একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে কিভাবে গুণ করা যায়। ম্যাট্রিক্স গুণ

ম্যাট্রিক্সের গুণফল (C=AB) শুধুমাত্র সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্স A এবং B-এর জন্য একটি অপারেশন, যেখানে ম্যাট্রিক্স A-এর কলামের সংখ্যা ম্যাট্রিক্স B-এর সারির সংখ্যার সমান:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

উদাহরণ 1

ম্যাট্রিক্স ডেটা:

• A = a (i j) এর মাত্রা m × n;
• B = b (i j) p × n

ম্যাট্রিক্স C, যার উপাদান c i j নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + । . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . মি

উদাহরণ 2

আসুন AB=BA পণ্যগুলি গণনা করি:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

ম্যাট্রিক্স গুণের নিয়ম ব্যবহার করে সমাধান:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 × 1 × 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

পণ্য A B এবং B A পাওয়া গেছে, কিন্তু তারা বিভিন্ন আকারের ম্যাট্রিস: A B B A এর সমান নয়।

ম্যাট্রিক্স গুণের বৈশিষ্ট্য

ম্যাট্রিক্স গুণের বৈশিষ্ট্য:

• (A B) C = A (B C) - ম্যাট্রিক্স গুণের সহযোগীতা;
• A (B + C) \u003d A B + A C - বিতরণমূলক গুণ;
• (A + B) C \u003d A C + B C - গুণের বন্টন;
• λ (A B) = (λ A) B

সম্পত্তি #1 চেক করুন: (A B) C = A (B C):

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100।

উদাহরণ 2

আমরা সম্পত্তি নং 2 পরীক্ষা করি: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58 ।

তিনটি ম্যাট্রিকের পণ্য

তিনটি ম্যাট্রিক্স A B C এর গুণফল 2 উপায়ে গণনা করা হয়:

• A B খুঁজুন এবং C দ্বারা গুণ করুন: (A B) C;
• অথবা প্রথমে B C খুঁজুন এবং তারপর A (B C) গুণ করুন।

ম্যাট্রিক্সকে ২টি উপায়ে গুণ করুন:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

অ্যাকশন অ্যালগরিদম:

• 2টি ম্যাট্রিসের গুণফল খুঁজে বের করুন;
• তারপর আবার 2টি ম্যাট্রিসের গুণফল বের করুন।

এক). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21

2)। A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3।

আমরা A B C \u003d (A B) C সূত্র ব্যবহার করি:

এক). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2)। A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

উত্তর: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা

k সংখ্যা দ্বারা ম্যাট্রিক্স A এর গুণফল হল একই আকারের ম্যাট্রিক্স B \u003d A k, যা মূল থেকে পাওয়া যায় এর সমস্ত উপাদানের একটি প্রদত্ত সংখ্যা দ্বারা গুণ করে:

b i , j = k × a i , j

একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার বৈশিষ্ট্য:

• 1 × A = A
• 0 × A = শূন্য ম্যাট্রিক্স
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k×n)×A = k(n×A)

ম্যাট্রিক্স A \u003d 4 2 9 0 by 5 এর গুণফল নির্ণয় কর।

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের গুণন

একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি ভেক্টরের গুণফল খুঁজে পেতে, আপনাকে সারি দ্বারা কলামের নিয়ম অনুসারে গুণ করতে হবে:

• যদি আপনি একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করেন, ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যা অবশ্যই কলাম ভেক্টরের সারির সংখ্যার সাথে মিলবে;
• একটি কলাম ভেক্টরের গুণনের ফলাফল শুধুমাত্র একটি কলাম ভেক্টর:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + + a 2 n × b n ⋯⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 c 1 মি

• যদি আপনি একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি সারি ভেক্টর দ্বারা গুণ করেন, তাহলে গুণিত হওয়া ম্যাট্রিক্সটি অবশ্যই একটি কলাম ভেক্টর হতে হবে এবং কলামের সংখ্যা অবশ্যই সারি ভেক্টরের কলামের সংখ্যার সাথে মিলবে:

A B = a a ⋯ a b b ⋯⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 a 2 × b n⋯⋯⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯⋯ n 1 গ n 2 ⋯ c n n

উদাহরণ 5

ম্যাট্রিক্স A এবং কলাম ভেক্টর B এর গুণফল খুঁজুন:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

উদাহরণ 6

ম্যাট্রিক্স A এবং সারি ভেক্টর B এর গুণফল বের করুন:

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

উত্তর: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

প্রতিটি ভেক্টরকে এক-কলাম বা এক-সারি ম্যাট্রিক্স হিসাবে দেখা যেতে পারে। একটি এক-কলামের ম্যাট্রিক্সকে একটি কলাম ভেক্টর বলা হবে, এবং একটি এক-সারি ম্যাট্রিক্সকে একটি সারি ভেক্টর বলা হবে।

A যদি m*n আকারের একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে কলাম ভেক্টর b এর আকার n এবং সারি ভেক্টর b এর আকার m।

সুতরাং, একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার জন্য, একজনকে অবশ্যই ভেক্টরটিকে একটি কলাম ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করতে হবে। একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা একটি ভেক্টর গুণ করার সময়, এটি একটি সারি ভেক্টর হিসাবে গণ্য করা আবশ্যক।

ম্যাট্রিক্স গুণ করুন

জটিল ভেক্টরের কাছে

আমরা ফলাফল পেতে

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ভেক্টরের মাত্রা অপরিবর্তিত থাকলে, আমাদের দুটি সমাধান থাকতে পারে।

আমি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই যে প্রথম এবং দ্বিতীয় সংস্করণের ম্যাট্রিক্স, একই মান থাকা সত্ত্বেও, সম্পূর্ণ ভিন্ন (তাদের ভিন্ন মাত্রা রয়েছে)

প্রথম ক্ষেত্রে, ভেক্টরটিকে একটি কলাম হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং তারপরে এটি প্রয়োজনীয় ভেক্টর দ্বারা ম্যাট্রিক্স গুণ করুন, এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে আমাদের একটি সারি ভেক্টর আছে এবং তারপর আমাদের আছে একটি ভেক্টর এবং একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল।

এই বটটি জটিল মান আছে এমন ভেক্টর এবং ম্যাট্রিকেও গুণ করে। অনলাইনে জটিল মানের সাথে ম্যাট্রিসের গুণনের আরও সম্পূর্ণ ক্যালকুলেটরের উপর ভিত্তি করে

ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণের বৈশিষ্ট্য

ম্যাট্রিক্স

ভেক্টর কলাম

সারি ভেক্টর

নির্বিচারে সংখ্যা

1. কলাম ভেক্টরের যোগফল দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল প্রতিটি ভেক্টর দ্বারা ম্যাট্রিক্সের গুণফলের সমষ্টির সমান

2. ম্যাট্রিক্স দ্বারা সারি ভেক্টরের যোগফল ম্যাট্রিক্স দ্বারা ভেক্টরের গুণফলের সমষ্টির সমান

3. একটি ভেক্টরের সাধারণ গুণনীয়ক একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল থেকে একটি ভেক্টর / একটি ভেক্টর একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা নেওয়া যেতে পারে

4. একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি কলাম ভেক্টরের গুণফল দ্বারা একটি সারি ভেক্টরের গুণফল একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা একটি সারি ভেক্টরের গুণফলের সমতুল্য।

লেকচার 6. কম্পিউটেশনাল গণিতের সাধারণ সমস্যা সমাধানের জন্য সমান্তরাল সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদম: ম্যাট্রিক্স গুণন।

একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের গুণন। সর্বোচ্চ সম্ভাব্য গতি অর্জন. মধ্যম স্তরের সমান্তরালতার ব্যবহার। p = n এর জন্য সমান্তরাল কম্পিউটিং এর সংগঠন। প্রসেসরের একটি সীমিত সেট ব্যবহার। ম্যাট্রিক্স গুণ। সমস্যা সমাধানের অ্যালগরিদমের ম্যাক্রোঅপারেশনাল বিশ্লেষণ। ডেটা ভাগ করে নেওয়ার উপর ভিত্তি করে সমান্তরালতার সংগঠন।

একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের গুণন

একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সমস্যাটি সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়

এইভাবে, ফলাফল ভেক্টর প্রাপ্ত করার জন্য ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরের সারিগুলিকে গুণ করার জন্য একই ধরণের ক্রিয়াকলাপ পুনরাবৃত্তি করা জড়িত। এই ধরনের প্রতিটি ক্রিয়াকলাপ প্রাপ্ত করার মধ্যে ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরের সারির উপাদানগুলির উপাদান-দ্বারা-উপাদান গুণন এবং ফলস্বরূপ পণ্যগুলির পরবর্তী সমষ্টি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। প্রয়োজনীয় স্কেলার অপারেশনের মোট সংখ্যা মান দ্বারা অনুমান করা হয়

একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি ভেক্টরকে গুণ করার সময় সম্পাদিত ক্রিয়াগুলি থেকে নিম্নরূপ, সমান্তরাল সমষ্টি অ্যালগরিদমের উপর ভিত্তি করে সমস্যা সমাধানের সমান্তরাল পদ্ধতিগুলি পাওয়া যেতে পারে (অনুচ্ছেদ 4.1 দেখুন)। এই বিভাগে, ব্যবহারের জন্য উপলব্ধ প্রসেসরের সংখ্যার উপর নির্ভর করে সমান্তরাল কম্পিউটিং সংস্থার বিবেচনার দ্বারা সমান্তরালকরণ পদ্ধতির বিশ্লেষণ সম্পূরক হবে। উপরন্তু, একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সমস্যার উদাহরণ ব্যবহার করে, আন্তঃপ্রসেসরের মিথস্ক্রিয়া সংগঠিত করার জন্য খরচ কমাতে একটি কম্পিউটিং সিস্টেমের (প্রসেসরের মধ্যে বিদ্যমান যোগাযোগের চ্যানেল) সবচেয়ে উপযুক্ত টপোলজি বেছে নেওয়ার প্রয়োজনীয়তার দিকে মনোযোগ আকর্ষণ করা হবে।

দ্রুততম সম্ভাব্য কর্মক্ষমতা অর্জন ()

সমান্তরালকরণের সম্ভাব্য উপায়গুলি নির্বাচন করতে ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণনের অ্যালগরিদমে তথ্য নির্ভরতার একটি বিশ্লেষণ করা যাক। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, গণনার সময় সম্পাদিত একটি ভেক্টর দ্বারা ম্যাট্রিক্সের পৃথক সারিগুলিকে গুণ করার ক্রিয়াকলাপগুলি স্বাধীন এবং সমান্তরালভাবে সঞ্চালিত হতে পারে;

একটি ভেক্টর দ্বারা প্রতিটি সারি গুণ করার জন্য স্বাধীন উপাদান-ভিত্তিক গুণ জড়িত থাকে এবং সমান্তরালভাবেও সঞ্চালিত হতে পারে;

একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের একটি সারি গুণ করার প্রতিটি অপারেশনে প্রাপ্ত পণ্যগুলির যোগফল যোগফল অ্যালগরিদমের পূর্বে বিবেচিত রূপগুলির একটি ব্যবহার করে সঞ্চালিত হতে পারে (ক্রমিক অ্যালগরিদম, প্রচলিত এবং পরিবর্তিত ক্যাসকেড স্কিম)।

সুতরাং, প্রসেসরের সর্বাধিক প্রয়োজনীয় সংখ্যক মান দ্বারা নির্ধারিত হয়

এই ধরনের অনেক প্রসেসরের ব্যবহার নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে। প্রসেসরের সেট গ্রুপে বিভক্ত

,

যার প্রতিটি একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের একটি একক সারি গুণ করার অপারেশন সম্পাদনের জন্য প্রসেসরের একটি সেট উপস্থাপন করে। গণনার শুরুতে, গ্রুপের প্রতিটি প্রসেসর ম্যাট্রিক্সের সারির একটি উপাদান এবং ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট উপাদান পায়। এর পরে, প্রতিটি প্রসেসর গুণন অপারেশন করে। পরবর্তীতে ক্যাসকেড সমষ্টি স্কিম অনুযায়ী গণনা করা হয়। চিত্রে দৃষ্টান্তের জন্য। 6.1 ম্যাট্রিক্সের মাত্রা সহ গ্রুপের প্রসেসরগুলির জন্য গণনামূলক স্কিম দেখায়।

ভাত। 6.1। একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্স সারি গুণ করার জন্য গণনামূলক স্কিম

প্রসেসর ব্যবহার করার সময় একটি সমান্তরাল অ্যালগরিদমের সঞ্চালনের সময় সমান্তরাল গুণন অপারেশনের কার্যকর করার সময় এবং ক্যাসকেড স্কিমের সম্পাদনের সময় দ্বারা নির্ধারিত হয়

ফলস্বরূপ, অ্যালগরিদমের কর্মক্ষমতা সূচকগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়:

একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের গুণনের বিবেচিত সমস্যার জন্য, সবচেয়ে উপযুক্ত টপোলজিগুলি হল এমন কাঠামো যা একটি ক্যাসকেড সমষ্টি স্কিমে দ্রুত ডেটা স্থানান্তর (একক দৈর্ঘ্যের পথ) প্রদান করে (চিত্র 4.5 দেখুন)। এই ধরনের টপোলজিগুলি সংযোগের একটি সম্পূর্ণ সিস্টেম সহ একটি কাঠামো ( সম্পূর্ণ গ্রাফ) এবং হাইপারকিউব. অন্যান্য টপোলজির ফলে দীর্ঘ ডেটা পাথের কারণে যোগাযোগের সময় বৃদ্ধি পায়। সুতরাং, শুধুমাত্র বাম এবং ডান দিকে নিকটতম প্রতিবেশীদের সাথে সংযোগের একটি সিস্টেম সহ প্রসেসরগুলির একটি রৈখিক ক্রম সহ ( শাসকবা রিং) ক্যাসকেড স্কিমের জন্য, পুনরাবৃত্তিতে প্রতিটি প্রাপ্ত আংশিক যোগফলের সংক্রমণ পথের দৈর্ঘ্য , , এর সমান। যদি আমরা স্বীকার করি যে রৈখিক কাঠামো সহ টপোলজিতে দৈর্ঘ্যের একটি পথ ধরে ডেটা ট্রান্সমিশনের জন্য ডেটা ট্রান্সমিশন ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদনের প্রয়োজন হয়, ডেটা ট্রান্সমিশনের মোট সমান্তরাল ক্রিয়াকলাপ (পাথের মোট দৈর্ঘ্য) মান দ্বারা নির্ধারিত হয়

(বুটস্ট্র্যাপিং প্রসেসরের জন্য ডেটা স্থানান্তর ব্যতীত)।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার টপোলজি সহ একটি কম্পিউটিং সিস্টেমের প্রয়োগ দ্বি-মাত্রিক জালিআকার সঞ্চালিত গণনার একটি সহজ এবং চাক্ষুষ ব্যাখ্যার দিকে পরিচালিত করে (নেটওয়ার্ক কাঠামো প্রক্রিয়াকৃত ডেটার কাঠামোর সাথে মিলে যায়)। এই ধরনের টপোলজির জন্য, ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি জালির অনুভূমিক রেখা বরাবর স্থাপন করা সবচেয়ে সমীচীন; এই ক্ষেত্রে, ভেক্টরের উপাদানগুলিকে কম্পিউটিং সিস্টেমের উল্লম্ব বরাবর পাঠাতে হবে। ডেটার এই বিন্যাসের সাথে গণনার কার্য সম্পাদন জালির লাইন বরাবর সমান্তরালভাবে করা যেতে পারে; ফলস্বরূপ, ডাটা স্থানান্তরের মোট সংখ্যা রুলার() এর ফলাফলের সমান।

সমস্যা সমাধানে সম্পাদিত যোগাযোগ ক্রিয়া হল MCS প্রসেসরের জোড়ার মধ্যে ডেটা স্থানান্তর করা। এই ধরনের ক্রিয়াকলাপ বাস্তবায়নের সময়কালের একটি বিশদ বিশ্লেষণ অনুচ্ছেদ 3.3-এ করা হয়েছে।

4. সমান্তরাল অ্যালগরিদম বাস্তবায়নের জন্য সুপারিশ. একটি সমান্তরাল অ্যালগরিদম প্রয়োগ করার সময়, প্রাথমিক ডেটা সহ ব্যবহৃত প্রসেসরগুলি লোড করার প্রাথমিক স্তরটি একক করার পরামর্শ দেওয়া হয়। এই ধরনের সূচনা সহজভাবে একটি কম্পিউটিং সিস্টেমের টপোলজির জন্য দেওয়া হয় যার ফর্মে একটি টপোলজি রয়েছে সম্পূর্ণ গ্রাফ(লোডিং একটি একক সমান্তরাল ডেটা স্থানান্তর অপারেশনের সাথে সরবরাহ করা হয়)। ফর্মে প্রসেসরের একটি সেট সংগঠিত করার সময় হাইপারকিউববুটস্ট্র্যাপ প্রক্রিয়ার একটি দ্বি-স্তরের নিয়ন্ত্রণ থাকা উপযোগী হতে পারে, যেখানে কেন্দ্রীয় নিয়ন্ত্রণ প্রসেসর ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টর সারিগুলি প্রসেসর গ্রুপের নিয়ন্ত্রণ প্রসেসরগুলিতে বিতরণ করে, , যা ঘুরে, ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরের উপাদানগুলি বিতরণ করে। এক্সিকিউটিভ প্রসেসরের সারি। ফর্মে টপোলজির জন্য শাসকবা রিংঅনুক্রমিক ডেটা স্থানান্তর ক্রিয়াকলাপগুলি উপাদানগুলি থেকে স্থানান্তরিত ডেটার ক্রমান্বয়ে হ্রাসের সাথে প্রয়োজন৷

মধ্যস্তরের সমান্তরালতা ব্যবহার করে()

1. সমান্তরাল কম্পিউটিং পদ্ধতির পছন্দ. ব্যবহৃত প্রসেসরের উপলব্ধ সংখ্যা হ্রাসের সাথে (), একটি ভেক্টর দ্বারা ম্যাট্রিক্স সারিগুলিকে গুন করার ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করার সময় সাধারণ ক্যাসকেড সমষ্টি স্কিমটি প্রযোজ্য নয়। উপাদানের উপস্থাপনার সরলতার জন্য, আমরা একটি পরিবর্তিত ক্যাসকেড স্কিম ধরে নিই এবং ব্যবহার করি। এই ক্ষেত্রে প্রতিটি প্রসেসরের প্রাথমিক লোড বৃদ্ধি পায় এবং প্রসেসরটি লোড করা হয় () ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরের সারিগুলির অংশ দ্বারা। একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার ক্রিয়াকলাপের কার্য সম্পাদনের সময়টি মান হিসাবে অনুমান করা যেতে পারে

পরিবর্তিত ক্যাসকেড স্কিম বাস্তবায়নের জন্য প্রয়োজনীয় প্রসেসরের সংখ্যা ব্যবহার করার সময়, যেমন এ , এই অভিব্যক্তিটি কার্যকর করার সময়ের একটি অনুমান দেয় (এ)

প্রসেসরের সংখ্যার সাথে, যখন অ্যালগরিদমের সঞ্চালনের সময় হিসাবে অনুমান করা হয়, গণনার সমান্তরাল সম্পাদনের জন্য একটি নতুন স্কিম প্রস্তাব করা যেতে পারে, যাতে প্রতিটি পুনরাবৃত্তির জন্য ক্যাসকেডেড সমষ্টি ব্যবহার করা হয় অ ওভারল্যাপিং প্রসেসর সেট. এই পদ্ধতির সাথে, একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি ভেক্টরের একটি সারি গুণ করার শুধুমাত্র একটি অপারেশন বাস্তবায়নের জন্য উপলব্ধ সংখ্যক প্রসেসর যথেষ্ট। উপরন্তু, ক্যাসকেড সমষ্টির পরবর্তী পুনরাবৃত্তি সম্পাদন করার সময়, পূর্ববর্তী সমস্ত পুনরাবৃত্তির জন্য দায়ী প্রসেসরগুলি বিনামূল্যে। যাইহোক, প্রস্তাবিত পদ্ধতির এই অসুবিধাটিকে ম্যাট্রিক্সের পরবর্তী সারিগুলি প্রক্রিয়া করার জন্য নিষ্ক্রিয় প্রসেসর ব্যবহার করে একটি সুবিধাতে পরিণত করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, নিম্নলিখিত স্কিম গঠন করা যেতে পারে পরিবাহকম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টর গুণন সম্পাদন করুন:

প্রসেসরের সেট অ ওভারল্যাপিং প্রসেসর গ্রুপে বিভক্ত

,

গ্রুপ , , প্রসেসর নিয়ে গঠিত এবং ক্যাসকেড অ্যালগরিদম পুনরাবৃত্তি করতে ব্যবহৃত হয় (গোষ্ঠীটি উপাদান-ভিত্তিক গুণ প্রয়োগ করতে ব্যবহৃত হয়); প্রসেসরের মোট সংখ্যা;

গণনার শুরুতে ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরের সারির মান 1 সহ গ্রুপের প্রসেসরগুলির উপাদান-দ্বারা-উপাদান লোড করা হয়; বুটস্ট্র্যাপের পরে, উপাদান-ভিত্তিক গুণের একটি সমান্তরাল ক্রিয়াকলাপ এবং প্রচলিত ক্যাসকেড সমষ্টি সার্কিটের পরবর্তী বাস্তবায়ন করা হয়;

গণনা সম্পাদন করার সময়, প্রতিটি সময় উপাদান-ভিত্তিক গুণনের অপারেশন শেষ হওয়ার পরে, গ্রুপের প্রসেসরগুলি ম্যাট্রিক্সের পরবর্তী সারির উপাদানগুলির সাথে লোড করা হয় এবং নতুন লোড করা ডেটার জন্য গণনা প্রক্রিয়া শুরু করা হয়।

বর্ণিত অ্যালগরিদম প্রয়োগের ফলে, প্রসেসরের বহুত্ব একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্স সারি গুণ করার অপারেশন সম্পাদনের জন্য একটি পাইপলাইন প্রয়োগ করে। এই ধরনের একটি পাইপলাইনে, ম্যাট্রিক্সের বেশ কয়েকটি পৃথক সারি একই সাথে প্রক্রিয়াকরণের বিভিন্ন পর্যায়ে থাকতে পারে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, প্রথম সারি এবং ভেক্টরের উপাদানগুলির উপাদান-ভিত্তিক গুণের পরে, গ্রুপ প্রসেসরগুলি ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারির জন্য ক্যাসকেড অ্যালগরিদমের প্রথম পুনরাবৃত্তি সম্পাদন করবে এবং গ্রুপ প্রসেসরগুলি উপাদানটি সম্পাদন করবে -ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারির মানের গুণগত মান, এবং তাই। চিত্রে দৃষ্টান্তের জন্য। 6.2 এ 2টি পাইপলাইন পুনরাবৃত্তির পর গণনা প্রক্রিয়ার পরিস্থিতি দেখায়।

ভাত। 6.2। 2টি পুনরাবৃত্তি করার পর একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের সারি গুণ করার জন্য পাইপলাইনের অবস্থা

2. অ্যালগরিদম কর্মক্ষমতা সূচক মূল্যায়ন. ক্যাসকেড স্কিম অনুসারে ভেক্টর দ্বারা প্রথম সারির গুণনটি () সমান্তরাল ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করার পরে, যথারীতি সম্পন্ন হবে। অন্যান্য সারির জন্য, গণনার সংগঠনের পাইপলাইন স্কিম অনুসারে, প্রতিটি ধারাবাহিক সারির গুণনের ফলাফল পাইপলাইনের প্রতিটি পরবর্তী পুনরাবৃত্তি শেষ হওয়ার পরে প্রদর্শিত হবে। ফলস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণন অপারেশনের মোট সম্পাদনের সময়কে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

এই অনুমানটি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বর্ণিত সমান্তরাল অ্যালগরিদমের কার্যকরী সময়ের চেয়ে কিছুটা দীর্ঘ (), তবে, নতুন প্রস্তাবিত পদ্ধতিতে কম ডেটা প্রেরণ করা প্রয়োজন (ভেক্টরটি শুধুমাত্র একবার পাঠানো হয়)। উপরন্তু, একটি পাইপলাইন স্কিম ব্যবহার কিছু গণনা ফলাফলের পূর্বে উপস্থিতির দিকে নিয়ে যায় (যা অনেকগুলি ডেটা প্রক্রিয়াকরণ পরিস্থিতিতে কার্যকর হতে পারে)।

ফলস্বরূপ, অ্যালগরিদমের কর্মক্ষমতা সূচকগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়:

3. কম্পিউটার সিস্টেম টপোলজি পছন্দ. একটি কম্পিউটিং সিস্টেমের সমীচীন টপোলজি সম্পূর্ণরূপে কম্পিউটিং স্কিম দ্বারা নির্ধারিত হয় - এটি একটি সম্পূর্ণ বাইনারি গাছউচ্চতা এই ধরনের নেটওয়ার্ক টপোলজির সাথে ডেটা স্থানান্তরের সংখ্যা পাইপলাইন দ্বারা সম্পাদিত পুনরাবৃত্তির মোট সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেমন

গণনার সূচনা গাছের পাতা থেকে শুরু হয়, সমষ্টির ফলাফল রুট প্রসেসরে জমা হয়।

আন্তঃপ্রসেসর যোগাযোগের অন্যান্য টপোলজির সাথে কম্পিউটার সিস্টেমের জন্য সম্পাদিত যোগাযোগের ক্রিয়াকলাপের জটিলতার বিশ্লেষণ একটি স্বাধীন কাজ হিসাবে সম্পন্ন করা অনুমিত হয় (অনুচ্ছেদ 3.4ও দেখুন)।

সঙ্গে সমান্তরাল কম্পিউটিং সংগঠন

1. সমান্তরাল কম্পিউটিং পদ্ধতির পছন্দ. একটি ভেক্টর দ্বারা ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার জন্য প্রসেসর ব্যবহার করার সময়, ম্যানুয়ালটিতে ইতিমধ্যে আলোচিত সমান্তরাল সারি-বাই-সারি গুণন অ্যালগরিদম ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি প্রসেসরগুলির মধ্যে সারি দ্বারা সারিতে বিতরণ করা হয় এবং প্রতিটি প্রসেসর অপারেশনটি বাস্তবায়ন করে। ভেক্টর দ্বারা ম্যাট্রিক্সের যেকোনো পৃথক সারি গুণ করা। সমান্তরাল কম্পিউটিং সংগঠিত করার আরেকটি সম্ভাব্য উপায় হতে পারে নির্মাণ করা একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের সারি গুণ করার অপারেশনের জন্য পাইপলাইন স্কিম(ভেক্টরের ডট পণ্য) সমস্ত উপলব্ধ প্রসেসরকে একটি রৈখিক ক্রমানুসারে সাজিয়ে ( শাসক).

এই ধরনের একটি গণনা স্কিম নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। প্রসেসরের সেটকে লিনিয়ার সিকোয়েন্স হিসেবে উপস্থাপন করা যাক (চিত্র 4.7 দেখুন):

প্রতিটি প্রসেসর, , ম্যাট্রিক্স কলাম উপাদান এবং ভেক্টর উপাদান গুন করতে ব্যবহৃত হয়। প্রতিটি প্রসেসরের উপর গণনার সম্পাদন , , নিম্নলিখিতগুলি নিয়ে গঠিত:

ম্যাট্রিক্স কলামের পরবর্তী উপাদান অনুরোধ করা হয়;

উপাদান এবং গুণিত হয়;

পূর্ববর্তী প্রসেসরের গণনার ফলাফল অনুরোধ করা হয়;

মান যোগ করা হয়;

ফলাফল পরবর্তী প্রসেসরে পাঠানো হয়।

ভাত। 6.3। দুটি পুনরাবৃত্তি সম্পাদন করার পরে একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের একটি সারি গুণ করার অপারেশনের জন্য রৈখিক পাইপলাইনের অবস্থা

বর্ণিত স্কিমটি শুরু করার সময়, বেশ কয়েকটি অতিরিক্ত ক্রিয়া সম্পাদন করা প্রয়োজন:

প্রথম পুনরাবৃত্তির সময়, প্রতিটি প্রসেসর অতিরিক্তভাবে ভেক্টরের একটি উপাদানের জন্য অনুরোধ করে;

গণনা সিঙ্ক্রোনাইজ করতে (সার্কিটের পরবর্তী পুনরাবৃত্তির সময়, পূর্ববর্তী প্রসেসরের গণনার ফলাফল অনুরোধ করা হয়) প্রারম্ভিক পর্যায়ে, প্রসেসর , , এক্সিকিউট () একটি অপেক্ষমাণ লুপ।

উপরন্তু, প্রথম প্রসেসরের জন্য বর্ণিত স্কিমের অভিন্নতার জন্য, যার কোনো পূর্ববর্তী প্রসেসর নেই, এটি একটি খালি সংযোজন অপারেশন চালু করার পরামর্শ দেওয়া হয় ( ).

চিত্রে দৃষ্টান্তের জন্য। 6.3 এ পাইপলাইনের দ্বিতীয় পুনরাবৃত্তির পর গণনা প্রক্রিয়ার অবস্থা দেখায়।

2. অ্যালগরিদম কর্মক্ষমতা সূচক মূল্যায়ন. বর্ণিত পাইপলাইন স্কিম অনুসারে ভেক্টর দ্বারা প্রথম সারির গুণন () সমান্তরাল ক্রিয়াকলাপ সম্পাদনের পরে সম্পন্ন হবে। নিম্নলিখিত সারির গুণনের ফলাফল পাইপলাইনের প্রতিটি পরবর্তী পুনরাবৃত্তির সমাপ্তির পরে ঘটবে (প্রত্যাহার করুন, প্রতিটি প্রসেসরের পুনরাবৃত্তিতে গুণ এবং সংযোজন ক্রিয়াকলাপগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে)। ফলস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণন অপারেশনের মোট সম্পাদনের সময়কে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

এই অনুমানটি সমান্তরাল অ্যালগরিদমের ন্যূনতম সম্ভাব্য কার্যকরী সময়ের চেয়েও বেশি। একটি পাইপলাইন কম্পিউটিং স্কিম ব্যবহার করার উপযোগিতা হল, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে উল্লিখিত হিসাবে, প্রেরিত ডেটার পরিমাণ হ্রাস করা এবং গণনার ফলাফলের অংশের পূর্বে উপস্থিতিতে।

এই গণনামূলক স্কিমের কর্মক্ষমতা সূচকগুলি সম্পর্কের দ্বারা নির্ধারিত হয়:

, ,

3. কম্পিউটার সিস্টেম টপোলজি পছন্দ. বর্ণিত অ্যালগরিদম বাস্তবায়নের জন্য কম্পিউটিং সিস্টেমের প্রয়োজনীয় টপোলজি প্রস্তাবিত কম্পিউটেশনাল স্কিম দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় - এটি প্রসেসরের একটি রৈখিকভাবে আদেশকৃত সেট ( শাসক).

প্রসেসরের একটি সীমিত সেট ব্যবহার করা ()

1. সমান্তরাল কম্পিউটিং পদ্ধতির পছন্দ. যখন প্রসেসরের সংখ্যা একটি মান হ্রাস করা হয়, ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণনের জন্য একটি সমান্তরাল গণনামূলক স্কিম প্রাপ্ত করা যেতে পারে সারি-বাই-সারি গুণন অ্যালগরিদম অভিযোজিত করার ফলে। এই ক্ষেত্রে, উপাদান অনুসারে গুণনের ফলাফলগুলিকে সংকলনের জন্য ক্যাসকেড স্কিমটি অবক্ষয় হয় এবং একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্স সারিকে গুণ করার অপারেশন সম্পূর্ণরূপে একটি একক প্রসেসরে সঞ্চালিত হয়। এই পদ্ধতির সাথে প্রাপ্ত গণনামূলক স্কিমটি নিম্নরূপ নির্দিষ্ট করা যেতে পারে:

প্রতিটি উপলব্ধ প্রসেসরে একটি ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্স সারি পাঠানো হয়;

একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে গুণ করার কাজটি স্বাভাবিক অনুক্রমিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়।

এটি লক্ষ করা উচিত যে ম্যাট্রিক্সের আকার প্রসেসরের সংখ্যার একাধিক নাও হতে পারে এবং তারপরে ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি প্রসেসরগুলির মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা যাবে না। এই পরিস্থিতিতে, প্রসেসর লোড অভিন্নতার প্রয়োজনীয়তা থেকে বিচ্যুত হওয়া সম্ভব এবং, একটি সহজ গণনামূলক স্কিম পাওয়ার জন্য, এই নিয়মটি গ্রহণ করুন যে প্রসেসরগুলিতে ডেটা কেবল সারি সারি (অর্থাৎ, একটি ম্যাট্রিক্সের এক সারির উপাদান) বিভিন্ন প্রসেসরের মধ্যে ভাগ করা যাবে না)। একটি ভিন্ন সংখ্যক সারি প্রসেসরের উপর একটি ভিন্ন গণনামূলক লোডের ফলে; এইভাবে, গণনার সমাপ্তি (টাস্ক সলিউশনের মোট সময়কাল) সর্বাধিক লোড হওয়া প্রসেসরের অপারেটিং সময়ের দ্বারা নির্ধারিত হবে (একই সময়ে, কিছু প্রসেসর তাদের অংশের ক্লান্তির কারণে এই মোট সময়ের একটি অংশ নিষ্ক্রিয় করতে পারে। গণনা)। প্রসেসরগুলির অসম লোডিং এমসিএস ব্যবহারের দক্ষতা হ্রাস করে এবং এই উদাহরণটি বিবেচনা করার ফলস্বরূপ, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে ভারসাম্য সমস্যা

3. কম্পিউটার সিস্টেম টপোলজি পছন্দ. প্রস্তাবিত কম্পিউটেশনাল স্কিমে সম্পাদিত আন্তঃপ্রসেসরের মিথস্ক্রিয়াগুলির প্রকৃতি অনুসারে, ফর্মে প্রসেসরগুলির সংগঠন তারা(চিত্র 1.1 দেখুন)। এই ধরনের টপোলজির একটি নিয়ন্ত্রণ প্রসেসর প্রাথমিক ডেটা সহ কম্পিউটিং প্রসেসর লোড করতে এবং সঞ্চালিত গণনার ফলাফল পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

ম্যাট্রিক্স গুণ

একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করার সমস্যাটি সম্পর্কের দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়

.

(সরলতার জন্য, আমরা ধরে নেব যে গুণিত ম্যাট্রিক্স এবং বর্গাকার এবং ক্রম আছে)।

এই কাজের সমান্তরাল সম্পাদনের সম্ভাব্য উপায়গুলির বিশ্লেষণ একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সমস্যার বিবেচনার সাথে সাদৃশ্য দ্বারা বাহিত হতে পারে। স্বাধীন অধ্যয়নের জন্য এই জাতীয় বিশ্লেষণ ছেড়ে, আমরা ম্যাট্রিক্স গুণনের সমস্যার উদাহরণ ব্যবহার করে দেখাব, বেশ কয়েকটি সাধারণ পদ্ধতির ব্যবহার যা আমাদের জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য সমান্তরাল পদ্ধতি তৈরি করতে দেয়।

ম্যাটল্যাব সিস্টেমটি কেবল ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরগুলিতে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করে। প্রথমে ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরের যোগ এবং গুণনের সহজ ক্রিয়াকলাপগুলি বিবেচনা করুন। দুটি ভেক্টর দেওয়া যাক

a = ; % সারি ভেক্টর
b = ; % কলাম ভেক্টর

তাহলে এই দুটি ভেক্টরের গুণকে এভাবে লেখা যাবে

c = a*b; %c=1+2+3+4+5=16
d = b*a; %d - 5x5 উপাদানের ম্যাট্রিক্স

ভেক্টরের উপর ক্রিয়াকলাপ অনুসারে, একটি সারি ভেক্টরকে একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা গুণ করলে একটি সংখ্যা পাওয়া যায় এবং একটি সারি ভেক্টর দ্বারা একটি কলাম ভেক্টরকে গুণ করলে একটি দ্বি-মাত্রিক ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, যা উপরের উদাহরণে গণনার ফলাফল, অর্থাৎ

দুটি ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ হিসাবে লেখা হয়

a1 = ;
a2 = ;
c = a1+a2; % c = ;
c = a2-a1; % c = ;

