y 1 2 x ফাংশনের অধ্যয়ন খুঁজুন। কুজনেটসভ এল এর সংগ্রহ থেকে সমস্যা

যদি টাস্কে এটির গ্রাফ নির্মাণের সাথে f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 ফাংশনটির সম্পূর্ণ অধ্যয়ন করা প্রয়োজন, তবে আমরা এই নীতিটি বিশদভাবে বিবেচনা করব।

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য, একজনকে প্রধান প্রাথমিক ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ ব্যবহার করা উচিত। গবেষণা অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অন্তর্ভুক্ত করে:

সংজ্ঞার ডোমেইন খোঁজা

যেহেতু গবেষণা ফাংশনের ডোমেনে বাহিত হয়, তাই এই ধাপটি দিয়ে শুরু করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 1

প্রদত্ত উদাহরণে ডিপিভি থেকে বাদ দেওয়ার জন্য হর-এর শূন্য খুঁজে বের করা জড়িত।

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ফলস্বরূপ, আপনি রুট, লগারিদম এবং তাই পেতে পারেন। অতঃপর ODZ অসমতা g (x) ≥ 0 দ্বারা টাইপ g (x) 4 এর একটি সমান ডিগ্রির মূলের জন্য অনুসন্ধান করা যেতে পারে, লগারিদম লগের জন্য একটি g (x) অসমতা g (x) > 0 দ্বারা।

ODZ সীমানাগুলির তদন্ত এবং উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটগুলি সন্ধান করা

ফাংশনের সীমারেখায় উল্লম্ব উপসর্গ থাকে, যখন এই ধরনের বিন্দুতে একতরফা সীমা অসীম হয়।

উদাহরণ 2

উদাহরণস্বরূপ, x = ± 1 2 এর সমান সীমানা বিন্দু বিবেচনা করুন।

তারপর একতরফা সীমা খুঁজে বের করার জন্য ফাংশন অধ্যয়ন করা প্রয়োজন। তাহলে আমরা পাই: লিম x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ লিম x → - 1 2 + 0 f (x) = লিম x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = লিম x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ লিম x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = লিম x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ লিম x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

এটি দেখায় যে একতরফা সীমা অসীম, যার মানে রেখাগুলি x = ± 1 2 হল গ্রাফের উল্লম্ব উপসর্গ।

ফাংশনের তদন্ত এবং জোড় বা বিজোড়ের জন্য

যখন শর্ত y (- x) = y (x) পূরণ করা হয়, ফাংশনটি জোড় হিসাবে বিবেচিত হয়। এটি প্রস্তাব করে যে গ্রাফটি O y এর সাপেক্ষে প্রতিসমভাবে অবস্থিত। শর্ত y (- x) = - y (x) পূরণ হলে, ফাংশনটি বিজোড় হিসাবে বিবেচিত হয়। এর মানে হল যে প্রতিসাম্য স্থানাঙ্কের উত্সের সাথে যায়। যদি অন্তত একটি অসমতা ব্যর্থ হয়, আমরা সাধারণ ফর্মের একটি ফাংশন প্রাপ্ত করি।

সমতা y (- x) = y (x) এর পূর্ণতা নির্দেশ করে যে ফাংশনটি জোড়। নির্মাণ করার সময়, এটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যে O y এর সাথে প্রতিসাম্য থাকবে।

অসমতা সমাধানের জন্য, বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধানগুলি যথাক্রমে f "(x) ≥ 0 এবং f" (x) ≤ 0 শর্তগুলির সাথে ব্যবহার করা হয়।

সংজ্ঞা 1

স্থির পয়েন্টএমন বিন্দু যা ডেরিভেটিভকে শূন্যে পরিণত করে।

সমালোচনামূলক পয়েন্টডোমেনের অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট যেখানে ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই।

সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময়, নিম্নলিখিত বিষয়গুলি বিবেচনায় নেওয়া উচিত:

• f "(x) > 0 ফর্মের অসমতার বৃদ্ধি এবং হ্রাসের বিদ্যমান ব্যবধানের জন্য, সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয় না;
• যে বিন্দুতে ফাংশনটি একটি সসীম ডেরিভেটিভ ছাড়া সংজ্ঞায়িত করা হয় সেগুলি অবশ্যই বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ, y \u003d x 3, যেখানে বিন্দু x \u003d 0 ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করে, ডেরিভেটিভের অসীমতার মান রয়েছে এই সময়ে, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 বৃদ্ধির ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে);
• মতবিরোধ এড়ানোর জন্য, গাণিতিক সাহিত্য ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়, যা শিক্ষা মন্ত্রক দ্বারা সুপারিশ করা হয়।

ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাসের ব্যবধানে গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলির অন্তর্ভুক্তি যদি তারা ফাংশনের ডোমেনকে সন্তুষ্ট করে।

সংজ্ঞা 2

জন্য ফাংশনের বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান নির্ধারণ করে, এটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন:

• অমৌলিক;
• সমালোচনামূলক পয়েন্ট;
• গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টের সাহায্যে সংজ্ঞার ডোমেইনকে বিরতিতে ফেলুন;
• প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করুন, যেখানে + একটি বৃদ্ধি এবং - একটি হ্রাস।

উদাহরণ 3

ডোমেনে ডেরিভেটিভ খুঁজুন f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2

সমাধান

সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন:

• স্থির বিন্দু খুঁজুন, এই উদাহরণে x = 0 আছে;
• হর এর শূন্য খুঁজে বের করুন, উদাহরণটি x = ± 1 2 এ শূন্যের মান নেয়।

প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভ নির্ধারণ করতে আমরা সংখ্যাসূচক অক্ষের বিন্দুগুলি প্রকাশ করি। এটি করার জন্য, ব্যবধান থেকে যে কোনও পয়েন্ট নেওয়া এবং একটি গণনা করা যথেষ্ট। ফলাফলটি ইতিবাচক হলে, আমরা গ্রাফে + আঁকি, যার অর্থ ফাংশন বৃদ্ধি, এবং - এর অর্থ হ্রাস।

উদাহরণস্বরূপ, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, যার অর্থ বাম দিকের প্রথম ব্যবধানে একটি + চিহ্ন রয়েছে৷ সংখ্যাটি বিবেচনা করুন লাইন

