Տրամաբանական հավասարումների լուծում մաթեմատիկայի մեջ. Տրամաբանական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ Բուլյան հավասարումների համակարգ

Տրամաբանական հավասարումների համակարգերի լուծում փոփոխականների փոփոխությամբ

Փոփոխականների փոփոխության մեթոդը կիրառվում է, եթե որոշ փոփոխականներ ներառված են հավասարումների մեջ միայն կոնկրետ արտահայտության տեսքով, և ուրիշ ոչինչ։ Այնուհետև այս արտահայտությունը կարող է նշանակվել նոր փոփոխականով:

Օրինակ 1

Տրամաբանական փոփոխականների արժեքների քանի՞ տարբեր հավաքածու կա x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, որոնք բավարարում են հետևյալ բոլոր պայմանները:

(x1 → x2) → (x3 → x4) = 1

(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1

(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1

Պատասխանի համար անհրաժեշտ չէ թվարկել x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 փոփոխականների արժեքների բոլոր տարբեր հավաքածուները, որոնց համաձայն այս հավասարումների համակարգը բավարարված է: Որպես պատասխան՝ անհրաժեշտ է նշել նման հավաքածուների քանակը։

Լուծում:

(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.

Այնուհետև համակարգը կարող է գրվել որպես մեկ հավասարում.

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1: Շաղկապը 1 է (ճշմարիտ), երբ յուրաքանչյուր օպերանդ գնահատվում է 1: Այսինքն. Հետևանքներից յուրաքանչյուրը պետք է ճշմարիտ լինի, և դա ճիշտ է բոլոր արժեքների համար, բացառությամբ (1 → 0): Նրանք. y1, y2, y3, y4 փոփոխականների արժեքների աղյուսակում միավորը չպետք է լինի զրոյի ձախ կողմում.

Նրանք. պայմանները բավարարված են 5 հավաքածուների համար y1-y4:

Որովհետեւ y1 = x1 → x2, ապա y1 = 0 արժեքը ձեռք է բերվում x1, x2՝ (1, 0) մեկ բազմության վրա, իսկ y1 = 1 արժեքը ձեռք է բերվում x1, x2 երեք բազմությունների վրա՝ (0,0) , ( 0,1), (1,1). Նմանապես y2, y3, y4-ի համար:

Քանի որ y1 փոփոխականի յուրաքանչյուր բազմություն (x1,x2) համակցված է y2 փոփոխականի համար (x3,x4) և այլն, x փոփոխականների բազմությունների թիվը բազմապատկվում է.

Ավելացնենք բազմությունների քանակը՝ 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121։

Պատասխան. 121

Օրինակ 2

Բուլյան փոփոխականների արժեքների քանի՞ տարբեր հավաքածու կա x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9, որոնք բավարարում են հետևյալ բոլոր պայմանները:

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

Ի պատասխան կարիք չկաթվարկեք x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 փոփոխականների արժեքների բոլոր տարբեր բազմությունները, որոնց ներքո բավարարված է հավասարումների տվյալ համակարգը։ Որպես պատասխան՝ անհրաժեշտ է նշել նման հավաքածուների քանակը։

Լուծում:

Եկեք փոփոխականների փոփոխություն կատարենք.

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

Համակարգը կարելի է գրել որպես մեկ հավասարում.

(¬z1 ≡ z2) ∧ (¬z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬z8 ≡ z9)

Համարժեքությունը ճշմարիտ է միայն այն դեպքում, եթե երկու օպերանդները հավասար են: Այս հավասարման լուծումները կլինեն երկու բազմություն.

Որովհետեւ zi = (xi ≡ yi), ապա zi = 0 արժեքը համապատասխանում է երկու բազմությունների (xi,yi)՝ (0,1) և (1,0), իսկ zi = 1 արժեքը համապատասխանում է երկու բազմությունների (xi,yi): (0,0) և (1,1):

Այնուհետև z1, z2,…, z9 առաջին բազմությունը համապատասխանում է 2 9 բազմությանը (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9):

Նույն թիվը համապատասխանում է երկրորդ բազմությանը z1, z2,…, z9: Այնուհետև կա 2 9 +2 9 = 1024 հավաքածու ընդհանուր առմամբ:

Պատասխան. 1024

Տրամաբանական հավասարումների համակարգերի լուծում ռեկուրսիայի տեսողական սահմանմամբ:

Այս մեթոդը կիրառվում է, եթե հավասարումների համակարգը բավականաչափ պարզ է, և փոփոխականներ ավելացնելիս բազմությունների քանակի ավելացման կարգն ակնհայտ է։

Օրինակ 3

Քանի՞ տարբեր լուծումներ ունի հավասարումների համակարգը

¬x9 ∨ x10 = 1,

որտեղ x1, x2, ... x10 բուլյան փոփոխականներ են:

Պատասխանի համար հարկավոր չէ թվարկել x1, x2, ... x10 արժեքների բոլոր տարբեր խմբերը, որոնց համար գործում է հավասարումների տվյալ համակարգը: Որպես պատասխան՝ անհրաժեշտ է նշել նման հավաքածուների քանակը։

Լուծում:

Լուծենք առաջին հավասարումը. Անջատումը հավասար է 1-ի, եթե դրա գործողության առնվազն մեկը հավասար է 1-ի: Այսինքն. լուծումներն են հավաքածուները.

