একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়ককে কীভাবে গুণিত করা যায়। দ্বিঘাত বহুপদীর গুণনীয়ক নির্ণয়ের জন্য বহুপদী সূত্র

এটি একটি বর্গক্ষেত্র এবং এটি তিনটি পদ () নিয়ে গঠিত। সুতরাং এটি সক্রিয় আউট - একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনয়িক.

উদাহরণ নাবর্গাকার ত্রিনয়ক:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - ঘন চতুর্ভুজ
\(2x+1\) - রৈখিক দ্বিপদ

ত্রিনয়কের বর্গমূল:

উদাহরণ:
ত্রিনয়ক \(x^2-2x+1\) এর একটি মূল আছে \(1\), কারণ \(1^2-2 1+1=0\)
ত্রিনয়ক \(x^2+2x-3\) এর মূল আছে \(1\) এবং \(-3\), কারণ \(1^2+2-3=0\) এবং \(-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

উদাহরণ স্বরূপ:আপনি যদি দ্বিঘাত ত্রিনয়কের জন্য শিকড় খুঁজতে চান \(x^2-2x+1\), আমরা এটিকে শূন্যের সাথে সমান করি এবং সমীকরণটি সমাধান করি \(x^2-2x+1=0\)।

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

প্রস্তুত. মূল হল \(1\)।

একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক এর মধ্যে পচন:

বর্গাকার ট্রিনমিয়াল \(ax^2+bx+c\) কে \(a(x-x_1)(x-x_2)\) হিসাবে প্রসারিত করা যেতে পারে যদি সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\) হয় শূন্যের চেয়ে বড় \ (x_1\) এবং \(x_2\) একই সমীকরণের মূল)।

উদাহরণ স্বরূপ, ত্রিনয়িক \(3x^2+13x-10\) বিবেচনা করুন।
দ্বিঘাত সমীকরণ \(3x^2+13x-10=0\) এর একটি বৈষম্য 289 এর সমান (শূন্যের চেয়ে বড়) এবং মূলগুলি \(-5\) এবং \(\frac(2)(3)\) এর সমান . অতএব \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\)। এই বিবৃতিটির সঠিকতা যাচাই করা সহজ - যদি আমরা , তাহলে আমরা মূল ত্রিনয়কটি পাব।

বর্গাকার ত্রিনয়িক \(ax^2+bx+c\) কে \(a(x-x_1)^2\) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যদি সমীকরণের বৈষম্যকারী \(ax^2+bx+c=0\) হয় শূন্য

বর্গাকার ত্রিনয়ক \(ax^2+bx+c\) ফ্যাক্টরাইজ করা যাবে না যদি সমীকরণের বৈষম্যকারী \(ax^2+bx+c=0\) শূন্যের কম হয়।

উদাহরণ স্বরূপ, trinomials \(x^2+x+4\) এবং \(-5x^2+2x-1\) শূন্যের চেয়ে কম বৈষম্য আছে। অতএব, তাদের ফ্যাক্টর করা অসম্ভব।

উদাহরণ . ফ্যাক্টর \(2x^2-11x+12\)।
সমাধান :
চলো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করি \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

সুতরাং, \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
উত্তর : \(2(x-1.5)(x-4)\)

ফলস্বরূপ উত্তর ভিন্নভাবে লেখা হতে পারে: \((2x-3)(x-4)\)।

উদাহরণ . (OGE থেকে অ্যাসাইনমেন্ট)বর্গাকার ট্রিনমিয়াল ফ্যাক্টরযুক্ত \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\)। খুঁজুন \(a\)।
সমাধান:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1.6)\)
উত্তর : \(-1,6\)

এই পাঠে আমরা শিখব কীভাবে দ্বিঘাত ত্রিনয়কগুলিকে রৈখিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করতে হয়। এটি করার জন্য, আমাদের ভিয়েটার উপপাদ্য এবং এর কথোপকথন মনে রাখতে হবে। এই দক্ষতা আমাদের দ্রুত এবং সুবিধাজনকভাবে দ্বিঘাত ত্রিনয়কগুলিকে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে প্রসারিত করতে সাহায্য করবে এবং অভিব্যক্তির সমন্বয়ে ভগ্নাংশের হ্রাসকেও সহজ করবে।

তাহলে চলো চতুর্মুখী সমীকরণে ফিরে যাওয়া যাক, যেখানে .

