Решение на упражнения по темата за съкращаване на дроби. Намаляване на фракцията

Напредък на урока (28.09.16)

Предмет: намаляване на фракцията

Мишена: изведе правило за съкращаване на дроби, използвайки признаците за делимост на числата и основното свойство на дробта и умее да го прилага на практика.

Задачи:

4. Да се ​​формира умение за работа индивидуално, по двойки, за аргументиране и отстояване на собствено мнение

I организационен момент

Добро утро момчета! Радвам се да те видя в добро настроение. Днес имаме много гости. Ще се опитаме да покажем нашите знания и умения.

II Актуализация на знанията

1. Какво се нарича делител на числото a?

2. Какво се нарича НОД на числата a и b?

3. Кои числа се наричат ​​относително прости?

5. Признаци за делимост на 2, 5, 10, 3, 9.

6. Формулирайте основното свойство на дробта.

7. Назовете някои дроби, равни на данните:

Използвайки основното свойство на дробта, направете графична диктовка.

Отговорът "да" отговаря на +, отговорът "не" отговаря на -.

+ - - + + - - +

Взаимна проверка

Критерии

8 задачи 3 точки

6-7 задачи 2 точки

4-5 задачи 1 точка

по-малко от 4 задачи 0 точки

III Първично възприемане на учебен материал

Резервоарът на басейна се пълни с две тръби. Една тръба се пълнибасейн в час, а другият. През коя тръба преминава повече вода?

Задача

I т. - басейн на час

II т. - басейн на час

Коя тръба пропуска повече вода?

За какво е задачата?

Колко тръби пълнят басейна?

Какво казва проблемът за тръбите?

Какво трябва да се намери?

Какво трябва да знаете за това?

Двама ученици на дъската

= = (b) за един час I pipe

2) = = (б) в един час II тръба

Отговор: II тръба пропуска повече вода.

- Можем ли да сравним две дроби наведнъж ... без трансформации?

Какво ще кажете да сравните две дроби с еднакви знаменатели?

- Как получихме равни на тях дроби, но с еднакви знаменатели?

Какъв имот е използван за това?

IV Определяне на темата на урока

- И така, приложихме основното свойство на дробта, заменихме дроби с равни, като разделихме числителя и знаменателя на едно и също число.

Резултатът е дроб, чиято стойност е равна на дадената дроб, но с по-малък числител и знаменател

Такава трансформация се нарича…. НАМАЛЯВАНЕ НА ДРОБА

- Предмет на нашия урок "Съкращение на дроби". Запишете го в бележника си.

- Разказ за приложението на понятието "съкращение".

V Поставяне на целта на урока

- Сега се опитайте да формулирате целта на нашия урок, какво трябва да научим и какво да научим в урока.

Ние се поставяме отпредмишена:

Научава да съкращава дроби с помощта на признаците за делимост на числата и основното свойство на дробта.

Задачи

1. Формулирайте правилото за намаляване на дроби

2. Въведете понятието несъкратима дроб

3. Научете се да прилагате тези правила на практика

- Как получихте отговора?

- Нека се опитаме заедно да формулираме правило, какво е намаляването на дробите и как да намалим дробите.

- Много добре!

- Сега отворете учебника на стр. 39, прочетете правилото (запишете го в тетрадка)

VI Проверка на разбирането на новия материал от учениците

= = учителят обяснява

Извеждаме алгоритъма за редуциране на дроби: 12/18

Сега нека приложим нашите нови знания на практика. За намаляване на дроби, коментиране, работим според опциите:

- Ще решим задачата сами, двама души ще отидат до дъската и ще изпълнят задачата на дъската, след което ще проверим всичко заедно.

____________________________________________________________________________

- Вижте слайда, намалете фракцията, ако е възможно:

В коя от тези дроби числителят и знаменателят на дробта са взаимно прости?

Какъв е НОД на числителя и знаменателя в този случай?

- Точно така, 1. Това означава, че тези числа нямат общи делители, с изключение на 1, и такава дроб не може да бъде намалена. Така се вика - нередуцируем.

- Опитайте се да формулирате определението за несъкратима дроб.

(Ако числителят и знаменателят на една дроб са взаимно прости числа, тогава техният gcd е 1 и такава дроб е несъкратима.)

VII Консолидация

Тест, самооценка, критерии

VIII Обобщаване на урока

Нашият урок е към своя край, време е да направим равносметка.

