Lim x клони към 3 x. Ограничения

Елементарни функции и техните графики.

Основните елементарни функции са: степенна функция, експоненциална функция, логаритмична функция, тригонометрични функции и обратни тригонометрични функции, както и полином и рационална функция, която е отношението на два полинома.

Елементарните функции включват и онези функции, които се получават от елементарни чрез прилагане на основните четири аритметични операции и образуване на сложна функция.

Графики на елементарни функции

	Права- графика на линейна функция y = ax + b. Функцията y монотонно нараства при a > 0 и намалява при a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Парабола- графика на квадратната тричленна функция y = ax 2 + bx + c. Има вертикална ос на симетрия. Ако a > 0, има минимум, ако a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0
	Хипербола- графика на функцията. При a > O се намира в I и III четвърти, когато a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) или y - - x(a< 0).
	Експоненциална функция. Изложител(експоненциална функция към основа e) y = e x. (Друг правопис y = exp(x)). Асимптотата е абсцисната ос.
	Логаритмична функция y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Синусоида- периодична функция с период T = 2π

Ограничение на функцията.

Функцията y=f(x) има число A като граница, когато x клони към a, ако за всяко число ε › 0 съществува число δ › 0 такова, че | y – A | ‹ ε ако |x - a| ‹ δ,

или lim y = A

Непрекъснатост на функцията.

Функцията y=f(x) е непрекъсната в точката x = a, ако lim f(x) = f(a), т.е.

границата на функция в точка x = a е равна на стойността на функцията в дадена точка.

Намиране на границите на функциите.

Основни теореми за границите на функциите.

1. Границата на постоянна стойност е равна на тази постоянна стойност:

2. Границата на алгебрична сума е равна на алгебричната сума на границите на тези функции:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Границата на произведението на няколко функции е равна на произведението на границите на тези функции:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Границата на частното на две функции е равна на частното на границите на тези функции, ако границата на знаменателя не е равна на 0:

lim------- = ----------

Първата забележителна граница: lim --------- = 1

Втора забележителна граница: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Примери за намиране на граници на функции.

5.1. Пример:

Всеки лимит се състои от три части:

1) Добре познатата икона за ограничение.

2) Записи под иконата за ограничение. Записът гласи „X клони към единица“. Най-често това е x, въпреки че вместо „x“ може да има всяка друга променлива. На мястото на единица може да има абсолютно всяко число, както и безкрайност 0 или .

3) Функции под знака за граница, в този случай .

Самият запис се чете така: „границата на функция, когато x клони към единица.“

Много важен въпрос - какво означава изразът "x"? се стремидо един"? Изразът "x" се стремидо едно” трябва да се разбира по следния начин: “x” последователно приема стойностите които се доближават до единството безкрайно близо и практически съвпадат с него.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените едно във функцията под знака за ограничение:

И така, първото правило : Когато ви бъде даден лимит, първо просто вмъкнете числото във функцията.

5.2. Пример с безкрайност:

Нека да разберем какво е това? Такъв е случаят, когато се увеличава неограничено.

Така че, ако , след това функцията клони към минус безкрайност:

Според нашето първо правило вместо „X“ заместваме във функцията безкрайност и получаваме отговора.

5.3. Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията.
Заключение: функцията се увеличава неограничено

5.4. Поредица от примери:

Опитайте се сами да анализирате наум следните примери и да решите най-простите типове ограничения:

, , , , , , , , ,

Какво трябва да запомните и разберете от горното?

Когато се даде някакъв лимит, първо просто включете числото във функцията. В същото време трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите ограничения, като напр , , и т.н.

6. Граници с несигурност на типа и метод за тяхното решаване.

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, чийто числител и знаменател съдържат полиноми.

6.1. Пример:

Изчислете лимита

Според нашето правило се опитваме да заменим безкрайността във функцията. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме това, което се нарича видова несигурност. Може да се мисли, че = 1 и отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и трябва да приложите някаква техника за решаване, която сега ще разгледаме.

