y x 2 4x ফাংশন অধ্যয়ন 1. কিভাবে একটি ফাংশন অধ্যয়ন এবং তার গ্রাফ তৈরি করতে হয়? অনুভূমিক এবং তির্যক অ্যাসিম্পটোটস খোঁজা

কিভাবে একটি ফাংশন অধ্যয়ন এবং তার গ্রাফ নির্মাণ?

মনে হচ্ছে আমি বিশ্ব সর্বহারা শ্রেণীর নেতার আধ্যাত্মিক অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ মুখটি বুঝতে শুরু করেছি, 55 খণ্ডে সংগৃহীত রচনাগুলির লেখক... সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য নিয়ে শুরু হলো দীর্ঘ যাত্রা ফাংশন এবং গ্রাফ, এবং এখন একটি শ্রম-নিবিড় বিষয়ের উপর কাজ একটি যৌক্তিক ফলাফলের সাথে শেষ হয় - একটি নিবন্ধ ফাংশন একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন সম্পর্কে. দীর্ঘ প্রতীক্ষিত কাজটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে:

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ফাংশন অধ্যয়ন করুন এবং অধ্যয়নের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে এর গ্রাফ তৈরি করুন

অথবা সংক্ষেপে: ফাংশন পরীক্ষা করুন এবং একটি গ্রাফ তৈরি করুন।

কেন অন্বেষণ?সাধারণ ক্ষেত্রে, প্রাথমিক ফাংশনগুলি বোঝা আমাদের পক্ষে কঠিন হবে না, ব্যবহার করে প্রাপ্ত একটি গ্রাফ আঁকা প্রাথমিক জ্যামিতিক রূপান্তরএবং তাই যাইহোক, আরও জটিল ফাংশনের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফিকাল উপস্থাপনাগুলি সুস্পষ্ট থেকে অনেক দূরে, যে কারণে একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন প্রয়োজন।

সমাধানের প্রধান ধাপগুলি রেফারেন্স উপাদানে সংক্ষিপ্ত করা হয় ফাংশন স্টাডি স্কিম, এই বিভাগে আপনার গাইড. Dummies একটি বিষয়ের একটি ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা প্রয়োজন, কিছু পাঠক জানেন না কোথায় শুরু করবেন বা কিভাবে তাদের গবেষণা সংগঠিত করবেন, এবং উন্নত ছাত্ররা শুধুমাত্র কয়েকটি পয়েন্টে আগ্রহী হতে পারে। তবে আপনি যেই হোন না কেন, প্রিয় দর্শক, বিভিন্ন পাঠের ইঙ্গিত সহ প্রস্তাবিত সারসংক্ষেপ আপনাকে দ্রুত অভিমুখী করবে এবং আগ্রহের দিকে পরিচালিত করবে। রোবট চোখের জল ফেলে =) ম্যানুয়ালটি একটি পিডিএফ ফাইল হিসাবে বিন্যস্ত করা হয়েছিল এবং পৃষ্ঠায় এটির সঠিক জায়গা নিয়েছিল গাণিতিক সূত্র এবং টেবিল.

আমি একটি ফাংশনের গবেষণাকে 5-6 পয়েন্টে বিভক্ত করতে অভ্যস্ত:

6) গবেষণা ফলাফলের উপর ভিত্তি করে অতিরিক্ত পয়েন্ট এবং গ্রাফ।

চূড়ান্ত ক্রিয়া সম্পর্কে, আমি মনে করি সবকিছু সবার কাছে পরিষ্কার - এটি খুব হতাশাজনক হবে যদি কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে এটি অতিক্রম করা হয় এবং কাজটি সংশোধনের জন্য ফেরত দেওয়া হয়। একটি সঠিক এবং নির্ভুল অঙ্কন সমাধানের প্রধান ফলাফল! এটি বিশ্লেষণাত্মক ত্রুটিগুলিকে "ঢেকে" দেওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে, যখন একটি ভুল এবং/অথবা অসাবধান সময়সূচী একটি নিখুঁতভাবে পরিচালিত অধ্যয়নের সাথেও সমস্যা সৃষ্টি করবে।

এটি লক্ষ করা উচিত যে অন্যান্য উত্সগুলিতে গবেষণা পয়েন্টের সংখ্যা, তাদের বাস্তবায়নের ক্রম এবং নকশা শৈলী আমার প্রস্তাবিত স্কিম থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক হতে পারে তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি যথেষ্ট যথেষ্ট। সমস্যার সহজতম সংস্করণটি মাত্র 2-3টি ধাপ নিয়ে গঠিত এবং এটির মতো কিছু প্রণয়ন করা হয়েছে: "ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে ফাংশনটি তদন্ত করুন এবং একটি গ্রাফ তৈরি করুন" বা "1ম এবং 2য় ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে ফাংশনটি তদন্ত করুন, একটি গ্রাফ তৈরি করুন।"

স্বাভাবিকভাবেই, যদি আপনার ম্যানুয়াল অন্য অ্যালগরিদমকে বিশদভাবে বর্ণনা করে বা আপনার শিক্ষক কঠোরভাবে দাবি করেন যে আপনি তার বক্তৃতাগুলি মেনে চলুন, তাহলে আপনাকে সমাধানের জন্য কিছু সমন্বয় করতে হবে। একটি চামচ দিয়ে চেইনসো কাঁটা প্রতিস্থাপনের চেয়ে আর কঠিন নয়।

জোড়/বিজোড়ের জন্য ফাংশনটি পরীক্ষা করা যাক:

এটি একটি টেমপ্লেট উত্তর দ্বারা অনুসরণ করা হয়:
, যার মানে এই ফাংশনটি জোড় বা বিজোড় নয়।

যেহেতু ফাংশনটি ক্রমাগত চালু আছে, সেখানে কোনো উল্লম্ব লক্ষণ নেই।

কোন তির্যক উপসর্গ নেই.

