حرکت دایره ای. معادله حرکت دایره ای

موضوعات رمزگذار آزمون یکپارچه ایالت: حرکت در یک دایره با سرعت مطلق ثابت، شتاب مرکزگرا.

حرکت یکنواخت در اطراف یک دایره - این یک مثال نسبتا ساده از حرکت با بردار شتاب است که به زمان بستگی دارد.

بگذارید نقطه در امتداد دایره ای به شعاع بچرخد. سرعت نقطه در مقدار مطلق ثابت و برابر است. سرعت نامیده می شود سرعت خطینکته ها.

دوره گردش - این زمان یک انقلاب کامل است. برای دوره ما یک فرمول واضح داریم:

. (1)

فرکانس متقابل دوره است:

فرکانس نشان می دهد که یک نقطه در هر ثانیه چند دور کامل می کند. فرکانس بر حسب rps (دور در ثانیه) اندازه گیری می شود.

اجازه دهید، برای مثال،. این به این معنی است که در طول مدت زمانی که نقطه یک نفر را کامل می کند
حجم معاملات سپس فرکانس برابر است با: r/s; نقطه در هر ثانیه 10 دور کامل می دهد.

سرعت زاویهای.

بیایید چرخش یکنواخت یک نقطه را در سیستم مختصات دکارتی در نظر بگیریم. بیایید مبدا مختصات را در مرکز دایره قرار دهیم (شکل 1).

برنج. 1. حرکت یکنواخت در یک دایره

اجازه دهید موقعیت اولیه نقطه باشد. به عبارت دیگر، در نقطه دارای مختصات بود. بگذارید نقطه از یک زاویه بچرخد و موقعیت خود را بگیرد.

نسبت زاویه چرخش به زمان نامیده می شود سرعت زاویهای چرخش نقطه ای:

. (2)

زاویه معمولاً با رادیان اندازه گیری می شود، بنابراین سرعت زاویه ای بر حسب راد بر ثانیه اندازه گیری می شود. در زمانی برابر با دوره چرخش، نقطه در یک زاویه می چرخد. از همین رو

. (3)

با مقایسه فرمول های (1) و (3)، رابطه بین سرعت های خطی و زاویه ای را به دست می آوریم:

. (4)

قانون حرکت

اجازه دهید اکنون وابستگی مختصات نقطه چرخش را به زمان پیدا کنیم. از شکل می بینیم. 1 که

اما از فرمول (2) داریم: . از این رو،

. (5)

فرمول (5) راه حل مشکل اصلی مکانیک برای حرکت یکنواخت یک نقطه در طول یک دایره است.

شتاب مرکزگرا.

اکنون ما به شتاب نقطه چرخش علاقه مندیم. می توان آن را با دو بار افتراق روابط (5) پیدا کرد:

با در نظر گرفتن فرمول (5) داریم:

(6)

فرمول های حاصل (6) را می توان به صورت یک برابری برداری نوشت:

(7)

بردار شعاع نقطه چرخش کجاست.

ما می بینیم که بردار شتاب بر خلاف بردار شعاع، یعنی به سمت مرکز دایره هدایت می شود (شکل 1 را ببینید). بنابراین شتاب نقطه ای که به طور یکنواخت در اطراف یک دایره حرکت می کند نامیده می شود مایل به مرکز.

علاوه بر این، از فرمول (7) یک عبارت برای ماژول شتاب مرکزگرا به دست می آوریم:

(8)

اجازه دهید سرعت زاویه ای را از (4) بیان کنیم.

و آن را با (8) جایگزین کنید. بیایید فرمول دیگری برای شتاب مرکزگرا بدست آوریم.

در این درس به حرکت منحنی، یعنی حرکت یکنواخت یک جسم در دایره خواهیم پرداخت. ما یاد خواهیم گرفت که سرعت خطی چیست، شتاب مرکزگرا هنگامی که یک جسم در یک دایره حرکت می کند. همچنین کمیت هایی را معرفی خواهیم کرد که حرکت دورانی را مشخص می کنند (دوره چرخش، فرکانس چرخش، سرعت زاویه ای) و این کمیت ها را با یکدیگر مرتبط می کنیم.

منظور ما از حرکت دایره ای یکنواخت این است که بدن در هر دوره زمانی مساوی از یک زاویه می چرخد ​​(شکل 6 را ببینید).