x1=0-ի համար կան երկու x2 արժեքներ (0 և 1), իսկ x1=1-ի համար կա միայն մեկ x2 արժեք (1), այնպիսին, որ բազմությունը (x1,x2) հավասարման լուծումն է: Ընդամենը 3 հավաքածու։

Ավելացնենք x3 փոփոխականը և դիտարկենք երկրորդ հավասարումը։ Այն նման է առաջինին, ինչը նշանակում է, որ x2=0-ի համար կա x3-ի երկու արժեք (0 և 1), իսկ x2=1-ի համար կա միայն մեկ արժեք x3 (1), այնպես, որ բազմությունը ( x2,x3) հավասարման լուծումն է: Ընդհանուր առմամբ կա 4 հավաքածու։

Հեշտ է տեսնել, որ մեկ այլ փոփոխական ավելացնելիս ավելացվում է մեկ հավաքածու։ Նրանք. (i+1) փոփոխականների վրա բազմությունների քանակի ռեկուրսիվ բանաձև.

N i +1 = N i + 1. Այնուհետեւ տասը փոփոխականների համար մենք ստանում ենք 11 հավաքածու:

Պատասխան. 11

Տարբեր տեսակների տրամաբանական հավասարումների համակարգերի լուծում

Օրինակ 4

Բուլյան փոփոխականների արժեքների քանի՞ տարբեր հավաքածու կա x 1 , ..., x 4 , y 1 ,..., y 4 , z 1 ,..., z 4, որոնք բավարարում են հետևյալ բոլոր պայմանները:

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1

x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0

Ի պատասխան կարիք չկաթվարկեք x 1 , ..., x 4 , y 1 , ..., y 4 , z 1 , ..., z 4 փոփոխականների արժեքների բոլոր տարբեր բազմությունները, որոնց դեպքում բավարարված է հավասարումների տվյալ համակարգը։ .

Որպես պատասխան՝ անհրաժեշտ է նշել նման հավաքածուների քանակը։

Լուծում:

Նկատի ունեցեք, որ համակարգի երեք հավասարումները նույնն են փոփոխականների տարբեր անկախ բազմությունների վրա:

Դիտարկենք առաջին հավասարումը. Շաղկապը ճշմարիտ է (հավասար է 1-ի) միայն այն դեպքում, եթե նրա բոլոր օպերանդները ճշմարիտ են (հավասար է 1-ի): Ենթակայությունը 1 է բոլոր հավաքածուներում, բացառությամբ (1,0): Սա նշանակում է, որ առաջին հավասարման լուծումը կլինի այնպիսի բազմություններ x1, x2, x3, x4, որոնցում 1-ը 0-ից ձախ չէ (5 հավաքածու).

Նմանապես, երկրորդ և երրորդ հավասարումների լուծումները կլինեն y1,…,y4 և z1,…,z4-ի նույն բազմությունները:

Այժմ վերլուծենք համակարգի չորրորդ հավասարումը` x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0: Լուծումը կլինի բոլոր x4, y4, z4 բազմությունները, որոնցում փոփոխականներից առնվազն մեկը հավասար է 0-ի:

Նրանք. x4 = 0-ի համար բոլոր հնարավոր բազմությունները (y4, z4) հարմար են, իսկ x4 = 1-ի համար հարմար են այն բազմությունները (y4, z4), որոնք պարունակում են առնվազն մեկ զրո՝ (0, 0), (0,1) , ( 1, 0):

Կոմպլեկտների ընդհանուր թիվը 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61 է:

Պատասխան. 61

Տրամաբանական հավասարումների համակարգերի լուծում՝ կրկնվող բանաձևերի կառուցմամբ

Կրկնվող բանաձևերի կառուցման մեթոդը օգտագործվում է բարդ համակարգեր լուծելու համար, որոնցում բազմությունների քանակի ավելացման կարգն ակնհայտ չէ, իսկ ծառ կառուցելն անհնար է ծավալների պատճառով:

Օրինակ 5

Բուլյան փոփոխականների արժեքների քանի՞ տարբեր հավաքածու կա x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7, որոնք բավարարում են հետևյալ բոլոր պայմանները:

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

Պատասխանի համար հարկավոր չէ թվարկել x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7 փոփոխականների արժեքների բոլոր տարբեր հավաքածուները, որոնց ներքո գործում է հավասարումների տվյալ համակարգը: Որպես պատասխան՝ անհրաժեշտ է նշել նման հավաքածուների քանակը։

Լուծում:

Նշենք, որ համակարգի առաջին վեց հավասարումները նույնն են և տարբերվում են միայն փոփոխականների բազմությամբ: Դիտարկենք առաջին հավասարումը. Դրա լուծումը կլինի փոփոխականների հետևյալ խմբերը.

Նշանակել:

բազմությունների քանակը (0,0) փոփոխականների վրա (x1,y1) մինչև A 1,

բազմությունների քանակը (0,1) փոփոխականների վրա (x1,y1) մինչև B 1,

բազմությունների քանակը (1,0) փոփոխականների վրա (x1,y1) C 1-ի միջոցով,

բազմությունների քանակը (1,1) փոփոխականների վրա (x1,y1) D 1-ի միջոցով:

բազմությունների քանակը (0,0) փոփոխականների վրա (x2,y2) մինչև A 2,

բազմությունների քանակը (0,1) փոփոխականների վրա (x2,y2) B ​​2-ի միջոցով,

բազմությունների քանակը (1,0) փոփոխականների վրա (x2,y2) C 2-ի միջոցով,

բազմությունների քանակը (1,1) փոփոխականների վրա (x2,y2) D 2-ի միջոցով:

Որոշման ծառից մենք տեսնում ենք, որ

A 1 =0, B 1 =1, C 1 =1, D 1 =1:

Նկատի ունեցեք, որ (x2,y2) փոփոխականների բազմությունը (0,0) ստացվում է (x1,y1) փոփոխականների (0,1), (1,0) և (1,1) զույգերից։ Նրանք. A 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1.