বিঃদ্রঃ : আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে উচ্চতর বৃদ্ধি আদেশ, এর চেয়ে, তাই চূড়ান্ত সীমাটি ঠিক " প্লাসঅনন্ত।"

চলুন জেনে নেওয়া যাক কিভাবে ফাংশনটি অসীমে আচরণ করে:

অন্য কথায়, যদি আমরা ডানদিকে যাই, তাহলে গ্রাফটি অসীমভাবে অনেক উপরে যায়, যদি আমরা বাম দিকে যাই, এটি অসীমভাবে অনেক নিচে চলে যায়। হ্যাঁ, একটি একক এন্ট্রির অধীনে দুটি সীমাও রয়েছে৷ আপনার যদি লক্ষণগুলি বোঝাতে অসুবিধা হয় তবে অনুগ্রহ করে পাঠটি দেখুন৷ অসীম ফাংশন.

তাই ফাংশন উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়এবং নীচে থেকে সীমাবদ্ধ নয়. বিবেচনা করে আমাদের কোন ব্রেকপয়েন্ট নেই, এটা পরিষ্কার হয়ে যায় ফাংশন পরিসীমা:- কোনো বাস্তব সংখ্যাও।

দরকারী প্রযুক্তিগত প্রযুক্তি

টাস্কের প্রতিটি ধাপ ফাংশনের গ্রাফ সম্পর্কে নতুন তথ্য নিয়ে আসেতাই, সমাধানের সময় এক ধরনের লেআউট ব্যবহার করা সুবিধাজনক। আসুন একটি খসড়াতে একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম আঁকুন। কি ইতিমধ্যে নিশ্চিত জন্য পরিচিত? প্রথমত, গ্রাফটিতে কোনো উপসর্গ নেই, তাই সরলরেখা আঁকার দরকার নেই। দ্বিতীয়ত, আমরা জানি কিভাবে ফাংশনটি অসীমে আচরণ করে। বিশ্লেষণ অনুসারে, আমরা একটি প্রথম অনুমান আঁকি:

দয়া করে নোট করুন যে কারণে ধারাবাহিকতাফাংশন অন এবং সত্য যে গ্রাফটিকে অন্তত একবার অক্ষ অতিক্রম করতে হবে। অথবা হয়তো ছেদ বিভিন্ন পয়েন্ট আছে?

3) ফাংশনের শূন্য এবং ধ্রুব চিহ্নের ব্যবধান।

প্রথমে, অর্ডিনেট অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুটি খুঁজে বের করা যাক। ইহা সহজ. এখানে ফাংশনের মান গণনা করা প্রয়োজন:

সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে দেড়।

অক্ষের (ফাংশনের শূন্য) সাথে ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে পেতে, আমাদের সমীকরণটি সমাধান করতে হবে এবং এখানে একটি অপ্রীতিকর বিস্ময় আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে:

শেষে একজন মুক্ত সদস্য লুকিয়ে আছে, যা কাজটিকে আরও কঠিন করে তোলে।

এই জাতীয় সমীকরণের কমপক্ষে একটি আসল মূল রয়েছে এবং প্রায়শই এই মূলটি অযৌক্তিক। সবচেয়ে খারাপ রূপকথার মধ্যে, তিনটি ছোট শূকর আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে। সমীকরণটি তথাকথিত ব্যবহার করে সমাধানযোগ্য কার্ডানো সূত্র, কিন্তু কাগজের ক্ষতি প্রায় সমগ্র গবেষণার সাথে তুলনীয়। এই বিষয়ে, মৌখিকভাবে বা খসড়াতে অন্তত একটি নির্বাচন করার চেষ্টা করা বুদ্ধিমানের কাজ। সম্পূর্ণমূল এই সংখ্যাগুলি কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:
- উপযুক্ত নয়;
- এখানে!

এখানে ভাগ্যবান. ব্যর্থতার ক্ষেত্রে, আপনি পরীক্ষাও করতে পারেন, এবং যদি এই সংখ্যাগুলি মাপসই না হয়, তাহলে আমি ভীত যে সমীকরণটির লাভজনক সমাধানের খুব কম সম্ভাবনা রয়েছে। তারপরে গবেষণার পয়েন্টটি সম্পূর্ণভাবে এড়িয়ে যাওয়া ভাল - সম্ভবত চূড়ান্ত ধাপে কিছু পরিষ্কার হয়ে যাবে, যখন অতিরিক্ত পয়েন্টগুলি ভেঙে যাবে। এবং যদি মূল (গুলি) স্পষ্টভাবে "খারাপ" হয়, তবে লক্ষণগুলির স্থায়িত্বের ব্যবধান সম্পর্কে বিনয়ীভাবে নীরব থাকা এবং আরও সাবধানে আঁকা ভাল।

যাইহোক, আমাদের একটি সুন্দর মূল আছে, তাই আমরা বহুপদকে ভাগ করি কোন অবশিষ্ট জন্য:

বহুপদী দ্বারা বহুপদকে ভাগ করার অ্যালগরিদম পাঠের প্রথম উদাহরণে বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছে জটিল সীমা.

ফলে মূল সমীকরণের বাম পাশে পণ্যে পচে যায়:

এবং এখন একটি স্বাস্থ্যকর জীবনধারা সম্পর্কে একটু। আমি, অবশ্যই, এটা বুঝতে দ্বিঘাত সমীকরণপ্রতিদিন সমাধান করা প্রয়োজন, কিন্তু আজ আমরা একটি ব্যতিক্রম করব: সমীকরণ দুটি প্রকৃত শিকড় আছে।

আসুন সংখ্যা রেখায় পাওয়া মানগুলি প্লট করি এবং ব্যবধান পদ্ধতিআসুন ফাংশনের লক্ষণগুলি সংজ্ঞায়িত করি:


og এইভাবে, বিরতিতে সময়সূচী অবস্থিত
x-অক্ষের নীচে এবং বিরতিতে - এই অক্ষের উপরে।

ফলাফলগুলি আমাদের লেআউটকে পরিমার্জিত করার অনুমতি দেয় এবং গ্রাফের দ্বিতীয় অনুমানটি এইরকম দেখায়:

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে একটি ফাংশনের একটি বিরতিতে কমপক্ষে একটি সর্বোচ্চ এবং একটি ব্যবধানে কমপক্ষে একটি সর্বনিম্ন থাকতে হবে৷ কিন্তু আমরা এখনও জানি না কতবার, কোথায় এবং কখন শিডিউল লুপ হবে। উপায় দ্বারা, একটি ফাংশন অসীম অনেক থাকতে পারে চরম.

4) ফাংশন বৃদ্ধি, হ্রাস এবং চরম.

আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি সন্ধান করি:

এই সমীকরণের দুটি আসল মূল রয়েছে। আসুন সেগুলিকে সংখ্যারেখায় রাখি এবং ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি নির্ধারণ করি:


অতএব, ফাংশন দ্বারা বৃদ্ধি এবং দ্বারা হ্রাস পায়।
বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বোচ্চ পৌঁছে যায়: .
বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বনিম্ন পৌঁছায়: .

প্রতিষ্ঠিত তথ্যগুলি আমাদের টেমপ্লেটকে একটি মোটামুটি কঠোর কাঠামোতে চালিত করে:

বলা বাহুল্য, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস একটি শক্তিশালী জিনিস। চলুন অবশেষে গ্রাফের আকৃতিটি বুঝতে পারি:

5) উত্তল, অবতলতা এবং প্রবর্তন বিন্দু।

আসুন দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করি:

আসুন লক্ষণগুলি সংজ্ঞায়িত করি:


ফাংশনের গ্রাফটি উত্তল অন এবং অবতল অন। আসুন ইনফ্লেকশন পয়েন্টের অর্ডিনেট গণনা করি:

প্রায় সবকিছু পরিষ্কার হয়ে গেছে।

6) অতিরিক্ত পয়েন্টগুলি খুঁজে পাওয়া বাকি রয়েছে যা আপনাকে আরও সঠিকভাবে একটি গ্রাফ তৈরি করতে এবং স্ব-পরীক্ষা করতে সহায়তা করবে। এই ক্ষেত্রে তাদের মধ্যে কয়েকটি রয়েছে, তবে আমরা তাদের অবহেলা করব না:

চলুন অঙ্কন করা যাক:

ইনফ্লেকশন পয়েন্টটি সবুজ রঙে চিহ্নিত করা হয়েছে, অতিরিক্ত পয়েন্ট ক্রস দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে। একটি কিউবিক ফাংশনের গ্রাফটি তার প্রবর্তন বিন্দু সম্পর্কে প্রতিসম, যা সর্বদা সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মাঝখানে কঠোরভাবে অবস্থিত।

অ্যাসাইনমেন্টের অগ্রগতির সাথে সাথে, আমি তিনটি অনুমানমূলক অন্তর্বর্তী অঙ্কন প্রদান করেছি। অনুশীলনে, এটি একটি সমন্বয় সিস্টেম আঁকতে, পাওয়া পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করা এবং গবেষণার প্রতিটি বিন্দুর পরে মানসিকভাবে অনুমান করা যে ফাংশনের গ্রাফটি কেমন হতে পারে তা যথেষ্ট। একটি ভাল স্তরের প্রস্তুতি সম্পন্ন শিক্ষার্থীদের জন্য একটি খসড়া ব্যবহার না করে শুধুমাত্র তাদের মাথায় এই জাতীয় বিশ্লেষণ করা কঠিন হবে না।

এটি নিজেই সমাধান করতে:

উদাহরণ 2

ফাংশনটি অন্বেষণ করুন এবং একটি গ্রাফ তৈরি করুন।

এখানে সবকিছু দ্রুত এবং আরও মজাদার, পাঠের শেষে চূড়ান্ত নকশার একটি আনুমানিক উদাহরণ।

ভগ্নাংশ যুক্তিযুক্ত ফাংশন অধ্যয়ন অনেক গোপন প্রকাশ করে:

উদাহরণ 3

একটি ফাংশন অধ্যয়ন করতে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করুন এবং অধ্যয়নের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে এর গ্রাফ তৈরি করুন।

সমাধান: অধ্যয়নের প্রথম পর্যায়টি উল্লেখযোগ্য কিছু দ্বারা আলাদা করা হয় না, সংজ্ঞা এলাকায় একটি গর্ত বাদে:

1) বিন্দু ব্যতীত সমগ্র সংখ্যা রেখায় ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন, ডোমেইন: .

, যার মানে এই ফাংশনটি জোড় বা বিজোড় নয়।

এটা স্পষ্ট যে ফাংশন অ-পর্যায়ক্রমিক।

ফাংশনের গ্রাফটি বাম এবং ডান অর্ধ-বিমানে অবস্থিত দুটি অবিচ্ছিন্ন শাখার প্রতিনিধিত্ব করে - এটি সম্ভবত পয়েন্ট 1 এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উপসংহার।

2) উপসর্গ, অসীম একটি ফাংশন আচরণ.