Как да решим ограничения от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност:

Водещата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и го намираме на най-висока степен:

Най-високата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решение е следният: за разкриване на несигурност трябва да разделите числителя и знаменателя на в старшата степен.

Следователно отговорът не е 1.

Пример

Намерете границата

Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен:

Максимална степен в числителя: 3

Максимална степен в знаменателя: 4

Избирам най великстойност, в този случай четири.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на .

Пример

Намерете границата

Максимална степен на “X” в числителя: 2

Максимална степен на „X“ в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да разкриете несигурността, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на . Крайното решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

За тези, които искат да научат как да намират лимити, в тази статия ще ви разкажем за това. Няма да се задълбочаваме в теорията, учителите обикновено я изнасят на лекции. Така че „скучната теория“ трябва да бъде записана в тетрадките ви. Ако това не е така, тогава можете да прочетете учебници, взети от библиотеката на учебното заведение или от други интернет ресурси.

И така, понятието граница е доста важно при изучаването на висшата математика, особено когато срещнете интегрално смятане и разберете връзката между граница и интеграл. Настоящият материал ще разгледа прости примери, както и начини за тяхното решаване.

Примери за решения

Какво да правим с несигурността на формата: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Нека увеличим границата в последните два примера до безкрайност и разгледаме несигурността: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Алгоритъм за изчисляване на граници

И така, нека накратко да обобщим примерите и да създадем алгоритъм за решаване на границите:

1. Заместете точка x в израза след знака за граница. Ако се получи определено число или безкрайност, тогава границата е напълно решена. В противен случай имаме несигурност: „нула, разделена на нула“ или „безкрайност, разделена на безкрайност“ и преминете към следващите стъпки от инструкциите.
2. За да премахнете несигурността на „нула, разделена на нула“, трябва да разложите числителя и знаменателя на множители. Намалете подобните. Заместете точка x в израза под знака за граница.
3. Ако несигурността е „безкрайност, разделена на безкрайност“, тогава изваждаме и числителя, и знаменателя x в най-голяма степен. Скъсяваме X-овете. Заместваме стойностите на x от под границата в останалия израз.

В тази статия научихте основите на решаването на граници, често използвани в курса по смятане. Разбира се, това не са всички видове задачи, предлагани от изпитващите, а само най-простите граници. Ще говорим за други видове задачи в бъдещи статии, но първо трябва да научите този урок, за да продължите напред. Нека обсъдим какво да правим, ако има корени, степени, изучаваме безкрайно малки еквивалентни функции, забележителни граници, правилото на L'Hopital.

Ако не можете сами да разберете границите, не се паникьосвайте. Винаги се радваме да помогнем!

функция y = f (х)е закон (правило), според който всеки елемент x от множеството X се свързва с един и само един елемент y от множеството Y.

Елемент х ∈ XНаречен аргумент на функциятаили независима променлива.
Елемент y ∈ YНаречен стойност на функциятаили зависима променлива.

Множеството X се нарича област на функцията.
Набор от елементи y ∈ Y, които имат прообрази в множеството X, се нарича област или набор от функционални стойности.

Действителната функция се извиква ограничен отгоре (отдолу), ако има число M такова, че неравенството е валидно за всички:
.
Извиква се числовата функция ограничен, ако има число M такова, че за всички:
.

Горен ръбили точна горна границаРеална функция се нарича най-малкото число, което ограничава диапазона от стойности отгоре. Тоест, това е число s, за което за всеки и за всеки има аргумент, чиято функционална стойност надвишава s′: .
Горната граница на функция може да бъде обозначена по следния начин:
.

Съотв долен ръбили точна долна границаРеална функция се нарича най-голямото число, което ограничава диапазона от стойности отдолу. Тоест, това е число i, за което за всеки и за всеки има аргумент, чиято функционална стойност е по-малка от i′: .
Инфимумът на функция може да бъде означен по следния начин:
.