আমাদের বাম পাশে যা আছে তাকে বলা হয় দ্বিঘাত ত্রিনমিক।

উপপাদ্যটি সত্য:যদি একটি চতুর্মুখী ত্রিনয়কের শিকড় হয়, তাহলে পরিচয় ধারণ করে

কোথায় অগ্রণী সহগ, সমীকরণের মূলগুলি।

সুতরাং, আমাদের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ রয়েছে - একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়ম, যেখানে দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলিকে দ্বিঘাত ত্রিনাময়ের মূলও বলা হয়। অতএব, যদি আমাদের কাছে একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের শিকড় থাকে, তাহলে এই ত্রিনামিকটি রৈখিক উপাদানে পচে যেতে পারে।

প্রমাণ:

এই সত্যের প্রমাণ ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়, যা আমরা পূর্ববর্তী পাঠে আলোচনা করেছি।

আসুন মনে রাখা যাক ভিয়েটার উপপাদ্য আমাদের কী বলে:

যদি একটি দ্বিঘাত ত্রিনামের মূল হয় যার জন্য, তাহলে।

এই তত্ত্ব থেকে নিম্নলিখিত বিবৃতি অনুসরণ করা হয়:

আমরা দেখতে পাই যে, ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে, অর্থাৎ, উপরের সূত্রে এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি পাই

Q.E.D.

প্রত্যাহার করুন যে আমরা উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছি যে যদি একটি বর্গক্ষেত্রের ত্রিনামিকের মূল হয়, তাহলে প্রসারণটি বৈধ।

এখন আসুন একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি উদাহরণ মনে রাখা যাক, যেখানে আমরা ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন করেছি। এই সত্য থেকে আমরা প্রমাণিত উপপাদ্যের জন্য নিম্নলিখিত সমতা পেতে পারি:

এখন শুধু বন্ধনী খোলার মাধ্যমে এই সত্যের সঠিকতা পরীক্ষা করা যাক:

আমরা দেখতে পাই যে আমরা সঠিকভাবে ফ্যাক্টর করেছি, এবং যেকোন ত্রিনামিক, যদি এর শিকড় থাকে তবে এই উপপাদ্য অনুসারে সূত্র অনুসারে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে

যাইহোক, আসুন পরীক্ষা করে দেখি যে কোন সমীকরণের জন্য এই ধরনের ফ্যাক্টরাইজেশন সম্ভব কিনা:

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ নিন। প্রথমে, এর বৈষম্যমূলক চিহ্নটি পরীক্ষা করা যাক

এবং আমরা মনে রাখি যে আমরা যে উপপাদ্যটি শিখেছি তা পূরণ করার জন্য, D অবশ্যই 0-এর বেশি হতে হবে, তাই এই ক্ষেত্রে, আমরা যে উপপাদ্যটি শিখেছি সেই অনুসারে ফ্যাক্টরাইজেশন অসম্ভব।

অতএব, আমরা একটি নতুন উপপাদ্য প্রণয়ন করি: যদি একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের কোনো শিকড় না থাকে, তবে এটি রৈখিক উপাদানে পচে যাবে না।

সুতরাং, আমরা ভিয়েটার উপপাদ্যের দিকে তাকিয়েছি, একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিককে রৈখিক ফ্যাক্টরে পরিণত করার সম্ভাবনা, এবং এখন আমরা বেশ কয়েকটি সমস্যার সমাধান করব।

টাস্ক নং 1

এই গ্রুপে আমরা প্রকৃতপক্ষে সমস্যার বিপরীতে সমাধান করব। আমাদের একটি সমীকরণ ছিল, এবং আমরা এটিকে ফ্যাক্টর করে এর শিকড় খুঁজে পেয়েছি। এখানে আমরা বিপরীত কাজ করব। ধরা যাক আমাদের একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল আছে

বিপরীত সমস্যা হল: এর মূল ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ লিখুন।

এই সমস্যা সমাধানের জন্য 2 উপায় আছে.

যেহেতু সমীকরণের শিকড়, তাহলে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলে সংখ্যা দেওয়া হয়। এখন বন্ধনী খুলুন এবং চেক করুন:

এটিই প্রথম উপায় যেখানে আমরা প্রদত্ত মূলগুলির সাথে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করেছি, যার অন্য কোনও মূল নেই, যেহেতু যে কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বাধিক দুটি মূল থাকে।

এই পদ্ধতিতে বিপরীত ভিয়েটা উপপাদ্যের ব্যবহার জড়িত।

যদি সমীকরণের শিকড় হয়, তাহলে তারা শর্ত পূরণ করে যে।

হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য , , অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে, এবং .

এইভাবে, আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করেছি যার প্রদত্ত মূল রয়েছে।

টাস্ক নং 2

এটি ভগ্নাংশ কমাতে প্রয়োজনীয়।

আমাদের লবটিতে একটি ত্রিনমিক এবং হরটিতে একটি ত্রিনমীয় রয়েছে এবং ত্রিনয়কগুলি ফ্যাক্টরাইজড হতে পারে বা নাও হতে পারে। যদি লব এবং হর উভয়ই গুণনীয়ক হয়, তবে তাদের মধ্যে সমান গুণনীয়ক থাকতে পারে যা হ্রাস করা যেতে পারে।

প্রথমত, আপনাকে লব গুণনীয়ক করতে হবে।

প্রথমত, আপনাকে এই সমীকরণটি ফ্যাক্টরাইজ করা যায় কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে, আসুন বৈষম্যকারীটি খুঁজে বের করা যাক। যেহেতু, চিহ্নটি পণ্যের উপর নির্ভর করে (0 এর কম হতে হবে), এই উদাহরণে, যেমন প্রদত্ত সমীকরণটির মূল রয়েছে।

সমাধানের জন্য, আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করি:

এই ক্ষেত্রে, যেহেতু আমরা শিকড় নিয়ে কাজ করছি, তাই সহজভাবে শিকড় নির্বাচন করা বেশ কঠিন হবে। কিন্তু আমরা দেখি যে সহগগুলি ভারসাম্যপূর্ণ, অর্থাৎ, যদি আমরা ধরে নিই যে , এবং এই মানটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি, আমরা নিম্নলিখিত সিস্টেমটি পাই: , অর্থাৎ 5-5=0। এইভাবে, আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল নির্বাচন করেছি।

আমরা সমীকরণের সিস্টেমে ইতিমধ্যে পরিচিত যা প্রতিস্থাপন করে দ্বিতীয় রুটটি সন্ধান করব, উদাহরণস্বরূপ, , অর্থাৎ .

সুতরাং, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় শিকড় খুঁজে পেয়েছি এবং তাদের মানগুলিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করতে পারি:

আসুন মূল সমস্যাটি মনে রাখি, আমাদের ভগ্নাংশ কমাতে হবে।

আসুন প্রতিস্থাপন করে সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করি।

এটি ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে এই ক্ষেত্রে হরটি 0 এর সমান হতে পারে না, অর্থাৎ .

যদি এই শর্তগুলি পূরণ করা হয়, তাহলে আমরা মূল ভগ্নাংশটিকে ফর্মে কমিয়ে দিয়েছি।

সমস্যা নং 3 (একটি প্যারামিটার সহ কাজ)

প্যারামিটারের কোন মানের সাথে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল

যদি এই সমীকরণের শিকড় বিদ্যমান থাকে, তাহলে , প্রশ্ন: কখন।

এই অনলাইন ক্যালকুলেটরটি একটি ফাংশন ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, ফ্যাক্টরাইজ করুন: x 2 /3-3x+12। এটিকে x^2/3-3*x+12 হিসেবে লিখি। আপনি এই পরিষেবাটিও ব্যবহার করতে পারেন, যেখানে সমস্ত গণনা Word বিন্যাসে সংরক্ষিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, পদে পচন। আসুন এটিকে (1-x^2)/(x^3+x) হিসাবে লিখি। সমাধানের অগ্রগতি দেখতে, ধাপগুলি দেখান ক্লিক করুন। আপনি যদি ওয়ার্ড ফরম্যাটে ফলাফল পেতে চান তবে এই পরিষেবাটি ব্যবহার করুন।

বিঃদ্রঃ: সংখ্যা "pi" (π) পাই হিসাবে লেখা হয়; বর্গমূল sqrt হিসাবে, উদাহরণস্বরূপ sqrt(3), স্পর্শক tg tan লেখা হয়। উত্তর দেখতে, বিকল্প দেখুন।

1. যদি একটি সাধারণ অভিব্যক্তি দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ, 8*d+12*c*d, তাহলে অভিব্যক্তিটিকে ফ্যাক্টর করার অর্থ হল রাশিটিকে ফ্যাক্টর আকারে উপস্থাপন করা। এটি করার জন্য, আপনাকে সাধারণ কারণগুলি খুঁজে বের করতে হবে। চলুন এই অভিব্যক্তিটি লিখি: 4*d*(2+3*c)।
2. দুটি দ্বিপদ আকারে পণ্যটি উপস্থাপন করুন: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy। এখানে আপনাকে ইতিমধ্যে বেশ কয়েকটি সাধারণ কারণ খুঁজে বের করতে হবে: x(x+7z) + 3y(x + 7z)। আমরা (x+7z) বের করি এবং পাই: (x+7z)(x + 3y)।

একটি কোণা সহ বহুপদগুলির বিভাগও দেখুন (একটি কলাম সহ বিভাজনের সমস্ত ধাপ দেখানো হয়েছে)

ফ্যাক্টরাইজেশনের নিয়ম অধ্যয়ন করার সময় দরকারী হবে সংক্ষেপে গুণন সূত্র, যার সাহায্যে এটি পরিষ্কার হবে কিভাবে একটি বর্গক্ষেত্রের সাথে বন্ধনী খুলতে হয়:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি

1. সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করে।
2. একটি সাধারণ ফ্যাক্টর খোঁজা.

এই পাঠে আমরা শিখব কীভাবে দ্বিঘাত ত্রিনয়কগুলিকে রৈখিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করতে হয়। এটি করার জন্য, আমাদের ভিয়েটার উপপাদ্য এবং এর কথোপকথন মনে রাখতে হবে। এই দক্ষতা আমাদের দ্রুত এবং সুবিধাজনকভাবে দ্বিঘাত ত্রিনয়কগুলিকে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে প্রসারিত করতে সাহায্য করবে এবং অভিব্যক্তির সমন্বয়ে ভগ্নাংশের হ্রাসকেও সহজ করবে।

তাহলে চলো চতুর্মুখী সমীকরণে ফিরে যাওয়া যাক, যেখানে .

আমাদের বাম পাশে যা আছে তাকে বলা হয় দ্বিঘাত ত্রিনমিক।

উপপাদ্যটি সত্য:যদি একটি চতুর্মুখী ত্রিনয়কের শিকড় হয়, তাহলে পরিচয় ধারণ করে

কোথায় অগ্রণী সহগ, সমীকরণের মূলগুলি।

সুতরাং, আমাদের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ রয়েছে - একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়ম, যেখানে দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলিকে দ্বিঘাত ত্রিনাময়ের মূলও বলা হয়। অতএব, যদি আমাদের কাছে একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের শিকড় থাকে, তাহলে এই ত্রিনামিকটি রৈখিক উপাদানে পচে যেতে পারে।

প্রমাণ:

এই সত্যের প্রমাণ ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়, যা আমরা পূর্ববর্তী পাঠে আলোচনা করেছি।

আসুন মনে রাখা যাক ভিয়েটার উপপাদ্য আমাদের কী বলে:

যদি একটি দ্বিঘাত ত্রিনামের মূল হয় যার জন্য, তাহলে।

এই তত্ত্ব থেকে নিম্নলিখিত বিবৃতি অনুসরণ করা হয়:

আমরা দেখতে পাই যে, ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে, অর্থাৎ, উপরের সূত্রে এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি পাই

Q.E.D.

প্রত্যাহার করুন যে আমরা উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছি যে যদি একটি বর্গক্ষেত্রের ত্রিনামিকের মূল হয়, তাহলে প্রসারণটি বৈধ।

এখন আসুন একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি উদাহরণ মনে রাখা যাক, যেখানে আমরা ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন করেছি। এই সত্য থেকে আমরা প্রমাণিত উপপাদ্যের জন্য নিম্নলিখিত সমতা পেতে পারি:

এখন শুধু বন্ধনী খোলার মাধ্যমে এই সত্যের সঠিকতা পরীক্ষা করা যাক:

আমরা দেখতে পাই যে আমরা সঠিকভাবে ফ্যাক্টর করেছি, এবং যেকোন ত্রিনামিক, যদি এর শিকড় থাকে তবে এই উপপাদ্য অনুসারে সূত্র অনুসারে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে

যাইহোক, আসুন পরীক্ষা করে দেখি যে কোন সমীকরণের জন্য এই ধরনের ফ্যাক্টরাইজেশন সম্ভব কিনা:

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ নিন। প্রথমে, এর বৈষম্যমূলক চিহ্নটি পরীক্ষা করা যাক

এবং আমরা মনে রাখি যে আমরা যে উপপাদ্যটি শিখেছি তা পূরণ করার জন্য, D অবশ্যই 0-এর বেশি হতে হবে, তাই এই ক্ষেত্রে, আমরা যে উপপাদ্যটি শিখেছি সেই অনুসারে ফ্যাক্টরাইজেশন অসম্ভব।

অতএব, আমরা একটি নতুন উপপাদ্য প্রণয়ন করি: যদি একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের কোনো শিকড় না থাকে, তবে এটি রৈখিক উপাদানে পচে যাবে না।

সুতরাং, আমরা ভিয়েটার উপপাদ্যের দিকে তাকিয়েছি, একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিককে রৈখিক ফ্যাক্টরে পরিণত করার সম্ভাবনা, এবং এখন আমরা বেশ কয়েকটি সমস্যার সমাধান করব।

টাস্ক নং 1

এই গ্রুপে আমরা প্রকৃতপক্ষে সমস্যার বিপরীতে সমাধান করব। আমাদের একটি সমীকরণ ছিল, এবং আমরা এটিকে ফ্যাক্টর করে এর শিকড় খুঁজে পেয়েছি। এখানে আমরা বিপরীত কাজ করব। ধরা যাক আমাদের একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল আছে

বিপরীত সমস্যা হল: এর মূল ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ লিখুন।

এই সমস্যা সমাধানের জন্য 2 উপায় আছে.

যেহেতু সমীকরণের শিকড়, তাহলে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলে সংখ্যা দেওয়া হয়। এখন বন্ধনী খুলুন এবং চেক করুন:

এটিই প্রথম উপায় যেখানে আমরা প্রদত্ত মূলগুলির সাথে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করেছি, যার অন্য কোনও মূল নেই, যেহেতু যে কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বাধিক দুটি মূল থাকে।

এই পদ্ধতিতে বিপরীত ভিয়েটা উপপাদ্যের ব্যবহার জড়িত।

যদি সমীকরণের শিকড় হয়, তাহলে তারা শর্ত পূরণ করে যে।

হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য , , অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে, এবং .

