными до некоторой разности потенциалов (рис. 52,а). В этом случае эквипотенциальные поверхности в средней части, не слишком близко к краям цилиндров, имеют также вид коаксиальных цилиндров, а сверху и снизу эти цилиндры замыкаются куполообразными «крышками» (рис. 52,б).

Рис. 52. Эквипотенциальные поверхности (сплошные линии) и линии поля (штриховые линии) между двумя коаксиальными цилиндрами, заряженными противоположно: а) сечение плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндров; б) сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндров

В сечении плоскостью, проходящей через ось цилиндров, эквипотенциальные поверхности дают линии, напоминающие по форме эквипотенциальные линии между двумя пластинами (рис. 51). В средней части цилиндра, вдали от краев, эти линии имеют вид прямых, параллельных оси цилиндров. Однако, в отличие от случая однородного поля между пластинами, здесь эквипотенциальные прямые уже не являются равноотстоящими друг от друга; они сгущаются вблизи внутреннего цилиндра и расположены все реже и реже по мере приближения к внешнему цилиндру. Это показывает, что в радиальном направлении поле неоднородно: оно сильнее всего у внутреннего цилиндра и постепенно ослабевает по мере удаления от него. Это видно и из рис. 52,а. В сечении плоскостью чертежа, перпендикулярной к оси цилиндра, эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии в виде концентрических окружностей. Линии поля, которые перпендикулярны ко всем эквипотенциальным поверхностям, представляют собой прямые, направленные по радиусам цилиндров. Мы видим, что густота линий этого поля наибольшая у поверхности внутреннего цилиндра, а наименьшая – у поверхности внешнего цилиндра, а значит, и напряженность поля

достигает наибольшего значения у внутреннего цилиндра и постепенно уменьшается с удалением от его оси. Эта неоднородность тем больше, чем меньше диаметр внутреннего цилиндра по сравнению с внешним.

Таким образом, около тонкой нити можно создать электрическое поле очень большой напряженности. Это же будет наблюдаться и возле острия. Поле вблизи нити изменится незначительно, если изменять размеры внешнего цилиндра или даже менять его форму. В частности, роль внешнего цилиндра могут играть стены комнаты. Вблизи нити поле будет иметь такой же вид, как поле, изображенное на рис. 52. Нить и острие часто используют для создания в некотором месте поля большой напряженности (например, в так называемых счетчиках заряженных частиц).

30.2. Начертите картину линий электрического поля между двумя параллельными пластинами, заряженными равными и противоположными по знаку зарядами, если расстояние между пластинами: а) мало; б) велико по сравнению с их размерами.

30.3. Начертите картину линий электрического поля, если между заряженными пластинами помещен металлический шарик или тело иной формы.

Жидкевич В. И. Электрическое поле плоскости // Фізіка: праблемы выкладання. - 2009. - № 6. - С. 19-23.

Задачи по электростатике можно разделить на две группы: задачи о точечных зарядах и задачи о заряженных телах, размеры которых нельзя не учитывать .

Решение задач по расчёту электрических полей и взаимодействий точечных зарядов основано на применении закона Кулона и не вызывает особых затруднений. Более сложным является определение напряжённости поля и взаимодействия заряженных тел конечных размеров: сферы, цилиндра, плоскости. При вычислении напряжённости электростатических полей различной конфигурации следует подчеркнуть важность принципа суперпозиции и использовать его при рассмотрении полей, созданных не только точечными зарядами, но и зарядами, распределёнными по поверхности и объёму. При рассмотрении действия поля на заряд формула F=qE в общем случае справедлива для точечных заряженных тел и только в однородном поле применима для тел любых размеров и формы, несущих заряд q.

Электрическое поле конденсатора получается в результате наложения двух полей, созданных каждой пластиной.

В плоском конденсаторе можно рассматривать одну пластину как тело с зарядом q 1 помещённое в электрическое поле напряжённостью Е 2 , созданное другой пластиной.

Рассмотрим несколько задач.

1. Бесконечная плоскость заряжена с поверхностной плотностью σ >0. Найдите напряжённость поля Е и потенциал ϕ по обе стороны плоскости, считая потенциал плоскости равным нулю. Постройте графики зависимостей Е(х), ϕ (х). Ось х перпендикулярна плоскости, точка х=0 лежит на плоскости.

