Գտե՛ք y 1 2 x ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը: Խնդիրներ Կուզնեցով Լ

Եթե առաջադրանքում անհրաժեշտ է իրականացնել f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրությունը դրա գրաֆիկի կառուցմամբ, ապա մենք մանրամասն կքննարկենք այս սկզբունքը:

Այս տեսակի խնդիր լուծելու համար պետք է օգտագործել հիմնական տարրական ֆունկցիաների հատկությունները և գրաֆիկները։ Հետազոտության ալգորիթմը ներառում է հետևյալ քայլերը.

Գտնելով սահմանման տիրույթը

Քանի որ հետազոտությունն իրականացվում է ֆունկցիայի տիրույթում, անհրաժեշտ է սկսել այս քայլից։

Օրինակ 1

Տրված օրինակը ներառում է հայտարարի զրոները գտնելը, որպեսզի դրանք բացառվեն DPV-ից:

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Արդյունքում կարող եք ստանալ արմատներ, լոգարիթմներ և այլն։ Այնուհետև ODZ-ում կարելի է փնտրել g (x) 4 տիպի զույգ աստիճանի արմատը g (x) ≥ 0 անհավասարությամբ, լոգարիթմի համար log a g (x) անհավասարությամբ g (x) > 0:

ODZ-ի սահմանների ուսումնասիրություն և ուղղահայաց ասիմպտոտների հայտնաբերում

Ֆունկցիայի սահմաններում կան ուղղահայաց ասիմպտոտներ, երբ նման կետերում միակողմանի սահմաններն անսահման են։

Օրինակ 2

Օրինակ, դիտարկենք սահմանային կետերը հավասար x = ± 1 2:

Այնուհետեւ անհրաժեշտ է ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ գտնելու միակողմանի սահմանը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք. lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Սա ցույց է տալիս, որ միակողմանի սահմանները անսահման են, ինչը նշանակում է, որ x = ± 1 2 ուղիղները գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտներն են:

Գործառույթի ուսումնասիրություն և զույգ կամ կենտ

Երբ y (- x) = y (x) պայմանը բավարարվում է, ֆունկցիան համարվում է զույգ։ Սա ենթադրում է, որ գրաֆիկը գտնվում է սիմետրիկորեն O y-ի նկատմամբ: Երբ y (- x) = - y (x) պայմանը բավարարվում է, ֆունկցիան համարվում է կենտ: Սա նշանակում է, որ համաչափությունը կապված է կոորդինատների ծագման հետ: Եթե գոնե մեկ անհավասարություն ձախողվի, մենք ստանում ենք ընդհանուր ձևի ֆունկցիա:

y (- x) = y (x) հավասարության կատարումը ցույց է տալիս, որ ֆունկցիան զույգ է։ Կառուցելիս պետք է հաշվի առնել, որ սիմետրիա կլինի O y-ի նկատմամբ։

Անհավասարությունը լուծելու համար օգտագործվում են աճի և նվազման ընդմիջումներ՝ համապատասխանաբար f «(x) ≥ 0 և f» (x) ≤ 0 պայմաններով։

Սահմանում 1

Ստացիոնար կետերկետեր են, որոնք ածանցյալը դարձնում են զրո:

Կրիտիկական կետերներքին կետեր են այն տիրույթից, որտեղ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի։

Որոշում կայացնելիս պետք է հաշվի առնել հետևյալ կետերը.

f "(x) > 0 ձևի անհավասարության աճի և նվազման առկա միջակայքերի համար կրիտիկական կետերը ներառված չեն լուծման մեջ.
կետերը, որոնցում ֆունկցիան սահմանվում է առանց վերջավոր ածանցյալի, պետք է ներառվեն աճի և նվազման միջակայքում (օրինակ՝ y \u003d x 3, որտեղ x \u003d 0 կետը դարձնում է սահմանված ֆունկցիան, ածանցյալն ունի անվերջության արժեք։ այս պահին y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ներառված է ավելացման միջակայքում);
տարաձայնություններից խուսափելու համար խորհուրդ է տրվում օգտագործել մաթեմատիկական գրականություն, որը խորհուրդ է տալիս կրթության նախարարությունը։

Կրիտիկական կետերի ներառումը մեծացման և նվազման միջակայքում այն դեպքում, երբ դրանք բավարարում են ֆունկցիայի տիրույթը:

Սահմանում 2

Համար որոշելով ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը՝ անհրաժեշտ է գտնել:

ածանցյալ;
կրիտիկական կետեր;
կրիտիկական կետերի օգնությամբ բաժանել սահմանման տիրույթը ընդմիջումների.
որոշել ածանցյալի նշանը յուրաքանչյուր ինտերվալում, որտեղ +-ը աճ է, իսկ -ը՝ նվազում։

Օրինակ 3

Գտեք ածանցյալը f «(x) = x 2» (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 «(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) տիրույթի վրա: 2 .

Լուծում

Լուծելու համար ձեզ հարկավոր է.

գտնել անշարժ կետեր, այս օրինակն ունի x = 0;
գտեք հայտարարի զրոները, օրինակը վերցնում է զրո արժեքը x = ± 1 2-ում:

Մենք բացահայտում ենք թվային առանցքի վրա գտնվող կետերը՝ յուրաքանչյուր միջակայքում ածանցյալը որոշելու համար: Դա անելու համար բավական է ցանկացած կետ վերցնել միջակայքից և կատարել հաշվարկ։ Եթե արդյունքը դրական է, գրաֆիկի վրա նկարում ենք +, որը նշանակում է ֆունկցիայի ավելացում, իսկ - նշանակում է նվազում։

Օրինակ, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ինչը նշանակում է, որ ձախ կողմում առաջին միջակայքն ունի + նշան: Հաշվի առեք թիվը տող.

Պատասխան.

կա ֆունկցիայի ավելացում - ∞ միջակայքում; - 1 2 և (- 1 2 ; 0 ] ;
ինտերվալի վրա նվազում է [0; 1 2) և 1 2; +∞ .

Դիագրամում, օգտագործելով + և -, պատկերված են ֆունկցիայի դրականությունն ու բացասականությունը, իսկ սլաքները ցույց են տալիս նվազում և աճ:

Ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը այն կետերն են, որտեղ սահմանվում է ֆունկցիան և որոնց միջոցով ածանցյալը փոխում է նշանը:

Օրինակ 4

Եթե հաշվի առնենք օրինակ, որտեղ x \u003d 0, ապա դրա մեջ ֆունկցիայի արժեքը f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 է: Երբ ածանցյալի նշանը փոխվում է +-ից - և անցնում է x \u003d 0 կետով, ապա կոորդինատներով կետը (0; 0) համարվում է առավելագույն կետ: Երբ նշանը փոխվում է -ից +, մենք ստանում ենք նվազագույն միավորը:

Ուռուցիկությունը և գոգավորությունը որոշվում են f "" (x) ≥ 0 և f "" (x) ≤ 0 ձևի անհավասարությունները լուծելով։ Ավելի քիչ հաճախ օգտագործում են ուռուցիկ անվանումը գոգավորության փոխարեն, իսկ ուռուցիկության փոխարեն՝ ուռուցիկ:

Սահմանում 3

Համար գոգավորության և ուռուցիկության բացերի որոշումանհրաժեշտ:

գտնել երկրորդ ածանցյալը;
գտնել երկրորդ ածանցյալի ֆունկցիայի զրոները.
կոտրել սահմանման տիրույթը այն կետերով, որոնք հայտնվում են ընդմիջումներով.
որոշել բացվածքի նշանը.

Օրինակ 5

Գտեք սահմանման տիրույթից երկրորդ ածանցյալը:

Լուծում

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Մենք գտնում ենք համարիչի և հայտարարի զրոները, որտեղ, օգտագործելով մեր օրինակը, ունենք, որ x = ± 1 2 հայտարարի զրոները.

Այժմ դուք պետք է միավորներ դնեք թվային տողի վրա և յուրաքանչյուր ինտերվալից որոշեք երկրորդ ածանցյալի նշանը: Մենք դա հասկանում ենք

Պատասխան.

ֆունկցիան ուռուցիկ է միջակայքից - 1 2 ; 12 ;
ֆունկցիան գոգավոր է բացերից - ∞ ; - 1 2 և 1 2; +∞ .

Սահմանում 4

թեքման կետ x 0 ձևի կետ է; f(x0) . Երբ այն շոշափում է ֆունկցիայի գրաֆիկին, ապա երբ անցնում է x 0 միջով, ֆունկցիան փոխում է հակառակ նշանը։

Այսինքն, սա այնպիսի կետ է, որով անցնում է երկրորդ ածանցյալը և փոխում նշանը, իսկ կետերում իրենք հավասար են զրոյի կամ գոյություն չունեն։ Բոլոր կետերը համարվում են ֆունկցիայի տիրույթ։

Օրինակում երևաց, որ թեքման կետեր չկան, քանի որ երկրորդ ածանցյալը փոխում է նշանը x = ± 1 2 կետերով անցնելիս: Դրանք, իրենց հերթին, ներառված չեն սահմանման տիրույթում։

Հորիզոնական և թեք ասիմպտոտների հայտնաբերում

Անսահմանության մեջ ֆունկցիա սահմանելիս պետք է փնտրել հորիզոնական և թեք ասիմպտոտներ:

Սահմանում 5

Շեղ ասիմպտոտներգծված են y = k x + b հավասարմամբ տրված գծերով, որտեղ k = lim x → ∞ f (x) x և b = lim x → ∞ f (x) - k x:

K = 0-ի և b-ի համար, որոնք հավասար չեն անվերջությանը, մենք գտնում ենք, որ թեք ասիմպտոտը դառնում է հորիզոնական.

Այլ կերպ ասած, ասիմպտոտները այն գծերն են, որոնց ֆունկցիայի գրաֆիկը մոտենում է անվերջությանը: Սա նպաստում է ֆունկցիայի գրաֆիկի արագ կառուցմանը:

Եթե չկան ասիմպտոտներ, բայց ֆունկցիան սահմանված է երկու անվերջություններում, անհրաժեշտ է հաշվել ֆունկցիայի սահմանը այս անվերջություններում, որպեսզի հասկանանք, թե ինչպես է իրեն պահելու ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Օրինակ 6

Որպես օրինակ, հաշվի առեք, որ

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

հորիզոնական ասիմպտոտ է։ Ֆունկցիան ուսումնասիրելուց հետո կարող եք սկսել այն կառուցել:

Միջանկյալ կետերում ֆունկցիայի արժեքի հաշվարկը

Գծագրումն առավել ճշգրիտ դարձնելու համար խորհուրդ է տրվում միջանկյալ կետերում գտնել ֆունկցիայի մի քանի արժեք:

Օրինակ 7

Մեր դիտարկած օրինակից անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի արժեքները x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 կետերում: Քանի որ ֆունկցիան հավասար է, մենք ստանում ենք, որ արժեքները համընկնում են այս կետերի արժեքների հետ, այսինքն, մենք ստանում ենք x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4:

Եկեք գրենք և լուծենք.

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Ֆունկցիայի մաքսիմումը և մինիմումը, թեքության կետերը, միջանկյալ կետերը որոշելու համար անհրաժեշտ է կառուցել ասիմպտոտներ։ Հարմար նշանակման համար ամրագրված են աճի, նվազման, ուռուցիկության, գոգավորության միջակայքերը։ Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Նշված կետերի միջով անհրաժեշտ է գծել գրաֆիկական գծեր, որոնք թույլ կտան մոտենալ ասիմպտոտներին՝ հետևելով սլաքներին։

Սա ավարտում է ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրությունը: Կան որոշ տարրական ֆունկցիաներ կառուցելու դեպքեր, որոնց համար օգտագործվում են երկրաչափական փոխակերպումներ։

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Արդեն որոշ ժամանակ է, ինչ TheBat-ում (պարզ չէ, թե ինչ պատճառով) SSL-ի համար ներկառուցված վկայականների տվյալների բազան դադարել է ճիշտ աշխատել։

Գրառումը ստուգելիս սխալ է հայտնվում.

Անհայտ CA վկայագիր
Սերվերը նիստում չի ներկայացրել արմատային վկայական, և հասցեագրքում չի գտնվել համապատասխան արմատային վկայականը:
Այս կապը չի կարող գաղտնի լինել։ Խնդրում եմ
կապվեք ձեր սերվերի ադմինիստրատորի հետ:

Եվ առաջարկվում է պատասխանների ընտրություն՝ ԱՅՈ / ՈՉ։ Եվ այսպես, ամեն անգամ, երբ փոստ եք կրակում:

Լուծում

Այս դեպքում, դուք պետք է փոխարինեք S/MIME և TLS ներդրման ստանդարտը Microsoft CryptoAPI-ով TheBat-ում:

Քանի որ ինձ անհրաժեշտ էր բոլոր ֆայլերը միաձուլել մեկում, ես նախ բոլոր doc ֆայլերը վերածեցի մեկ pdf ֆայլի (օգտագործելով Acrobat ծրագիրը), այնուհետև այն առցանց փոխարկիչի միջոցով տեղափոխեցի fb2: Դուք կարող եք նաև փոխարկել ֆայլերը անհատապես: Ձևաչափերը կարող են լինել բացարձակապես ցանկացած (աղբյուր) և doc, և jpg և նույնիսկ zip արխիվ:

Կայքի անվանումը համապատասխանում է էությանը:) Online Photoshop.

Թարմացնել 2015 թվականի մայիսին

Ես գտա ևս մեկ հիանալի կայք: Նույնիսկ ավելի հարմար և ֆունկցիոնալ բոլորովին կամայական կոլաժ ստեղծելու համար: Այս կայքը http://www.fotor.com/ru/collage/ է: Օգտագործեք առողջության վրա. Եվ ես ինքս կօգտագործեմ այն:

Կյանքում կանգնած է էլեկտրական վառարանների վերանորոգման հետ: Ես արդեն շատ բաներ եմ արել, շատ բան սովորել եմ, բայց ինչ-որ կերպ սալիկների հետ քիչ էի առնչվում: Անհրաժեշտ էր փոխել կոնտակտները կարգավորիչների և այրիչների վրա: Հարց առաջացավ՝ ինչպե՞ս որոշել էլեկտրական վառարանի վրա այրիչի տրամագիծը։

Պատասխանը պարզվեց. Ոչինչ չափելու կարիք չկա, դուք կարող եք հանգիստ աչքով որոշել, թե ինչ չափս է ձեզ հարկավոր։

Ամենափոքր այրիչը 145 միլիմետր է (14,5 սանտիմետր)

Միջին այրիչկազմում է 180 միլիմետր (18 սանտիմետր):

Եվ վերջապես ամենաշատը մեծ այրիչկազմում է 225 միլիմետր (22,5 սանտիմետր):

Բավական է չափը որոշել աչքով և հասկանալ, թե ինչ տրամագիծ է ձեզ անհրաժեշտ այրիչ: Երբ ես չգիտեի սա, ես ճախրում էի այս չափսերով, չգիտեի ինչպես չափել, որ եզրին նավարկել և այլն: Հիմա ես իմաստուն եմ :) Հուսով եմ, որ դա ձեզ նույնպես օգնեց:

Իմ կյանքում ես բախվել եմ նման խնդրի. Կարծում եմ՝ ես միակը չեմ։

Ինչպե՞ս ուսումնասիրել ֆունկցիան և գծել դրա գրաֆիկը:

