Дефиницията на свойството на обобщените сили е кратка. Обобщени сили и методи за тяхното изчисляване

Аналитична механика. Класификация на връзките. Примери. Възможни движения.

Връзка– това е връзката между координатите и скоростите на точките от системата, представена под формата на равенства или неравенства.

Класификация:

Геометричен– налага ограничения само на координатите на системните точки (скоростите не са включени)

Кинематичен– скоростите влизат в уравненията. Ако можете да се отървете от скоростите, тогава връзката е интегрирана.

Холономни връзки– геометрични и интегрируеми диференциални връзки.

Връзката се нарича холдинг(наложени или ограничения остават във всяка позиция на системата) и необуздана, които не притежават това свойство (от такива връзки, както се казва, системата може да бъде „освободена“

Възможно преместване

Всеки умствен

Безкрайно малък

Разрешено е преместване на системни точки

В този момент във времето

Връзки, наложени на системата.

Действително движение– зависи от сили, време, връзки, начални условия.

Възможното движение зависи само от връзките.

При стационарните връзки действителното движение е едно от възможните.

Идеални връзки. Принципът на възможните движения.

Идеаленсе наричат ​​връзки, при които сумата от елементарните работи на всичките им реакции върху всяко възможно преместване е равна на 0.

Принципът на възможните движения.

За равновесието на механична система с идеални стационарни връзки е необходимо и достатъчно сумата от елементарната работа на всички активни сили върху всяко възможно преместване да е равна на 0. В този случай за достатъчност началната скорост трябва да бъде равна до нула. Необходим баланс => Достатъчен => баланс.

Обобщени координати. Броят на степените на свобода на системата. Обобщени сили, методи за тяхното изчисляване. Условия на равновесие за система с холономни ограничения, изразени чрез обобщени сили.

Обобщени координати– независим параметър, който напълно определя позицията на системата и чрез който могат да се изразят всички декартови координати на точки в системата.

Броят на степените на свобода се определя от броя на обобщените координати

Броят на взаимно независимите скаларни величини, които еднозначно определят положението на механична система в пространството, се нарича брой степени на свобода.

Обобщените координати на механична система са всякакви геометрични величини, независими една от друга, които еднозначно определят позицията на системата в пространството.

Q i = δA j /δq j или δA j = Q i ⋅ δq j .

Обобщена сила- това е сила, която извършва същата работа върху възможно преместване по своята обобщена координата, както всички сили, приложени към системата върху съответното изместване на точките на тяхното приложение.

За да намерим обобщената сила, даваме възможното изместване по нейната обобщена координата, оставяйки другите координати непроменени. След това намираме работата, извършена от всички сили, приложени към системата, и разделяме на възможното изместване.

Принципът на възможните премествания по отношение на обобщените сили.

Тъй като в равновесие сумата от елементарната работа върху всяко възможно изместване ( bA=bр й , които не зависят едно от друго, то за това трябва да е вярно: Q 1 =0; Q2 =0; Q K =0

Лекция 24

12. ОБОБЩЕНИ КООРДИНАТИ, ОБОБЩЕНИ СИЛИ

За да въведем концепцията за обобщени координати, помислете за плоско двойно математическо махало, състоящо се от два безтегловни пръта с дължина л 1 И л 2 с точкови маси м 1 и м 2 в краищата (фиг. 12.1). Системата има две степени на свобода.

Наистина сърцевината ОМ 1 може да се върти около фиксирана хоризонтална ос ОТНОСНО, перпендикулярна на равнината на движение xOy, и пръчката М 1 М 2 – около хоризонтална ос, минаваща през точка М 1, в същата равнина. Следователно уравненията на ограниченията имат формата: z 1 = 0,z 2 = 0,

Следователно, тъй като н = 2 и броя на уравненията на ограниченията к= 4 тогава С = 3н -к = 2, т.е. само две от шестте декартови координати са независими и трябва да бъдат посочени. Останалите координати могат да бъдат изразени от уравненията на ограниченията чрез независими координати.

На практика координатите x 1, y 1z 1 , x 2 , y 2 , z 2 изразени чрез всякакви независими променливи от различен характер, в нашия случай те са ъглите и отклоненията на прътите от вертикалата:

х 1 = l 1× cosй 1 , y 1 = l 1× гряхй 1 , z 1 = 0;

x 2 = l 1× cosй 1 + l 2× cosй 2 , y 2 = l 1× гряхй 1 + l 2× гряхй 2 , z 2 = 0. (12.1)

Тук ъглите играят ролята на независими параметри, които еднозначно определят позицията на разглежданата механична система.

Нека сега имаме система нматериални точки, върху които се наслагват кхолономни връзки, дадени от уравнения (10.2). Тъй като броят на степените на свобода е равен С, тогава въвеждаме независими променливи q 1 , q 2 , ..., q s. Тогава за разглежданата система отношенията (12.1) приемат формата:

хн = хн (q 1, q 2, ...,qs,T);

прин = yн (q 1, q 2, ...,qs,T); (н= 1, 2,…, н),

zн = zн (q 1, q 2, ...,qs,T);

(q 1, q 2, ...,qs,T); (н= 1, 2,…, n). (12.2)

Имайте предвид, че независимите координати q m (m = 1, 2, …,с) – това не е непременно набор Спроменливи от декартовите координати хн, гн, zн. Те могат да бъдат променливи от различно естество, така че в горния пример вместо декартови координати бяха въведени ъглови координати.

S независими параметриq 1, q 2, ..., q s, които еднозначно определят положението на точките от материалната система, съвместими с връзките, се наричат ​​обобщени координати..

Производни на обобщени координати по време се наричат ​​обобщени скорости ( = dq m/dt).

Размерността на обобщената скорост зависи от размерността на обобщената координата: ако q mтогава е линейна величина – линейна скорост; Ако q m– тогава ъгъл - ъглова скорост; Ако q m– област, тогава – секторна скорост. Следователно понятието обобщена скорост обхваща всички познати ни понятия за скорост.

За да се въведе концепцията за обобщени сили, разгледайте холономна система, състояща се от нматериални точки, върху които действат съответно силите , , .... Нека системата има Сстепени на свобода, а положението му се определя от обобщени координати q 1, q 2, ...,qs. Нека информираме системата във фиксиран момент от време такова виртуално движение, при което обобщената координата q mнарастване на печалбите дq m> 0, а останалите обобщени координати не се променят. Тогава всеки радиус вектор ще получи виртуално изместване ( ) м, което се изчислява като частичен диференциал:

(д) м= . (12.3)

Съгласно (10.9), виртуалната работа на всички активни сили с вариация дq mобобщени координати q mще се запише във формата:

Където (12.4)

Количеството се нарича обобщена сила, съответстваща обобщена координатаq m. Ако всички Собобщените координати в даден момент получават положителни увеличения (вариации) дq 1,дq2, ..., дqs, тогава общата виртуална работа на всички активни сили в обобщени координати

От израз (12.5) следва, че обобщените сили представляват коефициенти за вариации на обобщените координати в израза за виртуална работа.Проектирайки (11.4) върху декартовите оси, получаваме

. (12.6)

Ако всички действащи сили са потенциални, тогава техните проекции Енх, Енг, Енzвърху декартовите оси може да се изрази като потенциална енергия Псистеми по формулите:

(22.7)

Замествайки (12.7) в (12.6), получаваме:

За механична система, разположена в потенциално силово поле, обобщената сила се определя от частната производна на потенциалната енергия по отношение на съответната обобщена координата, взета с обратен знак:

. (12.8)

Обърнете внимание, че измерението на обобщената сила е равно на измерението на работата, разделено на измерението на обобщената координата.

Пример 12.1. Определете обобщената сила на математическо махало с тегло , ако дължината на нишката е л. Вземете ъгъла на отклонение като обобщена координата ймахало от вертикалата (фиг. 12.2).

Ориз. 12.2 Фиг. 12.3

Решение.Математическото махало е система с една степен на свобода ( S=1), тъй като за определяне на позицията му е достатъчно да зададете един параметър.

Помислете за махало в произволна позиция. За обобщена координата рнека вземем ъгъла й. Активната сила, действаща върху махалото, е гравитацията .

Метод 1.Тъй като силата е потенциална, тогава да се определи обобщената сила QНека използваме формула (12.8). За изчисляване на потенциалната енергия Пнека насочим оста на махалото хвертикално надолу, приемайки точката за източник на потенциална енергия ОТНОСНОокачване на махалото, т.е. P(x= 0) = 0. Потенциалната енергия на махалото е равна на работата, извършена от гравитацията при преместването на материална точка от дадена позиция Мдо нула, т.е. P = –P× х 1 = –P× л× cosй. Според (12.8)

Метод 2.Най-често срещаният метод за изчисляване на обобщената сила е да се определи с помощта на формула (11.4) Q m =дA m /дq m. Нека кажем на махалото неговото виртуално изместване в даден момент от времето дй> 0, т.е. в посока на увеличаване на ъгъла й(фиг. 12.3) и изчислете елементарната работа на гравитацията върху това движение:

дA= – P× ч× дй,

Където h = l× гряхй, – рамо на сила спрямо центъра на въртене на точката О. следователно

В аналитичната механика, наред с концепцията за сила като векторна величина, характеризираща въздействието върху дадено тяло от други материални тела, те използват концепцията за обобщена сила. За определяне обобщена мощностНека разгледаме виртуалната работа на силите, приложени към точки от системата.

Ако механична система с холономни задържащи сили, наложени върху нея чима връзки s =3n-hстепени на свобода , тогава се определя положението на тази система ( i = s)

обобщени координати и (2.11) : Съгласно (2.13), (2.14) виртуално изместване к –ти точки

(2.13)

(2.14)

Замествайки (2.14): във формулата за виртуалната работа на силите

(2.24), получаваме

Скаларно количество = (2.26)

Наречен обобщена сила, съответстващ азта обобщена координата.

Обобщена силасъответстващ на i-та обобщена координата е величина, равна на множителя за изменението на дадена обобщена координата в израза на виртуалната работа на силите, действащи върху механична система.

Виртуална работаопределен от

¾ определени активни сили, независими от ограниченията и

¾ реакции на свързване (ако свързванията не са идеални, тогава за решаване на проблема е необходимо допълнително да се зададе физическата зависимост T j от н j , ( T j ¾ това са, като правило, сили на триене или моменти на съпротивление на триенето при търкаляне, които можем да определим).

Общо взето обобщена силае функция на обобщени координати, скорости на системните точки и време. От определението следва, че обобщена сила¾ е скаларна величина, която зависи от обобщените координати, избрани за дадена механична система. Това означава, че когато наборът от обобщени координати, които определят позицията на дадена система, се промени, обобщени сили.

Пример 2.10. За диск с радиус rи маса м, който се търкаля без плъзгане по наклонена равнина (фиг. 2.9), може да се приеме като обобщена координата:

¾ или q = s¾ движение на центъра на масата на диска,

¾или р= j ¾ ъгъл на въртене на диска. Ако пренебрегнем съпротивлението при търкаляне, тогава:

¾ в първия случай обобщена силаще

Ориз. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ във втория случай ¾ Q j = mg r cosa.

Обобщената координата определя и мерната единица на съотв обобщена мощност.От израз (2.25)

(2.27)

следва, че мерната единица обобщена мощностравна на единицата работа, разделена на единицата обобщена координата.

Ако, като обобщена координата рприемам q = s¾ движение на всяка точка, след това мерната единица обобщена мощност Q s ¾ ще бъде [нютон] ,

Ако, като a р= j ¾ ще се вземе ъгълът на въртене (в радиани) на тялото, след това мерната единица обобщена мощност Q j 2 ще бъде [ нютон´ метър].

ОБОБЩЕНИ СИЛИ

ОБОБЩЕНИ СИЛИ

Величини, които играят ролята на обикновени сили при изучаване на равновесие или механично движение. система, нейното положение се определя от обобщени координати. Брой О. с. равен на броя s на степените на свобода на системата; В този случай всяка обобщена координата qi съответства на собствената си координатна система. Qi. Стойността на О. с. Q1, съответстващ на координатата q1, може да бъде намерен чрез изчисляване на елемента. работа dA1 на всички сили върху възможното движение на системата, при което се променя само координатата q1: получаване на увеличение dq1. Тогава dA1=Q1dq1т. д. коефициентът за dqi в израза dA1 ще бъде O. s. Q1. Q2, Q3 се изчисляват по подобен начин. . .,Qs.

Размер O. s. зависи от размерността на обобщената координата. Ако qi има дължини, тогава Qi е измерението на обикновената сила; ако qi е ъгъл, тогава Qi има измерението на момента на силата и т.н. Когато изучавате движението на механичен О. системи системи влизат вместо обикновени сили в уравненията на Лагранж на механиката, а в равновесие всички О. системи. са равни на нула.

Физически енциклопедичен речник. - М.: Съветска енциклопедия. Главен редактор А. М. Прохоров. 1983 .

Вижте какво е „ОБОБЩЕНИТЕ СИЛИ“ в други речници:

Величини, които играят ролята на обикновени сили, когато при изучаване на равновесието или движението на механична система нейното положение се определя от обобщени координати (виж Обобщени координати). Брой О. с. равен на броя s на степените на свобода на системата; при……

В механиката, величините Qi, произведението на величините Qi и елементарните решения dqi на обобщените координати qi механични. системите дават израз на елементарна работа bA, където се образува от купчина влакнести материали (памук, вискоза). За стикери O. обикновено... ... Голям енциклопедичен политехнически речник

- (САЩ) (Съединени американски щати, САЩ). I. Обща информация САЩ е щат в Северна Америка. Площ 9,4 млн. km2. Население 216 милиона души. (1976, оценка). Столицата е Вашингтон. В административно отношение територията на САЩ... Велика съветска енциклопедия

- (ВВС на СССР) Знаме на съветските ВВС Години на съществуване ... Уикипедия

- الإمارات العربية المتحدة‎ al Emarat al Arabiya al Muttahida ... Уикипедия

Силовото поле е определено в областта Q на конфигурационното пространство като градиент на скаларната функция: където (обобщени) координати, U(q) потенциална енергия. Работата на П. с. по всеки затворен контур в Q, свиваем до точка, е равно на нула. Знак... ... Физическа енциклопедия

- (ВВС) вид въоръжени сили на държавата, предназначени за самостоятелни действия при решаване на оперативно-стратегически задачи и за съвместни действия с други видове въоръжени сили. По отношение на бойните си способности съвременните ВВС... ... Велика съветска енциклопедия

Сила, мярка за действието на сила, в зависимост от числената величина и посока на силата и от движението на точката на нейното приложение. Ако силата F е постоянна числено и по посока и преместването M0M1 е праволинейно (фиг. 1), тогава P. A = F․s․cosα, където s = M0M1 … Велика съветска енциклопедия

Сила, мярка за действието на сила, в зависимост от числената величина и посока на силата и от движението на точката на нейното приложение. Ако силата F е постоянна числено и по посока и преместването M0M1 е праволинейно (фиг. 1), тогава P. A = F s cosa, където s = M0M1 и ъгълът... ... Физическа енциклопедия

Механика. 1) Уравнения на Лагранж от 1-ви род, диференциални уравнения на механичното движение. системи, които са дадени в проекции върху правоъгълни координатни оси и съдържат т.нар. Множители на Лагранж. Получено от J. Lagrange през 1788 г. За холономна система, ... ... Физическа енциклопедия

1. Обобщената сила може да се изчисли с формула (227), която я дефинира, т.е.

2. Обобщените сили могат да се изчислят като коефициенти за съответните вариации на обобщените координати в израза за елементарна работа (226"), т.е.

3. Най-подходящият метод за изчисляване на обобщените сили, който се получава от (226 ""), е ако на системата се даде такова възможно движение, че само една обобщена координата се променя, докато останалите не се променят. И така, ако , и останалите , тогава от (179") имаме

.

Индексът показва, че сумата от елементарни работи се изчислява върху възможно изместване, по време на което се променя (варира) само координатата. Ако променливата координата е , тогава

. (227")

Условия за равновесие на система от сили по отношение на обобщени сили

Условия за равновесие на системата се извеждат от принципа на възможните движения. Те се прилагат за системи, за които този принцип е валиден: за равновесието на механична система, подложена на холономни, стационарни, идеални и неотделящи ограничения, в момента, когато скоростите на всички точки на системата са равни на нула, е необходимо и достатъчно всички обобщени сили да бъдат равни на нула

. (228")

Общо уравнение на динамиката

Общото уравнение на динамиката за система с всякакви връзки (комбинираният принцип на D'Alembert-Lagrangeили общо уравнение на механиката):

, (229)

където е активната сила, приложена към тата точка на системата; – якост на реакцията на връзките; – точкова инерционна сила; – възможно движение.

В случай на равновесие на системата, когато всички инерционни сили на точките на системата изчезнат, това се превръща в принципа на възможните премествания. Обикновено се използва за системи с идеални връзки, за които условието е изпълнено

В този случай (229) приема една от формите:

,

,

. (230)

По този начин, според общото уравнение на динамиката, във всеки момент на движение на система с идеални връзки, сумата от елементарните работи на всички активни сили и инерционните сили на точките на системата е равна на нула при всяко възможно движение на системата, разрешено по връзките.

Общото уравнение на динамиката може да получи други, еквивалентни форми. Разширявайки скаларното произведение на векторите, то може да се изрази като

където са координатите на тата точка от системата. Като се има предвид, че проекциите на инерционните сили върху координатните оси чрез проекциите на ускоренията върху тези оси се изразяват с отношенията

,

на общото уравнение на динамиката може да се даде формата

В тази форма се нарича общо уравнение на динамиката в аналитична форма.

При използване на общото уравнение на динамиката е необходимо да можете да изчислите елементарната работа на инерционните сили на системата върху възможните премествания. За да направите това, приложете съответните формули за елементарна работа, получена за обикновени сили. Нека разгледаме приложението им към инерционните сили на твърдо тяло в частни случаи на неговото движение.

По време на движение напред. В този случай тялото има три степени на свобода и поради наложените ограничения може да извършва само постъпателно движение. Възможните движения на тялото, които позволяват връзки, също са транслационни.

Инерционните сили по време на транслационното движение се редуцират до резултатната . За сумата от елементарните работи на инерционните сили върху възможното транслационно движение на тялото получаваме

където е възможното изместване на центъра на масата и всяка точка на тялото, тъй като транслационното възможно изместване на всички точки на тялото е еднакво: ускоренията също са еднакви, т.е.

Когато твърдо тяло се върти около фиксирана ос. Тялото в този случай има една степен на свобода. Може да се върти около фиксирана ос. Възможното движение, което позволяват насложените връзки, също е завъртане на тялото на елементарен ъгъл около фиксирана ос.

Инерционните сили, сведени до точка на оста на въртене, се свеждат до главния вектор и главния момент. Главният вектор на инерционните сили е приложен към фиксирана точка и неговата елементарна работа върху възможното изместване е нула. За основния момент на инерционните сили ненулевата елементарна работа ще се извършва само чрез проекцията му върху оста на въртене. Така за сумата от работата на инерционните сили върху разглежданото възможно преместване имаме

,

ако ъгълът е отчетен по посока на дъгата стрелка на ъглово ускорение.

В плоско движение. В този случай ограниченията, наложени на твърдото тяло, позволяват само възможно равнинно движение. В общия случай се състои от възможно транслационно движение заедно с полюс, за който избираме центъра на масата, и завъртане на елементарен ъгъл около ос, минаваща през центъра на масата и перпендикулярна на равнината, успоредна на която тялото може да извършва равнинно движение.