Запишете си домашното:

Какво означава да намалиш дроб?

Какво се променя, когато една дроб се намали?

Каква дроб се нарича несъкратима?

- Дайте си оценка за урока.

IX Размисъл

За какво говорихме днес?

Каква е нашата цел днес?

Постигнахме ли тази цел?

Всичко ясно ли беше?

Урокът приключи! Всички сте страхотни! Благодаря ви за труда!

Преглед:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Интроспекция на урока Съкращаване на дроби 6 клас

Тема на урока: Съкращаване на дроби Целта на урока: да се изведе правило за съкращаване на дроби, като се използва основното свойство на дроб и признаци за делимост на числата

Задачи: формулирайте правилото за намаляване на дроби, въведете понятието несъкратима дроб, научете как да прилагате тези правила на практика

Етапи на урока Планирани резултати Организационен момент Създаване на благоприятно психологическо настроение Актуализиране на знанията Учениците умеят да отговарят на въпросите, знаят правилата на основното свойство на дробта, знаят как да го прилагат Определяне на темата на урока Взаимодействие с учителя по време на разговор, проведен във фронтален режим, при решаване на проблем, който създава проблемна ситуация, водеща до нова тема Поставяне на целта на урока Учениците формулират целта на урока, разбират практическото значение на изучавания материал

Етапи на урока Планирани резултати Първоначално възприемане и усвояване на нов учебен материал Осигуряване на възприемане, разбиране и първично запаметяване на изучения материал Проверка на разбирането на новия материал от учениците Идентифициране на качеството и нивото на усвояване на материала Включване на нов материал в системата на предварително придобити знания Учениците могат да съкращават дроби, използвайки нов материал

Етапи на урока Очаквани резултати Затвърдяване на нов материал Знаете как да намалите дроби Домашна работа Гарантиране, че децата разбират целта, съдържанието и методите за изпълнение на домашната работа Обобщение на урока Рефлексия на дейностите Дайте качествена оценка на работата на класа и отделните ученици.

Благодаря за вниманието!

За да изразите част като дроб от цялото, трябва да разделите частта на цялото.

Задача 1.В класа има 30 ученици, четирима липсват. Каква част от учениците липсват?

Решение:

Отговор:няма ученици в класа.

Намиране на дроб от число

За решаване на задачи, в които се изисква намиране на част от цяло, е вярно следното правило:

Ако част от цялото е изразена като дроб, тогава, за да намерите тази част, можете да разделите цялото на знаменателя на дробта и да умножите резултата по нейния числител.

Задача 1.Имаше 600 рубли, тази сума беше изразходвана. Колко пари сте похарчили?

Решение:за да намерите от 600 рубли, трябва да разделите тази сума на 4 части, като по този начин ще разберем колко пари са една четвърт:

600: 4 = 150 (стр.)

Отговор:похарчени 150 рубли.

Задача 2.Беше 1000 рубли, тази сума беше изразходвана. Колко пари са похарчени?

Решение:От условието на проблема знаем, че 1000 рубли се състоят от пет равни части. Първо намираме колко рубли са една пета от 1000, а след това откриваме колко рубли са две пети:

1) 1000: 5 = 200 (стр.) - една пета.

2) 200 2 \u003d 400 (p.) - две пети.

Тези две действия могат да се комбинират: 1000: 5 2 = 400 (p.).

Отговор:Бяха похарчени 400 рубли.

Вторият начин за намиране на част от цяло:

За да намерите част от цяло, можете да умножите цялото по дроб, изразяващ тази част от цялото.

Задача 3.Съгласно устава на кооперацията, за валидността на отчетното събрание трябва да присъстват най-малко членове на организацията. Кооперацията има 120 членове. В какъв състав може да се проведе отчетното събрание?

Решение:

Отговор:отчетното събрание може да се проведе, ако има 80 членове на организацията.

Намиране на число чрез неговата дроб

За решаване на задачи, в които се изисква да се намери цялото по част, е вярно следното правило:

Ако част от желаното цяло число е изразено като дроб, тогава, за да намерите това цяло число, можете да разделите тази част на числителя на дробта и да умножите резултата по знаменателя му.

Задача 1.Похарчихме 50 рубли, това беше първоначалната сума. Намерете първоначалната сума пари.

Решение:от описанието на проблема виждаме, че 50 рубли е 6 пъти по-малко от първоначалната сума, т.е. първоначалната сума е 6 пъти повече от 50 рубли. За да намерите тази сума, трябва да умножите 50 по 6:

50 6 = 300 (р.)

Отговор:първоначалната сума е 300 рубли.

Задача 2.Похарчихме 600 рубли, това беше първоначалната сума пари. Намерете първоначалната сума.

Решение:ще приемем, че желаното число се състои от три трети. По условие две трети от броя са равни на 600 рубли. Първо намираме една трета от първоначалната сума и след това колко рубли са три трети (първоначална сума):

1) 600: 2 3 = 900 (стр.)

Отговор:първоначалната сума е 900 рубли.

Вторият начин за намиране на цялото по част от него:

За да намерите цяло по стойността на неговата част, можете да разделите тази стойност на дроб, който изразява тази част.

Задача 3.Линеен сегмент AB, равно на 42 cm, е дължината на отсечката CD. Намерете дължината на отсечка CD.

Решение:

Отговор:дължина на сегмента CD 70 см

Задача 4.В магазина донесоха дини. Преди обяд магазинът продаде, след обяд - донесе дини и остава да продаде 80 дини. Колко дини са донесени общо в магазина?

Решение:първо откриваме каква част от внесените дини е числото 80. За да направим това, вземаме общия брой внесени дини като единица и изваждаме от него броя дини, които успяхме да продадем (продадем):

И така, научихме, че 80 дини са от общия брой донесени дини. Сега ще разберем колко са дините от общото количество и след това колко са дините (броят на донесените дини):

2) 80: 4 15 = 300 (дини)

Отговор:общо в магазина бяха докарани 300 дини.

клас: 6

Тип урок:урок за повторение, обобщаване и систематизиране на знанията.

Цели на урока:

Този урок е последният в темата "Съкращение на дроби" и е насочен към постигане на следните цели:

Когнитивни:

• да систематизира знанията по темата "намаляване на дроби";
• да се постигне умението за съкращаване на дроби от всеки ученик в класа;
• проверете наличието на горното умение;
• повторете темата „скорост, време, разстояние“ върху материала на задачата
• повторете преобразуването на единици за маса, време, дължина.
• повторете понятията прав и прав ъгъл
• да прилага от учениците знанията за редуцирането на дроби в стандартни и нестандартни ситуации.

Разработване:

• развитие на математическата реч („Намалявам с фактор ...“, „числителят и знаменателят са разделени на ....“), културата на четене на дроби;
• формирането на способността за изграждане на аналогии.

Педагози:

• развитие на концентрация и точност;
• развиване на способността за изслушване на другите и в същото време способността да защитава своята гледна точка.

Оборудване на урока:компютър, мултимедиен проектор, екран;

С цел повишаване на интереса към темата, урокът беше изготвен с помощта на ИКТ под формата на Power point презентация.

Структура на урока:

1. Организационен момент, събиране на тетрадки с домашни (2 мин.)
2. Представяне на темата и целта на урока (1 мин.)
3. Устна работа (6 мин.)
4. Обобщаване и систематизиране на знанията по темата и приложението им в стандартна и нестандартна ситуация (13 мин.)
5. Математическа диктовка (13 мин.)
6. Повторение на материал 5 клетки. (7 мин.)
7. Обобщаване на урока (2 мин.)
8. Поставяне на домашна работа (1 мин.)

По време на часовете

Урокът е подготвен под формата на Power презентация точка (Приложение)

I. Организационен момент.Темата на урока.

II. Устно броене

1. Машинописецът свърши работата за 7 дни. Каква част от работата ще свърши за 1 ден? (1/7)
2. Туристите вървяха от базата до езерото 4 часа със скорост 6 км/ч.
   а) Какво е разстоянието от основата до езерото? (24 км)
   б) С каква скорост са вървели обратно, ако обратното пътуване е отнело 3 часа? (8 км/ч)
3. Според учебник № 253 (a, b) (автор N.Ya. Vilenkin).

Забележка: Простият изчислителен материал за устно броене ви позволява да се концентрирате по-добре върху същността на въпросите и бързо да преминете към консолидиране на изучения материал по темата „намаляване на дроби“.

III. Повторение на изучения материал

Самостоятелно решение с онлайн самотест на компютър.

IV. Динамична пауза

V. Математическа диктовка

Намалете фракцията:

Какъв дял

1. един тон е два центнера (един километър е двеста метра)
2. един час е десет минути (една минута е петнадесет секунди)
3. прав ъгъл е тридесет градуса (прав ъгъл е тридесет градуса)

Вярно ли е твърдението:

VI. Повторение на материала от 5. клас. Работа по задачаот учебника.

№ 267 (1). Работа на борда.

• Прочетете задачата.
• Направете кратка бележка.

• Как да намерим скоростта срещу течението?
• С каква скорост се движеше салът?
• Какво се знае за изминатия път дотам и за обратния път?
• Какво може да се научи с 1 действие?

(24-3)*3=63 (km) дължина на пътя
63:3=21 (h) време за пътуване на сала

Отговор: 21 часа

VII. Резултати от урока.

• Кое е основното свойство на дробта?
• Какво означава да намалиш дроб?
• Дайте примери за съкратими и несъкратими дроби.

VIII. Домашна работа

No 266; 270; 274(b); 267 (2).

Библиография:

1. МОСКОВСКИ ДЕПАРТАМЕНТ НА ​​ОБРАЗОВАНИЕТО МОСКОВСКИ ИНСТИТУТ ЗА ОТВОРЕНО ОБРАЗОВАНИЕ
   ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА ПРЕЗ 2009/2010 УЧЕБНА ГОДИНА
   Под редакцията на I.V. Яшченко, А.В. Семенов. Москва. МИООО. АО "Московски учебници", 2009 г.
2. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург. Математика 6 клас, учебник, част 1. JSC "Московски учебници", 2006 г.
3. В.В. Виговская. Pourochnye развитие по математика 6 клас. Москва, Вако, 2009 г.
4. В И. Жохов. Математически диктовки 6 клас, Москва, "Росмен", 2003 г.

Тази статия продължава темата за преобразуването на алгебрични дроби: помислете за такова действие като намаляване на алгебрични дроби. Нека дефинираме самия термин, формулираме правилото за съкращение и анализираме практически примери.

Значение на съкращението за алгебрична дроб

В материалите за обикновената фракция разгледахме нейното намаляване. Дефинирахме намаляването на обикновена дроб като разделяне на нейния числител и знаменател на общ множител.

Намаляването на алгебрична дроб е подобна операция.

Определение 1

Редукция на алгебрична дробе разделянето на неговия числител и знаменател на общ множител. В този случай, за разлика от намаляването на обикновена дроб (само число може да бъде общ знаменател), полином, по-специално моном или число, може да служи като общ фактор за числителя и знаменателя на алгебрична дроб.

Например, алгебричната дроб 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 може да бъде намалена с числото 3, в резултат на което получаваме: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Можем да намалим същата дроб с променливата x и това ще ни даде израза 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Също така е възможно да се намали дадена дроб с моном 3 хили някой от полиномите x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y или 3 x 2 + 6 x y.

Крайната цел за намаляване на алгебрична дроб е дроб с по-проста форма, в най-добрия случай несъкратима дроб.

Всички алгебрични дроби подлежат ли на съкращаване?

Отново, от материалите за обикновените дроби знаем, че има съкратими и несъкратими дроби. Несъкратими - това са дроби, които нямат общи множители на числителя и знаменателя, различни от 1.

С алгебричните дроби всичко е същото: те могат или не могат да имат общи множители на числителя и знаменателя. Наличието на общи множители ви позволява да опростите първоначалната дроб чрез редукция. Когато няма общи множители, е невъзможно да се оптимизира дадена фракция чрез редукционния метод.

В общи случаи за даден вид дроби е доста трудно да се разбере дали подлежи на редукция. Разбира се, в някои случаи наличието на общ фактор на числителя и знаменателя е очевидно. Например в алгебричната дроб 3 · x 2 3 · y е съвсем ясно, че общият множител е числото 3 .

В една дроб - x · y 5 · x · y · z 3 ние също веднага разбираме, че е възможно да я намалим с x, или y, или с x · y. И все пак много по-често се срещат примери за алгебрични дроби, когато общият фактор на числителя и знаменателя не се вижда толкова лесно и дори по-често - той просто отсъства.