Կարծես սկսում եմ հասկանալ համաշխարհային պրոլետարիատի առաջնորդի, 55 հատորով հավաքված ստեղծագործությունների հեղինակի հոգեհարազատ դեմքը…. Երկար ճանապարհորդությունը սկսվեց տարրական տեղեկություններով ֆունկցիաներ և գրաֆիկներ, իսկ հիմա աշխատատար թեմայի վրա աշխատանքը ավարտվում է բնական արդյունքով՝ հոդվածով ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրության մասին. Երկար սպասված խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

Հետազոտել ֆունկցիան դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդներով և հետազոտության արդյունքների հիման վրա կառուցել դրա գրաֆիկը

Կամ մի խոսքով` ուսումնասիրեք ֆունկցիան և գծեք այն:

Ինչու՞ ուսումնասիրել:Պարզ դեպքերում մեզ համար դժվար չի լինի զբաղվել տարրական ֆունկցիաներով, նկարել օգտագործելով ստացված գրաֆիկը տարրական երկրաչափական վերափոխումներև այլն: Այնուամենայնիվ, ավելի բարդ գործառույթների հատկությունները և գրաֆիկական պատկերները հեռու են ակնհայտ լինելուց, այդ իսկ պատճառով անհրաժեշտ է մի ամբողջ ուսումնասիրություն:

Լուծման հիմնական քայլերն ամփոփված են տեղեկատու նյութում Գործառույթների ուսումնասիրության սխեման, սա ձեր բաժնի ուղեցույցն է: Dummies-ին անհրաժեշտ է թեմայի քայլ առ քայլ բացատրություն, որոշ ընթերցողներ չգիտեն, թե որտեղից սկսել և ինչպես կազմակերպել ուսումնասիրությունը, իսկ առաջադեմ ուսանողներին կարող են հետաքրքրել միայն մի քանի կետ: Բայց ով էլ որ լինես, հարգելի այցելու, առաջարկվող ամփոփագիրը՝ տարբեր դասերի ցուցումներով, ամենակարճ ժամկետում կկողմնորոշի ու կուղղորդի քեզ հետաքրքրության ուղղությամբ։ Ռոբոտները արցունք են թափել =) Ձեռնարկը կազմվել է pdf ֆայլի տեսքով և իր արժանի տեղն է գրավել էջում Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներ.

Ես ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը բաժանում էի 5-6 կետի.

6) ուսումնասիրության արդյունքների հիման վրա լրացուցիչ միավորներ եւ գրաֆիկ.

Ինչ վերաբերում է վերջնական գործողությանը, կարծում եմ, բոլորն էլ ամեն ինչ հասկանում են՝ շատ հիասթափեցնող կլինի, եթե այն հաշված վայրկյանների ընթացքում խաչվի և առաջադրանքը վերադարձվի վերանայման։ ՃԻՇՏ ԵՎ Ճշգրիտ Գծանկարը լուծման հիմնական արդյունքն է։ Շատ հավանական է, որ այն «քողարկի» վերլուծական անտեսումները, մինչդեռ սխալ և/կամ անփույթ գրաֆիկը խնդիրներ կառաջացնի նույնիսկ կատարյալ ուսումնասիրության դեպքում:

Հարկ է նշել, որ այլ աղբյուրներում հետազոտական նյութերի քանակը, դրանց իրականացման կարգը և ձևավորման ոճը կարող են էականորեն տարբերվել իմ առաջարկած սխեմայից, բայց շատ դեպքերում դա միանգամայն բավարար է։ Խնդրի ամենապարզ տարբերակը բաղկացած է ընդամենը 2-3 փուլից և ձևակերպված է այսպես՝ «ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով ածանցյալը և գծապատկերը» կամ «ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով 1-ին և 2-րդ ածանցյալները, գծապատկեր»:

Բնականաբար, եթե մեկ այլ ալգորիթմ մանրամասնորեն վերլուծվի ձեր ուսումնական ձեռնարկում կամ ձեր ուսուցիչը խստորեն պահանջում է, որ դուք հավատարիմ մնաք իր դասախոսություններին, ապա դուք ստիպված կլինեք որոշակի ճշգրտումներ կատարել լուծման մեջ: Ավելի դժվար չէ, քան պատառաքաղը բենզասղոցով գդալով փոխարինելը:

Եկեք ստուգենք ֆունկցիան զույգի / կենտի համար.

Դրան հաջորդում է կաղապարի ապաբաժանորդագրությունը.
, ուստի այս ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

Քանի որ ֆունկցիան շարունակական է , ուղղահայաց ասիմպտոտներ չկան:

Չկան նաև թեք ասիմպտոտներ։

Նշում Հիշեցնում եմ ձեզ, որ ավելի բարձր աճի կարգըքան , ուստի վերջնական սահմանը հենց « գումարածանսահմանություն»։

Եկեք պարզենք, թե ինչպես է գործառույթն իրեն պահում անսահմանության մեջ.

Այլ կերպ ասած, եթե մենք գնում ենք դեպի աջ, ապա գրաֆիկը գնում է անվերջ վերև, եթե մենք գնում ենք ձախ, անսահմանորեն ներքև: Այո, մեկ մուտքի տակ կա նաև երկու սահմանափակում: Եթե դուք դժվարանում եք վերծանել նշանները, խնդրում ենք այցելել դասի մասին անվերջ փոքր գործառույթներ.

Այսպիսով, գործառույթը վերևից չի սահմանափակվումև չի սահմանափակվում ներքևից. Հաշվի առնելով, որ մենք չունենք բրեյք կետեր, պարզ է դառնում և ֆունկցիայի տիրույթ: նաև ցանկացած իրական թիվ է:

Օգտակար ՏԵԽՆԻԿԱ

Առաջադրանքի յուրաքանչյուր քայլ նոր տեղեկատվություն է բերում ֆունկցիայի գրաֆիկի մասին, ուստի լուծման ընթացքում հարմար է օգտագործել մի տեսակ LAYOUT։ Նախագծի վրա գծենք դեկարտյան կոորդինատային համակարգ։ Ի՞նչ է հաստատ հայտնի. Նախ, գրաֆիկը չունի ասիմպտոտներ, հետևաբար կարիք չկա ուղիղ գծեր գծելու։ Երկրորդ, մենք գիտենք, թե ինչպես է գործառույթն իրեն պահում անսահմանության ժամանակ: Ըստ վերլուծության՝ մենք կատարում ենք առաջին մոտավորությունը.

Նշենք, որ ուժի մեջ է շարունակականությունգործառույթը և այն փաստը, որ , գրաֆիկը պետք է հատի առանցքը առնվազն մեկ անգամ: Կամ գուցե մի քանի հատ հատման կետեր կա՞ն։

3) Ֆունկցիայի զրոները և հաստատուն նշանի միջակայքերը.

Նախ գտե՛ք գրաֆիկի հատման կետը y առանցքի հետ: Դա պարզ է. Անհրաժեշտ է հաշվարկել ֆունկցիայի արժեքը, երբ.

Ծովի մակարդակից կիսով չափ:

Առանցքի հետ հատման կետերը (ֆունկցիայի զրոները) գտնելու համար հարկավոր է լուծել հավասարումը, և այստեղ մեզ տհաճ անակնկալ է սպասվում.

Վերջում ազատ անդամ է թաքնվում, ինչը զգալիորեն բարդացնում է խնդիրը։

Նման հավասարումն ունի առնվազն մեկ իրական արմատ, և ամենից հաճախ այս արմատը իռացիոնալ է: Ամենավատ հեքիաթում մեզ սպասում են երեք փոքրիկ խոզուկներ։ Հավասարումը լուծելի է, օգտագործելով այսպես կոչված Կարդանոյի բանաձեւերը, բայց թղթի վնասը համեմատելի է գրեթե ամբողջ ուսումնասիրության հետ: Այս առումով ավելի խելամիտ է բանավոր կամ նախագծի վրա փորձել գոնե մեկը վերցնել ամբողջարմատ. Եկեք ստուգենք, թե արդյոք այս թվերն են.
- չի տեղավորվում;
- կա!

Այստեղ բախտավոր է: Անհաջողության դեպքում կարող եք նաև փորձարկել և, և եթե այս թվերը չեն համապատասխանում, ապա վախենում եմ, որ հավասարման շահավետ լուծման հնարավորությունները շատ քիչ են։ Այնուհետև ավելի լավ է ամբողջությամբ բաց թողնել հետազոտության կետը, միգուցե ինչ-որ բան ավելի պարզ դառնա վերջին քայլում, երբ լրացուցիչ կետերը ճեղքվեն: Եվ եթե արմատը (արմատները) ակնհայտորեն «վատ» են, ապա ավելի լավ է համեստորեն լռել նշանների կայունության միջակայքերի մասին և ավելի ճշգրիտ լրացնել գծագիրը:

Այնուամենայնիվ, մենք ունենք գեղեցիկ արմատ, ուստի բաժանում ենք բազմանդամը առանց մնացորդի:

Բազմանդամը բազմանդամով բաժանելու ալգորիթմը մանրամասն քննարկվում է դասի առաջին օրինակում։ Համալիր սահմաններ.

Արդյունքում, սկզբնական հավասարման ձախ կողմը ընդլայնվում է արտադրանքի մեջ.

Իսկ հիմա մի փոքր առողջ ապրելակերպի մասին։ Իհարկե, ես դա հասկանում եմ քառակուսի հավասարումներպետք է լուծել ամեն օր, բայց այսօր բացառություն կանենք՝ հավասարումը երկու իրական արմատներ ունի.

Թվային տողի վրա մենք գծագրում ենք գտնված արժեքները և ինտերվալ մեթոդսահմանել ֆունկցիայի նշանները.

og Այսպիսով, ընդմիջումներով աղյուսակը գտնվում է
x առանցքից ցածր և ընդմիջումներով - այս առանցքից վեր:

Ստացված գտածոները մեզ թույլ են տալիս կատարելագործել մեր դասավորությունը, և գրաֆիկի երկրորդ մոտարկումն այսպիսի տեսք ունի.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ գործառույթը պետք է ունենա առնվազն մեկ առավելագույն միջակայքում և առնվազն մեկ նվազագույն միջակայքում: Բայց մենք չգիտենք, թե քանի անգամ, որտեղ և երբ «կպտտվի» գրաֆիկը։ Ի դեպ, ֆունկցիան կարող է անսահման շատ ունենալ ծայրահեղություններ.

4) ֆունկցիայի ավելացում, նվազում և ծայրահեղություն.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Այս հավասարումն ունի երկու իրական արմատ. Եկեք դրանք դնենք թվային տողի վրա և որոշենք ածանցյալի նշանները.

Հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է և նվազում է:
Այն կետում ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույնին. .
Այն կետում ֆունկցիան հասնում է իր նվազագույնի. .

Հաստատված փաստերը մղում են մեր ձևանմուշը բավականին կոշտ շրջանակի մեջ.

Ավելորդ է ասել, որ դիֆերենցիալ հաշվարկը հզոր բան է: Վերջապես անդրադառնանք գրաֆիկի ձևին.

5) ուռուցիկության, գոգավորության և թեքության կետերը.

Գտեք երկրորդ ածանցյալի կրիտիկական կետերը.

Եկեք սահմանենք նշանները.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է և գոգավոր է . Հաշվենք թեքության կետի օրդինատը՝ .

Գրեթե ամեն ինչ պարզվեց.

6) Մնում է գտնել լրացուցիչ կետեր, որոնք կօգնեն ավելի ճշգրիտ կառուցել գրաֆիկը և կատարել ինքնաթեստ: Այս դեպքում դրանք քիչ են, բայց մենք չենք անտեսի.

Եկեք կատարենք գծագիրը.

Թեքման կետը նշվում է կանաչով, հավելյալ կետերը՝ խաչերով։ Խորանարդ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է նրա թեքման կետի նկատմամբ, որը միշտ գտնվում է ուղիղ մեջտեղում՝ առավելագույնի և նվազագույնի միջև:

Առաջադրանքի ընթացքում ես տվել եմ երեք հիպոթետիկ միջանկյալ նկարներ։ Գործնականում բավական է նկարել կոորդինատային համակարգ, նշել գտնված կետերը և ուսումնասիրության յուրաքանչյուր կետից հետո մտովի պարզել, թե ինչպիսին կարող է լինել ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Լավ պատրաստվածության մակարդակ ունեցող ուսանողների համար դժվար չի լինի նման վերլուծություն իրականացնել բացառապես իրենց մտքում՝ առանց նախագիծ ներգրավելու:

Անկախ լուծման համար.

Օրինակ 2

Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և կառուցեք գրաֆիկ:

Այստեղ ամեն ինչ ավելի արագ և զվարճալի է, դասի վերջում ավարտելու մոտավոր օրինակ:

Բազմաթիվ գաղտնիքներ բացահայտվում են կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիաների ուսումնասիրությամբ.

Օրինակ 3

Օգտագործելով դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդները, ուսումնասիրեք ֆունկցիան և, հիմնվելով ուսումնասիրության արդյունքների վրա, կառուցեք դրա գրաֆիկը:

ԼուծումՈւսումնասիրության առաջին փուլը ոչ մի ուշագրավ բանով չի տարբերվում, բացառությամբ սահմանման գոտում անցքի.

1) Ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է ամբողջ թվային տողի վրա, բացառությամբ կետի, տիրույթ: .

, ուստի այս ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

Ակնհայտ է, որ ֆունկցիան ոչ պարբերական է։

Ֆունկցիայի գրաֆիկը բաղկացած է երկու շարունակական ճյուղերից, որոնք գտնվում են ձախ և աջ կիսահրապարակում. սա 1-ին պարբերության, թերևս, ամենակարևոր եզրակացությունն է։

2) Ասիմպտոտներ, ֆունկցիայի վարքագիծը անսահմանության ժամանակ:

ա) Միակողմանի սահմանների օգնությամբ ուսումնասիրում ենք ֆունկցիայի վարքը կասկածելի կետի մոտ, որտեղ ուղղահայաց ասիմպտոտը պետք է հստակ լինի.

Իրոք, գործառույթները դիմանում են անվերջ բացըկետում
իսկ ուղիղ գիծը (առանցքը) է ուղղահայաց ասիմպտոտգրաֆիկական արվեստ.

բ) Ստուգեք, արդյոք գոյություն ունեն թեք ասիմպտոտներ.

Այո, գիծն է թեք ասիմպտոտգրաֆիկա, եթե.

Սահմանները վերլուծելն անիմաստ է, քանի որ արդեն պարզ է, որ ֆունկցիան գրկում է իր թեք ասիմպտոտով. վերևից չի սահմանափակվումև չի սահմանափակվում ներքևից.

Հետազոտության երկրորդ կետը բազմաթիվ կարևոր տեղեկություններ բերեց ֆունկցիայի մասին։ Եկեք կատարենք կոպիտ ուրվագիծ.

Թիվ 1 եզրակացությունը վերաբերում է նշանի կայունության միջակայքերին: «Մինուս անվերջության» դեպքում ֆունկցիայի գրաֆիկը եզակիորեն տեղակայված է x առանցքի տակ, իսկ «գումարած անսահմանության» դեպքում՝ այս առանցքից վեր։ Բացի այդ, միակողմանի սահմանները մեզ ասացին, որ թե՛ կետի ձախ և թե՛ աջ կողմում ֆունկցիան նույնպես զրոյից մեծ է: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ձախ կես հարթությունում գրաֆիկը պետք է հատի x առանցքը առնվազն մեկ անգամ: Աջ կես հարթությունում ֆունկցիայի զրոներ չեն կարող լինել:

Եզրակացություն թիվ 2 այն է, որ ֆունկցիան մեծանում է կետի վրա և ձախ կողմում (գնում է «ներքևից վերև»): Այս կետից աջ ֆունկցիան նվազում է (գնում է «վերևից ներքև»): Գրաֆիկի աջ ճյուղը, անշուշտ, պետք է ունենա առնվազն մեկ նվազագույն: Ձախ կողմում ծայրահեղությունները երաշխավորված չեն:

Թիվ 3 եզրակացությունը հավաստի տեղեկատվություն է տալիս կետի շրջակայքում գրաֆիկի գոգավորության մասին։ Մենք դեռ ոչինչ չենք կարող ասել անվերջության ուռուցիկության/գոգավորության մասին, քանի որ գիծը կարող է սեղմվել իր ասիմպտոտի վրա ինչպես վերևից, այնպես էլ ներքևից: Ընդհանրապես, այս պահին դա պարզելու վերլուծական եղանակ կա, սակայն «ոչնչի համար» աղյուսակի ձևն ավելի պարզ կդառնա ավելի ուշ:

Ինչո՞ւ այդքան շատ խոսքեր: Հետագա հետազոտության կետերը վերահսկելու և սխալներից խուսափելու համար: Հետագա հաշվարկները չպետք է հակասեն արված եզրակացություններին:

3) Գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը չի հատում առանցքը:

Օգտագործելով միջակայքի մեթոդը, մենք որոշում ենք նշանները.

, եթե ;
, եթե .

Պարբերության արդյունքները լիովին համապատասխանում են թիվ 1 եզրակացությանը: Յուրաքանչյուր քայլից հետո նայեք նախագիծը, մտովի անդրադարձեք ուսումնասիրությանը և ավարտեք ֆունկցիայի գրաֆիկի գծագրումը:

Այս օրինակում համարիչը տերմին առ անդամ բաժանվում է հայտարարով, ինչը շատ օգտակար է տարբերակման համար.

Փաստորեն, դա արդեն արվել է ասիմպտոտներ հայտնաբերելիս։

- կրիտիկական կետ.

Եկեք սահմանենք նշանները.

ավելանում է և նվազում է մինչև

Այն կետում ֆունկցիան հասնում է իր նվազագույնի. .

Թիվ 2 եզրակացության հետ նույնպես հակասություններ չեն եղել, և, ամենայն հավանականությամբ, մենք ճիշտ ուղու վրա ենք։

Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է սահմանման ողջ տիրույթում։

Գերազանց, և ձեզ հարկավոր չէ որևէ բան նկարել:

Շեղման կետեր չկան։

Գոգավորությունը համահունչ է թիվ 3 եզրակացությանը, ավելին, այն ցույց է տալիս, որ անսահմանության ժամանակ (և այնտեղ, և այնտեղ) ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է. վերևումդրա թեք ասիմպտոտը։

6) Մենք բարեխղճորեն կկապենք առաջադրանքը լրացուցիչ միավորներով: Այստեղ մենք պետք է շատ աշխատենք, քանի որ մենք գիտենք միայն երկու կետ ուսումնասիրությունից.

Եվ մի նկար, որը, հավանաբար, շատերը վաղուց են ներկայացրել.

Առաջադրանքի կատարման ընթացքում պետք է հոգ տանել, որ ուսումնասիրության փուլերի միջև հակասություններ չլինեն, բայց երբեմն իրավիճակը հրատապ է կամ նույնիսկ հուսահատ փակուղային: Այստեղ վերլուծականները «չի համընկնում» - և վերջ: Այս դեպքում ես առաջարկում եմ արտակարգ իրավիճակների տեխնիկա՝ մենք գտնում ենք գրաֆիկին պատկանող որքան հնարավոր է շատ կետեր (որքան համբերություն է բավարար), և դրանք նշում ենք կոորդինատային հարթության վրա։ Գտնված արժեքների գրաֆիկական վերլուծությունը շատ դեպքերում ձեզ կասի, թե որտեղ է ճշմարտությունը և որտեղ է սուտը: Բացի այդ, գրաֆիկը կարող է նախապես կառուցվել՝ օգտագործելով ինչ-որ ծրագիր, օրինակ՝ նույն Excel-ում (պարզ է, որ դրա համար անհրաժեշտ են հմտություններ):

Օրինակ 4

Օգտագործելով դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդները, ուսումնասիրեք ֆունկցիան և գծեք դրա գրաֆիկը:

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Դրանում ինքնատիրապետումն ուժեղանում է ֆունկցիայի հավասարությամբ՝ գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ, և եթե ձեր ուսումնասիրության մեջ ինչ-որ բան հակասում է այս փաստին, փնտրեք սխալ:

Զույգ կամ կենտ ֆունկցիան կարող է հետազոտվել միայն , և այնուհետև կարող է օգտագործվել գրաֆիկի համաչափությունը: Այս լուծումը օպտիմալ է, բայց այն, իմ կարծիքով, շատ անսովոր է թվում: Անձամբ ես համարում եմ ամբողջ թվային առանցքը, բայց ես դեռ լրացուցիչ կետեր եմ գտնում միայն աջ կողմում.

Օրինակ 5

Կատարեք ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրություն և գծեք դրա գրաֆիկը:

Լուծում: ուժեղ շտապեց:

1) Ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է ամբողջ իրական գծի վրա.

Սա նշանակում է, որ այս ֆունկցիան կենտ է, նրա գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Ակնհայտ է, որ ֆունկցիան ոչ պարբերական է։

2) Ասիմպտոտներ, ֆունկցիայի վարքագիծը անսահմանության ժամանակ:

Քանի որ ֆունկցիան շարունակական է , ուղղահայաց ասիմպտոտներ չկան

Ցուցանիշ պարունակող ֆունկցիայի համար, որպես կանոն առանձնացնել«գումարած» և «մինուս անսահմանության» ուսումնասիրությունը, սակայն, մեր կյանքին հեշտացնում է հենց գրաֆիկի համաչափությունը. կա՛մ ձախ և աջ կողմում ասիմպտոտ կա, կա՛մ չկա: Հետևաբար, երկու անսահման սահմաններն էլ կարող են դասավորվել մեկ մուտքի ներքո: Լուծման ընթացքում մենք օգտագործում ենք L'Hopital-ի կանոն:

Ուղիղ գիծը (առանցքը) գծապատկերի հորիզոնական ասիմպտոտն է:

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես ես խելամտորեն խուսափեցի թեք ասիմպտոտը գտնելու ամբողջական ալգորիթմից. սահմանը միանգամայն օրինական է և հստակեցնում է ֆունկցիայի պահվածքը անսահմանության ժամանակ, իսկ հորիզոնական ասիմպտոտը գտնվել է «կարծես միևնույն ժամանակ»:

Հորիզոնական ասիմպտոտի շարունակականությունից և առկայությունից հետևում է, որ ֆունկցիան վերևից սահմանափակվածև սահմանափակվում է ներքևից.

3) Գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, հաստատունության միջակայքերը.

Այստեղ մենք նաև կրճատում ենք լուծումը.
Գրաֆիկը անցնում է սկզբնաղբյուրով:

Կոորդինատային առանցքների հետ հատման այլ կետեր չկան։ Ավելին, հաստատունության միջակայքերը ակնհայտ են, և առանցքը հնարավոր չէ գծել՝ , ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիայի նշանը կախված է միայն «x»-ից.
, եթե ;
, եթե .

4) ֆունկցիայի ավելացում, նվազում, ծայրահեղություն.

կրիտիկական կետեր են:

Կետերը սիմետրիկ են զրոյի նկատմամբ, ինչպես պետք է լինի:

Սահմանենք ածանցյալի նշանները.

Ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում և նվազում է ընդմիջումներով

Այն կետում ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույնին. .

Գույքի շնորհիվ (ֆունկցիայի տարօրինակությունը) նվազագույնը կարելի է բաց թողնել.

Քանի որ ֆունկցիան նվազում է ինտերվալի վրա, ուրեմն, ակնհայտորեն, գրաֆիկը գտնվում է «մինուս անսահմանության» վրա։ տակիր ասիմպտոտով։ Ինտերվալի վրա ֆունկցիան նույնպես նվազում է, բայց այստեղ հակառակն է՝ առավելագույն կետով անցնելուց հետո գիծը վերևից մոտենում է առանցքին։

Վերոնշյալից բխում է նաև, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է «մինուս անսահմանության» և գոգավոր «գումարած անվերջության» դեպքում։

Ուսումնասիրության այս կետից հետո գծվել է նաև ֆունկցիայի արժեքների տարածքը.

Եթե որևէ կետ թյուրիմացություն ունեք, ևս մեկ անգամ հորդորում եմ նոթատետրում գծել կոորդինատային առանցքներ և մատիտը ձեռքներին նորից վերլուծել առաջադրանքի յուրաքանչյուր եզրակացությունը։

5) Գրաֆիկի ուռուցիկություն, գոգավորություն, թեքություններ.

կրիտիկական կետեր են:

Կետերի համաչափությունը պահպանված է, և, ամենայն հավանականությամբ, չենք սխալվում։

Եկեք սահմանենք նշանները.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է և գոգավոր վրա .

Հաստատվել է ուռուցիկություն/գոգավորություն ծայրահեղ ընդմիջումներով:

Բոլոր կրիտիկական կետերում գծապատկերում կան թեքություններ: Գտնենք թեքման կետերի օրդինատները՝ կրկին կրճատելով հաշվարկների քանակը՝ օգտագործելով ֆունկցիայի տարօրինակությունը.

Ռեշեբնիկ Կուզնեցով.
III գրաֆիկներ

Առաջադրանք 7. Կատարել ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրություն և կառուցել դրա գրաֆիկը:

Նախքան ընտրանքների ներբեռնումը սկսելը, փորձեք լուծել խնդիրը՝ համաձայն 3 տարբերակի ստորև ներկայացված օրինակի: Որոշ տարբերակներ արխիվացված են .rar ձևաչափով:

7.3 Կատարել ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրություն և գծագրել այն