ক) একতরফা সীমা ব্যবহার করে, আমরা একটি সন্দেহজনক পয়েন্টের কাছাকাছি ফাংশনের আচরণ পরীক্ষা করি, যেখানে স্পষ্টভাবে একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট থাকা উচিত:

প্রকৃতপক্ষে, ফাংশন সহ্য অন্তহীন ফাঁকবিন্দুতে
এবং সরলরেখা (অক্ষ) হল উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটড্রয়িং .

খ) তির্যক উপসর্গ বিদ্যমান কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:

হ্যাঁ, এটা সোজা তির্যক অ্যাসিম্পটোটগ্রাফিক্স, যদি.

সীমা বিশ্লেষণ করার কোন মানে হয় না, যেহেতু এটি ইতিমধ্যেই স্পষ্ট যে ফাংশনটি তার তির্যক অ্যাসিম্পটোটকে আলিঙ্গন করে উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়এবং নীচে থেকে সীমাবদ্ধ নয়.

দ্বিতীয় গবেষণা পয়েন্টটি ফাংশন সম্পর্কে অনেক গুরুত্বপূর্ণ তথ্য দিয়েছে। আসুন একটি মোটামুটি স্কেচ করি:

উপসংহার নং 1 ধ্রুব চিহ্নের ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত। "মাইনাস ইনফিনিটি" এ ফাংশনের গ্রাফ স্পষ্টভাবে x-অক্ষের নীচে অবস্থিত এবং "প্লাস ইনফিনিটি" এ এটি এই অক্ষের উপরে। উপরন্তু, একতরফা সীমা আমাদের বলে যে বিন্দুর বাম এবং ডান উভয় ফাংশন শূন্য থেকেও বড়। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে বাম অর্ধ-বিমানে গ্রাফটিকে অন্তত একবার x-অক্ষ অতিক্রম করতে হবে। ডান অর্ধেক প্লেনে ফাংশনের কোনো শূন্য নাও থাকতে পারে।

উপসংহার নং 2 হল যে ফাংশনটি বিন্দুর বাম দিকে বাড়ে ("নিচ থেকে উপরে" যায়)। এই বিন্দুর ডানদিকে, ফাংশন হ্রাস পায় ("উপর থেকে নীচে" যায়)। গ্রাফের ডান শাখায় অবশ্যই কমপক্ষে একটি ন্যূনতম থাকতে হবে। বাম দিকে, চরম নিশ্চিত করা হয় না.

উপসংহার নং 3 বিন্দুর আশেপাশে গ্রাফের অবতলতা সম্পর্কে নির্ভরযোগ্য তথ্য প্রদান করে। আমরা এখনও অনন্তে উত্তল/অতলতা সম্পর্কে কিছু বলতে পারি না, যেহেতু একটি রেখা উপরে এবং নীচে উভয় দিক থেকে তার অ্যাসিম্পটোটের দিকে চাপ দেওয়া যেতে পারে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, এই মুহূর্তে এটি বের করার একটি বিশ্লেষণাত্মক উপায় আছে, কিন্তু পরবর্তী পর্যায়ে গ্রাফের আকৃতি আরও স্পষ্ট হবে।

এত শব্দ কেন? পরবর্তী গবেষণা পয়েন্ট নিয়ন্ত্রণ এবং ভুল এড়াতে! আরও গণনা টানা উপসংহারের বিরোধিতা করা উচিত নয়।

3) স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ গ্রাফের ছেদ বিন্দু, ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান।

ফাংশনের গ্রাফটি অক্ষকে ছেদ করে না।

ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা লক্ষণগুলি নির্ধারণ করি:

, যদি;
, যদি .

এই পয়েন্টের ফলাফল 1 নং উপসংহারের সাথে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ। প্রতিটি পর্যায়ের পরে, খসড়াটি দেখুন, মানসিকভাবে গবেষণাটি পরীক্ষা করুন এবং ফাংশনের গ্রাফটি সম্পূর্ণ করুন।

বিবেচনাধীন উদাহরণে, লবটিকে হর দ্বারা পদ দ্বারা বিভক্ত করা হয়েছে, যা পার্থক্যের জন্য খুবই উপকারী:

প্রকৃতপক্ষে, উপসর্গ খুঁজে বের করার সময় এটি ইতিমধ্যেই করা হয়েছে।

- সমালোচনামূলক পয়েন্ট।

আসুন লক্ষণগুলি সংজ্ঞায়িত করি:

দ্বারা বৃদ্ধি পায় এবং দ্বারা হ্রাস পায়

বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বনিম্ন পৌঁছায়: .

উপসংহার নং 2 এর সাথেও কোন অসঙ্গতি ছিল না, এবং সম্ভবত আমরা সঠিক পথেই আছি।

এর মানে হল যে ফাংশনের গ্রাফটি সংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে অবতল।

দুর্দান্ত - এবং আপনাকে কিছু আঁকতে হবে না।

কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট আছে.

অবতলতা উপসংহার নং 3 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, উপরন্তু, এটি নির্দেশ করে যে অনন্তে (সেখানে এবং সেখানে উভয়ই) ফাংশনের গ্রাফটি অবস্থিত ঊর্ধ্বতনএর তির্যক অ্যাসিম্পটোট।

6) আমরা আন্তরিকভাবে অতিরিক্ত পয়েন্ট সহ টাস্কটি পিন করব। এখানেই আমাদের কঠোর পরিশ্রম করতে হবে, যেহেতু আমরা গবেষণা থেকে শুধুমাত্র দুটি পয়েন্ট জানি।

এবং একটি ছবি যা অনেক লোক সম্ভবত অনেক আগে কল্পনা করেছিল:

কাজটি সম্পাদন করার সময়, আপনাকে সতর্কতার সাথে নিশ্চিত করতে হবে যে গবেষণার পর্যায়গুলির মধ্যে কোনও দ্বন্দ্ব নেই, তবে কখনও কখনও পরিস্থিতি জরুরী বা এমনকি মরিয়া হয়ে ওঠে। বিশ্লেষণ "যোগ করে না" - এটাই সব। এই ক্ষেত্রে, আমি একটি জরুরী কৌশল সুপারিশ করি: আমরা গ্রাফের অন্তর্গত যতটা সম্ভব পয়েন্ট খুঁজে পাই (যতটা ধৈর্য আমাদের আছে), এবং সেগুলি স্থানাঙ্ক সমতলে চিহ্নিত করি। প্রাপ্ত মানগুলির একটি গ্রাফিকাল বিশ্লেষণ বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই আপনাকে বলবে যে সত্যটি কোথায় এবং এটি কোথায় মিথ্যা। উপরন্তু, গ্রাফটি কিছু প্রোগ্রাম ব্যবহার করে পূর্ব-নির্মাণ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, এক্সেলে (অবশ্যই, এর জন্য দক্ষতা প্রয়োজন)।

উদাহরণ 4

একটি ফাংশন অধ্যয়ন এবং এর গ্রাফ তৈরি করতে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করুন।

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। এতে, ফাংশনের সমতা দ্বারা স্ব-নিয়ন্ত্রণ উন্নত হয় - গ্রাফটি অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম, এবং যদি আপনার গবেষণায় কিছু এই সত্যের বিরোধিতা করে, একটি ত্রুটি সন্ধান করুন।

একটি জোড় বা বিজোড় ফাংশন শুধুমাত্র অধ্যয়ন করা যেতে পারে, এবং তারপর গ্রাফের প্রতিসাম্য ব্যবহার করুন। এই সমাধানটি সর্বোত্তম, কিন্তু, আমার মতে, এটি খুব অস্বাভাবিক দেখায়। ব্যক্তিগতভাবে, আমি সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনের দিকে তাকাই, কিন্তু আমি এখনও শুধুমাত্র ডানদিকে অতিরিক্ত পয়েন্ট খুঁজে পাই:

উদাহরণ 5

ফাংশনের একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন পরিচালনা করুন এবং এর গ্রাফ তৈরি করুন।

সমাধান: জিনিষ কঠিন হয়েছে:

1) ফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন:

এর মানে হল এই ফাংশনটি বিজোড়, এর গ্রাফটি উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।

এটা স্পষ্ট যে ফাংশন অ-পর্যায়ক্রমিক।

2) উপসর্গ, অসীম একটি ফাংশন আচরণ.

যেহেতু ফাংশনটি ক্রমাগত চালু আছে, সেখানে কোনো উল্লম্ব লক্ষণ নেই

একটি সূচক ধারণকারী একটি ফাংশনের জন্য, এটি সাধারণ পৃথক"প্লাস" এবং "অনন্তের বিয়োগ" অধ্যয়ন, যাইহোক, গ্রাফের প্রতিসাম্য দ্বারা আমাদের জীবন সহজ করা হয়েছে - হয় বাম এবং ডান উভয় দিকেই একটি অ্যাসিম্পটোট রয়েছে, বা কোনওটি নেই। অতএব, উভয় অসীম সীমা একটি একক এন্ট্রির অধীনে লেখা যেতে পারে। সমাধানের সময় আমরা ব্যবহার করি হাসপাতালের নিয়ম:

সরলরেখা (অক্ষ) হল গ্রাফের অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট।

অনুগ্রহ করে নোট করুন কিভাবে আমি ধূর্তভাবে তির্যক অ্যাসিম্পটোট খুঁজে বের করার জন্য সম্পূর্ণ অ্যালগরিদম এড়িয়ে গিয়েছিলাম: সীমাটি সম্পূর্ণ আইনি এবং অসীমতায় ফাংশনের আচরণকে স্পষ্ট করে, এবং অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটটি "যেন একই সময়ে" আবিষ্কৃত হয়েছিল।

ধারাবাহিকতা এবং একটি অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটের অস্তিত্ব থেকে এটি অনুসরণ করে যে ফাংশনটি উপরে আবদ্ধএবং নীচে আবদ্ধ.

3) স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ গ্রাফের ছেদ বিন্দু, ধ্রুব চিহ্নের ব্যবধান।

এখানে আমরা সমাধানটিও ছোট করি:
গ্রাফ উৎপত্তি মাধ্যমে পাস.

স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে ছেদ করার অন্য কোন বিন্দু নেই। তদুপরি, চিহ্নের স্থিরতার ব্যবধানগুলি সুস্পষ্ট, এবং অক্ষটি আঁকার প্রয়োজন নেই: , যার অর্থ ফাংশনের চিহ্ন শুধুমাত্র "x" এর উপর নির্ভর করে:
, যদি;
, যদি.

4) ফাংশন বৃদ্ধি, হ্রাস, চরম.


- সমালোচনামূলক পয়েন্ট.

পয়েন্টগুলি শূন্য সম্পর্কে প্রতিসম, যেমনটি হওয়া উচিত৷

আসুন ডেরিভেটিভের লক্ষণগুলি নির্ধারণ করি:


একটি ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায় এবং বিরতিতে হ্রাস পায়

বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বোচ্চ পৌঁছে যায়: .

সম্পত্তির কারণে (ফাংশনের অদ্ভুততা) সর্বনিম্ন গণনা করার প্রয়োজন নেই:

যেহেতু ব্যবধানে ফাংশনটি হ্রাস পায়, তাই স্পষ্টতই, গ্রাফটি "মাইনাস ইনফিনিটি" এ অবস্থিত অধীনএর উপসর্গ। ব্যবধানে, ফাংশনটিও হ্রাস পায়, তবে এখানে বিপরীতটি সত্য - সর্বাধিক বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার পরে, রেখাটি উপরে থেকে অক্ষের কাছে আসে।

উপরের থেকে এটিও অনুসরণ করে যে ফাংশনের গ্রাফটি "মাইনাস ইনফিনিটি" এ উত্তল এবং "প্লাস ইনফিনিটি" এ অবতল।

অধ্যয়নের এই বিন্দুর পরে, ফাংশন মানগুলির পরিসীমা আঁকা হয়েছিল:

আপনার যদি কোনো পয়েন্ট সম্পর্কে কোনো ভুল বোঝাবুঝি থাকে, আমি আবার আপনাকে আপনার নোটবুকে স্থানাঙ্কের অক্ষ আঁকতে এবং আপনার হাতে একটি পেন্সিল দিয়ে, টাস্কের প্রতিটি উপসংহার পুনরায় বিশ্লেষণ করার জন্য অনুরোধ করছি।

5) উত্তল, অবতলতা, গ্রাফের কিঙ্কস।

- সমালোচনামূলক পয়েন্ট.

পয়েন্টগুলির প্রতিসাম্য সংরক্ষণ করা হয় এবং সম্ভবত আমরা ভুল করি না।

আসুন লক্ষণগুলি সংজ্ঞায়িত করি:


ফাংশনের গ্রাফটি উত্তল অন এবং অবতল উপর .

চরম ব্যবধানে উত্তল/অতলতা নিশ্চিত করা হয়েছিল।

সমস্ত সমালোচনামূলক পয়েন্টে গ্রাফে kinks আছে. আসুন ইনফ্লেকশন পয়েন্টের অর্ডিনেটগুলি খুঁজে বের করি, এবং আবার ফাংশনের অদ্ভুততা ব্যবহার করে গণনার সংখ্যা হ্রাস করি:

যদি সমস্যাটির গ্রাফটির নির্মাণের সাথে f (x) = x 2 4 x 2 - 1 ফাংশনটির সম্পূর্ণ অধ্যয়নের প্রয়োজন হয়, তাহলে আমরা এই নীতিটি বিশদভাবে বিবেচনা করব।

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য, আপনার মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ ব্যবহার করা উচিত। গবেষণা অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অন্তর্ভুক্ত করে:

সংজ্ঞার ডোমেইন খোঁজা

যেহেতু গবেষণা ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনে বাহিত হয়, তাই এই পদক্ষেপটি দিয়ে শুরু করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 1

প্রদত্ত উদাহরণটি ODZ থেকে বাদ দেওয়ার জন্য হর-এর শূন্য খুঁজে বের করা জড়িত।

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ফলস্বরূপ, আপনি রুট, লগারিদম এবং তাই পেতে পারেন। অতঃপর ODZ-কে অসমতা g (x) ≥ 0 দ্বারা একটি সমান ডিগ্রী g (x) 4 এর একটি মূলের জন্য অনুসন্ধান করা যেতে পারে, লগারিদমের লগের জন্য একটি g (x) অসমতা g (x) > 0 দ্বারা।

ODZ এর সীমানা অধ্যয়ন করা এবং উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটস খুঁজে বের করা

ফাংশনের সীমানায় উল্লম্ব উপসর্গ আছে, যখন এই ধরনের বিন্দুতে একতরফা সীমা অসীম হয়।

উদাহরণ 2

উদাহরণস্বরূপ, x = ± 1 2 এর সমান সীমানা বিন্দু বিবেচনা করুন।

তারপর একতরফা সীমা খুঁজে বের করার জন্য ফাংশন অধ্যয়ন করা প্রয়োজন। তাহলে আমরা পাই: লিম x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ লিম x → - 1 2 + 0 f (x) = লিম x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = লিম x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = লিম x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ লিম x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

এটি দেখায় যে একতরফা সীমাগুলি অসীম, যার অর্থ x = ± 1 2 সরল রেখাগুলি গ্রাফের উল্লম্ব উপসর্গ।

একটি ফাংশন অধ্যয়ন এবং তা জোড় বা বিজোড় কিনা

যখন শর্ত y (- x) = y (x) সন্তুষ্ট হয়, ফাংশনটি জোড় হিসাবে বিবেচিত হয়। এটি পরামর্শ দেয় যে গ্রাফটি Oy এর সাপেক্ষে প্রতিসমভাবে অবস্থিত। যখন শর্ত y (- x) = - y (x) সন্তুষ্ট হয়, ফাংশনটি বিজোড় হিসাবে বিবেচিত হয়। এর মানে হল প্রতিসাম্য স্থানাঙ্কের উৎপত্তির সাথে আপেক্ষিক। যদি অন্তত একটি অসমতা সন্তুষ্ট না হয়, আমরা সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন প্রাপ্ত করি।

সমতা y (- x) = y (x) নির্দেশ করে যে ফাংশনটি জোড়। নির্মাণ করার সময়, এটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যে ওয়ের সাথে প্রতিসাম্য থাকবে।

অসমতা সমাধানের জন্য, যথাক্রমে f " (x) ≥ 0 এবং f " (x) ≤ 0 শর্তগুলির সাথে বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান ব্যবহার করা হয়।

সংজ্ঞা 1

স্থির পয়েন্ট- এই বিন্দু যা ডেরিভেটিভকে শূন্যে পরিণত করে।

সমালোচনামূলক পয়েন্ট- এগুলি সংজ্ঞার ডোমেনের অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট যেখানে ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই৷

সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময়, নিম্নলিখিত নোটগুলি অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া উচিত:

• f " (x) > 0 ফর্মের ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস বৈষম্যের বিদ্যমান ব্যবধানের জন্য, সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয় না;
• যে বিন্দুতে ফাংশনটিকে একটি সীমাবদ্ধ ডেরিভেটিভ ছাড়া সংজ্ঞায়িত করা হয় সেগুলি অবশ্যই বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ, y = x 3, যেখানে বিন্দু x = 0 ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করে, ডেরিভেটিভের এতে অসীমতার মান রয়েছে পয়েন্ট, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ক্রমবর্ধমান ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে);
• মতবিরোধ এড়াতে, শিক্ষা মন্ত্রনালয়ের দ্বারা সুপারিশকৃত গাণিতিক সাহিত্য ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাসের ব্যবধানে গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলির অন্তর্ভুক্তি যদি তারা ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনকে সন্তুষ্ট করে।

সংজ্ঞা 2

জন্য একটি ফাংশনের বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান নির্ধারণ করে, এটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন:

• অমৌলিক;
• সমালোচনামূলক পয়েন্ট;
• সমালোচনামূলক পয়েন্ট ব্যবহার করে সংজ্ঞা ডোমেনকে বিরতিতে ভাগ করুন;
• প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করুন, যেখানে + একটি বৃদ্ধি এবং - একটি হ্রাস।

উদাহরণ 3

সংজ্ঞার ডোমেনে ডেরিভেটিভ খুঁজুন f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2।

সমাধান

সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন:

• স্থির পয়েন্ট খুঁজুন, এই উদাহরণে আছে x = 0;
• হর এর শূন্য খুঁজুন, উদাহরণটি x = ± 1 2 এ শূন্যের মান নেয়।

প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভ নির্ধারণ করতে আমরা সংখ্যা রেখায় বিন্দু স্থাপন করি। এটি করার জন্য, ব্যবধান থেকে যে কোনও পয়েন্ট নেওয়া এবং একটি গণনা করা যথেষ্ট। যদি ফলাফলটি ইতিবাচক হয়, আমরা গ্রাফে + চিত্রিত করি, যার অর্থ ফাংশনটি বাড়ছে, এবং - এর মানে এটি হ্রাস পাচ্ছে।

উদাহরণস্বরূপ, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, যার মানে হল বাম দিকের প্রথম ব্যবধানে একটি + চিহ্ন রয়েছে৷ সংখ্যারেখাটি বিবেচনা করুন৷

উত্তর:

• ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায় - ∞; - 1 2 এবং (- 1 2 ; 0 ] ;
• ব্যবধান একটি হ্রাস আছে [ 0 ; 1 2) এবং 1 2 ; + ∞।

ডায়াগ্রামে, + এবং - ব্যবহার করে, ফাংশনের ইতিবাচকতা এবং নেতিবাচকতা চিত্রিত করা হয়েছে, এবং তীরগুলি হ্রাস এবং বৃদ্ধি নির্দেশ করে।

একটি ফাংশনের চরম বিন্দু হল সেই বিন্দু যেখানে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং যার মাধ্যমে ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন হয়।

উদাহরণ 4

যদি আমরা একটি উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে x = 0, তাহলে এতে ফাংশনের মান f(0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 এর সমান। যখন ডেরিভেটিভের চিহ্নটি + থেকে - থেকে পরিবর্তিত হয় এবং x = 0 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তখন স্থানাঙ্ক (0; 0) সহ বিন্দুটিকে সর্বাধিক বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করা হয়। যখন চিহ্নটি - থেকে + তে পরিবর্তিত হয়, তখন আমরা একটি সর্বনিম্ন পয়েন্ট পাই।

উত্তল এবং অবতলতা f "" (x) ≥ 0 এবং f "" (x) ≤ 0 ফর্মের অসমতা সমাধান করে নির্ধারিত হয়। কম ব্যবহৃত হয় উত্তল নামটি অবতলতার পরিবর্তে নিচের দিকে এবং উত্তলতার পরিবর্তে উর্ধ্বমুখী।

সংজ্ঞা 3

জন্য অবতলতা এবং উত্তলতার ব্যবধান নির্ণয় করাপ্রয়োজনীয়:

• দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন;
• দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ ফাংশনের শূন্য খুঁজুন;
• উপস্থিত বিন্দুগুলির সাথে সংজ্ঞা ক্ষেত্রটিকে বিরতিতে ভাগ করুন;
• ব্যবধানের চিহ্ন নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ 5

সংজ্ঞার ডোমেন থেকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

সমাধান

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

আমরা লব এবং হর এর শূন্য খুঁজে পাই, যেখানে আমাদের উদাহরণে আছে যে হর x = ± 1 2 এর শূন্য

এখন আপনাকে সংখ্যা লাইনে বিন্দুগুলি প্লট করতে হবে এবং প্রতিটি ব্যবধান থেকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করতে হবে। আমরা যে পেতে

উত্তর:

• ফাংশনটি ব্যবধান থেকে উত্তল - 1 2 ; 12;
• ফাংশনটি অন্তর থেকে অবতল - ∞ ; - 1 2 এবং 1 2; + ∞।

সংজ্ঞা 4

আনতি বিন্দু- এটি x 0 ফর্মের একটি বিন্দু; f (x 0)। যখন এটির ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক থাকে, তখন যখন এটি x 0 এর মধ্য দিয়ে যায় তখন ফাংশনটি বিপরীত চিহ্নে পরিবর্তন করে।

অন্য কথায়, এটি এমন একটি বিন্দু যার মধ্য দিয়ে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পাস করে এবং চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং বিন্দুতে এটি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই। সমস্ত পয়েন্ট ফাংশনের ডোমেন হিসাবে বিবেচিত হয়।

উদাহরণে, এটা স্পষ্ট ছিল যে কোন প্রবর্তন বিন্দু নেই, যেহেতু দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন x = ± 1 2 পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়। তারা, ঘুরে, সংজ্ঞা সুযোগ অন্তর্ভুক্ত করা হয় না.

অনুভূমিক এবং তির্যক অ্যাসিম্পটোটস খোঁজা

অসীম একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার সময়, আপনাকে অনুভূমিক এবং তির্যক অ্যাসিম্পটোটগুলি সন্ধান করতে হবে।

সংজ্ঞা 5

তির্যক উপসর্গ y = k x + b সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত সরল রেখা ব্যবহার করে চিত্রিত করা হয়েছে, যেখানে k = lim x → ∞ f (x) x এবং b = lim x → ∞ f (x) - k x।

k = 0 এবং b অসীমের সমান না হলে, আমরা দেখতে পাই যে তির্যক অ্যাসিম্পটোট হয়ে গেছে অনুভূমিক.

অন্য কথায়, অ্যাসিম্পটোটগুলিকে এমন রেখা হিসাবে বিবেচনা করা হয় যেখানে একটি ফাংশনের গ্রাফটি অসীমতায় পৌঁছায়। এটি একটি ফাংশন গ্রাফের দ্রুত নির্মাণের সুবিধা দেয়।

যদি কোন উপসর্গ না থাকে, কিন্তু ফাংশনটি উভয় অসীমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে ফাংশনের গ্রাফটি কীভাবে আচরণ করবে তা বোঝার জন্য এই অসীমগুলিতে ফাংশনের সীমা গণনা করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 6

আসুন একটি উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করা যাক

k = লিম x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

একটি অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট। ফাংশন পরীক্ষা করার পরে, আপনি এটি নির্মাণ শুরু করতে পারেন।

মধ্যবর্তী পয়েন্টে একটি ফাংশনের মান গণনা করা

গ্রাফটিকে আরও নির্ভুল করতে, মধ্যবর্তী পয়েন্টগুলিতে বেশ কয়েকটি ফাংশন মান খুঁজে বের করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

উদাহরণ 7

আমরা যে উদাহরণটি বিবেচনা করেছি তা থেকে, x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 বিন্দুতে ফাংশনের মানগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন। যেহেতু ফাংশনটি জোড়, আমরা পাই যে মানগুলি এই বিন্দুতে মানগুলির সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ, আমরা x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 পাই।

আসুন লিখি এবং সমাধান করি:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

ফাংশনের ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা, ইনফ্লেকশন পয়েন্ট এবং মধ্যবর্তী বিন্দু নির্ধারণ করতে, অ্যাসিম্পটোট তৈরি করা প্রয়োজন। সুবিধাজনক উপাধির জন্য, বৃদ্ধি, হ্রাস, উত্তল এবং অবতলতার ব্যবধানগুলি রেকর্ড করা হয়। চলুন নিচের ছবিটি দেখি।

চিহ্নিত পয়েন্টগুলির মাধ্যমে গ্রাফ রেখাগুলি আঁকতে হবে, যা আপনাকে তীরগুলি অনুসরণ করে অ্যাসিম্পটোটের কাছে যেতে দেবে।

এটি ফাংশনের সম্পূর্ণ অন্বেষণ শেষ করে। কিছু প্রাথমিক ফাংশন নির্মাণের ক্ষেত্রে রয়েছে যার জন্য জ্যামিতিক রূপান্তর ব্যবহার করা হয়।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

সমাধানকারী কুজনেটসভ।
III চার্ট

কাজ 7. ফাংশনের একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন পরিচালনা করুন এবং এর গ্রাফ তৈরি করুন।

        আপনি আপনার বিকল্পগুলি ডাউনলোড করা শুরু করার আগে, বিকল্প 3 এর জন্য নীচে দেওয়া উদাহরণ অনুসারে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করুন। কিছু বিকল্প .rar ফরম্যাটে সংরক্ষণাগারভুক্ত করা হয়েছে

        7.3 ফাংশনের একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন পরিচালনা করুন এবং এটির পরিকল্পনা করুন

সমাধান।

        1) সংজ্ঞার পরিধি:         বা        , অর্থাৎ        .
.
এইভাবে:        ।

        2) অক্স অক্ষের সাথে ছেদ করার কোন বিন্দু নেই। প্রকৃতপক্ষে,           সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।
Oy অক্ষের সাথে ছেদ করার কোন বিন্দু নেই, যেহেতু        ।

        3) ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়। অর্ডিনেট অক্ষ সম্পর্কে কোন প্রতিসাম্য নেই। উৎপত্তি সম্পর্কেও কোন প্রতিসাম্য নেই। কারণ
.
আমরা দেখতে পাই যে         এবং        .

        4) ফাংশন সংজ্ঞার ডোমেনে অবিচ্ছিন্ন
.

; .

; .
ফলস্বরূপ, বিন্দু         হল দ্বিতীয় ধরণের বিচ্ছিন্নতার একটি বিন্দু (অসীম বিচ্ছিন্নতা)।

5) উল্লম্ব উপসর্গ:       

আসুন তির্যক অ্যাসিম্পটোট খুঁজে বের করি        । এখানে

;
.
ফলস্বরূপ, আমাদের একটি অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট রয়েছে: y=0. কোন তির্যক উপসর্গ আছে.

        6) আসুন প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি। প্রথম ডেরিভেটিভ:
.
আর এই কারণে
.
চলুন স্থির বিন্দু খুঁজে বের করি যেখানে ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান, অর্থাৎ
.

        7) আসুন দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ:
.
এবং এই যাচাই করা সহজ, যেহেতু