উত্তর:

• ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায় - ∞ ; - 1 2 এবং (- 1 2 ; 0 ] ;
• ব্যবধান একটি হ্রাস আছে [ 0 ; 1 2) এবং 1 2 ; +∞।

ডায়াগ্রামে, + এবং - ব্যবহার করে, ফাংশনের ইতিবাচকতা এবং নেতিবাচকতা চিত্রিত করা হয়েছে, এবং তীরগুলি হ্রাস এবং বৃদ্ধি নির্দেশ করে।

একটি ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি হল সেই বিন্দু যেখানে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং যার মাধ্যমে ডেরিভেটিভ পরিবর্তনগুলি সাইন করে।

উদাহরণ 4

যদি আমরা একটি উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে x \u003d 0, তাহলে এতে ফাংশনের মান হল f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0। যখন ডেরিভেটিভের চিহ্নটি + থেকে - থেকে পরিবর্তিত হয় এবং x \u003d 0 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তখন স্থানাঙ্ক সহ বিন্দুটি (0; 0) সর্বাধিক বিন্দু হিসাবে বিবেচিত হয়। যখন চিহ্নটি - থেকে + এ পরিবর্তিত হয়, তখন আমরা সর্বনিম্ন পয়েন্ট পাই।

উত্তল এবং অবতলতা নির্ধারণ করা হয় f "" (x) ≥ 0 এবং f "" (x) ≤ 0 ফর্মের অসমতা সমাধান করে। কম প্রায়ই তারা অবতলতার পরিবর্তে bulge down নামটি ব্যবহার করে এবং bulge এর পরিবর্তে bulge up ব্যবহার করে।

সংজ্ঞা 3

জন্য অবতলতা এবং উত্তলতার ফাঁক নির্ণয় করাপ্রয়োজনীয়:

• দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন;
• দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের ফাংশনের শূন্য খুঁজুন;
• ব্যবধানে প্রদর্শিত পয়েন্টগুলি দ্বারা সংজ্ঞার ডোমেনটি ভাঙ্গুন;
• ফাঁকের চিহ্ন নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ 5

সংজ্ঞার ডোমেন থেকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

সমাধান

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

আমরা লব এবং হর এর শূন্য খুঁজে পাই, যেখানে, আমাদের উদাহরণ ব্যবহার করে, আমাদের কাছে আছে যে হর x = ± 1 2

এখন আপনাকে সংখ্যা রেখায় বিন্দু স্থাপন করতে হবে এবং প্রতিটি ব্যবধান থেকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করতে হবে। আমরা যে পেতে

উত্তর:

• ফাংশনটি ব্যবধান থেকে উত্তল - 1 2 ; 12;
• ফাংশনটি ফাঁক থেকে অবতল - ∞ ; - 1 2 এবং 1 2 ; +∞।

সংজ্ঞা 4

আনতি বিন্দু x 0 ফর্মের একটি বিন্দু; f(x0)। যখন এটির ফাংশনের গ্রাফের একটি স্পর্শক থাকে, তখন এটি যখন x 0 এর মধ্য দিয়ে যায়, তখন ফাংশনটি বিপরীত চিহ্নে পরিবর্তন করে।

অন্য কথায়, এটি এমন একটি বিন্দু যার মধ্য দিয়ে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পাস করে এবং চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং বিন্দুতে নিজেই শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই। সমস্ত পয়েন্ট ফাংশনের ডোমেন হিসাবে বিবেচিত হয়।

উদাহরণে, এটি দেখা গেছে যে কোন প্রবর্তন বিন্দু নেই, যেহেতু দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন x = ± 1 2 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময়। তারা, ঘুরে, সংজ্ঞা ডোমেইন অন্তর্ভুক্ত করা হয় না.

অনুভূমিক এবং তির্যক অ্যাসিম্পটোটস খোঁজা

অনন্তে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার সময়, একজনকে অবশ্যই অনুভূমিক এবং তির্যক অ্যাসিম্পটোটস সন্ধান করতে হবে।

সংজ্ঞা 5

তির্যক উপসর্গ y = k x + b সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত রেখাগুলি ব্যবহার করে আঁকা হয়, যেখানে k = lim x → ∞ f (x) x এবং b = lim x → ∞ f (x) - k x।

k = 0 এবং b অসীমের সমান না হলে, আমরা দেখতে পাই যে তির্যক অ্যাসিম্পটোট হয়ে গেছে অনুভূমিক.

অন্য কথায়, অ্যাসিম্পটোটগুলি হল সেই লাইনগুলি যেগুলি ফাংশনের গ্রাফটি অসীমতার কাছে আসে। এটি ফাংশনের গ্রাফের দ্রুত নির্মাণে অবদান রাখে।

যদি কোন উপসর্গ না থাকে, কিন্তু ফাংশনটি উভয় অসীমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে ফাংশনের গ্রাফটি কীভাবে আচরণ করবে তা বোঝার জন্য এই অসীমগুলিতে ফাংশনের সীমা গণনা করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 6

একটি উদাহরণ হিসাবে, এটি বিবেচনা করুন

k = লিম x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

একটি অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট। ফাংশন গবেষণা করার পরে, আপনি এটি নির্মাণ শুরু করতে পারেন।

মধ্যবর্তী পয়েন্টে একটি ফাংশনের মান গণনা করা

প্লটিংটিকে সবচেয়ে নির্ভুল করতে, মধ্যবর্তী পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের বেশ কয়েকটি মান খুঁজে বের করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

উদাহরণ 7

আমরা যে উদাহরণটি বিবেচনা করেছি তা থেকে, x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 বিন্দুতে ফাংশনের মানগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন। যেহেতু ফাংশনটি জোড়, আমরা পাই যে মানগুলি এই পয়েন্টগুলিতে মানগুলির সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ, আমরা x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 পাই।

আসুন লিখি এবং সমাধান করি:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

ফাংশন, ইনফ্লেকশন পয়েন্ট, ইন্টারমিডিয়েট পয়েন্টের ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা নির্ধারণ করতে, অ্যাসিম্পটোটস তৈরি করা প্রয়োজন। সুবিধাজনক উপাধির জন্য, বৃদ্ধি, হ্রাস, উত্তল, অবতলতার ব্যবধানগুলি নির্দিষ্ট করা হয়। নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।

