Главная Россия

Что такое система моделирования. Основы моделирования систем

Моделирование процессов и систем

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

В учебнике рассматриваются основы моделирования процессов и систем. Излагаются принципы математического и компьютерного моделирования систем. Рассматриваются основные теоретические сведения генерирования случайных последовательностей, критериев проверки случайности наблюдений. Излагаются основные аспекты статистического моделирования, моделирования марковских случайных процессов, идентификации объектов, решения задач детерминированного линейного оптимального управления, принципы построения моделирующих алгоритмов на примерах систем массового обслуживания. Приводятся основные положения имитации случайных процессов, обработки результатов моделирования и многое другое.

1. Основы моделирования систем.. 4

1.1. Модели и моделирование. 4

1.2. Прикладные аспекты моделирования. 14

1.3. Основные свойства модели и моделирования. 16

2. Математическое и компьютерное моделирование. 19

2.1. Классификация видов моделирования. 19

2.2. Математическое моделирование сложных систем.. 21

2.3. Имитация случайных величин и процессов. 25

2.4. Основы математического моделирования. 27

2.5. Компьютерное моделирование. 32

3. Эволюционное моделирование и генетические алгоритмы.. 39

3.1. Основные атрибуты эволюционного моделирования. 39

3.3. Генетические алгоритмы.. 45

4. Генерирование случайных последовательностей. 48

4.1. Генерирование равномерно распределенных случайных чисел. 48

4.2. Основные критерии проверки случайных наблюдений. 56

4.3. Эмпирические критерии. 60

4.4. Численные распределения. 63

4.5. Признаки случайной последовательности. 67

5. Статистическое моделирование. 69

5.1. Введение. 69

5.2. Нормальное распределение. 70

5.3. Оценка максимального правдоподобия. 73

5.4. Метод наименьших квадратов. 74

6. Цепи Маркова. 77

6.1. Марковский процесс с дискретным временем.. 78

6.2. Марковские случайные процессы с непрерывным временем.. 87

6.3. Математический аппарат теории цепей Маркова. 91

6.4. Типовые задачи применения цепей Маркова. 93

6.5. Определение матрицы M среднего времени перехода. 97

7. Каноническое разложение случайного процесса. 104

7.1. Теоретические сведения. 104

7.2. Каноническое разложение случайного процесса в задачах. 105

8. Идентификация динамических объектов. 108

8.1. Общие положения идентификации математических моделей. 108

8.2. Обобщенная процедура идентификации. 109

9. Задачи детерминированного линейного оптимального управления. 120

9.1. Теоретические сведения. 120

9.2. Решение задач управления с применением уравнения Риккати. 121

10. Общие принципы построения моделирующих алгоритмов. 134

10.1. Принцип Δt. 135

10.2. Принцип особых состояний. 140

10.3. Принцип последовательной проводки заявок. 142

10.5. Объектный принцип моделирования. 147

11. Имитация случайных процессов. 149

11.1. Имитация нестационарных случайных процессов. 149

11.2. Имитация стационарных СП.. 150

11.3. Имитация стационарных нормальных СП.. 151

12. Обработка результатов моделирования. 153

12.1. Оценка вероятности. 153

12.2. Оценка математического ожидания и дисперсии . 154

12.3. Оценка характеристик случайного процесса. 154

12.4. Количество реализаций, обеспечивающих заданную точность. 155

13. Стохастическое линейное оптимальное регулирование. 157

13.1. Теоретические основы стохастического регулирования. 157

13.2. Решение задач стохастического линейного оптимального регулирования. 159

Литература. 166

1. Основы моделирования систем

1.1. Модели и моделирование

Модель и моделирование - универсальные понятия, атрибуты одного из наиболее мощных методов познания в любой профессиональной области, познания системы, процесса, явления.

Вид модели и методы ее исследования больше зависят от информационно - логических связей элементов и подсистем моделируемой системы, ресурсов, связей с окружением, а не от конкретного наполнения системы.

Модельный стиль мышления позволяет вникать в структуру и внутреннюю логику моделируемой системы.

Построение модели - системная задача, требующая анализа и синтеза исходных данных, гипотез, теорий, знаний специалистов. Системный подход позволяет не только построить модель реальной системы, но и использовать эту модель для оценки (например, эффективности управления или функционирования) системы.

Модель - это объект или описание объекта, системы для замещения одной системы (оригинала) другой системой для лучшего изучения оригинала или воспроизведения каких-либо его свойств.

Например, отображая физическую систему на математическую систему, получим математическую модель физической системы. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах.

Пример. Рассмотрим физическую систему: тело массой m скатывается по наклонной плоскости с ускорением a , на которое воздействует сила F .

Исследуя такие системы, Ньютон получил математическое соотношение: F = m*a . Это физико-математическая модель системы или математическая модель физической системы скатывающегося тела.

При описании этой системы приняты следующие гипотезы:

· поверхность идеальна (коэффициент трения равен нулю);

Классификацию моделей проводят по различным критериям.

Модель называется статической , если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.

Пример. Закон Ньютона F=a*m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m . Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая , если среди ее параметров есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример. Динамическая модель закона Ньютона будет иметь вид:

Модель дискретная , если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример. Если рассматривать только t=0, 1, 2, …, 10 (сек), то модель

или числовая последовательность: S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная , если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.

Пример. Модель S=gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Пример. Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве x1 и x2 единиц и стоимостью каждой единицы товара a1 и a2 на предприятии описана в виде соотношения:

a1x1 + a2x2 = S,

где S - общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (вида 1 и 2). Можно ее использовать в качестве имитационной модели , по которой можно определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов и стоимости производимых товаров.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S = gt2 / 2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела:

S(p) = g(p) t2 / 2, 0 < t < 100,

то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.

Модель функциональная , если она представима в виде системы каких - либо функциональных соотношений.

Модель теоретико-множественная , если она представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Пример . Пусть задано множество

X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения:

· Николай - супруг Елены,

· Екатерина - супруга Петра,

· Татьяна - дочь Николая и Елены,

· Михаил - сын Петра и Екатерины,

· семьи Михаила и Петра дружат друг с другом.

Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.

Модель называется логической, если она представима предикатами, логическими функциями.

Например, совокупность логических функций вида:

z = x https://pandia.ru/text/78/388/images/image004_10.png" alt="http://*****/img/symbols/or.gif" width="9 height=12" height="12"> x, p = x y

есть математическая логическая модель работы дискретного устройства.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры.

Пример. Пусть игрок 1 - добросовестный налоговый инспектор , а игрок 2 - недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия уплаты налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j (i, j n) , которые можно отождествить, соответственно, со штрафом игрока 2 за неуплату налогов при обнаружении игроком 1 факта неуплаты и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов. Если в качестве модели взять матричную игру с матрицей выигрышей порядка n , то в ней каждый элемент определяется по правилу aij = |i - j| . Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра - антагонистическая .

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим функционирование, развитие системы.

Cледует помнить, что не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Пример. Моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда до некоторой заданной степени точности. Алгоритмической моделью корня квадратного из числа x может служить алгоритм вычисления его приближенного значения по известной рекуррентной формуле.

Модель называется структурной, если она представима структурой данных или структурами данных и отношениями между ними.

Модель называется графовой, если она представима графом или графами и отношениями между ними.

Модель называется иерархической (древовидной), если представима некоторой иерархической структурой (деревом).

Пример. Для решения задачи нахождения маршрута в дереве поиска можно построить, например, древовидную модель (рис. 1.2):

MsoNormalTable">

Таблица работ при строительстве дома

Операция

Время выполнения (дни)

Предшествующие операции

Дуги графа

Расчистка участка

Закладка фундамента

Расчистка участка (1)

Возведение стен

Закладка фундамента (2)

Возведение стен (3)

Штукатурные работы

Монтаж электропроводки (4)

Благоустройство территории

Возведение стен (3)

Отделочные работы

Штукатурные работы (5)

Настил крыши

Возведение стен (3)

Сетевая модель (сетевой график) строительства дома дана на рис. 1.3.

Синтаксис" href="/text/category/sintaksis/" rel="bookmark">синтаксическими .

Например, правила дорожного движения - языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах.

Пусть B - множество производящих основ существительных, C - множество суффиксов, P - прилагательных, bi – корень слова; "+" - операция конкатенации слов, ":=" - операция присваивания, "=>" - операция вывода (выводимости новых слов), Z - множество значений (смысловых) прилагательных.

Языковая модель M словообразования может быть представлена:

= + <сi>.

При bi - "рыб(а)", сi - "н(ый)", получаем по этой модели pi - "рыбный", zi - "приготовленный из рыбы".

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Например, на экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Например, глобус - натурная географическая модель земного шара.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Например, макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома. Вписанный в окружность многоугольник дает модель окружности. Именно она используется при изображении окружности на экране компьютера. Прямая линия является моделью числовой оси, а плоскость часто изображается, как параллелограмм.