উল্লেখ্য যে যোগ এবং বিয়োগের ক্রিয়াকলাপ দুটি কলাম ভেক্টর বা দুটি সারি ভেক্টরের মধ্যে সঞ্চালিত হতে পারে। অন্যথায়, MatLab একটি ত্রুটি বার্তা জারি করবে, কারণ বিভিন্ন ধরনের ভেক্টর যোগ করা যাবে না। এটি সমস্ত অবৈধ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে: যদি সেগুলি গণনা করা না যায় তবে ম্যাটল্যাব সিস্টেম একটি ত্রুটি রিপোর্ট করবে এবং প্রোগ্রামটি সংশ্লিষ্ট লাইনে শেষ হবে।

একইভাবে, ম্যাট্রিক্সের মধ্যে গুণ এবং যোগ করার ক্রিয়াকলাপগুলি সঞ্চালিত হয়:

ক = ;
B = ones(3);
C=A+B; একই আকারের দুটি ম্যাট্রিকের % যোগ
D=A+5; একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি সংখ্যার % যোগ
E=A*B; ম্যাট্রিক্স A এর B দ্বারা % গুণ
F=B*A; A দ্বারা ম্যাট্রিক্স B এর % গুণ
G=5*A; একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের % গুণ

ইনভার্স ম্যাট্রিক্স গণনা করার ক্রিয়াকলাপ, সেইসাথে ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টর ট্রান্সপোজ করা, নিম্নরূপ লেখা হয়:

a = ; % সারি ভেক্টর
b = a'; % কলাম ভেক্টর দ্বারা গঠিত
সারি ভেক্টরের % স্থানান্তর a.
ক = ; % ম্যাট্রিক্স 3x3 উপাদান
B = a*A; %b= - সারি ভেক্টর
C=A*b; % C = - কলাম ভেক্টর
D = a*A*a'; % D = 45 – সংখ্যা, ম্যাট্রিক্স A এর সমষ্টি
E = A'; % E হল ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স A
F = inv(A); % F - বিপরীত ম্যাট্রিক্স A
G = A^-1; % G - বিপরীত ম্যাট্রিক্স A

উপরের উদাহরণ থেকে, এটি দেখা যায় যে ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টর স্থানান্তরিত করার ক্রিয়াটিকে ' (অ্যাপোস্ট্রোফ) চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্সের নামের পরে স্থাপন করা হয়। ইনভার্স ম্যাট্রিক্সের গণনা inv() ফাংশন কল করে বা ম্যাট্রিক্সকে -1 পাওয়ারে উন্নীত করে করা যেতে পারে। উভয় ক্ষেত্রেই ফলাফল একই হবে এবং বিভিন্ন অ্যালগরিদম প্রয়োগ করার সময় ব্যবহারের সহজতার জন্য দুটি গণনা পদ্ধতি তৈরি করা হয়।

যদি গণনার সময় একটি ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্স উপাদানের উপাদানগুলিকে উপাদান দ্বারা গুণ, ভাগ বা বাড়াতে হয়, তাহলে নিম্নলিখিত অপারেটরগুলি এর জন্য ব্যবহার করা হয়:

.* - উপাদান-ভিত্তিক গুণ;
./ এবং .\ - উপাদান-ভিত্তিক বিভাগ;
.^ - উপাদান-ভিত্তিক ব্যাখ্যা।

নিম্নলিখিত উদাহরণে এই অপারেটরগুলির অপারেশন বিবেচনা করুন।

a = ; % সারি ভেক্টর
b = ; % সারি ভেক্টর
c = a.*b; %c=
A = ones(3); % 3x3 ম্যাট্রিক্স যা নিয়ে গঠিত
বি = ; % ম্যাট্রিক্স 3x3
C = A.*B; % ম্যাট্রিক্স 3x3, গঠিত
D = A./B; % ম্যাট্রিক্স 3x3, গঠিত
E = A.\B; % ম্যাট্রিক্স 3x3, গঠিত
F = A.^2; ম্যাট্রিক্স A উপাদানের বর্গক্ষেত্র

এই বিভাগটি শেষ করতে, কয়েকটি ফাংশন বিবেচনা করুন যা ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করার সময় কার্যকর।

একটি ভেক্টর উপাদানের সর্বাধিক মান খুঁজে পেতে, স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন max() ব্যবহার করা হয়, যা উপাদানটির পাওয়া সর্বাধিক মান এবং এর অবস্থান (সূচক) প্রদান করে:

a = ;
= সর্বোচ্চ(a); % v = 6, i = 2;

v = সর্বোচ্চ(a); %v = 6;

উপরের উদাহরণটি max() ফাংশন কল করার দুটি ভিন্ন উপায় দেখায়। প্রথম ক্ষেত্রে, উপাদানটির সর্বোচ্চ মান এবং ভেক্টরে এর সূচক উভয়ই নির্ধারিত হয় এবং দ্বিতীয়টিতে, শুধুমাত্র উপাদানটির সর্বোচ্চ মান নির্ধারণ করা হয়।

ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, এই ফাংশনটি কলামের সর্বোচ্চ মান নির্ধারণ করে, যেমনটি নীচের উদাহরণে দেখানো হয়েছে:

ক = ;
= সর্বোচ্চ(A); % V=, I=
V = সর্বোচ্চ(A); %V=

ম্যাটল্যাব কমান্ড উইন্ডোতে কমান্ড টাইপ করে max() ফাংশনের সম্পূর্ণ সিনট্যাক্স পাওয়া যাবে

সাহায্য<название функции>

min() ফাংশন একইভাবে কাজ করে, যা একটি ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্স উপাদান এবং এর সূচকের সর্বনিম্ন মান নির্ধারণ করে।

ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরগুলির সাথে কাজ করার জন্য আরেকটি দরকারী ফাংশন হল sum() ফাংশন, যা একটি ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্সের কলামগুলির উপাদানগুলির মানের সমষ্টি গণনা করে:

a = ;
s = যোগফল(a); %s = 3+5+4+2+1=15
ক = ;
S1 = যোগফল(A); %S1=
S2 = যোগফল(সমষ্টি(A)); % S2=39

যোগফল S2 গণনা করার সময়, ম্যাট্রিক্স A এর উপাদানগুলির মানের সমষ্টি প্রথমে কলাম দ্বারা এবং তারপর সারি দ্বারা গণনা করা হয়। ফলস্বরূপ, ভেরিয়েবল S2 এ ম্যাট্রিক্স A এর সমস্ত উপাদানের মানের সমষ্টি রয়েছে।

একটি ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্সের উপাদানের মান ঊর্ধ্বমুখী বা অবরোহী ক্রমে সাজাতে, নিম্নরূপ sort() ফাংশনটি ব্যবহার করুন:

a = ;

b1 = sort(a); %b1=
b2 = sort(a, 'descend'); %b2=
b3 = sort(a, 'accend'); %b3=

ম্যাট্রিক্সের জন্য

ক = ;
B1 = sort(A); %B1=
B2 = sort(A, 'descend'); %B2=

অনেক ব্যবহারিক সমস্যায়, প্রায়ই একটি ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্সে একটি নির্দিষ্ট উপাদান খুঁজে বের করতে হয়। এটি স্ট্যান্ডার্ড find() ফাংশন ব্যবহার করে করা যেতে পারে, যা একটি আর্গুমেন্ট হিসাবে একটি শর্ত নেয় যার অনুযায়ী প্রয়োজনীয় উপাদানগুলি পাওয়া যায়, উদাহরণস্বরূপ:

a = ;
b1 = খুঁজুন(a == 2); %b1 = 4 - উপাদান সূচক 2
b2 = খুঁজুন(a ~= 2); % b2 = - 2 ছাড়া সূচক
b3 = খুঁজুন(a > 3); %b3=

উপরের উদাহরণে, ‘==’ চিহ্নের অর্থ সমতা পরীক্ষা করা, এবং প্রতীক ‘~=’ ভেক্টর a এর উপাদানগুলির মানগুলির অসমতার জন্য একটি পরীক্ষা করে। এই অপারেটর সম্পর্কে আরও বিশদ শর্তাধীন অপারেটর বিভাগে বর্ণিত হবে।

ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করার জন্য আরেকটি দরকারী ফাংশন হল পাটিগণিত গড় গণনার জন্য গড়() ফাংশন, যা এইভাবে কাজ করে:

a = ;
m = গড় (a); %m = 3
ক = ;
M1 = গড় (A); %M1=
M2 = গড় (মান (A)); % M2 = 4.333

সুতরাং, পূর্ববর্তী পাঠে, আমরা ম্যাট্রিক্স যোগ এবং বিয়োগের নিয়মগুলি বিশ্লেষণ করেছি। এগুলি এমনই সহজ অপারেশন যে বেশিরভাগ শিক্ষার্থীরা আক্ষরিক অর্থেই ব্যাট থেকে বুঝতে পারে।

যাইহোক, আপনি তাড়াতাড়ি আনন্দিত. ফ্রিবি শেষ হয়ে গেছে - আসুন গুণে এগিয়ে যাই। আমি এখনই আপনাকে সতর্ক করব: দুটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করা মোটেও একই স্থানাঙ্ক সহ কক্ষের সংখ্যাগুলিকে গুণ করা নয়, যেমন আপনি ভাবতে পারেন। এখানে সবকিছুই অনেক বেশি মজাদার। এবং আপনাকে প্রাথমিক সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করতে হবে।

সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্স

একটি ম্যাট্রিক্সের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল এর আকার। আমরা ইতিমধ্যে এই সম্পর্কে একশ বার কথা বলেছি: $A=\left[ m\times n \right]$ মানে ম্যাট্রিক্সে ঠিক $m$ সারি এবং $n$ কলাম রয়েছে। আমরা ইতিমধ্যে আলোচনা করেছি কিভাবে সারিগুলিকে কলামের সাথে বিভ্রান্ত করা যায় না। এখন অন্য কিছু গুরুত্বপূর্ণ।

সংজ্ঞা। $A=\left[ m\times n \right]$ এবং $B=\left[ n\times k \right]$ ফর্মের ম্যাট্রিক্স, যেখানে প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যা একই দ্বিতীয় সারি সংখ্যা, সামঞ্জস্যপূর্ণ বলা হয়.

