معادله صفحه نرمال به صورت برداری. معادلات صفحه: کلی، از طریق سه نقطه، عادی

معادله یک هواپیما. چگونه معادله یک هواپیما را بنویسیم؟
چیدمان متقابل هواپیماها. وظایف

هندسه فضایی بسیار پیچیده تر از هندسه "مسطح" نیست و پروازهای ما در فضا با این مقاله آغاز می شود. برای تسلط بر موضوع، باید درک خوبی از آن داشته باشید بردارها، علاوه بر این، توصیه می شود با هندسه هواپیما آشنا باشید - شباهت های زیادی وجود خواهد داشت، تشابهات زیادی وجود خواهد داشت، بنابراین اطلاعات بسیار بهتر هضم می شود. در یک سری از درس های من، دنیای دوبعدی با یک مقاله باز می شود معادله یک خط مستقیم در یک صفحه. اما اکنون بتمن صفحه تخت تلویزیون را ترک کرده و از کیهان بایکونور پرتاب می شود.

بیایید با نقاشی ها و نمادها شروع کنیم. از نظر شماتیک، صفحه را می توان به شکل متوازی الاضلاع ترسیم کرد که تصوری از فضا ایجاد می کند:

هواپیما بی نهایت است، اما ما این فرصت را داریم که فقط یک تکه از آن را به تصویر بکشیم. در عمل علاوه بر متوازی الاضلاع، یک بیضی یا حتی یک ابر نیز ترسیم می شود. به دلایل فنی، برای من راحت تر است که هواپیما را دقیقاً به این شکل و دقیقاً در این موقعیت به تصویر بکشم. هواپیماهای واقعی، که در نمونه های عملی در نظر خواهیم گرفت، می توانند به هر نحوی قرار بگیرند - به طور ذهنی نقاشی را در دستان خود بگیرید و آن را در فضا بچرخانید، و به هواپیما هر تمایل، هر زاویه ای بدهید.

تعیین ها: هواپیماها را معمولاً با حروف کوچک یونانی نشان می دهند، ظاهراً برای اینکه آنها را با خط مستقیم در هواپیمایا با خط مستقیم در فضا. من به استفاده از حرف عادت دارم. در نقاشی حرف "سیگما" است و اصلاً سوراخ نیست. اگرچه، هواپیمای سوراخ مطمئناً بسیار خنده دار است.

در برخی موارد، استفاده از همان حروف یونانی با زیرنویس های پایین تر برای تعیین هواپیما راحت است، به عنوان مثال، .

واضح است که هواپیما به طور منحصر به فردی توسط سه نقطه مختلف که روی یک خط قرار ندارند تعریف می شود. بنابراین، تعیین سه حرفی هواپیماها بسیار محبوب است - به عنوان مثال، با توجه به نقاط متعلق به آنها و غیره. اغلب حروف در پرانتز قرار می گیرند: ، تا هواپیما را با یک شکل هندسی دیگر اشتباه نگیرید.

برای خوانندگان با تجربه خواهم داد منوی دسترسی سریع:

• چگونه با استفاده از یک نقطه و دو بردار معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟
• چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

و ما در انتظارهای طولانی سست نخواهیم شد:

معادله صفحه عمومی

معادله کلی هواپیما به شکلی است که در آن ضرایب در آن واحد برابر با صفر نیستند.

تعدادی از محاسبات نظری و مسائل عملی هم برای مبنای متعارف معمولی و هم برای پایه فضایی معتبر هستند (اگر روغن روغن است، به درس برگردید. وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها). برای سادگی، فرض می کنیم که همه رویدادها بر اساس یک سیستم متعامد و یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی رخ می دهند.

حالا بیایید کمی تخیل فضایی خود را تمرین کنیم. اگر مال شما بد باشد اشکالی ندارد، اکنون آن را کمی توسعه می دهیم. حتی بازی روی اعصاب هم نیاز به تمرین دارد.

در کلی ترین حالت، زمانی که اعداد برابر با صفر نیستند، صفحه هر سه محور مختصات را قطع می کند. به عنوان مثال، مانند این:

یک بار دیگر تکرار می کنم که هواپیما به طور نامحدود در همه جهات ادامه دارد و ما این فرصت را داریم که تنها بخشی از آن را به تصویر بکشیم.