Модель клеточно-автоматная, если она представима клеточным автоматом или системой клеточных автоматов.

Клеточный автомат - дискретная динамическая система, аналог физического (непрерывного) поля. Клеточно-автоматная геометрия - аналог евклидовой геометрии. Неделимый элемент евклидовой геометрии - точка, на основе ее строятся отрезки, прямые, плоскости и т. д.

Неделимый элемент клеточно-автоматного поля - клетка, на основе её строятся кластеры клеток и различные конфигурации клеточных структур. Представляется клеточный автомат равномерной сетью клеток ("ячеек") этого поля. Эволюция клеточного автомата разворачивается в дискретном пространстве - клеточном поле.

Смена состояний в клеточно-автоматном поле происходит одновременно и параллельно, а время идет дискретно. Несмотря на кажущуюся простоту их построения, клеточные автоматы могут демонстрировать разнообразное и сложное поведение объектов, систем.

В последнее время они широко используются при моделировании не только физических, но и социально-экономических процессов.

1.2. Прикладные аспекты моделирования

Модель называется фрактальной, если она описывает эволюцию моделируемой системы эволюцией фрактальных объектов.

Если физический объект однородный (сплошной), т. е. в нем нет полостей, то можно считать, что его плотность не зависит от размера. Например, при увеличении параметра объекта R до 2R масса объекта увеличится в R2 раз, если объект - круг и в R3 раз, если объект - шар, т. е. существует связь массы и длины. Пусть n - размерность пространства. Объект, у которого масса и размер связаны называется "компактным". Его плотность можно рассчитать по формуле:

Если объект (система) удовлетворяет соотношению M(R) ~ Rf(n) , где f(n) < n , то такой объект называется фрактальным.

Его плотность не будет одинаковой для всех значений R, то она масштабируется согласно формуле:

Так как f(n) - n < 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.

Пример фрактальной модели - множество Кантора. Рассмотрим отрезок . Разделим его на 3 части и выбросим средний отрезок. Оставшиеся 2 промежутка опять разделим на три части и выкинем средние промежутки и т. д. Получим множество, называемое множеством Кантора. В пределе получаем несчетное множество изолированных точек (рис. 1.4 )

DIV_ADBLOCK135">

Модель можно представить формально в виде: М = < O, А, Z, B, C > .

Основные свойства любой модели :

    целенаправленность - модель всегда отображает некоторую систему, т. е. имеет цель такого отображения; конечность - модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и ресурсы моделирования конечны; упрощенность - модель отображает только существенные стороны объекта и она должна быть проста для исследования или воспроизведения; наглядность, обозримость основных ее свойств и отношений; доступность и технологичность для исследования или воспроизведения; информативность - модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и должна давать возможность получать новую информацию; полнота - в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования; управляемость - модель должна иметь хотя бы один параметр, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях.

Жизненный цикл моделируемой системы:

    сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предварительный модельный анализ; проектирование структуры и состава моделей (подмоделей); построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей; исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования; исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели; оценка средств моделирования (затраченных ресурсов); интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно-следственных связей в исследуемой системе; генерация отчетов и проектных (народно-хозяйственных) решений; уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью модели и моделирования.

Моделирование – есть метод системного анализа.

Часто в системном анализе при модельном подходе исследования может совершаться одна методическая ошибка, а именно, - построение корректных и адекватных моделей (подмоделей) подсистем системы и их логически корректная увязка не дает гарантий корректности построенной таким способом модели всей системы.

Модель, построенная без учета связей системы со средой, может служить подтверждением теоремы Геделя, а точнее, ее следствия, утверждающего, что в сложной изолированной системе могут существовать истины и выводы, корректные в этой системе и некорректные вне ее.

Наука моделирования состоит в разделении процесса моделирования (системы, модели) на этапы (подсистемы, подмодели), детальном изучении каждого этапа, взаимоотношений , связей, отношений между ними и затем эффективного описания их с максимально возможной степенью формализации и адекватности.

В случае нарушения этих правил получаем не модель системы, а модель "собственных и неполных знаний".

Моделирование рассматривается, как особая форма эксперимента, эксперимента не над самим оригиналом, т. е. простым или обычным экспериментом, а над копией оригинала. Здесь важен изоморфизм систем оригинальной и модельной.

Изоморфизм - равенство, одинаковость, подобие.

Модели и моделирование применяются по основным направлениям:

    в обучении, в познании и разработке теории исследуемых систем; в прогнозировании (выходных данных, ситуаций, состояний системы); в управлении (системой в целом, отдельными ее подсистемами); в автоматизации (системы или ее отдельных подсистем).

2. Математическое и компьютерное моделирование

2.1. Классификация видов моделирования

Рис. 2.1. Классификация видов моделирования

При физическом моделировании используется сама система, либо подобная ей в виде макета, например, летательный аппарат в аэродинамической трубе.

Математическое моделирование есть процесс установления соответствия реальной системе S математической модели M и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики реальной системы.

При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов записываются в виде математических соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных , логических и др.).

Аналитическая модель может быть исследована методами:

· аналитическими (устанавливаются явные зависимости, получаются, в основном, аналитические решения);

· численными (получаются приближенные решения);

Компьютерное математическое моделирование формулируется в виде алгоритма (программы для ЭВМ), что позволяет проводить над моделью вычислительные эксперименты.

Численное моделирование использует методы вычислительной математики.

Статистическое моделирование использует обработку данных о системе с целью получения статистических характеристик системы.

Имитационное моделирование воспроизводит на ЭВМ (имитирует) процесс функционирования исследуемой системы, соблюдая логическую и временную последовательность протекания процессов, что позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в определенные моменты времени.

Применение математического моделирования позволяет исследовать объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны.

Экономический эффект при математическом моделировании состоит в том, что затраты на проектирование систем в среднем сокращаются в 50 раз.

2.2. Математическое моделирование сложных систем

Будем считать, что элемент s есть некоторый объект, обладающий определенными свойствами, внутреннее строение которого для целей исследования не играет роли, например, самолет для моделирования полета – не элемент, а для моделирования работы аэропорта – элемент.

Связь l между элементами есть процесс их взаимодействия, важный для целей исследования.

Система S – совокупность элементов со связями и целью функционирования F.

Сложная система – это система, состоящая из разнотипных элементов с разнотипными связями.

Большая система – это система, состоящая из большого числа однотипных элементов с однотипными связями.

В общем виде систему математически можно представить в виде:

Автоматизированная система S A есть сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: технических средств S т и действий человека S H :

Здесь s0 - остальные элементы системы.

Декомпозиция системы есть разбиение системы на элементы или группы элементов с указанием связей между ними, неизменными во время функционирования системы.

Практически все системы рассматриваются функционирующими во времени, поэтому определим их динамические характеристики.

Состояние – это множество характеристик элементов системы, изменяющихся во времени и важных для целей ее функционирования.

Процесс (динамика) – это множество значений состояний системы, изменяющихся во времени.

Цель функционирования есть задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое называется управлением .

1 – Общие понятия. Определения.
Определения
Объект - все то, на что направлена человеческая деятельность.

Гипотеза - предсказание о свойствах объекта основанное на неполных данных.

Аналогия - суждение о каком-либо частном сходстве объектов. Аналогия связывает гипотезу с экспериментом.

Модель - объект-заместитель объекта, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Модель обеспечивает наглядность исследования объекта- оригинала.

Модель - логическая схема, упрощающая рассуждения и логические построения, позволяющие проводить эксперименты, и уточняющая природу явлений.

Моделирование - замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта - оригинала с помощью объекта-модели (далее по тексту для упрощения заменяем объект-оригинал на объект, объект-модель на модель).

Адекватность модели объекту - совпадение результатов моделирования и результатов экспериментов с объектом.
Общие понятия
Модель - объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системы для изучения оригинала или воспроизведения его каких - либо свойств. Модель - результат отображения одной структуры на другую. Отображая физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений) получим физико - математическую модель системы или математическую модель физической системы. В частности, физиологическая система - система кровообращения человека, подчиняется некоторым законам термодинамики и описав эту систему на физическом (термодинамическом) языке получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения.

Модели, если отвлечься от областей, сфер их применения, бывают трех типов: познавательные, прагматические и инструментальные.

Познавательная модель - форма организации и представления знаний, средство соединение новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

Прагматическая модель - средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели.

Инструментальная модель - является средством построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей.

Познавательные отражают существующие, а прагматические - хоть и не существующие , но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню, "глубине" моделирования модели бывают эмпирические - на основе эмпирических фактов, зависимостей, теоретические - на основе математических описаний и смешанные, полуэмпирические - использующие эмпирические зависимости и математические описания.

