Даден е прав кръгов конус с връх. Урок "Обем на конус"

V цилиндър = S основен. ∙ч

Пример 2.Даден е прав кръгъл конус ABC, равностранен, BO = 10. Намерете обема на конуса.

Решение

Нека намерим радиуса на основата на конуса. C=60 0, B=30 0,

Нека OS = А, тогава BC = 2 А. Според теоремата на Питагор:

Отговор: .

Пример 3. Изчислете обемите на фигури, образувани от въртящи се площи, ограничени от посочените линии.

y 2 = 4x; y = 0; х = 4.

Граници на интегриране a = 0, b = 4.

V= | =32π

Задачи

Опция 1

1. Аксиалното сечение на цилиндъра е квадрат, чийто диагонал е 4 dm. Намерете обема на цилиндъра.

2. Външният диаметър на куха топка е 18 см, дебелината на стените й е 3 см. Намерете обема на стените на топката.

х фигура, ограничена от линиите y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2.

Вариант 2

1. Радиусите на три топки са 6 cm, 8 cm, 10 cm. Определете радиуса на топка, чийто обем е равен на сбора от обемите на тези топки.

2. Площта на основата на конуса е 9 cm 2, площта на общата му повърхност е 24 cm 2. Намерете обема на конуса.

3. Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста O хфигура, ограничена от линиите y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4.

Контролни въпроси:

1. Напишете свойствата на обемите на телата.

2. Напишете формула за изчисляване на обема на въртящо се тяло около оста Oy.

ТЕКСТОВ ПРЕПИС НА УРОКА:

Продължаваме да изучаваме раздела на стереометрията „Тела на въртене“.

Телата на въртене включват: цилиндри, конуси, топки.

Да си припомним дефинициите.

Височината е разстоянието от върха на фигура или тяло до основата на фигурата (тялото). В противен случай, сегмент, свързващ върха и основата на фигурата и перпендикулярен на нея.

Не забравяйте, че за да намерите площта на кръг, трябва да умножите pi по квадрата на радиуса.

Площта на кръга е равна.

Нека си спомним как да намерим площта на кръг, знаейки диаметъра? защото

Нека го поставим във формулата:

Конусът също е тяло на въртене.

Конус (по-точно кръгъл конус) е тяло, което се състои от кръг - основата на конуса, точка, която не лежи в равнината на този кръг - върха на конуса и всички сегменти, свързващи върха на конуса. конус с основните точки.

Нека се запознаем с формулата за намиране на обема на конус.

Теорема. Обемът на конус е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината.

Нека докажем тази теорема.

Дадено: конус, S - площ на основата му,

h - височина на конуса

Докажете: V=

Доказателство: Да разгледаме конус с обем V, радиус на основата R, височина h и връх в точка O.

Нека въведем оста Ox през OM - оста на конуса. Произволно сечение на конус с равнина, перпендикулярна на оста Ox, е окръжност с център в точката

M1 - пресечната точка на тази равнина с оста Ox. Нека означим радиуса на тази окръжност с R1, а площта на напречното сечение с S(x), където x е абсцисата на точка M1.

От подобието на правоъгълни триъгълници ОМ1A1 и ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА - прави, ے MOA-общо, което означава, че триъгълниците са подобни в два ъгъла) следва, че

Фигурата показва, че OM1=x, OM=h

или от където по свойството на пропорцията намираме R1 = .

Тъй като напречното сечение е кръг, тогава S(x)=πR12, заменете предишния израз вместо R1, площта на напречното сечение е равна на съотношението на произведението на pier квадрат на квадрата на x към квадрата на височината:

Нека приложим основната формула

изчислявайки обемите на телата, при a=0, b=h, получаваме израз (1)

Тъй като основата на конуса е кръг, площта S на основата на конуса ще бъде равна на пиер квадрат

във формулата за изчисляване на обема на тялото заместваме стойността на пиер квадрат с площта на основата и откриваме, че обемът на конуса е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината

Теоремата е доказана.

Следствие от теоремата (формула за обем на пресечен конус)

Обемът V на пресечен конус, чиято височина е h и площта на основите S и S1, се изчислява по формулата

Ve е равно на една трета от ос, умножена по сумата от площите на основите и квадратния корен от произведението на площите на основата.

Разрешаване на проблем

Правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm се върти около хипотенузата. Определете обема на полученото тяло.

