Գործնական աշխատանք՝ Ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխակերպում. Ածանցյալ Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

$y = f(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում $х_0$ ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է նրա արգումենտի համապատասխան աճին, պայմանով, որ վերջինս հակված է զրոյի.

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Տարբերակումը ածանցյալը գտնելու գործողությունն է:

Որոշ տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ

Տարբերակման հիմնական կանոնները

1. Գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը).

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Գտե՛ք $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալը.

Գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը):

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Արտադրանքի ածանցյալ

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Գտե՛ք $f(x)=4x cosx$ ածանցյալը

$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. ածանցյալի

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Գտեք $f(x)=(5x^5)/(e^x)$ ածանցյալը

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալի և ներքին ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը

Եթե ​​նյութական կետը շարժվում է ուղիղ գծով, և նրա կոորդինատը փոխվում է ժամանակից կախված $x(t)$ օրենքի համաձայն, ապա այս կետի ակնթարթային արագությունը հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին։

Կետը շարժվում է կոորդինատային գծով $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ օրենքի համաձայն, որտեղ $x(t)$-ը $t$ ժամանակի կոորդինատն է։ Ժամանակի ո՞ր պահին կետի արագությունը հավասար կլինի $12$-ի:

1. Արագությունը $x(t)$-ի ածանցյալ է, ուստի եկեք գտնենք տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալը.

$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$

2. Որպեսզի պարզենք, թե $t$-ի որ պահին է արագությունը հավասար $12$-ի, մենք կազմում և լուծում ենք հավասարումը.

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

Հիշեցնենք, որ կոորդինատային առանցքներին ոչ զուգահեռ ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է գրել $y = kx + b$-ով, որտեղ $k$-ը ուղիղ գծի թեքությունն է։ $k$ գործակիցը հավասար է ուղիղ գծի և $Ox$ առանցքի դրական ուղղության լանջի շոշափմանը։

$f(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալը $x_0$ կետում հավասար է տրված կետում գրաֆիկի շոշափողի $k$ թեքությանը.

Այսպիսով, մենք կարող ենք ընդհանուր հավասարություն կազմել.

$f"(x_0) = k = tgα$

Նկարում $f(x)$ ֆունկցիայի շոշափողը մեծանում է, հետևաբար՝ $k > 0$ գործակիցը։ Քանի որ $k > 0$, ապա $f"(x_0) = tgα > 0$: $α$ շոշափողի և $Ox$ դրական ուղղության միջև կտրուկ է:

Նկարում $f(x)$ ֆունկցիայի շոշափողը նվազում է, հետևաբար՝ $k գործակիցը։< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Նկարում $f(x)$ ֆունկցիայի շոշափողը զուգահեռ է $Ох$ առանցքին, հետևաբար $k = 0$ գործակիցը, հետևաբար $f"(x_0) = tg α = 0$: $ կետը: x_0$, որի դեպքում կանչվել է $f "(x_0) = 0$ ծայրահեղություն.

Նկարը ցույց է տալիս $y=f(x)$ ֆունկցիայի գրաֆիկը և այս գրաֆիկին գծված շոշափողը $x_0$ աբսցիսայով: Գտե՛ք $f(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը $x_0$ կետում։

Գրաֆիկի շոշափողը մեծանում է, հետևաբար, $f"(x_0) = tg α > 0$

$f"(x_0)$-ը գտնելու համար մենք գտնում ենք $Ox$ առանցքի շոշափողի և դրական ուղղության լանջի շոշափողը: Դա անելու համար լրացնում ենք $ABC$ եռանկյան շոշափումը:

Գտե՛ք $BAC$ անկյան շոշափողը։ (Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան շոշափողը հակառակ ոտքի և հարակից ոտքի հարաբերությունն է):

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$

$f"(x_0) = tg ԴՈՒՔ = 0,25 դոլար

Պատասխան՝ $0,25

Ածանցյալն օգտագործվում է նաև աճող և նվազող ֆունկցիաների միջակայքերը գտնելու համար.

Եթե ​​$f"(x) > 0$ ինտերվալի վրա, ապա $f(x)$ ֆունկցիան մեծանում է այս ինտերվալի վրա:

Եթե ​​$f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Նկարը ցույց է տալիս $y = f(x)$ ֆունկցիայի գրաֆիկը։ $х_1,х_2,х_3…х_7$ կետերից գտե՛ք այն կետերը, որտեղ ֆունկցիայի ածանցյալը բացասական է։

Ի պատասխան գրեք տվյալների կետերի քանակը:

Հիմնական մակարդակում մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության թիվ 13 առաջադրանքում դուք պետք է ցուցադրեք գործառույթի վարքագծի հասկացություններից մեկի՝ ածանցյալների կամ աճի կամ նվազման տեմպերի հմտություններն ու գիտելիքները: Այս առաջադրանքի տեսությունը կավելացվի մի փոքր ուշ, բայց դա չի խանգարի մեզ մանրամասն վերլուծել մի քանի բնորոշ տարբերակներ։

Թիվ 14 առաջադրանքների տիպիկ տարբերակների վերլուծություն Օգտագործումը հիմնական մակարդակի մաթեմատիկայի մեջ

Տարբերակ 14 ՄԲ1

Գրաֆիկը ցույց է տալիս մեքենայի շարժիչի տաքացման գործընթացում ջերմաստիճանի կախվածությունը ժամանակից: Հորիզոնական առանցքը ցույց է տալիս այն ժամանակը րոպեներով, որն անցել է շարժիչի գործարկման պահից. ուղղահայաց առանցքի վրա շարժիչի ջերմաստիճանը Ցելսիուսի աստիճաններով է:

Օգտագործելով գրաֆիկը, յուրաքանչյուր ժամանակային միջակայքը համապատասխանեցրեք այս միջակայքում շարժիչի տաքացման գործընթացի բնութագրերին:

Աղյուսակում յուրաքանչյուր տառի տակ նշեք համապատասխան թիվը։

Կատարման ալգորիթմ.

1. Ընտրեք այն ժամանակային ընդմիջումը, որում ջերմաստիճանն իջել է:
2. Կցեք քանոն 30°C-ի վրա և որոշեք այն ժամանակային միջակայքը, երբ ջերմաստիճանը 30°C-ից ցածր է եղել:

Լուծում:

Եկեք ընտրենք այն ժամանակային միջակայքը, որում ջերմաստիճանը իջել է: Այս հատվածը տեսանելի է անզեն աչքով, այն սկսվում է շարժիչի գործարկման պահից 8 րոպե:

Կիրառեք քանոն մինչև 30°C և որոշեք այն ժամանակային միջակայքը, երբ ջերմաստիճանը 30°C-ից ցածր էր:

Քանոնի տակ կլինի 0 - 1 րոպե ժամանակային ընդմիջմանը համապատասխան հատված:

Մատիտի և քանոնի օգնությամբ մենք գտնում ենք, թե որ ժամանակային միջակայքում է եղել ջերմաստիճանը 40°C-ից մինչև 80°C:

40°C-ին և 80°C-ին համապատասխան կետերից ուղղահայացները գցում ենք գրաֆիկի վրա, իսկ ստացված կետերից ուղղահայացները գցում ենք ժամանակի առանցքի վրա։

Մենք տեսնում ենք, որ այս ջերմաստիճանի միջակայքը համապատասխանում է 3 - 6,5 րոպե ժամանակային ընդմիջմանը: Այսինքն՝ պայմանում տրվածներից 3 - 6 ր.

Ընտրեք բացակայող պատասխանը՝ օգտագործելով վերացման մեթոդը:

Տարբերակ 14 ՄԲ2

Լուծում:

Վերլուծենք A ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Եթե ֆունկցիան մեծանում է, ապա ածանցյալը դրական է և հակառակը։ Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի ծայրահեղ կետերում։

Նախ, A ֆունկցիան մեծանում է, այսինքն. ածանցյալը դրական է: Սա համապատասխանում է 2 և 3 ածանցյալների գրաֆիկներին: x = -2 ֆունկցիայի առավելագույն կետում, այսինքն՝ այս կետում ածանցյալը պետք է հավասար լինի զրոյի: Այս պայմանը համապատասխանում է 3-րդ գրաֆիկին:

Նախ, B ֆունկցիան նվազում է, այսինքն. ածանցյալը բացասական է: Սա համապատասխանում է 1 և 4 ածանցյալների գրաֆիկներին: x \u003d -2 ֆունկցիայի առավելագույն կետը, այսինքն՝ այս պահին ածանցյալը պետք է հավասար լինի զրոյի: Այս պայմանը համապատասխանում է 4-րդ գրաֆիկին:

Նախ, B ֆունկցիան մեծանում է, այսինքն. ածանցյալը դրական է: Սա համապատասխանում է 2 և 3 ածանցյալների գրաֆիկներին: x = 1 ֆունկցիայի առավելագույն կետը, այսինքն՝ այս պահին ածանցյալը պետք է հավասար լինի զրոյի: Այս պայմանը համապատասխանում է 2-րդ գրաֆիկին:

Վերացման մեթոդով կարող ենք որոշել, որ Г ֆունկցիայի գրաֆիկը համապատասխանում է թիվ 1 ածանցյալի գրաֆիկին։

Պատասխան՝ 3421։

Տարբերակ 14 ՄԲ3

Գործառույթներից յուրաքանչյուրի կատարման ալգորիթմը.

1. Որոշե՛ք մեծացող և նվազող ֆունկցիաների միջակայքերը:
2. Որոշեք ֆունկցիաների առավելագույն և նվազագույն կետերը:
3. Եզրակացություններ արեք, համապատասխանեցրեք առաջարկվող ժամանակացույցերին:

Լուծում:

Վերլուծենք Ա ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Եթե ​​ֆունկցիան մեծանում է, ապա ածանցյալը դրական է և հակառակը։ Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի ծայրահեղ կետերում։

Ծայրահեղ կետը այն կետն է, որտեղ հասնում է ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույն արժեքը:

Նախ, A ֆունկցիան մեծանում է, այսինքն. ածանցյալը դրական է: Սա համապատասխանում է 3 և 4 ածանցյալների գրաֆիկներին։ x=0 ֆունկցիայի առավելագույն կետում, այսինքն՝ այս կետում, ածանցյալը պետք է հավասար լինի զրոյի։ Այս պայմանը համապատասխանում է 4-րդ գրաֆիկին:

Վերլուծենք B ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Նախ, B ֆունկցիան նվազում է, այսինքն. ածանցյալը բացասական է: Սա համապատասխանում է 1 և 2 ածանցյալների գրաֆիկներին: x=-1 ֆունկցիայի նվազագույն կետը, այսինքն՝ այս պահին ածանցյալը պետք է հավասար լինի զրոյի: Այս պայմանը համապատասխանում է 2-րդ գրաֆիկին:

Վերլուծենք B ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Նախ, B ֆունկցիան նվազում է, այսինքն. ածանցյալը բացասական է: Սա համապատասխանում է 1 և 2 ածանցյալների գրաֆիկներին: x \u003d 0 ֆունկցիայի նվազագույն կետը, այսինքն՝ այս պահին ածանցյալը պետք է հավասար լինի զրոյի: Այս պայմանը համապատասխանում է թիվ 1 գրաֆիկին:

Վերացման մեթոդով կարող ենք որոշել, որ Г ֆունկցիայի գրաֆիկը համապատասխանում է թիվ 3 ածանցյալի գրաֆիկին։

Պատասխան՝ 4213։

Տարբերակ 14 ՄԲ4

Նկարը ցույց է տալիս A, B, C և D աբսցիսներով կետերում ֆունկցիայի և դրան գծված շոշափողների գրաֆիկը:Աջ սյունակը ցույց է տալիս ածանցյալի արժեքները A, B, C և D կետերում: Օգտագործելով գրաֆիկը, յուրաքանչյուր կետ համապատասխանեցրեք դրա վրա գտնվող ֆունկցիայի ածանցյալ արժեքին:

ՄԻԱՎՈՐՆԵՐ
ԲԱՅՑ
AT
ԻՑ
Դ

ածանցյալ արժեքներ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Հիշեք, թե ինչ է նշանակում ածանցյալը, մասնավորապես դրա արժեքը կետում - ածանցյալ ֆունկցիայի արժեքը մի կետում հավասար է շոշափողի թեքության (գործակիցի) շոշափմանը:

Պատասխաններում ունենք երկու դրական և երկու բացասական տարբերակ։ Ինչպես հիշում ենք, եթե գործակիցը ուղիղ է (գրաֆիկ y = kx + b) դրական է, ուրեմն տողը մեծանում է, եթե բացասական է, ուրեմն գիծը նվազում է։

Մենք ունենք երկու աճող ուղիղ՝ A և D կետերում: Հիմա հիշենք, թե ինչ է նշանակում k գործակցի արժեքը:

k գործակիցը ցույց է տալիս, թե որքան արագ է ֆունկցիան մեծանում կամ նվազում (իրականում k գործակիցն ինքնին y = kx + b ֆունկցիայի ածանցյալն է)։

Հետևաբար, k \u003d 2/3-ը համապատասխանում է ավելի նուրբ ուղիղ գծի ՝ D, իսկ k \u003d 3 - A:

Նմանապես, բացասական արժեքների դեպքում՝ B կետը համապատասխանում է k = -4 ավելի կտրուկ ուղիղ գծի, իսկ C կետին՝ -1/2:

Տարբերակ 14MB5

Նկարում կետերը ցույց են տալիս կենցաղային տեխնիկայի խանութում տաքացուցիչների ամսական վաճառքի ծավալը: Ամիսները նշված են հորիզոնական, վաճառված ջեռուցիչների քանակը՝ ուղղահայաց։ Պարզության համար կետերը միացված են գծով։

Օգտագործելով նկարը, համապատասխանեցրեք նշված ժամանակահատվածներից յուրաքանչյուրը ջեռուցիչների վաճառքի բնութագրերին.

Կատարման ալգորիթմ

Մենք վերլուծում ենք գրաֆիկի տարբեր եղանակներին համապատասխան մասերը։ Մենք ձևակերպում ենք գրաֆիկի վրա ցուցադրված իրավիճակները: Մենք գտնում ենք նրանց համար ամենահարմար պատասխանները։

Լուծում:

Ձմռանը վաճառքների թիվը գերազանցել է ամսական 120 հատը, և անընդհատ աճում է։ Այս իրավիճակը համապատասխանում է 3-րդ պատասխանին. Նրանք. մենք ստանում ենք. Ա-3.

Գարնանը վաճառքը աստիճանաբար իջավ ամսական 120 ջեռուցիչից մինչև 50: Այս ձևակերպմանը ամենամոտն է թիվ 2 տարբերակը: Մենք ունենք: B–2.

Ամռանը վաճառքների թիվը չի փոխվել և եղել է նվազագույն։ Այս ձեւակերպման 2-րդ մասը պատասխաններում արտացոլված չէ, եւ առաջինին հարմար է միայն թիվ 4-ը։ Այսպիսով, մենք ունենք. 4-ում.

Աշնանը վաճառքներն աճեցին, սակայն դրանց թիվը ոչ մի ամսում չի գերազանցել 100 հատը։ Այս իրավիճակը նկարագրված է թիվ 1 տարբերակում: Մենք ստանում ենք. G–1.

Տարբերակ 14 ՄԲ6

Գրաֆիկը ցույց է տալիս սովորական ավտոբուսի արագության կախվածությունը ժամանակից: Ուղղահայաց առանցքը ցույց է տալիս ավտոբուսի արագությունը կմ/ժ-ով, հորիզոնականը ցույց է տալիս րոպեներով ավտոբուսի մեկնարկից ի վեր ժամանակը:

Օգտագործելով գրաֆիկը, յուրաքանչյուր ժամանակային միջակայքը համապատասխանեցրեք այս ընդմիջումով ավտոբուսի շարժման հատկանիշին:

Կատարման ալգորիթմ

1. Մենք սահմանում ենք բաժանման գինը հորիզոնական և ուղղահայաց մասշտաբներով:
2. Մենք հերթով վերլուծում ենք առաջարկված պնդումները 1–4 աջ սյունակից («Բնութագրեր»): Դրանք համեմատում ենք աղյուսակի ձախ սյունակից ժամանակային ընդմիջումների հետ, պատասխանի համար գտնում ենք «տառ-թիվ» զույգեր։

Լուծում:

Հորիզոնական սանդղակի բաժանման արժեքը 1 վ է, ուղղահայացը՝ 20 կմ/ժ։

1. Երբ ավտոբուսը կանգ է առնում, նրա արագությունը 0 է։ 2 րոպե անընդմեջ ավտոբուսը զրոյական արագություն է ունեցել միայն 9-ից 11-րդ րոպեն։ Այս ժամանակը ընկնում է 8-12 րոպեի միջակայքում: Այսպիսով, մենք ունենք մի զույգ պատասխանի համար. B–1.
2. Ավտոբուսը մի քանի ժամանակահատվածում ունեցել է 20 կմ/ժ կամ ավելի արագություն։ Ավելին, տարբերակ Ա-ն այստեղ հարմար չէ, քանի որ, օրինակ, 7-րդ րոպեին արագությունը եղել է 60 կմ/ժ, տարբերակը Բ՝ քանի որ այն արդեն կիրառվել է, տարբերակը Դ՝ քանի որ ինտերվալի սկզբում և վերջում ավտոբուսը. ուներ զրոյական արագություն։ Այս դեպքում հարմար է B տարբերակը (12–16 րոպե); այս ինտերվալում ավտոբուսը սկսում է շարժվել 40 կմ/ժ արագությամբ, ապա արագանում է մինչև 100 կմ/մ, ապա աստիճանաբար նվազեցնում է արագությունը մինչև 20 կմ/ժ։ Այսպիսով, մենք ունենք. 2-ՈՒՄ.
3. Այստեղ է սահմանվում արագության սահմանափակումը: Մենք չենք դիտարկում B և C տարբերակները: Մնացած A և G միջակայքերը երկուսն էլ հարմար են: Ուստի ճիշտ կլինի նախ դիտարկել 4-րդ տարբերակը, հետո նորից վերադառնալ 3-րդին։
4. Մնացած երկու ինտերվալներից միայն 4–8 րոպեն է հարմար թիվ 4 բնորոշիչի համար, քանի որ այս ինտերվալում (6-րդ րոպեին) կանգառ է եղել։ 18-22 րոպեի ընթացքում կանգառներ չեն եղել։ Մենք ստանում ենք. Ա-4. Սրանից հետևում է, որ թիվ 3 բնութագրի համար անհրաժեշտ է վերցնել Г միջակայքը, այսինքն. պարզվում է զույգ G–3.

Տարբերակ 14MB7

Կետավոր պատկերը ցույց է տալիս Չինաստանի բնակչության աճը 2004-ից 2013 թվականներին: Տարին նշվում է հորիզոնական, բնակչության աճը որպես տոկոս (նախորդ տարվա համեմատ բնակչության աճը)՝ ուղղահայաց։ Պարզության համար կետերը միացված են գծով։

Օգտագործելով գծապատկերը՝ նշված ժամանակահատվածներից յուրաքանչյուրը համապատասխանեցրեք այս ժամանակահատվածում Չինաստանի բնակչության աճի բնութագրիչին:.

Կատարման ալգորիթմ

1. Որոշեք նկարի ուղղահայաց մասշտաբի բաժանման արժեքը: Այն հայտնաբերվում է որպես զույգ հարակից մասշտաբի արժեքների տարբերություն, որը բաժանված է 2-ի (քանի որ երկու հարակից արժեքների միջև կա 2 բաժանում):
2. Մենք վերլուծում ենք պայմանում հաջորդաբար տրված 1-4 բնութագրերը (ձախ աղյուսակային սյունակ): Մենք համեմատում ենք դրանցից յուրաքանչյուրը որոշակի ժամանակահատվածի հետ (աջ աղյուսակի սյունակ):

Լուծում:

Ուղղահայաց սանդղակի բաժանման արժեքը 0,01% է:

1. Աճի անկումը շարունակաբար շարունակվել է 2004-ից 2010 թվականներին։ 2010-2011 թվականներին աճը եղել է հետեւողականորեն նվազագույն, իսկ 2012 թվականից սկսած՝ սկսել է աճել։ Նրանք. Աճը դադարեց 2010թ. Այս տարի 2009-2011թթ. Ըստ այդմ, մենք ունենք. 1-ում.
2. Աճի ամենամեծ անկումը պետք է համարել նկարի գծապատկերի առավել «կտրուկ» ընկնող գիծը: Այն ընկնում է 2006-2007թթ. եւ կազմում է տարեկան 0,04% (2006թ.՝ 0,59–0,56=0,04%, 2007թ.՝ 0,56–0,52=0,04%)։ Այստեղից մենք ստանում ենք. Ա-2.
3. Թիվ 3 բնութագրիչում նշված աճը սկսվել է 2007 թվականին, շարունակվել 2008 թվականին և ավարտվել 2009 թվականին։ Սա համապատասխանում է B ժամանակաշրջանին, այսինքն. մենք ունենք: B–3.
4. Բնակչության աճը սկսեց աճել 2011 թվականից հետո, այսինքն. 2012–2013 թթ Հետևաբար մենք ստանում ենք. G–4.

Տարբերակ 14MB8

Նկարը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկը և դրան գծված շոշափողները A, B, C և D աբսցիսներով կետերում:

Աջ սյունակը ցույց է տալիս ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքները A, B, C և D կետերում: Օգտագործելով գրաֆիկը, յուրաքանչյուր կետ համապատասխանեցրեք դրա ածանցյալի արժեքին:

Կատարման ալգորիթմ

1. Մենք համարում ենք մի զույգ շոշափողներ, որոնք ունեն սուր անկյուն x առանցքի դրական ուղղության հետ: Մենք համեմատում ենք դրանք, գտնում համընկնում ածանցյալների համապատասխան արժեքների զույգի միջև:
2. Մենք համարում ենք մի զույգ շոշափողներ, որոնք բութ անկյուն են կազմում x առանցքի դրական ուղղությամբ: Մենք համեմատում ենք դրանք մոդուլով, որոշում ենք համապատասխանությունը ածանցյալների արժեքներին աջ սյունակում մնացած երկուսի միջև:

Լուծում:

Սուր անկյուն x առանցքի դրական ուղղվածությամբ ձևավորվում է t.B և t.C ածանցյալներով: Այս ածանցյալները ունեն դրական արժեքներ: Հետևաբար, այստեղ պետք է ընտրել թիվ 1 և 3 արժեքների միջև: Կիրառելով այն կանոնը, որ եթե անկյունը 45 0-ից փոքր է, ապա ածանցյալը 1-ից փոքր է, իսկ եթե ավելի, ապա 1-ից ավելի, մենք եզրակացնում ենք. t.B-ում մոդուլային ածանցյալը 1-ից մեծ է, t.C-ում՝ 1-ից փոքր: Սա նշանակում է, որ պատասխանի համար կարող եք զույգեր կազմել. 3-ումև S-1.

t.A և t.D ածանցյալները կազմում են բութ անկյուն x առանցքի դրական ուղղությամբ: Եվ այստեղ մենք կիրառում ենք նույն կանոնը՝ մի փոքր վերափոխելով այն՝ որքան շատ է կետի շոշափողը «սեղմված» աբսցիսայի առանցքի գծին (դրա բացասական ուղղությամբ), այնքան մեծ է այն բացարձակ արժեքով։ Այնուհետև մենք ստանում ենք. A կետի ածանցյալը բացարձակ արժեքով ավելի քիչ է, քան D կետի ածանցյալը: Այստեղից պատասխանի համար ունենք զույգեր. Ա-2և D–4.

Տարբերակ 14MB9

Նկարում պատկերված կետերը ցույց են տալիս օդի միջին օրական ջերմաստիճանը Մոսկվայում 2011 թվականի հունվարին: Ամսվա ամսաթվերը նշվում են հորիզոնական, ջերմաստիճանը Ցելսիուսի աստիճաններով՝ ուղղահայաց: Պարզության համար կետերը միացված են գծով։

Օգտագործելով նկարը, համապատասխանեցրեք նշված ժամանակահատվածներից յուրաքանչյուրը ջերմաստիճանի փոփոխության հատկանիշի հետ.

Կատարման ալգորիթմ

Մենք հաջորդաբար վերլուծում ենք 1-4 բնութագրերը (աջ սյունակ)՝ օգտագործելով նկարի գրաֆիկը: Դրանցից յուրաքանչյուրը մենք համապատասխանեցնում ենք որոշակի ժամանակահատվածի (ձախ սյունակ):

Լուծում:

1. Ջերմաստիճանի աճ է նկատվել միայն ժամանակաշրջանի վերջում՝ հունվարի 22-28-ը։ Այստեղ 27-ին եւ 28-ին աճել է համապատասխանաբար 1 եւ 2 աստիճանով։ Հունվարի 1-7-ն ընկած ժամանակահատվածի վերջում ջերմաստիճանը կայուն է եղել (–10 աստիճան), հունվարի 8–14–ի վերջին և 15–21–ին նվազել է (–1–ից –2 և –11–ից –12–ը)։ աստիճաններ, համապատասխանաբար): Հետևաբար մենք ստանում ենք. G–1.
2. Քանի որ յուրաքանչյուր ժամանակահատվածը ընդգրկում է 7 օր, ջերմաստիճանը պետք է վերլուծվի յուրաքանչյուր դաշտանի 4-րդ օրվանից սկսած: Ջերմաստիճանը մնացել է անփոփոխ 3-4 օր միայն հունվարի 4-ից 7-ը։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք պատասխանը. Ա-2.
3. Ամսական նվազագույն ջերմաստիճանը դիտվել է հունվարի 17-ին. Այս թիվը ընկնում է հունվարի 15-21-ն ընկած ժամանակահատվածում։ Այստեղից մենք ունենք մի զույգ. 3-ում.
4. Օդի առավելագույն ջերմաստիճանը նվազել է հունվարի 10-ին և կազմել +1 աստիճան։ Այս ամսաթիվը ընկնում է հունվարի 8-14-ն ընկած ժամանակահատվածում: Այսպիսով, մենք ունենք. Բ-4.

Տարբերակ 14MB10

Կատարման ալգորիթմ

1. Ֆունկցիայի արժեքը մի կետում դրական է, եթե այս կետը գտնվում է Ox առանցքի վերևում:
2. Մի կետում ածանցյալը զրոյից մեծ է, եթե այդ կետին շոշափողը կազմում է սուր անկյուն x առանցքի դրական ուղղության հետ:

Լուծում:

Կետ A. Այն գտնվում է Ox առանցքից ցածր, ինչը նշանակում է, որ նրա մեջ ֆունկցիայի արժեքը բացասական է: Եթե ​​դրա մեջ շոշափենք, ապա նրա և Ox դրական ուղղության անկյունը կլինի մոտ 90 0, այսինքն. կազմում է սուր անկյուն: Այսպիսով, այս դեպքում հարմար է բնորոշ համարը 3: Նրանք. մենք ունենք: Ա-3.

Կետ B. Այն գտնվում է Ox առանցքից վեր, i.e. կետն ունի դրական ֆունկցիայի արժեք: Շոշափողն այս կետում բավականին մոտ կլինի աբսցիսայի առանցքին՝ իր դրական ուղղությամբ կազմելով բութ անկյուն (180 0-ից մի փոքր պակաս): Համապատասխանաբար, այս պահին ածանցյալը բացասական է: Այսպիսով, բնութագիրը 1-ը հարմար է այստեղ: Մենք ստանում ենք պատասխանը. 1-ում.

C կետ. Կետը գտնվում է Ox առանցքից ներքև, նրա շոշափողը մեծ բութ անկյուն է կազմում աբսցիսային առանցքի դրական ուղղությամբ: Նրանք. t.C-ում և՛ ֆունկցիայի, և՛ ածանցյալի արժեքը բացասական է, որը համապատասխանում է թիվ 2 բնութագրին։ Պատասխան. S-2.

Կետ D. Կետը գտնվում է Ox առանցքի վերևում, և դրա շոշափողը առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն: Սա հուշում է, որ և՛ ֆունկցիայի արժեքը, և՛ ածանցյալի արժեքը այստեղ զրոյից մեծ են։ Պատասխան. D–4.

Տարբերակ 14 ՄԲ11

Նկարում կետերը ցույց են տալիս կենցաղային տեխնիկայի խանութում սառնարանների ամսական վաճառքի ծավալը։ Ամիսները նշված են հորիզոնական, վաճառված սառնարանների քանակը՝ ուղղահայաց։ Պարզության համար կետերը միացված են գծով։

Օգտագործելով նկարը, համապատասխանեցրեք նշված ժամանակահատվածներից յուրաքանչյուրը սառնարանների վաճառքի բնութագրերին.

y=3x+2 ուղիղը շոշափում է y=-12x^2+bx-10 ֆունկցիայի գրաֆիկին։ Գտե՛ք b , հաշվի առնելով, որ հպման կետի աբսցիսան զրոյից փոքր է:

Լուծում

Թող x_0 լինի y=-12x^2+bx-10 ֆունկցիայի գրաֆիկի այն կետի աբսցիսան, որով անցնում է այս գրաֆիկին շոշափողը։

x_0 կետում ածանցյալի արժեքը հավասար է շոշափողի թեքությանը, այսինքն՝ y"(x_0)=-24x_0+b=3: Մյուս կողմից, շոշափող կետը պատկանում է և՛ ֆունկցիայի գրաֆիկին, և՛ ֆունկցիայի գրաֆիկին: շոշափող, այսինքն՝ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Ստանում ենք հավասարումների համակարգ. \սկիզբ (դեպքեր) -24x_0+b=3, \\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2: \վերջ (դեպքեր)

Լուծելով այս համակարգը՝ ստանում ենք x_0^2=1, ինչը նշանակում է կամ x_0=-1, կամ x_0=1: Ըստ աբսցիսայի պայմանի հպման կետերը փոքր են զրոյից, հետևաբար x_0=-1, ապա b=3+24x_0=-21։

Պատասխանել

Վիճակ

Նկարում ներկայացված է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը (որը երեք ուղիղ հատվածներից կազմված կոտրված գիծ է): Օգտագործելով նկարը՝ հաշվարկեք F(9)-F(5), որտեղ F(x)-ը f(x-ի հակաածանցյալներից է):

Լուծում

Ըստ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի՝ F(9)-F(5) տարբերությունը, որտեղ F(x)-ը f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկն է, հավասար է կորագիծ տրապեզի սահմանափակված մակերեսին։ y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկով, ուղիղներ y=0 , x=9 և x=5։ Ըստ գրաֆիկի՝ մենք որոշում ենք, որ նշված կորագիծ տրապիզը 4-ի և 3-ի հիմքերով և 3-ի բարձրությամբ տրապիզոիդ է:

Նրա մակերեսը հավասար է \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Պատասխանել

Աղբյուր՝ «Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում-2017թ. պրոֆիլի մակարդակը. Էդ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Վիճակ

Նկարը ցույց է տալիս y \u003d f "(x) գրաֆիկը - f (x) ֆունկցիայի ածանցյալը, որը սահմանված է (-4; 10) միջակայքում: Գտե՛ք նվազող ֆունկցիայի f (x) միջակայքերը: Ձեր պատասխանում , նշեք դրանցից ամենամեծի երկարությունը։

Լուծում

Ինչպես գիտեք, f (x) ֆունկցիան նվազում է այն ինտերվալներում, որոնց յուրաքանչյուր կետում f "(x) ածանցյալը փոքր է զրոյից: Հաշվի առնելով, որ անհրաժեշտ է գտնել դրանցից ամենամեծի երկարությունը, երեք այդպիսի միջակայք. Բնականաբար տարբերվում են նկարից՝ (-4; -2) ;(0;3);(5;9):

Դրանցից ամենամեծի՝ (5; 9) երկարությունը հավասար է 4-ի։

Պատասխանել

Աղբյուր՝ «Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում-2017թ. պրոֆիլի մակարդակը. Էդ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Վիճակ

Նկարը ցույց է տալիս y \u003d f "(x)-ի գրաֆիկը - f (x) ֆունկցիայի ածանցյալը, որը սահմանված է (-8; 7) միջակայքում: Գտեք f (x) պատկանող ֆունկցիայի առավելագույն կետերի քանակը: մինչև [-6; -2] միջակայքը:

Լուծում

Գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ f (x) ֆունկցիայի f "(x) ածանցյալը փոխում է նշանը գումարածից մինուսի (այդպիսի կետերում կլինի առավելագույնը) ուղիղ մեկ կետում (-5-ի և -4-ի միջև) [-ի միջակայքից): -6; -2 Հետևաբար, կա ուղիղ մեկ առավելագույն կետ [-6;-2] միջակայքում:

Պատասխանել

Աղբյուր՝ «Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում-2017թ. պրոֆիլի մակարդակը. Էդ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Վիճակ

Նկարը ցույց է տալիս (-2; 8) ինտերվալի վրա սահմանված y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Որոշեք այն կետերի թիվը, որտեղ f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է 0-ի:

Լուծում

Եթե ​​մի կետում ածանցյալը հավասար է զրոյի, ապա այս կետում գծված ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը զուգահեռ է Ox առանցքին: Հետևաբար, մենք գտնում ենք այնպիսի կետեր, որոնցում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը զուգահեռ է Ox առանցքին: Այս գծապատկերում նման կետերը ծայրահեղ կետերն են (առավելագույն կամ նվազագույն միավորներ): Ինչպես տեսնում եք, կան 5 ծայրահեղ կետեր:

Պատասխանել

Աղբյուր՝ «Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում-2017թ. պրոֆիլի մակարդակը. Էդ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Վիճակ

y=-3x+4 ուղիղը զուգահեռ է y=-x^2+5x-7 ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողին։ Գտե՛ք շփման կետի աբսցիսան:

Լուծում

Ուղղի թեքությունը դեպի y=-x^2+5x-7 ֆունկցիայի գրաֆիկը կամայական x_0 կետում y"(x_0): Բայց y"=-2x+5, ուրեմն y"(x_0)=- 2x_0+5 Պայմանում նշված y=-3x+4 ուղղի գործակիցը անկյունային է -3։Զուգահեռ ուղիղներն ունեն նույն թեքությունները։Հետևաբար մենք գտնում ենք այնպիսի արժեք x_0, որ =-2x_0 +5=-3։

Ստանում ենք՝ x_0 = 4:

Պատասխանել

Աղբյուր՝ «Մաթեմատիկա. Քննության նախապատրաստում-2017թ. պրոֆիլի մակարդակը. Էդ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Վիճակ

Նկարում ներկայացված է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և x առանցքի վրա նշված -6, -1, 1, 4 կետերը։ Այս կետերից ո՞ր կետում է ածանցյալի արժեքն ամենափոքրը: Խնդրում ենք ձեր պատասխանում նշել այս կետը:

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդի նախադիտումը միայն տեղեկատվական նպատակների համար է և կարող է չներկայացնել ներկայացման ամբողջ ծավալը: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Դասի տեսակը.կրկնություն և ընդհանրացում:

Դասի ձև.խորհրդակցության դաս.

Դասի նպատակները.

• կրթականկրկնել և ընդհանրացնել տեսական գիտելիքները «Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը» և «Ածանցյալի կիրառումը ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ» թեմաներով. հաշվի առնել բոլոր տեսակի B8 առաջադրանքները, որոնք հանդիպում են մաթեմատիկայի քննության ժամանակ. ուսանողներին հնարավորություն ընձեռել ստուգելու իրենց գիտելիքները ինքնուրույն լուծելով խնդիրները. սովորեցնել, թե ինչպես լրացնել պատասխանների քննական ձևը.
• զարգացողՆպաստել հաղորդակցության զարգացմանը՝ որպես գիտական ​​գիտելիքների, իմաստային հիշողության և կամավոր ուշադրության մեթոդ. այնպիսի հիմնական իրավասությունների ձևավորում, ինչպիսիք են համեմատությունը, համեմատությունը, առարկաների դասակարգումը, տվյալ ալգորիթմների հիման վրա ուսումնական խնդրի լուծման համարժեք ուղիների որոշումը, անորոշության իրավիճակում ինքնուրույն գործելու ունակությունը, վերահսկել և գնահատել սեփական գործունեությունը, գտնել և վերացնել առաջացած դժվարությունների պատճառները.
• կրթականզարգացնել ուսանողների հաղորդակցական ունակությունները (հաղորդակցման մշակույթ, խմբով աշխատելու ունակություն); նպաստել ինքնակրթության անհրաժեշտության զարգացմանը.

Տեխնոլոգիաներ՝ զարգացնող կրթություն, ՏՀՏ։

Դասավանդման մեթոդներ.բանավոր, տեսողական, գործնական, խնդրահարույց:

Աշխատանքի ձևերը.անհատական, ճակատային, խմբակային:

Ուսումնական և մեթոդական աջակցություն.

1. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ 11-րդ դասարան՝ դասագիրք. Հանրակրթության համար Հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / (Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); խմբագրել է A. B. Zhizhchenko. - 4-րդ հրատ. - Մ .: Կրթություն, 2011:

2. ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄ. 3000 առաջադրանք՝ մաթեմատիկայի պատասխաններով: B խմբի բոլոր առաջադրանքները / A.L. Սեմյոնով, Ի.Վ. Յաշչենկոն և ուրիշներ; խմբագրել է Ա.Լ. Սեմյոնովա, Ի.Վ. Յաշչենկո. - Մ .: «Քննություն» հրատարակչություն, 2011 թ.

3. Բաց աշխատանքի բանկ.

Դասի համար նախատեսված սարքավորումներ և նյութեր.պրոյեկտոր, էկրան, համակարգիչ յուրաքանչյուր ուսանողի համար, որի վրա տեղադրված է շնորհանդես, հուշագրի տպագիր բոլոր ուսանողների համար (Հավելված 1)և միավորների թերթիկ Հավելված 2) .

Դասի նախնական նախապատրաստում.Որպես տնային աշխատանք՝ ուսանողներին առաջարկվում է կրկնել դասագրքի տեսական նյութը՝ «Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը», «Ածանցյալի կիրառումը ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ» թեմաներով. դասարանը բաժանված է խմբերի (յուրաքանչյուրը 4 հոգի), որոնցից յուրաքանչյուրն ունի տարբեր մակարդակի աշակերտներ։

Դասի բացատրություն.Այս դասն անցկացվում է 11-րդ դասարանում՝ կրկնության և քննությանը նախապատրաստվելու փուլում։ Դասը ուղղված է տեսական նյութի կրկնությանը և ընդհանրացմանը, դրա կիրառմանը քննական խնդիրների լուծման գործում: Դասի տևողությունը՝ 1,5 ժամ .

Այս դասը կցված չէ դասագրքին, ուստի այն կարող է իրականացվել ցանկացած ուսումնական նյութի վրա աշխատելիս։ Նաև այս դասը կարելի է բաժանել երկու առանձին դասերի և անցկացվել որպես վերջնական դասեր քննարկվող թեմաներով:

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

II. Նպատակ դնելու դաս.

III. Կրկնություն «Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը» թեմայով:

Բանավոր ճակատային աշխատանք պրոյեկտորի միջոցով (սլայդներ No 3-7)

Խմբային աշխատանք՝ խնդրի լուծում ակնարկներով, պատասխաններով, ուսուցչի խորհրդով (սլայդներ թիվ 8-17)

IV. Անկախ աշխատանք 1.

Աշակերտներն աշխատում են անհատական ​​համակարգչի վրա (սլայդներ թիվ 18-26), նրանց պատասխանները մուտքագրվում են գնահատման թերթիկում: Անհրաժեշտության դեպքում կարող եք ընդունել ուսուցչի խորհուրդը, սակայն այս դեպքում աշակերտը կկորցնի 0,5 միավոր։ Եթե ​​աշակերտը ավելի շուտ է գլուխ հանում աշխատանքից, ապա կարող է ընտրել լրացուցիչ առաջադրանքներ ժողովածուից, էջ 242, 306-324 (լրացուցիչ առաջադրանքները գնահատվում են առանձին):

V. Փոխադարձ ստուգում.

Սովորողները փոխանակում են գնահատման թերթիկները, ստուգում ընկերոջ աշխատանքը, միավորներ տալիս (սլայդ թիվ 27)

VI. Գիտելիքների ուղղում.

VII. Կրկնություն «Ածանցյալի կիրառումը ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ» թեմայով.

Բանավոր ճակատային աշխատանք պրոյեկտորի միջոցով (սլայդներ No 28-30)

Խմբային աշխատանք՝ հուշումներով, պատասխաններով, ուսուցչի խորհրդով խնդիրների լուծում (սլայդներ թիվ 31-33)

VIII. Անկախ աշխատանք 2.

Աշակերտները անհատական ​​աշխատում են ԱՀ-ով (սլայդներ թիվ 34-46), պատասխանների թերթիկում մուտքագրում են իրենց պատասխանները: Անհրաժեշտության դեպքում կարող եք ընդունել ուսուցչի խորհուրդը, սակայն այս դեպքում աշակերտը կկորցնի 0,5 միավոր։ Եթե ​​աշակերտն ավելի շուտ է գլուխ հանում աշխատանքից, ապա կարող է ընտրել լրացուցիչ առաջադրանքներ ժողովածուից, էջ 243-305 (լրացուցիչ առաջադրանքները գնահատվում են առանձին):

IX. Փոխադարձ ստուգում.

Սովորողները փոխանակում են գնահատման թերթիկները, ստուգում ընկերոջ աշխատանքը, միավորներ տալիս (սլայդ թիվ 47):

X. Գիտելիքների ուղղում.

Աշակերտները կրկին աշխատում են իրենց խմբերում, քննարկում լուծումը, ուղղում սխալները։

XI. Ամփոփելով.

Յուրաքանչյուր ուսանող հաշվարկում է իր միավորները և նշում է գնահատման թերթիկում:

Աշակերտները ուսուցչին են հանձնում գնահատման թերթիկը և լրացուցիչ խնդիրների լուծումը։

Յուրաքանչյուր ուսանող ստանում է հուշագիր (սլայդ թիվ 53-54):

XII. Արտացոլում.

Ուսանողներին առաջարկվում է գնահատել իրենց գիտելիքները՝ ընտրելով արտահայտություններից մեկը.

• Ես ստացա այն ամենը !!!
• Պետք է ևս մի երկու օրինակ լուծենք։
• Ո՞վ է հորինել այս մաթեմատիկան:

XIII. Տնային աշխատանք.

Տնային առաջադրանքների համար ուսանողներին առաջարկվում է ընտրել առաջադրանքներ ժողովածուից, էջ 242-334, ինչպես նաև առաջադրանքների բաց բանկից:

Նախ, փորձեք գտնել գործառույթի շրջանակը.

Դուք հասցրե՞լ եք: Համեմատենք պատասխանները.

Լավ? Լավ արեցիր։

Այժմ փորձենք գտնել ֆունկցիայի տիրույթը.

Գտե՞լ եք Համեմատել.

Համաձայնվե՞լ է։ Լավ արեցիր։

Եկեք նորից աշխատենք գրաֆիկների հետ, միայն թե հիմա մի փոքր ավելի դժվար է՝ գտնել և՛ ֆունկցիայի տիրույթը, և՛ ֆունկցիայի տիրույթը։

Ինչպես գտնել գործառույթի և՛ տիրույթը, և՛ տիրույթը (Ընդլայնված)

Ահա թե ինչ է տեղի ունեցել.

Գրաֆիկայի հետ, կարծում եմ, դուք դա պարզեցիք: Այժմ եկեք փորձենք գտնել ֆունկցիայի տիրույթը բանաձևերի համաձայն (եթե չգիտեք, թե ինչպես դա անել, կարդացեք բաժինը).

Դուք հասցրե՞լ եք: Ստուգում պատասխանները:

1. , քանի որ արմատային արտահայտությունը պետք է լինի զրոյի մեծ կամ հավասար։
2. , քանի որ անհնար է բաժանել զրոյի, և արմատական ​​արտահայտությունը չի կարող բացասական լինել։
3. , քանի որ, համապատասխանաբար, բոլորի համար։
4. քանի որ չես կարող զրոյի բաժանել:

Այնուամենայնիվ, մենք դեռևս մեկ պահ ունենք, որը չի կարգավորվել ...

Թույլ տվեք կրկնել սահմանումը և կենտրոնանալ դրա վրա.

Նկատե՞լ եք: «Միայն» բառը մեր սահմանման շատ ու շատ կարևոր տարր է: Ես կփորձեմ բացատրել ձեզ մատների վրա.

Ենթադրենք՝ ունենք ուղիղ գծով տրված ֆունկցիա։ . Երբ, մենք այս արժեքը փոխարինում ենք մեր «կանոնով» և ստանում այն: Մեկ արժեքը համապատասխանում է մեկ արժեքի: Մենք նույնիսկ կարող ենք կազմել տարբեր արժեքների աղյուսակ և գծել տվյալ ֆունկցիան՝ դա հաստատելու համար:

"Նայել! - ասում եք, - «» հանդիպում է երկու անգամ»: Այսպիսով, միգուցե պարաբոլան ֆունկցիա չէ՞: Ոչ, այդպես է։

Այն փաստը, որ «»-ը տեղի է ունենում երկու անգամ, հեռու է պարաբոլային անորոշության մեջ մեղադրելու պատճառից:

Փաստն այն է, որ հաշվարկելիս ստացանք մեկ խաղ։ Իսկ հետ հաշվարկելիս ստացանք մեկ խաղ։ Այնպես որ, դա ճիշտ է, պարաբոլան ֆունկցիա է: Նայեք գծապատկերին.

Հասկացա? Եթե ​​ոչ, ահա ձեզ համար իրական օրինակ՝ հեռու մաթեմատիկայից:

Ենթադրենք, ունենք մի խումբ դիմորդներ, ովքեր հանդիպել են փաստաթղթեր ներկայացնելիս, որոնցից յուրաքանչյուրը զրույցում ասել է, թե որտեղ է ապրում.

Համաձայնեք, միանգամայն իրատեսական է, որ մի քանի տղաներ ապրում են նույն քաղաքում, բայց անհնար է, որ մի մարդ միաժամանակ ապրի մի քանի քաղաքում։ Սա, այսպես ասած, մեր «պարաբոլայի» տրամաբանական ներկայացումն է. Մի քանի տարբեր x-ներ համապատասխանում են նույն y-ին:

Հիմա բերենք մի օրինակ, որտեղ կախվածությունը ֆունկցիա չէ: Ասենք, այս նույն տղաները պատմեցին, թե ինչ մասնագիտությունների համար են դիմել.

Այստեղ մենք բոլորովին այլ իրավիճակ ունենք՝ մեկ մարդ հեշտությամբ կարող է դիմել մեկ կամ մի քանի ուղղությունների համար։ Այն է մեկ տարրհավաքածուները դրվում են նամակագրության մեջ բազմաթիվ տարրերհավաքածուներ. Համապատասխանաբար, դա գործառույթ չէ:

Եկեք փորձարկենք ձեր գիտելիքները գործնականում:

Նկարներից որոշեք, թե որն է ֆունկցիա և ինչը ոչ.

Հասկացա? Եվ ահա պատասխանները:

• Ֆունկցիան - B,E է:
• Գործառույթ չէ՝ A, B, D, D:

Դուք հարցնում եք, թե ինչու. Այո, ահա թե ինչու.

Բոլոր թվերով, բացառությամբ AT)և Ե)կան մի քանիսը մեկի համար!

Համոզված եմ, որ այժմ կարող եք հեշտությամբ տարբերակել ֆունկցիան ոչ ֆունկցիայից, ասել, թե ինչ է արգումենտը և ինչ է կախված փոփոխականը, ինչպես նաև որոշել արգումենտի և ֆունկցիայի շրջանակը։ Անցնենք հաջորդ բաժնին՝ ինչպե՞ս սահմանել ֆունկցիա:

Գործառույթ սահմանելու եղանակներ

Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ են նշանակում բառերը «սահմանել գործառույթը»? Ճիշտ է, նշանակում է բոլորին բացատրել, թե տվյալ դեպքում ինչ գործառույթի մասին է խոսքը։ Ավելին, այնպես բացատրիր, որ բոլորը քեզ ճիշտ հասկանան, իսկ մարդկանց կողմից գծված ֆունկցիաների գրաֆիկները ըստ քո բացատրության նույնն էին։

Ինչպե՞ս կարող եմ դա անել: Ինչպե՞ս սահմանել գործառույթ:Ամենահեշտ ձևը, որն արդեն օգտագործվել է ավելի քան մեկ անգամ այս հոդվածում. օգտագործելով բանաձեւ.Մենք գրում ենք բանաձև և դրա մեջ արժեք փոխարինելով՝ հաշվում ենք արժեքը։ Եվ ինչպես հիշում եք, բանաձևը օրենք է, կանոն, ըստ որի մեզ և մեկ այլ անձի համար պարզ է դառնում, թե ինչպես է X-ը վերածվում Y-ի:

Սովորաբար, դա հենց այն է, ինչ նրանք անում են. առաջադրանքներում մենք տեսնում ենք բանաձևերով սահմանված պատրաստի գործառույթներ, այնուամենայնիվ, կան գործառույթ սահմանելու այլ եղանակներ, որոնց մասին բոլորը մոռանում են, և հետևաբար «այլ կերպ ինչպե՞ս կարող եք գործառույթ սահմանել»: շփոթեցնում է. Եկեք ամեն ինչ նայենք հերթականությամբ և սկսենք վերլուծական մեթոդից:

Գործառույթի սահմանման վերլուծական եղանակ

Վերլուծական մեթոդը բանաձևի օգտագործմամբ ֆունկցիայի խնդիրն է: Սա ամենահամընդհանուր և համապարփակ և միանշանակ ճանապարհն է։ Եթե ​​ունեք բանաձև, ապա դուք բացարձակապես ամեն ինչ գիտեք ֆունկցիայի մասին. կարող եք դրա վրա կազմել արժեքների աղյուսակ, կարող եք կառուցել գրաֆիկ, որոշել, թե ֆունկցիան որտեղ է մեծանում և որտեղ է նվազում, ընդհանուր առմամբ ուսումնասիրել այն։ լրիվ.

Դիտարկենք մի ֆունկցիա. Ի՞նչ կապ ունի։

"Ինչ է դա նշանակում?" -հարցնում ես։ Հիմա կբացատրեմ.

Հիշեցնեմ, որ նշումում փակագծերում արտահայտությունը կոչվում է արգումենտ։ Եվ այս փաստարկը կարող է լինել ցանկացած արտահայտություն, պարտադիր չէ, որ պարզ: Համապատասխանաբար, ինչ արգումենտ էլ լինի (փակագծերում արտահայտությունը), փոխարենը մենք այն կգրենք արտահայտության մեջ։

Մեր օրինակում այն ​​կունենա հետևյալ տեսքը.

Մտածեք ևս մեկ առաջադրանք՝ կապված քննության ընթացքում գործառույթը նշելու վերլուծական մեթոդի հետ:

Գտեք արտահայտության արժեքը, ժամը.

Վստահ եմ, որ սկզբում դուք վախեցաք, երբ տեսաք նման արտահայտություն, բայց դրա մեջ բացարձակապես սարսափելի բան չկա։

Ամեն ինչ նույնն է, ինչ նախորդ օրինակում. ինչ արգումենտ էլ լինի (փակագծերում արտահայտությունը), փոխարենը կգրենք արտահայտության մեջ։ Օրինակ՝ ֆունկցիայի համար։

Ի՞նչ պետք է արվի մեր օրինակում: Փոխարենը, դուք պետք է գրեք, և փոխարենը -.

կրճատեք ստացված արտահայտությունը.

Այսքանը:

Անկախ աշխատանք

Այժմ փորձեք ինքներդ գտնել հետևյալ արտահայտությունների իմաստը.

1. , եթե
2. , եթե

Դուք հասցրե՞լ եք: Եկեք համեմատենք մեր պատասխանները. Մենք սովոր ենք, որ ֆունկցիան ունի ձև

Նույնիսկ մեր օրինակներում մենք ֆունկցիան սահմանում ենք այսպես, բայց վերլուծական առումով հնարավոր է, օրինակ, ֆունկցիան անուղղակիորեն սահմանել։

Փորձեք ինքներդ կառուցել այս գործառույթը:

Դուք հասցրե՞լ եք:

Ահա թե ինչպես եմ ես այն կառուցել.

Ի՞նչ հավասարման արդյունքում հայտնվեցինք:

Ճիշտ! Գծային, ինչը նշանակում է, որ գրաֆիկը կլինի ուղիղ գիծ: Եկեք աղյուսակ կազմենք՝ որոշելու համար, թե որ կետերն են պատկանում մեր գծին.

Մենք հենց դրա մասին էինք խոսում... Մեկը համապատասխանում է մի քանիսին։

Փորձենք նկարել կատարվածը.

Մեր ստացածը ֆունկցիա՞ է:

Ճիշտ է, ոչ։ Ինչո՞ւ։ Փորձեք այս հարցին պատասխանել նկարով։ Ի՞նչ ստացաք:

«Որովհետև մեկ արժեքը համապատասխանում է մի քանի արժեքների»:

Ի՞նչ եզրակացություն կարող ենք անել սրանից։

Ճիշտ է, գործառույթը միշտ չէ, որ կարող է բացահայտ արտահայտվել, և այն, ինչ «քողարկված» է որպես գործառույթ, միշտ չէ, որ գործառույթ է:

Գործառույթի սահմանման աղյուսակային եղանակ

Ինչպես անունն է հուշում, այս մեթոդը պարզ ափսե է: Այո այո. Ինչպես այն, ինչ մենք արդեն պատրաստել ենք: Օրինակ:

Այստեղ դուք անմիջապես նկատեցիք մի օրինաչափություն՝ Y-ը X-ից երեք անգամ մեծ է: Իսկ հիմա «շատ լավ մտածիր» առաջադրանքը՝ ի՞նչ եք կարծում, աղյուսակի տեսքով տրված ֆունկցիան համարժեք է ֆունկցիայի՞:

Եկեք երկար չխոսենք, այլ նկարենք։

Այսպիսով. Մենք գծում ենք երկու ձևով տրված ֆունկցիա.

Տեսնու՞մ եք տարբերությունը։ Խոսքը նշված կետերի մասին չէ։ Ավելի ուշադիր նայեք.

Հիմա տեսե՞լ եք: Երբ ֆունկցիան դնում ենք աղյուսակային ձևով, գրաֆիկի վրա արտացոլում ենք միայն այն կետերը, որոնք ունենք աղյուսակում, և տողը (ինչպես մեր դեպքում) անցնում է միայն դրանց միջով։ Երբ մենք ֆունկցիա ենք սահմանում վերլուծական եղանակով, կարող ենք ցանկացած կետ վերցնել, և մեր գործառույթը դրանցով չի սահմանափակվում։ Ահա այսպիսի հատկանիշ. Հիշիր.

Ֆունկցիան կառուցելու գրաֆիկական եղանակ

Ոչ պակաս հարմար է ֆունկցիայի կառուցման գրաֆիկական եղանակը։ Մենք նկարում ենք մեր ֆունկցիան, և մեկ այլ հետաքրքրված անձ կարող է գտնել, թե ինչին է հավասար y-ն որոշակի x-ում և այլն։ Ամենատարածվածներից են գրաֆիկական և վերլուծական մեթոդները։

Այնուամենայնիվ, այստեղ դուք պետք է հիշեք, թե ինչի մասին մենք խոսեցինք հենց սկզբում. կոորդինատային համակարգում գծված յուրաքանչյուր «կռկռոց» գործառույթ չէ: Հիշե՞լ եք: Ամեն դեպքում, ես կպատճենեմ այստեղ գործառույթի սահմանումը.

Որպես կանոն, մարդիկ սովորաբար անվանում են մեր վերլուծած գործառույթը նշելու հենց այդ երեք եղանակները՝ վերլուծական (օգտագործելով բանաձև), աղյուսակային և գրաֆիկական՝ ամբողջովին մոռանալով, որ ֆունկցիան կարելի է բանավոր նկարագրել: Սրա նման? Այո, շատ հեշտ!

Գործառույթի բանավոր նկարագրություն

Ինչպե՞ս բառացիորեն նկարագրել գործառույթը: Վերցնենք մեր վերջին օրինակը - . Այս ֆունկցիան կարելի է բնութագրել որպես «x-ի յուրաքանչյուր իրական արժեք համապատասխանում է իր եռակի արժեքին»։ Այսքանը: Ոչ մի բարդ բան. Իհարկե, դուք կառարկեք. «կան այնպիսի բարդ գործառույթներ, որոնք պարզապես անհնար է բանավոր սահմանել»: Այո, կան, բայց կան գործառույթներ, որոնք ավելի հեշտ է բանավոր նկարագրել, քան սահմանել բանաձևով: Օրինակ՝ «x-ի յուրաքանչյուր բնական արժեք համապատասխանում է այն թվանշանների տարբերությանը, որոնցից այն բաղկացած է, մինչդեռ թվի մուտքագրում պարունակվող ամենամեծ թվանշանը վերցվում է որպես մինուենդ»։ Այժմ հաշվի առեք, թե ինչպես է գործնականում իրականացվում ֆունկցիայի մեր բանավոր նկարագրությունը.

Տրված թվի ամենամեծ թվանշանը, համապատասխանաբար, կրճատվում է, ապա.

Գործառույթների հիմնական տեսակները

Հիմա եկեք անցնենք ամենահետաքրքիրին. մենք կդիտարկենք այն գործառույթների հիմնական տեսակները, որոնց հետ դուք աշխատել եք / աշխատել և աշխատելու եք դպրոցական և ինստիտուտի մաթեմատիկայի ընթացքում, այսինքն ՝ մենք կծանոթանանք դրանց, այսպես ասած, և նրանց հակիրճ նկարագրություն տվեք: Կարդացեք ավելին յուրաքանչյուր գործառույթի մասին համապատասխան բաժնում:

Գծային ֆունկցիա

Ձևի ֆունկցիա, որտեղ իրական թվերն են:

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, ուստի գծային ֆունկցիայի կառուցումը կրճատվում է երկու կետերի կոորդինատները գտնելով։

Ուղիղ գծի դիրքը կոորդինատային հարթության վրա կախված է թեքությունից:

Ֆունկցիայի շրջանակը (aka արգումենտի տիրույթ) - .

Արժեքների միջակայքն է.

քառակուսի ֆունկցիա

Ձևի գործառույթը, որտեղ

Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, երբ պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, երբ՝ վերև։

Քառակուսային ֆունկցիայի շատ հատկություններ կախված են դիսկրիմինանտի արժեքից: Խտրականությունը հաշվարկվում է բանաձևով

Պարաբոլայի դիրքը կոորդինատային հարթության վրա արժեքի և գործակցի նկատմամբ ներկայացված է նկարում.

Դոմեն

Արժեքների միջակայքը կախված է տվյալ ֆունկցիայի ծայրահեղությունից (պարաբոլայի գագաթը) և գործակիցից (պարաբոլայի ճյուղերի ուղղությունից)

Հակադարձ համեմատականություն

Բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ

Թիվը կոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից։ Կախված նրանից, թե ինչ արժեքից են հիպերբոլայի ճյուղերը տարբեր քառակուսիներով.

Դոմեն - .

Արժեքների միջակայքն է.

ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ

1. Ֆունկցիան կանոն է, ըստ որի բազմության յուրաքանչյուր տարրի վերագրվում է բազմության եզակի տարր։

• - սա բանաձև է, որը նշանակում է ֆունկցիա, այսինքն՝ մի փոփոխականի կախվածությունը մյուսից.
• - փոփոխական կամ արգումենտ;
• - կախված արժեք - փոխվում է, երբ արգումենտը փոխվում է, այսինքն, ըստ որոշակի հատուկ բանաձևի, որն արտացոլում է մի արժեքի կախվածությունը մյուսից:

2. Վավեր արգումենտ արժեքներ, կամ ֆունկցիայի շրջանակը, այն է, ինչ կապված է հնարավորի հետ, որի ներքո ֆունկցիան իմաստ ունի:

3. Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ- ահա թե ինչ արժեքներ է պահանջվում՝ վավեր արժեքներով:

4. Գործառույթը սահմանելու 4 եղանակ կա.

• վերլուծական (օգտագործելով բանաձևեր);
• աղյուսակային;
• գրաֆիկական
• բանավոր նկարագրություն.

5. Գործառույթների հիմնական տեսակները.

• , որտեղ, իրական թվեր են;
• , որտեղ;
• , որտեղ.