Решение. Электрическое поле бесконечной плоскости является однородным и симметричным относительно плоскости. Его напряжённость Связь между напряжённостью и разностью потенциалов между двумя точками однородного электростатического поля выражается формулой где х - расстояние между точками, измеренное вдоль силовой линии. Тогда ϕ 2 = ϕ 1 -Eх . При х<0 при х>0 Зависимости Е(х) и ϕ (х) представлены на рисунке 1.

2. Две плоскопараллельные тонкие пластины, расположенные на малом расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены зарядом поверхностной плотностью σ 1 и σ 2 . Найдите напряжённости поля в точках, лежащих между пластинами и с внешней стороны. Постройте график зависимости напряжённости Е(х) и потенциала ϕ (х), считая ϕ (0)=0. Рассмотрите случаи, когда: a) σ 1 =-σ 2 ; б) σ 1 = σ 2 ; в) σ 1 =3 σ 2 -

Решение. Так как расстояние между пластинами мало, то их можно рассматривать как бесконечные плоскости.

Напряжённость поля положительно заряженной плоскости равна и направлена от неё; напряжённость поля отрицательно заряженной плоскости направлена к ней.

Согласно принципу суперпозиции поле в любой рассматриваемой точке будет создаваться каждым из зарядов в отдельности.

а) Поля двух плоскостей, заряженных равными и противоположными по знаку зарядами (плоский конденсатор), складываются в области между плоскостями и взаимно уничтожаются во внешних областях (рис. 2, а).

При х <0 Е = 0, ϕ =0; при 0 d Е= 0, Графики зависимости напряжённости и потенциала от расстояния х приведены на рисунке 2, б, в.

Если плоскости конечных размеров, то поле между плоскостями не будет строго однородным, а поле вне плоскостей не будет точно равно нулю.

б) Поля плоскостей, заряженных равными по величине и знаку зарядами (σ 1 = σ 2 ), компенсируют друг друга в пространстве между плоскостями и складываются во внешних областях (рис. 3, а). При х<0 при 0d

Воспользовавшись графиком Е(х) (рис. 3, б), построим качественно график зависимости ϕ (х) (рис. 3, в).

в) Если σ 1 = σ 2 , то, учитывая направления полей и выбирая направление направо за положительное, находим:

Зависимость напряжённости Е от расстояния показана на рисунке 4.

3. На одной из пластин плоского конденсатора ёмкостью С находится заряд q 1 =+3q , а на другой q 2 =+ q. Определите разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Решение. 1-й способ. Пусть площадь пластины конденсатора S, а расстояние между ними d. Поле внутри конденсатора однородное, поэтому разность потенциалов (напряжение) на конденсаторе можно определить по формуле U=E*d, где Е - напряжённость поля внутри конденсатора.

где Е 1 , Е 2 - напряжённости поля, создаваемого пластинами конденсатора.

Тогда

2-й способ. Добавим на каждую пластину заряд Тогда пластины конденсатора будут иметь заряды + q и -q. Поля одинаковых зарядов пластин внутри конденсатора компенсируют друг друга. Добавленные заряды не изменили поле между пластинами, а значит, и разность потенциалов на конденсаторе. U= q/C .

4. В пространство между обкладками незаряженного плоского конденсатора вносят тонкую металлическую пластину, имеющую заряд +q . Определите разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Решение. Так как конденсатор не заряжен, то электрическое поле создаётся только пластиной, имеющей заряд q (рис. 5). Это поле однородное, симметричное относительно пластины, и его напряжённость Пусть потенциал металлической пластины равен ϕ . Тогда потенциалы обкладок А и В конденсатора будут равны ϕ- ϕ А = ϕ El 1 ; ϕ А = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Разность потенциалов между обкладками конденсатора Если пластина находится на одинаковом расстоянии от обкладок конденсатора, то разность потенциалов между обкладками равна нулю.

5. В однородное электрическое поле напряжённостью Е 0 перпендикулярно силовым линиям помещают заряженную металлическую пластину с плотностью заряда на поверхности каждой стороны пластины σ (рис. 6). Определите напряжённость поля Е" внутри и снаружи пластины и поверхностную плотность зарядов σ 1 и σ 2 , которая возникнет на левой и правой сторонах пластины.

Решение. Поле внутри пластины равно нулю и является суперпозицией трёх полей: внешнего поля Е 0 , поля, создаваемого зарядами левой стороны пластины, и поля, создаваемого зарядами правой стороны пластины. Следовательно, где σ 1 и σ 2 - поверхностная плотность заряда на левой и правой сторонах пластины, которая возникает после внесения пластины в поле Е 0 . Суммарный заряд пластины не изменится, поэтому σ 1 + σ 2 =2 σ , откуда σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Поле снаружи пластины является суперпозицией поля Е 0 и поля заряженной пластины Е . Слева от пластины Справа от пластины

6. В плоском воздушном конденсаторе напряжённость поля Е= 10 4 В/м. Расстояние между обкладками d= 2 см. Чему будет равна разность потенциалов, если между пластинами параллельно им поместить металлический лист толщиной d 0 =0,5 см (рис. 7)?

Решение. Поскольку электрическое поле между пластинами однородное, то U=Ed, U=200 В.

Если между пластинами пометить металлический лист, то получается система из двух последовательно соединённых конденсаторов с расстоянием между пластинами d 1 и d 2 . Ёмкости этих конденсаторов Их общая ёмкость

Так как конденсатор отключён от источника тока, то заряд конденсатора при внесении металлического листа не меняется: q"=CU=С"U 1 ; где емкость конден сатора до внесения в него металлического листа. Получаем:

U 1 = 150 В.

7. На пластинах А и С, расположенных параллельно на расстоянии d= 8 см друг от друга, поддерживаются потенциалы ϕ 1 = 60 В и ϕ 2 =- 60 В соответственно. Между ними поместили заземлённую пластину D на расстоянии d 1 = 2 см от пластины А. На сколько изменилась напряжённость поля на участках AD и CD? Постройте графики зависимостей ϕ (x ) и Е(х).

Для того, чтобы найти силу, которая действует между двумя электрическими зарядами, надо знать значение каждого из них и расстояние между зарядами. Если таких зарядов два, задача легко решается при помощи закона Кулона . А как быть, когда электрических зарядов много? Для таких случаев физики ввели понятия электрического поля .

При помощи электрического поля можно описать, как множество зарядов будет воздействовать на некий пробный заряд, который может быть помещен в любую точку электрического поля. Для этого достаточно умножить величину пробного заряда на величину напряженности поля в той точке, где находится пробный заряд.

E = F/q (Н·Кл -1)

• E - напряженность электрического поля;
• F - сила, которая действует на пробный заряд со стороны множества зарядов;
• q - величина пробного заряда.

Напряженность электрического поля является векторной величиной , имеет свой модуль и направление. Если заряд в точке положительный - направление силы совпадает с направлением напряженности поля в этой точке; если заряд отрицательный - сила направлена в противоположную сторону.

Напряженность электрического поля в любой точке является результирующим вектором, и вычисляется путем сложения составляющих векторов электрических полей.

Электрическое поле точечного заряда

Под точечным зарядом понимается заряд очень малого физического объекта.

Точечный заряд Q создает некое электрическое поле. При этом, с помощью пробного заряда q можно измерить в разных точках силу, которую вызывает заряд Q:

F = kqQ/r 2 E = F/q = kQ/r 2

Напряженность электрического поля точечного заряда является векторной величиной, она направлена по прямой, соединяющей центры двух зарядов, при этом линии поля выходят из положительных зарядов и сходятся у отрицательных зарядов. Данная модель была впервые предложена в 19 веке Майклом Фарадеем.

Надо понимать, что линии электрического поля не могут начинаться и заканчиваться в некой точке пространства, где нет электрического заряда.

Для того, чтобы определить величину электрического поля от нескольких зарядов в конкретной точке поля, необходимо сложить векторы напряженности полей в этой точке.

Следует признать, что задача вычисления электрического поля от множественных точечных зарядов, достаточно сложна. Физики, как народ достаточно "ленивый", решили для упрощения задачи использовать модели простых электрических полей, например, плоский конденсатор.

В электрическом конденсаторе положительные и отрицательные заряды хранятся отдельно - каждый на своей пластине, при этом они притягиваются, но не соединяются, т.к. пластины конденсатора разделены диэлектриком.

Допустим, дальняя пластина конденсатора на верхнем рисунке заряжена положительно (на пластине равномерно распределены точечные заряды +q), а нижняя - отрицательно (на пластине равномерно распределены точечные заряды -q). При этом все компоненты напряженностей электрических полей, которые создаются точечными зарядами, взаимно компенсируют друг друга, за исключением компонент, направленных перпендикулярно пластинам конденсатора. Таким образом, между двумя пластинами плоского конденсатора, расположенными параллельно друг другу, создается постоянное электрическое поле, напряженность которого можно вычислить по формуле:

E = q/(ε 0 A)

• ε 0 ≈8,85·10 -12 Кл 2 Н -1 м -2 - электрическая постоянная.
• q - общий заряд для каждой из пластин.
• А - площадь каждой пластины.

Отношение q/A называется плотностью заряда σ (характеризует заряд, который приходится на единицу площади). В таком случае, напряженность поля будет равна:

E = σ/ε 0

Такая модель плоского конденсатора значительно упрощает задачу поиска напряженности электрического поля, поскольку она постоянна и имеет постоянное направление (с положительной пластины на отрицательную), поэтому, напряженность электрического поля будет одинаковой в любом месте между пластинами конденсатора.

В большинстве конденсаторов между пластинами проложен изолирующий материал (диэлектрик), например, бумага или пластмассовая пленка. Этим достигается сразу несколько целей. Во-первых, диэлектрики лучше противостоят электрическому пробою, чем воздух, и к конденсатору можно приложить более высокое напряжение без утечки заряда через зазор между обкладками. Во-вторых, при наличии прокладки из диэлектрика пластины можно расположить ближе друг к другу без опасения, что они могут соприкасаться. Наконец, экспериментально обнаружено, что при заполнении пространства между пластинами диэлектриком его емкость увеличивается в К раз, т.е.

С = КС 0 , (25.7)

где С 0 - емкость, отвечающая вакууму между обкладками, а С - емкость в случае, когда пространство между пластинами заполнено диэлектриком. Множитель К называют относительной диэлектрической проницаемостью; значения К для ряда диэлектриков приведены в табл. 25.1.
Обратите внимание на то, что для воздуха при давлении 1 атм К = 1,0006, и поэтому емкость конденсатора с воздушным зазором очень мало отличается от емкости этого конденсатора в вакууме.

Для плоского конденсатора:

С = Кε 0 A/d - [плоский конденсатор] (25.8),

когда пространство между пластинами целиком заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью К . Величина Кε 0 так часто встречается в формулах, что нередко вводят величину

ε = Кε 0 , (25.9)

которую называют абсолютной диэлектрической проницаемостью. Тогда емкость плоского конденсатора принимает вид

C = εA/d

Напомним, что ε 0 - это электрическая постоянная. Плотность энергии, запасенной электрическим полем Е

Влияние диэлектрика на емкость впервые всесторонне исследовал Фарадей. Он обнаружил, что, когда пространство между пластинами конденсатора заполнено диэлектриком, на пластинах при том же напряжении накапливается несколько больший заряд, нежели когда между пластинами воздух. Иначе говоря, если заряд на каждой пластине конденсатора с воздушным промежутком равен Q 0 , то после введения диэлектрика и подключения конденсатора к батарее с прежним напряжением V 0 заряд каждой из пластин увеличится до

Q = KQ 0 [при постоянном напряжении] .

Это соответствует формуле (25.7), поскольку после введения диэлектрика емкость равна

C = Q/V 0 = KQ 0 /V 0 = KC 0

где С 0 = Q 0 /V 0 - емкость в отсутствие диэлектрика.

Рассмотрим теперь несколько иной случай (выше мы, вводя диэлектрик, поддерживали напряжение постоянным). Пусть пластины конденсатора, подключенного к батарее с напряжением V 0 , приобретают заряд

Q 0 = CV 0 .

Прежде чем ввести диэлектрик, отключим конденсатор от батареи. После введения диэлектрика (который заполняет все пространство между пластинами) заряд Q 0 на каждой из пластин не изменится. В этом случае мы обнаружим, что разность потенциалов между пластинами уменьшится в К раз:

V = V 0 /K

Емкость же вновь будет равна

Оба этих результата согласуются с выражением (25.7).

Электрическое поле внутри диэлектрика также изменяется. При отсутствии диэлектрика между пластинами напряженность электрического поля между обкладками плоского конденсатора определяется формулой (24.3):

Е 0 = V 0 /d ,

где V 0 - разность потенциалов между пластинами, a d - расстояние между ними.
Если конденсатор изолирован, так что заряд на пластинах после введения диэлектрика не изменяется, то разность потенциалов упадет до значения V = V 0 /K . Напряженность электрического поля в диэлектрике теперь будет равна

E = V/d = V 0 /Kd или Е = E 0 /К [в диэлектрике]. (25.10)

Таким образом, напряженность электрического поля внутри диэлектрика также ослабляется в К раз. Электрическое поле внутри диэлектрика (изолятора) ослабляется, но, не до нуля, как в случае проводника.

Происходящее в диэлектрике можно объяснить с молекулярной точки зрения. Рассмотрим конденсатор, обкладки которого разделены воздушным "промежутком. На одной обкладке имеется заряд +Q , на другой заряд -Q (рис. 25.7, а).

Конденсатор изолирован (не подключен к батарее). Разность потенциалов между пластинами V 0 определяется выражением (25.1): Q = C 0 V 0 . (Индекс 0 соответствует воздуху между пластинами.) Введем теперь между пластинами диэлектрик (рис. 25.7, b). Молекулы диэлектрика могут быть полярными - иначе говоря, они могут обладать постоянным дипольным моментом, будучи нейтральными. В электрическом поле возникнет вращательный момент, который будет стремиться развернуть диполи параллельно полю (рис. 25.7, b); тепловое движение препятствует идеальной ориентации всех молекул, однако, чем сильнее поле, тем выше будет степень выстроенности молекул. Даже если молекулы не полярны, в электрическом поле между обкладками у них произойдет разделение заряда, и молекулы приобретут индуцированный (наведенный) дипольный момент: электроны, не отрываясь от молекулы, сместятся в сторону положительной обкладки. Поэтому картина всегда будет такой, как показано на рис. 25.7, b. В конечном итоге все выглядит так, как если бы на обращенной к положительной обкладке внешней стороне диэлектрика имелся результирующий отрицательный заряд, а на противоположной - положительный (рис. 25.7, c). Из-за появления на диэлектрике этого индуцированного заряда часть электрических силовых линий не пройдет сквозь диэлектрик, а будет заканчиваться (или начинаться) на зарядах, наведенных на его поверхности. Соответственно напряженность электрического поля внутри диэлектрика окажется меньше, чем в воздухе.

Можно представить себе эту картину и по-иному (рис. 25.7, d). Напряженность электрического поля внутри диэлектрика представляет собой векторную сумму напряженности поля Е 0 , создаваемого «свободными» зарядами на обкладках, и напряженности поля Е инд , создаваемого зарядами, индуцированными в диэлектрике; поскольку эти поля направлены в противоположные стороны, результирующая напряженность электрического поля внутри диэлектрика Е 0 - Е инд будет меньше Е 0 . Точное соотношение дается формулой (25.10):

Из соображений симметрии ясно, что, если размеры пластин велики по сравнению с расстоянием между ними, заряд, индуцированный на поверхности диэлектрика, не зависит от того, заполняет ли диэлектрик все пространство между пластинами или нет, если только его поверхности параллельны обкладкам. Формула (25.10) справедлива и в этом случае, хотя равенство V = V 0 /K уже не верно (почему?). Электрическое поле между двумя параллельными пластинами связано с поверхностной плотностью заряда σ выражением

Е = σ/е 0 (разд. 23.3).

Таким образом, где σ = Q/A - поверхностная плотность заряда на обкладке, а Q - полный заряд проводника, называемый часто свободным зарядом (поскольку в проводнике заряды могут свободно перемещаться). Аналогично мы определим поверхностную плотность индуцированного заряда σ инд

Е инд = σ инд /ε 0

где E инд - напряженность электрического поля, создаваемого индуцированным зарядом Q инд = σ инд A на поверхности диэлектрика (рис. 25.7, г); Q инд называют обычно связанным зарядом (так как в диэлектрике (изоляторе) заряды не могут свободно перемещаться). Поскольку, как показано выше, Е инд = Е 0 (1 - 1/К) , получаем

Так как К больше 1, индуцированный на диэлектрике заряд всегда меньше заряда на обкладках конденсатора.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!