চিহ্নিত পয়েন্টগুলির মাধ্যমে গ্রাফ লাইনগুলি আঁকতে হবে, যা আপনাকে তীরগুলি অনুসরণ করে অ্যাসিম্পটোটের কাছাকাছি যেতে দেবে।

এটি ফাংশনের সম্পূর্ণ অধ্যয়ন শেষ করে। কিছু প্রাথমিক ফাংশন নির্মাণের ক্ষেত্রে রয়েছে যার জন্য জ্যামিতিক রূপান্তর ব্যবহার করা হয়।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

কিছু সময়ের জন্য, TheBat-এ (কী কারণে এটি পরিষ্কার নয়), SSL-এর জন্য অন্তর্নির্মিত সার্টিফিকেট ডাটাবেস সঠিকভাবে কাজ করা বন্ধ করে দিয়েছে।

পোস্ট চেক করার সময়, একটি ত্রুটি পপ আপ হয়:

অজানা CA শংসাপত্র
সার্ভারটি সেশনে একটি রুট শংসাপত্র উপস্থাপন করেনি এবং সংশ্লিষ্ট রুট শংসাপত্র ঠিকানা বইতে পাওয়া যায়নি৷
এই সংযোগ গোপন হতে পারে না. অনুগ্রহ
আপনার সার্ভার প্রশাসকের সাথে যোগাযোগ করুন।

এবং এটি উত্তরগুলির একটি পছন্দ দেওয়া হয় - হ্যাঁ / না৷ এবং তাই প্রতিবার আপনি মেইল ​​অঙ্কুর.

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, আপনাকে TheBat-এ Microsoft CryptoAPI-এর সাথে S/MIME এবং TLS বাস্তবায়ন মান প্রতিস্থাপন করতে হবে!

যেহেতু আমার সমস্ত ফাইল একত্রিত করার প্রয়োজন ছিল, তাই আমি প্রথমে সমস্ত ডক ফাইলকে একটি একক পিডিএফ ফাইলে রূপান্তর করেছি (অ্যাক্রোব্যাট প্রোগ্রাম ব্যবহার করে), এবং তারপর একটি অনলাইন কনভার্টারের মাধ্যমে এটিকে fb2 এ স্থানান্তরিত করেছি। আপনি পৃথকভাবে ফাইল রূপান্তর করতে পারেন. বিন্যাস একেবারে যে কোনো (উৎস) এবং ডক, এবং jpg, এমনকি জিপ সংরক্ষণাগার হতে পারে!

সাইটের নাম সারাংশের সাথে মিলে যায় :) অনলাইন ফটোশপ।

আপডেট মে 2015

আমি আরেকটি মহান সাইট খুঁজে পেয়েছি! একটি সম্পূর্ণ নির্বিচারে কোলাজ তৈরি করার জন্য আরও সুবিধাজনক এবং কার্যকরী! এই সাইটটি হল http://www.fotor.com/ru/collage/। স্বাস্থ্যের উপর ব্যবহার করুন। এবং আমি নিজে ব্যবহার করব।

বৈদ্যুতিক চুলা মেরামত সঙ্গে জীবনের সম্মুখীন. আমি ইতিমধ্যে অনেক কিছু করেছি, অনেক কিছু শিখেছি, কিন্তু টাইলসের সাথে আমার কিছু করার ছিল না। নিয়ন্ত্রক এবং বার্নারগুলিতে পরিচিতিগুলি প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন ছিল। প্রশ্ন উঠেছে - বৈদ্যুতিক চুলায় বার্নারের ব্যাস কীভাবে নির্ধারণ করবেন?

উত্তর সহজ হতে পরিণত. কিছু পরিমাপ করার প্রয়োজন নেই, আপনি শান্তভাবে চোখের দ্বারা নির্ধারণ করতে পারেন আপনার কি আকার প্রয়োজন।

সবচেয়ে ছোট বার্নারহল 145 মিলিমিটার (14.5 সেন্টিমিটার)

মাঝারি বার্নার 180 মিলিমিটার (18 সেন্টিমিটার)।

এবং অবশেষে সবচেয়ে বড় বার্নার 225 মিলিমিটার (22.5 সেন্টিমিটার)।

এটি চোখের দ্বারা আকার নির্ধারণ এবং আপনি একটি বার্নার প্রয়োজন কি ব্যাস বুঝতে যথেষ্ট যথেষ্ট। যখন আমি এটা জানতাম না, তখন আমি এই মাপগুলো নিয়ে উড্ডয়ন করছিলাম, আমি জানতাম না কিভাবে পরিমাপ করতে হবে, কোন প্রান্তটি নেভিগেট করতে হবে ইত্যাদি। এখন আমি জ্ঞানী :) আমি আশা করি এটি আপনাকেও সাহায্য করেছে!

আমার জীবনে আমি এমন সমস্যার সম্মুখীন হয়েছি। আমি মনে করি আমি একা নই।

কিভাবে একটি ফাংশন তদন্ত এবং তার গ্রাফ প্লট?

মনে হচ্ছে আমি 55 খণ্ডে সংগৃহীত রচনার লেখক, বিশ্ব সর্বহারা শ্রেণীর নেতার আত্মাপূর্ণ মুখটি বুঝতে শুরু করেছি .... সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য নিয়ে শুরু হলো দীর্ঘ যাত্রা ফাংশন এবং গ্রাফ, এবং এখন একটি শ্রমসাধ্য বিষয়ে কাজ একটি প্রাকৃতিক ফলাফলের সাথে শেষ হয় - একটি নিবন্ধ সম্পূর্ণ ফাংশন অধ্যয়ন সম্পর্কে. দীর্ঘ প্রতীক্ষিত কাজটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে:

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস পদ্ধতির মাধ্যমে ফাংশনটি তদন্ত করুন এবং অধ্যয়নের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে এর গ্রাফ তৈরি করুন