এইভাবে, আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করেছি যার প্রদত্ত মূল রয়েছে।

টাস্ক নং 2

এটি ভগ্নাংশ কমাতে প্রয়োজনীয়।

আমাদের লবটিতে একটি ত্রিনমিক এবং হরটিতে একটি ত্রিনমীয় রয়েছে এবং ত্রিনয়কগুলি ফ্যাক্টরাইজড হতে পারে বা নাও হতে পারে। যদি লব এবং হর উভয়ই গুণনীয়ক হয়, তবে তাদের মধ্যে সমান গুণনীয়ক থাকতে পারে যা হ্রাস করা যেতে পারে।

প্রথমত, আপনাকে লব গুণনীয়ক করতে হবে।

প্রথমত, আপনাকে এই সমীকরণটি ফ্যাক্টরাইজ করা যায় কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে, আসুন বৈষম্যকারীটি খুঁজে বের করা যাক। যেহেতু, চিহ্নটি পণ্যের উপর নির্ভর করে (0 এর কম হতে হবে), এই উদাহরণে, যেমন প্রদত্ত সমীকরণটির মূল রয়েছে।

সমাধানের জন্য, আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করি:

এই ক্ষেত্রে, যেহেতু আমরা শিকড় নিয়ে কাজ করছি, তাই সহজভাবে শিকড় নির্বাচন করা বেশ কঠিন হবে। কিন্তু আমরা দেখি যে সহগগুলি ভারসাম্যপূর্ণ, অর্থাৎ, যদি আমরা ধরে নিই যে , এবং এই মানটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি, আমরা নিম্নলিখিত সিস্টেমটি পাই: , অর্থাৎ 5-5=0। এইভাবে, আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল নির্বাচন করেছি।

আমরা সমীকরণের সিস্টেমে ইতিমধ্যে পরিচিত যা প্রতিস্থাপন করে দ্বিতীয় রুটটি সন্ধান করব, উদাহরণস্বরূপ, , অর্থাৎ .

সুতরাং, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় শিকড় খুঁজে পেয়েছি এবং তাদের মানগুলিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করতে পারি:

আসুন মূল সমস্যাটি মনে রাখি, আমাদের ভগ্নাংশ কমাতে হবে।

আসুন প্রতিস্থাপন করে সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করি।

এটি ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে এই ক্ষেত্রে হরটি 0 এর সমান হতে পারে না, অর্থাৎ .

যদি এই শর্তগুলি পূরণ করা হয়, তাহলে আমরা মূল ভগ্নাংশটিকে ফর্মে কমিয়ে দিয়েছি।

সমস্যা নং 3 (একটি প্যারামিটার সহ কাজ)

প্যারামিটারের কোন মানের সাথে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল

যদি এই সমীকরণের শিকড় বিদ্যমান থাকে, তাহলে , প্রশ্ন: কখন।

একটি দ্বিঘাত ত্রিকোণিক গুণিতকসমস্যা C3 বা প্যারামিটার C5 এর সমস্যা থেকে অসমতা সমাধান করার সময় উপযোগী হতে পারে। এছাড়াও, অনেক B13 শব্দ সমস্যা অনেক দ্রুত সমাধান করা হবে যদি আপনি ভিয়েটার উপপাদ্য জানেন।

এই উপপাদ্য, অবশ্যই, 8 ম গ্রেডের দৃষ্টিকোণ থেকে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে এটি প্রথমবারের মতো পড়ানো হয়। কিন্তু আমাদের কাজ হল ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য ভালভাবে প্রস্তুতি নেওয়া এবং যতটা সম্ভব দক্ষতার সাথে পরীক্ষার কাজগুলি সমাধান করতে শেখা। অতএব, এই পাঠটি বিদ্যালয়ের থেকে কিছুটা ভিন্ন একটি পদ্ধতি বিবেচনা করে।

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমীকরণের মূলের সূত্রঅনেকেই জানেন (বা অন্তত দেখেছেন):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

যেখানে `a, b` এবং `c` হল দ্বিঘাত ত্রিনামিক `ax^2+bx+c` এর সহগ।

কিভাবে সহজে উপপাদ্য ব্যবহার করতে হয় তা শিখতে, আসুন বুঝতে পারি এটি কোথা থেকে এসেছে (এটি আসলে মনে রাখা সহজ করে দেবে)।

আমাদের সমীকরণ আছে `ax^2+ bx+ c = 0`। আরও সুবিধার জন্য, এটিকে `a` দ্বারা ভাগ করুন এবং `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` পান। এমন সমীকরণ একটি হ্রাস দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।

গুরুত্বপূর্ণ পাঠ ধারণা: যেকোন দ্বিঘাত বহুপদী যার মূল আছে তাকে বন্ধনীতে প্রসারিত করা যেতে পারে।ধরা যাক যে আমাদেরকে `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে `k` এবং ` l` - কিছু ধ্রুবক।

চলুন দেখি কিভাবে বন্ধনী খোলে:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

এইভাবে, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`।

এটি শাস্ত্রীয় ব্যাখ্যা থেকে কিছুটা ভিন্ন ভিয়েতার উপপাদ্য- এতে আমরা সমীকরণের শিকড় সন্ধান করি। আমি জন্য শর্তাবলী সন্ধান করার প্রস্তাব বন্ধনী পচন- এইভাবে আপনাকে সূত্র থেকে বিয়োগ সম্পর্কে মনে রাখতে হবে না (যার অর্থ `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`)। এই জাতীয় দুটি সংখ্যা নির্বাচন করা যথেষ্ট, যার যোগফল গড় সহগের সমান এবং গুণফলটি বিনামূল্যের মেয়াদের সমান।

যদি আমাদের সমীকরণের সমাধানের প্রয়োজন হয়, তবে এটি স্পষ্ট: শিকড় `x=-k` বা `x=-l` (যেহেতু এই ক্ষেত্রে বন্ধনীগুলির মধ্যে একটি শূন্য হবে, যার অর্থ পুরো অভিব্যক্তিটি শূন্য হবে )

আমি আপনাকে একটি উদাহরণ হিসাবে অ্যালগরিদম দেখাব: একটি দ্বিঘাত বহুপদকে কীভাবে বন্ধনীতে প্রসারিত করা যায়।

উদাহরণ এক. একটি দ্বিঘাত ত্রিনমিক ফ্যাক্টর করার জন্য অ্যালগরিদম

আমাদের যে পথটি আছে সেটি হল একটি চতুর্ভুজ ত্রিনামিক `x^2+5x+4`।

এটি হ্রাস করা হয়েছে (`x^2` এর সহগ একের সমান)। তার শিকড় আছে। (নিশ্চিত হওয়ার জন্য, আপনি বৈষম্যকারীকে অনুমান করতে পারেন এবং নিশ্চিত করতে পারেন যে এটি শূন্যের চেয়ে বড়।)

আরও পদক্ষেপ (আপনাকে সমস্ত প্রশিক্ষণের কাজগুলি সম্পূর্ণ করে সেগুলি শিখতে হবে):

1. নিম্নলিখিত এন্ট্রিটি সম্পূর্ণ করুন: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots)।$$ বিন্দুর পরিবর্তে, ফাঁকা স্থান ছেড়ে দিন, আমরা সেখানে উপযুক্ত সংখ্যা এবং চিহ্ন যোগ করব।
2. দুটি সংখ্যার গুণফলের মধ্যে `4` সংখ্যাটিকে পচানোর জন্য সম্ভাব্য সমস্ত বিকল্প বিবেচনা করুন। আমরা সমীকরণের মূলের জন্য "প্রার্থী" এর জোড়া পাই: `2, 2` এবং `1, 4`।
3. কোন জোড়া থেকে আপনি গড় সহগ পেতে পারেন তা বের করুন। স্পষ্টতই এটি `1, 4`।
4. লিখুন $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$।
5. পরবর্তী ধাপ হল সন্নিবেশিত সংখ্যার সামনে চিহ্ন স্থাপন করা।

   কীভাবে বুঝবেন এবং চিরকাল মনে রাখবেন বন্ধনীতে সংখ্যার আগে কী লক্ষণগুলি উপস্থিত হওয়া উচিত? তাদের (বন্ধনী) খোলার চেষ্টা করুন। প্রথম পাওয়ার থেকে `x` এর আগে সহগ হবে `(± 4 ± 1)` (আমরা এখনও চিহ্নগুলি জানি না - আমাদের বেছে নিতে হবে), এবং এটি `5` এর সমান হওয়া উচিত। স্পষ্টতই, দুটি প্লাস $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ হবে।

   এই অপারেশনটি বেশ কয়েকবার করুন (হ্যালো, প্রশিক্ষণের কাজ!) এবং এতে আপনার আর কোন সমস্যা হবে না।

আপনার যদি 'x^2+5x+4' সমীকরণটি সমাধান করতে হয়, তবে এখন এটি সমাধান করা কঠিন হবে না। এর মূলগুলি হল `-4, -1`।

উদাহরণ দুই. বিভিন্ন চিহ্নের সহগ সহ একটি দ্বিঘাত ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন

আমাদের `x^2-x-2=0` সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। অফহ্যান্ড, বৈষম্যকারী ইতিবাচক।

আমরা অ্যালগরিদম অনুসরণ করি।

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots)।$$
2. পূর্ণসংখ্যার গুণনীয়কগুলির মধ্যে দুটির একটি মাত্র গুণিতককরণ আছে: `2 · 1`।
3. আমরা পয়েন্টটি এড়িয়ে যাই - বেছে নেওয়ার কিছু নেই।
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1)।$$
5. আমাদের সংখ্যার গুণফল ঋণাত্মক (`-2` হল মুক্ত শব্দ), যার মানে তাদের একটি হবে ঋণাত্মক এবং অন্যটি ধনাত্মক।
   যেহেতু তাদের যোগফল `-1` (`x`-এর সহগ) এর সমান, তাহলে `2` হবে ঋণাত্মক (স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা হল যে দুটি সংখ্যার মধ্যে দুটি বড়, এটি আরও জোরালোভাবে "টান" দেবে নেতিবাচক দিক)। আমরা $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) পাই।$$

তৃতীয় উদাহরণ। একটি দ্বিঘাত ত্রিকোণিক গুণিতক

সমীকরণ হল `x^2+5x -84 = 0`।

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots)।$$
2. 84 এর পূর্ণসংখ্যা গুণনীয়কগুলিতে পচন: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`।
3. যেহেতু আমাদের সংখ্যার পার্থক্য (বা যোগফল) 5 হতে হবে, তাই জোড়া `7, 12` উপযুক্ত।
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7)।$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7)।$$

আশা, এই দ্বিঘাত ত্রিনামিক বন্ধনীতে সম্প্রসারণএটা পরিস্কার.

আপনার যদি কোনো সমীকরণের সমাধানের প্রয়োজন হয়, তাহলে তা হল: `12, -7`।

প্রশিক্ষণ কর্ম

আমি আপনার নজরে আনছি কয়েকটি উদাহরণ যা করা সহজ Vieta এর উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।(ম্যাগাজিন "গণিত", 2002 থেকে নেওয়া উদাহরণ।)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

নিবন্ধটি লেখার কয়েক বছর পরে, ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত বহুপদ সম্প্রসারণের জন্য 150টি কাজের একটি সংগ্রহ হাজির হয়েছিল।

লাইক করুন এবং মন্তব্যে প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন!