Иррациональные неравенства. Иррациональные неравенства Сбор и использование персональной информации

Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:

В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.

Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:

Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида

Равносильно системе неравенств:

Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:

1. f (x ) ≤ g 2 (x ) - тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
2. f (x ) ≥ 0 - это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
3. g (x ) ≥ 0 - это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.

Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.

Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.

Примеры решения задач

Задача. Решите неравенство:

Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 - константа. Имеем:

Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:

Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .

Задача. Решите неравенство:

Применяем теорему:

Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:

2x 2 − 18x + 16 < (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16 < x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x < 0;
x (x − 10) < 0;
x ∈ (0; 10).

Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪

Предлагается сильному ученику провести рассуждение в общем виде, получится вот, что

√f(х) f(х) 2

G(х) ≥ 0

F(х) ≥ 0.

Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≤ вместо 2 .

Пример 2. √х > х - 2

Здесь опять можно возвести в квадрат для тех х, для которых выполнено условие х - 2 ≥ 0. Однако теперь уже нельзя отбросить те х, для которых правая часть отрицательна: ведь в этом случае правая часть будет меньше заведомо не отрицательной левой, так что все такие х будут решениями неравенств. Впрочем, не все, а те которые входят в область определения неравенства, т.е. для которых х ≥ 0. Какие случаи следует рассмотреть?

1 случай: если х - 2 ≥ 0, то из нашего неравенства следует система

х > (х - 2) 2

Х - 2 ≥ 0

2 случай: если х - 2

х ≥ 0

Х - 2

При разборе случаев возникает составное условие под названием «совокупность». Получим равносильную неравенству совокупность двух систем

х > (х - 2) 2

Х - 2 ≥ 0

Х ≥ 0

Х - 2

Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем, виде, то получится вот, что:

√f(х) > g(х) f(х) > (g(х)) 2

G(х) ≥ 0

F(х) ≥ 0

G(х)

Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≥ вместо >, то в качестве первого неравенства этой системы надо было взять f(х) ≥ (g(х)) 2 .

Пример 3. √х 2 - 1 > √х + 5.

Вопросы:

Какие значения принимают выражения стоящие в левой и правой части?

Можно ли возвести в квадрат?

Какова область определения неравенств?

Получим х 2 - 1 > х + 5

Х + 5 ≥ 0

Х 2 - 1 ≥ 0

Какое условие лишнее?

Таким образом, получим, что данное неравенство равносильно системе

Х 2 - 1 > х + 5

Х + 5 ≥ 0

Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем виде, то получится вот, что:

√f(х) > √g(х) f(х) > g(х)

G(х) ≥ 0.

Подумайте, что изменится, если вместо > в исходном неравенстве будет стоять знак ≥, ≤ или <.>

На доске вывешиваются 3 схемы решения иррациональных неравенства, ещё раз обсуждается принцип их построения.

4 этап - закрепление знаний (5мин.)

Учащимся 2 группы предлагается указать, какой системе или их совокупности равносильно неравенство № 167 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)

Двум наиболее подготовленным учащимся из этой группы предлагается решить на доске неравенства: № 1. √х 2 - 1 >1

№ 2. √25 - х 2

Учащиеся 1 группы получают аналогичное задание, но более высокого уровня сложности № 170 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)

одному наиболее подготовленному учащемуся из этой группы предлагается решить на доске неравенство: √4х - х 2

При этом всем учащимся разрешается пользоваться конспектом.

В это время учитель работает с учащимися 3 группы: отвечает на их вопросы при необходимости помогает; и контролирует решение задач на доске.

По истечению времени каждой группе выдаётся для проверки лист ответов (можно показать ответы на экране, используя мультимедийную систему).

5 этап урока - обсуждение решений задач, представленных на доске (7мин.)

Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят при необходимости коррективы и выполняют записи в тетрадях.

6 этап урока - подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию (2мин.)

3 группа обмен карточками внутри группы.

2 группа № 168 (3, 4)

1 группа № 169 (5), № 170 (6)