অথবা সংক্ষেপে: ফাংশনটি পরীক্ষা করুন এবং এটি প্লট করুন।

কেন অন্বেষণ?সাধারণ ক্ষেত্রে, প্রাথমিক ফাংশনগুলি মোকাবেলা করা আমাদের পক্ষে কঠিন হবে না, ব্যবহার করে প্রাপ্ত একটি গ্রাফ আঁকা প্রাথমিক জ্যামিতিক রূপান্তরএবং তাই যাইহোক, আরও জটিল ফাংশনের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফিক উপস্থাপনাগুলি সুস্পষ্ট থেকে অনেক দূরে, যে কারণে একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন প্রয়োজন।

সমাধানের প্রধান ধাপগুলি রেফারেন্স উপাদানে সংক্ষিপ্ত করা হয় ফাংশন স্টাডি স্কিম, এটি আপনার বিভাগের নির্দেশিকা। ডামিদের বিষয়টির একটি ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা প্রয়োজন, কিছু পাঠক জানেন না কোথায় শুরু করবেন এবং কীভাবে অধ্যয়নটি সংগঠিত করবেন এবং উন্নত শিক্ষার্থীরা শুধুমাত্র কয়েকটি পয়েন্টে আগ্রহী হতে পারে। তবে আপনি যেই হোন না কেন, প্রিয় দর্শক, বিভিন্ন পাঠের নির্দেশক সহ প্রস্তাবিত সারাংশ আপনাকে সবচেয়ে কম সময়ের মধ্যে আগ্রহের দিকে পরিচালিত করবে এবং নির্দেশ করবে। রোবটগুলি অশ্রু ফেলছে =) ম্যানুয়ালটি একটি পিডিএফ ফাইলের আকারে তৈরি করা হয়েছিল এবং পৃষ্ঠায় এটির সঠিক জায়গা নিয়েছিল গাণিতিক সূত্র এবং টেবিল.

আমি ফাংশনের অধ্যয়নকে 5-6 পয়েন্টে বিভক্ত করতাম:

6) অধ্যয়নের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে অতিরিক্ত পয়েন্ট এবং গ্রাফ।

চূড়ান্ত কর্মের জন্য, আমি মনে করি সবাই সবকিছু বোঝে - এটি খুব হতাশাজনক হবে যদি কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে এটি অতিক্রম করা হয় এবং কাজটি সংশোধনের জন্য ফেরত দেওয়া হয়। একটি সঠিক এবং নির্ভুল অঙ্কন সমাধানের প্রধান ফলাফল! এটি বিশ্লেষণাত্মক তত্ত্বাবধানকে "ঢাকনা" করার খুব সম্ভবত, যখন একটি ভুল এবং/অথবা অগোছালো সময়সূচী একটি নিখুঁতভাবে পরিচালিত অধ্যয়নের সাথেও সমস্যা সৃষ্টি করবে।

এটি লক্ষ করা উচিত যে অন্যান্য উত্সগুলিতে, গবেষণা আইটেমের সংখ্যা, তাদের বাস্তবায়নের ক্রম এবং নকশার শৈলী আমার দ্বারা প্রস্তাবিত স্কিম থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক হতে পারে, তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি যথেষ্ট। সমস্যার সহজতম সংস্করণটি শুধুমাত্র 2-3টি পর্যায় নিয়ে গঠিত এবং এটির মতো কিছু প্রণয়ন করা হয়েছে: "ডেরিভেটিভ এবং প্লট ব্যবহার করে ফাংশনটি অন্বেষণ করুন" বা "1ম এবং 2য় ডেরিভেটিভ, প্লট ব্যবহার করে ফাংশনটি অন্বেষণ করুন"।

স্বাভাবিকভাবেই, যদি আপনার প্রশিক্ষণ ম্যানুয়ালটিতে অন্য একটি অ্যালগরিদম বিশদভাবে বিশ্লেষণ করা হয় বা আপনার শিক্ষক আপনাকে তার বক্তৃতাগুলি মেনে চলার জন্য কঠোরভাবে অনুরোধ করেন, তাহলে আপনাকে সমাধানে কিছু সমন্বয় করতে হবে। একটি চেইনসো চামচ দিয়ে কাঁটা প্রতিস্থাপনের চেয়ে কঠিন নয়।

জোড়/বিজোড়ের জন্য ফাংশনটি পরীক্ষা করা যাক:

এটি একটি টেমপ্লেট আনসাবস্ক্রাইব দ্বারা অনুসরণ করা হয়:
, তাই এই ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

যেহেতু ফাংশনটি ক্রমাগত চালু আছে, সেখানে কোনো উল্লম্ব লক্ষণ নেই।

কোন তির্যক উপসর্গ নেই.

বিঃদ্রঃ : আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে উচ্চতর বৃদ্ধির ক্রমতুলনায়, তাই চূড়ান্ত সীমা ঠিক " প্লাসঅনন্ত।"

চলুন জেনে নেওয়া যাক কিভাবে ফাংশনটি অসীমে আচরণ করে:

অন্য কথায়, যদি আমরা ডানদিকে যাই, তাহলে গ্রাফটি অসীমভাবে অনেক উপরে যায়, যদি আমরা বাম দিকে যাই, তবে অসীম অনেক নিচে। হ্যাঁ, একটি একক এন্ট্রির অধীনে দুটি সীমাও রয়েছে৷ আপনার যদি লক্ষণগুলি বোঝাতে অসুবিধা হয় তবে অনুগ্রহ করে পাঠটি দেখুন৷ অসীম ফাংশন.

তাই ফাংশন উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়এবং নীচে থেকে সীমাবদ্ধ নয়. আমাদের ব্রেক পয়েন্ট নেই বিবেচনা করে, এটা পরিষ্কার হয়ে যায় এবং ফাংশন পরিসীমা: কোনো বাস্তব সংখ্যাও।

দরকারী প্রযুক্তি

প্রতিটি টাস্ক স্টেপ ফাংশনের গ্রাফ সম্পর্কে নতুন তথ্য নিয়ে আসে, তাই সমাধানের সময় এক ধরণের লেআউট ব্যবহার করা সুবিধাজনক। আসুন খসড়াটিতে একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা আঁকুন। কি নিশ্চিত জন্য পরিচিত? প্রথমত, গ্রাফটিতে কোনো উপসর্গ নেই, তাই সরলরেখা আঁকার দরকার নেই। দ্বিতীয়ত, আমরা জানি কিভাবে ফাংশনটি অসীমে আচরণ করে। বিশ্লেষণ অনুসারে, আমরা প্রথম অনুমান আঁকি:

উল্লেখ্য যে কার্যকর ধারাবাহিকতাফাংশন অন এবং সত্য যে, গ্রাফটিকে অন্তত একবার অক্ষ অতিক্রম করতে হবে। অথবা হয়তো ছেদ বিভিন্ন পয়েন্ট আছে?

3) ফাংশনের শূন্য এবং ধ্রুব চিহ্নের ব্যবধান।

প্রথমে, y-অক্ষ সহ গ্রাফের ছেদ বিন্দুটি খুঁজুন। ইহা সহজ. ফাংশনের মান গণনা করা প্রয়োজন যখন:

সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে অর্ধেক উপরে।

অক্ষের (ফাংশনের শূন্য) সাথে ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে পেতে, আপনাকে সমীকরণটি সমাধান করতে হবে এবং এখানে একটি অপ্রীতিকর বিস্ময় আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে:

শেষে, একজন মুক্ত সদস্য লুকিয়ে থাকে, যা কাজটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে জটিল করে তোলে।

এই জাতীয় সমীকরণের কমপক্ষে একটি আসল মূল রয়েছে এবং প্রায়শই এই মূলটি অযৌক্তিক। সবচেয়ে খারাপ রূপকথার মধ্যে, তিনটি ছোট শূকর আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে। সমীকরণটি তথাকথিত ব্যবহার করে সমাধানযোগ্য কার্ডানোর সূত্র, কিন্তু কাগজের ক্ষতি প্রায় সমগ্র গবেষণার সাথে তুলনীয়। এই বিষয়ে, মৌখিকভাবে বা একটি খসড়াতে অন্তত একটি বাছাই করার চেষ্টা করা বুদ্ধিমানের কাজ সম্পূর্ণমূল এই সংখ্যাগুলি কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:
- ঠিক মেলে না;
- এখানে!

এটা এখানে ভাগ্যবান. ব্যর্থতার ক্ষেত্রে, আপনি পরীক্ষাও করতে পারেন এবং, এবং যদি এই সংখ্যাগুলি মাপসই না হয়, তাহলে আমি ভয় পাচ্ছি সমীকরণের লাভজনক সমাধানের খুব কম সম্ভাবনা রয়েছে। তারপরে গবেষণার পয়েন্টটি সম্পূর্ণভাবে এড়িয়ে যাওয়া ভাল - হয়তো চূড়ান্ত ধাপে কিছু পরিষ্কার হয়ে যাবে, যখন অতিরিক্ত পয়েন্টগুলি ভেঙ্গে যাবে। এবং যদি মূল (শিকড়) স্পষ্টভাবে "খারাপ" হয়, তবে লক্ষণগুলির স্থিরতার ব্যবধান সম্পর্কে বিনয়ীভাবে নীরব থাকা এবং আরও সঠিকভাবে অঙ্কনটি সম্পূর্ণ করা ভাল।

যাইহোক, আমাদের একটি সুন্দর মূল আছে, তাই আমরা বহুপদকে ভাগ করি কোন অবশিষ্ট জন্য:

বহুপদী দ্বারা বহুপদকে ভাগ করার অ্যালগরিদম পাঠের প্রথম উদাহরণে বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছে। জটিল সীমা.

ফলে মূল সমীকরণের বাম পাশে একটি পণ্যে প্রসারিত হয়:

এবং এখন একটি স্বাস্থ্যকর জীবনধারা সম্পর্কে একটু। এটা অবশ্য আমি বুঝি দ্বিঘাত সমীকরণপ্রতিদিন সমাধান করা প্রয়োজন, কিন্তু আজ আমরা একটি ব্যতিক্রম করব: সমীকরণ দুটি প্রকৃত শিকড় আছে।

সংখ্যা লাইনে, আমরা পাওয়া মানগুলি প্লট করি এবং ব্যবধান পদ্ধতিফাংশনের লক্ষণ সংজ্ঞায়িত করুন:


og এইভাবে, বিরতিতে চার্ট অবস্থিত
x-অক্ষের নীচে এবং বিরতিতে - এই অক্ষের উপরে।

ফলাফলের ফলাফলগুলি আমাদের লেআউটকে পরিমার্জিত করার অনুমতি দেয় এবং গ্রাফের দ্বিতীয় অনুমানটি এইরকম দেখায়:

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে ফাংশনটির ব্যবধানে কমপক্ষে একটি সর্বোচ্চ এবং ব্যবধানে কমপক্ষে একটি সর্বনিম্ন থাকতে হবে। কিন্তু আমরা জানি না কতবার, কোথায় এবং কখন শিডিউল "ওয়াইন্ড চারিদিকে" হবে। উপায় দ্বারা, একটি ফাংশন অসীম অনেক থাকতে পারে চরম.

4) ফাংশন বৃদ্ধি, হ্রাস এবং চরম.

আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করা যাক:

এই সমীকরণের দুটি আসল মূল রয়েছে। আসুন সেগুলিকে সংখ্যারেখায় রাখি এবং ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি নির্ধারণ করি:


অতএব, ফাংশন দ্বারা বৃদ্ধি এবং দ্বারা হ্রাস পায়।
বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বোচ্চ পৌঁছে যায়: .
বিন্দুতে ফাংশনটি তার সর্বনিম্ন পৌঁছায়: .