Когато завъртим триъгълник около хипотенузата, получаваме конус. При решаването на този проблем е важно да се разбере, че са възможни два случая. Във всеки от тях използваме формулата за намиране на обема на конус: обемът на конус е равен на една трета от произведението на основата и височината

В първия случай чертежът ще изглежда така: даден конус. Нека радиус r = 4, височина h = 3

Площта на основата е равна на π по квадрата на радиуса

Тогава обемът на конуса е равен на една трета от произведението на π по квадрата на радиуса и височината.

Нека заместим стойността във формулата, оказва се, че обемът на конуса е 16π.

Във втория случай, така: даден конус. Нека радиус r = 3, височина h = 4

Обемът на конус е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината:

Площта на основата е равна на π по квадрата на радиуса:

Тогава обемът на конуса е равен на една трета от произведението на π по квадрата на радиуса и височината:

Замествайки стойността във формулата, се оказва, че обемът на конуса е 12π.

Отговор: Обемът на конус V е 16 π или 12 π

Задача 2. Даден е прав кръгъл конус с радиус 6 cm, ъгъл BCO = 45.

Намерете обема на конуса.

Решение: За този проблем е предоставен готов чертеж.

Нека запишем формулата за намиране на обема на конус:

Нека го изразим чрез радиуса на основата R:

Намираме h =BO по построение - правоъгълен, т.к ъгъл BOC = 90 (сума от ъглите на триъгълника), ъглите при основата са равни, което означава, че триъгълникът ΔBOC е равнобедрен и BO = OC = 6 cm.

Нека е даден прав кръгъл цилиндър, хоризонталната проекционна равнина е успоредна на основата му. Когато цилиндърът е пресечен от равнина в общо положение (приемаме, че равнината не пресича основите на цилиндъра), пресечната линия е елипса, самото сечение има формата на елипса, хоризонталната му проекция съвпада с проекция на основата на цилиндъра, а предната също има формата на елипса. Но ако секущата равнина сключва ъгъл от 45 ° с оста на цилиндъра, тогава сечението, което има формата на елипса, се проектира от окръжност върху проекционната равнина, към която сечението е наклонено под същия ъгъл.

Ако режещата равнина пресича страничната повърхност на цилиндъра и една от неговите основи (фиг. 8.6), тогава пресечната линия има формата на непълна елипса (част от елипса). Хоризонталната проекция на сечението в този случай е част от окръжност (проекция на основата), а фронталната проекция е част от елипса. Равнината може да бъде разположена перпендикулярно на всяка проекционна равнина, тогава сечението ще бъде проектирано върху тази проекционна равнина като права линия (част от следата на секущата равнина).

Ако цилиндърът е пресечен от равнина, успоредна на генератора, тогава линиите на пресичане със страничната повърхност са прави, а самото сечение има формата на правоъгълник, ако цилиндърът е прав, или паралелограм, ако цилиндърът е наклонен.

Както е известно, както цилиндърът, така и конусът са образувани от линейчати повърхности.

Пресечната линия (срез) на линейка и равнина в общия случай е определена крива, която се изгражда от точките на пресичане на образуващите с режещата равнина.

Нека се даде прав кръгъл конус.Когато се пресича с равнина, пресечната линия може да има формата на: триъгълник, елипса, кръг, парабола, хипербола (фиг. 8.7) в зависимост от разположението на равнината.

Триъгълник се получава, когато сечаща равнина, пресичаща конус, минава през неговия връх. В този случай линиите на пресичане със страничната повърхност са прави линии, пресичащи се на върха на конуса, които заедно с линията на пресичане на основата образуват триъгълник, проектиран върху проекционните равнини с изкривяване. Ако равнината пресича оста на конуса, тогава сечението произвежда триъгълник, чийто ъгъл с върха, съвпадащ с върха на конуса, ще бъде максимален за триъгълни сечения на даден конус. В този случай сечението се проектира върху хоризонталната проекционна равнина (тя е успоредна на нейната основа) чрез сегмент с права линия.

Пресечната точка на равнина и конус ще бъде елипса, ако равнината не е успоредна на нито една от образуващите на конуса. Това е еквивалентно на факта, че равнината пресича всички образуващи (цялата странична повърхност на конуса). Ако секущата равнина е успоредна на основата на конуса, тогава пресечната линия е кръг, самото сечение се проектира върху хоризонталната проекционна равнина без изкривяване и върху челната равнина като сегмент с права линия.

Пресечната линия ще бъде парабола, когато сечащата равнина е успоредна само на една образуваща на конуса. Ако сечащата равнина е успоредна на две образуващи едновременно, тогава пресечната линия е хипербола.