(x2,y2) փոփոխականների (0,1) բազմությունը ստացվում է (x1,y1) փոփոխականների (0,1), (1,0) և (1,1) բազմություններից։ Նրանք. B 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1.

Նմանապես վիճելով, մենք նշում ենք, որ C 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1: D2 = D1:

Այսպիսով, մենք ստանում ենք ռեկուրսիվ բանաձևեր.

A i+1 = B i + C i + D i

B i+1 = B i + C i + D i

C i+1 = B i + C i + D i

D i+1 = A i + B i + C i + D i

Եկեք սեղան պատրաստենք

Վերջին հավասարումը (x7 ∨ y7) = 1 բավարարվում է բոլոր բազմությունների կողմից, բացառությամբ նրանց, որոնցում x7=0 և y7=0: Մեր աղյուսակում նման հավաքածուների թիվը A 7 է:

Այնուհետև հավաքածուների ընդհանուր թիվը B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255

Պատասխան. 255

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Հավասարումները օգտագործվել են մարդու կողմից հնագույն ժամանակներից և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Մաթեմատիկայի մեջ կան որոշակի առաջադրանքներ, որոնք նվիրված են առաջարկությունների տրամաբանությանը։ Այս կարգի հավասարումը լուծելու համար դուք պետք է ունենաք որոշակի քանակությամբ գիտելիքներ՝ առաջարկային տրամաբանության օրենքների իմացություն, 1 կամ 2 փոփոխականների տրամաբանական ֆունկցիաների ճշմարտության աղյուսակների իմացություն, տրամաբանական արտահայտությունների փոխակերպման մեթոդներ: Բացի այդ, դուք պետք է իմանաք տրամաբանական գործողությունների հետևյալ հատկությունները՝ կապեր, դիսյունկցիաներ, ինվերսիաներ, հետևանքներ և համարժեքներ:

Ցանկացած տրամաբանական ֆունկցիա \ փոփոխականներից - \ կարող է ճշտվել ճշմարտության աղյուսակով:

Եկեք լուծենք մի քանի տրամաբանական հավասարումներ.

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Եկեք լուծումը սկսենք \[X1\]-ով և որոշենք, թե ինչ արժեքներ կարող է վերցնել այս փոփոխականը՝ 0 և 1: Հաջորդը, հաշվի առեք վերը նշված արժեքներից յուրաքանչյուրը և տեսեք, թե ինչ է \[X2.\] կարող է լինել այս դեպքում

Ինչպես երևում է աղյուսակից, մեր տրամաբանական հավասարումն ունի 11 լուծում։

Որտեղ կարող եմ լուծել տրամաբանական հավասարումը առցանց:

Դուք կարող եք լուծել հավասարումը մեր կայքէջում https: // կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարում: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել տեսանյութի հրահանգը և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Տրամաբանական հավասարումների համակարգերի լուծման ուղիները

Կիրգիզովա Է.Վ., Նեմկովա Ա.Է.

Լեսոսիբիրսկի մանկավարժական ինստիտուտ -

Սիբիրի դաշնային համալսարանի մասնաճյուղ, Ռուսաստան

Հետևողականորեն մտածելու, վերջնականապես վիճելու, վարկածներ կառուցելու, բացասական եզրակացությունները հերքելու ունակությունը ինքնին չի առաջանում, այս հմտությունը զարգացնում է տրամաբանության գիտությունը: Տրամաբանությունը գիտություն է, որն ուսումնասիրում է որոշ պնդումների ճշմարտացիության կամ կեղծիքի հաստատման մեթոդները՝ այլ պնդումների ճշմարտացիության կամ կեղծիքի հիման վրա։

Այս գիտության հիմունքներին տիրապետելը անհնար է առանց տրամաբանական խնդիրների լուծման։ Նոր իրավիճակում իրենց գիտելիքները կիրառելու հմտությունների ձևավորման ստուգումն իրականացվում է անցնելով։ Մասնավորապես, սա տրամաբանական խնդիրներ լուծելու կարողությունն է։ Քննության B15 առաջադրանքներն ավելի բարդության առաջադրանքներ են, քանի որ դրանք պարունակում են տրամաբանական հավասարումների համակարգեր: Տրամաբանական հավասարումների համակարգերը լուծելու տարբեր եղանակներ կան։ Սա կրճատում է մեկ հավասարման, ճշմարտության աղյուսակի կառուցում, տարրալուծում, հավասարումների հաջորդական լուծում և այլն։

Առաջադրանք.Լուծեք տրամաբանական հավասարումների համակարգ.

