বিভিন্ন সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন। পাওয়ার ফাংশন, এর বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ

পাওয়ার ফাংশন ফর্মের একটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়।

একটি পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ধরন এবং সূচকের মানের উপর নির্ভর করে একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করুন।

একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক ক. এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফের ফর্ম এবং ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি জোড় বা বিজোড় সূচকের পাশাপাশি এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে। অতএব, আমরা প্রথমে সূচকের বিজোড় ধনাত্মক মানের জন্য পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি ক, তারপর - এমনকি ধনাত্মক জন্য, তারপর - বিজোড় ঋণাত্মক সূচকের জন্য, এবং অবশেষে, এমনকি ঋণাত্মক জন্য ক.

ভগ্নাংশ এবং অযৌক্তিক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য (পাশাপাশি এই ধরনের পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ধরন) সূচকের মানের উপর নির্ভর করে ক. আমরা প্রথমে তাদের বিবেচনা করব, কশূন্য থেকে এক, এবং দ্বিতীয়ত, এ কবড় ইউনিট, তৃতীয়ত, সঙ্গে কবিয়োগ এক থেকে শূন্য পর্যন্ত, চতুর্থত, কখন কছোট বিয়োগ এক

এই উপধারার উপসংহারে, সম্পূর্ণতার জন্য, আমরা শূন্য সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বর্ণনা করি।

বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

একটি বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন, অর্থাৎ সহ a=1,3,5,….

নীচের চিত্রটি পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো লাইন, - নীল লাইন, - লাল লাইন, - সবুজ লাইন। এ a=1আমাদের আছে লিনিয়ার ফাংশন y=x.

একটি বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

এমনকি ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

একটি এমনকি ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন, যেটির জন্য a=2,4,6,….

উদাহরণ হিসেবে, পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ নেওয়া যাক - কালো রেখা, - নীল রেখা, - লাল রেখা। এ a=2আমাদের একটি দ্বিঘাত ফাংশন আছে যার গ্রাফ হল চতুর্মুখী প্যারাবোলা.

একটি জোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

একটি বিজোড় ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

সূচকের বিজোড় ঋণাত্মক মানের জন্য পাওয়ার ফাংশনের প্লটগুলি দেখুন, অর্থাৎ এর জন্য a=-1,-3,-5,….

জ্ঞান মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফগুণন সারণী জানার চেয়ে কম গুরুত্বপূর্ণ নয়। তারা একটি ভিত্তির মত, সবকিছু তাদের উপর ভিত্তি করে, সবকিছু তাদের থেকে নির্মিত, এবং সবকিছু তাদের নিচে নেমে আসে।

এই নিবন্ধে, আমরা সমস্ত প্রধান প্রাথমিক ফাংশন তালিকাভুক্ত করি, তাদের গ্রাফ দিই এবং ডেরিভেশন এবং প্রমাণ ছাড়াই দিই। মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন বৈশিষ্ট্যস্কিম অনুযায়ী:

• সংজ্ঞার ডোমেনের সীমানায় ফাংশনের আচরণ, উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটস (যদি প্রয়োজন হয়, একটি ফাংশনের ব্রেকপয়েন্টের নিবন্ধ শ্রেণীবিভাগ দেখুন);
• এমনকি বিজোড়;
• উত্তলতা (উপরের দিকে উত্তল) এবং অবতলতা (নীচের দিকে) ব্যবধান, ইনফ্লেকশন পয়েন্ট (যদি প্রয়োজন হয়, নিবন্ধ ফাংশন উত্তলতা, উত্তল দিক, প্রবর্তন বিন্দু, উত্তলতা এবং প্রবর্তন অবস্থা দেখুন);
• তির্যক এবং অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটস;
• ফাংশন একক পয়েন্ট;
• কিছু ফাংশনের বিশেষ বৈশিষ্ট্য (উদাহরণস্বরূপ, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক সময়কাল)।

আপনি যদি আগ্রহী হন বা, তাহলে আপনি তত্ত্বের এই বিভাগগুলিতে যেতে পারেন।

মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনহল: ধ্রুবক ফাংশন (ধ্রুবক), nth ডিগ্রির মূল, পাওয়ার ফাংশন, সূচকীয়, লগারিদমিক ফাংশন, ত্রিকোণমিতিক এবং বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

স্থায়ী ফাংশন।

সূত্র দ্বারা সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেটে একটি ধ্রুবক ফাংশন দেওয়া হয়, যেখানে C হল কিছু বাস্তব সংখ্যা। ধ্রুবক ফাংশন স্বাধীন ভেরিয়েবলের প্রতিটি বাস্তব মানের জন্য নির্ধারণ করে x নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল y-এর মান С। একটি ধ্রুবক ফাংশন একটি ধ্রুবক বলা হয়.

একটি ধ্রুবক ফাংশনের গ্রাফ হল x-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরল রেখা এবং স্থানাঙ্ক (0,C) সহ একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। উদাহরণস্বরূপ, আসুন ধ্রুবক ফাংশনের গ্রাফ দেখাই y=5 , y=-2 এবং , যা নীচের চিত্রে যথাক্রমে কালো, লাল এবং নীল রেখার সাথে মিলে যায়।

একটি ধ্রুবক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

• সংজ্ঞার ডোমেন: বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট।
• ধ্রুবক ফাংশন সমান।
• মানের পরিসীমা: একটি একক সংখ্যা C নিয়ে গঠিত সেট।
• একটি ধ্রুবক ফাংশন অ-ক্রমবর্ধমান এবং অ-হ্রাস (তাই এটি ধ্রুবক)।
• ধ্রুবকের উত্তলতা এবং অবতলতা সম্পর্কে কথা বলার কোন মানে নেই।
• কোনো উপসর্গ নেই।
• ফাংশনটি স্থানাঙ্ক সমতলের বিন্দু (0,C) এর মধ্য দিয়ে যায়।

নম ডিগ্রির মূল।

প্রাথমিক প্রাথমিক ফাংশনটি বিবেচনা করুন, যা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে n হল একের চেয়ে বড় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

nth ডিগ্রির মূল, n একটি জোড় সংখ্যা।

রুট সূচক n এর জোড় মানের জন্য nth root ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা ফাংশনের গ্রাফের চিত্রগুলির সাথে একটি ছবি দিই এবং , তারা কালো, লাল এবং নীল রেখার সাথে মিলে যায়।

একটি জোড় ডিগ্রির মূলের ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি নির্দেশকের অন্যান্য মানের জন্য অনুরূপ রূপ ধারণ করে।

জোড় n এর জন্য nth ডিগ্রির মূলের বৈশিষ্ট্য।

nম ডিগ্রির মূল, n একটি বিজোড় সংখ্যা।

মূল n এর একটি বিজোড় সূচক সহ nth ডিগ্রির মূল ফাংশনটি বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি এবং, কালো, লাল এবং নীল বক্ররেখা তাদের সাথে মিলে যায়।

রুট এক্সপোনেন্টের অন্যান্য বিজোড় মানের জন্য, ফাংশনের গ্রাফগুলির একটি অনুরূপ চেহারা থাকবে।

বিজোড় n-এর জন্য nth ডিগ্রির মূলের বৈশিষ্ট্য।

পাওয়ার ফাংশন।

পাওয়ার ফাংশন ফর্মের একটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়।

একটি পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ধরন এবং সূচকের মানের উপর নির্ভর করে একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করুন।

একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক a সহ একটি পাওয়ার ফাংশন দিয়ে শুরু করা যাক। এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফের ফর্ম এবং ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি জোড় বা বিজোড় সূচকের পাশাপাশি এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে। অতএব, আমরা প্রথমে a এর সূচকের বিজোড় ধনাত্মক মানের জন্য পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করি, তারপর জোড় ধনাত্মক মানের জন্য, তারপর বিজোড় ঋণাত্মক সূচকের জন্য এবং অবশেষে, জোড় ঋণাত্মক a এর জন্য।

ভগ্নাংশ এবং অযৌক্তিক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য (পাশাপাশি এই ধরনের পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ধরন) সূচক a-এর মানের উপর নির্ভর করে। আমরা সেগুলি বিবেচনা করব, প্রথমত, যখন a শূন্য থেকে এক হয়, দ্বিতীয়ত, যখন a একের চেয়ে বড় হয়, তৃতীয়ত, যখন a বিয়োগ এক থেকে শূন্য হয় এবং চতুর্থত, যখন a বিয়োগ এক থেকে কম হয়।

এই উপধারার উপসংহারে, সম্পূর্ণতার জন্য, আমরা শূন্য সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বর্ণনা করি।

বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

একটি বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন, অর্থাৎ a=1,3,5,… সহ।

নীচের চিত্রটি পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো লাইন, - নীল লাইন, - লাল লাইন, - সবুজ লাইন। a=1 এর জন্য আমাদের আছে লিনিয়ার ফাংশন y=x।

একটি বিজোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

এমনকি ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

একটি জোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন, অর্থাৎ a=2,4,6,... এর জন্য।

উদাহরণ হিসেবে, পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ নেওয়া যাক - কালো রেখা, - নীল রেখা, - লাল রেখা। a=2 এর জন্য আমাদের একটি দ্বিঘাত ফাংশন আছে যার গ্রাফ হল চতুর্মুখী প্যারাবোলা.

একটি জোড় ধনাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

একটি বিজোড় ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

সূচকের বিজোড় ঋণাত্মক মানের জন্য সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি দেখুন, অর্থাৎ একটি \u003d -1, -3, -5, .... এর জন্য।

চিত্রটি উদাহরণ হিসাবে সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ দেখায় - কালো রেখা, - নীল রেখা, - লাল রেখা, - সবুজ লাইন। a=-1 এর জন্য আমাদের আছে বিপরীত সমানুপাতিকতা, যার গ্রাফ অধিবৃত্ত.

একটি বিজোড় ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

একটি এমনকি ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন।

চলুন a=-2,-4,-6,… এ পাওয়ার ফাংশনে এগিয়ে যাই।

চিত্রটি পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখায় - কালো রেখা, - নীল রেখা, - লাল রেখা৷

এমনকি ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

একটি যৌক্তিক বা অযৌক্তিক সূচক সহ একটি শক্তি ফাংশন যার মান শূন্যের চেয়ে বেশি এবং একের চেয়ে কম।