Например, можем да намалим дробта x 3 - 1 x 2 - 1 с x - 1, докато зададеният общ множител не е в записа. Но дробта x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 не може да бъде намалена, тъй като числителят и знаменателят нямат общ множител.

По този начин въпросът за намиране на свиваемостта на алгебрична дроб не е толкова прост и често е по-лесно да се работи с дроб от дадена форма, отколкото да се опитвате да разберете дали тя е свиваема. В този случай се извършват такива трансформации, които в определени случаи ни позволяват да определим общия множител на числителя и знаменателя или да заключим, че дробта е несъкратима. Ще анализираме подробно този въпрос в следващия параграф на статията.

Правило за намаляване на алгебричната дроб

Правило за намаляване на алгебричната дробсе състои от две последователни стъпки:

• намиране на общите множители на числителя и знаменателя;
• в случай на намиране на такива, изпълнението на прякото действие за намаляване на фракцията.

Най-удобният метод за намиране на общи знаменатели е да се факторизират полиномите, присъстващи в числителя и знаменателя на дадена алгебрична дроб. Това ви позволява незабавно визуално да видите наличието или отсъствието на общи фактори.

Самото действие на редуциране на алгебрична дроб се основава на основното свойство на алгебрична дроб, изразено чрез равенството undefined , където a , b , c са някои полиноми, а b и c са различни от нула. Първата стъпка е да редуцираме дробта до вида a c b c , в който веднага забелязваме общия множител c . Втората стъпка е да извършите намаляването, т.е. преминаване към дроб от вида a b .

Типични примери

Въпреки известна очевидност, нека изясним специалния случай, когато числителят и знаменателят на алгебрична дроб са равни. Подобни дроби са идентично равни на 1 върху цялата ODZ на променливите на тази дроб:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Тъй като обикновените дроби са частен случай на алгебрични дроби, нека си припомним как се редуцират. Естествените числа, записани в числителя и знаменателя, се разлагат на прости множители, след което общите множители се намаляват (ако има такива).

Например 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Продуктът от прости идентични множители може да се запише като степени и в процеса на редукция на дроби използвайте свойството да разделяте степени с еднакви основи. Тогава горното решение ще бъде:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(числител и знаменател, разделени на общ множител 2 2 3). Или, за по-голяма яснота, въз основа на свойствата на умножението и делението, ще дадем на решението следната форма:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

По аналогия се извършва редукция на алгебрични дроби, в които числителят и знаменателят имат мономи с цели коефициенти.

Пример 1

Дадена е алгебрична дроб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Трябва да се намали.

Решение

Възможно е да запишете числителя и знаменателя на дадена дроб като произведение на прости множители и променливи и след това да намалите:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Въпреки това, по-рационален начин би бил да напишете решението като израз със степени:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Отговор:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Когато има дробни числови коефициенти в числителя и знаменателя на алгебрична дроб, има два възможни начина за по-нататъшни действия: или отделно разделяне на тези дробни коефициенти, или първо се отървете от дробните коефициенти, като умножите числителя и знаменателя по някакво естествено число . Последната трансформация се извършва поради основното свойство на алгебрична дроб (можете да прочетете за това в статията „Намаляване на алгебрична дроб до нов знаменател“).

Пример 2

Дадена е дроб 2 5 x 0, 3 x 3. Трябва да се намали.

Решение

Възможно е да се намали фракцията по този начин:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Нека се опитаме да решим проблема по различен начин, като преди това сме се отървали от дробните коефициенти - умножаваме числителя и знаменателя по най-малкото общо кратно на знаменателите на тези коефициенти, т.е. за LCM(5, 10) = 10. Тогава получаваме:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Отговор: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Когато редуцираме общи алгебрични дроби, в които числителите и знаменателите могат да бъдат както мономи, така и полиноми, е възможен проблем, когато общият множител не винаги се вижда веднага. Или повече от това, просто не съществува. След това, за да се определи общият множител или да се фиксира фактът на неговото отсъствие, числителят и знаменателят на алгебричната фракция се факторизират.

Пример 3

Дадена е рационална дроб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Трябва да се съкрати.

Решение

Нека разложим на множители полиномите в числителя и знаменателя. Нека направим скобите:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Виждаме, че изразът в скоби може да бъде преобразуван с помощта на формулите за съкратено умножение:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Ясно се вижда, че е възможно да се намали дробта с общ множител b 2 (a + 7). Нека направим намаление:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Записваме кратко решение без обяснение като верига от равенства:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Отговор: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Случва се общите множители да са скрити от числови коефициенти. След това, когато се редуцират дроби, оптимално е да се извадят числовите множители при по-високи степени на числителя и знаменателя.

Пример 4

Дадена е алгебрична дроб 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Трябва да се намали, ако е възможно.

Решение

На пръв поглед числителят и знаменателят нямат общ знаменател. Нека обаче се опитаме да преобразуваме дадената дроб. Нека извадим фактора x от числителя:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Сега можете да видите известно сходство между израза в скоби и израза в знаменателя поради x 2 y . Нека извадим числените коефициенти при по-високи степени на тези полиноми:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Сега общият множител става видим, извършваме редукция:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Отговор: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Нека подчертаем, че умението за редуциране на рационални дроби зависи от способността да се факторизират полиноми.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Намаляването на дробите е доста трудна тема за математиката от 6 клас, така че си струва да я разглобите на етапи. За да избегнете грешки, по-добре е първите съкращения да се извършват по същия начин, на етапи. Нека дадем алгоритъм, за да избегнем грешки и да се научим бързо и лесно да намаляваме всякакви дроби.

Алгоритъм за редуциране на дроби.

Първо трябва да се каже, че самото намаляване на дробите е възможно благодарение на едно от определенията на дроб.

Дробта е непълна операция за деление. Това означава, че всяка дроб винаги може да бъде заменена с частна дроб. Замяната с дроб е необходима, за да се поддържа точността на изчисленията.

Нека да видим как изглежда подробното съкращение с пример:

$$(25\над(40))=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $$

За да не рисувате този израз всеки път, можете да използвате правилото за намаляване на дроби: ако умножите или разделите знаменателя на едно и също число, тогава стойността на фракцията няма да се промени.

Сега нека напишем самия алгоритъм. За да намалите дроб:

• Изразете числителя и знаменателя като прости множители.
• Съкратете всеки от равните прости множители.
• Умножете останалите числа и запишете резултата.

Вместо да записвате числителя и знаменателя като множители, можете просто да намерите gcd на числителя и знаменателя. Това ще бъде максималното възможно число, на което и двете стойности могат да бъдат разделени.

Няма специална формула за намаляване на която и да е дроб, но можете да използвате правилата, дадени в този алгоритъм.

Как да намеря NOD?

Нека си припомним как се намира NOD:

• Първата стъпка е да разложим числото на прости множители.
• Разширението търси общи прости числа и ги записва в отделен израз.
• Получената стойност е GCD.

Да вземем пример.
Необходимо е да се намери НОД на числата 150 и 294.

Пример

Ето пример за намаляване на фракцията. За да направите това, опростете дробта $(513216\over(145152))$. За примера големите числа са избрани умишлено, за да покажат как най-голямото число може да стане малко в резултат на опростяване.

Няма да търсим НОД, ще разлагаме числата на прости множители и ще намираме общи стойности.

513216:2=256608 - първо, числото се дели на 2. За да се дели числото на две, броят на единиците трябва да е четен.

256608:2=128304 - делението на 2 продължава, докато последната цифра на числото вече не е четна. След това се опитваме да разделим числото на 3 и други прости числа. Всички прости числа са в таблицата на простите числа.

Нека запишем резултата от разлагането: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 - общо получихме 6 числа 3, 6 числа 2 и числото 11 По същия начин разлагаме 145152 .

Нека напишем резултатите:

145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 - общо 8 числа 2, 4 числа 3 и едно число 7.

И в двете числа трябва да намалите 6 числа 2 и 4 числа 3. Нека напишем получения числител. В него ще останат числата: 2 числа 3 и номер 11

Нека запишем получения знаменател. В него ще останат числа: 2 числа две и число 7

Резултатът от намалението е дроб:

$(99\over(28))$ - ако желаете, можете да изберете цяла част. Но ако това не се изисква в условието на проблема, тогава е позволено да оставите отговора в тази форма.

Какво научихме?

Говорихме за намаляване на дроби. Научих защо намалението е възможно. Разбрахме как правилно да режем. Даден е алгоритъмът за намаляване и два начина за извършване на операцията. Помислете за примера за намаляване на дроби.

Тематическа викторина

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.5. Общо получени оценки: 74.