Հաշվի առեք մեկ հավասարման կրճատման մեթոդ . Այս մեթոդը ներառում է տրամաբանական հավասարումների փոխակերպում, որպեսզի դրանց աջ կողմերը հավասար լինեն ճշմարտության արժեքին (այսինքն՝ 1): Դա անելու համար օգտագործեք տրամաբանական ժխտման գործողությունը: Այնուհետև, եթե հավասարումների մեջ կան բարդ տրամաբանական գործողություններ, մենք դրանք փոխարինում ենք հիմնականներով՝ «ԵՎ», «ԿԱՄ», «ՉԻ»: Հաջորդ քայլը հավասարումները միավորելն է մեկում, որը համարժեք է համակարգին՝ օգտագործելով «AND» տրամաբանական գործողությունը: Դրանից հետո պետք է ստացված հավասարման փոխակերպումներ կատարել՝ հիմնվելով տրամաբանության հանրահաշվի օրենքների վրա և ստանալ համակարգի կոնկրետ լուծում։

Լուծում 1:Կիրառեք հակադարձումը առաջին հավասարման երկու կողմերին.

Եկեք ներկայացնենք ենթատեքստը «OR», «NOT» հիմնական գործողությունների միջոցով.

Քանի որ հավասարումների ձախ կողմերը հավասար են 1-ի, կարող եք դրանք միավորել «ԵՎ» գործողության միջոցով մեկ հավասարման մեջ, որը համարժեք է սկզբնական համակարգին.

Դը Մորգանի օրենքի համաձայն բացում ենք առաջին փակագիծը և արդյունքը փոխակերպում.

Ստացված հավասարումն ունի մեկ լուծում. A= 0, B=0 և C=1:

Հաջորդ ճանապարհն է ճշմարտության աղյուսակների կառուցում . Քանի որ տրամաբանական արժեքներն ունեն ընդամենը երկու արժեք, դուք պարզապես կարող եք անցնել բոլոր տարբերակները և դրանցից գտնել դրանք, որոնց համար բավարարված է հավասարումների տվյալ համակարգը։ Այսինքն, մենք կառուցում ենք մեկ ընդհանուր ճշմարտության աղյուսակ համակարգի բոլոր հավասարումների համար և գտնում ենք ցանկալի արժեքներով գիծ:

Լուծում 2:Եկեք համակարգի համար կազմենք ճշմարտության աղյուսակ.

Հաստ այն գիծն է, որի համար առկա են խնդրի պայմանները: Այսպիսով, A =0, B =0 և C =1:

Ճանապարհ տարրալուծում . Գաղափարը փոփոխականներից մեկի արժեքը ֆիքսելն է (այն հավասար է 0-ի կամ 1-ի) և դրանով իսկ պարզեցնել հավասարումները: Այնուհետև կարող եք ամրագրել երկրորդ փոփոխականի արժեքը և այլն:

Լուծում 3:Թող A = 0, ապա.

Առաջին հավասարումից մենք ստանում ենքԲ =0, իսկ երկրորդից՝ С=1։ Համակարգի լուծում՝ A = 0, B = 0 և C = 1:

Դուք կարող եք նաև օգտագործել մեթոդը հավասարումների հաջորդական լուծում , յուրաքանչյուր քայլում ավելացնելով մեկ փոփոխական դիտարկվող բազմությանը: Դա անելու համար անհրաժեշտ է փոխակերպել հավասարումները այնպես, որ փոփոխականները մուտքագրվեն այբբենական կարգով։ Հաջորդը, մենք կառուցում ենք որոշումների ծառ՝ դրան հաջորդաբար ավելացնելով փոփոխականներ:

Համակարգի առաջին հավասարումը կախված է միայն A-ից և B-ից, իսկ երկրորդ հավասարումը A-ից և C-ից: A փոփոխականը կարող է ընդունել 2 արժեք 0 և 1:

Առաջին հավասարումից հետևում է, որ , ուրեմն երբ A = 0 մենք ստանում ենք B = 0, իսկ A = 1-ի համար մենք ունենք B = 1: Այսպիսով, առաջին հավասարումը A և B փոփոխականների նկատմամբ ունի երկու լուծում:

Մենք գծում ենք երկրորդ հավասարումը, որից յուրաքանչյուր տարբերակի համար որոշում ենք C-ի արժեքները: A =1-ի համար ենթատեքստը չի կարող կեղծ լինել, այսինքն՝ ծառի երկրորդ ճյուղը լուծում չունի: ժամը A= 0 մենք ստանում ենք միակ լուծումը C= 1 :

Այսպիսով, ստացանք համակարգի լուծումը՝ A = 0 , B = 0 և C = 1 :

Համակարգչային գիտության մեջ USE-ում շատ հաճախ անհրաժեշտ է որոշել տրամաբանական հավասարումների համակարգի լուծումների քանակը, առանց ինքնուրույն լուծումներ գտնելու, դրա համար կան նաև որոշակի մեթոդներ: Տրամաբանական հավասարումների համակարգի լուծումների քանակը գտնելու հիմնական միջոցն է փոփոխականների փոփոխություն. Նախ անհրաժեշտ է տրամաբանության հանրահաշվի օրենքների հիման վրա հնարավորինս պարզեցնել հավասարումներից յուրաքանչյուրը, այնուհետև փոխարինել հավասարումների բարդ մասերը նոր փոփոխականներով և որոշել նոր համակարգի լուծումների քանակը։ Այնուհետև վերադարձեք փոխարինողին և որոշեք դրա համար լուծումների քանակը:

Առաջադրանք.Քանի՞ լուծում է կազմում հավասարումը ( A → B ) + (C → D ) = 1? Որտեղ A, B, C, D բուլյան փոփոխականներ են:

Լուծում:Ներկայացնենք նոր փոփոխականներ. X = A → B և Y = C → D . Հաշվի առնելով նոր փոփոխականները՝ հավասարումը կարելի է գրել այսպես. X + Y = 1:

Անջատումը ճշմարիտ է երեք դեպքում՝ (0;1), (1;0) և (1;1), մինչդեռ. X և Y ենթատեքստ է, այսինքն՝ երեք դեպքում ճիշտ է, մեկում՝ կեղծ: Հետևաբար, գործը (0;1) կհամապատասխանի պարամետրերի երեք հնարավոր համակցության: Դեպք (1;1) - կհամապատասխանի սկզբնական հավասարման պարամետրերի ինը հնարավոր համակցություններին: Այսպիսով, այս հավասարման 3+9=15 հնարավոր լուծում կա։

Տրամաբանական հավասարումների համակարգի լուծումների քանակը որոշելու հետևյալ եղանակն է − երկուական ծառ. Դիտարկենք այս մեթոդը օրինակով.

Առաջադրանք.Քանի՞ տարբեր լուծումներ ունի տրամաբանական հավասարումների համակարգը.

Հավասարումների տրված համակարգը համարժեք է հավասարմանը.

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x մ -1 → x մ) = 1.

Եկեք այդպես ձևացնենքx 1 ճիշտ է, ապա առաջին հավասարումից մենք ստանում ենք, որx 2 նույնպես ճիշտ է, երկրորդից -x 3 =1, և այսպես շարունակ մինչև x մ= 1. Հետևաբար բազմությունը (1; 1; …; 1)-իցմ միավորները համակարգի լուծումն է: Թող հիմաx 1 =0, ապա առաջին հավասարումից ունենքx 2 =0 կամ x 2 =1.

Երբ x 2 true, մենք ստանում ենք, որ մյուս փոփոխականները նույնպես ճշմարիտ են, այսինքն՝ բազմությունը (0; 1; ...; 1) համակարգի լուծումն է: ժամըx 2 =0 մենք դա ստանում ենք x 3 =0 կամ x 3 = և այլն: Շարունակելով մինչև վերջին փոփոխականը՝ մենք գտնում ենք, որ հավասարման լուծումները փոփոխականների հետևյալ խմբերն են (մ +1 լուծույթ, յուրաքանչյուր լուծույթումմ փոփոխական արժեքներ):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Այս մոտեցումը լավ պատկերված է երկուական ծառ կառուցելով: Հնարավոր լուծումների թիվը կառուցված ծառի տարբեր ճյուղերի քանակն է: Հեշտ է տեսնել, որ դա այդպես էմ+1.

Պատճառաբանելու և որոշումների ծառ կառուցելու դժվարությունների դեպքում կարող եք լուծում փնտրել՝ օգտագործելով ճշմարտության աղյուսակներ, մեկ կամ երկու հավասարումների համար։

Մենք վերագրում ենք հավասարումների համակարգը հետևյալ ձևով.

Եվ եկեք մեկ հավասարման համար առանձին կազմենք ճշմարտության աղյուսակ.

Եկեք երկու հավասարումների համար կազմենք ճշմարտության աղյուսակ.

Հաջորդը, դուք կարող եք տեսնել, որ մեկ հավասարումը ճիշտ է հետևյալ երեք դեպքերում՝ (0; 0), (0; 1), (1; 1): Երկու հավասարումների համակարգը ճշմարիտ է չորս դեպքերում (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1): Այս դեպքում անմիջապես պարզ է դառնում, որ կա միայն զրոյից և ավելիից բաղկացած լուծում մլուծումներ, որոնցում ավելացվում է մեկ միավոր՝ սկսած վերջին դիրքից մինչև բոլոր հնարավոր տեղերի լրացումը։ Կարելի է ենթադրել, որ ընդհանուր լուծումը կունենա նույն ձևը, բայց որպեսզի նման մոտեցումը լուծում դառնա, անհրաժեշտ է ապացույց, որ ենթադրությունը ճիշտ է։

Ամփոփելով վերը նշված բոլորը, ես կցանկանայի ուշադրություն հրավիրել այն փաստի վրա, որ դիտարկված մեթոդներից ոչ բոլորն են համընդհանուր: Տրամաբանական հավասարումների յուրաքանչյուր համակարգ լուծելիս պետք է հաշվի առնել դրա առանձնահատկությունները, որոնց հիման վրա պետք է ընտրել լուծման մեթոդը։

Գրականություն:

1. Տրամաբանական առաջադրանքներ / O.B. Բոգոմոլով - 2-րդ հրատ. - M.: BINOM: Գիտելիքի լաբորատորիա, 2006. - 271 էջ: ill.

2. Պոլյակով Կ.Յու. Տրամաբանական հավասարումների համակարգեր / Ուսումնական և մեթոդական թերթ համակարգչային գիտության ուսուցիչների համար. Ինֆորմատիկա թիվ 14, 2011 թ.

Տրամաբանական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ

Դուք կարող եք լուծել տրամաբանական հավասարումների համակարգ, օրինակ՝ օգտագործելով ճշմարտության աղյուսակը (եթե փոփոխականների թիվը շատ մեծ չէ) կամ օգտագործելով որոշման ծառը՝ յուրաքանչյուր հավասարումը պարզեցնելուց հետո։

1. Փոփոխականների փոփոխության մեթոդ.