Пресечен конус се получава, ако прав кръгъл конус се пресече с равнина, успоредна на основата и перпендикулярна на оста на конуса, и горната част се изхвърли. В случай, че хоризонталната равнина на проекциите е успоредна на основите на пресечен конус, тези основи се проектират върху хоризонталната равнина на проекциите без изкривяване от концентрични кръгове, а фронталната проекция е трапец. Когато пресечен конус е пресечен от равнина, в зависимост от местоположението си, линията на срязване може да има формата на трапец, елипса, кръг, парабола, хипербола или част от една от тези криви, чиито краища са свързани с права.

Диагностичната работа се състои от две части, включващи 19 задачи. Част 1 съдържа 8 задачи с базово ниво на трудност с кратък отговор. Част 2 съдържа 4 задачи с повишено ниво на сложност с кратък отговор и 7 задачи с повишено и високо ниво на сложност с подробен отговор.
За завършване на диагностичната работа по математика се отделят 3 часа 55 минути (235 минути).
Отговорите на задачи 1-12 се записват като цяло число или последна десетична дроб. Напишете числата в полетата за отговори в текста на работата и след това ги прехвърлете във формуляр за отговори № 1. Когато изпълнявате задачи 13-19, трябва да запишете пълното решение и да отговорите във формуляр за отговори № 2.
Всички формуляри трябва да бъдат попълнени с ярко черно мастило. Можете да използвате гел, капилярни или фонтан химикалки.
Когато изпълнявате задачи, можете да използвате чернова. Записите в черновата не се вземат предвид при оценяване на работата.
Точките, които получавате за изпълнени задачи се сумират.
Желаем Ви успех!

Проблемни условия

1. Намерете дали
2. За получаване на увеличено изображение на електрическа крушка на екрана в лабораторията се използва събирателна леща с главно фокусно разстояние = 30 см. Разстоянието от лещата до електрическата крушка може да варира от 40 до 65 см. от обектива до екрана - в диапазона от 75 до 100 см изображението на екрана ще бъде ясно, ако съотношението е спазено. Посочете на какво максимално разстояние от обектива може да се постави електрическата крушка, за да е ясно изображението й на екрана. Изразете отговора си в сантиметри.
3. Моторният кораб пътува по реката до местоназначението си в продължение на 300 км и след спиране се връща в точката на отплаване. Намерете скоростта на течението, ако скоростта на кораба в неподвижна вода е 15 km/h, престоят е 5 часа и корабът се връща в точката на отплаване 50 часа след отплаването. Дайте своя отговор в км/ч.
4. Намерете най-малката стойност на функцията върху отсечката
5. а) Решете уравнението б) Намерете всички корени на това уравнение, принадлежащи на отсечката
6. Даден е прав кръгов конус с връх М. Аксиалното сечение на конуса е триъгълник с ъгъл 120° при върха М. Образуващата на конуса е . През точката Мчаст от конуса е начертана перпендикулярно на една от образуващите.
   а) Докажете, че полученият триъгълник в напречно сечение е тъп.
   б) Намерете разстоянието от центъра ОТНОСНОосновата на конуса към равнината на сечението.
7. Решете уравнението
8. Кръг с център ОТНОСНОдокосва отстрани ABравнобедрен триъгълник ABC,разширение на страната ACи продължение на основата слънцев точката н. Точка М- средата на основата слънце
   а) Докажете това MN = AC.
   б) Намерете ОПЕРАЦИОННА СИСТЕМА,ако страните на триъгълника ABCса равни на 5, 5 и 8.
9. Бизнес проект „А” предполага увеличение на инвестираните в него суми с 34,56% годишно през първите две години и с 44% годишно през следващите две години. Проект "B" предполага нарастване с постоянно цяло число нпроцента годишно. Намерете най-малката стойност н, при което през първите четири години проект „Б” ще бъде по-доходоносен от проект „А”.
10. Намерете всички стойности на параметъра , , за всяка от които системата от уравнения има уникално решение
11. Аня играе игра: две различни естествени числа са написани на дъската и , и двете са по-малки от 1000. Ако и двете са естествени, тогава Аня прави ход - тя заменя предишните с тези две числа. Ако поне едно от тези числа не е естествено, тогава играта приключва.
    а) Може ли играта да продължи точно три хода?
    б) Има ли две начални числа, така че играта да продължи поне 9 хода?
    в) Аня направи първия ход в играта. Намерете възможно най-голямото отношение на произведението на получените две числа към произведението