بیایید ساده ترین معادلات هواپیماها را در نظر بگیریم:

چگونه این معادله را بفهمیم؟ در مورد آن فکر کنید: "Z" برای هر مقدار "X" و "Y" همیشه برابر با صفر است. این معادله صفحه مختصات "بومی" است. در واقع، به طور رسمی معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: ، از جایی که به وضوح می توانید ببینید که ما اهمیتی نمی دهیم که "x" و "y" چه مقادیری می گیرند، مهم است که "z" برابر با صفر باشد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه مختصات؛
- معادله صفحه مختصات.

بیایید مشکل را کمی پیچیده کنیم، یک صفحه در نظر بگیریم (در اینجا و در ادامه پاراگراف فرض می کنیم که ضرایب عددی برابر با صفر نیستند). بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم: . چگونه آن را درک کنیم؟ "X" همیشه برای هر مقدار "Y" و "Z" برابر با یک عدد مشخص است. این صفحه موازی با صفحه مختصات است. مثلاً صفحه ای موازی با صفحه است و از نقطه ای می گذرد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.

بیایید اعضا را اضافه کنیم: . معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: یعنی "zet" می تواند هر چیزی باشد. چه مفهومی داره؟ "X" و "Y" توسط رابطه ای به هم متصل می شوند که یک خط مستقیم مشخص را در صفحه ترسیم می کند (شما متوجه خواهید شد معادله یک خط در یک صفحه؟). از آنجایی که "z" می تواند هر چیزی باشد، این خط مستقیم در هر ارتفاعی "تکثیر" می شود. بنابراین، معادله یک صفحه موازی با محور مختصات را تعریف می کند

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.

اگر عبارات آزاد صفر باشند، هواپیماها مستقیماً از محورهای مربوطه عبور می کنند. به عنوان مثال، کلاسیک "نسبت مستقیم": . یک خط مستقیم در صفحه بکشید و به صورت ذهنی آن را به بالا و پایین ضرب کنید (زیرا Z هر کدام است). نتیجه: صفحه تعریف شده توسط معادله از محور مختصات عبور می کند.

ما بررسی را کامل می کنیم: معادله هواپیما از مبدأ عبور می کند. خوب، در اینجا کاملاً واضح است که نقطه این معادله را برآورده می کند.

و در نهایت، مورد نشان داده شده در نقاشی: - هواپیما با تمام محورهای مختصات دوستانه است، در حالی که همیشه یک مثلث را که می تواند در هر یک از هشت اکتان قرار گیرد، "قطع" می کند.

نابرابری های خطی در فضا

برای درک اطلاعات باید خوب مطالعه کنید نابرابری های خطی در صفحه، زیرا بسیاری از چیزها مشابه خواهند بود. این پاراگراف ماهیت مختصری با چندین مثال دارد، زیرا مطالب در عمل بسیار نادر است.

اگر معادله یک صفحه را تعریف می کند، نابرابری ها
پرسیدن نیم فاصله ها. اگر نابرابری دقیق نباشد (دو مورد آخر در لیست)، راه حل نابرابری، علاوه بر نیم فاصله، شامل خود صفحه نیز می شود.

مثال 5

بردار نرمال واحد هواپیما را پیدا کنید .

راه حل: بردار واحد برداری است که طول آن یک باشد. اجازه دهید این بردار را با علامت گذاری کنیم. کاملاً واضح است که بردارها هم خط هستند:

ابتدا بردار نرمال را از معادله صفحه حذف می کنیم: .

چگونه بردار واحد را پیدا کنیم؟ برای پیدا کردن بردار واحد، شما نیاز دارید هرمختصات بردار را بر طول بردار تقسیم کنید.

بیایید بردار معمولی را به شکل بازنویسی کنیم و طول آن را پیدا کنیم:

با توجه به مطالب فوق:

پاسخ:

تأیید: آنچه لازم بود تأیید شود.

خوانندگانی که پاراگراف آخر درس را با دقت مطالعه کردند احتمالاً متوجه این موضوع شده اند مختصات بردار واحد دقیقاً کسینوس های جهت بردار هستند:

بیایید کمی از مشکل موجود فاصله بگیریم: وقتی یک بردار غیر صفر دلخواه به شما داده می شودو با توجه به شرط باید کسینوس های جهت آن را پیدا کرد (به آخرین مسائل درس مراجعه کنید حاصل ضرب نقطه ای بردارها، در واقع یک بردار واحد هم خط با این بردار پیدا می کنید. در واقع دو کار در یک بطری.