Նոր փոփոխականների ներդրումը հնարավորություն է տալիս պարզեցնել հավասարումների համակարգը՝ նվազեցնելով անհայտների թիվը։Նոր փոփոխականները պետք է անկախ լինեն միմյանցից. Պարզեցված համակարգը լուծելուց հետո անհրաժեշտ է նորից վերադառնալ սկզբնական փոփոխականներին։

Դիտարկենք այս մեթոդի կիրառումը կոնկրետ օրինակի վրա:

Օրինակ.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

Լուծում:

Ներկայացնենք նոր փոփոխականներ՝ А=(X1≡X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); E=(X9 ≡ X10):

(Ուշադրություն. նրանց յուրաքանչյուր x1, x2, ..., x10 փոփոխականները պետք է ներառվեն A, B, C, D, E նոր փոփոխականներից միայն մեկում, այսինքն՝ նոր փոփոխականները միմյանցից անկախ են):

Այնուհետև հավասարումների համակարգը կունենա հետևյալ տեսքը.

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

Եկեք կառուցենք ստացված համակարգի որոշման ծառը.

Դիտարկենք A=0 հավասարումը, այսինքն. (X1≡ X2)=0. Այն ունի 2 արմատ.

Նույն աղյուսակից երևում է, որ A \u003d 1 հավասարումը նույնպես ունի 2 արմատ: Որոշման ծառի վրա դասավորենք արմատների քանակը.

Մեկ ճյուղի համար լուծումների քանակը գտնելու համար հարկավոր է բազմապատկել լուծումների քանակը յուրաքանչյուր մակարդակում: Ձախ ճյուղն ունի 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 լուծում; ճիշտ ճյուղը նույնպես ունի 32 լուծում. Նրանք. ամբողջ համակարգն ունի 32+32=64 լուծում։

Պատասխան՝ 64։

2. Պատճառաբանության մեթոդ.

Տրամաբանական հավասարումների համակարգերի լուծման բարդությունը կայանում է որոշումների ամբողջական ծառի մեծության մեջ: Պատճառաբանության մեթոդը թույլ է տալիս ամբողջությամբ չկառուցել ամբողջ ծառը, բայց միևնույն ժամանակ հասկանալ, թե քանի ճյուղ կունենա այն։ Դիտարկենք այս մեթոդը կոնկրետ օրինակների վրա:

Օրինակ 1 Բուլյան փոփոխականների արժեքների քանի՞ տարբեր հավաքածու կա x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, որոնք բավարարում են հետևյալ բոլոր պայմանները:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1 \/y1 =1

Պատասխանի համար անհրաժեշտ չէ թվարկել x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 փոփոխականների արժեքների բոլոր տարբեր հավաքածուները, որոնց ներքո բավարարված է հավասարումների տվյալ համակարգը: Որպես պատասխան՝ անհրաժեշտ է նշել նման հավաքածուների քանակը։

Լուծում.

Առաջին և երկրորդ հավասարումները պարունակում են անկախ փոփոխականներ, որոնք կապված են երրորդ պայմանով: Եկեք կառուցենք որոշման ծառ առաջին և երկրորդ հավասարումների համար:

Համակարգի որոշման ծառը առաջին և երկրորդ հավասարումներից ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է առաջին ծառի յուրաքանչյուր ճյուղ շարունակել փոփոխականների ծառով։ժամը . Այս կերպ կառուցված ծառը կունենա 36 ճյուղ։ Այս ճյուղերից մի քանիսը չեն բավարարում համակարգի երրորդ հավասարումը։ Առաջին ծառի վրա նշեք ծառի ճյուղերի թիվը«ժամը» , որոնք բավարարում են երրորդ հավասարումը.

Պարզաբանենք՝ x1=0-ում երրորդ պայմանի կատարման համար պետք է լինեն y1=1, այսինքն՝ ծառի բոլոր ճյուղերը։«X» , որտեղ x1=0 կարելի է շարունակել ծառից միայն մեկ ճյուղով«ժամը» . Եվ միայն ծառի մեկ ճյուղի համար«X» (աջ) համապատասխանում է ծառի բոլոր ճյուղերին«ժամը». Այսպիսով, ամբողջ համակարգի ամբողջական ծառը պարունակում է 11 ճյուղ: Յուրաքանչյուր ճյուղ ներկայացնում է հավասարումների սկզբնական համակարգի մեկ լուծում: Այսպիսով, ամբողջ համակարգը ունի 11 լուծում:

Պատասխան՝ 11.

Օրինակ 2 Քանի՞ տարբեր լուծումներ ունի հավասարումների համակարգը

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

որտեղ x1, x2, …, x10 բուլյան փոփոխականներ են: Պատասխանը կարիք չունի թվարկել փոփոխական արժեքների բոլոր տարբեր խմբերը, որոնց համար գործում է այս հավասարությունը: Որպես պատասխան՝ անհրաժեշտ է նշել նման հավաքածուների քանակը։

Լուծում. Եկեք պարզեցնենք համակարգը. Եկեք կառուցենք առաջին հավասարման մասի ճշմարտության աղյուսակը.

Ուշադրություն դարձրեք վերջին սյունակին, այն համապատասխանում է գործողության արդյունքին X1 ≡ X10.

Պարզեցումից հետո մենք ստանում ենք.

