কৌণিক স্থানচ্যুতি, কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ, তাদের সংযোগ। কৌণিক স্থানচ্যুতি, কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ, তাদের সম্পর্ক। ঘূর্ণন কোণ ভেক্টর কী?
অয়লার কোণ, বিমান (জাহাজ) কোণ।
ঐতিহ্যগতভাবে, অয়লার কোণগুলি নিম্নরূপ প্রবর্তিত হয়। রেফারেন্স অবস্থান থেকে প্রকৃত অবস্থানে রূপান্তর তিনটি বাঁক দ্বারা বাহিত হয় (চিত্র 4.3):
1. একটি কোণে চারপাশে ঘোরান৷ অগ্রসরতাএই ক্ষেত্রে এটি অবস্থানে যায় (c) .
2. একটি কোণে চারপাশে ঘোরান৷ পুষ্টি. যার মধ্যে, . (৪.১০)
4. একটি কোণে চারপাশে ঘোরান৷ নিজস্ব (বিশুদ্ধ) ঘূর্ণন
আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, চিত্র 4.4 একটি শীর্ষ এবং অয়লার কোণগুলি এটি বর্ণনা করে
রেফারেন্স অবস্থান থেকে প্রকৃত অবস্থানে রূপান্তরটি তিনটি বাঁক দ্বারা সম্পন্ন করা যেতে পারে (এটি নিজেই ঘুরিয়ে দিন!) (চিত্র 4.5):
1. একটি কোণে চারপাশে ঘোরান৷ yaw, যেখানে
2. একটি পিচ কোণ দ্বারা চারপাশে ঘোরান, যখন (4.12)
3. চারপাশে রোল কোণ দ্বারা ঘোরান
"সম্পাদিত হতে পারে" অভিব্যক্তিটি আকস্মিক নয়; এটা বোঝা সহজ যে অন্যান্য বিকল্পগুলি সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ, স্থির অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন
1. একটি কোণে চারপাশে ঘোরান৷ রোল(তার ডানা ভাঙ্গার ঝুঁকিতে)
2. একটি কোণে চারপাশে ঘোরান৷ পিচ(নাক উত্তোলন) (4.13)
3. একটি কোণে চারপাশে ঘোরান৷ yaw
যাইহোক, (4.12) এবং (4.13) এর পরিচয়ও প্রমাণ করতে হবে।
ম্যাট্রিক্স আকারে একটি বিন্দু (চিত্র 4.6) এর অবস্থান ভেক্টরের জন্য সুস্পষ্ট ভেক্টর সূত্রটি লিখি। রেফারেন্সের ভিত্তিতে ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা যাক। আসুন আসল ভিত্তি অনুসারে ভেক্টরকে প্রসারিত করি এবং একটি "স্থানান্তরিত" ভেক্টর প্রবর্তন করি, যার স্থানাঙ্কগুলি রেফারেন্স ভিত্তিতে প্রকৃত ভেক্টরের স্থানাঙ্কের সমান; অন্য কথায়, একটি ভেক্টর শরীরের সাথে একসাথে "ঘোরানো" হয়েছে (চিত্র 4.6)।
| ভাত। 4.6। |
রেফারেন্স ভিত্তিতে ভেক্টর প্রসারিত, আমরা পেতে
আসুন ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স এবং কলাম প্রবর্তন করি,
ম্যাট্রিক্স স্বরলিপিতে ভেক্টর সূত্রের ফর্ম আছে
1. ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স অর্থোগোনাল, অর্থাৎ
এই বক্তব্যের প্রমাণ হল সূত্র (4.9)
পণ্যের নির্ধারক (4.15) গণনা করে, আমরা পাই এবং যেহেতু রেফারেন্স অবস্থানে, তারপর (+1) এর সমান নির্ধারক সহ অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স বলা হয় আসলেঅর্থোগোনাল বা ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স)। ভেক্টর দ্বারা গুণ করা হলে, ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা তাদের মধ্যবর্তী কোণগুলি পরিবর্তন করে না, যেমন সত্যিই তাদের পালা.
2. ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সে একটি eigen(স্থির) ভেক্টর রয়েছে, যা ঘূর্ণন অক্ষকে নির্দিষ্ট করে। অন্য কথায়, এটা দেখাতে হবে যে সমীকরণ পদ্ধতির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। আসুন আমরা সিস্টেমটিকে আকারে লিখি (। এই সমজাতীয় সিস্টেমের নির্ধারক শূন্যের সমান, যেহেতু
অতএব, সিস্টেমের একটি অ-শূন্য সমাধান আছে। ধরে নিলাম যে দুটি সমাধান আছে, আমরা অবিলম্বে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে তাদের একটি লম্বটিও একটি সমাধান (ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণগুলি পরিবর্তিত হয় না), যার অর্থ হল যে. কোন পালা..
| চিত্র.4.7 |
একটি অর্থনর্মাল ভিত্তিতে ম্যাট্রিক্স
একটি চেহারা আছে
2. পার্থক্যকরণ (4.15), আমরা প্রাপ্ত বা, বোঝানো - ম্যাট্রিক্স স্পিন (ইংরেজি: to spin - twirl)।সুতরাং, স্পিন ম্যাট্রিক্সটি তির্যক-প্রতিসম: . ডান দিক থেকে গুন করলে, আমরা ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সের জন্য পয়সন সূত্র পাই:
আমরা ম্যাট্রিক্স বর্ণনার কাঠামোর মধ্যে সবচেয়ে কঠিন মুহুর্তে এসেছি - কৌণিক বেগ ভেক্টর নির্ধারণ করা।
আপনি অবশ্যই স্ট্যান্ডার্ড জিনিসটি করতে পারেন (উদাহরণস্বরূপ, পদ্ধতিটি দেখুন এবং লিখুন: " স্কু-সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির জন্য স্বরলিপি প্রবর্তন করা যাকএস সূত্র অনুযায়ী
যদি আপনি একটি ভেক্টর তৈরি করেন , তাহলে একটি ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার ফলাফল একটি ভেক্টর পণ্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে" উপরের উদ্ধৃতিতে - কৌণিক বেগ ভেক্টর।
পার্থক্য (4.14), আমরা একটি অনমনীয় বডির গতিবিদ্যার মৌলিক সূত্রের একটি ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা পাই :
ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি, যদিও গণনার জন্য সুবিধাজনক, সম্পর্ক বিশ্লেষণ এবং আহরণের জন্য খুবই অনুপযুক্ত; ভেক্টর এবং টেনসর ভাষায় লিখিত যে কোনও সূত্র সহজেই ম্যাট্রিক্স আকারে লেখা যেতে পারে, তবে ম্যাট্রিক্স আকারে কোনও শারীরিক ঘটনা বর্ণনা করার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত এবং অভিব্যক্তিপূর্ণ সূত্র পাওয়া কঠিন।
এছাড়াও, আমাদের ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি কিছু ভিত্তিতে টেনসরের স্থানাঙ্ক (উপাদান)। টেনসর নিজেই ভিত্তি পছন্দের উপর নির্ভর করে না, তবে এর উপাদানগুলি করে। ম্যাট্রিক্স আকারে ত্রুটি-মুক্ত রেকর্ডিংয়ের জন্য, অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত ভেক্টর এবং টেনসরগুলিকে এক ভিত্তিতে লিখতে হবে এবং এটি সর্বদা সুবিধাজনক নয়, যেহেতু বিভিন্ন টেনসরের বিভিন্ন বেসে একটি "সরল" ফর্ম থাকে, তাই আপনার প্রয়োজন ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স পুনরায় গণনা করতে।
একটি বৃত্তে এটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে আঁকা ব্যাসার্ধ ভেক্টর $ \overrightarrow (r)$ দ্বারা নির্ধারিত হয়। ব্যাসার্ধ ভেক্টরের মডুলাস R বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান (চিত্র 1)।
চিত্র 1. ব্যাসার্ধ ভেক্টর, স্থানচ্যুতি, পথ এবং ঘূর্ণনের কোণ যখন একটি বিন্দু একটি বৃত্তের চারদিকে ঘোরে
এই ক্ষেত্রে, ঘূর্ণন কোণ, কৌণিক বেগ এবং কৌণিক ত্বরণের মতো গতিশীল বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে একটি বৃত্তে একটি দেহের গতি দ্ব্যর্থহীনভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে।
সময় ∆t, শরীর, বিন্দু A থেকে B বিন্দুতে সরে গিয়ে জ্যা AB এর সমান একটি স্থানচ্যুতি $\triangle r$ তৈরি করে এবং চাপ l এর দৈর্ঘ্যের সমান একটি পথকে আবৃত করে। ব্যাসার্ধ ভেক্টর ∆$ \varphi $ কোণের মাধ্যমে ঘোরে।
ঘূর্ণনের কোণটি কৌণিক স্থানচ্যুতির ভেক্টর দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, যার মাত্রা ঘূর্ণনের কোণের সমান ∆$ \varphi $, এবং দিকটি এর সাথে মিলে যায় ঘূর্ণনের অক্ষ, এবং যাতে ঘূর্ণনের দিকটি ভেক্টরের দিকনির্দেশের সাথে আপেক্ষিক $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ অনুযায়ী ডান হাতের স্ক্রু নিয়মের সাথে মিলে যায়।
ভেক্টর $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ কে একটি অক্ষীয় ভেক্টর (বা ছদ্ম-ভেক্টর) বলা হয়, যখন স্থানচ্যুতি ভেক্টর $\triangle \overrightarrow(r)$ হল একটি মেরু ভেক্টর (এগুলির মধ্যে বেগ এবং ত্বরণ ভেক্টর)। তারা ভিন্ন যে মেরু ভেক্টর, দৈর্ঘ্য এবং দিক ছাড়াও, একটি প্রয়োগ বিন্দু (মেরু) আছে এবং অক্ষীয় ভেক্টরের শুধুমাত্র দৈর্ঘ্য এবং দিক আছে (অক্ষ - ল্যাটিন ভাষায় অক্ষ), কিন্তু একটি প্রয়োগ বিন্দু নেই। এই ধরনের ভেক্টর প্রায়ই পদার্থবিদ্যায় ব্যবহৃত হয়। এগুলি, উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত ভেক্টরকে অন্তর্ভুক্ত করে যেগুলি দুটি মেরু ভেক্টরের ভেক্টর পণ্য।
ব্যাসার্ধ ভেক্টরের ঘূর্ণন কোণের অনুপাতের সাংখ্যিকভাবে সমান একটি স্কেলার ভেক্টর যে সময়ে এই ঘূর্ণনটি ঘটেছিল, তাকে গড় কৌণিক বেগ বলা হয়: $\left\langle \omega \right\rangle =\ frac(\triangle \varphi )(\triangle t)$। কৌণিক বেগের SI একক হল রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড $(\frac (rad) (c))$।
সংজ্ঞা
ঘূর্ণনের কৌণিক বেগ হল একটি ভেক্টর যা সময়ের সাপেক্ষে শরীরের ঘূর্ণন কোণের প্রথম ডেরিভেটিভের সংখ্যাগতভাবে সমান এবং ডান স্ক্রু নিয়ম অনুসারে ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর নির্দেশিত:
\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\overrightarrow((\mathbf \varphi)))(dt)\ )\]
একটি বৃত্তে অভিন্ন গতির সাথে, কৌণিক বেগ এবং রৈখিক বেগের মাত্রা হল ধ্রুবক পরিমাণ: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$।
$\triangle \varphi =\frac(l)(R)$ বিবেচনা করে, আমরা রৈখিক এবং কৌণিক বেগের মধ্যে সম্পর্কের সূত্রটি পাই: $\omega =\frac(l)(R\triangle t)=\frac( v)(আর)$। কৌণিক বেগও স্বাভাবিক ত্বরণের সাথে সম্পর্কিত: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$
একটি বৃত্তের চারপাশে অ-অভিন্ন গতির সাথে, কৌণিক বেগ ভেক্টর হল সময়ের একটি ভেক্টর ফাংশন $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\ left(t\right) t$, যেখানে $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ হল প্রাথমিক কৌণিক বেগ, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ কৌণিক ত্বরণ। অভিন্ন পরিবর্তনশীল গতির ক্ষেত্রে, $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$, এবং $\left|\overrightarrow((\mathbf) \omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.
চিত্র 2-এ দেখানো গ্রাফ 1 এবং 2 অনুযায়ী কৌণিক বেগ পরিবর্তিত হলে একটি ঘূর্ণমান অনমনীয় শরীরের গতি বর্ণনা করুন।
চিত্র ২.
ঘূর্ণন দুটি দিকে ঘটে - ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে। ঘূর্ণনের দিকটি ঘূর্ণন কোণের সিউডোভেক্টর এবং কৌণিক বেগের সাথে সম্পর্কিত। ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণনের দিকটিকে ধনাত্মক বলে বিবেচনা করা যাক।
গতি 1-এর জন্য, কৌণিক বেগ বৃদ্ধি পায়, কিন্তু কৌণিক ত্বরণ $\varepsilon $=d$\omega $/dt (ডেরিভেটিভ) হ্রাস পায়, ধনাত্মক থাকে। ফলস্বরূপ, এই আন্দোলনটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ত্বরান্বিত হয় এবং ত্বরণ হ্রাস পায়।
গতি 2-এর জন্য, কৌণিক বেগ হ্রাস পায়, তারপর অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুতে শূন্যে পৌঁছায় এবং তারপর ঋণাত্মক হয় এবং পরম মান বৃদ্ধি পায়। কৌণিক ত্বরণ ঋণাত্মক এবং মাত্রায় হ্রাস পায়। এইভাবে, প্রথমে বিন্দুটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ধীর গতিতে সরে যায় এবং একটি কৌণিক ত্বরণ পরম মান হ্রাস পেয়ে থেমে যায় এবং পরম মান হ্রাসের ত্বরণের সাথে দ্রুত ঘোরাতে থাকে।
একটি ঘূর্ণায়মান চাকার ব্যাসার্ধ R খুঁজে বের করুন যদি এটি জানা যায় যে রিমে থাকা একটি বিন্দুর রৈখিক গতি $v_1$ দূরত্বে থাকা একটি বিন্দুর রৈখিক গতি $v_2$ থেকে 2.5 গুণ বেশি $r = 5 সেমি$ চাকা অক্ষের কাছাকাছি।
চিত্র 3।
$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2.5v_2$$ $$R_1 = ?$$
বিন্দুগুলো ঘনকেন্দ্রিক বৃত্ত বরাবর চলে, তাদের কৌণিক বেগের ভেক্টর সমান, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\ omega $, অতএব, স্কেলার আকারে লেখা যেতে পারে:
উত্তর: চাকার ব্যাসার্ধ R = 8.3 সেমি
অভিমুখ বিকৃত স্ফটিক পরিমাণ gratings, শর্তাধীন বিচ্ছিন্নতা: টর্শন - স্ফটিকের একটি অংশের ঘূর্ণনের কোণ অন্যটির সাথে সম্পর্কিত; প্রতিসাম্যের অক্ষের ক্রম পরিবর্তিত হলে ঘূর্ণন কোণ a এ কীলক পরিবর্তন। ... প্রযুক্তিগত অনুবাদকের গাইড
ফ্রাঙ্ক ভেক্টর- স্ফটিক জালির বিকৃতির দিকনির্দেশক পরিমাণ, বিচ্ছিন্নতার কারণে: টর্শন, স্ফটিকের একটি অংশের ঘূর্ণনের কোণ অন্যটির তুলনায়; প্রতিসাম্যের অক্ষের ক্রম পরিবর্তিত হলে ঘূর্ণন কোণে কীলক পরিবর্তন a। দেখো…… ধাতুবিদ্যার বিশ্বকোষীয় অভিধান
ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স- তথ্য পরীক্ষা করুন. এই নিবন্ধে উপস্থাপিত তথ্যের সত্যতা এবং নির্ভরযোগ্যতা পরীক্ষা করা প্রয়োজন। আলাপ পাতায় একটি ব্যাখ্যা থাকা উচিত... উইকিপিডিয়া
নিয়ন্ত্রিত থ্রাস্ট ভেক্টর- একটি জেট ইঞ্জিনের থ্রাস্ট ভেক্টর কন্ট্রোল (TCV) - ক্রুজিং মোডের সাথে সম্পর্কিত দিক থেকে ইঞ্জিন জেট স্ট্রিমের বিচ্যুতি। বর্তমানে, থ্রাস্ট ভেক্টর নিয়ন্ত্রণ প্রধানত পুরো অগ্রভাগ ঘোরানোর মাধ্যমে প্রদান করা হয়... ... উইকিপিডিয়া
জাইরোস্কোপ- একটি নেভিগেশন ডিভাইস, যার প্রধান উপাদানটি একটি দ্রুত ঘূর্ণায়মান রটার, স্থির যাতে এটির ঘূর্ণনের অক্ষটি ঘোরানো যায়। জাইরোস্কোপ রটারের স্বাধীনতার তিন ডিগ্রি (সম্ভাব্য ঘূর্ণনের অক্ষ) দুটি ফ্রেম দ্বারা সরবরাহ করা হয়... ... কোলিয়ার এনসাইক্লোপিডিয়া