برنج. 6. حرکت یکنواخت در یک دایره

یعنی ماژول سرعت لحظه ای تغییر نمی کند:

این سرعت نامیده می شود خطی.

اگر چه اندازه سرعت تغییر نمی کند، جهت سرعت به طور مداوم تغییر می کند. بیایید بردارهای سرعت را در نقاط در نظر بگیریم آو ب(شکل 7 را ببینید). آنها در جهت های مختلف هدایت می شوند، بنابراین آنها برابر نیستند. اگر از سرعت در نقطه کم کنیم بسرعت در نقطه آ، بردار را می گیریم.

برنج. 7. بردارهای سرعت

نسبت تغییر سرعت () به زمانی که در طی آن این تغییر رخ داده است () شتاب است.

بنابراین، هر حرکت منحنی شتاب می گیرد.

اگر مثلث سرعت به دست آمده در شکل 7 را در نظر بگیریم، با آرایش بسیار نزدیک نقاط آو بنسبت به یکدیگر، زاویه (α) بین بردارهای سرعت نزدیک به صفر خواهد بود:

همچنین مشخص است که این مثلث متساوی الساقین است، بنابراین ماژول های سرعت برابر هستند (حرکت یکنواخت):

بنابراین، هر دو زاویه در قاعده این مثلث به طور نامحدود نزدیک به:

این بدان معنی است که شتابی که در امتداد بردار هدایت می شود، در واقع عمود بر مماس است. مشخص است که یک خط در یک دایره عمود بر مماس یک شعاع است، بنابراین شتاب در امتداد شعاع به سمت مرکز دایره هدایت می شود. این شتاب مرکز محور نامیده می شود.

شکل 8 مثلث سرعت و یک مثلث متساوی الساقین را نشان می دهد (دو ضلع شعاع دایره هستند). این مثلث ها شبیه هم هستند زیرا دارای زوایای مساوی هستند که توسط خطوط متقابل عمود بر هم تشکیل شده اند (شعاع و بردار عمود بر مماس هستند).

برنج. 8. تصویری برای استخراج فرمول شتاب مرکزگرا

بخش خط ABحرکت (). ما حرکت یکنواخت را در یک دایره در نظر می گیریم، بنابراین:

اجازه دهید عبارت حاصل را جایگزین کنیم ABبه فرمول تشابه مثلث:

مفاهیم "سرعت خطی"، "شتاب"، "مختصات" برای توصیف حرکت در طول یک مسیر منحنی کافی نیستند. بنابراین، لازم است کمیت های مشخص کننده حرکت چرخشی معرفی شوند.

1. دوره چرخش (تی ) زمان یک انقلاب کامل نامیده می شود. در واحدهای SI در ثانیه اندازه گیری می شود.

نمونه هایی از دوره ها: زمین در 24 ساعت () و به دور خورشید - در 1 سال () به دور محور خود می چرخد.

فرمول محاسبه دوره:

زمان کل چرخش کجاست - تعداد انقلاب ها

2. فرکانس چرخش (n ) - تعداد دورهایی که یک بدن در واحد زمان انجام می دهد. در واحدهای SI در ثانیه های متقابل اندازه گیری می شود.

فرمول یافتن فرکانس:

زمان کل چرخش کجاست - تعداد انقلاب ها

فرکانس و دوره کمیت هایی با نسبت معکوس هستند:

3. سرعت زاویهای () نسبت تغییر زاویه چرخش جسم را به زمانی که در طی آن این چرخش رخ داده است، می گویند. در واحدهای SI بر حسب رادیان تقسیم بر ثانیه اندازه گیری می شود.

فرمول یافتن سرعت زاویه ای:

تغییر زاویه کجاست - زمانی که در طی آن چرخش از طریق زاویه رخ داده است.

حرکت دایره ای ساده ترین حالت حرکت منحنی یک جسم است. هنگامی که یک جسم در اطراف یک نقطه خاص حرکت می کند، همراه با بردار جابجایی، وارد کردن جابجایی زاویه ای Δ φ (زاویه چرخش نسبت به مرکز دایره) که بر حسب رادیان اندازه گیری می شود، راحت است.