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

Դիտարկենք վերջին հավասարումը.(X1 ≡ X10) = 0, այսինքն. x1-ը չպետք է լինի նույնը, ինչ x10-ը: Որպեսզի առաջին հավասարումը հավասար լինի 1-ի, հավասարությունը պետք է պահպանվի(X1 ≡ X2)=1, այսինքն. x1-ը պետք է համապատասխանի x2-ին:

Եկեք կառուցենք որոշման ծառ առաջին հավասարման համար.

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը` x10=1 և x2=0-ի համար փակագիծըպետք է հավասար լինի 1-ի (այսինքն, x2-ը նույնն է, ինչ x3-ը); x10=0 և x2=1 փակագծում(X2 ≡ X10)=0, ուրեմն փակագիծ (X2 ≡ X3) պետք է հավասար լինի 1-ի (այսինքն, x2-ը նույնն է, ինչ x3-ը).

Այս կերպ վիճելով՝ մենք որոշումների ծառ ենք կառուցում բոլոր հավասարումների համար.

Այսպիսով, հավասարումների համակարգն ունի ընդամենը 2 լուծում.

Պատասխան՝ 2.

Օրինակ 3

Բուլյան փոփոխականների արժեքների քանի՞ տարբեր հավաքածու կա, որոնք բավարարում են հետևյալ բոլոր պայմանները:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

Լուծում:

Եկեք կառուցենք 1-ին հավասարման որոշման ծառ.

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը.

• Երբ x1=0 Երկրորդ և երրորդ փակագծերը կլինեն 0; Որպեսզի առաջին փակագիծը հավասար լինի 1-ի, պետք է y1=1, z1=1 (այսինքն այս դեպքում՝ 1 լուծում)
• x1=1-ով Առաջին փակագիծը կլինի 0; երկրորդկամ երրորդ փակագիծը պետք է հավասար լինի 1-ի. երկրորդ փակագիծը հավասար կլինի 1-ի, երբ y1=0 և z1=1; երրորդ փակագիծը հավասար կլինի 1-ի y1=1 և z1=0-ի համար (այսինքն այս դեպքում՝ 2 լուծում):

Նույն կերպ մնացած հավասարումների դեպքում: Նշեք ծառի յուրաքանչյուր հանգույցի համար ստացված լուծումների քանակը.

Յուրաքանչյուր ճյուղի համար լուծումների քանակը պարզելու համար ստացված թվերը բազմապատկում ենք յուրաքանչյուր ճյուղի համար առանձին (ձախից աջ)։

1 ճյուղ՝ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 լուծում

2 ճյուղ՝ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2 լուծում

3-րդ ճյուղ՝ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 լուծում

4 ճյուղ՝ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 լուծում

5 ճյուղ՝ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 լուծում

Գումարենք ստացված թվերը՝ ընդհանուր 31 լուծում։

Պատասխան՝ 31։

3. Արմատների քանակի կանոնավոր աճ

Որոշ համակարգերում հաջորդ հավասարման արմատների թիվը կախված է նախորդ հավասարման արմատների քանակից:

Օրինակ 1 Բուլյան փոփոխականների արժեքների քանի՞ տարբեր հավաքածու կա x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, որոնք բավարարում են հետևյալ բոլոր պայմանները:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

Պարզեցնել առաջին հավասարումը.(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Այնուհետև համակարգը կունենա հետևյալ ձևը.

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

և այլն:

Յուրաքանչյուր հաջորդ հավասարում ունի 2 արմատ ավելի, քան նախորդը:

4 հավասարումը ունի 12 արմատ;

5-րդ հավասարումն ունի 14 արմատ

8 հավասարումը ունի 20 արմատ:

Պատասխան՝ 20 արմատ։

Երբեմն արմատների թիվը աճում է Ֆիբոնաչիի թվերի օրենքի համաձայն։

Տրամաբանական հավասարումների համակարգի լուծումը ստեղծագործ մոտեցում է պահանջում։

Քաղաքային բյուջետային ուսումնական հաստատություն

«Թիվ 18 միջնակարգ դպրոց».

Բաշկորտոստանի Հանրապետության Սալավատ քաղաքի քաղաքային թաղամաս

Տրամաբանական հավասարումների համակարգեր

ինֆորմատիկա առարկայի քննության առաջադրանքներում

Քննության առաջադրանքների «Տրամաբանության հանրահաշվի հիմունքներ» բաժինը համարվում է ամենադժվար և վատ լուծվածներից մեկը։ Այս թեմայի առաջադրանքների կատարման միջին տոկոսն ամենացածրն է և կազմում է 43,2:

Հիմնվելով KIM 2018-ի ճշգրտման վրա՝ այս բլոկը ներառում է բարդության տարբեր մակարդակների չորս առաջադրանքներ։

Առաջադրանք 23-ը դժվարության բարձր մակարդակ է, հետևաբար այն ունի կատարման ամենացածր տոկոսը: Վերապատրաստված շրջանավարտներից (81-100 միավոր) առաջադրանքը կատարել է 49,8%-ը, միջին պատրաստվածությունը (61-80 միավոր)՝ 13,7%-ով, մնացած խումբը չի կատարում այս առաջադրանքը:

Տրամաբանական հավասարումների համակարգի լուծման հաջողությունը կախված է տրամաբանության օրենքների իմացությունից և համակարգի լուծման մեթոդների ճշգրիտ կիրառությունից:

Դիտարկենք տրամաբանական հավասարումների համակարգի լուծումը քարտեզագրման մեթոդով:

(23.154 Պոլյակով Կ.Յու.) Քանի՞ տարբեր լուծում ունի հավասարումների համակարգը:

((x1  y1 )  (x2  y2 ))  (x1  x2 )  (y1  y2 ) =1

((x2  y2 )  (x3  y3 ))  (x2  x3 )  (y2  y3 ) =1

((x7  y7 )  (x8  y8 ))  (x7  x8 )  (y7  y8 ) =1

Որտեղ x1 , x2 ,…, x8, ժամը1 , յ2 ,…, յ8 - Բուլյան փոփոխականներ: Պատասխանը կարիք չունի թվարկել փոփոխական արժեքների բոլոր տարբեր խմբերը, որոնց համար գործում է այս հավասարությունը: Որպես պատասխան՝ անհրաժեշտ է նշել նման հավաքածուների քանակը։

Լուծում. Համակարգում ներառված բոլոր հավասարումները նույն տիպի են, և յուրաքանչյուր հավասարման մեջ ներառված են չորս փոփոխականներ: Իմանալով x1 և y1, մենք կարող ենք գտնել x2 և y2-ի բոլոր հնարավոր արժեքները, որոնք բավարարում են առաջին հավասարումը: Նմանապես վիճելով՝ հայտնի x2-ից և y2-ից կարող ենք գտնել x3, y3, որը բավարարում է երկրորդ հավասարումը։ Այսինքն՝ իմանալով (x1, y1) զույգը և որոշելով (x2, y2) զույգի արժեքը՝ մենք կգտնենք զույգը (x3, y3), որն իր հերթին կհանգեցնի զույգին (x4, y4) և այլն։ վրա.

Գտնենք առաջին հավասարման բոլոր լուծումները։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով` կառուցել ճշմարտության աղյուսակ, տրամաբանության և տրամաբանության օրենքների կիրառման միջոցով:

Ճշմարտության աղյուսակ.

Ճշմարտության աղյուսակ կառուցելը աշխատատար է և ժամանակի անարդյունավետ, ուստի մենք օգտագործում ենք երկրորդ մեթոդը՝ տրամաբանական հիմնավորումը: Արտադրյալը 1 է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե յուրաքանչյուր գործակից 1 է:

(x1  y1 )  (x2  y2 ))=1

(x1  x2 ) =1

(y1  y2 ) =1

Դիտարկենք առաջին հավասարումը. Հետևյալը հավասար է 1-ի, երբ 0 0, 0 1, 1 1, ապա (x1 y1)=0 (01), (10), ապա զույգը (x2  y2 ) կարող է լինել ցանկացած (00), (01), (10), (11), իսկ (x1 y1)=1-ի համար, այսինքն՝ (00) և (11) զույգը (x2 y2)=1 ընդունում է նույն արժեքները։ (00) և (11): Այս լուծումից բացառում ենք այն զույգերը, որոնց համար երկրորդ և երրորդ հավասարումները սխալ են, այսինքն՝ x1=1, x2=0, y1=1, y2=0։

Զույգերի ընդհանուր թիվը 1+1+1+22= 25

2) (23.160 Պոլյակով Կ.Յու.) Քանի՞ տարբեր լուծումներ ունի տրամաբանական հավասարումների համակարգը

(x 1  (x 2  y 2 ))  (y 1  y 2 ) = 1

(x 2  (x 3  y 3 ))  (y 2  y 3 ) = 1

...

( x 6  ( x 7  y 7 ))  ( y 6  y 7 ) = 1

x 7  y 7 = 1

Լուծում. 1) Հավասարումները նույն տիպի են, ուստի պատճառաբանության մեթոդով կգտնենք առաջին հավասարման բոլոր հնարավոր զույգերը (x1,y1), (x2,y2):

(x1  (x2  y2 ))=1

(y1  y2 ) = 1

Երկրորդ հավասարման լուծումը զույգերն են (00), (01), (11):

Գտնենք առաջին հավասարման լուծումները. Եթե ​​x1=0, ապա x2, y2 - ցանկացած, եթե x1=1, ապա x2, y2-ը վերցնում է (11) արժեքը:

Կապեր հաստատենք (x1 , y1) և (x2, y2) զույգերի միջև։

Եկեք աղյուսակ կազմենք յուրաքանչյուր փուլում զույգերի թիվը հաշվարկելու համար:

Հաշվի առնելով վերջին հավասարման լուծումները x 7  y 7 = 1, մենք վերացնում ենք զույգը (10): Գտե՛ք 1+7+0+34=42 լուծումների ընդհանուր թիվը

3)(23.180) Քանի՞ տարբեր լուծումներ ունի տրամաբանական հավասարումների համակարգը

(x1  x2 )  (x3  x4 ) = 1

(x3  x4 )  (x5  x6 ) = 1

(x5  x6 )  (x7  x8 ) = 1

(x7  x8 )  (x9  x10 ) = 1

x1  x3  x5  x7  x9 = 1

Լուծում. 1) Հավասարումները նույն տիպի են, ուստի պատճառաբանության մեթոդով կգտնենք առաջին հավասարման բոլոր հնարավոր զույգերը (x1,x2), (x3,x4):

(x1  x2 )  (x3  x4 ) = 1

Լուծումից բացառում ենք հետևյալ զույգերը, որոնք տալիս են 0 (1 0), դրանք (01, 00, 11) և (10) զույգերն են։

Կազմել հղումներ զույգերի միջև (x1,x2), (x3,x4)