বিঃদ্রঃ!যদি a একটি বিজোড় হর সহ একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ হয়, তবে কিছু লেখক ব্যবধানটিকে পাওয়ার ফাংশনের ডোমেন হিসাবে বিবেচনা করেন। একই সময়ে, এটি নির্ধারিত হয় যে সূচক a একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ। এখন বীজগণিতের অনেক পাঠ্যপুস্তকের লেখক এবং বিশ্লেষণের সূচনা যুক্তির নেতিবাচক মানগুলির জন্য একটি বিজোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশের আকারে একটি সূচকের সাথে পাওয়ার ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেন না। আমরা ঠিক এমন একটি দৃষ্টিভঙ্গি মেনে চলব, অর্থাৎ, আমরা ভগ্নাংশীয় ধনাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের ডোমেনগুলিকে সেট হিসাবে বিবেচনা করব। আমরা শিক্ষার্থীদের এই সূক্ষ্ম বিন্দুতে আপনার শিক্ষকের দৃষ্টিভঙ্গি পেতে উৎসাহিত করি যাতে মতবিরোধ এড়ানো যায়।

মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক a , এবং সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন।

আমরা a=11/12 (কালো লাইন), a=5/7 (লাল রেখা), (নীল রেখা), a=2/5 (সবুজ লাইন) এর জন্য পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ উপস্থাপন করি।

একটি অ-পূর্ণসংখ্যা মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন একের বেশি।

একটি অ-পূর্ণসংখ্যা মূলদ বা অযৌক্তিক সূচক a , এবং সহ একটি পাওয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন।

সূত্র দ্বারা প্রদত্ত পাওয়ার ফাংশনগুলির গ্রাফ উপস্থাপন করা যাক (যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ লাইন)।

সূচক a এর অন্যান্য মানের জন্য, ফাংশনের গ্রাফগুলি একই রকম দেখতে পাবে।

জন্য পাওয়ার ফাংশন বৈশিষ্ট্য.

একটি বাস্তব সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন যা বিয়োগ এক থেকে বড় এবং শূন্যের চেয়ে কম।

বিঃদ্রঃ!যদি a একটি বিজোড় হর সহ একটি ঋণাত্মক ভগ্নাংশ হয়, তবে কিছু লেখক ব্যবধান বিবেচনা করেন . একই সময়ে, এটি নির্ধারিত হয় যে সূচক a একটি অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ। এখন বীজগণিতের অনেক পাঠ্যপুস্তকের লেখক এবং বিশ্লেষণের সূচনা যুক্তির নেতিবাচক মানগুলির জন্য একটি বিজোড় হর সহ একটি ভগ্নাংশের আকারে একটি সূচকের সাথে পাওয়ার ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেন না। আমরা ঠিক এমন একটি দৃষ্টিভঙ্গি মেনে চলব, অর্থাৎ, আমরা যথাক্রমে ভগ্নাংশ ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশনের ডোমেনগুলিকে সেট হিসাবে বিবেচনা করব। আমরা শিক্ষার্থীদের এই সূক্ষ্ম বিন্দুতে আপনার শিক্ষকের দৃষ্টিভঙ্গি পেতে উৎসাহিত করি যাতে মতবিরোধ এড়ানো যায়।

আমরা পাওয়ার ফাংশনে পাস করি, যেখানে।

পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের ধরন সম্পর্কে ভালো ধারণা পাওয়ার জন্য, আমরা ফাংশনের গ্রাফের উদাহরণ দিই (যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ বক্ররেখা)।

সূচক a , সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

একটি অ-পূর্ণসংখ্যা বাস্তব সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন যা বিয়োগ এক থেকে কম।

এর জন্য পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফের উদাহরণ দেওয়া যাক , তারা যথাক্রমে কালো, লাল, নীল এবং সবুজ লাইনে চিত্রিত হয়েছে।

বিয়োগ একের চেয়ে কম অ-পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

যখন a=0 এবং আমাদের একটি ফাংশন থাকে - এটি একটি সরল রেখা যা থেকে বিন্দু (0; 1) বাদ দেওয়া হয় (অভিব্যক্তি 0 0 কোনো গুরুত্ব না দেওয়ার জন্য সম্মত ছিল)।

ব্যাখ্যামূলক কাজ.

মৌলিক প্রাথমিক ফাংশনগুলির মধ্যে একটি হল সূচকীয় ফাংশন।

সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ, যেখানে এবং ভিত্তি a এর মানের উপর নির্ভর করে একটি ভিন্ন রূপ নেয়। আসুন এটা বের করা যাক।

প্রথমত, কেসটি বিবেচনা করুন যখন সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তিটি শূন্য থেকে এক মান নেয়, অর্থাৎ,।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা a = 1/2 - নীল রেখা, a = 5/6 - লাল রেখার জন্য সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি উপস্থাপন করি। সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি ব্যবধান থেকে বেসের অন্যান্য মানের জন্য অনুরূপ উপস্থিতি রয়েছে।

একের চেয়ে কম বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি যখন একের চেয়ে বড় হয় তখন আমরা সেই ক্ষেত্রে ফিরে আসি, অর্থাৎ।

একটি উদাহরণ হিসাবে, আমরা সূচকীয় ফাংশনগুলির গ্রাফ উপস্থাপন করি - নীল রেখা এবং - লাল রেখা। বেসের অন্যান্য মানের জন্য, একের বেশি, সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফগুলি একই রকম হবে।

একের বেশি বেস সহ একটি সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

লগারিদমিক ফাংশন।

পরবর্তী মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন হল লগারিদমিক ফাংশন , যেখানে , . লগারিদমিক ফাংশনটি শুধুমাত্র আর্গুমেন্টের ইতিবাচক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ এর জন্য।

লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফটি ভিত্তি a এর মানের উপর নির্ভর করে একটি ভিন্ন রূপ ধারণ করে।

কেস দিয়ে শুরু করা যাক কখন।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা a = 1/2 - নীল রেখা, a = 5/6 - লাল রেখার জন্য লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফগুলি উপস্থাপন করি। বেসের অন্যান্য মানের জন্য, একটির বেশি নয়, লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফগুলি একই রকম উপস্থিত হবে।

একের কম বেস সহ লগারিদমিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

লগারিদমিক ফাংশনের বেস যখন এক () এর থেকে বড় হয় তখন এর ক্ষেত্রে এগিয়ে যাই।

আসুন লগারিদমিক ফাংশনগুলির গ্রাফ দেখাই - নীল রেখা, - লাল রেখা। বেসের অন্যান্য মানের জন্য, একের বেশি, লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফগুলি একই রকম হবে।

একের বেশি বেস সহ লগারিদমিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ।

সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট) হল মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন। এখন আমরা তাদের গ্রাফ বিবেচনা করব এবং তাদের বৈশিষ্ট্য তালিকাভুক্ত করব।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ধারণা আছে পর্যায়ক্রমিকতা(আর্গুমেন্টের বিভিন্ন মানের জন্য ফাংশন মানের পুনরাবৃত্তি যা পরস্পরের থেকে সময়ের মান দ্বারা পৃথক , যেখানে T হল সময়কাল), তাই ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্যের তালিকায় একটি আইটেম যোগ করা হয়েছে "সবচেয়ে ছোট ইতিবাচক সময়কাল". এছাড়াও, প্রতিটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য, আমরা আর্গুমেন্টের মানগুলি নির্দেশ করব যেখানে সংশ্লিষ্ট ফাংশনটি অদৃশ্য হয়ে যায়।

এখন চলুন সব ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ক্রমানুসারে মোকাবিলা করা যাক।

সাইন ফাংশন y = sin(x)।

সাইন ফাংশনের একটি গ্রাফ আঁকুন, একে "sinusoid" বলা হয়।

সাইন ফাংশনের বৈশিষ্ট্য y = sinx।

কোসাইন ফাংশন y = cos(x)।

কোসাইন ফাংশনের গ্রাফ (এটিকে "কোসাইন" বলা হয়) এর মতো দেখায়:

কোসাইন ফাংশনের বৈশিষ্ট্য y = cosx।

স্পর্শক ফাংশন y = tg(x)।

স্পর্শক ফাংশনের গ্রাফটি (এটিকে "ট্যানজেন্টয়েড" বলা হয়) এর মতো দেখাচ্ছে:

ফাংশনের বৈশিষ্ট্য স্পর্শক y = tgx।

কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশন y = ctg(x)।

আসুন কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনের একটি গ্রাফ আঁকুন (এটিকে "কোটানজেন্টয়েড" বলা হয়):

কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য y = ctgx।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (আর্কসাইন, আর্কোসাইন, আর্কটেনজেন্ট এবং আর্কোট্যাঞ্জেন্ট) হল মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন। প্রায়শই, "চাপ" উপসর্গের কারণে, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে চাপ ফাংশন বলা হয়। এখন আমরা তাদের গ্রাফ বিবেচনা করব এবং তাদের বৈশিষ্ট্য তালিকাভুক্ত করব।

Arcsine ফাংশন y = arcsin(x)।

আর্কসিন ফাংশন প্লট করা যাক:

গ্রন্থপঞ্জি।

• কোলমোগোরভ এ.এন., আব্রামভ এ.এম., ডুডনিটসিন ইউ.পি. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনা: Proc. 10-11 কোষের জন্য। শিক্ষা প্রতিষ্ঠান.
• Vygodsky M.Ya. প্রাথমিক গণিতের হ্যান্ডবুক।
• নভোসেলভ S.I. বীজগণিত এবং প্রাথমিক ফাংশন।
• Tumanov S.I. প্রাথমিক বীজগণিত। স্ব-শিক্ষার জন্য একটি গাইড।

আপনি বৈশিষ্ট্য সঙ্গে পরিচিত y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xইত্যাদি। এই সমস্ত ফাংশনগুলি পাওয়ার ফাংশনের বিশেষ ক্ষেত্রে, যেমন, ফাংশন y=x পি, যেখানে p একটি প্রদত্ত বাস্তব সংখ্যা। একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ মূলত একটি বাস্তব সূচক সহ একটি পাওয়ারের বৈশিষ্ট্যের উপর এবং বিশেষ করে যেগুলির জন্য মানগুলির উপর নির্ভর করে এক্সএবং পিঅর্থবোধ করে এক্স পি. আসুন আমরা সূচকের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন ক্ষেত্রে অনুরূপ বিবেচনায় এগিয়ে যাই পি.

সূচক p=2nএকটি এমনকি স্বাভাবিক সংখ্যা।

এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশন y=x 2n, কোথায় nএকটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, নিম্নলিখিত আছে

বৈশিষ্ট্য:

সংজ্ঞার ডোমেইন হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যা, যেমন, সেট R;

মানের সেট - অ-নেতিবাচক সংখ্যা, যেমন y 0 এর চেয়ে বড় বা সমান;

ফাংশন y=x 2nএমনকি, কারণ এক্স 2n =(-x) 2n

ব্যবধানে ফাংশন কমছে এক্স<0 এবং ব্যবধান বৃদ্ধি x>0।

ফাংশন গ্রাফ y=x 2nউদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনের গ্রাফ হিসাবে একই ফর্ম আছে y=x 4 .

2. নির্দেশক p=2n-1- বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যা এই ক্ষেত্রে, শক্তি ফাংশন y=x 2n-1, যেখানে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য আছে:

সংজ্ঞার ডোমেন - সেট R;

মান সেট - সেট R;

ফাংশন y=x 2n-1অদ্ভুত কারণ (- এক্স) 2n-1 =এক্স 2n-1 ;

পুরো বাস্তব অক্ষের উপর ফাংশন বাড়ছে।

ফাংশন গ্রাফ y=x2n-1উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের গ্রাফের মতো একই ফর্ম রয়েছে y=x3.

3. নির্দেশক p=-2n, কোথায় n-স্বাভাবিক সংখ্যা।

এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশন y=x -2n =1/x 2n নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য আছে:

মানের সেট - ধনাত্মক সংখ্যা y>0;

ফাংশন y =1/x 2nএমনকি, কারণ 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

ব্যবধান x এ ফাংশন বৃদ্ধি পাচ্ছে<0 и убывающей на промежутке x>0.

ফাংশন y এর গ্রাফ =1/x 2nউদাহরণস্বরূপ, ফাংশন y এর গ্রাফের মতো একই ফর্ম রয়েছে =1/x 2 .

4. নির্দেশক p=-(2n-1), কোথায় n- প্রাকৃতিক সংখ্যা। এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশন y=x -(2n-1)নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য আছে:

সংজ্ঞার ডোমেন - সেট R, x=0 ছাড়া;

মানের সেট - R সেট করুন, y=0 ছাড়া;

ফাংশন y=x -(2n-1)অদ্ভুত কারণ (- এক্স) -(2n-1) =-এক্স -(2n-1) ;

ব্যবধানে ফাংশন কমে যাচ্ছে এক্স<0 এবং x>0.

ফাংশন গ্রাফ y=x -(2n-1)উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনের গ্রাফের মতো একই ফর্ম রয়েছে y=1/x 3 .

1. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ।বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (বৃত্তাকার ফাংশন, আর্ক ফাংশন) হল গাণিতিক ফাংশন যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত।

1. arcsin ফাংশন

ফাংশন গ্রাফ .

arcsineসংখ্যা মিযেমন একটি কোণ বলা হয় এক্স, কিসের জন্য

ফাংশন ক্রমাগত এবং তার সম্পূর্ণ বাস্তব লাইনে আবদ্ধ। ফাংশন কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

1. আর্কসিন ফাংশনের বৈশিষ্ট্য [সম্পাদনা]

1. আর্কসিন ফাংশন পাওয়া [সম্পাদনা]

তার জুড়ে একটি ফাংশন দেওয়া ডোমেইনসে piecewise একঘেয়েমি, এবং তাই বিপরীত চিঠিপত্র একটি ফাংশন নয়। অতএব, আমরা ব্যবধান বিবেচনা করি যার উপর এটি কঠোরভাবে বৃদ্ধি পায় এবং সমস্ত মান নেয় পরিসীমা- যেহেতু ব্যবধানে একটি ফাংশনের জন্য, আর্গুমেন্টের প্রতিটি মান ফাংশনের একটি একক মানের সাথে মিলে যায়, তাহলে এই সেগমেন্টে বিদ্যমান বিপরীত ফাংশন যার গ্রাফ একটি সরলরেখার সাপেক্ষে একটি অংশের একটি ফাংশনের গ্রাফের সাথে প্রতিসম

বক্তৃতা: একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন, এর গ্রাফ

আমরা ক্রমাগত ফাংশন নিয়ে কাজ করছি যেখানে আর্গুমেন্টের কিছু শক্তি আছে:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1, ইত্যাদি।

পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ

সুতরাং, এখন আমরা একটি পাওয়ার ফাংশনের বিভিন্ন সম্ভাব্য ক্ষেত্রে বিবেচনা করব।

1) y = x 2 n .

এর মানে হল এখন আমরা এমন ফাংশন বিবেচনা করব যেখানে সূচকটি একটি জোড় সংখ্যা।

বৈশিষ্ট্য বৈশিষ্ট্য:

1. সমস্ত বাস্তব সংখ্যা পরিসীমা হিসাবে গ্রহণ করা হয়.

2. ফাংশনটি সমস্ত ইতিবাচক মান এবং শূন্য সংখ্যা নিতে পারে।

3. ফাংশনটি এমনকি কারণ এটি আর্গুমেন্টের চিহ্নের উপর নির্ভর করে না, তবে শুধুমাত্র এর মডুলাসের উপর নির্ভর করে।

4. একটি ইতিবাচক যুক্তির জন্য, ফাংশন বাড়ছে, এবং একটি নেতিবাচক জন্য, এটি হ্রাস পাচ্ছে।

এই ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি একটি প্যারাবোলার অনুরূপ। উদাহরণস্বরূপ, নীচে y \u003d x 4 ফাংশনের একটি গ্রাফ রয়েছে।

2) ফাংশনটির একটি বিজোড় সূচক রয়েছে: y \u003d x 2 n +1।

1. ফাংশনের ডোমেইন হল বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট।

2. ফাংশন পরিসীমা - যেকোনো বাস্তব সংখ্যার রূপ নিতে পারে।

3. এই ফাংশন অদ্ভুত.

4. ফাংশন বিবেচনা করার পুরো ব্যবধানে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়।

5. একটি বিজোড় সূচক সহ সমস্ত পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফটি y \u003d x 3 ফাংশনের অনুরূপ।

3) ফাংশনের একটি এমনকি নেতিবাচক প্রাকৃতিক সূচক রয়েছে: y \u003d x -2 n।

আমরা সকলেই জানি যে একটি ঋণাত্মক সূচক আপনাকে সূচকটিকে হর-এ ড্রপ করতে এবং সূচকের চিহ্ন পরিবর্তন করতে দেয়, অর্থাৎ আপনি y \u003d 1 / x 2 n ফর্মটি পান।

1. এই ফাংশনের আর্গুমেন্ট শূন্য ছাড়া যেকোন মান নিতে পারে, যেহেতু ভেরিয়েবলটি ডিনোমিনেটরে রয়েছে।

2. যেহেতু সূচকটি একটি জোড় সংখ্যা, ফাংশনটি ঋণাত্মক মান নিতে পারে না। আর যেহেতু আর্গুমেন্ট শূন্যের সমান হতে পারে না, তাই শূন্যের সমান ফাংশনের মানও বাদ দিতে হবে। এর মানে হল যে ফাংশন শুধুমাত্র ইতিবাচক মান নিতে পারে।

3. এই ফাংশন সমান.

4. যুক্তিটি নেতিবাচক হলে, ফাংশনটি একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং যদি এটি ইতিবাচক হয় তবে এটি হ্রাস পাচ্ছে।

y \u003d x -2 ফাংশনের গ্রাফের দৃশ্য:

4) ঋণাত্মক বিজোড় সূচক সহ ফাংশন y \u003d x - (2 n + 1)।

1. এই ফাংশনটি আর্গুমেন্টের সমস্ত মানের জন্য বিদ্যমান, সংখ্যা শূন্য ছাড়া।

2. ফাংশনটি শূন্য সংখ্যা ব্যতীত সমস্ত বাস্তব মান গ্রহণ করে।

3. এই ফাংশন অদ্ভুত.

4. দুটি বিবেচিত ব্যবধানে হ্রাস পায়।

y \u003d x -3 উদাহরণ ব্যবহার করে ঋণাত্মক বিজোড় সূচক সহ একটি ফাংশনের একটি গ্রাফের একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

পাওয়ার ফাংশন y = x p এর ডোমেনে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ধারণ করে:
; ;
;
; ;
; ;
; .

পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্য এবং তাদের গ্রাফ

শূন্যের সমান সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন, p = 0

যদি পাওয়ার ফাংশনের সূচক y = x p শূন্যের সমান হয়, p = 0, তাহলে পাওয়ার ফাংশনটি x ≠ 0 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ধ্রুবক, একের সমান:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0।

প্রাকৃতিক বিজোড় সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন, p = n = 1, 3, 5, ...

প্রাকৃতিক বিজোড় সূচক n = 1, 3, 5, ... সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x p = x n বিবেচনা করুন। এই ধরনের একটি সূচক এভাবেও লেখা যেতে পারে: n = 2k + 1, যেখানে k = 0, 1, 2, 3, ... একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। নীচে এই ধরনের ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ রয়েছে।

এন = 1, 3, 5, ... এর বিভিন্ন মানের জন্য একটি প্রাকৃতিক বিজোড় সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x n এর গ্রাফ।

ডোমেইন: -∞ < x < ∞
একাধিক মান: -∞ < y < ∞
সমতা:বিজোড়, y(-x) = - y(x)
একঘেয়েমি:একঘেয়ে বাড়ে
চরমনা
উত্তল:
এ -∞< x < 0 выпукла вверх
0 এ< x < ∞ выпукла вниз
ব্রেকপয়েন্ট: x=0, y=0
x=0, y=0
সীমা:
;
ব্যক্তিগত মান:
x = -1 এ,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0, y(0) = 0 n = 0 এর জন্য
x = 1, y(1) = 1 n = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:
n = 1 এর জন্য, ফাংশনটি নিজেই বিপরীত: x = y
n ≠ 1-এর জন্য, বিপরীত ফাংশন হল ডিগ্রী n-এর একটি মূল:

প্রাকৃতিক জোড় সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন, p = n = 2, 4, 6, ...

প্রাকৃতিক জোড় সূচক n = 2, 4, 6, ... সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x p = x n বিবেচনা করুন। এই ধরনের একটি সূচককে এভাবেও লেখা যেতে পারে: n = 2k, যেখানে k = 1, 2, 3, ... একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। এই ধরনের ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফগুলি নীচে দেওয়া হল।

এন = 2, 4, 6, ... এর বিভিন্ন মানের জন্য প্রাকৃতিক জোড় সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x n এর গ্রাফ।

ডোমেইন: -∞ < x < ∞
একাধিক মান: 0 ≤ y< ∞
সমতা:জোড়, y(-x) = y(x)
একঘেয়েমি:
x ≤ 0 এর জন্য একঘেয়ে কমে যায়
x ≥ 0 এর জন্য একঘেয়ে বাড়ে
চরমসর্বনিম্ন, x=0, y=0
উত্তল:নিচে উত্তল
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু: x=0, y=0
সীমা:
;
ব্যক্তিগত মান:
x = -1 এর জন্য, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0, y(0) = 0 n = 0 এর জন্য
x = 1, y(1) = 1 n = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:
n = 2, বর্গমূলের জন্য:
n ≠ 2 এর জন্য, n ডিগ্রির মূল:

পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন, p = n = -1, -2, -3, ...

নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা সূচক n = -1, -2, -3, ... সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x p = x n বিবেচনা করুন। যদি আমরা n = -k রাখি, যেখানে k = 1, 2, 3, ... একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, তাহলে এটিকে এভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

এন = -1, -2, -3, ... এর বিভিন্ন মানের জন্য একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x n এর গ্রাফ।

বিজোড় সূচক, n = -1, -3, -5, ...

নিচে একটি বিজোড় ঋণাত্মক সূচক n = -1, -3, -5, ... সহ y = x n ফাংশনের বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

ডোমেইন: x ≠ 0
একাধিক মান: y ≠ 0
সমতা:বিজোড়, y(-x) = - y(x)
একঘেয়েমি:একঘেয়ে কমে যায়
চরমনা
উত্তল:
x এ< 0 : выпукла вверх
x > 0 এর জন্য : উত্তল নিচে
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু:না
চিহ্ন:
x এ< 0, y < 0
x > 0, y > 0 এর জন্য
সীমা:
; ; ;
ব্যক্তিগত মান:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:
n = -1 এর জন্য,
n এর জন্য< -2 ,

এমনকি সূচক, n = -2, -4, -6, ...

নিচে y = x n ফাংশনের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যার একটি এমনকি ঋণাত্মক সূচক n = -2, -4, -6, ...।

ডোমেইন: x ≠ 0
একাধিক মান: y > 0
সমতা:জোড়, y(-x) = y(x)
একঘেয়েমি:
x এ< 0 : монотонно возрастает
x > 0 এর জন্য : একঘেয়েভাবে কমছে
চরমনা
উত্তল:নিচে উত্তল
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু:না
চিহ্ন: y > 0
সীমা:
; ; ;
ব্যক্তিগত মান:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:
n = -2 এর জন্য,
n এর জন্য< -2 ,

মূলদ (ভগ্নাংশ) সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন

একটি মূলদ (ভগ্নাংশ) সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x p বিবেচনা করুন, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা, m > 1 একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। তাছাড়া, n, m-এর সাধারণ ভাজক নেই।

ভগ্নাংশের সূচকের হর বিজোড়

ভগ্নাংশের সূচকের হর বিজোড় হোক: m = 3, 5, 7, ...। এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশন x p ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক x মান উভয়ের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। সূচক p নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকলে এই ধরনের পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করুন।

p ঋণাত্মক, পি< 0

মূলদ সূচকটি (বিজোড় হর সহ m = 3, 5, 7, ...) শূন্যের চেয়ে কম হোক: .

সূচকের বিভিন্ন মানের জন্য একটি যুক্তিযুক্ত ঋণাত্মক সূচক সহ সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ, যেখানে m = 3, 5, 7, ... বিজোড়।

বিজোড় লব, n = -1, -3, -5, ...

এখানে একটি মূলদ ঋণাত্মক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন y = x p এর বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যেখানে n = -1, -3, -5, ... একটি বিজোড় ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, m = 3, 5, 7 ... একটি বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যা।

ডোমেইন: x ≠ 0
একাধিক মান: y ≠ 0
সমতা:বিজোড়, y(-x) = - y(x)
একঘেয়েমি:একঘেয়ে কমে যায়
চরমনা
উত্তল:
x এ< 0 : выпукла вверх
x > 0 এর জন্য : উত্তল নিচে
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু:না
চিহ্ন:
x এ< 0, y < 0
x > 0, y > 0 এর জন্য
সীমা:
; ; ;
ব্যক্তিগত মান:
x = -1, y(-1) = (-1) n = -1 এর জন্য
x = 1, y(1) = 1 n = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:

এমনকি লব, n = -2, -4, -6, ...

একটি মূলদ ঋণাত্মক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x p এর বৈশিষ্ট্য, যেখানে n = -2, -4, -6, ... একটি জোড় ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, m = 3, 5, 7 ... একটি বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যা .

ডোমেইন: x ≠ 0
একাধিক মান: y > 0
সমতা:জোড়, y(-x) = y(x)
একঘেয়েমি:
x এ< 0 : монотонно возрастает
x > 0 এর জন্য : একঘেয়েভাবে কমছে
চরমনা
উত্তল:নিচে উত্তল
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু:না
চিহ্ন: y > 0
সীমা:
; ; ;
ব্যক্তিগত মান:
x = -1, y(-1) = (-1) n = 1 এর জন্য
x = 1, y(1) = 1 n = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:

p-মান ধনাত্মক, এক থেকে কম, 0< p < 1

একটি মূলদ সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

বিজোড় লব, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

ডোমেইন: -∞ < x < +∞
একাধিক মান: -∞ < y < +∞
সমতা:বিজোড়, y(-x) = - y(x)
একঘেয়েমি:একঘেয়ে বাড়ে
চরমনা
উত্তল:
x এ< 0 : выпукла вниз
x > 0 এর জন্য : উত্তল উপরে
ব্রেকপয়েন্ট: x=0, y=0
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু: x=0, y=0
চিহ্ন:
x এ< 0, y < 0
x > 0, y > 0 এর জন্য
সীমা:
;
ব্যক্তিগত মান:
x = -1, y(-1) = -1 এর জন্য
x = 0, y(0) = 0 এর জন্য
x = 1, y(1) = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:

এমনকি লব, n = 2, 4, 6, ...

0 এর মধ্যে থাকা একটি মূলদ সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন y = x p এর বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থাপন করা হয়েছে।< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

ডোমেইন: -∞ < x < +∞
একাধিক মান: 0 ≤ y< +∞
সমতা:জোড়, y(-x) = y(x)
একঘেয়েমি:
x এ< 0 : монотонно убывает
x > 0 এর জন্য : একঘেয়েভাবে বাড়ছে
চরমসর্বনিম্ন x = 0, y = 0
উত্তল: x ≠ 0 এ উত্তল ঊর্ধ্বমুখী
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু: x=0, y=0
চিহ্ন: x ≠ 0, y > 0 এর জন্য
সীমা:
;
ব্যক্তিগত মান:
x = -1, y(-1) = 1 এর জন্য
x = 0, y(0) = 0 এর জন্য
x = 1, y(1) = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:

সূচক p একের চেয়ে বড়, p > 1

সূচকের বিভিন্ন মানের জন্য একটি যুক্তিযুক্ত সূচক (p > 1) সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের গ্রাফ, যেখানে m = 3, 5, 7, ... বিজোড়।

বিজোড় লব, n = 5, 7, 9, ...

একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি y = x p একটি মূলদ সূচকের সাথে একের বেশি: . যেখানে n = 5, 7, 9, ... একটি বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যা, m = 3, 5, 7 ... একটি বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যা।

ডোমেইন: -∞ < x < ∞
একাধিক মান: -∞ < y < ∞
সমতা:বিজোড়, y(-x) = - y(x)
একঘেয়েমি:একঘেয়ে বাড়ে
চরমনা
উত্তল:
এ -∞< x < 0 выпукла вверх
0 এ< x < ∞ выпукла вниз
ব্রেকপয়েন্ট: x=0, y=0
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু: x=0, y=0
সীমা:
;
ব্যক্তিগত মান:
x = -1, y(-1) = -1 এর জন্য
x = 0, y(0) = 0 এর জন্য
x = 1, y(1) = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:

এমনকি লব, n = 4, 6, 8, ...

একটি পাওয়ার ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি y = x p একটি মূলদ সূচকের সাথে একের বেশি: . যেখানে n = 4, 6, 8, ... একটি জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা, m = 3, 5, 7 ... একটি বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যা।

ডোমেইন: -∞ < x < ∞
একাধিক মান: 0 ≤ y< ∞
সমতা:জোড়, y(-x) = y(x)
একঘেয়েমি:
x এ< 0 монотонно убывает
x > 0 এর জন্য একঘেয়ে বাড়ে
চরমসর্বনিম্ন x = 0, y = 0
উত্তল:নিচে উত্তল
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু: x=0, y=0
সীমা:
;
ব্যক্তিগত মান:
x = -1, y(-1) = 1 এর জন্য
x = 0, y(0) = 0 এর জন্য
x = 1, y(1) = 1 এর জন্য
বিপরীত ফাংশন:

ভগ্নাংশের সূচকের হর জোড়

ভগ্নাংশের সূচকের হরকে জোড় করা যাক: m = 2, 4, 6, ...। এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার ফাংশন x p আর্গুমেন্টের নেতিবাচক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না। এর বৈশিষ্ট্যগুলি একটি অযৌক্তিক সূচক সহ একটি পাওয়ার ফাংশনের সাথে মিলে যায় (পরবর্তী বিভাগটি দেখুন)।

অযৌক্তিক সূচক সহ পাওয়ার ফাংশন

একটি অমূলদ সূচক p সহ একটি পাওয়ার ফাংশন y = x p বিবেচনা করুন। এই ধরনের ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি উপরে বিবেচিতগুলির থেকে আলাদা যে সেগুলি x আর্গুমেন্টের নেতিবাচক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না। আর্গুমেন্টের ধনাত্মক মানের জন্য, বৈশিষ্ট্যগুলি শুধুমাত্র সূচক p এর মানের উপর নির্ভর করে এবং p পূর্ণসংখ্যা, মূলদ বা অযৌক্তিক কিনা তার উপর নির্ভর করে না।

ঋণাত্মক পি সহ পাওয়ার ফাংশন< 0

ডোমেইন: x > 0
একাধিক মান: y > 0
একঘেয়েমি:একঘেয়ে কমে যায়
উত্তল:নিচে উত্তল
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু:না
সীমা: ;
ব্যক্তিগত মান: x = 1, y(1) = 1 p = 1 এর জন্য

ধনাত্মক সূচক p > 0 সহ পাওয়ার ফাংশন

সূচকটি 0-এর কম< p < 1

ডোমেইন: x ≥ 0
একাধিক মান: y ≥ 0
একঘেয়েমি:একঘেয়ে বাড়ে
উত্তল:উত্তল আপ
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু: x=0, y=0
সীমা:
ব্যক্তিগত মান: x = 0, y(0) = 0 p = 0 এর জন্য।
x = 1, y(1) = 1 p = 1 এর জন্য

সূচকটি এক p > 1 এর চেয়ে বড়

ডোমেইন: x ≥ 0
একাধিক মান: y ≥ 0
একঘেয়েমি:একঘেয়ে বাড়ে
উত্তল:নিচে উত্তল
ব্রেকপয়েন্ট:না
স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ছেদ বিন্দু: x=0, y=0
সীমা:
ব্যক্তিগত মান: x = 0, y(0) = 0 p = 0 এর জন্য।
x = 1, y(1) = 1 p = 1 এর জন্য

তথ্যসূত্র:
ভিতরে. ব্রনস্টেইন, কে.এ. সেমেনদিয়েভ, উচ্চতর শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের ইঞ্জিনিয়ার এবং শিক্ষার্থীদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক, ল্যান, 2009।