Инерционен момент по метода на трептене на физическо махало. Определяне на инерционния момент на махалото на Максуел

Нека означим с Джинерционният момент на махалото спрямо оста О. Нека точка С е центърът на масата. Силата на гравитацията може да се разложи на два компонента, единият от които е балансиран от реакцията на оста. Махалото започва да се движи под въздействието на друг компонент, величина, която:

За малки ъгли грях а » а и израз (1) записваме:

Знакът минус означава, че силата е насочена в посока, обратна на отклонението на махалото от равновесното положение.

Основното уравнение за динамиката на въртеливото движение на физическо махало ще бъде написано:

Момент на сила спрямо оста O, като се вземе предвид (2):

Където л– разстояние от центъра на масата C до оста O.

Ъглово ускорение на махалото:

Поставяйки (4) и (5) в уравнение (3), получаваме:

където

Като определи

получаваме:

По структура уравнение (6) е диференциално уравнение на хармонични трептения с циклична честотаw . Периодът на трептене на физическо махало е равен на:

Оттук и инерционният момент на физическото махало:

величина

се нарича редуцирана дължина на физическо махало, равна на дължината на математическо махало, което има същия период на трептене като физическото, т.е.

Точка O 1, разположена на права линия, прекарана през точката на окачване O и центъра на масата C, на разстояние от дадената дължинал 0 от оста на въртене се нарича център на люлеене на махалото (фиг. 1). Центърът на люлеене винаги е под центъра на масата. Точката на окачване O и центърът на люлеене O 1 са спрегнати един с друг, т.е. преместването на точката на окачване към центъра на люлеенето не променя периода на трептене на махалото. Точката на окачване и центърът на люлеене са обратими, а разстоянието между тези точки е намалената дължинал 0 един от видовете физическо махало, така нареченото обратимо махало.

Нека означим с Дж 0 инерционен момент на махало около ос, минаваща през неговия център на масата. Въз основа на теоремата на Щайнер инерционният моментДжспрямо всяка ос, успоредна на първата:

Където м– маса на махалото,л– разстояние между осите.

Тогава, когато махалото е окачено от точката на окачване O, периодът на трептене е:

и когато е окачено от центъра на люлеене O 1, когато махалото е в обърната позиция, периодът е:

Където л 2 И л 1 – разстоянието между центъра на масата и съответните оси на вибрация.

От уравнения (9) и (10):

където:

Формула (11) остава валидна, когато махалото осцилира спрямо две произволни оси O и O/, не непременно спрегнати, но разположени от противоположните страни на центъра на масата на махалото.

Описание на работната настройка и метода на измерване.

За определяне на ускорението на гравитацията се използва устройството FP-1 (фиг. 2),

състоящ се от стенна скоба 1, върху която са монтирани 2 опорни призмени възглавници и физическо махало, което представлява хомогенен метален прът 11, върху който са закрепени лещи 5 и 9. Лещата 9 е фиксирана неподвижно и е неподвижна. Лещата 5, разположена в края на пръта, може да се движи по скала 3 с нониус 4 и се фиксира в желаната позиция с винт 6. Махалото може да бъде окачено на опорни призми 7 и 10. Устройството включва специална стойка за определяне на положението на центъра на масата на махалото. Чрез преместване на лещата 5 е възможно да се постигне равенство на периодите на колебание на махалото при окачването му на опорните призми 7 и 10, след което осите на колебание стават спрегнати, разстоянието между опорните призми става равно на намалената дължина на физическото махало.

Големината на гравитационното ускорение се определя въз основа на формула (11). Експериментът се свежда до измерване на количества T 1 , T 2 , л 1 , л 2 . Формула (8) е отправна точка за определяне на инерционния момент на физическо махало.

Напредък

1) Определяне на гравитационното ускорение .

1. Закачете махалото на опорната призма 7, отклонете го под малък ъгъл и измерете времето с хронометърT 1 30-50 пълни вибрации. Експериментът се повтаря най-малко 5 пъти и се намира средната времева стойност < T 1 > избран брой трептения.

2. Определете периода на трептене:

Където н– брой трептения.

3. За да намерите позицията на центъра на масата на махалото, извадете го от възглавниците на опорната призма и го балансирайте върху хоризонталния ръб на призмата, монтирана на масата, докато моментите на тежестта, действащи върху дясната и лявата част на махалото, ще бъдатравен. В случай на равновесие центърът на масата на махалото ще бъде разположен в пръта срещу опорната точка. Без да отстранявате махалото от ръба на призмата, измерете разстоянието с линийкал 1 между опора 7 и центъра на масата.

4. Обръщайки махалото, окачете го на опорната призма 10. Изберете същия брой трептенияни повторете експеримента поне 5 пъти, намерете периода на трептене:

В този случай измерените стойности на периодите T 1 и T 2 трябва да се различават с не повече от 5%

5. Намерете разстояниел 2 между ръба на опорната призма 10 и центъра на масата:л 2 = л 0 – л 1 където л 0 – разстоянието между ръбовете на опорните призми 7 и 10 (за това махалол 0 =0,730м).

6. Изчислете средната стойност < ж> по формула (11)

7. Абсолютната грешка на резултата се оценява въз основа на табличната стойност на желаната стойностж масаза географската ширина на Братск. Намерете относителната грешка.

8. Резултатите от измерванията и изчисленията са записани в таблица 1.

маса 1

2) Определяне на инерционния момент на физическо махало.

1. Намерете средната стойност на инерционния момент на физическо махалоДжспрямо оста на вибрациите съгласно формула (8). За трептения на махало, окачено на опора 10, Т = Т 2 ил = л 2. Маса на махалото м= 10,65 кг.

2. Използвайки метода за изчисляване на грешките на косвените измервания, намерете абсолютната грешка на резултата дДж.

3. Данните от резултатите от измерванията и изчисленията се въвеждат в таблица 2.

таблица 2

Въпроси за разрешение за работа

1. Каква е целта на работата?

2. Какво е физическо махало? Какъв тип махало се нарича реверсивно махало?

3. Запишете формулата за периода на трептене на физическо махало и обяснете физическия смисъл на количествата, включени в нея. При какви условия е валидна тази формула?

4. Опишете работната настройка и експерименталната процедура.

Въпроси за защита на вашата работа

1. Изведете формула за периода на трептене на физическо махало.

2. Получете диференциално уравнение за хармонични трептения на физическо махало и предоставете неговото решение.

3. Каква е намалената дължина на физическо махало?

4. Посочете теоремата на Щайнер.

5. Изведете работната формула:

за определяне на ускорението на свободното падане;

за определяне на инерционния момент на физическо махало.

6. Получете формула за изчисляване на относителната грешка, като използвате диференциалния методдДж/ Джи посочва начини за подобряване на точността на експерименталния резултат.

Навийте нишката на окачването около оста на махалото и я закрепете.

Проверете дали долният ръб на пръстена отговаря на нулата на скалата на колоната. Ако не, развийте горната скоба и регулирайте височината й. Завийте горната скоба.

Натиснете бутона “СТАРТ” на милисекундния часовник (мобилен телефон).

В момента, в който махалото премине долната точка, спрете часовника за милисекунди.

Навийте нишката за окачване около оста на махалото, като се уверите, че е навита равномерно, един оборот до друг.

Фиксирайте махалото, като се уверите, че нишката в това положение не е прекалено усукана.

Запишете измерената стойност на времето на падане на махалото.

Определете времето н= 10 пъти.

Определете стойността на средното време на падане на махалото, като използвате формулата:

Където н– брой направени измервания, t i– времева стойност, получена в аз- които замръзват, T– средната стойност на времето за падане на махалото.

С помощта на скалата на вертикалната колона на уреда определете разстоянието, изминато от махалото по време на падането.

Използвайки формула (11) и известни стойности на диаметъра d oИ d n, определете диаметъра на оста заедно с нишката, навита около нея.

Използвайки формула (10), изчислете масата на махалото заедно с пръстена, наложен в този експеримент. Върху тях са нанесени масовите стойности на отделните елементи.

Използвайки формула (9), определете инерционния момент на махалото.

Сравнете с теоретичната стойност на инерционния момент

I теория = I o + I m,

Където аз о– инерционен момент на оста, аз съм- момент на инерция на маховика, който се изчислява по следните формули:

I o = m o r o 2 / 2; I k = m m r m 2 / 2 .

Практически данни:

Дължина на махалото.

Маса 1.

Като заместим всичко и изчислим, получаваме:

I 1 =(0,00090±0,00001) kg*m2.

Заключение: По време на работата са определени инерционните моменти на махалото за различни дължини на навитата нишка и са определени грешките. Сравнението на изчислените резултати и експерименталната стойност разкрива значителна разлика в данните.

Заключение: Определихме експерименталните и теоретичните моменти на инерция на махалото, които възлизат на

и ги сравни

1.1. Движението на махалото на Максуел е пример за равнинно движение на твърдо тяло, при което траекториите на всички негови точки лежат в успоредни равнини. Това движение може да се сведе до постъпателно движение на махалото и въртеливо движение около ос, минаваща през неговия център на масата, перпендикулярна на тези равнини.

Този тип движение е широко разпространено в техниката: търкаляне на цилиндър в самолет, колела на автомобил, ролка на пътна кола, движение на въртящо се витло на хеликоптер и др.

1.2. Целта на тази лабораторна работа е експериментално да се запознаем с равнинното движение на твърдо тяло на примера на махалото на Максуел и да определим инерционния момент на махалото.

2. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ

2.1. Махалото на Максуел е малък маховик. Може да се спусне под въздействието на гравитацията и силата на опън на нишки, предварително навити по оста на махалото (фиг. 1). Нишките се развиват напълно по време на движението надолу. Неусуканият маховик продължава да се върти в същата посока и навива нишките около оста, в резултат на което се издига нагоре, като същевременно забавя движението си. След като достигне горната точка, тя отново започва да слиза надолу.

Маховикът извършва периодично повтарящи се движения, поради което се нарича махало. И така, движението на махалото на Максуел може да бъде разделено на два етапа: спускане и издигане.

2.2. Съгласно основните закони на динамиката на транслационното и въртеливото движение (за съответните оси), пренебрегвайки силите на триене във въздуха и отклонението на нишките от вертикалата, пишем

Където м- маса на махалото, аз- инерционен момент на махалото спрямо оста, - радиус на оста на махалото, н- сила на опън на всяка нишка, ж- ускорение на гравитацията, а- линейно ускорение на центъра на масата на махалото, - ъглово ускорение. Поради неразтегливостта на нишките

Тези уравнения се прилагат както за първия, така и за втория етап от движението на махалото. Началните условия на различните етапи са различни: когато махалото се спуска, началната скорост на центъра на масата му е нула, а когато се издига, тя е различна от нула.

2.3 От уравнения (1), (2), (3) следва

(5)

От зависимостта на пътя от времето при равномерно ускорено движение с нулева начална скорост може да се намери линейното ускорение на махалото

Където T- време на движение на махалото от горната до долната точка, ч- изминатото разстояние през това време. При ние имаме ; (7)

Имайте предвид, че посоките на линейното ускорение и силите на опън не зависят от това дали махалото се движи нагоре или надолу. По време на едно пълно трептене линейната скорост променя посоката си в долната точка към противоположната, но линейното ускорение и силите не се променят. Ъгловата скорост, напротив, не променя посоката си, но въртящият момент и ъгловото ускорение в долната точка са обърнати.

2.4. Когато се издига нагоре, махалото се движи еднакво бавно. Височина h2, до който се издига, ще бъде по-малък от този, от който се спуска h1. Разликата в тези височини определя намаляването на механичната енергия, изразходвана за преодоляване на силите на деформация на нишките при удар и силите на съпротивление при движение.

Пропорция на загубената механична енергия

(9)

ОПИСАНИЕ НА ИНСТАЛАЦИЯТА

3.1. Схемата за монтаж е показана на фиг. 2. Към основата 1 е закрепена колона 2, върху която е закрепена горната скоба 3, върху която има електромагнит 4, фотоелектрически датчик 5 и копче 6 за нивелиране на окачването на махалото. Към долната скоба е закрепен втори фотоелектричен датчик 7. Маховикът на махалото на Максуел се състои от диск 8, монтиран на ос 9 и закрепен към него масивен пръстен 10. Той е окачен на две успоредни нишки, навити на оста. Махалото се държи в горна позиция от електромагнит. Височините на спускане и повдигане на махалото се определят с помощта на милиметрова линийка 11, разположена на колоната на устройството. Милисекунден часовник MS 12 е предназначен за измерване на време Tдвижения на махалото на Максуел. Началото и краят на отчитането на времето се извършват автоматично с помощта на фотосензорите, споменати по-горе.

Инерционният момент на махалото на Максуел се определя косвено.

От уравнения (6) и (8) следва, че инерционният момент може да се изчисли по формулата

Тук м– обща маса на махалото,

m = m О+ м д+ мК , (11)

Където м О - маса на оста, м д - маса на диска.

4. РЕД ЗА ИЗМЕРВАНИЯ

4.1. Технически данни.

4.1.1. Въведете данните за инсталацията в таблицата. 1.

маса 1

4.1.2. Влезте в таблицата. 2 стойности на масите и диаметрите на елементите на махалото. Тези данни са посочени на инсталацията.

таблица 2

4.3. Определяне на инерционния момент на махалото на Максуел.

4.2.2. Навийте нишките на окачването върху оста на махалото симетрично, завой след завой и фиксирайте махалото. Трябва да работите много внимателно.

4.2.3. Пуснете махалото и започнете да отброявате времето. Спрете обратното броене в долната точка.

4.2.5. Въведете измерената стойност на времето на движение на махалото в таблица 3. Повтаряйки операциите в параграфи 4.2.2 и 4.2.3, измерете времето още 10 пъти и въведете данните в таблицата. 3.

Таблица 3

4.3. Определяне на загуба на механична енергия

4.3.1. Използвайте линийка, за да определите височината ч 1, от която се спуска махалото; въведете в таблицата 3.

4.3.2. Повторете операциите, описани в параграфи 4.2.2 и 4.2.3, оставете махалото да направи пет пълни трептения, измерете разликата във височината d h. Извършете това измерване веднъж и въведете резултата му в таблицата. 3.

5. ОБРАБОТКА НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ИЗМЕРВАНИЯТА

5.1. Определяне на инерционния момент на махалото на Максуел.

Изчислете средната стойност на времето на движение на махалото и я запишете в таблицата. 3.

Изчислете средната квадратична грешка при измерване на времето на движение на махалото

(12)

5.1.3. Изчислете абсолютната случайна грешка

D t sl = 2,1Д.С.. (13)

5.1.4. Изчислете общата абсолютна грешка

D t = D t сл + D t вкл.(14)

5.1.5. Изчислете относителната грешка

Поставете всички изчислени стойности в таблицата. 3.

5.1.6. Използвайки формула (10), изчислете инерционния момент на махалото, като замените средната му стойност.

5.1.7. Изчислете относителната грешка на инерционния момент на махалото

, (16)

Където D m , D r О, D h1- грешки на инструмента на съответните количества, Dt –обща абсолютна грешка на времето на движение; м-общата маса на махалото, изчислена по формула (11).

5.1.8. Въз основа на получената стойност д Джизчислете стойността на абсолютната грешка DJпри определяне на инерционния момент

DJ = e J J= . (17)

Кръгъл DJдо една значима цифра и стойностите `Jдо ниво на абсолютна грешка.

5.1.9. Напишете крайния резултат във формата

J =`J± D J =(±) kg × m 2 . (18)

5.2. Определяне на загубата на механична енергия по време на движение на махалото на Максуел.

5.2.1. Формула (9) изразява частта от механичната енергия, загубена по време на пет трептения на махалото на Максуел; за едно колебание делът ще бъде пет пъти по-малък:

6. ВЪПРОСИ, подавани за ЗАЩИТА НА РАБОТА

1. Основният закон на динамиката на постъпателното движение.

3. Как се променят импулсът и аксиалният ъглов импулс на махалото на Максуел в най-ниската точка на неговото движение? Обяснете причините си.

4. Закон за запазване на общата енергия за махалото на Максуел.

5. Намерете линейната и ъгловата скорост на махалото в най-ниската точка.

6. Инерционен момент на твърдо тяло (дефиниция). От какво зависи размерът му?

7. Намерете отношението на кинетичната енергия на постъпателното движение към кинетичната енергия на въртеливото движение за дадено махало на Максуел.

8. Как се променят линейните и ъгловите ускорения по време на периода на движение на махалото на Максуел?

9. Импулс и аксиален ъглов момент на твърдо тяло.

10. Оценете напрежението на нишките, когато махалото премине най-ниската точка (продължителността на „удара“ в него се приема равна на Dt"0,05c).

11. Как ще се промени времето на движение на махалото, ако радиусът на оста му се удвои?

12. Кинетична енергия на постъпателно и въртеливо движение на твърдо тяло.

13. Изчисляване на инерционния момент на диск с радиус Р, маса м

14. Какви сили и моменти на сили действат върху махалото на Максуел по време на неговото движение? Как се променят през периода?

15. Изчисляване на инерционния момент на пръстен с радиус Р, маса мспрямо ос, минаваща през центъра перпендикулярно на неговата равнина.

16. Получете формула (10) въз основа на закона за запазване на механичната енергия. (Моля, имайте предвид, че за махалото на Максуел E до vr >>E за публикуване).

17. В коя част от движението на махалото, горната или долната, загубата на механична енергия е по-голяма? Обяснете причините.

Физическото махало е твърдо тяло, което може да се люлее около фиксирана хоризонтална ос под въздействието на гравитацията.

Нека изобразим напречното сечение на махалото с равнина, перпендикулярна на оста на окачването и минаваща през центъра на масата на махалото С (фиг. 324, а).

Нека въведем следните обозначения: P е теглото на махалото, a е разстоянието OS от центъра на масата до оста на окачването и е инерционният момент на махалото спрямо оста на окачването. Позицията на махалото ще се определя от ъгъла на отклонение на линията на OS от вертикалата.

За да определим закона за трептене на махалото, използваме диференциалното уравнение на въртеливото движение (66). В този случай (знакът минус се взема, защото в момента е отрицателен, а в е положителен) и уравнение (66) приема формата

Разделяне на двете страни на равенството на и въвеждане на нотацията

нека намерим диференциалното уравнение на трептенията на махалото във формата

Полученото диференциално уравнение не може да бъде интегрирано в обикновени функции. Нека се ограничим до разглеждане на малки трептения на махалото, считайки ъгъла малък и приемайки приблизително . Тогава предишното уравнение приема формата

Това диференциално уравнение съвпада по форма с диференциалното уравнение на свободните праволинейни трептения на точка и общото му решение, по аналогия с равенството (68) от § 94, ще бъде

Ако приемем, че в началния момент махалото се отклонява малко и се освобождава без начална скорост, ще намерим стойностите на интеграционните константи

Тогава законът за малките трептения на махалото при дадени начални условия ще бъде

Следователно малките трептения на физическото махало са хармонични. Периодът на трептене на физическо махало, ако заместим k с неговата стойност (67), се определя по формулата

Както виждаме, при малки колебания периодът не зависи от ъгъла на първоначалното отклонение. Този резултат е приблизителен. Ако интегрираме диференциалното уравнение на трептенията на махалото, съставено в началото, без да считаме ъгъла в него за малък (т.е. без да приемаме), тогава можем да се убедим, че зависи от Приблизително тази зависимост има формата

От тук например следва, че при rad (около 23°) формула (68) определя периода с точност до

Получените резултати обхващат и случая на така нареченото математическо махало, т.е. товар с малък размер (който ще разглеждаме като материална точка), окачен на неразтеглива нишка с дължина l, чиято маса може да бъде пренебрегната в сравнение с масата на товара (фиг. 324, б). За математическото махало, тъй като е система, състояща се от една материална точка, очевидно ще бъде

Замествайки тези количества в равенство (68), откриваме, че периодът на малки колебания на математическото махало се определя от формулата

От сравнение на формули (68) и (68) става ясно, че с дължина

Периодът на трептене на математическото махало съвпада с периода на трептене на съответното физическо махало.

Дължината h на такова математическо махало, чийто период на трептене е равен на периода на трептене на дадено физическо махало, се нарича редуцирана дължина на физическото махало. Точка K, разположена на разстояние от оста на окачването, се нарича център на люлеене на физическото махало (виж фиг. 324).

Отбелязвайки, че според теоремата на Хюйгенс можем да редуцираме формула (69) до формата

От това следва, че разстоянието ОК винаги е по-голямо от т.е. че центърът на люлеене на махалото винаги е разположен под неговия център на масата.

От формула (69) става ясно, че . Следователно, ако поставите оста на окачването в точка K, тогава намалената дължина U на полученото махало според

Следователно точките K и O са взаимни, т.е. ако оста на окачването минава през точка K, тогава центърът на люлеене ще бъде точка O (тъй като периодът на трептене на махалото няма да се промени. Това свойство се използва в т.нар. обратно махало, което се използва за определяне на ускорението на гравитацията.