با دانستن جابجایی زاویه ای، می توانید طول قوس دایره ای (مسیری) را که بدن طی کرده است محاسبه کنید.

∆ l = R ∆ φ

اگر زاویه چرخش کوچک باشد، ∆ l ≈ ∆ s.

اجازه دهید آنچه گفته شد را توضیح دهیم:

سرعت زاویهای

با حرکت منحنی، مفهوم سرعت زاویه ای ω معرفی می شود، یعنی نرخ تغییر در زاویه چرخش.

تعریف. سرعت زاویهای

سرعت زاویه ای در یک نقطه معین از مسیر، حد نسبت جابجایی زاویه ای Δ φ به فاصله زمانی Δ t است که طی آن اتفاق افتاده است. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

واحد اندازه گیری سرعت زاویه ای رادیان بر ثانیه (r a d s) است.

بین سرعت زاویه ای و خطی یک جسم هنگام حرکت در دایره رابطه وجود دارد. فرمول یافتن سرعت زاویه ای:

با حرکت یکنواخت در یک دایره، سرعت های v و ω بدون تغییر باقی می مانند. فقط جهت بردار سرعت خطی تغییر می کند.

در این حالت، حرکت یکنواخت در یک دایره با شتاب مرکزگرا یا عادی که در امتداد شعاع دایره به مرکز آن هدایت می شود، بر بدن تأثیر می گذارد.

a n = ∆ v → ∆ t، ∆ t → 0

مدول شتاب گریز از مرکز را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

a n = v 2 R = ω 2 R

اجازه دهید این روابط را ثابت کنیم.

بیایید در نظر بگیریم که چگونه بردار v → در مدت زمان کوتاهی ∆ t تغییر می کند. ∆ v → = v B → - v A → .

در نقاط A و B، بردار سرعت به صورت مماس بر دایره هدایت می شود، در حالی که مدول های سرعت در هر دو نقطه یکسان هستند.

با تعریف شتاب:

a → = ∆ v → ∆ t، ∆ t → 0

بیایید به تصویر نگاه کنیم:

مثلث های OAB و BCD مشابه هستند. از این نتیجه می شود که O A A B = B C C D .

اگر مقدار زاویه ∆ φ کوچک باشد، فاصله A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. با در نظر گرفتن اینکه O A = R و C D = ∆ v برای مثلث های مشابه در نظر گرفته شده در بالا، به دست می آوریم:

R v ∆ t = v ∆ v یا ∆ v ∆ t = v 2 R

وقتی ∆ φ → 0، جهت بردار ∆ v → = v B → - v A → جهت به مرکز دایره نزدیک می شود. با فرض اینکه ∆ t → 0 به دست می آوریم:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

با حرکت یکنواخت در اطراف یک دایره، مدول شتاب ثابت می ماند و جهت بردار با گذشت زمان تغییر می کند و جهت گیری را تا مرکز دایره حفظ می کند. به همین دلیل است که این شتاب را مرکز دایره می نامند: بردار در هر لحظه از زمان به سمت مرکز دایره هدایت می شود.

نوشتن شتاب مرکز به شکل برداری به این صورت است:

a n → = - ω 2 R → .

در اینجا R → بردار شعاع یک نقطه روی یک دایره است که مبدا آن در مرکز آن است.

به طور کلی، شتاب هنگام حرکت در یک دایره شامل دو جزء است - عادی و مماسی.

اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که یک جسم به طور ناموزون در اطراف یک دایره حرکت می کند. اجازه دهید مفهوم شتاب مماسی (مماسی) را معرفی کنیم. جهت آن با جهت سرعت خطی جسم منطبق است و در هر نقطه از دایره مماس بر آن است.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

در اینجا ∆ v τ = v 2 - v 1 - تغییر در ماژول سرعت در بازه ∆ t

جهت شتاب کل با مجموع برداری شتاب های عادی و مماسی تعیین می شود.

حرکت دایره ای در یک صفحه را می توان با استفاده از دو مختصات توصیف کرد: x و y. در هر لحظه از زمان، سرعت بدن را می توان به اجزای v x و v y تجزیه کرد.

اگر حرکت یکنواخت باشد، کمیت های v x و v y و همچنین مختصات مربوطه در زمان بر اساس قانون هارمونیک با دوره T = 2 π R v = 2 π ω تغییر می کنند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید