Теория на вероятностите и математическа статистика. Теория на вероятностите

Математиката включва голямо разнообразие от области, една от които, наред с алгебрата и геометрията, е теорията на вероятностите. Има термини, които са общи за всички тези области, но в допълнение към тях има и специфични думи, формули и теореми, които са характерни само за една конкретна „ниша“.

Фразата „теория на вероятностите“ предизвиква паника в неподготвен ученик. Наистина, въображението рисува картини, където се появяват страшни обемни формули, а решението на един проблем отнема цяла тетрадка. На практика обаче всичко изобщо не е толкова ужасно: достатъчно е веднъж да разберете значението на някои термини и да се впуснете в същността на донякъде странната логика на разсъжденията, за да спрете да се страхувате от задачите веднъж завинаги. В тази връзка ще разгледаме основните понятия на теорията на вероятностите и математическата статистика – една млада, но изключително интересна област на знанието.

Защо да учим концепции?

Функцията на езика е да предава информация от един човек на друг, така че той да я разбере, разбере и да може да я използва. Всяка математическа концепция може да бъде обяснена с прости думи, но в този случай актът на обмен на данни ще отнеме много повече време. Представете си, че вместо думата „хипотенуза“ винаги трябва да казвате „най-дългата страна на правоъгълен триъгълник“ - това е изключително неудобно и отнема много време.

Ето защо хората измислят нови термини за определени явления и процеси. По същия начин се появяват основните понятия на теорията на вероятностите - събитие, вероятност за събитие и т.н. Това означава, че за да използвате формули, да решавате проблеми и да прилагате умения в живота, трябва не само да запомните нови думи, но и да разберете какво означава всяка от тях. Колкото по-дълбоко ги разбирате, вниквате в значението им, толкова по-широк става обхватът на вашите възможности и толкова по-пълно възприемате света около вас.

Какво е значението на обекта

Нека се запознаем с основните понятия на теорията на вероятностите. Класическата дефиниция на вероятността е следната: това е съотношението на резултатите, които отговарят на изследователя, към общия брой възможни. Нека вземем прост пример: когато човек хвърли зар, той може да падне върху всяка от шестте страни, обърнати нагоре. Така общият брой резултати е шест. Вероятността да се появи произволно избрана страна е 1/6.

Способността да се предвиди настъпването на определен резултат е изключително важна за различни специалисти. Колко дефектни части се очакват в партидата? Това определя колко трябва да произведете. Каква е вероятността лекарството да помогне за преодоляване на болестта? Такава информация е абсолютно жизненоважна. Но нека не губим време за допълнителни примери и да започнем да изучаваме нова област за нас.

Първа среща

Нека разгледаме основните понятия на теорията на вероятностите и тяхното използване. В правото, природните науки и икономиката формулите и термините, представени по-долу, се използват навсякъде, тъй като са пряко свързани със статистиката и грешките в измерването. По-подробното проучване на този въпрос ще ви разкрие нови формули, които са полезни за по-точни и сложни изчисления, но нека започнем с една проста.

Една от най-основните и основни концепции на теорията на вероятностите и математическата статистика е случайно събитие. Нека обясним с ясни думи: от всички възможни резултати от експеримента само един се наблюдава като резултат. Дори ако вероятността това събитие да се случи е значително по-висока от друго, то ще бъде случайно, тъй като теоретично резултатът може да е различен.

Ако сме провели серия от експерименти и сме получили определен брой резултати, тогава вероятността за всеки от тях се изчислява по формулата: P(A) = m/n. Тук m е колко пъти в серия от тестове сме наблюдавали появата на резултата, който ни интересува. От своя страна n е общият брой извършени експерименти. Ако хвърлим монета 10 пъти и получим глави 5 пъти, тогава m=5 и n=10.

Видове събития

Случва се, че във всеки опит е гарантирано да се наблюдава някакъв резултат - такова събитие ще се нарече надеждно. Ако никога не се случи, ще бъде наречено невъзможно. Такива събития обаче не се използват в проблемите на теорията на вероятностите. Основните понятия, които е много по-важно да познаваме, са съвместни и несъвместни събития.

Случва се при провеждане на експеримент две събития да се случват едновременно. Например, хвърляме два зара - в този случай фактът, че единият хвърля "шестица", не гарантира, че вторият няма да хвърли различно число. Такива събития ще се наричат ​​съвместни.

Ако хвърлим един зар, две числа никога не могат да се появят едновременно. В този случай резултатите под формата на изпуснато „едно“, „две“ и т.н. ще се считат за несъвместими събития. Много е важно да се разграничи кои резултати се получават във всеки конкретен случай - това определя кои формули да се използват в задачата за намиране на вероятности. Ще продължим да изучаваме основните понятия на теорията на вероятностите няколко параграфа по-късно, когато разгледаме характеристиките на събирането и умножението. В крайна сметка без тях нито един проблем не може да бъде решен.

Сума и произведение

Да приемем, че вие ​​и ваш приятел хвърляте зара и получават четворка. За да спечелите, трябва да получите "пет" или "шест". В този случай вероятностите ще се сумират: тъй като шансовете и двете числа да бъдат изтеглени са 1/6, отговорът ще изглежда като 1/6 + 1/6 = 1/3.

Сега си представете, че хвърляте зара два пъти и вашият приятел получава 11 точки. Сега трябва да получите „шестица“ два пъти подред. Събитията са независими едно от друго, така че вероятностите ще трябва да се умножат: 1/6 * 1/6 = 1/36.

Сред основните понятия и теореми на теорията на вероятностите трябва да се обърне внимание на сумата от вероятностите за съвместни събития, т.е. тези, които могат да се случат едновременно. Формулата за добавяне в този случай ще изглежда така: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Комбинаторика

Много често трябва да намерим всички възможни комбинации от параметри на някои обекти или да изчислим броя на всякакви комбинации (например при избор на шифър). В това ще ни помогне комбинаториката, която е тясно свързана с теорията на вероятностите. Основните понятия тук включват някои нови думи и редица формули от тази тема вероятно ще бъдат полезни.

Да приемем, че имате три числа: 1, 2, 3. Трябва да ги използвате, за да напишете всички възможни трицифрени числа. Колко ще има? Отговор: n! (удивителният знак означава факториел). Комбинации от определен брой различни елементи (цифри, букви и др.), Различаващи се само по реда на тяхното подреждане, се наричат ​​пермутации.

Много по-често обаче се натъкваме на тази ситуация: има 10 цифри (от нула до девет), от които се прави парола или код. Да приемем, че дължината му е 4 знака. Как да изчислим общия брой възможни кодове? За това има специална формула: (n!)/(n - m)!

Като се има предвид условието на проблема, предложено по-горе, n=10, m=4. Освен това са необходими само прости математически изчисления. Между другото, такива комбинации ще се наричат ​​​​поставяне.

И накрая, има концепцията за комбинации - това са последователности, които се различават една от друга с поне един елемент. Техният брой се изчислява по формулата: (n!) / (m!(n-m)!).

Очаквана стойност

Важна концепция, с която ученикът се сблъсква още в първите уроци по предмета, е математическото очакване. Това е сумата от всички възможни произтичащи стойности, умножени по техните вероятности. По същество това е средното число, което можем да предвидим като резултат от теста. Например, има три стойности, за които вероятностите са посочени в скоби: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Нека изчислим математическото очакване: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Така от предложения израз може да се види, че тази стойност е постоянна и не зависи от резултата от теста.

Тази концепция се използва в много формули и ще я срещнете няколко пъти в бъдеще. Не е трудно да се работи с него: математическото очакване на сумата е равно на сумата на мат. очаквания - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Същото важи и за продукта: M(XY) = M(X) * M(Y).

дисперсия

Вероятно си спомняте от училищния курс по физика, че дисперсията е разсейване. Какво е мястото му сред основните понятия на теорията на вероятностите?

Вижте два примера. В един случай ни е дадено: 10(0,2); 20 (0,6); 30 (0,2). В друга - 0(0,2); 20 (0,6); 40 (0,2). Математическото очакване и в двата случая ще бъде едно и също, така че как тогава тези ситуации могат да бъдат сравнени? В крайна сметка виждаме с просто око, че разпространението на стойностите във втория случай е много по-голямо.

Ето защо беше въведено понятието дисперсия. За да се получи, е необходимо да се изчисли математическото очакване от сумата на разликите на всяка случайна величина и математическото очакване. Нека вземем числата от първия пример, написан в предишния параграф.

Първо, нека изчислим математическото очакване: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. След това стойността на дисперсията: D(X) = 40.

Друга основна концепция на статистиката и теорията на вероятностите е стандартното отклонение. Изчисляването е много лесно: просто трябва да вземете корен квадратен от дисперсията.

Тук можем да отбележим и такъв прост термин като обхват. Това е стойност, която представлява разликата между максималните и минималните стойности в извадката.

Статистика

Някои основни училищни концепции се използват много често в науката. Две от тях са средноаритметичната и медианата. Със сигурност се сещате как да откриете техните значения. Но за всеки случай, нека ви напомним: средноаритметичната стойност е сумата от всички стойности, разделена на техния брой. Ако има 10 стойности, тогава ги събираме и разделяме на 10.

Медианата е централната стойност сред всички възможни стойности. Ако имаме нечетен брой количества, тогава ги изписваме във възходящ ред и избираме това, което е в средата. Ако имаме четен брой стойности, вземаме централните две и делим на две.

Още две стойности, разположени между медианата и двете крайни - максимална и минимална - стойности на набора, се наричат ​​квартили. Изчисляват се по един и същ начин – при нечетен брой на елементите се взема числото, намиращо се в средата на реда, а при четен брой на елементите се взема половината от сбора на двата централни елемента.

Има и специална графика, на която можете да видите всички стойности на извадката, нейния диапазон, медиана, интерквартилен интервал, както и отклонения - стойности, които не се вписват в статистическата грешка. Полученото изображение има много специфично (и дори нематематическо) име - „кутия с мустаци“.

Разпределение

Разпределението е свързано и с основните концепции на теорията на вероятностите и математическата статистика. Накратко, той представлява обобщена информация за всички случайни променливи, които можем да видим в резултат на тест. Основният параметър тук ще бъде вероятността за поява на всяка конкретна стойност.

Нормално разпределение е това, което има един централен пик, съдържащ стойността, която се среща най-често. Все по-малко вероятните резултати се отклоняват от него в дъги. Като цяло графиката изглежда като „слайд“ отвън. По-късно ще научите, че този тип разпределение е тясно свързано с централната гранична теорема, фундаментална за теорията на вероятностите. Той описва важни модели за клона на математиката, който разглеждаме, които са много полезни при различни изчисления.

Но да се върнем на темата. Има още два вида разпределение: асиметрично и мултимодално. Първият изглежда като половината от „нормална“ графика, т.е. дъгата се спуска само от едната страна от пиковата стойност. И накрая, мултимодалното разпределение е това, в което има няколко „горни“ стойности. Така графиката или се понижава, или се покачва. Най-честата стойност във всяко разпределение се нарича режим. Това е и една от основните концепции на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Гаусово разпределение

Гаусово или нормално разпределение е такова, при което отклонението на наблюденията от средното се подчинява на определен закон.

Накратко, основното разпространение на примерните стойности клони експоненциално към режима - най-честият от тях. По-точно, 99,6% от всички стойности се намират в рамките на три стандартни отклонения (не забравяйте, че обсъждахме тази концепция по-горе?).

Разпределението на Гаус е една от основните концепции на теорията на вероятностите. Използвайки го, можете да разберете дали даден елемент според определени параметри е включен в категорията „типичен“ - така се оценяват височината и теглото на човек в съответствие с възрастта, нивото на интелектуално развитие, психологическото състояние и много други .

Как да кандидатствам

Интересното е, че „скучните“ математически данни могат да бъдат използвани във ваша полза. Например, един млад мъж използва теорията на вероятностите и статистиката, за да спечели няколко милиона долара на рулетка. Вярно, преди това трябваше да се подготвя - да записвам резултатите от игри в различни казина в продължение на няколко месеца.

След като извърши анализа, той установи, че една от таблиците е леко наклонена, което означава, че редица стойности се появяват статистически значимо по-често от други. Малко изчисление и търпение - и сега собствениците на заведението се почесват по главите, чудейки се как може човек да има такъв късмет.

Има цял набор от ежедневни ежедневни проблеми, които не могат да бъдат решени без да се прибягва до статистика. Например, как да определите колко дрехи трябва да поръча един магазин в различни размери: S, M, L, XL? За да направите това, е необходимо да анализирате кой най-често купува дрехи в града, в региона, в близките магазини. Ако такава информация не бъде получена, собственикът рискува да загуби много пари.

Заключение

Разгледахме цял набор от основни концепции на теорията на вероятностите: тест, събитие, пермутации и разположения, очаквана стойност и дисперсия, режим и нормално разпределение... Освен това разгледахме редица формули, които отнемат повече от месец паралелки за обучение във висше учебно заведение.

Не забравяйте: математиката е необходима, когато изучавате икономика, природни науки, информационни технологии и инженерство. Тук също не може да се пренебрегне статистиката като една от неговите области.

Сега е въпрос на малки неща: практика, решаване на задачи и примери. Дори основните концепции и дефиниции на теорията на вероятностите ще бъдат забравени, ако не отделите време за преглед. Освен това следващите формули до голяма степен ще разчитат на тези, които разгледахме. Затова се опитайте да ги запомните, особено след като няма много от тях.

Мнозина, когато се сблъскат с понятието „теория на вероятностите“, се плашат, мислейки, че това е нещо непосилно, много сложно. Но всъщност всичко не е толкова трагично. Днес ще разгледаме основната концепция на теорията на вероятностите и ще научим как да решаваме проблеми, използвайки конкретни примери.

Науката

Какво изучава такъв клон на математиката като „теория на вероятностите“? Тя отбелязва моделите и количествата. Учените за първи път се интересуват от този въпрос през осемнадесети век, когато изучават хазарта. Основното понятие на теорията на вероятностите е събитие. Това е всеки факт, установен чрез опит или наблюдение. Но какво е опит? Друга основна концепция на теорията на вероятностите. Това означава, че този набор от обстоятелства е създаден не случайно, а с определена цел. Що се отнася до наблюдението, тук самият изследовател не участва в експеримента, а е просто свидетел на тези събития, той по никакъв начин не влияе на случващото се.

събития

Научихме, че основната концепция на теорията на вероятностите е събитие, но не разгледахме класификацията. Всички те са разделени на следните категории:

• Надежден.
• Невъзможен.
• Случаен.

Независимо от вида на събитията, наблюдавани или създадени по време на преживяването, всички те са предмет на тази класификация. Каним ви да се запознаете с всеки тип поотделно.

Надеждно събитие

Това е обстоятелство, за което са взети необходимите мерки. За да разберем по-добре същността, по-добре е да дадем няколко примера. Физиката, химията, икономиката и висшата математика са предмет на този закон. Теорията на вероятностите включва такава важна концепция като надеждно събитие. Ето няколко примера:

• Работим и получаваме възнаграждение под формата на заплати.
• Издържахме добре изпитите, издържахме състезанието и за това получаваме награда под формата на прием в образователна институция.
• Инвестирахме пари в банката и ако трябва, ще си ги върнем.

Такива събития са надеждни. Ако сме изпълнили всички необходими условия, със сигурност ще получим очаквания резултат.

Невъзможни събития

Сега разглеждаме елементи от теорията на вероятностите. Предлагаме да преминем към обяснение на следващия тип събития, а именно невъзможното. Първо, нека да определим най-важното правило - вероятността за невъзможно събитие е нула.

Човек не може да се отклони от тази формулировка, когато решава проблеми. За пояснение, ето примери за такива събития:

• Водата замръзна при температура плюс десет (това е невъзможно).
• Липсата на електричество не влияе по никакъв начин на производството (също толкова невъзможно, колкото и в предишния пример).

Не си струва да даваме повече примери, тъй като описаните по-горе много ясно отразяват същността на тази категория. Невъзможно събитие никога няма да се случи по време на експеримент при никакви обстоятелства.

Случайни събития

При изучаването на елементите трябва да се обърне специално внимание на този конкретен тип събития. Това изучава науката. В резултат на преживяното нещо може да се случи или да не се случи. Освен това тестът може да се провежда неограничен брой пъти. Ярките примери включват:

• Хвърлянето на монета е опит или изпитание, падането на глави е събитие.
• Изваждането на топка от торба на сляпо е изпитание; получаването на червена топка е събитие и т.н.