Основные требования к модели: наглядность построения; обозримость основных его свойств и отношений; доступность ее для исследования или воспроизведения; простота исследования, воспроизведения; сохранение информации, содержавшиеся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез) и получение новой информации.

Проблема моделирования состоит из трех задач:


  • построение модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);

  • исследование модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);

  • использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача).
Модель М называется статической, если среди x i нет временного параметра t . Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" сиcтемы, ее срез.

Модель - динамическая , если среди x i есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель - дискретная , если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель - непрерывная , если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.

Модель - имитационная , если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров x i модели М .

Модель - детерминированная , если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная) .

Можно говорить о различных режимах использования моделей - об имитационном режиме, о стохастическом режиме и т. д.

Модель включает в себя: объект О , субъект (не обязательный) А , задачу Z , ресурсы B , среду моделирования С: М .

Свойства любой модели таковы:


  • конечность : модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

  • упрощенность : модель отображает только существенные стороны объекта;

  • приблизительность : действительность отображается моделью грубо или приблизительно;

  • адекватность : модель успешно описывает моделируемую систему;

  • информативность : модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.
Жизненный цикл моделируемой системы:

  1. Сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;

  2. Проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);

  3. Построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей;

  4. Исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования;

  5. Исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели;

  6. Оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);

  7. Интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно - следственных связей в исследуемой системе;

  8. Генерация отчетов и проектных (народно - хозяйственных) решений;

  9. Уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью моделирования.
Основными операциями используемыми над моделями являются:

  1. Линеаризация . Пусть М=М(X,Y,A) , где X - множество входов, Y - выходов, А - состояний системы. Схематически можно это изобразить:
X -> A -> Y

Если X, Y, A - линейные пространства (множества), а - линейные операторы, то система (модель) называется линейной . Другие системы (модели) - нелинейные . Нелинейные системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным каким-то образом.


  1. Идентификация . Пусть М=М(X,Y,A), A={a i }, a i =(a i1 ,a i2 ,...,a ik ) - вектор состояния объекта (системы). Если вектор a i зависит от некоторых неизвестных параметров , то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы в некоторых случаях. Идентификация - решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей, описывающих адекватно поведение реальной системы.

  2. Агрегирование . Операция состоит в преобразовании (сведении) модели к модели (моделям) меньшей размерности (X, Y, A) .

  3. Декомпозиция . Операция состоит в разделении системы (модели) на подсистемы (подмодели) с сохранением структур и принадлежности одних элементов и подсистем другим.

  4. Сборка . Операция состоит в преобразовании системы, модели, реализующей поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно связанных и устойчивых).

  5. Макетирование . Эта операция состоит в апробации, исследовании структурной связности, сложности, устойчивости с помощью макетов или подмоделей упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход подмоделей сохранены).

  6. Экспертиза, экспертное оценивание . Операция или процедура использования опыта, знаний, интуиции, интеллекта экспертов для исследования или моделирования плохо структурируемых, плохо формализуемых подсистем исследуемой системы.

  7. Вычислительный эксперимент . Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью распределения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель!).
Модели и моделирование применяются по следующим основным и важным направлениям.

  1. Обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей).

  2. Познание и разработка теории исследуемых систем - с помощью каких - то моделей, моделирования, результатов моделирования.

  3. Прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы).

  4. Управление (системой в целом, отдельными подсиситемами системы, выработка управленческих решений и стратегий).

  5. Автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).
В базовой четверке информатики: "модель - алгоритм - компьютер - технология" при компьютерном моделировании главную роль играют уже алгоритм (программа), компьютер и технология (точнее, инструментальные системы для компьютера , компьютерные технологии).

Например, при имитационном моделировании (при отсутствии строгого и формально записанного алгоритма) главную роль играют технология и средства моделирования; аналогично и в когнитивной графике.

Основные функции компьютера при моделировании систем:


  • выполнять роль вспомогательного средства для решения задач, решаемых обычными вычислительными средствами, алгоритмами, технологиями;

  • выполнять роль средства постановки и решения новых задач, не решаемых традиционными средствами, алгоритмами, технологиями;

  • выполнять роль средства конструирования компьютерных обучающе - моделирующих сред;

  • выполнять роль средства моделирования для получения новых знаний;

  • выполнять роль "обучения" новых моделей (самообучающиеся модели).
Компьютерное моделирование - основа представления знаний в ЭВМ (построения различных баз знаний). Компьютерное моделирование для рождения новой информации использует любую информацию, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ.

Разновидностью компьютерного моделирования является вычислительный эксперимент.

Компьютерное моделирование, вычислительный эксперимент становится новым инструментом, методом научного познания, новой технологией также из-за возрастающей необходимости перехода от исследования линейных математических моделей систем.

2 – Классификация систем и моделей. Модель типа «черный ящик».

Классификация моделей

Модели могут быть относительно полными и неполными. Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене объекта точно таким же. Но тогда теряется смысл моделирования.

Полная модель характеризует все основные свойства объекта во времени и в пространстве.

Неполная модель характеризует ограниченную часть свойств объекта.

Систематизация моделей приведена в следующей таблице.

Классификация систем
Классификацию систем можно осуществить по разным критериям. Её часто жестко невозможно проводить и она зависит от цели и ресурсов. Приведем основные способы классификации (возможны и другие критерии классификации систем).


  1. По отношению системы к окружающей среде:

    • открытые (есть обмен с окружающей средой ресурсами);

    • закрытые (нет обмена ресурсами с окружающей средой).

  2. По происхождению системы (элементов, связей, подсистем):

    • искусственные (орудия, механизмы, машины, автоматы, роботы и т.д.);

    • естественные (живые, неживые, экологические, социальные и т.д.);

    • виртуальные (воображаемые и, хотя они в действительности реально не существующие, но функционирующие так же, как и в случае, если бы они реально существовали);

    • смешанные (экономические, биотехнические, организационные и т.д.).

  3. По описанию переменных системы:

    • с качественными переменными (имеющие только лишь содержательное описание);

    • с количественными переменными (имеющие дискретно или непрерывно описываемые количественным образом переменные);

    • смешанного (количественно - качественное) описания.

  4. По типу описания закона (законов) функционирования системы:

    • типа “Черный ящик” (неизвестен полностью закон функционирования системы; известны только входные и выходные сообщения системы);

    • не параметризованные (закон не описан, описываем с помощью хотя бы неизвестных параметров , известны лишь некоторые априорные свойства закона);

    • параметризованные (закон известен с точностью до параметров и его возможно отнести к некоторому классу зависимостей);

    • типа “Белый (прозрачный) ящик” (полностью известен закон).

  5. По способу управления системой (в системе):

    • управляемые извне системы (без обратной связи, регулируемые, управляемые структурно, информационно или функционально);

    • управляемые изнутри (самоуправляемые или саморегулируемые - программно управляемые, регулируемые автоматически, адаптируемые - приспосабливаемые с помощью управляемых изменений состояний и самоорганизующиеся - изменяющие во времени и в пространстве свою структуру наиболее оптимально, упорядочивающие свою структуру под воздействием внутренних и внешних факторов);

    • с комбинированным управлением (автоматические, полуавтоматические, автоматизированные, организационные).
Под регулированием понимается коррекция управляющих параметров по наблюдениям за траекторией поведения системы - с целью возвращения системы в нужное состояние (на нужную траекторию поведения системы; при этом под траекторией системы понимается последовательность принимаемых при функционировании системы состояний системы, которые рассматриваются как некоторые точки во множестве состояний системы).

Пример. Рассмотрим экологическую систему “Озеро”. Это открытая, естественного происхождения система, переменные которой можно описывать смешанным образом (количественно и качественно, в частности, температура водоёма - количественно описываемая характеристика), структуру обитателей озера можно описать и качественно, и количественно, а красоту озера можно описать качественно. По типу описания закона функционирования системы, эту систему можно отнести к не параметризованным в целом, хотя возможно выделение подсистем различного типа, в частности, различного описания подсистемы “Водоросли”, “Рыбы”, “Впадающий ручей”, ”Вытекающий ручей”, “Дно”, “Берег” и др. Система “Компьютер” - открытая, искусственного происхождения, смешанного описания, параметризованная, управляемая извне (программно). Система “Логический диск” - открытая, виртуальная, количественного описания, типа “Белый ящик” (при этом содержимое диска мы в эту систему не включаем!), смешанного управления. Систем “Фирма” - открытая, смешанного происхождения (организационная) и описания, управляемая изнутри (адаптируемая, в частности, система).

Система называется большой , если ее исследование или моделирование затруднено из-за большой размерности, т.е. множество состояний системы S имеет большую размерность. Какую же размерность нужно считать большой? Об этом мы можем судить только для конкретной проблемы (системы), конкретной цели исследуемой проблемы и конкретных ресурсов.

Большая система сводится к системе меньшей размерности использованием более мощных вычислительных средств (или ресурсов) либо разбиением задачи на ряд задач меньшей размерности (если это возможно).

Пример. Это особенно актуально при разработке больших вычислительных систем, например, при разработке компьютеров с параллельной архитектурой или алгоритмов с параллельной структурой данных и с их параллельной обработкой.

Система называется сложной , если в ней не хватает ресурсов (главным образом, - информационных) для эффективного описания (состояний, законов функционирования) и управления системой - определения , описания управляющих параметров или для принятия решений в таких системах (в таких системах всегда должна быть подсистема принятия решения).

Пример. Сложными системами являются, например, химические реакции, если их рассматривать на молекулярном уровне; клетка биологического образования, рассматриваемая на метаболическом уровне; мозг человека, если его рассматривать с точки зрения выполняемых человеком интеллектуальных действий; экономика, рассматриваемая на макроуровне (т.е макроэкономика); человеческое общество - на политико-религиозно- культурном уровне; ЭВМ (особенно, - пятого поколения), если её рассматривать как средство получения знаний; язык, - во многих аспектах.

Сложность этих систем обусловлена их сложным поведением. Сложность системы зависит от принятого уровня описания или изучения системы- макроскопического или микроскопического.

Сложность системы может быть внешней и внутренней.

Внутренняя сложность определяется сложностью множества внутренних состояний, потенциально оцениваемых по проявлениям системы, сложностью управления в системе.

Внешняя сложность определяется сложностью взаимоотношений с окружающей средой, сложностью управления системой потенциально оцениваемых по обратным связям системы и среды.

Сложные системы бывают:


  • сложности структурной или статической (не хватает ресурсов для построения, описания, управления структурой);

  • динамической или временной (не хватает ресурсов для описания динамики поведения системы и управления ее траекторией);

  • информационной или информационно - логической, инфологической (не хватает ресурсов для информационного, информационно-логического описания системы);

  • вычислительной или реализации, исследования (не хватает ресурсов для эффективного прогноза, расчетов параметров системы или их проведение затруднено нехваткой ресурсов);

  • алгоритмической или конструктивной (не хватает ресурсов для описания алгоритма функционирования или управления системой, для функционального описания системы);

  • развития или эволюции, самоорганизации (не хватает ресурсов для устойчивого развития , самоорганизации).
Система называется устойчивой , если она сохраняет тенденцию стремления к тому состоянию, которая наиболее соответствует целям системы, целям сохранения качества без изменения структуры или не приводящим к сильным изменениям структуры системы на некотором заданном множестве ресурсов (например, на временном интервале). Понятие “сильное изменение” каждый раз должно быть конкретизировано, детерминировано.

Система называется связной , если любые две подсистемы обмениваются ресурсом, т.е. между ними есть некоторые ресурсоориентированные отношения, связи.

Основным методом изучения сложных систем и процессов, лежащим в основе системного анализа, является метод моделирования. Сущность метода заключается в том, что создается модель
исследуемой системы, с помощью которой и изучается процесс функционирования реальной системы. Заметим, что термин “модель” в настоящее время широко используется как в научном языке, так и в житейской практике, причем в разных ситуациях в него вкладывается различный смысл.

Неоднозначную трактовку имеет понятие модели и в научной практике, вследствие чего общее определение этого понятия опять-таки (как и в случае определения термина “система”) дать, в сущности, невозможно. В данном случае моделирование интересует нас только как метод научного познания, а модель соответственно - как средство научного познания. В связи с этим сделаем следующие замечания.

В процессе познавательной деятельности человека постепенно вырабатывается система представлений о тех или иных свойствах изучаемого объекта и их взаимосвязях. Эта система представлений закрепляется, фиксируется в виде описания объекта на обычном языке, в виде рисунка, схемы, графика, формулы, в виде макетов, механизмов, технических устройств. Все это обобщается в едином понятии “модель”, а исследование объектов познания на их моделях называют моделированием.

Таким образом, модель - это специально создаваемый объект, на котором воспроизводятся вполне определенные характеристики реального исследуемого объекта в целях его изучения. Моделирование является важным инструментом научной абстракции, позволяющим выделить, обосновать и анализировать существенные для данного исследования характеристики объекта: свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры.

Метод моделирования как метод научного познания имеет историю, исчисляемую тысячелетиями. Академик Н.Н. Моисеев в связи с этим замечает: “Есть одно обстоятельство, которое лежит в основе любого процесса познания: мы можем оперировать только с моделями, изучать только модели, независимо от того, какой язык мы используем - русский, французский или язык математики.

Наши знания всегда относительны, всегда являются отражением тех или иных черт реальной действительности, всегда являются ее моделью” (Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. - М.: Наука, 1979. -С.33.).

Таким образом, моделирование нельзя считать недавно открытым методом научного исследования, однако только в середине ХХ в. оно стало предметом как философских, так и специальных исследований. Объясняется это, в частности, тем, что метод моделирования переживает сейчас подлинную революцию, связанную с развитием кибернетики и электронной вычислительной техники.

В настоящее время существует обширная научная литература, в которой подробно рассматриваются понятие модели, классификация моделей по тем или иным признакам, сущность моделирования как метода научного познания, применение этого метода в конкретных исследованиях (экономических, социальных, технических и пр.).

Цель и объем данного учебника не позволяют нам подробно рассмотреть эти вопросы и вынуждают весьма кратко остановиться только на тех из них, которые понадобятся в дальнейшем изложении. Прежде всего добавим полезное уточнение понятия “модель”, которое позволяет определить модель как объект любой природы, способный замещать исследуемый объект так, что его изучение дает новую информацию об этом объекте. Очевидно, модели выбираются таким образом, чтобы они были значительно проще и удобнее для исследования, чем интересующие нас объекты (тем более, что существуют и такие объекты, которые вообще нельзя активно исследовать, например различные космические объекты).

Не углубляясь в подробную классификацию всех возможных типов моделей, подчеркнем, что в зависимости от средств, с помощью которых реализованы модели, различают прежде всего материальное (предметное) и идеальное (абстрактное) моделирование (рис. 1.1).

Материальным называется моделирование, в котором исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Частным случаем материального моделирования является физическое моделирование, при котором моделируемый объект и модель имеют одну и ту же физическую природу.


Рис. 1.1. Классификация моделей

Идеальные модели связаны с использованием каких-либо символических схем (графических, логических, математических и др.). Для нас наиболее важны математические модели,
отображающие исследуемые объекты с помощью логико-матема-тических символов и соотношений. Существуют определения математических моделей, использующие понятия изоморфизма и гомоморфизма. Мы их здесь приводить не будем.

Математические модели имеют свою классификацию.

Во-первых, математические модели обычно подразделяются на аналитические и имитационные. В случае аналитических моделей изучаемую систему (объект) и ее свойства удается описать отношениями-функциями в явной или неявной форме (дифференциальными или интегральными уравнениями, операторами) таким образом, что становится возможным непосредственно с помощью соответствующего математического аппарата сделать необходимые выводы о самой системе и ее свойствах (а при синтезе эти свойства в каком-либо смысле оптимизировать). Имитационные модели представляют собой совокупность программ для ЭВМ, с помощью которых воспроизводятся алгоритмы и процедуры, описывающие процесс функционирования исследуемой системы. В этом случае деятельность системы с присущими ей особенностями имитируется на ЭВМ. Многократные машинные эксперименты, результаты которых обрабатываются с помощью методов математической статистики, позволяют изучить и проанализировать свойства данной системы. Имитационные модели обычно используют в тех случаях, когда не удается построить для изучаемой системы достаточно простые и удобные для работы аналитические модели (нередко используется сочетание простых аналитических и более сложных имитационных моделей).

Имитационное моделирование, начиная с 60-х гг., широко применяется в научных исследованиях как в нашей стране, так и за рубежом (в нашей стране такие исследования впервые стали проводить в Вычислительном центре Российской Академии наук). В 1972 г. академиком Н.Н. Моисеевым и его сотрудниками было введено понятие имитационной системы, под которой понимается совокупность системы моделей (основной и вспомогательных), банка данных (общего источника информации) и средств проведения имитационных экспериментов, включающих в свой состав соответствующее математическое обеспечение всего процесса имитационного экспериментирования.

Во-вторых, различают модели детерминированные и стохастические (вероятностные). Первые из них описывают однозначно определенные процессы, течение которых можно полностью предсказать, зная начальные условия и закономерности протекания этих процессов; вторые используют для описания случайных процессов, течение которых описывается законами распределения вероятностей соответствующих случайных величин и однозначно предсказано быть не может.

Наконец, анализируя пути возникновения математических моделей, академик Н.Н. Моисеев ввел понятие феноменологических и асимптотических моделей, а также моделей ансамблей. Модели, полученные в результате прямого наблюдения явления или процесса, его непосредственного изучения и осмысления, называются феноменологическими.

Модели, полученные как частный случай из некоторой более общей модели (в результате дедуктивного процесса), называются асимптотическими. Модели, возникающие в процессе обобщения “элементарных” моделей (как результат процесса индукции), называются моделями ансамблей.

Все вышеуказанные виды математических моделей могут быть использованы при решении проблем обеспечения пожарной безопасности городов, населенных пунктов и объектов народного хозяйства.

Разумеется, результаты математического моделирования имеют практический смысл только в том случае, если модель адекватна реальному процессу, т. е. достаточно хорошо отображает действительность. Вопросы проверки адекватности моделей будут в дальнейшем рассмотрены отдельно.

Как известно, чтобы построить математическую модель процесса функционирования какой-либо системы, надо сначала дать содержательное описание этого процесса, затем формализовать все понятия и отношения, связанные с системой, параметры, характеризующие исследуемый процесс, и после этого найти его математическое описание. Схема построения математических моделей представлена на рис. 1.2.

В заключение рассмотрим некоторые вопросы, связанные с моделированием сложных процессов. Существует еще одно определение этого понятия: сложным процессом считают процесс, модельное описание которого недоступно технологии математического моделирования (аналитического) при современном уровне ее развития. Здесь единственно возможным методом изучения таких процессов является имитационное моделирование.

Рис. 1.2. Схема построения математических моделей

При этом, достаточно часто встречается такая ситуация, когда в изучаемом сложном процессе среди взаимодействующих процессов можно выделить небольшое количество «главных», характеристики которых нас интересуют, и именно ради прогноза этих характеристик разрабатывается модель. Характерный временной масштаб остальных процессов значительно меньше, а их характеристики нас интересуют постольку, поскольку они влияют на характеристики главных процессов.

Таким образом, изучаемые процессы делятся на «медленные», прогноз развития которых нас интересует, и «быстрые», характеристики которых нас интересуют существенно меньше, однако их влияние на медленные процессы нужно уметь учитывать.

Деление изучаемых взаимодействующих процессов на быстрые и медленные при создании их математической модели – типичный пример ситуации, когда в модели появляются случайные факторы. В этом случае интересующие нас параметры медленных процессов рассматриваются как случайные величины, а для вычисления их числовых характеристик необходимо выполнять имитацию в том смысле, в каком этот термин понимается в теории вероятностей и математической статистики, т.е. осуществляя серию имитационных экспериментов, получать реализации интересующих нас случайных величин и затем обрабатывать результаты методами математической статистики.

Все сказанное мы будем использовать при изучении процессов функционирования ГПС и РСЧС.

Лекция 9: Классификация видов моделирования систем

Классификация видов моделирования может быть проведена по разным основаниям. Один из вариантов классификации приведен на рисунке.

Рис. — Пример классификации видов моделирования

В соответствии с классификационным признаком полноты моделирование делится на: полное, неполное, приближенное.

При полном моделировании модели идентичны объекту во времени и пространстве.

Для неполного моделирования эта идентичность не сохраняется.

В основе приближенного моделирования лежит подобие, при котором некоторые стороны реального объекта не моделируются совсем. Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие возможно лишь при замене одного объекта другим точно таким же. Поэтому при моделировании абсолютное подобие не имеет места. Исследователи стремятся к тому, чтобы модель хорошо отображала только исследуемый аспект системы. Например, для оценки помехоустойчивости дискретных каналов передачи информации функциональная и информационная модели системы могут не разрабатываться. Для достижения цели моделирования вполне достаточна событийная модель, описываемая матрицей условных вероятностей переходов i-го символа алфавита в j-й.

В зависимости от типа носителя и сигнатуры модели различаются следующие виды моделирования: детерминированное и стохастическое, статическое и динамическое, дискретное, непрерывное и дискретно-непрерывное.

Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий.

Стохастическое моделирование учитывает вероятностные процессы и события.

Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое — для исследования объекта во времени. При этом оперируют аналоговыми (непрерывными), дискретными и смешанными моделями.

В зависимости от формы реализации носителя и сигнатуры моделирование классифицируется на мысленное и реальное.

Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуация микромира). Мысленное моделирование реальных систем реализуется в виде наглядного, символического и математического. Для представления функциональных, информационных и событийных моделей этого вида моделирования разработано значительное количество средств и методов.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Примером таких моделей являются учебные плакаты, рисунки, схемы, диаграммы.

В основу гипотетического моделирования закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей. Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Для достаточно простых объектов наивысшим уровнем является полная аналогия. С усложнением системы используются аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько (или только одну) сторон функционирования объекта.

Макетирование применяется, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию или могут предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает его основные свойства с помощью определенной системы знаков и символов.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус, который образуется из набора понятий исследуемой предметной области, причем этот набор должен быть фиксированным. Под тезаурусом понимается словарь, отражающий связи между словами или иными элементами данного языка, предназначенный для поиска слов по их смыслу.

Традиционный тезаурус состоит из двух частей: списка слов и устойчивых словосочетаний, сгруппированных по смысловым (тематическим) рубрикам; алфавитного словаря ключевых слов, задающих классы условной эквивалентности, указателя отношений между ключевыми словами, где для каждого слова указаны соответствующие рубрики. Такое построение позволяет определить семантические (смысловые) отношения иерархического (род/вид) и неиерархического (синонимия, антонимия, ассоциации) типа.

Между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус — словарь, который очищен от неоднозначности, т.е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову может соответствовать несколько понятий.

Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий — составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

Математическое моделирование — это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. В принципе, для исследования характеристик любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть обязательно проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта, от требуемой достоверности и точности решения задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект с некоторой степенью приближения.

Для представления математических моделей могут использоваться различные формы записи. Основными являются инвариантная, аналитическая, алгоритмическая и схемная (графическая).

Инвариантная форма — запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели. В этом случае модель может быть представлена как совокупность входов, выходов, переменных состояния и глобальных уравнений системы. Аналитическая форма — запись модели в виде результата решения исходных уравнений модели. Обычно модели в аналитической форме представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входов и переменных состояния.

Для аналитического моделирования характерно то, что в основном моделируется только функциональный аспект системы. При этом глобальные уравнения системы, описывающие закон (алгоритм) ее функционирования, записываются в виде некоторых аналитических соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечноразностных и т.д.) или логических условий. Аналитическая модель исследуется несколькими методами:

  • аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными состояния системы;
  • численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных (напомним, что такие модели называются цифровыми);
  • качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

В настоящее время распространены компьютерные методы исследования характеристик процесса функционирования сложных систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

Алгоритмическая форма — запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма. Среди алгоритмических моделей важный класс составляют имитационные модели, предназначенные для имитации физических или информационных процессов при различных внешних воздействиях. Собственно имитацию названных процессов называют имитационным моделированием.

При имитационном моделировании воспроизводится алгоритм функционирования системы во времени — поведение системы, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и другие, которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование — наиболее эффективный метод исследования систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

В имитационном моделировании различают метод статистических испытаний (Монте-Карло) и метод статистического моделирования.

Метод Монте-Карло — численный метод, который применяется для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадают с решениями аналитических задач. Состоит в многократном воспроизведении процессов, являющихся реализациями случайных величин и функций, с последующей обработкой информации методами математической статистики.

Если этот прием применяется для машинной имитации в целях исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, то такой метод называется методом статистического моделирования.

Метод имитационного моделирования применяется для оценки вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определенных ограничениях.

Комбинированное (аналитико-имитационное ) моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса Функционирования объекта на составляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой подход дает возможность охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием аналитического или имитационного моделирования в отдельности.

Информационное (кибернетическое ) моделирование связано с исследованием моделей, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию, рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Таким образом, в основе информационных (кибернетических) моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести данную функцию на имитационной модели, причем на совершенно другом математическом языке и, естественно, иной физической реализации процесса. Так, например, экспертные системы являются моделями ЛПР.

Структурное моделирование системного анализа базируется на некоторых специфических особенностях структур определенного вида, которые используются как средство исследования систем или служат для разработки на их основе специфических подходов к моделированию с применением других методов формализованного представления систем (теоретико-множественных, лингвистических, кибернетических и т.п.). Развитием структурного моделирования является объектно-ориентированное моделирование.

Структурное моделирование системного анализа включает:

  • методы сетевого моделирования;
  • сочетание методов структуризации с лингвистическими;
  • структурный подход в направлении формализации построения и исследования структур разного типа (иерархических, матричных, произвольных графов) на основе теоретико-множественных представлений и понятия номинальной шкалы теории измерений.

При этом термин «структура модели» может применяться как функциям, так и к элементам системы. Соответствующие структуры называются функциональными и морфологическими. Объектно-ориентированное моделирование объединяет структуры обоих типов в иерархию классов, включающих как элементы, так и функции.

В структурном моделировании за последнее десятилетие сформировалась новая технология CASE. Аббревиатура CASE имеет двоякое толкование, соответствующее двум направлениям использования CASE-систем. Первое из них — Computer-Aided Software Engineering — переводится как автоматизированное проектирование программного обеспечения. Соответствующие CASE-системы часто называют инструментальными средами быстрой разработки программного обеспечения (RAD — Rapid Application Development). Второе — Computer-Aided System Engineering — подчеркивает направленность на поддержку концептуального моделирования сложных систем, преимущественно слабоструктурированных. Такие CASE-системы часто называют системами BPR (Business Process Reengineering). В целом CASE-технология представляет собой совокупность методологий анализа, проектирования, разработки и сопровождения сложных автоматизированных систем, поддерживаемую комплексом взаимосвязанных средств автоматизации. CASE — это инструментарий для системных аналитиков, разработчиков и программистов, позволяющий автоматизировать процесс проектирования и разработки сложных систем, в том числе и программного обеспечения.

Ситуационное моделирование опирается на модельную теорию мышления, в рамках которой можно описать основные механизмы регулирования процессов принятия решений. В центре модельной теории мышления лежит представление о формировании в структурах мозга информационной модели объекта и внешнего мира. Эта информация воспринимается человеком на базе уже имеющихся у него знаний и опыта. Целесообразное поведение человека строится путем формирования целевой ситуации и мысленного преобразования исходной ситуации в целевую. Основой построения модели является описание объекта в виде совокупности элементов, связанных между собой определенными отношениями, отображающими семантику предметной области. Модель объекта имеет многоуровневую структуру и представляет собой тот информационный контекст, на фоне которого протекают процессы управления. Чем богаче информационная модель объекта и выше возможности манипулирования ею, тем лучше и многообразнее качество принимаемых решений при управлении.

При реальном моделировании используется возможность исследования характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования проводятся как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т.д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возможности ограничены.

Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. Натурное моделирование подразделяется на научный эксперимент, комплексные испытания и производственный эксперимент. Научный эксперимент характеризуется широким использованием средств автоматизации, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента. Одна из разновидностей эксперимента — комплексные испытания , в процессе которых вследствие повторения испытаний объектов в целом (или больших частей системы) выявляются общие закономерности о характеристиках качества, надежности этих объектов. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений о группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т.е. можно говорить о производственном эксперименте . Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистический материал по производственному процессу и получают его обобщенные характеристики. Необходимо помнить про отличие эксперимента от реального протекания процесса. Оно заключается в том, что в эксперименте могут появиться отдельные критические ситуации и определиться границы устойчивости процесса. В ходе эксперимента вводятся новые факторы возмущающие воздействия в процесс функционирования объекта.

Другим видом реального моделирования является физическое , отличающееся от натурного тем, что исследование проводится а установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и модельном (псевдореальном) масштабах времени или рассматриваться без учета времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые «замороженные» процессы, фиксируемые в некоторый момент времени.

Принципы и подходы к построению математических моделей

Математическое моделирование многие считают скорее искусством, чем стройной и законченной теорией. Здесь очень велика роль опыта, интуиции и других интеллектуальных качеств человека. Поэтому невозможно написать достаточно формализованную инструкцию, определяющую, как должна строиться модель той или иной системы. Тем не менее отсутствие точных правил не мешает опытным специалистам строить удачные модели. К настоящему времени уже накоплен значительный опыт, дающий основание сформулировать некоторые принципы и подходы к построению моделей. При рассмотрении порознь каждый из них может показаться довольно очевидным. Но совокупность взятых вместе принципов и подходов далеко не тривиальна. Многие ошибки и неудачи в практике моделирования являются прямым следствием нарушения этой методологии.

Принципы определяют те общие требования, которым должна удовлетворять правильно построенная модель. Рассмотрим эти принципы.

    Адекватность. Этот принцип предусматривает соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, а также соответствие реальной системе относительно выбранного множества свойств. До тех пор, пока не решен вопрос правильно ли отображает модель исследуемую систему, ценность модели незначительна.

    Соответствие модели решаемой задаче. Модель должна строиться для решения определенного класса задач или конкретной задачи исследования системы. Попытки создания универсальной модели, нацеленной на решение большого числа разнообразных задач, приводят к такому усложнению, что она оказывается практически непригодной. Опыт показывает, что при решении каждой конкретной задачи нужно иметь свою модель, отражающую те аспекты системы, которые являются наиболее важными в данной задаче. Этот принцип связан с принципом адекватности.

    Упрощение при сохранении существенных свойств системы. Модель должна быть в некоторых отношениях проще прототипа — в этом смысл моделирования. Чем сложнее рассматриваемая система, тем по возможности более упрощенным должно быть ее описание, умышленно утрирующее типичные и игнорирующее менее существенные свойства. Этот принцип может быть назван принципом абстрагирования от второстепенных деталей.

    Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели. Модели по своей природе всегда носят приближенный характер. Возникает вопрос, каким должно быть это приближение. С одной стороны, чтобы отразить все сколько-нибудь существенные свойства, модель необходимо детализировать. С другой стороны, строить модель, приближающуюся по сложности к реальной системе, очевидно, не имеет смысла. Она не должна быть настолько сложной, чтобы нахождение решения оказалось слишком затруднительным. Компромисс между этими двумя требованиями достигается нередко путем проб и ошибок. Практическими рекомендациями по уменьшению сложности моделей являются:

    • изменение числа переменных, достигаемое либо исключением несущественных переменных, либо их объединением. Процесс преобразования модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений называют агрегированием. Например, все типы ЭВМ в модели гетерогенных сетей можно объединить в четыре типа — ПЭВМ, рабочие станции, большие ЭВМ (мейнфреймы), кластерные ЭВМ;
    • изменение природы переменных параметров. Переменные параметры рассматриваются в качестве постоянных, дискретные — в качестве непрерывных и т.д. Так, условия распространения радиоволн в модели радиоканала для простоты можно принять постоянными;
    • изменение функциональной зависимости между переменными. Нелинейная зависимость заменяется обычно линейной, дискретная функция распределения вероятностей — непрерывной;
    • изменение ограничений (добавление, исключение или модификация). При снятии ограничений получается оптимистичное решение, при введении — пессимистичное. Варьируя ограничениями можно найти возможные граничные значения эффективности. Такой прием часто используется для нахождения предварительных оценок эффективности решений на этапе постановки задач;
    • ограничение точности модели. Точность результатов модели не может быть выше точности исходных данных.

  1. Баланс погрешностей различных видов. В соответствии с принципом баланса необходимо добиваться, например, баланса систематической погрешности моделирования за счет отклонения модели от оригинала и погрешности исходных данных, точности отдельных элементов модели, систематической погрешности моделирования и случайной погрешности при интерпретации и осреднении результатов.

    Многовариантность реализаций элементов модели. Разнообразие реализаций одного и того же элемента, отличающихся по точности (а следовательно, и по сложности), обеспечивает регулирование соотношения «точность/сложность».

    Блочное строение. При соблюдении принципа блочного строения облегчается разработка сложных моделей и появляется возможность использования накопленного опыта и готовых блоков с минимальными связями между ними. Выделение блоков производится с учетом разделения модели по этапам и режимам функционирования системы. К примеру, при построении модели Для системы радиоразведки можно выделить модель работы излучателей, модель обнаружения излучателей, модель пеленгования и т.д.

В зависимости от конкретной ситуации возможны следующие подходы к построению моделей:

  • непосредственный анализ функционирования системы;
  • проведение ограниченного эксперимента на самой системе;
  • использование аналога;
  • анализ исходных данных.

Имеется целый ряд систем, которые допускают проведение непосредственных исследований по выявлению существенных параметров и отношений между ними. Затем либо применяются известные математические модели, либо они модифицируются либо предлагается новая модель. Таким образом, например, можно вести разработку модели для направления связи в условиях мирного времени.

При проведении эксперимента выявляется значительная часть существенных параметров и их влияние на эффективность системы. Такую цель преследуют, например, все командно-штабные игры и большинство учений.

Если метод построения модели системы не ясен, но ее структура очевидна, то можно воспользоваться сходством с более простой системой, модель для которой существует.

К построению модели можно приступить на основе анализа исходных данных, которые уже известны или могут быть получены. Анализ позволяет сформулировать гипотезу о структуре системы, которая затем апробируется. Так появляются первые модели нового образца иностранной техники при наличии предварительных данных об их технических параметрах.

Разработчики моделей находятся под действием двух взаимно противоречивых тенденций: стремления к полноте описания и стремления к получению требуемых результатов возможно более простыми средствами. Достижение компромисса ведется обычно по пути построения серии моделей, начинающихся с предельно простых и восходящих до высокой сложности (существует известное правило: начинай с простых моделей, а далее усложняй). Простые модели помогают глубже понять исследуемую проблему. Усложненные модели используются для анализа влияния различных факторов на результаты моделирования. Такой анализ позволяет исключать некоторые факторы из рассмотрения.

Сложные системы требуют разработки целой иерархии моделей, различающихся уровнем отображаемых операций. Выделяют такие уровни, как вся система, подсистемы, управляющие объекты и др.

Рассмотрим один конкретный пример — модель развития экономики (модель Харрода). Эта упрощенная модель развития экономики страны предложена английским экономистом Р. Харродом. В модели учитывается один определяемый фактор — капитальные вложения, а состояние экономики оценивается через размер национального дохода.

Для математической постановки задачи введем следующие обозначения:

  • Y t — национальный доход в год t;
  • K t — производственные фонды в год t;
  • K t — объем потребления в год t;
  • K t — объем накопления в год t;
  • K t — капитальные вложения в год t.

Будем предполагать, что функционирование экономики происходит при выполнении следующих условий:

    условие баланса доходов и расходов за каждый год

    условие исключения пролеживания капитала

    условие пропорционального деления национального годового дохода

Два условия принимаются для характеристики внутренних экономических процессов. Первое условие характеризует связь капитальных вложений и общей суммы производственных фондов, второе — связь национального годового дохода и производственных фондов.

Капитальные вложения в год t могут рассматриваться как прирост производственных фондов или производная от функции производственные фонды принимается как капитальные годовые вложения:

Национальный доход в каждый год принимается как отдача производственных фондов с соответствующим нормативным коэффициентом фондоотдачи:

Соединяя условия задачи, можно получить следующее соотношение:

Y t = V t /a = dK/(a⋅dt) = b/a⋅dY/dt

Отсюда следует итоговое уравнение Харрода:

Y t = b⋅dY/dt = a⋅Y

Его решением является экспоненциальное изменение национального дохода по годовым интервалам:

Y t = Y 0 ⋅e a⋅t/b

Несмотря на упрощенный вид математической модели, ее результат может быть использован для укрупненного анализа национальной экономики. Параметры а и b могут стать параметрами управления при выборе плановой стратегии развития в целях максимального приближения к предпочтительной траектории изменения национального дохода или для выбора минимального интервала времени достижения заданного уровня национального дохода.

Этапы построения математической модели

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система упрощается, схематизируется и описывается с помощью того или иного математического аппарата. Можно выделить следующие основные этапы построения моделей.

    Содержательное описание моделируемого объекта. Объекты моделирования описываются с позиций системного подхода. Исходя из цели исследования устанавливаются совокупность элементов, взаимосвязи между элементами, возможные состояния каждого элемента, существенные характеристики состояний и отношения между ними. Например, фиксируется, что если значение одного параметра возрастает, то значение другого — убывает и т.п. Вопросы, связанные с полнотой и единственностью выбора характеристик, не рассматриваются. Естественно, в таком словесном описании возможны логические противоречия, неопределенности. Это исходная естественно-научная концепция исследуемого объекта. Такое предварительное, приближенное представление системы называют концептуальной моделью. Для того чтобы содержательное описание служило хорошей основой для последующей формализации, требуется обстоятельно изучить моделируемый объект. Нередко естественное стремление ускорить разработку модели уводит исследователя от данного этапа непосредственно к решению формальных вопросов. В результате построенная без достаточного содержательного базиса модель оказывается непригодной к использованию. На этом этапе моделирования широко применяются качественные методы описания систем, знаковые и языковые модели.

    Формализация операций. Формализация сводится в общих чертах к следующему. На основе содержательного описания определяется исходное множество характеристик системы. Для выделения существенных характеристик необходим хотя бы приближенный анализ каждой из них. При проведении анализа опираются на постановку задачи и понимание природы исследуемой системы. После исключения несущественных характеристик выделяют управляемые и неуправляемые параметры и производят символизацию. Затем определяется система ограничений на значения управляемых параметров. Если ограничения не носят принципиальный характер, то ими пренебрегают.

    Дальнейшие действия связаны с формированием целевой функции модели. В соответствии с известными положениями выбираются показатели исхода операции и определяется примерный вид функции полезности на исходах. Если функция полезности близка к пороговой (или монотонной), то оценка эффективности решений возможна непосредственно по показателям исхода операции. В этом случае необходимо выбрать способ свертки показателей (способ перехода от множества показателей к одному обобщенному показателю) и произвести саму свертку. По свертке показателей формируются критерий эффективности и целевая функция.

    Если при качественном анализе вида функции полезности окажется, что ее нельзя считать пороговой (монотонной), прямая оценка эффективности решений через показатели исхода операции неправомочна. Необходимо определять функцию полезности и уже на ее основе вести формирование критерия эффективности и целевой функции.

    В целом замена содержательного описания формальным — это итеративный процесс.

    Проверка адекватности модели. Требование адекватности находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно учитывать при проверке модели на адекватность. Исходный вариант модели предварительно проверяется по следующим основным аспектам:

    • Все ли существенные параметры включены в модель?
    • Нет ли в модели несущественных параметров?
    • Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?
    • Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

    Для проверки рекомендуется привлекать специалистов, которые не принимали участия в разработке модели. Они могут более объективно рассмотреть модель и заметить ее слабые стороны, чем ее разработчики. Такая предварительная проверка модели позволяет выявить грубые ошибки. После этого приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. Для установления соответствия создаваемой модели оригиналу используются следующие пути:

    • сравнение результатов моделирования с отдельными экспериментальными результатами, полученными при одинаковых условиях;
    • использование других близких моделей;
    • сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом.

    Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту выступает практика. Однако она требует накопления статистики, которая далеко не всегда бывает достаточной для получения надежных данных. Для многих моделей первые два приемлемы в меньшей степени. В этом случае остается один путь: заключение о подобии модели и прототипа делать на основе сопоставления их структур и реализуемых функций. Такие заключения не носят формального характера, поскольку основываются на опыте и интуиции исследователя.

    По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

    Корректировка модели. При корректировке модели могут уточняться существенные параметры, ограничения на значения управляемых параметров, показатели исхода операции, связи показателей исхода операции с существенными параметрами, критерий эффективности. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка адекватности.

    Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Преобразование может выполняться либо с использованием математических методов, либо эвристическим путем.


1.2.Прикладные аспекты моделирования 13

1.3.Основные свойства модели и моделирования 18

2.Математическое и компьютерное моделирование 22

2.1. Классификация видов моделирования 22

2.2. Математическое моделирование сложных систем 24

2.3. Имитация случайных величин и процессов 27

2.4.Основы математического моделирования 28

2.5.Компьютерное моделирование 34

3.Эволюционное моделирование и генетические алгоритмы 41

3.1.Основные атрибуты эволюционного моделирования 41

3.2.Основные исследования эволюции систем 42

3.3. Генетические алгоритмы 50

4.Основы принятия решений и ситуационного моделирования 53

4.1. Основы принятия решений 53

4.2. Формализуемые решения 56

Литература 63

^

  1. Основы моделирования систем

    1. Модели и моделирование

Модель и моделирование - универсальные понятия, атрибуты одного из наиболее мощных методов познания в любой профессиональной области, познания системы, процесса, явления.

Вид модели и методы ее исследования больше зависят от информационно - логических связей элементов и подсистем моделируемой системы, ресурсов, связей с окружением, а не от конкретного наполнения системы.

У моделей , особенно математических, есть особенность - развитие модельного стиля мышления, позволяющего вникать в структуру и внутреннюю логику моделируемой системы.

Построение модели - системная задача, требующая анализа и синтеза исходных данных, гипотез, теорий, знаний специалистов. Системный подход позволяет не только построить модель реальной системы, но и использовать эту модель для оценки (например, эффективности управления, функционирования) системы.

Модель - это объект или описание объекта, системы для замещения одной системы (оригинала) другой системой для лучшего изучения оригинала или воспроизведения каких-либо его свойств.

Например, отображая физическую систему на математическую систему, получим математическую модель физической системы. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах.

Пример. Рассмотрим физическую систему: тело массой m скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a , на которое воздействует сила F .

Исследуя такие системы, Ньютон получил математическое соотношение: F = m*a. Это физико-математическая модель системы или математическая модель физической системы.

При описании этой системы приняты следующие гипотезы:


  • поверхность идеальна (т.е. коэффициент трения равен нулю);

  • тело находится в вакууме (т.е. сопротивление воздуха равно нулю);

  • масса тела неизменна;

  • тело движется с одинаковым постоянным ускорением в любой точке.
Пример. Физиологическая система (система кровообращения человека) - подчиняется некоторым законам термодинамики. Описывая эту систему на физическом (термодинамическом) языке балансовых законов, получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, т.е. соответствующие термодинамические уравнения, то уже получаем математическую модель системы кровообращения.

Пример . Совокупность предприятий функционирует на рынке, обмениваясь товарами, сырьем, услугами, информацией. Если описать экономические законы, правила их взаимодействия на рынке с помощью математических соотношений, например, системы алгебраических уравнений, где неизвестными будут величины прибыли, получаемые от взаимодействия предприятий, а коэффициентами уравнения будут значения интенсивностей таких взаимодействий, то получим экономико-математическую модель системы предприятий на рынке.

Если банк выработал стратегию кредитования, смог описать ее с помощью экономико - математических моделей и прогнозирует свою тактику кредитования, то он имеет большую устойчивость и жизнеспособность.

Слово "модель " (лат. modelium) означает "мера", "способ", "сходство с какой-то вещью".

Моделирование базируется на математической теории подобия, согласно которой абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

При моделировании большинства систем абсолютное подобие невозможно, и основная цель моделирования - модель достаточно хорошо должна отображать функционирование моделируемой системы.

По уровню, "глубине" моделирования модели бывают:


  • эмпирические - на основе эмпирических фактов, зависимостей;

  • теоретические - на основе математических описаний;

  • смешанные, полуэмпирические - на основе эмпирических зависимостей и математических описаний.
Проблема моделирования состоит из трех задач:

  • построение модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей );

  • исследование модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей );

  • использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача).
Модель М, описывающая систему S(x 1 , x 2 , ..., x n ; R), имеет вид: М = (z 1 , z 2 , ..., z m ; Q), где z i Z, i = 1, 2, ..., n, Q, R - множества отношений над X - множеством входных, выходных сигналов и состояний системы, Z - множество описаний, представлений элементов и подмножеств X.

Схема построения модели М системы S с входными сигналами X и выходными сигналами Y изображена на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Схема построения модели

Если на вход М поступают сигналы из X и на входе появляются сигналы Y, то задан закон (правило f функционирования модели) системы.

Моделирование - это универсальный метод получения описания функционирования объекта и использования знаний о нем. Моделирование используется в любой профессиональной деятельности

Классификацию моделей проводят по различным критериям.

Модель называется статической , если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. ^ Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.

Пример. Закон Ньютона F=a*m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m . Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

^ Модель динамическая , если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример. Динамическая модель закона Ньютона будет иметь вид:

F(t)=a(t)*m(t).

Модель дискретная , если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример. Если рассматривать только t=0, 1, 2, …, 10 (сек), то модель S t =gt 2 /2 или числовая последовательность S 0 =0, S 1 =g/2, S 2 =2g, S 3 =9g/2, :, S 10 =50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

^ Модель непрерывная , если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.

Пример. Модель S=gt 2 /2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Модель имитационная , если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели .

Пример. Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве x 1 и x 2 единиц и стоимостью каждой единицы товара a 1 и a 2 на предприятии описана в виде соотношения:

A 1 x 1 + a 2 x 2 = S,

Где S - общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (вида 1 и 2). Можно ее использовать в качестве имитационной модели , по которой можно определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов производимых товаров.

Модель детерминированная , если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S = gt 2 / 2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела:

S(p) = g(p) t 2 / 2, 0 < t < 100,

То мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного!) падения.

Модель функциональная , если она представима в виде системы каких- либо функциональных соотношений.

^ Модель теоретико-множественная , если она представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Пример . Пусть задано множество X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения: Николай - супруг Елены, Екатерина - супруга Петра, Татьяна - дочь Николая и Елены, Михаил - сын Петра и Екатерины, семьи Михаила и Петра дружат друг с другом. Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.

Модель логическая , если она представима предикатами, логическими функциями.

Например, совокупность двух логических функций вида:

Z = x y x y, p = x y

Может служить математической моделью одноразрядного сумматора.

Модель игровая , если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры (лицами, коалициями).

Пример. Пусть игрок 1 - добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 - недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия уплаты налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j (i, j n), которые можно отождествить, соответственно, со штрафом игрока 2 за неуплату налогов при обнаружении факта неуплаты игроком 1 и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов. Рассмотрим матричную игру с матрицей выигрышей порядка n. Каждый элемент этой матрицы A определяется по правилу a ij = |i - j|. Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра - антагонистическая.

Модель алгоритмическая , если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие.

Нужно помнить, что не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Пример. Моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда до некоторой заданной степени точности. Алгоритмической моделью корня квадратного из числа x может служить алгоритм вычисления его приближенного сколь угодно точного значения по известной рекуррентной формуле.

^ Модель структурная , если она представима структурой данных или структурами данных и отношениями между ними.

Например, структурной моделью может служить описание (табличное, графическое, функциональное или другое) структуры экосистемы.

^ Модель графовая , если она представима графом или графами и отношениями между ними.

Модель иерархическая (древовидная), если представима некоторой иерархической структурой (деревом).

Пример. Для решения задачи нахождения маршрута в дереве поиска можно построить, например, древовидную модель (рис. 1.2 ):

Рис. 1.2. Модель иерархической структуры

Модель сетевая , если она представима некоторой сетевой структурой.

Пример. Строительство нового дома включает операции, приведенные в нижеследующей таблице.


^ Таблица работ при строительстве дома

№
Операция

Время выполнения (дни)

^ Предшествующие операции

Дуги графа

1
Расчистка участка
1
нет
-

2
Закладка фундамента
4
Расчистка участка (1)
1-2

3
Возведение стен
4
Закладка фундамента (2)
2-3

4
Монтаж электропроводки
3
Возведение стен (3)
3-4

5
Штукатурные работы
4
Монтаж электропроводки (4)
4-5

6
Благоустройство территории
6
Возведение стен (3)
3-6

7
Отделочные работы
4
Штукатурные работы (5)
5-7

8
Настил крыши
5
Возведение стен (3)
3-8

Сетевая модель (сетевой график) строительства дома дана на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Сетевой график строительства работ

Две работы, соответствующие дуге 4-5, параллельны, их можно либо заменить одной, представляющей совместную операцию (монтаж электропроводки и настил крыши) с новой операцией длительностью 3+5=8, либо ввести на одной дуге фиктивное событие.

^ Модель языковая, лингвистическая , если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой.

Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими.

Например, правила дорожного движения - языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах.

Пусть B - множество производящих основ существительных, C - множество суффиксов, P - прилагательных, "+" - операция конкатенации слов, ":=" - операция присваивания, "=>" - операция вывода (выводимости новых слов), Z - множество значений (смысловых) прилагательных. Языковая модель M словообразования:

= + <с i >. При b i - "рыб(а)", с i - "н(ый)", получаем по этой модели p i - "рыбный", z i - "приготовленный из рыбы".

^ Модель визуальная , если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Например, на экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта, например, клавиатуры в программе - тренажере по обучению работе на клавиатуре.

^ Модель натурная , если она есть материальная копия объекта моделирования .

Например, глобус - натурная географическая модель земного шара.

^ Модель геометрическая , графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Например, макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома. Вписанный в окружность многоугольник дает модель окружности. Именно она используется при изображении окружности на экране компьютера. Прямая линия является моделью числовой оси, а плоскость часто изображается как параллелограмм.

^ Модель клеточно-автоматная , если она представляет систему с помощью клеточного автомата или системы клеточных автоматов.

Клеточный автомат - дискретная динамическая система, аналог физического (непрерывного) поля. Клеточно-автоматная геометрия - аналог евклидовой геометрии. Неделимый элемент евклидовой геометрии - точка, на основе ее строятся отрезки, прямые, плоскости и т.д.

Неделимый элемент клеточно-автоматного поля - клетка, на основе её строятся кластеры клеток и различные конфигурации клеточных структур. Представляется клеточный автомат равномерной сетью клеток ("ячеек") этого поля. Эволюция клеточного автомата разворачивается в дискретном пространстве - клеточном поле.

Смена состояний в клеточно-автоматном поле происходит одновременно и параллельно, а время идет дискретно. Несмотря на кажущуюся простоту их построения, клеточные автоматы могут демонстрировать разнообразное и сложное поведение.

В последнее время они широко используются при моделировании не только физических, но и социально-экономических процессов.



Последние материалы раздела:

Важность Патриотического Воспитания Через Детские Песни
Важность Патриотического Воспитания Через Детские Песни

Патриотическое воспитание детей является важной частью их общего воспитания и развития. Оно помогает формировать у детей чувство гордости за свою...

Изменение вида звездного неба в течение суток
Изменение вида звездного неба в течение суток

Тема урока «Изменение вида звездного неба в течение года». Цель урока: Изучить видимое годичное движение Солнца. Звёздное небо – великая книга...

Развитие критического мышления: технологии и методики
Развитие критического мышления: технологии и методики

Критическое мышление – это система суждений, способствующая анализу информации, ее собственной интерпретации, а также обоснованности...