প্রতিষ্ঠিত তথ্যগুলি আমাদের টেমপ্লেটকে একটি বরং কঠোর কাঠামোতে চালিত করে:

বলা বাহুল্য, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস একটি শক্তিশালী জিনিস। আসুন অবশেষে গ্রাফের আকৃতি নিয়ে কাজ করা যাক:

5) উত্তল, অবতলতা এবং প্রবর্তন বিন্দু।

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজুন:

আসুন লক্ষণ সংজ্ঞায়িত করা যাক:


ফাংশন গ্রাফটি উত্তল অন এবং অবতল অন। আসুন ইনফ্লেকশন পয়েন্টের অর্ডিনেট গণনা করি:

প্রায় সবকিছু পরিষ্কার হয়ে গেছে।

6) এটি অতিরিক্ত পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে বাকি রয়েছে যা আরও সঠিকভাবে একটি গ্রাফ তৈরি করতে এবং একটি স্ব-পরীক্ষা করতে সহায়তা করবে। এই ক্ষেত্রে, তারা কম, কিন্তু আমরা অবহেলা করব না:

আসুন অঙ্কনটি কার্যকর করি:

ইনফ্লেকশন পয়েন্টটি সবুজ রঙে চিহ্নিত করা হয়েছে, অতিরিক্ত পয়েন্ট ক্রস দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে। একটি কিউবিক ফাংশনের গ্রাফটি তার প্রবর্তন বিন্দু সম্পর্কে প্রতিসম, যা সর্বদা সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মধ্যে ঠিক মাঝখানে অবস্থিত।

অ্যাসাইনমেন্টের সময়, আমি তিনটি হাইপোথেটিকাল ইন্টারমিডিয়েট অঙ্কন দিয়েছিলাম। অনুশীলনে, এটি একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেম আঁকতে, পাওয়া পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করা এবং অধ্যয়নের প্রতিটি বিন্দুর পরে, ফাংশনের গ্রাফটি কেমন হতে পারে তা মানসিকভাবে চিন্তা করে বের করা যথেষ্ট। একটি ভাল স্তরের প্রস্তুতি সম্পন্ন শিক্ষার্থীদের জন্য একটি খসড়া জড়িত না করে শুধুমাত্র তাদের মনের মধ্যে এই ধরনের বিশ্লেষণ করা কঠিন হবে না।

একটি স্বতন্ত্র সমাধানের জন্য:

উদাহরণ 2

ফাংশনটি অন্বেষণ করুন এবং একটি গ্রাফ তৈরি করুন।

এখানে সবকিছু দ্রুত এবং আরও মজাদার, পাঠের শেষে সমাপ্তির একটি আনুমানিক উদাহরণ।

ভগ্নাংশের যৌক্তিক ফাংশন অধ্যয়নের দ্বারা অনেক গোপনীয়তা প্রকাশ করা হয়:

উদাহরণ 3

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে, ফাংশনটি তদন্ত করুন এবং অধ্যয়নের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে এর গ্রাফ তৈরি করুন।

সমাধান: অধ্যয়নের প্রথম পর্যায়টি সংজ্ঞা এলাকার একটি ছিদ্র বাদ দিয়ে উল্লেখযোগ্য কিছুতে পার্থক্য করে না:

1) বিন্দু ব্যতীত সমগ্র সংখ্যা রেখায় ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন। ডোমেইন: .

, তাই এই ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

স্পষ্টতই, ফাংশনটি পর্যায়ক্রমিক নয়।

ফাংশনের গ্রাফটি বাম এবং ডান অর্ধ-বিমানে অবস্থিত দুটি অবিচ্ছিন্ন শাখা নিয়ে গঠিত - এটি সম্ভবত 1 ম অনুচ্ছেদের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উপসংহার।

2) উপসর্গ, অসীম একটি ফাংশন আচরণ.

ক) একতরফা সীমার সাহায্যে, আমরা সন্দেহজনক বিন্দুর কাছাকাছি ফাংশনের আচরণ অধ্যয়ন করি, যেখানে উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট স্পষ্টভাবে হতে হবে:

প্রকৃতপক্ষে, ফাংশন সহ্য অন্তহীন ফাঁকবিন্দুতে
এবং সরলরেখা (অক্ষ) হল উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটড্রয়িং .

খ) তির্যক উপসর্গ বিদ্যমান কিনা তা পরীক্ষা করুন:

হ্যাঁ, লাইন হল তির্যক অ্যাসিম্পটোটগ্রাফিক্স যদি.

এটি সীমা বিশ্লেষণ করার কোন মানে হয় না, যেহেতু এটি ইতিমধ্যেই স্পষ্ট যে ফাংশনটি তার তির্যক অ্যাসিম্পটোট সহ একটি আলিঙ্গনে উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়এবং নীচে থেকে সীমাবদ্ধ নয়.

অধ্যয়নের দ্বিতীয় পয়েন্টটি ফাংশন সম্পর্কে অনেক গুরুত্বপূর্ণ তথ্য এনেছে। আসুন একটি মোটামুটি স্কেচ করি:

উপসংহার নং 1 চিহ্নের স্থায়িত্বের ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত। "মাইনাস ইনফিনিটি" এ ফাংশনের গ্রাফ অনন্যভাবে x-অক্ষের নিচে অবস্থিত এবং "প্লাস ইনফিনিটি" এ এটি এই অক্ষের উপরে। উপরন্তু, একতরফা সীমা আমাদের বলেছে যে বিন্দুর বাম এবং ডানদিকে, ফাংশনটি শূন্যের চেয়েও বড়। দয়া করে মনে রাখবেন যে বাম অর্ধ-বিমানে, গ্রাফটিকে অবশ্যই অন্তত একবার x-অক্ষ অতিক্রম করতে হবে। ডান অর্ধেক প্লেনে, ফাংশনের কোন শূন্য নাও থাকতে পারে।

উপসংহার নং 2 হল যে ফাংশনটি বিন্দুর বাম দিকে বাড়ে ("নিচ থেকে উপরে" যায়)। এই বিন্দুর ডানদিকে, ফাংশন হ্রাস পায় ("উপর থেকে নীচে" যায়)। গ্রাফের ডান শাখায় অবশ্যই কমপক্ষে একটি ন্যূনতম থাকতে হবে। বাম দিকে, চরম নিশ্চিত করা হয় না.

উপসংহার নং 3 বিন্দুর আশেপাশে গ্রাফের অবতলতা সম্পর্কে নির্ভরযোগ্য তথ্য দেয়। আমরা এখনও অনন্তে উত্তল/অবতলতা সম্পর্কে কিছু বলতে পারি না, যেহেতু রেখাটি উপরে এবং নীচে উভয় দিক থেকে তার অ্যাসিম্পটোটের বিরুদ্ধে চাপ দেওয়া যেতে পারে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, এই মুহুর্তে এটি বের করার একটি বিশ্লেষণাত্মক উপায় রয়েছে, তবে "কিছুর জন্য নয়" চার্টের আকারটি পরবর্তী পর্যায়ে আরও পরিষ্কার হয়ে যাবে।

এত শব্দ কেন? পরবর্তী গবেষণা পয়েন্ট নিয়ন্ত্রণ এবং ভুল এড়াতে! আরও গণনা টানা উপসংহারের বিরোধিতা করা উচিত নয়।

3) স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ গ্রাফের ছেদ বিন্দু, ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান।

ফাংশনের গ্রাফটি অক্ষ অতিক্রম করে না।

ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা লক্ষণগুলি নির্ধারণ করি:

, যদি;
, যদি .

অনুচ্ছেদের ফলাফলগুলি উপসংহার নং 1 এর সাথে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ। প্রতিটি ধাপের পরে, খসড়াটি দেখুন, মানসিকভাবে অধ্যয়নটি দেখুন এবং ফাংশনের গ্রাফ অঙ্কন শেষ করুন।

এই উদাহরণে, লবকে হর দ্বারা পদ দ্বারা বিভক্ত করা হয়, যা পার্থক্যের জন্য খুবই উপকারী:

প্রকৃতপক্ষে, উপসর্গ খুঁজে বের করার সময় এটি ইতিমধ্যেই করা হয়েছে।

- সমালোচনামূলক পয়েন্ট।

আসুন লক্ষণ সংজ্ঞায়িত করা যাক:

দ্বারা বৃদ্ধি পায় এবং কমে যায়

বিন্দুতে ফাংশনটি তার সর্বনিম্ন পৌঁছায়: .

উপসংহার নং 2 এর সাথেও কোন অসঙ্গতি ছিল না, এবং সম্ভবত আমরা সঠিক পথেই আছি।

এর মানে হল যে ফাংশনের গ্রাফটি সংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে অবতল।

চমৎকার - এবং আপনাকে কিছু আঁকতে হবে না।

কোন ইনফ্লেকশন পয়েন্ট আছে.

অবতলতাটি উপসংহার নং 3 এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, উপরন্তু, এটি নির্দেশ করে যে অনন্ত (সেখানে এবং সেখানে উভয়ই) ফাংশনের গ্রাফটি অবস্থিত ঊর্ধ্বতনএর তির্যক অ্যাসিম্পটোট।

6) আমরা আন্তরিকভাবে অতিরিক্ত পয়েন্ট সহ টাস্কটি পিন করব। এখানে আমাদের কঠোর পরিশ্রম করতে হবে, কারণ আমরা অধ্যয়ন থেকে মাত্র দুটি পয়েন্ট জানি।

এবং একটি ছবি যা, সম্ভবত, অনেকেই দীর্ঘ জমা দিয়েছেন:

অ্যাসাইনমেন্টের সময়, অধ্যয়নের পর্যায়গুলির মধ্যে কোনও দ্বন্দ্ব নেই তা নিশ্চিত করার জন্য অবশ্যই যত্ন নেওয়া উচিত, তবে কখনও কখনও পরিস্থিতি জরুরী বা এমনকি মরিয়া হয়ে ওঠে। এখানে বিশ্লেষণগুলি "একত্রিত হয় না" - এবং এটিই। এই ক্ষেত্রে, আমি একটি জরুরী কৌশল সুপারিশ করি: আমরা যতটা সম্ভব গ্রাফের অন্তর্গত অনেকগুলি পয়েন্ট খুঁজে পাই (কতটা ধৈর্য যথেষ্ট), এবং সেগুলি স্থানাঙ্ক সমতলে চিহ্নিত করি। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে পাওয়া মানগুলির গ্রাফিকাল বিশ্লেষণ আপনাকে বলবে কোথায় সত্য এবং কোথায় মিথ্যা। উপরন্তু, গ্রাফটি কিছু প্রোগ্রাম ব্যবহার করে প্রাক-বিল্ট করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, একই এক্সেলে (এটি স্পষ্ট যে এর জন্য দক্ষতা প্রয়োজন)।

উদাহরণ 4

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করে ফাংশনটি তদন্ত করুন এবং এর গ্রাফ প্লট করুন।

এটি একটি করণীয় উদাহরণ। এতে, ফাংশনের সমানতা দ্বারা স্ব-নিয়ন্ত্রণ উন্নত হয় - গ্রাফটি অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম, এবং যদি আপনার গবেষণায় কিছু এই সত্যের বিরোধিতা করে, একটি ত্রুটি সন্ধান করুন।

একটি জোড় বা বিজোড় ফাংশন শুধুমাত্র জন্য তদন্ত করা যেতে পারে, এবং তারপর গ্রাফের প্রতিসাম্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এই সমাধানটি সর্বোত্তম, তবে এটি আমার মতে, খুব অস্বাভাবিক দেখাচ্ছে। ব্যক্তিগতভাবে, আমি সম্পূর্ণ সংখ্যাসূচক অক্ষ বিবেচনা করি, কিন্তু আমি এখনও শুধুমাত্র ডানদিকে অতিরিক্ত পয়েন্ট খুঁজে পাই:

উদাহরণ 5

ফাংশনের একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন পরিচালনা করুন এবং এর গ্রাফ প্লট করুন।

সমাধান: জোরে ছুটে গেল:

1) ফাংশনটি সম্পূর্ণ বাস্তব লাইনে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন:

এর মানে হল এই ফাংশনটি বিজোড়, এর গ্রাফটি উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম।

স্পষ্টতই, ফাংশনটি পর্যায়ক্রমিক নয়।

2) উপসর্গ, অসীম একটি ফাংশন আচরণ.

যেহেতু ফাংশনটি ক্রমাগত চালু আছে, সেখানে কোনো উল্লম্ব লক্ষণ নেই

একটি সূচক ধারণকারী একটি ফাংশনের জন্য, সাধারণত পৃথক"প্লাস" এবং "মাইনাস ইনফিনিটি" এর অধ্যয়ন, যাইহোক, আমাদের জীবন কেবল গ্রাফের প্রতিসাম্য দ্বারা সহজতর হয় - হয় বাম এবং ডানদিকে একটি অ্যাসিম্পটোট রয়েছে, বা এটি নেই। অতএব, উভয় অসীম সীমা একটি একক এন্ট্রি অধীনে ব্যবস্থা করা যেতে পারে. সমাধানের সময়, আমরা ব্যবহার করি হাসপাতালের নিয়ম:

সরলরেখা (অক্ষ) হল গ্রাফের অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট।

তির্যক অ্যাসিম্পটোট খুঁজে বের করার জন্য আমি কীভাবে বুদ্ধিমত্তার সাথে সম্পূর্ণ অ্যালগরিদম এড়িয়ে চলেছি সেদিকে মনোযোগ দিন: সীমাটি বেশ আইনি এবং অসীমে ফাংশনের আচরণকে স্পষ্ট করে, এবং অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটটি "যেন একই সময়ে" পাওয়া গেছে।

এটি একটি অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটের ধারাবাহিকতা এবং অস্তিত্ব থেকে অনুসরণ করে যে ফাংশনটি উপরে থেকে সীমাবদ্ধএবং নীচে থেকে সীমাবদ্ধ.

3) স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দু, স্থিরতার ব্যবধান।

এখানে আমরা সমাধানটিও ছোট করি:
গ্রাফ উৎপত্তি মাধ্যমে পাস.

স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে ছেদ করার অন্য কোন বিন্দু নেই। তদুপরি, স্থিরতার ব্যবধানগুলি সুস্পষ্ট, এবং অক্ষটি আঁকা যাবে না: , যার অর্থ ফাংশনের চিহ্নটি কেবলমাত্র "x" এর উপর নির্ভর করে:
, যদি;
, যদি.

4) ফাংশন বৃদ্ধি, হ্রাস, চরম.


সমালোচনামূলক পয়েন্ট.

পয়েন্টগুলি শূন্য সম্পর্কে প্রতিসম, যেমনটি হওয়া উচিত৷

আসুন ডেরিভেটিভের লক্ষণগুলি সংজ্ঞায়িত করি:


ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায় এবং বিরতিতে হ্রাস পায়

বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বোচ্চ পৌঁছে যায়: .

সম্পত্তির কারণে (ফাংশনের অদ্ভুততা) ন্যূনতম বাদ দেওয়া যেতে পারে:

যেহেতু ব্যবধানে ফাংশন হ্রাস পায়, তাহলে স্পষ্টতই, গ্রাফটি "মাইনাস ইনফিনিটি" এ অবস্থিত অধীনএর অ্যাসিম্পটোট সহ। ব্যবধানে, ফাংশনটিও হ্রাস পায়, তবে এখানে বিপরীতটি সত্য - সর্বাধিক বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার পরে, রেখাটি উপরে থেকে অক্ষের কাছে আসে।

এটি উপরের থেকেও অনুসরণ করে যে ফাংশনের গ্রাফটি "মাইনাস ইনফিনিটি" এ উত্তল এবং "প্লাস ইনফিনিটি" এ অবতল।

অধ্যয়নের এই বিন্দুর পরে, ফাংশনের মানগুলির ক্ষেত্রটিও আঁকা হয়েছিল:

আপনার যদি কোনো পয়েন্ট সম্পর্কে ভুল বোঝাবুঝি থাকে, আমি আবার আপনাকে আপনার নোটবুকে স্থানাঙ্কের অক্ষগুলি আঁকতে এবং আপনার হাতে একটি পেন্সিল দিয়ে, টাস্কের প্রতিটি উপসংহার পুনরায় বিশ্লেষণ করার জন্য অনুরোধ করছি।

5) গ্রাফের উত্তল, অবতলতা, প্রতিবিম্ব।

সমালোচনামূলক পয়েন্ট.

পয়েন্টগুলির প্রতিসাম্য সংরক্ষণ করা হয় এবং সম্ভবত আমরা ভুল করি না।

আসুন লক্ষণ সংজ্ঞায়িত করা যাক:


ফাংশনের গ্রাফটি উত্তল অন এবং অবতল উপর .

চরম বিরতিতে উত্তল/অতলতা নিশ্চিত করা হয়েছিল।

সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে গ্রাফে প্রতিফলন রয়েছে। ফাংশনের অদ্ভুততা ব্যবহার করে আবার গণনার সংখ্যা হ্রাস করার সময় ইনফ্লেকশন পয়েন্টগুলির অর্ডিনেটগুলি খুঁজে বের করা যাক:

রেশেবনিক কুজনেটসভ।
III গ্রাফ

কাজ 7. ফাংশনটির একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন পরিচালনা করুন এবং এর গ্রাফ তৈরি করুন।

        আপনি আপনার বিকল্পগুলি ডাউনলোড করা শুরু করার আগে, বিকল্প 3 এর জন্য নীচের নমুনা অনুসারে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করুন। কিছু বিকল্প .rar ফরম্যাটে সংরক্ষণাগারভুক্ত করা হয়েছে

        7.3 ফাংশন একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন পরিচালনা করুন এবং এটি প্লট

সমাধান।

     .
.
এইভাবে:        ।

        2) অক্স অক্ষের সাথে ছেদ করার কোন বিন্দু নেই। প্রকৃতপক্ষে,           সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।
Oy অক্ষের সাথে ছেদ করার কোন বিন্দু নেই কারণ        ।

        3) ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়। y-অক্ষ সম্পর্কে কোন প্রতিসাম্য নেই। উৎপত্তি সম্পর্কে কোন প্রতিসাম্য নেই। কারণ
.
আমরা দেখতে পাই যে         এবং        .

        4) ফাংশনটি ডোমেনে অবিচ্ছিন্ন
.

; .

; .
অতএব, বিন্দু         দ্বিতীয় ধরনের একটি বিচ্ছিন্নতা বিন্দু (অসীম বিচ্ছিন্নতা)।

5) উল্লম্ব উপসর্গ:       

তির্যক অ্যাসিম্পটোট খুঁজুন        । এখানে

;
.
অতএব, আমাদের একটি অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট রয়েছে: y=0. কোন তির্যক উপসর্গ আছে.

        6) প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজুন। প্রথম ডেরিভেটিভ:
.
আর এই কারণে
.
চলুন স্থির বিন্দু খুঁজে বের করি যেখানে ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান, অর্থাৎ
.

        7) দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ:
.
এবং এই যাচাই করা সহজ, যেহেতু