Може да има неограничен брой такива примери, но като цяло същността трябва да е ясна. За обобщаване и систематизиране на придобитите знания за събитията е дадена таблица. Теорията на вероятностите изучава само последния тип от всички представени.

Закони

Теорията на вероятностите е наука, която изучава възможността за възникване на събитие. Подобно на другите, има някои правила. Съществуват следните закони на теорията на вероятностите:

• Сходимост на последователности от случайни променливи.
• Закон за големите числа.

Когато изчислявате възможността за нещо сложно, можете да използвате набор от прости събития, за да постигнете резултат по по-лесен и бърз начин. Обърнете внимание, че законите на теорията на вероятностите се доказват лесно с помощта на определени теореми. Предлагаме ви първо да се запознаете с първия закон.

Сходимост на последователности от случайни променливи

Имайте предвид, че има няколко типа конвергенция:

• Последователността от случайни променливи се сближава по вероятност.
• Почти невъзможно.
• Средна квадратична конвергенция.
• Конвергенция на разпределението.

Така че, веднага, много е трудно да се разбере същността. Ето определения, които ще ви помогнат да разберете тази тема. Да започнем с първия изглед. Последователността се нарича сходни по вероятност, ако е изпълнено следното условие: n клони към безкрайност, числото, към което клони редицата, е по-голямо от нула и близко до единица.

Да преминем към следващия изглед, почти сигурно. Казва се, че последователността се събира почти сигурнокъм случайна променлива с n клонящо към безкрайност и P клонящо към стойност близка до единица.

Следващият тип е средна квадратична конвергенция. При използване на SC конвергенция изследването на векторни случайни процеси се свежда до изследване на техните координатни случайни процеси.

Остава последният тип, нека го разгледаме накратко, за да преминем директно към решаването на проблеми. Конвергенцията в разпределението има друго име - „слаба“ и ще обясним защо по-късно. Слаба конвергенцияе сходимостта на функциите на разпределение във всички точки на непрекъснатост на ограничителната функция на разпределение.

Определено ще спазим обещанието си: слабата конвергенция се различава от всичко по-горе по това, че случайната променлива не е дефинирана във вероятностното пространство. Това е възможно, тъй като условието се формира изключително с помощта на функции на разпределение.

Закон за големите числа

Теореми на теорията на вероятностите, като например:

• Неравенството на Чебишев.
• Теорема на Чебишев.
• Обобщена теорема на Чебишев.
• Теорема на Марков.

Ако разгледаме всички тези теореми, тогава този въпрос може да се проточи за няколко десетки листа. Основната ни задача е да приложим теорията на вероятностите на практика. Предлагаме ви да направите това точно сега. Но преди това нека да разгледаме аксиомите на теорията на вероятностите; те ще бъдат основните помощници при решаването на проблеми.

Аксиоми

Вече се запознахме с първия, когато говорихме за невъзможно събитие. Нека си припомним: вероятността от невъзможно събитие е нула. Дадохме много ярък и запомнящ се пример: сняг падна при температура на въздуха тридесет градуса по Целзий.

Второто е следното: надеждно събитие се случва с вероятност, равна на единица. Сега ще покажем как да напишем това с помощта на математически език: P(B)=1.

Трето: Случайно събитие може да се случи или да не се случи, но възможността винаги варира от нула до едно. Колкото по-близка е стойността до единица, толкова по-големи са шансовете; ако стойността се доближава до нула, вероятността е много ниска. Нека напишем това на математически език: 0<Р(С)<1.

Нека разгледаме последната, четвърта аксиома, която звучи така: вероятността за сумата от две събития е равна на сумата от техните вероятности. Записваме го на математически език: P(A+B)=P(A)+P(B).

Аксиомите на теорията на вероятностите са най-простите правила, които не са трудни за запомняне. Нека се опитаме да решим някои задачи въз основа на знанията, които вече сме придобили.

Лотариен билет

Първо, нека да разгледаме най-простия пример - лотария. Представете си, че сте купили един билет за лотария за късмет. Каква е вероятността да спечелите поне двадесет рубли? Общо в тиража участват хиляда билета, един от които има награда от петстотин рубли, десет от тях имат по сто рубли, петдесет имат награда от двадесет рубли и сто имат награда от пет. Вероятностните проблеми се основават на намирането на възможността за късмет. Сега заедно ще анализираме решението на горната задача.

Ако използваме буквата А, за да обозначим печалба от петстотин рубли, тогава вероятността да получим А ще бъде равна на 0,001. Как получихме това? Просто трябва да разделите броя на „щастливите“ билети на общия им брой (в този случай: 1/1000).

B е печалба от сто рубли, вероятността ще бъде 0,01. Сега действахме на същия принцип като в предишното действие (10/1000)

C - печалбата е двадесет рубли. Намираме вероятността, тя е равна на 0,05.

Не се интересуваме от останалите билети, тъй като техният награден фонд е по-малък от посочения в условието. Нека приложим четвъртата аксиома: Вероятността да спечелите поне двадесет рубли е P(A)+P(B)+P(C). Буквата P обозначава вероятността за настъпване на дадено събитие, ние вече ги намерихме в предишни действия. Остава само да съберем необходимите данни и отговорът, който получаваме, е 0,061. Това число ще бъде отговорът на въпроса на задачата.

Тесте карти

Проблемите в теорията на вероятностите могат да бъдат по-сложни; например, нека вземем следната задача. Пред вас има тесте от тридесет и шест карти. Вашата задача е да изтеглите две карти подред, без да разбърквате стека, първата и втората карта трябва да са аса, боята няма значение.

Първо, нека намерим вероятността първата карта да бъде асо, за това разделяме четири на тридесет и шест. Оставят го настрана. Изваждаме втората карта, тя ще бъде асо с вероятност три тридесет и пети. Вероятността за второто събитие зависи от това коя карта сме изтеглили първа, чудим се дали е било асо или не. От това следва, че събитие B зависи от събитие A.

Следващата стъпка е да намерим вероятността за едновременно възникване, тоест умножаваме A и B. Техният продукт се намира по следния начин: умножаваме вероятността за едно събитие по условната вероятност за друго, което изчисляваме, като приемаме, че първото настъпи събитие, тоест изтеглихме асо с първата карта.

За да стане всичко ясно, нека дадем обозначение на такъв елемент като събития. Изчислява се, като се приема, че събитие А е настъпило. Изчислява се, както следва: P(B/A).

Нека продължим с решаването на нашия проблем: P(A * B) = P(A) * P(B/A) или P(A * B) = P(B) * P(A/B). Вероятността е равна на (4/36) * ((3/35)/(4/36). Изчисляваме чрез закръгляване до най-близката стотна. Имаме: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0.09 Вероятността да изтеглим два аса подред е девет стотни.Стойността е много малка, от което следва, че вероятността събитието да се случи е изключително малка.

Забравен номер

Предлагаме да анализираме още няколко варианта на задачи, които се изучават от теорията на вероятностите. Вече видяхте примери за решаване на някои от тях в тази статия.Нека се опитаме да разрешим следния проблем: момчето забрави последната цифра от телефонния номер на своя приятел, но тъй като обаждането беше много важно, започна да набира всичко едно по едно . Трябва да изчислим вероятността той да се обади не повече от три пъти. Решението на проблема е най-просто, ако са известни правилата, законите и аксиомите на теорията на вероятностите.

Преди да разгледате решението, опитайте се да го решите сами. Знаем, че последната цифра може да бъде от нула до девет, тоест общо десет стойности. Вероятността да получите правилния е 1/10.

След това трябва да разгледаме опциите за произхода на събитието, да предположим, че момчето е познало правилно и веднага е написало правилното, вероятността за такова събитие е 1/10. Втори вариант: първото повикване пропуска, а второто е в целта. Нека изчислим вероятността от такова събитие: умножете 9/10 по 1/9 и в резултат получаваме също 1/10. Третият вариант: първото и второто обаждане се оказват на грешен адрес, само с третото момчето стига там, където иска. Ние изчисляваме вероятността от такова събитие: 9/10, умножено по 8/9 и 1/8, което води до 1/10. Други варианти според условията на задачата не ни интересуват, така че просто трябва да съберем получените резултати, накрая имаме 3/10. Отговор: вероятността момчето да се обади не повече от три пъти е 0,3.