ফ্যারাডে প্রভাব- ম্যাগনেটোপটিক্সের প্রভাবগুলির মধ্যে একটি। এটি রৈখিকভাবে পোলারাইজড পোলারাইজারগুলির মেরুকরণের সমতল ঘোরানো নিয়ে গঠিত। পোস্ট বরাবর আলো ছড়িয়ে. ম্যাগ ক্ষেত্রগুলি, যেখানে এটি রমে অবস্থিত। 1845 সালে এম. ফ্যারাডে আবিষ্কার করেছিলেন এবং এটি প্রথম প্রমাণ ছিল... ... শারীরিক বিশ্বকোষ
গ্রাফিক্স পাইপলাইন- ত্রিমাত্রিক গ্রাফিক্সের ভিজ্যুয়ালাইজেশনের জন্য গ্রাফিক্স পাইপলাইন, হার্ডওয়্যার এবং সফ্টওয়্যার কমপ্লেক্স। বিষয়বস্তু 1 একটি ত্রিমাত্রিক দৃশ্যের উপাদান 1.1 হার্ডওয়্যার 1.2 সফ্টওয়্যার ইন্টারফেস... উইকিপিডিয়া
চুম্বকত্ব- ক্লাসিক্যাল ইলেক্ট্রোডাইনামিকস... উইকিপিডিয়া
GOST 22268-76: জিওডেসি। শর্তাবলী এবং সংজ্ঞা- পরিভাষা GOST 22268 76: জিওডেসি। শর্তাবলী এবং সংজ্ঞা মূল নথি: 114. রূপরেখা NDP. Kroki D. Gelandeskizze Gelandekroki E. আউটলাইন ফিল্ড স্কেচ F. Croquis স্কিম্যাটিক ড্রয়িং একটি ভূখণ্ড এলাকার বিভিন্ন নথি থেকে শব্দের সংজ্ঞা ... আদর্শিক এবং প্রযুক্তিগত ডকুমেন্টেশনের শর্তাবলীর অভিধান-রেফারেন্স বই
সোলার প্যানেল ওরিয়েন্টেশন সিস্টেম- এই নিবন্ধের শৈলী নন-এনসাইক্লোপেডিক বা রাশিয়ান ভাষার নিয়ম লঙ্ঘন করে। নিবন্ধটি উইকিপিডিয়া... উইকিপিডিয়ার শৈলীগত নিয়ম অনুযায়ী সংশোধন করা উচিত
কৌণিক বেগ- ভেক্টর পরিমাণ একটি অনমনীয় শরীরের ঘূর্ণনের গতি চিহ্নিত করে। যখন একটি দেহ একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে সমানভাবে ঘোরে, তখন তার V.s. w=Dj/Dt, যেখানে Dj হল Dt সময়ের সাথে ঘূর্ণন j এর কোণে বৃদ্ধি, এবং সাধারণ ক্ষেত্রে w=dj/dt। ভেক্টর ইউ....... শারীরিক বিশ্বকোষ
একটি বর্ধিত শরীরের আন্দোলন, যার মাত্রা বিবেচনাধীন সমস্যার অবস্থার অধীনে উপেক্ষা করা যাবে না। আমরা শরীরটিকে অ-বিকৃত বলে বিবেচনা করব, অন্য কথায়, একেবারে শক্ত।
যে আন্দোলনে যেকোনোএকটি চলমান শরীরের সাথে যুক্ত একটি সরল রেখা নিজের সাথে সমান্তরাল থাকে বলে প্রগতিশীল
একটি সরল রেখা "শরীরের সাথে দৃঢ়ভাবে সংযুক্ত" দ্বারা আমরা এমন একটি সরল রেখাকে বুঝি, যার যে কোনও বিন্দু থেকে শরীরের যে কোনও বিন্দুর দূরত্ব তার চলাচলের সময় স্থির থাকে।
একটি একেবারে অনমনীয় শরীরের অনুবাদমূলক গতি এই শরীরের যে কোনও বিন্দুর গতিবিধি দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে, কারণ অনুবাদমূলক গতির সময় শরীরের সমস্ত বিন্দু একই গতি এবং ত্বরণের সাথে চলে এবং তাদের গতির গতিপথ একমত। একটি অনমনীয় দেহের যে কোনও বিন্দুর গতি নির্ধারণ করার পরে, আমরা একই সাথে এর অন্যান্য সমস্ত বিন্দুর গতি নির্ধারণ করব। অতএব, অনুবাদমূলক গতি বর্ণনা করার সময়, একটি বস্তুগত বিন্দুর গতিবিদ্যার সাথে তুলনা করে কোন নতুন সমস্যা দেখা দেয় না। অনুবাদমূলক গতির একটি উদাহরণ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 2.20।
চিত্র 2.20। শরীরের ফরোয়ার্ড নড়াচড়া
অনুবাদমূলক গতির একটি উদাহরণ নিম্নলিখিত চিত্রে দেখানো হয়েছে:
চিত্র 2.21। ফ্ল্যাট শরীরের আন্দোলন
একটি অনমনীয় শরীরের গতির আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ঘটনা হল গতি যেখানে শরীরের দুটি বিন্দু গতিহীন থাকে।
যে আন্দোলনে শরীরের দুটি বিন্দু গতিহীন থাকে তাকে বলে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন।
এই বিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী সরলরেখাটিও স্থির এবং বলা হয় ঘূর্ণনের অক্ষ
চিত্র 2.22। অনমনীয় শরীরের ঘূর্ণন
এই আন্দোলনের সাথে, শরীরের সমস্ত বিন্দু ঘূর্ণনের অক্ষের লম্ব সমতলগুলিতে অবস্থিত বৃত্তগুলিতে চলে যায়। বৃত্তগুলির কেন্দ্রগুলি ঘূর্ণনের অক্ষের উপর অবস্থিত। এই ক্ষেত্রে, ঘূর্ণনের অক্ষ শরীরের বাইরে অবস্থিত হতে পারে।
ভিডিও 2.4। অনুবাদমূলক এবং ঘূর্ণনশীল আন্দোলন।
কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ।যখন একটি দেহ কোন অক্ষের চারপাশে ঘোরে, তখন এর সমস্ত বিন্দু বিভিন্ন ব্যাসার্ধের বৃত্তকে বর্ণনা করে এবং তাই, বিভিন্ন স্থানচ্যুতি, বেগ এবং ত্বরণ থাকে। তবে, শরীরের সমস্ত বিন্দুর ঘূর্ণন গতি একইভাবে বর্ণনা করা সম্ভব। এটি করার জন্য, তারা গতির অন্যান্য (বস্তুর বিন্দুর তুলনায়) গতিগত বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে - ঘূর্ণনের কোণ, কৌণিক বেগ, কৌণিক ত্বরণ।
ভাত। 2.23। একটি বৃত্তে চলমান একটি বিন্দুর ত্বরণ ভেক্টর
ঘূর্ণন গতিতে স্থানচ্যুতির ভূমিকা পালন করে ছোট ঘূর্ণন ভেক্টর, ঘূর্ণনের অক্ষের চারপাশে 00" (চিত্র 2.24।)। এটি যে কোনও পয়েন্টের জন্য একই হবে একেবারে শক্ত শরীর(উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্ট 1, 2, 3 ).
ভাত। 2.24। একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে একটি একেবারে অনমনীয় বডির ঘূর্ণন
ঘূর্ণন ভেক্টরের মাত্রা ঘূর্ণন কোণের মাত্রার সমান এবং কোণ রেডিয়ানে পরিমাপ করা হয়.
ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর অসীম ঘূর্ণনের ভেক্টরটি ডান স্ক্রু (জিমলেট) এর নড়াচড়ার দিকে পরিচালিত হয়, শরীরের মতো একই দিকে ঘোরানো হয়।
ভিডিও 2.5। সসীম কৌণিক স্থানচ্যুতিগুলি ভেক্টর নয়, যেহেতু তারা সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম অনুসারে যোগ করে না। অসীম কৌণিক স্থানচ্যুতিগুলি ভেক্টর।
যে সব ভেক্টর জিমলেট নিয়মের সাথে সম্পর্কিত তাদের বলা হয় অক্ষীয়(ইংরেজী থেকে অক্ষ- অক্ষ) এর বিপরীতে পোলার. আমরা আগে ব্যবহার করা ভেক্টর. পোলার ভেক্টর হল, যেমন, ব্যাসার্ধ ভেক্টর, বেগ ভেক্টর, ত্বরণ ভেক্টর এবং বল ভেক্টর। অক্ষীয় ভেক্টরগুলিকে সিউডোভেক্টরও বলা হয়, কারণ তারা আয়নায় প্রতিফলনের ক্রিয়াকলাপের সময় তাদের আচরণে সত্য (পোলার) ভেক্টরের থেকে আলাদা (উল্টানো বা, একই রকম, ডান-হাতি থেকে বাম-হাতি স্থানাঙ্ক সিস্টেমে রূপান্তর) . এটি দেখানো যেতে পারে (এটি পরে করা হবে) যে অসীম ঘূর্ণনের ভেক্টরের যোগ সত্য ভেক্টরের যোগের মতোই ঘটে, অর্থাৎ সমান্তরাল (ত্রিভুজ) নিয়ম অনুসারে। অতএব, যদি আয়নায় প্রতিফলনের ক্রিয়াকলাপ বিবেচনা না করা হয়, তবে ছদ্ম-ভেক্টর এবং সত্য ভেক্টরের মধ্যে পার্থক্য কোনওভাবেই নিজেকে প্রকাশ করে না এবং সেগুলিকে সাধারণ (সত্য) ভেক্টরের মতো বিবেচনা করা যেতে পারে এবং করা উচিত।
একটি অসীম ঘূর্ণনের ভেক্টরের অনুপাত যে সময়ে এই ঘূর্ণনটি ঘটেছিল
ডাকা কৌণিক ঘূর্ণন গতি।
কৌণিক বেগ পরিমাপের মৌলিক একক rad/s. মুদ্রিত প্রকাশনাগুলিতে, যে কারণে পদার্থবিদ্যার সাথে কোন সম্পর্ক নেই, তারা প্রায়শই লেখেন 1/সেবা s -1, যা, কঠোরভাবে বলতে গেলে, সত্য নয়। কোণ একটি মাত্রাবিহীন পরিমাণ, কিন্তু এর পরিমাপের একক ভিন্ন (ডিগ্রী, পয়েন্ট, গ্রেড...) এবং অন্তত ভুল বোঝাবুঝি এড়াতে সেগুলি অবশ্যই নির্দেশিত হতে হবে।
ভিডিও 2.6। কৌণিক বেগ দূরবর্তী পরিমাপের জন্য স্ট্রোবোস্কোপিক প্রভাব এবং এর ব্যবহার।
কৌণিক বেগ, যে ভেক্টরের সাথে এটি সমানুপাতিক, এটি একটি অক্ষীয় ভেক্টর। যখন চারিদিকে ঘুরছে গতিহীনঅক্ষ, কৌণিক বেগ তার দিক পরিবর্তন করে না। অভিন্ন ঘূর্ণনের সাথে, এর মাত্রাও স্থির থাকে, তাই ভেক্টর। কৌণিক বেগের সময় পর্যাপ্ত স্থিরতার ক্ষেত্রে, ঘূর্ণনটিকে এর সময়কাল দ্বারা চিহ্নিত করা সুবিধাজনক টি :
ঘূর্ণন সময়কাল- এটি সেই সময় যখন শরীর ঘূর্ণনের অক্ষের চারপাশে একটি বিপ্লব (2π কোণের মাধ্যমে ঘূর্ণন) করে।
"পর্যাপ্ত স্থিরতা" শব্দগুলির স্পষ্টতই অর্থ হল যে সময়কালে (একটি বিপ্লবের সময়) কৌণিক বেগের মডিউলটি অপ্রত্যাশিতভাবে পরিবর্তিত হয়।
এছাড়াও প্রায়ই ব্যবহৃত প্রতি ইউনিট সময় বিপ্লবের সংখ্যা
তদুপরি, প্রযুক্তিগত অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে (প্রাথমিকভাবে সমস্ত ধরণের ইঞ্জিন), এটি এক সেকেন্ড নয়, সময়ের একক হিসাবে এক মিনিট নেওয়ার প্রথা। অর্থাৎ, ঘূর্ণনের কৌণিক গতি প্রতি মিনিটে আবর্তনে নির্দেশিত হয়। আপনি সহজেই দেখতে পাচ্ছেন, (প্রতি সেকেন্ডে রেডিয়ানে) এবং (প্রতি মিনিটে বিবর্তনে) মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ
কৌণিক বেগ ভেক্টরের দিকটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 2.25।
রৈখিক ত্বরণের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, কৌণিক ত্বরণকে কৌণিক বেগ ভেক্টরের পরিবর্তনের হার হিসাবে প্রবর্তন করা হয়। কৌণিক ত্বরণও একটি অক্ষীয় ভেক্টর (সিউডোভেক্টর)।
কৌণিক ত্বরণ হল একটি অক্ষীয় ভেক্টর যা কৌণিক বেগের সময় ডেরিভেটিভ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
যখন একটি স্থির অক্ষের চারপাশে ঘোরানো হয়, বা আরও সাধারণভাবে যখন একটি অক্ষের চারপাশে ঘোরানো হয় যেটি নিজের সমান্তরাল থাকে, কৌণিক বেগ ভেক্টরটিও ঘূর্ণনের অক্ষের সমান্তরালে নির্দেশিত হয়। ক্রমবর্ধমান কৌণিক বেগ সঙ্গে || কৌণিক ত্বরণ এটির দিকের সাথে মিলে যায়; যখন হ্রাস হয়, তখন এটি বিপরীত দিকে পরিচালিত হয়। আমরা জোর দিই যে এটি ঘূর্ণন অক্ষের দিকের পরিবর্তনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে; সাধারণ ক্ষেত্রে (একটি বিন্দুর চারপাশে ঘূর্ণন), ঘূর্ণন অক্ষ নিজেই ঘোরে এবং তারপরে উপরেরটি ভুল।
কৌণিক এবং রৈখিক বেগ এবং ত্বরণের মধ্যে সম্পর্ক।ঘূর্ণায়মান দেহের প্রতিটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট রৈখিক গতিতে চলে, স্পর্শকভাবে সংশ্লিষ্ট বৃত্তের দিকে নির্দেশিত হয় (চিত্র 19 দেখুন)। বস্তুগত বিন্দুটিকে একটি অক্ষের চারপাশে ঘুরতে দিন 00" ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত বরাবর আর. অল্প সময়ের মধ্যে, এটি ঘূর্ণনের কোণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি পথ ভ্রমণ করবে। তারপর
সীমাতে চলে গেলে, আমরা ঘূর্ণায়মান শরীরের একটি বিন্দুর রৈখিক বেগের মডুলাসের জন্য একটি অভিব্যক্তি পাই।
আমরা এখানে আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি আর- শরীরের বিবেচিত বিন্দু থেকে ঘূর্ণনের অক্ষের দূরত্ব।
ভাত। 2.26।
যেহেতু স্বাভাবিক ত্বরণ
তারপর, কৌণিক এবং রৈখিক গতির সম্পর্ক বিবেচনা করে, আমরা পাই
একটি ঘূর্ণমান অনমনীয় শরীরে বিন্দুর স্বাভাবিক ত্বরণকে প্রায়ই বলা হয় কেন্দ্রমুখী ত্বরণ.
সময়ের সাপেক্ষে অভিব্যক্তির পার্থক্য করা, আমরা খুঁজে পাই
ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তে চলমান একটি বিন্দুর স্পর্শক ত্বরণ কোথায় আর.
এইভাবে, ক্রমবর্ধমান ব্যাসার্ধের সাথে স্পর্শক এবং স্বাভাবিক ত্বরণ উভয়ই রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায় আর- ঘূর্ণনের অক্ষ থেকে দূরত্ব। মোট ত্বরণও রৈখিকভাবে নির্ভর করে আর :
উদাহরণ।চলুন বিষুবরেখায় এবং মস্কোর অক্ষাংশে পৃথিবীর পৃষ্ঠে অবস্থিত বিন্দুগুলির রৈখিক বেগ এবং কেন্দ্রমুখী ত্বরণ খুঁজে বের করা যাক ( = 56°) আমরা জানি পৃথিবীর নিজের অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের সময়কাল T = 24 ঘন্টা = 24x60x60 = 86,400 s. এখান থেকে আমরা ঘূর্ণনের কৌণিক বেগ খুঁজে পাই
পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ
অক্ষাংশে ঘূর্ণনের অক্ষের দূরত্ব সমান
এখান থেকে আমরা রৈখিক গতি খুঁজে পাই
এবং কেন্দ্রমুখী ত্বরণ
বিষুবরেখা = 0, cos = 1, তাই,
মস্কোর অক্ষাংশে cos = cos 56° = 0.559এবং আমরা পাই:
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে পৃথিবীর ঘূর্ণনের প্রভাব এত বেশি নয়: বিষুব রেখায় কেন্দ্রীভূত ত্বরণের অনুপাত মুক্ত পতনের ত্বরণের সমান
তবুও, আমরা পরে দেখব, পৃথিবীর ঘূর্ণনের প্রভাবগুলি বেশ পর্যবেক্ষণযোগ্য।
রৈখিক এবং কৌণিক বেগ ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক।উপরে প্রাপ্ত কৌণিক এবং রৈখিক গতির মধ্যে সম্পর্কগুলি ভেক্টরের মডিউলগুলির জন্য এবং . এই সম্পর্কগুলিকে ভেক্টর আকারে লিখতে, আমরা একটি ভেক্টর পণ্যের ধারণা ব্যবহার করি।
দিন 0z- একটি একেবারে অনমনীয় শরীরের ঘূর্ণনের অক্ষ (চিত্র 2.28)।
ভাত। 2.28। রৈখিক এবং কৌণিক বেগ ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক
ডট কব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তে ঘোরে আর. আর- ঘূর্ণনের অক্ষ থেকে শরীরের বিবেচিত বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব। একটা পয়েন্ট নেওয়া যাক 0 উৎপত্তির জন্য তারপর
এবং যেহেতু
তারপর ভেক্টর পণ্যের সংজ্ঞা অনুসারে, শরীরের সমস্ত পয়েন্টের জন্য
এখানে শরীরের একটি বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর, O বিন্দু থেকে শুরু করে, একটি নির্বিচারে নির্দিষ্ট স্থানে শুয়ে আছে, অগত্যা ঘূর্ণনের অক্ষে
কিন্তু অন্যভাবে
প্রথম পদটি শূন্যের সমান, যেহেতু সমরেখার ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল শূন্যের সমান। তাই,
ভেক্টর কোথায় আরঘূর্ণনের অক্ষের সাথে লম্ব এবং এটি থেকে দূরে নির্দেশিত, এবং এর মডিউলটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান যার সাথে উপাদান বিন্দুটি চলে যায় এবং এই ভেক্টর এই বৃত্তের কেন্দ্রে শুরু হয়.
ভাত। 2.29। ঘূর্ণনের তাত্ক্ষণিক অক্ষ নির্ধারণের দিকে
সাধারণ (কেন্দ্রীয়) ত্বরণও ভেক্টর আকারে লেখা যেতে পারে:
এবং "–" চিহ্নটি নির্দেশ করে যে এটি ঘূর্ণনের অক্ষের দিকে নির্দেশিত। সময়ের সাপেক্ষে রৈখিক এবং কৌণিক বেগের সম্পর্কের পার্থক্য করে, আমরা মোট ত্বরণের অভিব্যক্তি খুঁজে পাই
প্রথম পদটি একটি ঘূর্ণায়মান দেহের একটি বিন্দুর গতিপথের স্পর্শক নির্দেশিত হয় এবং এর মডিউলটি সমান, যেহেতু
স্পর্শক ত্বরণের অভিব্যক্তির সাথে তুলনা করে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে এটি স্পর্শক ত্বরণ ভেক্টর
অতএব, দ্বিতীয় পদটি একই বিন্দুর স্বাভাবিক ত্বরণকে প্রতিনিধিত্ব করে:
প্রকৃতপক্ষে, এটি ব্যাসার্ধ বরাবর নির্দেশিত হয় আরঘূর্ণনের অক্ষে এবং এর মডিউল সমান
অতএব, স্বাভাবিক ত্বরণের জন্য এই সম্পর্কটি পূর্বে প্রাপ্ত সূত্র লেখার আরেকটি রূপ।
অতিরিক্ত তথ্য
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - সিভুখিন ডি.ভি. পদার্থবিজ্ঞানের সাধারণ কোর্স, ভলিউম 1, মেকানিক্স এড। বিজ্ঞান 1979 – pp. 242–243 (§46, অনুচ্ছেদ 7): একটি অনমনীয় শরীরের কৌণিক ঘূর্ণনের ভেক্টর প্রকৃতির প্রশ্নটি বোঝা বেশ কঠিন;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - সিভুখিন ডি.ভি. পদার্থবিজ্ঞানের সাধারণ কোর্স, ভলিউম 1, মেকানিক্স এড। বিজ্ঞান 1979 – pp. 233–242 (§45, §46 pp. 1–6): একটি অনমনীয় দেহের ঘূর্ণনের তাৎক্ষণিক অক্ষ, ঘূর্ণনের যোগ;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - “Kvant” পত্রিকা – বাস্কেটবল থ্রোয়ের গতিবিদ্যা (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - "Kvant" ম্যাগাজিন, 2003, নং 6, – pp. 5-11, একটি অনমনীয় শরীরের তাত্ক্ষণিক বেগের ক্ষেত্র (এস. ক্রোটভ);
প্রাথমিক ঘূর্ণন কোণ, কৌণিক বেগ
চিত্র 9. প্রাথমিক ঘূর্ণন কোণ ()
প্রাথমিক (অসীম) ঘূর্ণন ভেক্টর হিসাবে বিবেচিত হয়। ভেক্টরের মাত্রা ঘূর্ণনের কোণের সমান, এবং এর দিকটি স্ক্রুটির অগ্রভাগের অনুবাদমূলক আন্দোলনের দিকের সাথে মিলে যায়, যার মাথাটি বৃত্ত বরাবর বিন্দুর গতিবিধির দিকে ঘোরে, অর্থাৎ, এটি মেনে চলে ডান হাতের স্ক্রু নিয়ম।
কৌণিক বেগ
ভেক্টরটি ডান স্ক্রুর নিয়ম অনুসারে ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর নির্দেশিত হয়, অর্থাৎ ভেক্টরের মতো (চিত্র 10 দেখুন)।
চিত্র 10।
চিত্র 11
সময়ের সাপেক্ষে একটি শরীরের ঘূর্ণনের কোণের প্রথম ডেরিভেটিভ দ্বারা নির্ধারিত একটি ভেক্টর পরিমাণ।
রৈখিক এবং কৌণিক বেগ মডিউল মধ্যে যোগাযোগ
চিত্র 12
রৈখিক এবং কৌণিক বেগ ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক
বিবেচনাধীন বিন্দুর অবস্থান ব্যাসার্ধ ভেক্টর দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় (ঘূর্ণন অক্ষের উপর থাকা উৎপত্তি 0 থেকে আঁকা)। ক্রস পণ্যটি ভেক্টরের সাথে মিলে যায় এবং এর সমান একটি মডুলাস থাকে
কৌণিক বেগের একক হল।
সিউডোভেক্টর (অক্ষীয় ভেক্টর) হল এমন ভেক্টর যাদের দিকগুলি ঘূর্ণনের দিকের সাথে সম্পর্কিত (উদাহরণস্বরূপ,)। এই ভেক্টরগুলির প্রয়োগের নির্দিষ্ট পয়েন্ট নেই: এগুলি ঘূর্ণন অক্ষের যে কোনও বিন্দু থেকে প্লট করা যেতে পারে।
একটি বৃত্তের চারপাশে একটি বস্তুগত বিন্দুর অভিন্ন গতি
একটি বৃত্ত বরাবর অভিন্ন গতি এমন একটি গতি যেখানে একটি বস্তুগত বিন্দু (দেহ) সময়ের ব্যবধানে সমান দৈর্ঘ্যের একটি বৃত্তের একটি চাপ অতিক্রম করে।
কৌণিক বেগ
: (--- ঘূর্ণন কোণ)।
ঘূর্ণন T এর সময়কাল হল সেই সময় যে সময়ে একটি বস্তুগত বিন্দু একটি বৃত্তের চারপাশে একটি সম্পূর্ণ বিপ্লব ঘটায়, অর্থাৎ একটি কোণের মাধ্যমে ঘোরে।
যেহেতু এটি সময়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তারপর।
ঘূর্ণন ফ্রিকোয়েন্সি হল একক সময় প্রতি বৃত্তের চারপাশে অভিন্ন গতির সময় একটি বস্তুগত বিন্দু দ্বারা সৃষ্ট পূর্ণ বিপ্লবের সংখ্যা।
চিত্র 13
অভিন্ন বৃত্তাকার গতির একটি চরিত্রগত বৈশিষ্ট্য
অভিন্ন বৃত্তাকার গতি বক্ররেখার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। পরম মান () এ একটি গতি ধ্রুবক সহ বৃত্তাকার গতি ত্বরিত হয়। এটি এই কারণে যে একটি ধ্রুবক মডুলাসের সাথে বেগের দিকটি সর্বদা পরিবর্তিত হয়।
একটি বৃত্তে সমানভাবে চলমান একটি উপাদান বিন্দুর ত্বরণ
একটি বিন্দু যখন একটি বৃত্তের চারদিকে সমানভাবে ঘোরে তখন ত্বরণের স্পর্শক উপাদান শূন্য।
ত্বরণের স্বাভাবিক উপাদান (কেন্দ্রীয় ত্বরণ) বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে রেডিয়ালিভাবে নির্দেশিত হয় (চিত্র 13 দেখুন)। বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে, স্বাভাবিক ত্বরণ ভেক্টর বেগ ভেক্টরের সাথে লম্ব। যেকোন বিন্দুতে একটি বৃত্তের চারপাশে সমানভাবে ঘুরতে থাকা বস্তুগত বিন্দুর ত্বরণ হল কেন্দ্রবিন্দু।
কৌণিক ত্বরণ। রৈখিক এবং কৌণিক পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক
কৌণিক ত্বরণ হল একটি ভেক্টর পরিমাণ যা সময়ের সাপেক্ষে কৌণিক বেগের প্রথম ডেরিভেটিভ দ্বারা নির্ধারিত হয়।
কৌণিক ত্বরণ ভেক্টর দিক
যখন একটি বডি একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারদিকে ঘোরে, তখন কৌণিক ত্বরণ ভেক্টরটি ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর কৌণিক বেগের প্রাথমিক বৃদ্ধির ভেক্টরের দিকে নির্দেশিত হয়।
যখন গতি ত্বরান্বিত হয়, তখন ভেক্টরটি ভেক্টরের সহ-নির্দেশিক হয়, যখন এটি ধীর হয়, তখন এটি বিপরীত হয়। ভেক্টর একটি ছদ্ম-ভেক্টর।
কৌণিক ত্বরণের একক হল।
রৈখিক এবং কৌণিক পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক
(--- বৃত্তের ব্যাসার্ধ; - রৈখিক বেগ; - স্পর্শক ত্বরণ; - স্বাভাবিক ত্বরণ; - কৌণিক বেগ)।
