Радиус на сфера и топка. Сфера, топка, сегмент и сектор

Определение.

Сферата може да се опише като триизмерна фигура, която се формира чрез завъртане на кръг около диаметъра й на 180° или полукръг около диаметъра й на 360°.

Определение.

Топката може да се опише като триизмерна фигура, която се образува чрез завъртане на кръг около диаметъра й на 180 ° или полукръг около диаметъра й на 360 °.

Определение. Радиус на сфера (топка).(R) е разстоянието от центъра на сферата (топката) Одо всяка точка на сферата (повърхността на топката).

Определение. Диаметър на сферата (топката).(D) е сегмент, свързващ две точки от сферата (повърхността на топката) и минаващ през нейния център.

Формула. Обем на топката:

Формула. Повърхностна площ на сферапрез радиус или диаметър:

S = 4π R 2 = π D 2

Сферично уравнение

1. Уравнение на сфера с радиус R и център в началото на декартовата координатна система:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение на сфера с радиус R и център в точка с координати (x 0 , y 0 , z 0) в декартовата координатна система:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Определение. диаметрално противоположни точкиса произволни две точки от повърхността на топка (сфера), които са свързани с диаметър.

Основни свойства на сфера и топка

1. Всички точки на сферата са еднакво отдалечени от центъра.

2. Всяко сечение на сфера от равнина е кръг.

3. Всяко сечение на сфера от равнина е кръг.

4. Сферата има най-голям обем сред всички пространствени фигури с еднаква повърхност.

5. През всеки две диаметрално противоположни точки можете да начертаете много големи кръгове за сфера или кръгове за топка.

6. Чрез всякакви две точки, с изключение на диаметрално противоположни точки, е възможно да се начертае само един голям кръг за сфера или голям кръг за топка.

7. Всякакви две големи окръжности на една топка се пресичат по права линия, минаваща през центъра на топката, и окръжностите се пресичат в две диаметрално противоположни точки.

8. Ако разстоянието между центровете на две топки е по-малко от сумата на техните радиуси и по-голямо от модула на разликата между техните радиуси, тогава такива топки пресичат се, а в равнината на пресичане се образува кръг.

Секущата, хордата, секущата равнина на сферата и техните свойства

Определение. Секансът на сферитее права линия, която пресича сферата в две точки. Точките на пресичане се наричат прободни точкиповърхност или входни и изходни точки на повърхността.

Определение. Хорда на сфера (топка)е сегмент, свързващ две точки на сфера (повърхността на топка).

Определение. режеща равнинае равнината, която пресича сферата.

Определение. Диаметрална равнина- това е секуща равнина, минаваща през центъра на сфера или топка, сечението образува съответно голям кръгИ голям кръг. Големият кръг и големият кръг имат център, който съвпада с центъра на сферата (топката).

Всяка хорда, минаваща през центъра на сфера (топка), е диаметър.

Хордата е отсечка от секуща.

Разстоянието d от центъра на сферата до секанса винаги е по-малко от радиуса на сферата:

д< R

Разстоянието m между режещата равнина и центъра на сферата винаги е по-малко от радиуса R:

м< R

Сечението на режещата равнина върху сферата винаги ще бъде малък кръг, а на топката секциото ще е малък кръг. Малък кръг и малък кръг имат центрове, които не съвпадат с центъра на сферата (топката). Радиусът r на такава окръжност може да се намери по формулата:

r \u003d √ R 2 - м2,

Където R е радиусът на сферата (топката), m е разстоянието от центъра на топката до режещата равнина.

Определение. полукълбо (полукълбо)- това е половината от сферата (топката), която се образува, когато се разрязва от диаметрална равнина.

Тангента, допирателна равнина към сфера и техните свойства

Определение. Допирателна към сферае права линия, която докосва сферата само в една точка.

Определение. Допирателна равнина към сферае равнина, която докосва сферата само в една точка.

Допирателната (равнината) винаги е перпендикулярна на радиуса на сферата, начертан до точката на контакт

Разстоянието от центъра на сферата до допирателната (равнината) е равно на радиуса на сферата.

Определение. топка сегмент- това е частта от топката, която е отрязана от топката от режеща равнина. Гръбнакът на сегментаобадете се на кръга, който се образува на мястото на секцията. височина на сегмента h е дължината на перпендикуляра, прекаран от средата на основата на сегмента до повърхността на сегмента.

Формула. Площ на външната повърхност на сферичен сегментс височина h по отношение на радиуса на сферата R:

S = 2π Rh

Много от нас обичат да играят футбол или поне почти всички сме чували за тази известна спортна игра. Всеки знае, че футболът се играе с топка.

Ако попитате минувач каква геометрична форма има топката, някои хора ще кажат, че формата на топка, а други, че формата на сфера. И така, кой е правилният? И каква е разликата между сфера и сфера?

важно!

Топкае космическо тяло. Вътре топката е пълна с нещо. Следователно сферата може да намери обема.

Примери за топка в реалния живот: диня и стоманена топка.

Топка и сфера, като кръг и кръг, имат център, радиус и диаметър.

важно!

Сферае повърхността на сферата. Можете да намерите повърхността на сфера.

Примери за сфера от живота: волейболна топка и топка за тенис на маса.

Как да намерите площта на сфера

Помня!

Формула за площта на сферата: S=4 π R 2

За да намерите площта на сфера, трябва да запомните какво е степента на числото. Познавайки дефиницията на степента, можем да напишем формулата за площта на сфера, както следва.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;

Затвърдете придобитите знания и реши задачата за площта на сфера.

Зубарева 6 клас. Номер 692(a)

Задачата:

• Изчислете площта на сфера, ако нейният радиус е 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 m

важно!

Скъпи родители!

При окончателното изчисляване на радиуса не е необходимо да принуждавате детето да изчисли кубичния корен. Учениците от 6 клас все още не са преминали и не знаят определението за корени по математика.

В 6. клас при решаване на такава задача използвайте метода на изброяване.

Попитайте ученика какво число, ако се умножи 3 пъти по себе си, ще даде едно.

Сфера и топка са аналог на кръг и кръг в триизмерното пространство. Струва си да говорим за всяка от тези фигури, като подчертаваме приликите и разликите, както и формулите, присъщи на тези фигури.

Повечето от геометричните конструкции се правят в равнина, но в гимназията започват да изучават триизмерни фигури. Двуизмерното пространство има само две характеристики: дължина и ширина. Височината се добавя в 3D региони. По математика за 6 клас се изучават отделни 3D фигури.

В равнината фигурата се характеризира с площ и периметър. В триизмерните обекти им се добавя обем.

Ориз. 1. Триизмерно пространство.

Освен това има редица специфични свойства на 3D формите. Те могат да бъдат пресечени от права линия и равнина, може да има секущи равнини, които приемат формата на други фигури.

Използването на 3D фигури за композиране на задачи значително ги усложнява, но в същото време ги прави много по-интересни. Даваме дефинициите на топка и сфера, след което ще се опитаме да подчертаем разликите между тези фигури.

Топка

Сфера и сфера са аналог на кръг и кръг в равнина. Топката е фигура, получена чрез завъртане на полукръг около една точка.

Топката има повърхност: $S=4pir^2$

Радиусът е линеен сегмент, който свързва центъра на топката и която и да е от точките на нейната повърхност.

Формула за обем на сфера$V=(4pir^3\over3)$

Обемът показва колко място заема фигурата. За да разберете какво е обем, трябва да си представите куха фигура. Тогава обемът е количеството вода, което може да се излее в тази фигура

Топката, както всяка друга триизмерна фигура, може да бъде нарязана с равнина. Секущата на топката е кръг, чийто център може да се намери, като пуснете перпендикуляр от центъра на топката върху кръга.

Ориз. 2. Секция на топката.

Сферата е фигура, която представлява набор от точки в пространството, еднакво отдалечени от центъра на сферата. Сфера:

• Той има същите формули за обем и повърхност като сфера.
• Режещата равнина на сфера е кръг
• Центърът на секущата окръжност се намира по същия начин, както в случая на топка

Ориз. 3. Сфера.

Каква е разликата

Тогава възниква въпросът каква е разликата между топка и сфера, с изключение на определението? Факт е, че разликите между топка и сфера са много по-размити от разликите между кръг и кръг. Сферата също има обем и повърхност.

Може би, освен в определението, разликата е във факта, че обемът на сферата никога не се намира в задачи. По правило те търсят обема на топката. Това не означава, че сферата няма обем. Това е триизмерна фигура, така че има обем.

Просто се прави аналогия с кръг, който няма площ. Това не е правило, а по-скоро традиция, която трябва да се помни: в геометрията формулирането на обема на сфера не е добре дошло.

Друга разлика, която може да се счита за повече или по-малко значима: режещата равнина на сфера: кръг, който няма вътрешно пространство, но има дължина. Секционна равнина на сфера: кръг, който има площ и няма обиколка. Затова си струва да бъдете внимателни във формулировката на проблема, така че да няма грешки поради такива дреболии.

Какво научихме?

Научихме какво е сфера и топка. Говорихме за техните прилики и разлики. Научихме, че между тези цифри почти няма разлики. Решихме, че не е необходимо да даваме такава формулировка като обем на сфера.

Тематическа викторина

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.7. Общо получени оценки: 105.