Карти с числа

Пред вас има девет карти, на всяка от които е написано число от едно до девет, числата не се повтарят. Слагат се в кутия и се разбъркват старателно. Трябва да изчислите вероятността, че

• ще се появи четно число;
• двуцифрен.

Преди да преминем към решението, нека уговорим, че m е броят на успешните случаи, а n е общият брой опции. Нека намерим вероятността числото да е четно. Няма да е трудно да изчислим, че има четири четни числа, това ще бъде нашето m, има общо девет възможни варианта, тоест m=9. Тогава вероятността е 0,44 или 4/9.

Нека разгледаме втория случай: броят на опциите е девет и изобщо не може да има успешни резултати, тоест m е равно на нула. Вероятността изтеглената карта да съдържа двуцифрено число също е нула.

Теория на вероятностите и математическа статистика

• Агекян Т.А. Основи на теорията на грешките за астрономи и физици (2-ро издание). М.: Наука, 1972 (djvu, 2,44 M)
• Агекян Т.А. Теория на вероятностите за астрономи и физици. М.: Наука, 1974 (djvu, 2,59M)
• Андерсън Т. Статистически анализ на времеви редове. М.: Мир, 1976 (djvu, 14 M)
• Бакелман И.Я. Вернер А.Л. Кантор Б.Е. Въведение в диференциалната геометрия "общо". М.: Наука, 1973 (djvu, 5,71 M)
• Bernstein S.N. Теория на вероятностите. М.-Л.: GI, 1927 (djvu, 4,51M)
• Билингсли П. Конвергенция на вероятностните мерки. М.: Наука, 1977 (djvu, 3,96 M)
• Box J. Jenkins G. Анализ на времеви редове: прогнозиране и управление. Брой 1. М.: Мир, 1974 (djvu, 3,38 M)
• Box J. Jenkins G. Анализ на времеви редове: прогнозиране и управление. Брой 2. М.: Мир, 1974 (djvu, 1,72 M)
• Борел Е. Вероятност и надеждност. М.: Наука, 1969 (djvu, 1,19 M)
• Van der Waerden B.L. Математическа статистика. М.: IL, 1960 (djvu, 6,90 M)
• Вапник В.Н. Възстановяване на зависимости въз основа на емпирични данни. М.: Наука, 1979 (djvu, 6,18M)
• Вентцел Е.С. Въведение в изследването на операциите. М.: Съветско радио, 1964 г (djvu, 8,43M)
• Вентцел Е.С. Елементи на теорията на игрите (2-ро издание). Серия: Популярни лекции по математика. Брой 32. М.: Наука, 1961 (djvu, 648 K)
• Ventstel E.S. Теория на вероятностите (4-то издание). М.: Наука, 1969 (djvu, 8,05 M)
• Ventstel E.S., Ovcharov L.A. Теория на вероятностите. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1969 (djvu, 7,71 M)
• Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Практическа тетрадка по теория на вероятностите с елементи на комбинаторика и математическа статистика. М.: Образование, 1979 (djvu, 1,12M)
• Гмурман В.Е. Ръководство за решаване на проблеми по теория на вероятностите и математическа статистика (3-то издание). М.: По-високо. училище, 1979г (djvu, 4,24 M)
• Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика (4-то издание). М.: Висше училище, 1972 (djvu, 3,75M)
• Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Пределни разпределения за суми от независими случайни променливи. M.-L.: GITTL, 1949 (djvu, 6,26M)
• Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Елементарно въведение в теорията на вероятностите (7-мо издание). М.: Наука, 1970 (djvu, 2,48 M)
• Oak J.L. Вероятностни процеси. М.: IL, 1956 (djvu, 8,48M)
• Дейвид Г. Поредна статистика. М.: Наука, 1979 (djvu, 2,87M)
• Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независими и стационарни свързани величини. М.: Наука, 1965 (djvu, 6,05M)
• Idier V., Dryard D., James F., Rus M., Sadoulet B. Статистически методи в експерименталната физика. М.: Атомиздат, 1976 (djvu, 5,95M)
• Камалов М.К. Разпределение на квадратични форми в извадки от нормална популация. Ташкент: Академия на науките на UzSSR, 1958 (djvu, 6,29M)
• Касандра O.N., Лебедев V.V. Обработка на резултатите от наблюденията. М.: Наука, 1970 (djvu, 867 K)
• Katz M. Вероятност и свързани с нея въпроси във физиката. М.: Мир, 1965 (djvu, 3,67M)
• Katz M. Няколко вероятностни проблеми на физиката и математиката. М.: Наука, 1967 (djvu, 1,50 M)
• Katz M. Статистическа независимост в теорията на вероятностите, анализа и теорията на числата. М.: IL, 1963 (djvu, 964 K)
• Кендъл М., Моран П. Геометрични вероятности. М.: Наука, 1972 (djvu, 1,40 M)
• Кендъл М., Стюарт А. Том 2. Статистически изводи и връзки. М.: Наука, 1973 (djvu, 10 M)
• Кендъл М., Стюарт А. Том 3. Многовариантен статистически анализ и времеви редове. М.: Наука, 1976 (djvu, 7,96 M)
• Kendall M., Stewart A. Vol. 1. Теория на разпределенията. М.: Наука, 1965 (djvu, 6,02M)
• Колмогоров A.N. Основни понятия на теорията на вероятностите (2-ро изд.) М.: Наука, 1974 г. (djvu, 2.14M)
• Колчин V.F., Севастянов B.A., Чистяков V.P. Случайни разположения. М.: Наука, 1976 (djvu, 2,96 M)
• Kramer G. Математически методи на статистиката (2-ро изд.). М.: Мир, 1976 (djvu, 9,63 M)
• Леман Е. Тестване на статистически хипотези. М.: Наука. 1979 г (djvu, 5,18M)
• Линник Ю.В., Островски И.В. Декомпозиции на случайни променливи и вектори. М.: Наука, 1972 (djvu, 4,86M)
• Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Ръководство за решаване на задачи по висша математика, теория на вероятностите и математическа статистика (2-ро издание). Мн.: Виш. училище, 1969г (djvu, 4,99 M)
• Лоев М. Теория на вероятностите. М.: IL, 1962 (djvu, 7,38 M)
• Малахов А.Н. Кумулатен анализ на случайни негаусови процеси и техните трансформации. М.: Сов. радио, 1978 г (djvu, 6,72 M)
• Мешалкин Л.Д. Сборник задачи по теория на вероятностите. М.: МГУ, 1963 (djvu, 1 004 K)
• Митрополски А.К. Теория на моментите. М.-Л.: ГИКСЛ, 1933 (djvu, 4,49M)
• Митрополски А.К. Техники на статистическото изчисление (2-ро изд.). М.: Наука, 1971 (djvu, 8,35M)
• Мостелер Ф., Рурк Р., Томас Дж. Вероятност. М.: Мир, 1969 (djvu, 4,82M)
• Налимов В.В. Приложение на математическата статистика в анализа на материята. М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu, 4.11M)
• Neveu J. Математически основи на теорията на вероятностите. М.: Мир, 1969 (djvu, 3,62M)
• Престън К. Математика. Ново в чуждестранната наука №7. Състояния на Гибс върху изброими множества. М.: Мир, 1977 (djvu, 2,15 M)
• Савелиев Л.Я. Елементарна теория на вероятностите. Част 1. Новосибирск: NSU, 2005 (

за студенти 2 курс от всички специалности

Катедра Висша математика

Уводна част

Скъпи студенти!

Предлагаме на вашето внимание обзорна (уводна) лекция на професор Н. Ш. Кремер по дисциплината „Теория на вероятностите и математическа статистика” за студенти от втора година на VZFEI.

В лекцията се обсъжда задачиизучаване на теория на вероятностите и математическа статистика в икономически университет и нейното мястов системата за обучение на съвременен икономист, се разглежда организация независимадава се работа на студентите с помощта на компютърно базирана система за обучение (CTS) и традиционни учебници преглед на основните разпоредбитози курс, както и методически препоръки за неговото изучаване.

Сред математическите дисциплини, изучавани в икономическия университет, теорията на вероятностите и математическата статистика заемат специално място. Първо, това е теоретичната основа на статистическите дисциплини. Второ, методите на теорията на вероятностите и математическата статистика се използват директно в изследването масови агрегатинаблюдавани явления, обработка на резултатите от наблюденията и идентифициране на модели на случайни явления. И накрая, теорията на вероятностите и математическата статистика имат важно методологично значение в когнитивен процес, при идентифициране на общ модел изследванипроцеси, служи като лог базаиндуктивно-дедуктивно разсъждение.

Всеки студент от втора година трябва да има следния комплект (казус) по дисциплината „Теория на вероятностите и математическа статистика”:

1. Обзорна ориентировъчна лекцияв тази дисциплина.

2. УчебникН.Ш. Kremer “Теория на вероятностите и математическа статистика” - М.: UNITY - DANA, 2007 (по-нататък ще го наричаме просто “учебник”).

3. Учебно-методическо ръководство„Теория на вероятностите и математическа статистика” / изд. Н.Ш. Кремер. – М.: Университетски учебник, 2005 (наричан по-нататък „ръководство“).

4. Програма за компютърно обучение COPR по дисциплината (наричана по-долу „компютърна програма“).

На уебсайта на института, на страницата „Корпоративни ресурси“, са публикувани онлайн версии на компютърната програма KOPR2, обзорна лекция за ориентиране и електронна версия на ръководството. В допълнение, компютърната програма и ръководството са представени на CD - ROM ах за второкурсници. Следователно в „хартиена форма“ ученикът трябва да има само учебник.

Нека обясним предназначението на всеки от учебните материали, включени в посочения комплект (кейс).

В учебникапредставени са основните положения на учебния материал по дисциплината, илюстрирани с достатъчно голям брой решени задачи.

IN ПолзиДадени са методически препоръки за самостоятелно изучаване на учебен материал, подчертани са най-важните понятия от курса и типичните задачи, дадени са тестови въпроси за самопроверка по тази дисциплина, варианти за домашни тестове, които студентът трябва да изпълни, както и методически дадени са указания за изпълнението им.

Компютърна програмае предназначен да ви осигури максимална помощ при усвояването на курса в режим диалогпрограма с ученик, за да компенсирате в най-голяма степен липсата на обучение в класната стая и подходящ контакт с учителя.

За студент, който се обучава чрез системата за дистанционно обучение, първостепенно и решаващо значение има организация на самостоятелна работа.

Когато започвате да изучавате тази дисциплина, прочетете тази обзорна (уводна) лекция до края. Това ще ви позволи да получите обща представа за основните понятия и методи, използвани в курса „Теория на вероятностите и математическа статистика“, както и за изискванията към нивото на подготовка на студентите от ВЗФЕИ.

Преди изучаване на всяка тема Прочетете насоките за изучаване на тази тема в ръководството.Тук ще намерите списък с образователни въпроси по тази тема, които ще изучавате; разберете кои понятия, дефиниции, теореми, проблеми са най-важните, които първо трябва да бъдат изучени и усвоени.

След това продължете с изучаването основен учебен материалпо учебника в съответствие с получените методически препоръки. Съветваме ви да си водите бележки в отделна тетрадка за основните дефиниции, формулировки на теореми, диаграми на техните доказателства, формули и решения на типични задачи. Препоръчително е да запишете формулите в специални таблици за всяка част от курса: теория на вероятностите и математическа статистика. Редовното използване на бележки, по-специално таблици с формули, насърчава тяхното запомняне.

Само след като обработите основния учебен материал на всяка тема в учебника, можете да преминете към изучаване на тази тема с помощта на компютърна програма за обучение (KOPR2).

Обърнете внимание на структурата на компютърната програма за всяка тема. След името на темата има списък с основните образователни въпроси на темата в учебника, като се посочват номерата на параграфите и страниците, които трябва да бъдат изучени. (Не забравяйте, че списък с тези въпроси за всяка тема също е даден в ръководството).

След това в кратка форма се дава справочен материал по тази тема (или по отделни параграфи от тази тема) - основни определения, теореми, свойства и характеристики, формули и др. Докато изучавате тема, можете също да показвате на екрана тези фрагменти от референтен материал (по тази или предишни теми), които са необходими в момента.

След това ви се предлагат учебни материали и, разбира се, стандартни задачи ( примери),чието решение се разглежда в режима диалогпрограми с ученик. Функциите на редица примери са ограничени до показване на етапите на правилното решение на екрана по желание на ученика. В същото време, в процеса на разглеждане на повечето примери, ще ви бъдат задавани въпроси от едно или друго естество. Отговорите на някои въпроси трябва да се въвеждат с помощта на клавиатурата. числен отговор,на другите - изберете правилния отговор (или отговори)от няколко предложени.

В зависимост от въведения от вас отговор, програмата потвърждава правилността му или предлага, след като прочетете подсказката, съдържаща необходимите теоретични принципи, да опитате отново да дадете правилното решение и отговор. Много задачи имат ограничение за броя на опитите за решаване (ако това ограничение бъде надвишено, правилният напредък на решението задължително се показва на екрана). Има и примери, в които обемът на информацията, съдържаща се в подсказката, се увеличава с повтарянето на неуспешни опити за отговор.

След като се запознаете с теоретичните положения на учебния материал и примерите, които са предоставени с подробен анализ на решението, трябва да завършите упражнения за самоконтрол, за да консолидирате уменията си за решаване на типични задачи по всяка тема. Задачите за самоконтрол също съдържат елементи на диалог с ученика. След като завършите решението, можете да погледнете верния отговор и да го сравните с този, който сте дали.

В края на работата по всяка тема трябва да изпълните контролни задачи. Верните отговори на тях не ви се показват, а вашите отговори се записват на твърдия диск на компютъра за последващ преглед от учителя-консултант (преподавател).

След изучаване на теми 1–7 трябва да се попълни домашен тест № 3, а след изучаване на теми 8–11, домашен контрол № 4. Варианти на тези тестове са дадени в помагалото (електронната му версия). Номерът на изпълняваната опция трябва да съвпада с последната цифра от номера на Вашето лично досие (книжка, студентска книжка). За всеки тест трябва да преминете интервю, по време на което трябва да демонстрирате способността си да решавате задачи и познаване на основни понятия (дефиниции, теореми (без доказателство), формули и др.) по темата на теста. Изучаването на дисциплината завършва с курсов изпит.

Теорията на вероятностите е математическа наука, която изучава моделите на случайни явления.

Предлаганата за изучаване дисциплина се състои от два раздела „Теория на вероятностите” и „Математическа статистика”.

Теория на вероятностите и математическа статистика

1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ

1 Конвергенция на последователности от случайни променливи и вероятностни разпределения

В теорията на вероятностите трябва да се работи с различни видове конвергенция на случайни променливи. Нека разгледаме следните основни типове конвергенция: по вероятност, с вероятност едно, по ред p, по разпределение.

Нека,... са случайни променливи, дефинирани в някакво вероятностно пространство (, Ф, P).

Определение 1. Казва се, че поредица от случайни променливи, ... се сближава по вероятност към случайна променлива (нотация:), ако за всяко > 0

Определение 2. Казва се, че поредица от случайни променливи, ... се сближава с вероятност едно (почти сигурно, почти навсякъде) към случайна променлива, ако

тези. ако наборът от резултати, за които () не се сближават с (), има нулева вероятност.

Този тип конвергенция се означава по следния начин: , или, или.

Определение 3. Поредица от случайни променливи ... се нарича средно конвергентна от ред p, 0< p < , если

Определение 4. За поредица от случайни променливи... се казва, че се сближава в разпределението към случайна променлива (нотация:), ако за всяка ограничена непрекъсната функция

Конвергенцията в разпределението на случайни променливи се определя само от гледна точка на сходимостта на техните функции на разпределение. Следователно има смисъл да се говори за този тип конвергенция, дори когато случайните променливи са посочени в различни вероятностни пространства.

Теорема 1.

а) За да има (P-a.s.), е необходимо и достатъчно за всяко > 0

) Последователността () е фундаментална с вероятност едно, ако и само ако за всеки > 0.

Доказателство.

а) Нека A = (: |- | ), A = A. Тогава

Следователно твърдение а) е резултат от следната верига от импликации:

P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) Нека означим = (: ), = . Тогава (: (()) не е фундаментално ) = и по същия начин както в а) се показва, че (: (()) не е фундаментално ) = 0 P( ) 0, n.

Теоремата е доказана

Теорема 2. (Критерий на Коши за почти сигурна конвергенция)

За да бъде последователност от случайни променливи () сходна с вероятност едно (към някаква случайна променлива), е необходимо и достатъчно тя да бъде фундаментална с вероятност едно.

Доказателство.

Ако, тогава +

от което следва необходимостта от условията на теоремата.

Сега нека последователността () е фундаментална с вероятност едно. Нека означим L = (: (()) не фундаментално). Тогава за всички числовата последователност () е фундаментална и според критерия на Коши за числовите последователности () съществува. Да сложим

Тази дефинирана функция е случайна променлива и.

Теоремата е доказана.

2 Метод на характеристичните функции

Методът на характеристичните функции е един от основните инструменти на аналитичния апарат на теорията на вероятностите. Наред със случайните променливи (приемащи реални стойности), теорията на характеристичните функции изисква използването на случайни променливи с комплексни стойности.

Много от определенията и свойствата, свързани със случайни променливи, лесно се прехвърлят в сложния случай. И така, математическото очакване М ?комплексно-стойностна случайна променлива ?=?+?? се счита за сигурно, ако са определени математическите очаквания M ?тях ?. В този случай по дефиниция приемаме M ?= М ? + ?М ?. От определението за независимост на случайните елементи следва, че комплекснозначните величини ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2са независими тогава и само ако двойки случайни променливи са независими ( ?1 , ?1) И ( ?2 , ?2), или, което е същото нещо, независим ?-алгебра Ф ?1, ?1 и F ?2, ?2.

Заедно с пространството L 2реални случайни променливи с краен втори момент, можем да въведем Хилбертовото пространство на случайни променливи с комплексни стойности ?=?+?? с М | ?|2?|2= ?2+?2и скаларното произведение ( ?1 , ?2)= М ?1?2¯ , Където ?2¯ - комплексно спрегната случайна променлива.

В алгебричните операции векторите Rn се третират като алгебрични колони,

Като редови вектори, a* - (a1,a2,…,an). Ако Rn , тогава тяхното скаларно произведение (a,b) ще се разбира като количество. Това е ясно

Ако aRn и R=||rij|| е матрица от ред nхn, тогава

Определение 1. Нека F = F(x1,....,xn) - n-мерна функция на разпределение в (, ()). Неговата характерна функция се нарича функция

Определение 2 . Ако? = (?1,…,?n) е произволен вектор, дефиниран на вероятностно пространство със стойности в, тогава неговата характеристична функция се нарича функция

къде е Ф? = F?(х1,….,хn) - векторна функция на разпределение?=(?1,…, ?n).

Ако функцията на разпределение F(x) има плътност f = f(x), тогава

В този случай характеристичната функция не е нищо повече от преобразуването на Фурие на функцията f(x).

От (3) следва, че характеристичната функция ??(t) на произволен вектор може също да бъде определена от равенството

Основни свойства на характеристични функции (при n=1).

Нека бъде? = ?(?) - случайна променлива, F? =F? (x) е неговата функция на разпределение и е характеристичната функция.

Трябва да се отбележи, че ако, тогава.

Наистина,

където се възползвахме от факта, че математическото очакване на произведението на независими (ограничени) случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Свойството (6) е ключово при доказване на гранични теореми за суми от независими случайни променливи по метода на характеристичните функции. В това отношение функцията на разпределение се изразява чрез функциите на разпределение на отделните термини по много по-сложен начин, а именно, където знакът * означава свиване на разпределенията.

Всяка функция на разпределение в може да бъде свързана със случайна променлива, която има тази функция като функция на разпределение. Следователно, когато представяме свойствата на характеристичните функции, можем да се ограничим до разглеждане на характеристичните функции на случайни променливи.

Теорема 1.Нека бъде? - случайна величина с функция на разпределение F=F(x) и - нейната характеристична функция.

Възникват следните свойства:

) е равномерно непрекъснато в;

) е функция с реална стойност тогава и само ако разпределението на F е симетрично

) ако за някои n? 1, тогава за всички има производни и

) Ако съществува и е краен, тогава

) Нека за всички n ? 1 и

тогава за всички |t|

Следващата теорема показва, че характеристичната функция еднозначно определя функцията на разпределение.

Теорема 2 (уникалност). Нека F и G са две функции на разпределение, имащи една и съща характеристична функция, т.е. за всички

Теоремата казва, че функцията на разпределение F = F(x) може да бъде уникално възстановена от нейната характеристична функция. Следващата теорема дава изрично представяне на функцията F по отношение на.

Теорема 3 (формула за обобщение). Нека F = F(x) е функцията на разпределение и е нейната характеристична функция.

а) За всеки две точки a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Ако тогава функцията на разпределение F(x) има плътност f(x),

Теорема 4. За да са независими компонентите на случаен вектор, е необходимо и достатъчно характеристичната му функция да е произведение на характеристичните функции на компонентите:

Теорема на Бохнер-Хинчин . Нека е непрекъсната функция.За да бъде характеристична, е необходимо и достатъчно тя да бъде неотрицателно определена, тоест за всяко реално t1, ... , tn и всякакви комплексни числа

Теорема 5. Нека е характеристичната функция на случайна променлива.

а) Ако за някои, то случайната променлива е решетъчна със стъпка, т.е

) Ако за две различни точки къде е ирационално число, то случайна променлива ли е? е изродено:

където a е някаква константа.

в) Ако, то случайна променлива ли е? изродени.

1.3 Централна гранична теорема за независими еднакво разпределени случайни променливи

Нека () е последователност от независими, еднакво разпределени случайни променливи. Очакване M= a, дисперсия D= , S = , а Ф(х) е функцията на разпределение на нормалния закон с параметри (0,1). Нека въведем друга последователност от случайни променливи

Теорема. Ако 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

В този случай последователността () се нарича асимптотично нормална.

От факта, че M = 1 и от теоремите за непрекъснатост следва, че наред със слабата сходимост, FM f() Mf() за всяко непрекъснато ограничено f, има и сходимост M f() Mf() за всяко непрекъснато f , така че |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Доказателство.

Равномерната конвергенция тук е следствие от слабата конвергенция и непрекъснатост на Ф(х). Освен това, без загуба на общоприетост, можем да приемем a = 0, тъй като в противен случай бихме могли да разгледаме последователността () и последователността () няма да се промени. Следователно, за да докажем изискваната конвергенция, е достатъчно да покажем, че (t) e, когато a = 0. Имаме

(t) = , където =(t).

Тъй като M съществува, тогава декомпозицията съществува и е валидна

Следователно, за n

Теоремата е доказана.

1.4 Основните задачи на математическата статистика, тяхното кратко описание

Установяването на закономерности, които управляват масови случайни явления, се основава на изучаването на статистически данни - резултатите от наблюденията. Първата задача на математическата статистика е да посочи начини за събиране и групиране на статистическа информация. Втората задача на математическата статистика е да разработи методи за анализ на статистически данни в зависимост от целите на изследването.

При решаването на всеки проблем от математическата статистика има два източника на информация. Първият и най-категоричен (експлицитен) е резултат от наблюдения (експеримент) под формата на извадка от някаква генерална популация на скаларна или векторна случайна променлива. В този случай размерът на извадката n може да бъде фиксиран или може да се увеличи по време на експеримента (т.е. могат да се използват така наречените процедури за последователен статистически анализ).

Вторият източник е цялата априорна информация за интересните свойства на обекта, който се изучава, която е натрупана до настоящия момент. Формално количеството априорна информация се отразява в първоначалния статистически модел, който се избира при решаването на проблема. Не е необходимо обаче да се говори за приблизително определяне в обичайния смисъл на вероятността от събитие въз основа на резултатите от експерименти. Под приблизително определяне на всяко количество обикновено се има предвид, че е възможно да се посочат граници на грешка, в рамките на които няма да възникне грешка. Честотата на събитието е произволна за произволен брой експерименти поради случайността на резултатите от отделните експерименти. Поради случайността на резултатите от отделните експерименти, честотата може да се отклонява значително от вероятността на събитието. Следователно, като дефинираме неизвестната вероятност за събитие като честотата на това събитие за голям брой експерименти, не можем да посочим границите на грешката и да гарантираме, че грешката няма да надхвърли тези граници. Следователно в математическата статистика обикновено говорим не за приблизителни стойности на неизвестни величини, а за техните подходящи стойности, оценки.

Проблемът с оценката на неизвестни параметри възниква в случаите, когато функцията на разпределение на населението е известна с точност до параметър. В този случай е необходимо да се намери статистика, чиято примерна стойност за разглежданата реализация xn на случайна извадка може да се счита за приблизителна стойност на параметъра. Статистика, чиято примерна стойност за всяка реализация xn се приема като приблизителна стойност на неизвестен параметър, се нарича точкова оценка или просто оценка и е стойността на точкова оценка. Точковата оценка трябва да отговаря на много специфични изисквания, за да може нейната извадкова стойност да съответства на истинската стойност на параметъра.

Възможен е и друг подход за решаване на разглеждания проблем: намерете такава статистика и с вероятност? важи следното неравенство:

В този случай говорим за интервална оценка за. Интервал

се нарича доверителен интервал за с коефициента на доверие?.

След като се оцени една или друга статистическа характеристика въз основа на резултатите от експериментите, възниква въпросът: доколко е последователно предположението (хипотезата), че неизвестната характеристика има точно тази стойност, получена в резултат на нейната оценка с експерименталните данни? Така възниква вторият важен клас задачи в математическата статистика – проблемите за проверка на хипотези.

В известен смисъл проблемът с тестването на статистическа хипотеза е обратен на проблема с оценката на параметъра. Когато оценяваме даден параметър, не знаем нищо за истинската му стойност. Когато се тества статистическа хипотеза, по някаква причина нейната стойност се приема за известна и е необходимо да се провери това предположение въз основа на резултатите от експеримента.

В много проблеми на математическата статистика се разглеждат последователности от случайни променливи, сходни в един или друг смисъл до някаква граница (случайна променлива или константа), когато.

По този начин основните задачи на математическата статистика са разработването на методи за намиране на оценки и изследване на точността на тяхното сближаване с оценяваните характеристики и разработването на методи за тестване на хипотези.

5 Проверка на статистически хипотези: основни понятия

Задачата за разработване на рационални методи за проверка на статистически хипотези е една от основните задачи на математическата статистика. Статистическа хипотеза (или просто хипотеза) е всяко твърдение за вида или свойствата на разпределението на случайни променливи, наблюдавани в експеримент.

Нека има извадка, която е реализация на случайна извадка от генерална съвкупност, чиято плътност на разпределение зависи от неизвестен параметър.

Статистическите хипотези относно неизвестната истинска стойност на даден параметър се наричат ​​параметрични хипотези. Освен това, ако е скалар, тогава говорим за еднопараметрични хипотези, а ако е вектор, тогава говорим за многопараметрични хипотези.

Статистическата хипотеза се нарича проста, ако има формата

където е определена стойност на параметър.

Статистическата хипотеза се нарича сложна, ако има формата

където е набор от стойности на параметри, състоящ се от повече от един елемент.

В случай на тестване на две прости статистически хипотези на формата

където са две дадени (различни) стойности на параметъра, първата хипотеза обикновено се нарича основна, а втората се нарича алтернативна или конкурентна хипотеза.

Критерият или статистическият критерий за тестване на хипотези е правилото, по което въз основа на извадкови данни се взема решение относно валидността на първата или втората хипотеза.

Критерият се определя с помощта на критичен набор, който е подмножество от пространството на извадката на случайна извадка. Решението се взема, както следва:

) ако извадката принадлежи към критичното множество, тогава отхвърлете основната хипотеза и приемете алтернативната хипотеза;

), ако извадката не принадлежи към критичното множество (т.е. принадлежи към допълнението на множеството към пространството на извадката), тогава алтернативната хипотеза се отхвърля и се приема основната хипотеза.

При използване на всеки критерий са възможни следните видове грешки:

1) приемете хипотеза, когато е вярна - грешка от първи вид;

) приемането на хипотеза, когато е вярна, е грешка от тип II.

Вероятностите за извършване на грешки от първия и втория тип се означават с:

където е вероятността за събитие, при условие че хипотезата е вярна. Посочените вероятности се изчисляват с помощта на функцията за плътност на разпределение на случайна извадка:

Вероятността за извършване на грешка от тип I също се нарича ниво на значимост на критерия.

Стойността, равна на вероятността за отхвърляне на основната хипотеза, когато е вярна, се нарича мощност на теста.

1.6 Критерий за независимост

Има извадка ((XY), ..., (XY)) от двумерно разпределение

L с неизвестна функция на разпределение, за която е необходимо да се провери хипотезата H: , където са някои едномерни функции на разпределение.

Въз основа на методологията може да се конструира прост тест за съответствие за хипотеза H. Тази техника се използва за дискретни модели с краен брой резултати, така че се съгласяваме, че случайната променлива приема краен брой s от някои стойности, които ще обозначим с букви, а вторият компонент - k стойности. Ако оригиналният модел има различна структура, тогава възможните стойности на случайни променливи предварително се групират отделно в първия и втория компонент. В този случай наборът е разделен на s интервала, наборът от стойности на k интервала, а самият набор от стойности в N=sk правоъгълници.

Нека означим с броя на наблюденията на двойката (броя на примерните елементи, принадлежащи на правоъгълника, ако данните са групирани), така че. Удобно е резултатите от наблюдението да се подредят под формата на таблица за случайности от два знака (Таблица 1.1). В приложенията и обикновено означават два критерия, по които се класифицират резултатите от наблюдението.

Нека P, i=1,…,s, j=1,…,k. Тогава хипотезата за независимост означава, че има s+k константи, така че и, т.е.

Таблица 1.1

Сума . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Сума . . .н

По този начин хипотеза H се свежда до твърдението, че честотите (техният брой е N = sk) се разпределят по полиномен закон с вероятности за резултати, имащи определена специфична структура (векторът на вероятностите за резултати p се определя от стойностите r = s + k-2 на неизвестни параметри.

За да тестваме тази хипотеза, ще намерим оценки на максималната вероятност за неизвестните параметри, които определят разглежданата схема. Ако нулевата хипотеза е вярна, тогава функцията на вероятността има формата L(p)= където множителят c не зависи от неизвестните параметри. От тук, използвайки метода на Лагранж на неопределените множители, получаваме, че необходимите оценки имат формата

Следователно статистика

L() at, тъй като броят на степените на свобода в граничното разпределение е равен на N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1).

Така че за достатъчно голямо n може да се използва следното правило за тестване на хипотези: хипотеза H се отхвърля тогава и само ако t статистическата стойност, изчислена от действителните данни, удовлетворява неравенството

Този критерий има асимптотично (при) дадено ниво на значимост и се нарича критерий за независимост.

2. ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ

1 Решения на задачи за видове конвергенция

1. Докажете, че конвергенцията почти сигурно предполага сходимост във вероятността. Дайте тестов пример, за да покажете, че обратното не е вярно.

Решение. Нека последователност от случайни променливи се сближава почти сигурно със случайна променлива x. И така, за някой? > 0

От тогава

и от конвергенцията на xn към x почти сигурно следва, че xn се сходи към x по вероятност, тъй като в този случай

Но обратното твърдение не е вярно. Нека е последователност от независими случайни променливи, имащи една и съща функция на разпределение F(x), равна на нула при x? 0 и равно за x > 0. Разгледайте последователността

Тази последователност се свежда до нула по вероятност, тъй като

клони към нула за всеки фиксиран? И. Сближаване до нула обаче почти сигурно няма да се осъществи. Наистина ли

клони към единица, тоест с вероятност 1 за всяко и n ще има реализации в последователността, които надвишават ?.

Обърнете внимание, че при наличието на някои допълнителни условия, наложени на величините xn, конвергенцията във вероятността предполага почти сигурна конвергенция.

Нека xn е монотонна последователност. Докажете, че в този случай сходимостта на xn към x по вероятност води до сходимост на xn към x с вероятност 1.

Решение. Нека xn е монотонно намаляваща редица, т.е. За да опростим нашите разсъждения, ще приемем, че x º 0, xn ³ 0 за всички n. Нека xn се сближава с x по вероятност, но сближаване почти сигурно няма. Съществува ли тогава? > 0, така че за всички n

Но казаното също означава, че за всички n

което противоречи на сходимостта на xn към x по вероятност. По този начин, за монотонна последователност xn, която се сближава с x по вероятност, също се сближава с вероятност 1 (почти сигурно).

Нека последователността xn се сближава с x по вероятност. Докажете, че от тази последователност е възможно да се изолира последователност, която сходна към x с вероятност 1 at.

Решение. Позволявам да бъде някаква последователност от положителни числа и нека и да бъде положително число, така че серията. Нека построим последователност от индекси n1

След това сериалът

Тъй като серията се сближава, тогава за всеки? > 0 остатъкът от редицата клони към нула. Но тогава клони към нула и

Докажете, че сходимостта в средната стойност на всеки положителен ред предполага сходимост във вероятността. Дайте пример, за да покажете, че обратното не е вярно.

Решение. Нека последователността xn конвергира към стойност x средно от ред p > 0, т.е

Нека използваме обобщеното неравенство на Чебишев: за произволно? > 0 и p > 0

Насочвайки и вземайки предвид това, ние получаваме това

това означава, че xn се сближава с x по вероятност.

Обаче конвергенцията във вероятността не води до конвергенция в средната стойност от ред p > 0. Това се илюстрира със следния пример. Разгледайте вероятностното пространство áW, F, Rñ, където F = B е s-алгебрата на Борел, R е мярката на Лебег.

Нека дефинираме последователност от случайни променливи, както следва:

Последователността xn се свежда до 0 по вероятност, тъй като

но за всяко p > 0

тоест няма да се сближи средно.

Нека, какво за всички n . Докажете, че в този случай xn конвергира към x в средния квадрат.

Решение. Забележи, че... Нека получим оценка за. Нека разгледаме една случайна променлива. Нека бъде? - произволно положително число. След това на и на.

Ако, тогава и. Следователно, . И защото? произволно малък и тогава при, тоест в средния квадрат.

Докажете, че ако xn сходи към x по вероятност, тогава възниква слаба конвергенция. Дайте тестов пример, за да покажете, че обратното не е вярно.

Решение. Нека докажем, че ако, тогава във всяка точка x, която е точка на непрекъснатост (това е необходимо и достатъчно условие за слаба конвергенция), е функцията на разпределение на стойността xn, и - стойността на x.

Нека x е точка на непрекъснатост на функцията F. Ако, тогава поне едно от неравенствата или е вярно. Тогава

По същия начин за поне едно от неравенствата или и

Ако, тогава за толкова малко, колкото желаете? > 0 съществува N такова, че за всички n > N

От друга страна, ако х е точка на непрекъснатост, възможно ли е да се намери нещо подобно? > 0, което за произволно малко

И така, за толкова малко, колкото искате? и съществува N такова, че за n >N

или, което е същото,

Това означава, че конвергенцията се осъществява във всички точки на непрекъснатост. Следователно слабата конвергенция следва от конвергенцията във вероятността.

Обратното твърдение, най-общо казано, не е валидно. За да проверим това, нека вземем последователност от случайни променливи, които не са равни на константи с вероятност 1 и имат една и съща функция на разпределение F(x). Приемаме, че за всички n количествата и са независими. Очевидно се получава слаба конвергенция, тъй като всички членове на последователността имат една и съща функция на разпределение. Обмисли:

|От независимостта и еднаквото разпределение на ценностите следва, че

Нека изберем измежду всички функции на разпределение на неизродени случайни променливи такава F(x), която ще бъде различна от нула за всички достатъчно малки ?. Тогава той не клони към нула с неограничен растеж на n и няма да има сближаване във вероятността.

7. Нека има слаба конвергенция, където с вероятност 1 има константа. Докажете, че в този случай тя ще се сближи с по вероятност.

Решение. Нека вероятност 1 е равна на a. Тогава слабата конвергенция означава конвергенция за всяко. Тъй като, тогава при и при. Тоест при и при. От това следва, че за някой? > 0 вероятност

клонят към нула при. Означава, че

клони към нула при, т.е. се сближава към по вероятност.

2.2 Решаване на проблемите на централата за централно отопление

Стойността на гама функцията Г(x) при x= се изчислява по метода Монте Карло. Нека намерим минималния брой необходими тестове, така че с вероятност от 0,95 да очакваме, че относителната грешка на изчисленията ще бъде по-малка от един процент.

За точност, която имаме

Известно е, че

След като направихме промяна в (1), стигаме до интеграла върху краен интервал:

При нас, значи

Както може да се види, той може да бъде представен във формата където и е разпределен равномерно върху. Нека се направят статистически тестове. Тогава статистическият аналог е количеството

където са независими случайни променливи с равномерно разпределение. При което

От CLT следва, че е асимптотично нормално с параметрите.

Това означава, че минималният брой тестове, осигуряващи с вероятност относителната грешка на изчислението, е не повече от равен.

Разглеждаме последователност от 2000 независими еднакво разпределени случайни променливи с математическо очакване 4 и дисперсия 1,8. Средната аритметична стойност на тези величини е случайна променлива. Определете вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала (3.94; 4.12).

Нека …,… е последователност от независими случайни променливи с еднакво разпределение с M=a=4 и D==1,8. Тогава CLT е приложим към последователността (). Случайна стойност

Вероятност да приеме стойност в интервала ():

За n=2000, 3,94 и 4,12 получаваме

3 Тестване на хипотези с помощта на критерия за независимост

В резултат на изследването е установено, че 782 светлооки бащи също имат светлооки синове, а 89 светлооки бащи имат тъмнооки синове. 50 тъмнооки бащи също имат тъмнооки синове, а 79 тъмнооки бащи имат светлооки синове. Има ли връзка между цвета на очите на бащите и цвета на очите на техните синове? Приемете нивото на доверие като 0,99.

Таблица 2.1

Деца Бащи СумаСветлоокиТъмноокиСветлооки78279861Тъмнооки8950139Сума8711291000

З: Няма връзка между цвета на очите на децата и бащите.

З: Има връзка между цвета на очите на децата и бащите.

s=k=2 =90.6052 с 1 степен на свобода

Изчисленията са направени в Mathematica 6.

Тъй като > , тогава хипотеза H за липсата на връзка между цвета на очите на бащите и децата на ниво значимост трябва да бъде отхвърлена и алтернативната хипотеза H трябва да бъде приета.

Посочено е, че ефектът на лекарството зависи от начина на приложение. Проверете това твърдение, като използвате данните, представени в табл. 2.2 Приемете нивото на доверие като 0,95.

Таблица 2.2

Резултат Начин на приложение ABC Неблагоприятен 111716 Благоприятен 202319

Решение.

За да разрешим този проблем, ще използваме таблица за непредвидени обстоятелства от две характеристики.

Таблица 2.3

Резултат Начин на приложение Сума ABC Неблагоприятна 11171644 Благоприятна 20231962 Сума 314035106

H: ефектът на лекарствата не зависи от начина на приложение

H: ефектът на лекарствата зависи от начина на приложение

Статистиката се изчислява по следната формула

s=2, k=3, =0.734626 с 2 степени на свобода.

Изчисления, направени в Mathematica 6

От разпределителните таблици намираме това.

Тъй като< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Заключение

Тази статия представя теоретични изчисления от раздела „Критерий за независимост“, както и „Гранични теореми на теорията на вероятностите“, курса „Теория на вероятностите и математическа статистика“. По време на работата беше тестван на практика критерият за независимост; Също така, за дадени последователности от независими случайни променливи беше проверено изпълнението на централната гранична теорема.

Тази работа ми помогна да подобря знанията си за тези раздели на теорията на вероятностите, да работя с литературни източници и твърдо да овладея техниката за проверка на критерия за независимост.

теорема за вероятностна статистическа хипотеза

Списък с връзки

1. Сборник задачи от теория на вероятностите с решения. Уч. надбавка / Изд. В.В. Семенец. - Харков: KhTURE, 2000. - 320 с.

Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория на вероятностите и математическа статистика. - К.: Вища школа, 1979. - 408 с.

Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Математическа статистика: Учебник. надбавка за колежи. - М.: Висше. училище, 1984. - 248 с., .

Математическа статистика: Учебник. за университети / V.B. Горяйнов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др.; Изд. СРЕЩУ. Зарубина, А.П. Крищенко. - М .: Издателство на MSTU im. Н.Е. Бауман, 2001. - 424 с.

Обучение

Нуждаете се от помощ при изучаване на тема?

Нашите специалисти ще съветват или предоставят услуги за обучение по теми, които ви интересуват.
Изпратете вашата кандидатурапосочване на темата точно сега, за да разберете за възможността за получаване на консултация.