Определяне на лимит на функция

Определяне на границата на функция по Коши

Крайни граници на функция в крайните точки

Нека функцията е дефинирана в някаква околност на крайната точка, с възможно изключение на самата точка. в точка, ако за всяко има такова нещо, в зависимост от , че за всички x, за които , неравенството е в сила
.
Границата на функция се обозначава по следния начин:
.
Или при .

Използвайки логическите символи на съществуване и универсалност, дефиницията на границата на функция може да бъде написана по следния начин:
.

Едностранни ограничения.
Лява граница в точка (лява граница):
.
Дясна граница в точка (дясна граница):
.
Лявата и дясната граница често се обозначават по следния начин:
; .

Крайни граници на функция в безкрайни точки

Границите в безкрайни точки се определят по подобен начин.
.
.
.
Те често се наричат:
; ; .

Използване на концепцията за околност на точка

Ако въведем концепцията за пунктирана околност на точка, тогава можем да дадем единна дефиниция на крайната граница на функция в крайни и безкрайно отдалечени точки:
.
Тук за крайни точки
; ;
.
Всяко съседство на точки в безкрайност е пробито:
; ; .

Безкрайни граници на функциите

Определение
Нека функцията е дефинирана в някаква пунктирана околност на точка (крайна или в безкрайност). Граница на функция f (х)като x → x 0 е равно на безкрайност, ако за всяко произволно голямо число M > 0 , има число δ M > 0 , в зависимост от M, че за всички x, принадлежащи на пунктираната δ M - околност на точката: , е валидно следното неравенство:
.
Безкрайната граница се обозначава по следния начин:
.
Или при .

Използвайки логическите символи на съществуване и универсалност, дефиницията на безкрайната граница на функция може да бъде написана по следния начин:
.

Можете също така да въведете дефиниции на безкрайни граници на определени знаци, равни на и :
.
.

Универсална дефиниция на лимита на функция

Използвайки концепцията за околност на точка, можем да дадем универсална дефиниция на крайната и безкрайната граница на функция, приложима както за крайни (двустранни и едностранни), така и за безкрайно отдалечени точки:
.

Определяне на границата на функция по Хайне

Нека функцията е дефинирана на някакво множество X:.
Числото a се нарича граница на функциятав точка:
,
ако за всяка последователност, сходна към x 0 :
,
чиито елементи принадлежат на множеството X: ,
.

Нека напишем това определение, използвайки логическите символи на съществуване и универсалност:
.

Ако вземем лявата околност на точката x като множество X 0 , тогава получаваме дефиницията на лявата граница. Ако е дясна, тогава получаваме дефиницията на дясната граница. Ако вземем околността на точка в безкрайност като множество X, получаваме дефиницията на границата на функция в безкрайност.

Теорема
Дефинициите на Коши и Хайне за границата на функция са еквивалентни.
Доказателство

Свойства и теореми за границата на функция

Освен това приемаме, че разглежданите функции са дефинирани в съответната околност на точката, която е крайно число или един от символите: . Тя може да бъде и едностранна гранична точка, тоест да има формата или . Кварталът е двустранен за двустранна граница и едностранен за едностранна граница.

Основни свойства

Ако стойностите на функцията f (х)променя (или прави недефиниран) краен брой точки x 1, x 2, x 3, ... x n, тогава тази промяна няма да повлияе на съществуването и стойността на границата на функцията в произволна точка x 0 .

Ако има крайна граница, тогава има пунктирана околност на точката x 0 , на която функцията f (х)ограничен:
.

Нека функцията има в точка x 0 крайна ненулева граница:
.
Тогава за произволно число c от интервала има такава пунктирана околност на точката x 0 , за какво ,
, Ако ;
, Ако .

Ако в някои пунктирани околности на точката, , е константа, тогава .