نیاز به یافتن بردار نرمال واحد در برخی مسائل تحلیل ریاضی مطرح می شود.

ما فهمیدیم که چگونه یک بردار معمولی را ماهیگیری کنیم، اکنون اجازه دهید به سوال مخالف پاسخ دهیم:

چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

این ساختار سفت و سخت از یک بردار معمولی و یک نقطه به خوبی برای تخته دارت شناخته شده است. لطفاً دست خود را به جلو دراز کنید و به طور ذهنی یک نقطه دلخواه در فضا را انتخاب کنید، به عنوان مثال، یک گربه کوچک در بوفه. بدیهی است که از طریق این نقطه می توانید یک صفحه عمود بر دست خود بکشید.

معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار عبور می کند با فرمول بیان می شود:

معادله صفحه نرمال

معادله صفحه کلی فرم نامیده می شود معادله صفحه عادیاگر طول برداری باشد برابر یک، یعنی ، و .

اغلب می توانید ببینید که معادله عادی یک هواپیما به صورت نوشته شده است. در اینجا کسینوس های جهت بردار نرمال یک صفحه معین با طول واحد، یعنی و پ- عددی غیر منفی برابر با فاصله مبدا تا هواپیما.

معادله عادی یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyzصفحه ای را تعریف می کند که با فاصله از مبدأ جدا می شود پدر جهت مثبت بردار نرمال این صفحه . اگر p=0، سپس هواپیما از مبدأ عبور می کند.

اجازه دهید مثالی از یک معادله صفحه معمولی بیاوریم.

اجازه دهید هواپیما در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص شود Oxyzمعادله صفحه کلی فرم . این معادله کلی هواپیما، معادله نرمال هواپیما است. در واقع، بردار نرمال این صفحه است طول برابر با وحدت دارد، زیرا .

معادله یک هواپیما در حالت عادی به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کنید.

فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما.

فاصله یک نقطه تا یک صفحه کوچکترین فاصله بین این نقطه و نقاط صفحه است. مشخص است که فاصلهاز یک نقطه به یک صفحه برابر است با طول عمود رسم شده از این نقطه به صفحه.

اگر و مبدأ مختصات در طرف های مختلف هواپیما قرار دارد، در حالت مخالف. فاصله یک نقطه تا یک صفحه است

چیدمان متقابل هواپیماها. شرایط موازی و عمود بودن صفحات.

فاصله بین صفحات موازی

مفاهیم مرتبط

هواپیماها موازی هستند ، اگر

یا (محصول برداری)

صفحات عمود بر هم هستند، اگر

یا . (حاصلضرب عددی)

مستقیم در فضا انواع مختلف معادلات خط مستقیم

معادلات یک خط مستقیم در فضا - اطلاعات اولیه.

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه اکسییک معادله خطی در دو متغیر است ایکسو y، که با مختصات هر نقطه از یک خط ارضا می شود و با مختصات هیچ نقطه دیگر ارضا نمی شود. با یک خط مستقیم در فضای سه بعدی وضعیت کمی متفاوت است - هیچ معادله خطی با سه متغیر وجود ندارد. ایکس, yو z، که فقط با مختصات نقاط روی یک خط مشخص شده در یک سیستم مختصات مستطیلی ارضا می شود. Oxyz. در واقع، معادله ای از شکل، جایی که ایکس, yو zمتغیر هستند و آ, ب, سیو D- تعدادی اعداد واقعی و آ, که درو بادر همان زمان برابر با صفر نیستند، نشان دهنده معادله صفحه عمومی. سپس این سؤال مطرح می شود: "چگونه می توان یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی توصیف کرد؟ Oxyz»?

پاسخ به این موضوع در بندهای بعدی مقاله آمده است.

معادلات یک خط مستقیم در فضا معادلات دو صفحه متقاطع هستند.

اجازه دهید یک اصل را به خاطر بیاوریم: اگر دو صفحه در فضا دارای یک نقطه مشترک باشند، یک خط مستقیم مشترک دارند که تمام نقاط مشترک این صفحات روی آن قرار دارند. بنابراین، یک خط مستقیم در فضا را می توان با مشخص کردن دو صفحه متقاطع در امتداد این خط مستقیم تعریف کرد.

اجازه دهید آخرین جمله را به زبان جبر ترجمه کنیم.

بگذارید یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی ثابت شود Oxyzو معلوم است که صراط مستقیم آخط تقاطع دو صفحه است و به ترتیب با معادلات کلی صفحه شکل و. از آنجایی که مستقیم است آمجموعه تمام نقاط مشترک صفحات است و سپس مختصات هر نقطه از خط a به طور همزمان هم معادله و هم معادله را برآورده می کند، مختصات هیچ نقطه دیگری به طور همزمان هر دو معادله صفحه را برآورده نمی کند. بنابراین مختصات هر نقطه از خط آدر یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyzنمایندگی کند راه حل خاص برای یک سیستم معادلات خطینوع و حل کلی سیستم معادلات مختصات هر نقطه از یک خط را تعیین می کند آ، یعنی یک خط مستقیم را تعریف می کند آ.

بنابراین، یک خط مستقیم در فضا در یک سیستم مختصات مستطیلی شکل Oxyzرا می توان با سیستم معادلات دو صفحه متقاطع به دست آورد .

در اینجا مثالی از تعریف یک خط مستقیم در فضا با استفاده از سیستم دو معادله آورده شده است - .

توصیف یک خط مستقیم با معادلات دو صفحه متقاطع بسیار عالی است پیدا کردن مختصات نقطه تقاطع یک خط و یک صفحهو همچنین چه زمانی یافتن مختصات نقطه تقاطع دو خط در فضا.

مطالعه بیشتر این موضوع را با مراجعه به مقاله توصیه می کنیم معادلات یک خط در فضا - معادلات دو صفحه متقاطع. اطلاعات دقیق‌تری را ارائه می‌کند، راه‌حل‌های دقیق‌تری را برای مثال‌ها و مسائل مطرح می‌کند، و همچنین روشی را برای انتقال به معادلات یک خط مستقیم در فضایی از نوع متفاوت نشان می‌دهد.

لازم به ذکر است که متفاوت هستند راه هایی برای تعریف خط در فضاو در عمل، یک خط مستقیم اغلب نه با دو صفحه متقاطع، بلکه با بردار هدایت کننده خط مستقیم و نقطه ای که روی این خط مستقیم قرار دارد، تعریف می شود. در این موارد، به دست آوردن معادلات متعارف و پارامتریک یک خط در فضا آسان تر است. در پاراگراف های بعدی در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

معادلات پارامتریک یک خط در فضا.

معادلات پارامتریک یک خط در فضاشبیه ,

جایی که ایکس 1 ,y 1 و z 1 - مختصات نقطه ای از خط، آ ایکس , آ yو آ z (آ ایکس , آ yو آ zدر همان زمان برابر با صفر نیستند) - متناظر مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم، a پارامتری است که می تواند هر مقدار واقعی را بگیرد.

برای هر مقدار از پارامتر، با استفاده از معادلات پارامتریک یک خط در فضا، می توانیم یک عدد سه گانه را محاسبه کنیم.

با نقطه ای از خط مطابقت دارد (از این رو نام این نوع معادله خطی است). مثلاً وقتی

از معادلات پارامتریک یک خط مستقیم در فضا مختصات را بدست می آوریم ایکس 1 , y 1 و z 1 : .

به عنوان مثال، یک خط مستقیم را در نظر بگیرید که توسط معادلات پارامتری فرم تعریف شده است . این خط از یک نقطه می گذرد و بردار جهت این خط دارای مختصاتی است.

توصیه می کنیم با مراجعه به مقاله به مطالعه موضوع ادامه دهید معادلات پارامتریک یک خط در فضا. اشتقاق معادلات پارامتریک یک خط در فضا را نشان می دهد، موارد خاص معادلات پارامتریک یک خط در فضا را بررسی می کند، تصاویر گرافیکی ارائه می دهد، راه حل های دقیقی برای مسائل مشخصه ارائه می دهد و ارتباط بین معادلات پارامتریک یک خط و انواع دیگر را نشان می دهد. معادلات یک خط

معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا.