আবারও: প্রথম ম্যাট্রিক্সে কলামের সংখ্যা দ্বিতীয়টির সারির সংখ্যার সমান! এটি থেকে আমরা একবারে দুটি উপসংহার পাই:

1. আমরা ম্যাট্রিক্সের ক্রম সম্পর্কে যত্নশীল। উদাহরণস্বরূপ, $A=\left[ 3\times 2 \right]$ এবং $B=\left[ 2\times 5 \right]$ সামঞ্জস্যপূর্ণ (প্রথম ম্যাট্রিক্সে 2টি কলাম এবং দ্বিতীয়টিতে 2টি সারি) , কিন্তু বিপরীতে — ম্যাট্রিক্স $B=\left[ 2\times 5 \right]$ এবং $A=\left[ 3\times 2 \right]$ আর সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় (প্রথম ম্যাট্রিক্সের 5টি কলাম, যেমন এটি ছিল, দ্বিতীয়টিতে 3টি সারি নয়)।
2. আপনি একের পর এক সমস্ত মাত্রা লেখেন কিনা তা পরীক্ষা করা সহজ। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে উদাহরণ ব্যবহার করে: "3 2 2 5" - একই সংখ্যাগুলি মাঝখানে রয়েছে, তাই ম্যাট্রিক্সগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ। কিন্তু "2 5 3 2" একমত নয়, কারণ মাঝখানে বিভিন্ন সংখ্যা রয়েছে।

এছাড়া, ক্যাপ্টেন ইঙ্গিত দিয়েছেন যে একই আকারের $\left[ n\times n \right]$ সর্বদা সামঞ্জস্যপূর্ণ।

গণিতে, যখন বস্তুর গণনার ক্রম গুরুত্বপূর্ণ (উদাহরণস্বরূপ, উপরে আলোচিত সংজ্ঞায়, ম্যাট্রিক্সের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ), তখন কেউ প্রায়শই আদেশযুক্ত জোড়ার কথা বলে। আমরা তাদের সাথে স্কুলে দেখা করেছি: আমি মনে করি এটা কোন চিন্তার বিষয় নয় যে $\left(1;0 \right)$ এবং $\left(0;1 \right)$ সমতলের বিভিন্ন বিন্দুকে সংজ্ঞায়িত করে।

তাই: স্থানাঙ্কগুলিও ক্রমযুক্ত জোড়া, যা সংখ্যা দিয়ে তৈরি। কিন্তু কিছুই আপনাকে এই ধরনের ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে বাধা দেয় না। তারপরে বলা সম্ভব হবে: "একটি ম্যাট্রিক্সের একটি অর্ডারযুক্ত জোড়া $\left(A;B \right)$ সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যা দ্বিতীয়টির সারির সংখ্যার সমান হয়। "

আচ্ছা, তাই কি?

গুণের সংজ্ঞা

দুটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন: $A=\left[ m\times n \right]$ এবং $B=\left[ n\times k \right]$। এবং আমরা তাদের জন্য গুণের অপারেশন সংজ্ঞায়িত করি।

সংজ্ঞা। দুটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্স $A=\left[ m\times n \right]$ এবং $B=\left[ n\times k \right]$ হল নতুন ম্যাট্রিক্স $C=\left[ m\times k \ ডান] $, যার উপাদানগুলি সূত্র অনুসারে গণনা করা হয়:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

এই জাতীয় পণ্যকে আদর্শ উপায়ে চিহ্নিত করা হয়: $C=A\cdot B$।

যারা প্রথমবারের মতো এই সংজ্ঞাটি দেখেন তাদের জন্য অবিলম্বে দুটি প্রশ্ন ওঠে:

1. এটা কি ধরনের বন্য খেলা?
2. কেন এটা এত কঠিন?

ওয়েল, প্রথম জিনিস প্রথম. প্রথম প্রশ্ন দিয়ে শুরু করা যাক। এই সব সূচক মানে কি? এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করার সময় কীভাবে ভুল করবেন না?

প্রথমত, আমরা লক্ষ করি যে $((c)_(i;j))$ গণনার জন্য দীর্ঘ লাইন (বিশেষভাবে সূচকগুলির মধ্যে একটি সেমিকোলন রাখুন যাতে বিভ্রান্ত না হয়, তবে আপনাকে সেগুলি রাখার দরকার নেই। সাধারণ - আমি নিজেই সংজ্ঞায় সূত্রটি টাইপ করতে ক্লান্ত হয়ে পড়েছি) সত্যিই একটি সাধারণ নিয়মে ফুটে উঠেছে:

1. প্রথম ম্যাট্রিক্সে $i$-তম সারি নিন;
2. দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের $j$-তম কলামটি নিন;
3. আমরা সংখ্যার দুটি ক্রম পাই। আমরা এই ক্রমগুলির উপাদানগুলিকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করি এবং তারপরে ফলস্বরূপ পণ্যগুলি যোগ করি।

এই প্রক্রিয়াটি ছবি থেকে বোঝা সহজ:

আবারও: আমরা প্রথম ম্যাট্রিক্সে $i$ সারি, দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সে $j$ কলাম ঠিক করি, উপাদানগুলিকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করি, এবং তারপরে ফলস্বরূপ পণ্যগুলি যোগ করি - আমরা $((c)_(ij) পাই ))$। এবং তাই সকল $1\le i\le m$ এবং $1\le j\le k$. সেগুলো. মোট $m\গুণ k$ এই ধরনের "বিকৃতি" হবে।

প্রকৃতপক্ষে, আমরা ইতিমধ্যেই স্কুলের পাঠ্যক্রমে ম্যাট্রিক্স গুণের সাথে দেখা করেছি, শুধুমাত্র একটি বড় আকারে কাটা হয়েছে। ভেক্টর দেওয়া যাক:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right)। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

তারপরে তাদের স্কেলার পণ্যটি জোড়াযুক্ত পণ্যগুলির সমষ্টি হবে:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

প্রকৃতপক্ষে, সেই দূরবর্তী বছরগুলিতে, যখন গাছগুলি আরও সবুজ এবং আকাশ উজ্জ্বল ছিল, আমরা কেবল সারি ভেক্টর $\overrightarrow(a)$ কে কলাম ভেক্টর $\overrightarrow(b)$ দিয়ে গুণ করেছি।

আজ কিছুই বদলায়নি। এটা শুধু যে এখন এই সারি এবং কলাম ভেক্টর আরো আছে.

কিন্তু যথেষ্ট তত্ত্ব! এর বাস্তব উদাহরণ তাকান. এবং এর সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে শুরু করা যাক - বর্গ ম্যাট্রিক্স।

বর্গ ম্যাট্রিক্সের গুণন

কাজ 1. গুণন সম্পাদন করুন:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 এবং 4 \\ 3 এবং 1 \\\end(অ্যারে) \right]\]

সমাধান। সুতরাং, আমাদের দুটি ম্যাট্রিক্স আছে: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ এবং $B=\left[ 2\times 2 \right]$। এটা স্পষ্ট যে তারা সামঞ্জস্যপূর্ণ (একই আকারের বর্গ ম্যাট্রিক্স সর্বদা সামঞ্জস্যপূর্ণ)। তাই আমরা গুণন করি:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 এবং 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 এবং -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ শেষ(অ্যারে)\right]। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এখানেই শেষ!

উত্তর: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$।

কাজ 2. গুণন সম্পাদন করুন:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 এবং 6 \\ -3 এবং -2 \\\শেষ(অ্যারে) \right]\]

সমাধান। আবার, সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্স, তাই আমরা নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করি:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( r)) 9 এবং 6 \\ -3 এবং -2 \\\end(অ্যারে) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ বাম(-3 \ডান) এবং 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) এবং 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right] . \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ফলাফলটি শূন্য দিয়ে ভরা একটি ম্যাট্রিক্স

উত্তর: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$।

উপরের উদাহরণগুলি থেকে, এটা স্পষ্ট যে ম্যাট্রিক্স গুণন এমন একটি জটিল অপারেশন নয়। কমপক্ষে 2 বাই 2 বর্গ ম্যাট্রিসের জন্য।

গণনার প্রক্রিয়াতে, আমরা একটি মধ্যবর্তী ম্যাট্রিক্স সংকলন করেছি, যেখানে আমরা একটি নির্দিষ্ট ঘরে কোন সংখ্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে তা সরাসরি অঙ্কিত করেছি। বাস্তব সমস্যার সমাধান করার সময় এটি ঠিক করা উচিত।

ম্যাট্রিক্স পণ্যের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

সংক্ষেপে. ম্যাট্রিক্স গুণন:

1. অ-পরিবর্তনমূলক: $A\cdot B\ne B\cdot A$ সাধারণভাবে। অবশ্যই, বিশেষ ম্যাট্রিক্স রয়েছে যার জন্য সমতা $A\cdot B=B\cdot A$ (উদাহরণস্বরূপ, যদি $B=E$ হয় পরিচয় ম্যাট্রিক্স), কিন্তু বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি কাজ করে না ;
2. সহযোগী: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$। এখানে কোন বিকল্প নেই: এই দুটি ম্যাট্রিসের বাম এবং ডানদিকে কী আছে তা নিয়ে চিন্তা না করেই সন্নিহিত ম্যাট্রিক্সগুলিকে গুণ করা যেতে পারে।
3. বিতরণমূলকভাবে: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ এবং $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

এবং এখন - সব একই, কিন্তু আরো বিস্তারিতভাবে।

ম্যাট্রিক্স গুণ অনেকটা ক্লাসিক্যাল সংখ্যা গুণনের মতো। কিন্তু পার্থক্য আছে, যার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হল এটি ম্যাট্রিক্স গুন হল, সাধারণভাবে বলতে গেলে, নন-কমিউটেটিভ.

সমস্যা 1 থেকে ম্যাট্রিক্স আবার বিবেচনা করুন। আমরা ইতিমধ্যে তাদের সরাসরি পণ্য জানি:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 এবং 4 \\ 3 এবং 1 \\\end(অ্যারে) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 এবং 6 \\ 18 & -8 \\\end(অ্যারে) \right]\]

কিন্তু যদি আমরা ম্যাট্রিক্স অদলবদল করি, তাহলে আমরা সম্পূর্ণ ভিন্ন ফলাফল পাই:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 এবং 2 \\ -3 এবং 4 \\\end(অ্যারে) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(ম্যাট্রিক্স )\ঠিক]\]

দেখা যাচ্ছে যে $A\cdot B\ne B\cdot A$। এছাড়াও, গুণন ক্রিয়াটি কেবলমাত্র সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্স $A=\left[ m\times n \right]$ এবং $B=\left[ n\times k \right]$ এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, কিন্তু কেউ গ্যারান্টি দেয়নি যে তারা থাকবে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যদি তারা অদলবদল হয়। উদাহরণস্বরূপ, $\left[ 2\times 3 \right]$ এবং $\left[ 3\times 5 \right]$ এই ক্রমে বেশ সামঞ্জস্যপূর্ণ, কিন্তু একই ম্যাট্রিক্স $\left[ 3\times 5 \ right] $ এবং $\left[ 2\times 3 \right]$ বিপরীত ক্রমে লেখা আর মেলে না। দুঃখ :(

একটি প্রদত্ত আকার $n$ এর বর্গ ম্যাট্রিক্সের মধ্যে, সর্বদা এমন কিছু থাকবে যা সরাসরি এবং বিপরীত ক্রমে গুণ করলে একই ফলাফল দেয়। এই ধরনের সমস্ত ম্যাট্রিক্স কীভাবে বর্ণনা করবেন (এবং সাধারণভাবে তাদের কতগুলি) একটি পৃথক পাঠের বিষয়। আজ আমরা এটি সম্পর্কে কথা বলব না। :)

যাইহোক, ম্যাট্রিক্স গুণন সহযোগী:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

অতএব, যখন আপনাকে একবারে একটি সারিতে বেশ কয়েকটি ম্যাট্রিক্স গুণ করতে হবে, এটি সময়ের আগে করা মোটেই প্রয়োজনীয় নয়: এটি বেশ সম্ভব যে কিছু সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স, যখন গুণ করা হয়, একটি আকর্ষণীয় ফলাফল দেয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স, যেমন সমস্যা 2 উপরে আলোচনা করা হয়েছে।

বাস্তব সমস্যায়, প্রায়শই একজনকে $\left[ n\times n \right]$ আকারের বর্গ ম্যাট্রিক্স গুণ করতে হয়। এই ধরনের সমস্ত ম্যাট্রিক্সের সেট $((M)^(n))$ (অর্থাৎ, $A=\left[ n\times n \right]$ এবং \ এর অর্থ একই জিনিস) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এটি হবে নিশ্চিতভাবে ম্যাট্রিক্স $E$ থাকে, যাকে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

সংজ্ঞা। $n$ আকারের আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স হল একটি ম্যাট্রিক্স $E$ যাতে যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স $A=\left[ n\times n \right]$ এর জন্য সমতা থাকে:

এই জাতীয় ম্যাট্রিক্স সর্বদা একই দেখায়: এর প্রধান তির্যকটিতে একক রয়েছে এবং অন্যান্য সমস্ত কোষে শূন্য রয়েছে।

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C। \\ \end(align)\]

অন্য কথায়, যদি আপনাকে একটি ম্যাট্রিক্সকে অন্য দুটির যোগফল দ্বারা গুণ করতে হয়, তাহলে আপনি এই "অন্য দুটি" এর প্রতিটি দিয়ে গুণ করতে পারেন এবং তারপর ফলাফল যোগ করতে পারেন। অনুশীলনে, আপনাকে সাধারণত বিপরীত ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে হবে: আমরা একই ম্যাট্রিক্স লক্ষ্য করি, এটি বন্ধনী থেকে বের করি, সংযোজন করি এবং এর ফলে আমাদের জীবনকে সহজ করে তোলে। :)

লক্ষ্য করুন যে বন্টন বর্ণনা করার জন্য, আমাদের দুটি সূত্র লিখতে হয়েছিল: যেখানে যোগফলটি দ্বিতীয় ফ্যাক্টর এবং যেখানে যোগফল প্রথমটিতে রয়েছে। এটি সঠিকভাবে এই কারণে যে ম্যাট্রিক্স গুণনটি অ-পরিবর্তনমূলক (এবং সাধারণভাবে, নন-কমিউটেটিভ বীজগণিতে, এমন অনেক ধরণের রসিকতা রয়েছে যা সাধারণ সংখ্যার সাথে কাজ করার সময়ও মনে আসে না)। এবং যদি, উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষার সময় আপনাকে এই সম্পত্তিটি লিখতে হবে, তবে উভয় সূত্র লিখতে ভুলবেন না, অন্যথায় শিক্ষক একটু রেগে যেতে পারেন।

ঠিক আছে, এগুলো সবই ছিল বর্গাকার ম্যাট্রিস সম্পর্কে রূপকথার গল্প। আয়তক্ষেত্র সম্পর্কে কি?

আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে

কিন্তু কিছুই না - সবকিছুই বর্গক্ষেত্রের মতোই।

টাস্ক 3. গুণন সম্পাদন করুন:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(ম্যাট্রিক্স) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 এবং 5 \\ 3 এবং 4 \\\end(অ্যারে) \right]\]

সমাধান। আমাদের দুটি ম্যাট্রিক্স আছে: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ এবং $B=\left[ 2\times 2 \right]$। একটি সারিতে আকার নির্দেশ করে সংখ্যাগুলি লিখি:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কেন্দ্রীয় দুটি সংখ্যা একই। এর মানে হল যে ম্যাট্রিক্সগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং সেগুলিকে গুণ করা যেতে পারে। এবং আউটপুটে আমরা $C=\left[ 3\times 2 \right]$ ম্যাট্রিক্স পাই:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(ম্যাট্রিক্স) \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 এবং 5 \\ 3 এবং 4 \\\end(অ্যারে) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 এবং 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 এবং 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 এবং 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(অ্যারে) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\শেষ(অ্যারে)\right]। \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

সবকিছু পরিষ্কার: চূড়ান্ত ম্যাট্রিক্সে 3টি সারি এবং 2টি কলাম রয়েছে। বেশ $=\left[ 3\time 2 \right]$।

উত্তর: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(অ্যারে) & \begin(ম্যাট্রিক্স) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \\\end(অ্যারে) \right]$।

এখন যারা সবেমাত্র ম্যাট্রিক্স নিয়ে কাজ শুরু করছেন তাদের জন্য সেরা প্রশিক্ষণের একটি কাজ বিবেচনা করুন। এটিতে, আপনাকে কেবল দুটি ট্যাবলেট গুণ করতে হবে না, তবে প্রথমে নির্ধারণ করতে হবে: এই জাতীয় গুণন কি জায়েজ?

সমস্যা 4. ম্যাট্রিক্সের সমস্ত সম্ভাব্য পেয়ারওয়াইজ পণ্য খুঁজুন:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(ম্যাট্রিক্স) \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$।

সমাধান। প্রথমে, ম্যাট্রিক্সের মাত্রাগুলি লিখি:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

আমরা পেয়েছি যে ম্যাট্রিক্স $A$ শুধুমাত্র ম্যাট্রিক্স $B$ এর সাথে মিলিত হতে পারে, যেহেতু $A$-এ কলামের সংখ্যা 4, এবং শুধুমাত্র $B$-এ এই সংখ্যক সারি রয়েছে। অতএব, আমরা পণ্যটি খুঁজে পেতে পারি:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ বাম[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(অ্যারে) \right]\]

আমি পরামর্শ দিচ্ছি যে পাঠক তাদের নিজস্ব মধ্যবর্তী পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করুন। আমি শুধুমাত্র নোট করব যে ফলাফলের ম্যাট্রিক্সের আকার আগে থেকে নির্ধারণ করা ভাল, এমনকি কোনো গণনার আগেও:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

অন্য কথায়, আমরা কেবল "ট্রানজিশনাল" সহগগুলি সরিয়ে ফেলি যা ম্যাট্রিক্সের ধারাবাহিকতা নিশ্চিত করে।

অন্যান্য বিকল্প কি সম্ভব? $B\cdot A$ খুঁজে পাওয়া অবশ্যই সম্ভব, যেহেতু $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, তাই অর্ডার করা জোড়া $\ left(B ;A \right)$ সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং পণ্যের মাত্রা হবে:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

সংক্ষেপে, আউটপুট হবে একটি ম্যাট্রিক্স $\left[ 4\times 4 \right]$, যার সহগ গণনা করা সহজ:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ বাম[ \begin(অ্যারে)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 এবং -8 \\\শেষ(অ্যারে) \right]\]

স্পষ্টতই, আপনি $C\cdot A$ এবং $B\cdot C$ এর সাথেও মিলতে পারেন, এবং এটাই। অতএব, আমরা কেবল ফলস্বরূপ পণ্যগুলি লিখি:

এটা সহজ ছিল.:)

উত্তর: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(অ্যারে) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \ right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(অ্যারে) \right]$।

সাধারণভাবে, আমি এই কাজটি নিজে করার পরামর্শ দিই। এবং একই রকম আরেকটি কাজ যা হোমওয়ার্কে। এই আপাতদৃষ্টিতে সহজ চিন্তাগুলি আপনাকে ম্যাট্রিক্স গুণনের সমস্ত মূল ধাপগুলি বের করতে সাহায্য করবে।

কিন্তু গল্প সেখানেই শেষ হয় না। আসুন গুণনের বিশেষ ক্ষেত্রে এগিয়ে যাই। :)

সারি ভেক্টর এবং কলাম ভেক্টর

সবচেয়ে সাধারণ ম্যাট্রিক্স অপারেশনগুলির মধ্যে একটি হল একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করা যার একটি সারি বা একটি কলাম রয়েছে।

সংজ্ঞা। একটি কলাম ভেক্টর হল একটি $\left[ m\times 1 \right]$ ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ কয়েকটি সারি এবং শুধুমাত্র একটি কলাম নিয়ে গঠিত।

একটি সারি ভেক্টর হল $\left[ 1\times n \right]$ আকারের একটি ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ এক সারি এবং একাধিক কলাম নিয়ে গঠিত।

আসলে, আমরা ইতিমধ্যে এই বস্তুর সাথে দেখা হয়েছে. উদাহরণস্বরূপ, স্টেরিওমেট্রি $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ থেকে একটি সাধারণ ত্রিমাত্রিক ভেক্টর একটি সারি ভেক্টর ছাড়া কিছুই নয়। তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে, সারি এবং কলামের মধ্যে প্রায় কোনও পার্থক্য নেই। আশেপাশের গুণক ম্যাট্রিক্সের সাথে সমন্বয় করার সময় আপনাকে সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে।

টাস্ক 5. গুণ করুন:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \ right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(অ্যারে) \right]\]

সমাধান। আমাদের সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্সের একটি পণ্য আছে: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$। এই টুকরা খুঁজুন:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \ right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(অ্যারে) \right]\]

উত্তর: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$।

কাজ 6. গুণন সম্পাদন করুন:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \ right]\]

সমাধান। আবার সবকিছু সামঞ্জস্যপূর্ণ: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$। আমরা কাজ বিবেচনা করি:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(অ্যারে) \right]\]

উত্তর: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, যখন একটি সারি ভেক্টর এবং একটি কলাম ভেক্টরকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করা হয়, আউটপুটটি সর্বদা একই আকারের একটি সারি বা কলাম হয়। এই সত্যটির অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে - রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করা থেকে শুরু করে সমস্ত ধরণের সমন্বয় রূপান্তর পর্যন্ত (যা শেষ পর্যন্ত সমীকরণের সিস্টেমগুলিতেও নেমে আসে, তবে আসুন দুঃখজনক বিষয়গুলি নিয়ে কথা বলি না)।

আমি মনে করি এখানে সবকিছু স্পষ্ট ছিল। চলুন আজকের পাঠের শেষ অংশে যাওয়া যাক।

ম্যাট্রিক্স সূচক

সমস্ত গুণের ক্রিয়াকলাপের মধ্যে, সূচক বিশেষ মনোযোগের দাবি রাখে - এটি তখনই যখন আমরা একই বস্তুকে নিজে থেকে কয়েকবার গুণ করি। ম্যাট্রিক্স কোন ব্যতিক্রম নয়, এগুলিকে বিভিন্ন ডিগ্রিতেও উন্নীত করা যেতে পারে।

এই ধরনের কাজ সবসময় সমন্বিত হয়:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

এবং এগুলি সাধারণ ডিগ্রির মতো একইভাবে মনোনীত করা হয়েছে:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n))। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

প্রথম নজরে, সবকিছু সহজ। চলুন দেখি এটি অনুশীলনে কেমন দেখায়:

টাস্ক 7. ম্যাট্রিক্সকে নির্দিষ্ট শক্তিতে বাড়ান:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

সমাধান। ঠিক আছে, এর নির্মাণ করা যাক. প্রথমে এটি বর্গক্ষেত্র করা যাক:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix) ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\শেষ(অ্যারে) \right] \end(সারিবদ্ধ)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin) (ম্যাট্রিক্স) 1 এবং 1 \\ 0 এবং 1 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 এবং 1 \\ 0 এবং 1 \\\end( ম্যাট্রিক্স) \right] = \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(ম্যাট্রিক্স) 1 এবং 1 \\ 0 এবং 1 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 এবং 3 \\ 0 এবং 1 \\\শেষ(অ্যারে) \right] \end(সারিবদ্ধ)\]

এখানেই শেষ.:)

উত্তর: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$।

সমস্যা 8. ম্যাট্রিক্সকে নির্দিষ্ট শক্তিতে বাড়ান:

\[(\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

সমাধান। "ডিগ্রী খুব বেশি", "বিশ্ব ন্যায্য নয়" এবং "শিক্ষকরা তাদের ব্যাঙ্ক পুরোপুরি হারিয়ে ফেলেছেন" এই সত্যটি নিয়ে এখন কাঁদবেন না। আসলে, সবকিছু সহজ:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (ম্যাট্রিক্স) 1 এবং 1 \\ 0 এবং 1 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \\begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(ম্যাট্রিক্স) 1 ও 3 \\ 0 এবং 1 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right]\cdot \left[ \\begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \ right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 এবং 4 \\ 0 এবং 1 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right] = \\ & =\left[ \\ শুরু(ম্যাট্রিক্স) 1 এবং 10 \\ 0 এবং 1 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right] \end(সারিবদ্ধ)\ ]

মনে রাখবেন যে দ্বিতীয় লাইনে আমরা গুণন সহযোগিতা ব্যবহার করেছি। আসলে, আমরা এটি পূর্ববর্তী টাস্কে ব্যবহার করেছি, কিন্তু সেখানে এটি অন্তর্নিহিত ছিল।

উত্তর: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি ম্যাট্রিক্সকে শক্তিতে উন্নীত করার ক্ষেত্রে জটিল কিছু নেই। শেষ উদাহরণটি সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে:

\[(\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n)=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(অ্যারে) \right]\]

এই সত্যটি গাণিতিক আবেশ বা সরাসরি গুণের মাধ্যমে প্রমাণ করা সহজ। যাইহোক, শক্তিতে উত্থাপন করার সময় এই জাতীয় নিদর্শনগুলি ধরা সবসময় সম্ভব নয়। অতএব, সতর্কতা অবলম্বন করুন: সেখানে কিছু নিদর্শন খোঁজার চেয়ে অনেকগুলি ম্যাট্রিক্স "খালি" গুণ করা প্রায়শই সহজ এবং দ্রুত।

সাধারণভাবে, যেখানে কোনটি নেই সেখানে উচ্চতর অর্থের সন্ধান করবেন না। অবশেষে, আসুন একটি বৃহত্তর ম্যাট্রিক্সের সূচক বিবেচনা করা যাক - যতটা $\left[ 3\times 3 \right]$।

সমস্যা 9. ম্যাট্রিক্সকে নির্দিষ্ট শক্তিতে বাড়ান:

\[(\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

সমাধান। চলুন নিদর্শন জন্য তাকান না. আমরা "এর মাধ্যমে" কাজ করি:

\[(\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (ম্যাট্রিক্স)0 এবং 1 এবং 1 \\ 1 এবং 0 এবং 1 \\ 1 এবং 1 এবং 0 \\\end(ম্যাট্রিক্স) \right]\]

এই ম্যাট্রিক্স স্কোয়ার করে শুরু করা যাক:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \ right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

এখন কিউব করা যাক:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \ right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \ right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( বিন্যাস

এখানেই শেষ. সমস্যা সমাধান.

উত্তর: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, গণনার পরিমাণ বড় হয়েছে, তবে অর্থটি মোটেও পরিবর্তিত হয়নি। :)

এই পাঠ শেষ হতে পারে. পরের বার আমরা বিপরীত ক্রিয়াকলাপ বিবেচনা করব: আমরা বিদ্যমান পণ্যটি ব্যবহার করে মূল গুণকের সন্ধান করব।

আপনি সম্ভবত ইতিমধ্যে অনুমান করেছেন, আমরা বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং এটি খুঁজে বের করার পদ্ধতি সম্পর্কে কথা বলব।