Ако има крайни граници и и върху някаква пунктирана околност на точката x 0
,
Че .

Ако , и в някои околности на точката
,
Че .
По-специално, ако в някакъв квартал на точка
,
тогава ако , тогава и ;
ако , тогава и .

Ако в някаква пунктирана околност на точка x 0 :
,
и има крайни (или безкрайни с определен знак) равни граници:
, Че
.

Доказателствата за основните свойства са дадени на страницата
"Основни свойства на границите на функция."

Аритметични свойства на границата на функция

Нека функциите и са дефинирани в някаква пунктирана околност на точката . И нека има крайни граници:
И .
И нека C е константа, тоест дадено число. Тогава
;
;
;
, Ако .

Ако, тогава.

На страницата са дадени доказателства за аритметични свойства
„Аритметични свойства на границите на функция“.

Критерий на Коши за съществуване на лимит на функция

Теорема
За да има функция, дефинирана в някакъв пунктиран околност на крайна или безкрайна точка x 0 , имаше крайна граница в тази точка, е необходимо и достатъчно за всяко ε > 0 имаше такава пробита околност на точката x 0 , че за всякакви точки и от тази околност е валидно следното неравенство:
.

Лимит на сложна функция

Теорема за границата на сложна функция
Нека функцията има граница и картографира пунктирана околност на точка върху прободена околност на точка. Нека функцията е дефинирана в тази околност и има ограничение върху нея.
Ето крайните или безкрайно отдалечени точки: . Кварталите и съответните им граници могат да бъдат както двустранни, така и едностранни.
Тогава има граница на сложна функция и тя е равна на:
.

Граничната теорема на сложна функция се прилага, когато функцията не е дефинирана в точка или има стойност, различна от границата. За да се приложи тази теорема, трябва да има пробита околност на точката, където наборът от стойности на функцията не съдържа точката:
.

Ако функцията е непрекъсната в точка , тогава знакът за граница може да се приложи към аргумента на непрекъснатата функция:
.
Следва теорема, съответстваща на този случай.

Теорема за границата на непрекъсната функция на функция
Нека има граница на функцията g (T)като t → t 0 , и е равно на x 0 :
.
Ето точка t 0 може да бъде ограничено или безкрайно отдалечено: .
И нека функцията f (х)е непрекъсната в точка x 0 .
Тогава има граница на комплексната функция f (g(t)), и е равно на f (x0):
.

Доказателствата на теоремите са дадени на страницата
"Граница и непрекъснатост на сложна функция".

Безкрайно малки и безкрайно големи функции

Безкрайно малки функции

Определение
За една функция се казва, че е безкрайно малка, ако
.

Сбор, разлика и произведениена краен брой безкрайно малки функции при е безкрайно малка функция при .

Продукт на ограничена функцияна някои пунктирани околности на точката, до безкрайно малка при е безкрайно малка функция при .

За да има една функция краен предел е необходимо и достатъчно, че
,
където е безкрайно малка функция при .

„Свойства на безкрайно малки функции“.

Безкрайно големи функции

Определение
За една функция се казва, че е безкрайно голяма, ако
.

Сборът или разликата на ограничена функция в някаква пунктирана околност на точката и безкрайно голяма функция при е безкрайно голяма функция при .

Ако функцията е безкрайно голяма за и функцията е ограничена в някаква пробита околност на точката, тогава
.

Ако функцията, в някаква пунктирана околност на точката, удовлетворява неравенството:
,
и функцията е безкрайно малка при:
, и (на някои пробити околности на точката), тогава
.

Доказателствата за свойствата са представени в раздел
„Свойства на безкрайно големи функции“.

Връзка между безкрайно големи и безкрайно малки функции

От двете предишни свойства следва връзката между безкрайно големи и безкрайно малки функции.

Ако една функция е безкрайно голяма при , тогава функцията е безкрайно малка при .