با حل هر یک از معادلات خط مستقیم پارامتریک فرم در مورد پارامتر، رفتن به آن آسان است معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضانوع .

معادلات متعارف یک خط در فضا خطی را که از یک نقطه می گذرد تعیین می کند ، و بردار جهت خط مستقیم بردار است . به عنوان مثال، معادلات یک خط مستقیم به صورت متعارف مربوط به خطی است که از نقطه ای در فضا با مختصات می گذرد، بردار جهت این خط دارای مختصاتی است.

لازم به ذکر است که یک یا دو عدد از معادلات متعارف یک خط می تواند برابر با صفر باشد (هر سه عدد نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا بردار جهت یک خط نمی تواند صفر باشد). سپس نمادی از فرم صوری در نظر گرفته می شود (زیرا مخرج یک یا دو کسر دارای صفر خواهد بود) و باید به صورت ، جایی که.

اگر یکی از اعداد موجود در معادلات متعارف یک خط برابر با صفر باشد، آن خط در یکی از صفحات مختصات یا در صفحه ای موازی با آن قرار دارد. اگر دو عدد از اعداد صفر باشند، خط یا با یکی از محورهای مختصات منطبق است یا با آن موازی است. به عنوان مثال، یک خط مربوط به معادلات متعارف یک خط در فضای فرم ، در هواپیما دراز می کشد z=-2، که موازی با صفحه مختصات است اکسی، و محور مختصات اوهتوسط معادلات متعارف تعیین می شود.

برای تصاویر گرافیکی این موارد، مشتق معادلات متعارف یک خط در فضا، حل دقیق مثال‌ها و مسائل معمولی، و همچنین انتقال از معادلات متعارف یک خط به معادلات دیگر یک خط در فضا، را ببینید. مقاله معادلات متعارف یک خط در فضا.

معادله کلی یک خط مستقیم انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف.

موقعیت صفحه در فضا کاملاً مشخص خواهد شد اگر فاصله آن را از مبدأ O مشخص کنیم، یعنی طول OT عمود بر نقطه O به صفحه و بردار واحد n° عمود بر صفحه و جهت گیری از آن را مشخص کنیم. مبدا O به صفحه (شکل 110).

هنگامی که نقطه M در امتداد یک صفحه حرکت می کند، بردار شعاع آن تغییر می کند به طوری که همیشه به یک شرط محدود می شود. بیایید ببینیم این شرایط چیست. بدیهی است که برای هر نقطه ای که در هواپیما قرار دارد، داریم:

این شرط فقط برای نقاط روی هواپیما برقرار است. اگر نقطه M خارج از صفحه باشد، نقض می شود. بنابراین، تساوی (1) یک ویژگی مشترک برای تمام نقاط صفحه و فقط برای آنها را بیان می کند. با توجه به § 7 ch. 11 داریم:

و بنابراین، معادله (1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

معادله (G) بیانگر شرایطی است که در آن نقطه ) در یک صفحه معین قرار دارد و معادله نرمال این صفحه نامیده می شود. بردار شعاع نقطه دلخواه M از صفحه را بردار شعاع جریان می گویند.

معادله (1) صفحه به صورت برداری نوشته شده است. با رفتن به مختصات و قرار دادن مبدا مختصات در مبدأ بردارها - نقطه O، توجه می کنیم که برآمدگی بردار واحد روی محورهای مختصات، کسینوس زاویه های ساخته شده توسط محورها با این بردار است و پیش بینی بردار شعاع نقطه M

به عنوان مختصات نقطه عمل کنید، یعنی داریم:

معادله (G) تبدیل به مختصات می شود:

هنگام ترجمه معادله برداری (G) صفحه به معادله مختصات (2)، از فرمول (15) § 9 Ch. 11، که حاصل ضرب اسکالر را از طریق پیش بینی بردارها بیان می کند. معادله (2) شرایطی را بیان می کند که در آن نقطه M(x, y, z) در یک صفحه معین قرار می گیرد و معادله نرمال این صفحه به صورت مختصات نامیده می شود. معادله حاصل (2) نسبت به درجه اول است، یعنی هر صفحه ای را می توان با معادله درجه اول نسبت به مختصات فعلی نشان داد.

توجه داشته باشید که معادلات مشتق شده (1") و (2) حتی زمانی که صفحه داده شده از مبدأ مختصات عبور می کند، معتبر می مانند. در این حالت، می توانیم هر یک از دو بردار واحد را عمود بر صفحه و با یک تفاوت داشته باشیم. از جهتی دیگر

اظهار نظر. معادله صفحه نرمال (2) را می توان بدون استفاده از روش برداری به دست آورد.

بیایید یک صفحه دلخواه بگیریم و یک خط I از مبدا مختصات عمود بر آن رسم کنیم. روی این خط یک جهت مثبت از مبدا مختصات به صفحه قرار دهید (اگر صفحه انتخاب شده از مبدا مختصات عبور کرده باشد، هر جهتی در خط می تواند گرفته شود).

موقعیت این صفحه در فضا کاملاً با فاصله آن از مبدا مختصات تعیین می شود، یعنی طول قطعه محور l از مبدا مختصات تا نقطه تقاطع آن با صفحه (در شکل 111 - قطعه) و زوایای بین محور و محورهای مختصات. وقتی نقطه ای در امتداد صفحه ای با مختصات حرکت می کند، مختصات آن تغییر می کند به طوری که همیشه به یک شرط محدود می شود. بیایید ببینیم این شرایط چیست.

بیایید آن را در شکل بسازیم. 111 مختصات خط شکسته OPSM یک نقطه دلخواه M از هواپیما. بیایید طرح این خط شکسته را روی محور l در نظر بگیریم. با توجه به اینکه پیش بینی یک خط شکسته برابر است با قسمت پایانی آن (فصل اول، § 3)، داریم.

برای به دست آوردن معادله کلی یک صفحه، اجازه دهید صفحه ای را که از یک نقطه می گذرد، تجزیه و تحلیل کنیم.

بگذارید سه محور مختصات از قبل برای ما در فضا شناخته شده باشد - گاو نر, اوهو اوز. ورق کاغذ را طوری نگه دارید که صاف بماند. هواپیما خود ورق و ادامه آن در همه جهات خواهد بود.

اجازه دهید پهواپیمای دلخواه در فضا هر بردار عمود بر آن نامیده می شود بردار معمولی به این هواپیما به طور طبیعی، ما در مورد یک بردار غیر صفر صحبت می کنیم.

اگر نقطه ای از هواپیما مشخص باشد پو مقداری بردار نرمال به آن، سپس با این دو شرط صفحه در فضا کاملاً مشخص می شود(از طریق یک نقطه داده شده می توانید یک صفحه عمود بر بردار داده شده رسم کنید). معادله کلی هواپیما به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، شرایطی که معادله هواپیما را تعریف می کند عبارتند از. برای بدست آوردن خودت معادله هواپیمابا داشتن فرم فوق سوار هواپیما شوید پدلخواه نقطه م با مختصات متغیر ایکس, y, z. این نقطه فقط به هواپیما تعلق دارد اگر بردار عمود بر بردار(عکس. 1). برای این کار، با توجه به شرط عمود بردارها، لازم و کافی است که حاصل ضرب اسکالر این بردارها برابر با صفر باشد، یعنی

بردار با شرط مشخص می شود. با استفاده از فرمول مختصات بردار را پیدا می کنیم :

.

حال با استفاده از فرمول حاصل ضرب اسکالر بردارها ، حاصل ضرب اسکالر را به صورت مختصات بیان می کنیم:

از آنجا که نقطه M(x; y; z)به طور دلخواه در صفحه انتخاب می شود، سپس آخرین معادله با مختصات هر نقطه ای که در هواپیما قرار دارد برآورده می شود. پ. برای یک امتیاز ن، در یک هواپیمای معین دراز نکشید، یعنی. برابری (1) نقض شده است.

مثال 1.برای صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار می گذرد معادله بنویسید.

راه حل. بیایید از فرمول (1) استفاده کنیم و دوباره به آن نگاه کنیم:

در این فرمول اعداد آ , بو سیمختصات برداری و اعداد ایکس0 , y0 و z0 - مختصات نقطه

محاسبات بسیار ساده است: ما این اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و بدست می آوریم

هر چیزی که باید ضرب شود را ضرب می کنیم و فقط اعداد (که حروف ندارند) را اضافه می کنیم. نتیجه:

.

معادله مورد نیاز هواپیما در این مثال مشخص شد که با یک معادله کلی درجه اول با توجه به مختصات متغیر بیان می شود. x، y، zنقطه دلخواه هواپیما

بنابراین، یک معادله از فرم

تماس گرفت معادله صفحه عمومی .

مثال 2.در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی صفحه ای بسازید که با معادله به دست می آید .

راه حل. برای ساختن یک صفحه، دانستن هر سه نقطه از آن که روی یک خط مستقیم قرار ندارند، لازم و کافی است، مثلاً نقاط تلاقی صفحه با محورهای مختصات.

چگونه این نقاط را پیدا کنیم؟ برای یافتن نقطه تقاطع با محور اوز، باید صفرها را به جای X و Y در معادله داده شده در بیان مسئله جایگزین کنید: ایکس = y= 0. بنابراین ما دریافت می کنیم z= 6. بنابراین، صفحه داده شده محور را قطع می کند اوزدر نقطه آ(0; 0; 6) .

به همین ترتیب نقطه تلاقی صفحه با محور را پیدا می کنیم اوه. در ایکس = z= 0 دریافت می کنیم y= -3، یعنی نقطه ب(0; −3; 0) .

و در نهایت نقطه تلاقی هواپیمای خود را با محور پیدا می کنیم گاو نر. در y = z= 0 دریافت می کنیم ایکس= 2، یعنی یک نقطه سی(2; 0; 0). بر اساس سه نقطه به دست آمده در راه حل ما آ(0; 0; 6) , ب(0؛ -3؛ 0) و سی(2; 0; 0) صفحه داده شده را بسازید.

حال بیایید در نظر بگیریم موارد خاص معادله صفحه عمومی. اینها مواردی است که ضرایب معینی از معادله (2) صفر می شود.

1. وقتی D=معادله 0 صفحه ای را تعریف می کند که از مبدا عبور می کند، زیرا مختصات نقطه است 0 (0; 0; 0) این معادله را برآورده می کند.

2. وقتی A=معادله 0 صفحه موازی با محور را تعریف می کند گاو نر، از آنجایی که بردار نرمال این صفحه بر محور عمود است گاو نر(برآمدگی آن بر روی محور گاو نربرابر با صفر). به طور مشابه، زمانی که B= 0 هواپیما موازی با محور اوه، و وقتی که C= 0 هواپیما موازی با محور اوز.

3. وقتی A=D=معادله 0 صفحه ای را تعریف می کند که از محور عبور می کند گاو نر، از آنجایی که با محور موازی است گاو نر (A=D= 0). به طور مشابه، هواپیما از محور عبور می کند اوه، و هواپیما از طریق محور اوز.

4. چه زمانی A=B=معادله 0 صفحه موازی با صفحه مختصات را تعریف می کند xOy، از آنجایی که با محورها موازی است گاو نر (آ= 0) و اوه (ب= 0). به طور مشابه، هواپیما موازی با هواپیما است yOz، و هواپیما همان هواپیما است xOz.

5. چه زمانی A=B=D=معادله 0 (یا z = 0) صفحه مختصات را تعریف می کند xOy، از آنجایی که موازی با هواپیما است xOy (A=B= 0) و از مبدا می گذرد ( D= 0). به همین ترتیب، معادله y= 0 در فضا صفحه مختصات را مشخص می کند xOzو معادله x = 0 - هواپیمای مختصات yOz.

مثال 3.یک معادله از هواپیما ایجاد کنید پ، از محور عبور می کند اوهو دوره

راه حل. بنابراین هواپیما از محور عبور می کند اوه. بنابراین، در معادله او y= 0 و این معادله به شکل . برای تعیین ضرایب آو سیبیایید از این واقعیت استفاده کنیم که نقطه متعلق به هواپیما است پ .

بنابراین، در میان مختصات آن مواردی وجود دارد که می توان آنها را به معادله صفحه ای که قبلاً استخراج کردیم () جایگزین کرد. بیایید دوباره به مختصات نقطه نگاه کنیم:

م0 (2; −4; 3) .

در میان آنها ایکس = 2 , z= 3. ما آنها را در معادله عمومی جایگزین می کنیم و معادله مورد خاص خود را بدست می آوریم:

2آ + 3سی = 0 .

ترک 2 آدر سمت چپ معادله، 3 را حرکت دهید سیبه سمت راست و ما می رسیم

آ = −1,5سی .

جایگزینی مقدار یافت شده آبه معادله می رسیم

یا .

این معادله مورد نیاز در شرایط مثال است.

مسئله معادله هواپیما را خودتان حل کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

مثال 4.یک صفحه (یا صفحات، اگر بیش از یک) را با توجه به محورهای مختصات یا صفحات مختصات در صورتی که صفحه(ها) با معادله داده شده است، تعریف کنید.

راه‌حل‌های مشکلات معمولی که در طول آزمون‌ها رخ می‌دهند در کتاب درسی «مسائل در یک صفحه: موازی بودن، عمود بودن، تقاطع سه صفحه در یک نقطه» آمده است.

معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند

همانطور که گفته شد، شرط لازم و کافی برای ساختن یک صفحه، علاوه بر یک نقطه و بردار معمولی، سه نقطه نیز هستند که روی یک خط قرار ندارند.

اجازه دهید سه نقطه مختلف، و، نه دروغ گفتن در یک خط، داده می شود. از آنجایی که سه نقطه نشان داده شده روی یک خط قرار ندارند، بردارها هم خط نیستند و بنابراین هر نقطه از صفحه در یک صفحه با نقاط قرار دارد، و اگر و فقط اگر بردارها، و همسطح، یعنی آن وقت و تنها زمانی که حاصلضرب مخلوط این بردارهابرابر با صفر است.

با استفاده از عبارت محصول مخلوط در مختصات، معادله صفحه را به دست می آوریم

(3)

پس از آشکار شدن دترمینان، این معادله تبدیل به معادله ای از شکل (2) می شود، یعنی. معادله کلی هواپیما

مثال 5.یک معادله برای صفحه ای بنویسید که از سه نقطه داده شده عبور می کند که روی یک خط مستقیم قرار ندارند:

و در صورت وقوع یک مورد خاص از معادله عمومی یک خط را تعیین کنید.

راه حل. طبق فرمول (3) داریم:

معادله صفحه نرمال فاصله از نقطه به هواپیما

معادله عادی یک هواپیما معادله آن است که به شکل نوشته شده است

اجازه دهید صفحه Q را در فضا در نظر بگیریم.موقعیت آن کاملاً با تعیین بردار N عمود بر این صفحه و مقداری نقطه ثابت در صفحه Q مشخص می شود.بردار N عمود بر صفحه Q را بردار نرمال این صفحه می گویند. اگر پیش بینی های بردار نرمال N را با A، B و C نشان دهیم، آنگاه

اجازه دهید معادله صفحه Q را که از یک نقطه معین می گذرد و دارای یک بردار نرمال معین است، استخراج می کنیم. برای انجام این کار، برداری را در نظر بگیرید که یک نقطه را با یک نقطه دلخواه در صفحه Q متصل می کند (شکل 81).

برای هر موقعیت نقطه M در صفحه Q، بردار MHM بر بردار نرمال N صفحه Q عمود است. از آنجایی که و یک بردار است، پس

و بنابراین

ما نشان دادیم که مختصات هر نقطه در صفحه Q معادله (4) را برآورده می کند. به راحتی می توان فهمید که مختصات نقاطی که در صفحه Q قرار ندارند این معادله را برآورده نمی کند (در مورد دوم). در نتیجه معادله مورد نیاز صفحه Q را بدست آورده ایم. نسبت به مختصات فعلی درجه یک است

بنابراین، نشان دادیم که هر صفحه با یک معادله درجه اول با توجه به مختصات فعلی مطابقت دارد.

مثال 1. معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار می گذرد را بنویسید.

راه حل. اینجا . بر اساس فرمول (4) بدست می آوریم

یا پس از ساده سازی

با دادن مقادیر مختلف به ضرایب A، B و C معادله (4) می توانیم معادله هر صفحه ای را که از نقطه عبور می کند به دست آوریم. به مجموعه صفحاتی که از یک نقطه معین عبور می کنند، دسته ای از صفحات می گویند. معادله (4) که در آن ضرایب A، B و C می توانند هر مقداری را بدست آورند، معادله یک دسته از صفحات نامیده می شود.

مثال 2. یک معادله برای صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند ایجاد کنید (شکل 82).

راه حل. بیایید معادله دسته ای از صفحات را که از نقطه عبور می کنند بنویسیم