Ако една функция е безкрайно малка за , и , тогава функцията е безкрайно голяма за .

Връзката между безкрайно малка и безкрайно голяма функция може да се изрази символично:
, .

Ако една безкрайно малка функция има определен знак при , т.е. тя е положителна (или отрицателна) в някои пунктирани околности на точката , тогава този факт може да се изрази по следния начин:
.
По същия начин, ако безкрайно голяма функция има определен знак при , тогава те пишат:
.

Тогава символната връзка между безкрайно малки и безкрайно големи функции може да се допълни със следните отношения:
, ,
, .

Допълнителни формули, свързани със символи за безкрайност, могат да бъдат намерени на страницата
"Точки в безкрайността и техните свойства."

Граници на монотонни функции

Определение
Извиква се функция, дефинирана върху някакъв набор от реални числа X строго нараства, ако за всички такива, че следва следното неравенство:
.
Съответно за строго намаляващфункция важи следното неравенство:
.
За ненамаляващ:
.
За ненарастващ:
.

От това следва, че една строго нарастваща функция е и ненамаляваща. Строго намаляваща функция също е ненарастваща.

Функцията се извиква монотонен, ако не намалява или не нараства.

Теорема
Нека функцията не намалява на интервала, където .
Ако е ограничено отгоре с числото M: тогава има крайна граница. Ако не е ограничено отгоре, тогава .
Ако е ограничено отдолу с числото m: тогава има крайна граница. Ако не е ограничено отдолу, тогава .

Ако точките a и b са в безкрайност, тогава в изразите граничните знаци означават, че .
Тази теорема може да се формулира по-компактно.

Нека функцията не намалява на интервала, където . След това има едностранни граници в точки a и b:
;
.

Подобна теорема за ненарастваща функция.

Нека функцията не нараства на интервала, където . След това има едностранни ограничения:
;
.

Доказателството на теоремата е представено на страницата
"Граници на монотонни функции".

Препратки:
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.

Понятия за граници на последователности и функции. Когато е необходимо да се намери границата на редица, се записва така: lim xn=a. В такава поредица от последователности xn клони към a и n клони към безкрайност. Последователността обикновено се представя като серия, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последователностите са разделени на нарастващи и намаляващи. Например:
xn=n^2 - нарастваща последователност
yn=1/n - последователност
Така, например, границата на последователността xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Тази граница е равна на нула, тъй като n→∞ и редицата 1/n^2 клони към нула.

Обикновено променливата величина x клони към крайна граница a и x непрекъснато се доближава до a, а величината a е постоянна. Това се записва по следния начин: limx =a, докато n може също да клони към нула или безкрайност. Има безкрайни функции, за които границата клони към безкрайност. В други случаи, когато например функцията забавя влак, е възможно ограничението да клони към нула.
Ограниченията имат редица свойства. Обикновено всяка функция има само едно ограничение. Това е основното свойство на лимита. Други са изброени по-долу:
* Лимитът на сумата е равен на сумата от лимитите:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Лимитът на продукта е равен на произведението на лимитите:
lim(xy)=lim x*lim y
* Лимитът на частното е равен на частното на лимитите:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянният коефициент се взема извън граничния знак:
lim(Cx)=C lim x
Дадена е функция 1 /x, в която x →∞, нейната граница е нула. Ако x→0, границата на такава функция е ∞.
За тригонометричните функции има някои от тези правила. Тъй като функцията sin x винаги клони към единица, когато се доближава до нула, за нея е валидна идентичността:
lim sin x/x=1

В редица функции има функции, при изчисляване на границите на които възниква несигурност - ситуация, при която границата не може да бъде изчислена. Единственият изход от тази ситуация е L'Hopital. Има два вида несигурност:
* несигурност на формата 0/0
* несигурност на формата ∞/∞
Например, дадена е граница от следната форма: lim f(x)/l(x) и f(x0)=l(x0)=0. В този случай възниква несигурност от формата 0/0. За да се реши такъв проблем, двете функции се диференцират, след което се намира границата на резултата. За несигурности от тип 0/0 границата е:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Същото правило е вярно и за несигурности от типа ∞/∞. Но в този случай е вярно следното равенство: f(x)=l(x)=∞
Използвайки правилото на L'Hopital, можете да намерите стойностите на всички граници, в които се появяват несигурности. Предпоставка за

обем - няма грешки при намиране на производни. Така, например, производната на функцията (x^2)" е равна на 2x. От тук можем да заключим, че:
f"(x)=nx^(n-1)

Теорията на границите е един от клоновете на математическия анализ. Въпросът за решаване на лимити е доста обширен, тъй като има десетки методи за решаване на лимити от различни видове. Има десетки нюанси и трикове, които ви позволяват да разрешите този или онзи лимит. Въпреки това ще се опитаме да разберем основните видове лимити, които най-често се срещат на практика.

Нека започнем със самата концепция за лимит. Но първо, кратка историческа справка. През 19 век е живял французинът Огюстен Луи Коши, който е положил основите на математическия анализ и е дал строги дефиниции, по-специално определението за граница. Трябва да се каже, че същият този Коши беше, е и ще бъде в кошмарите на всички студенти от факултетите по физика и математика, тъй като той доказа огромен брой теореми на математическия анализ и всяка теорема е по-отвратителна от другата. В това отношение няма да разглеждаме стриктна дефиниция на лимита, а ще се опитаме да направим две неща:

1. Разберете какво е лимит.
2. Научете се да решавате основните видове лимити.

Извинявам се за някои ненаучни обяснения, важно е материалът да е разбираем дори за чайник, каквато всъщност е задачата на проекта.

И така, каква е границата?

И само пример защо на рошава баба....

Всеки лимит се състои от три части:

1) Добре познатата икона за ограничение.
2) Записи под иконата за ограничение, в този случай . Записът гласи „X клони към единица“. Най-често - точно, въпреки че вместо "X" на практика има други променливи. В практическите задачи мястото на единица може да бъде абсолютно всяко число, както и безкрайност ().
3) Функции под знака за граница, в този случай .

Самият запис се чете така: „границата на функция, когато x клони към единица.“

Нека разгледаме следващия важен въпрос - какво означава изразът "x"? се стремидо един"? И какво изобщо означава „стремеж“?
Концепцията за лимит е концепция, така да се каже, динамичен. Нека изградим последователност: първо , след това , , …, , ….
Тоест изразът „х се стремидо едно” трябва да се разбира по следния начин: “x” последователно приема стойностите които се доближават до единството безкрайно близо и практически съвпадат с него.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените едно във функцията под знака за ограничение:

И така, първото правило: Когато ни бъде дадено ограничение, първо просто се опитваме да включим числото във функцията.

Разгледахме най-простата граница, но и такива се срещат на практика и то не толкова рядко!

Пример с безкрайност:

Нека да разберем какво е това? Такъв е случаят, когато нараства неограничено, тоест: първо, след това, след това, след това и така нататък до безкрайност.

Какво се случва с функцията в този момент?
, , , …

И така: ако , тогава функцията клони към минус безкрайност:

Грубо казано, според нашето първо правило, вместо „X“ заместваме безкрайността във функцията и получаваме отговора.

Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията:

Заключение: когато функцията нараства неограничено:

И още една поредица от примери:

Моля, опитайте се да анализирате мислено следното за себе си и запомнете най-простите видове ограничения:

, , , , , , , , ,
Ако някъде се съмнявате, можете да вземете калкулатор и да тренирате малко.
В случай, че , опитайте се да конструирате последователността , , . Ако , тогава , , .

Забележка: строго погледнато, този подход за конструиране на последователности от няколко числа е неправилен, но за разбиране на най-простите примери е доста подходящ.

Обърнете внимание и на следното. Дори ако е дадено ограничение с голямо число в горната част или дори с милион: , тогава всичко е същото , тъй като рано или късно "X" ще придобие такива гигантски стойности, че милион в сравнение с тях ще бъде истински микроб.

Какво трябва да запомните и разберете от горното?

1) Когато ни е дадено ограничение, първо просто се опитваме да заменим числото във функцията.

2) Трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите ограничения, като напр , и т.н.

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, чийто числител и знаменател съдържат полиноми

Пример:

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функцията. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме това, което се нарича видова несигурност. Може да се мисли, че , и отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и е необходимо да се приложи някаква техника за решаване, която сега ще разгледаме.

Как да решим ограничения от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност:

Водещата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и го намираме на най-висока степен:

Най-високата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решение е следният: за да се разкрие несигурността, е необходимо да се разделят числителят и знаменателят на най-високата степен.

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е фундаментално важно при проектирането на решение?

Първо, посочваме несигурност, ако има такава.

Второ, препоръчително е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той няма математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в лимита е препоръчително да маркирате какво къде отива. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи по този начин:

По-добре е да използвате обикновен молив за бележки.

Разбира се, не е нужно да правите нищо от това, но тогава може би учителят ще посочи недостатъци в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси относно задачата. трябва ли ти

Пример 2

Намерете границата
Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен:

Максимална степен в числителя: 3
Максимална степен в знаменателя: 4
Избирам най великстойност, в този случай четири.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на .
Цялата задача може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 3

Намерете границата
Максимална степен на “X” в числителя: 2
Максимална степен на „X“ в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да разкриете несигурността, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на . Крайното решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Нотацията не означава деление на нула (не можете да делите на нула), а деление на безкрайно малко число.

По този начин, като разкрием несигурността на видовете, може да успеем крайно число, нула или безкрайност.

Граници с неопределеност на вида и метода за решаването им

Следващата група граници е донякъде подобна на току-що разгледаните граници: числителят и знаменателят съдържат полиноми, но „x“ вече не клони към безкрайност, а към крайно число.

Пример 4

Ограничение за решаване
Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дробта:

В този случай се получава така наречената неопределеност.

Общо правило: ако числителят и знаменателят съдържат полиноми и има несигурност на формата, тогава да го разкриете трябва да разделите числителя и знаменателя на множители.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и/или да използвате формули за съкратено умножение. Ако тези неща са забравени, посетете страницата Математически формули и таблиции прочетете учебния материал Горещи формули за училищен курс по математика. Между другото, най-добре е да го отпечатате, изисква се много често и информацията се абсорбира по-добре от хартията.

И така, нека решим нашата граница

Разложете на множители числителя и знаменателя

За да разложите числителя на множители, трябва да решите квадратното уравнение:

Първо намираме дискриминанта:

И корен квадратен от него: .

Ако дискриминантът е голям, например 361, използваме калкулатор; функцията за извличане на корен квадратен е на най-простия калкулатор.

! Ако коренът не е извлечен изцяло (получава се дробно число със запетая), много вероятно е дискриминантът да е изчислен неправилно или да има правописна грешка в задачата.

След това намираме корените:

По този начин:

Всичко. Числителят е факторизиран.

Знаменател. Знаменателят вече е най-простият фактор и няма начин да го опростим.

Очевидно може да се съкрати до:

Сега заместваме -1 в израза, който остава под знака за ограничение:

Естествено, в тест, тест или изпит решението никога не се описва толкова подробно. В крайната версия дизайнът трябва да изглежда така:

Нека разложим числителя на множители.

Пример 5

Изчислете лимита

Първо, „завършената“ версия на решението

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител:
Знаменател:



,

Кое е важното в този пример?
Първо, трябва да разбирате добре как се разкрива числителят, първо извадихме 2 от скобите и след това използвахме формулата за разликата на квадратите. Това е формулата, която трябва да знаете и да видите.