სფეროს და ბურთის რადიუსი. სფერო, ბურთი, სეგმენტი და სექტორი

განმარტება.

სფერო შეიძლება შეფასდეს, როგორც სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელიც იქმნება მისი დიამეტრის გარშემო წრის 180°-ით ან ნახევარწრიული დიამეტრის გარშემო 360°-ით ბრუნვით.

განმარტება.

ბურთი შეიძლება შეფასდეს, როგორც სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელიც იქმნება მისი დიამეტრის გარშემო წრის ბრუნვით 180 ° ან ნახევარწრიული დიამეტრის გარშემო 360 ° -ით.

განმარტება. სფეროს (ბურთის) რადიუსი(R) არის მანძილი სფეროს ცენტრიდან (ბურთი) ოსფეროს ნებისმიერ წერტილამდე (ბურთის ზედაპირი).

განმარტება. სფეროს (ბურთის) დიამეტრი(D) არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს სფეროს ორ წერტილს (ბურთის ზედაპირი) და გადის მის ცენტრში.

ფორმულა. ბურთის მოცულობა:

ფორმულა. სფეროს ზედაპირის ფართობირადიუსის ან დიამეტრის მეშვეობით:

S = 4π R 2 = π D 2

სფეროს განტოლება

1. სფეროს განტოლება R რადიუსით და ცენტრით დეკარტის კოორდინატთა სისტემის სათავეში:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. სფეროს განტოლება რადიუსით R და ცენტრით წერტილში კოორდინატებით (x 0 , y 0 , z 0) დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

განმარტება. დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილებიარის ნებისმიერი ორი წერტილი ბურთის (სფეროს) ზედაპირზე, რომლებიც დაკავშირებულია დიამეტრით.

სფეროსა და ბურთის ძირითადი თვისებები

1. სფეროს ყველა წერტილი ერთნაირად დაშორებულია ცენტრიდან.

2. სფეროს ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით არის წრე.

3. სფეროს ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით არის წრე.

4. სფეროს აქვს ყველაზე დიდი მოცულობა ერთნაირი ზედაპირის მქონე ყველა სივრცულ ფიგურას შორის.

5. ნებისმიერი ორი დიამეტრულად საპირისპირო წერტილის მეშვეობით შეგიძლიათ დახაზოთ მრავალი დიდი წრე სფეროსთვის ან წრეები ბურთისთვის.

6. ნებისმიერი ორი წერტილის მეშვეობით, გარდა დიამეტრულად საპირისპირო წერტილებისა, შესაძლებელია სფეროსთვის მხოლოდ ერთი დიდი წრის დახატვა ან ბურთისთვის დიდი წრის დახატვა.

7. ერთი ბურთის ნებისმიერი ორი დიდი წრე იკვეთება სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელიც გადის ბურთის ცენტრში და წრეები იკვეთება ორ დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილზე.

8. თუ რომელიმე ორი ბურთის ცენტრებს შორის მანძილი ნაკლებია მათი რადიუსების ჯამზე და მეტია მათ რადიუსებს შორის სხვაობის მოდულზე, მაშინ ასეთი ბურთულები იკვეთებადა გადაკვეთის სიბრტყეში იქმნება წრე.

სფეროს სეკანტი, აკორდი, სეკანტური სიბრტყე და მათი თვისებები

განმარტება. სფეროების სეკანტიარის სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს სფეროს ორ წერტილში. გადაკვეთის წერტილებს უწოდებენ პუნქციის წერტილებიზედაპირი ან ზედაპირზე შესვლისა და გასასვლელი წერტილები.

განმარტება. სფეროს აკორდი (ბურთი)არის სფეროს ორი წერტილის დამაკავშირებელი სეგმენტი (ბურთის ზედაპირი).

განმარტება. ჭრის თვითმფრინავიარის სიბრტყე, რომელიც კვეთს სფეროს.

განმარტება. დიამეტრული სიბრტყე- ეს არის სეკანტური სიბრტყე, რომელიც გადის სფეროს ან ბურთის ცენტრში, განყოფილება იქმნება, შესაბამისად დიდი წრედა დიდი წრე. დიდ წრეს და დიდ წრეს აქვს ცენტრი, რომელიც ემთხვევა სფეროს (ბურთის) ცენტრს.

ნებისმიერი აკორდი, რომელიც გადის სფეროს (ბურთის) ცენტრში, არის დიამეტრი.

აკორდი არის სეგმენტური ხაზის სეგმენტი.

მანძილი d სფეროს ცენტრიდან სეკანტამდე ყოველთვის ნაკლებია სფეროს რადიუსზე:

დ< R

მანძილი m ჭრის სიბრტყესა და სფეროს ცენტრს შორის ყოველთვის ნაკლებია R რადიუსზე:

მ< R

ჭრის სიბრტყის მონაკვეთი სფეროზე ყოველთვის იქნება მცირე წრე, და ბურთზე განყოფილება იქნება პატარა წრე. პატარა წრეს და პატარა წრეს აქვს თავისი ცენტრები, რომლებიც არ ემთხვევა სფეროს (ბურთის) ცენტრს. ასეთი წრის r რადიუსი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

r \u003d √ R 2 - მ2,

სადაც R არის სფეროს (ბურთის) რადიუსი, m არის მანძილი ბურთის ცენტრიდან ჭრის სიბრტყემდე.

განმარტება. ნახევარსფერო (ნახევარსფერო)- ეს არის სფეროს (ბურთის) ნახევარი, რომელიც წარმოიქმნება დიამეტრული სიბრტყით მოჭრისას.

ტანგენსი, სფეროს ტანგენსი სიბრტყე და მათი თვისებები

განმარტება. სფეროს ტანგენტიარის სწორი ხაზი, რომელიც ეხება სფეროს მხოლოდ ერთ წერტილში.

განმარტება. ტანგენსი სიბრტყე სფეროზეარის თვითმფრინავი, რომელიც ეხება სფეროს მხოლოდ ერთ წერტილში.

ტანგენტის ხაზი (სიბრტყე) ყოველთვის პერპენდიკულარულია შეხების წერტილამდე გამოყვანილი სფეროს რადიუსზე.

მანძილი სფეროს ცენტრიდან ტანგენტის ხაზამდე (სიბრტყე) უდრის სფეროს რადიუსს.

განმარტება. ბურთის სეგმენტი- ეს არის ბურთის ნაწილი, რომელიც მოწყვეტილია ბურთს საჭრელი თვითმფრინავით. სეგმენტის ხერხემალიმოვუწოდებთ წრეს, რომელიც ჩამოყალიბდა განყოფილების ადგილზე. სეგმენტის სიმაღლე h არის სეგმენტის ფუძის შუა ნაწილიდან სეგმენტის ზედაპირამდე დახატული პერპენდიკულარულის სიგრძე.

ფორმულა. სფეროს სეგმენტის გარე ზედაპირის ფართობისიმაღლით h სფეროს რადიუსით R:

S = 2π Rh

ბევრ ჩვენგანს უყვარს ფეხბურთის თამაში, ან თუნდაც თითქმის ყველას სმენია ამ ცნობილი სპორტული თამაშის შესახებ. ყველამ იცის, რომ ფეხბურთს ბურთით თამაშობენ.

თუ გამვლელს ჰკითხავთ, რა გეომეტრიული ფორმა აქვს ბურთს, მაშინ ზოგი იტყვის, რომ ბურთის ფორმაა, ზოგი კი - სფეროს. მაშ რომელია მართალი? და რა განსხვავებაა სფეროსა და სფეროს შორის?

Მნიშვნელოვანი!

ბურთიარის კოსმოსური სხეული. შიგნით ბურთი ივსება რაღაცით. ამიტომ სფეროს შეუძლია მოცულობის პოვნა.

ბურთის მაგალითები ცხოვრებაში: საზამთრო და ფოლადის ბურთი.

ბურთი და სფერო, ისევე როგორც წრე და წრე, აქვთ ცენტრი, რადიუსი და დიამეტრი.

Მნიშვნელოვანი!

სფეროარის სფეროს ზედაპირი. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ სფეროს ზედაპირის ფართობი.

ცხოვრების სფეროს მაგალითები: ფრენბურთი და მაგიდის ჩოგბურთის ბურთი.

როგორ მოვძებნოთ სფეროს ფართობი

გახსოვდეს!

სფეროს ფართობის ფორმულა: S=4 π R 2

იმისთვის, რომ იპოვოთ სფეროს ფართობი, უნდა გახსოვდეთ რა არის რიცხვის ძალა. ხარისხის განსაზღვრის ცოდნით, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ სფეროს ფართობის ფორმულა შემდეგნაირად.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;

მიღებული ცოდნის კონსოლიდაცია და პრობლემის გადაჭრა სფეროს ფართობისთვის.

ზუბარევა მე-6 კლასი. ნომერი 692(a)

Ამოცანა:

• გამოთვალეთ სფეროს ფართობი, თუ მისი რადიუსი არის 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 მ

Მნიშვნელოვანი!

Ძვირფასო მშობლებო!

რადიუსის საბოლოო გამოთვლაში არ არის აუცილებელი ბავშვის იძულება გამოთვალოს კუბის ფესვი. მე-6 კლასის მოსწავლეებს ჯერ არ გაუვლიათ და არ იციან ფესვების განმარტება მათემატიკაში.

მე-6 კლასში ასეთი ამოცანის ამოხსნისას გამოიყენე აღრიცხვის მეთოდი.

ჰკითხეთ მოსწავლეს, რომელი რიცხვი, თავისთავად 3-ჯერ რომ გამრავლდეს, მისცემს ერთს.

სფერო და ბურთი არის წრის და წრის ანალოგი სამგანზომილებიან სივრცეში. ღირს თითოეულ ამ ფიგურაზე საუბარი, ხაზგასმით აღვნიშნოთ მსგავსებები და განსხვავებები, ასევე ამ ფიგურების თანდაყოლილი ფორმულები.

გეომეტრიული კონსტრუქციების უმეტესობა დამზადებულია თვითმფრინავში, მაგრამ საშუალო სკოლაში ისინი იწყებენ სამგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლას. ორგანზომილებიან სივრცეს აქვს მხოლოდ ორი მახასიათებელი: სიგრძე და სიგანე. სიმაღლე დამატებულია 3D რეგიონებში. მე-6 კლასში მათემატიკაში შესწავლილია ინდივიდუალური 3D ფიგურები.

სიბრტყეზე ფიგურას ახასიათებდა ფართობი და პერიმეტრი. სამგანზომილებიან ობიექტებში მათ ემატება მოცულობა.

ბრინჯი. 1. სამგანზომილებიანი სივრცე.

გარდა ამისა, არსებობს 3D ფორმების მთელი რიგი სპეციფიკური თვისებები. მათი გადაკვეთა შესაძლებელია სწორი ხაზით და სიბრტყით, შეიძლება იყოს სეკანტური სიბრტყეები, რომლებსაც სხვა ფიგურების ფორმა აქვთ.

3D ფორმების გამოყენება ამოცანების შედგენისთვის მნიშვნელოვნად ართულებს მათ, მაგრამ ამავე დროს მათ ბევრად უფრო საინტერესოს ხდის. ჩვენ ვაძლევთ ბურთის და სფეროს განმარტებებს, რის შემდეგაც შევეცდებით გამოვყოთ განსხვავება ამ ფიგურებს შორის.

ბურთი

სფერო და სფერო არის წრის და წრის ანალოგი სიბრტყეში. ბურთი არის ფიგურა, რომელიც მიიღება ნახევარწრის ერთი წერტილის გარშემო ბრუნვით.

ბურთის ზედაპირის ფართობია: $S=4pir^2$

რადიუსი არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ბურთის ცენტრს და მის ზედაპირზე არსებულ ნებისმიერ წერტილს.

სფეროს მოცულობის ფორმულა$V=(4pir^3\over3)$

მოცულობა გვიჩვენებს რამდენ ადგილს იკავებს ფიგურა. იმის გასაგებად, თუ რა არის მოცულობა, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ ღრუ ფიგურა. მაშინ მოცულობა არის წყლის რაოდენობა, რომელიც შეიძლება ჩაისხას ამ ფიგურაში

ბურთი, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა სამგანზომილებიანი ფიგურა, შეიძლება დაიჭრას თვითმფრინავით. ბურთის სეკანტური სიბრტყე არის წრე, რომლის ცენტრის პოვნა შესაძლებელია ბურთის ცენტრიდან წრეზე პერპენდიკულარულის ჩამოშვებით.

ბრინჯი. 2. ბურთის განყოფილება.

სფერო არის ფიგურა, რომელიც არის წერტილების ერთობლიობა სივრცეში სფეროს ცენტრიდან თანაბარ მანძილზე. სფერო:

• მას აქვს იგივე მოცულობის და ზედაპირის ფართობის ფორმულები, როგორც სფერო.
• სფეროს ჭრის სიბრტყე არის წრე
• სეკანტური წრის ცენტრი გვხვდება ისევე, როგორც ბურთის შემთხვევაში

ბრინჯი. 3. სფერო.

Რა არის განსხვავება

მაშინ ჩნდება კითხვა, რა განსხვავებაა ბურთსა და სფეროს შორის, გარდა განმარტებისა? ფაქტია, რომ ბურთისა და სფეროს შორის განსხვავებები გაცილებით ბუნდოვანია, ვიდრე წრესა და წრეს შორის. სფეროს ასევე აქვს მოცულობა და ზედაპირის ფართობი.

შესაძლოა, გარდა განმარტებისა, განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ სფეროს მოცულობა არასოდეს გვხვდება პრობლემებში. როგორც წესი, ისინი ეძებენ ბურთის მოცულობას. ეს არ ნიშნავს იმას, რომ სფეროს მოცულობა არ აქვს. ეს არის სამგანზომილებიანი ფიგურა, ამიტომ მას აქვს მოცულობა.

ანალოგია უბრალოდ შედგენილია წრესთან, რომელსაც ფართობი არ აქვს. ეს არ არის წესი, არამედ ტრადიცია, რომელიც უნდა გვახსოვდეს: გეომეტრიაში, სფეროს მოცულობის ფორმულირება არ არის მისასალმებელი.

კიდევ ერთი განსხვავება, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს მეტ-ნაკლებად მნიშვნელოვანი: სფეროს ჭრის სიბრტყე: წრე, რომელსაც არ აქვს შიდა სივრცე, მაგრამ აქვს სიგრძე. სფეროს სექციური სიბრტყე: წრე, რომელსაც აქვს ფართობი და არ აქვს გარშემოწერილობა. ამიტომ, ღირს ფრთხილად იყოთ პრობლემის ფორმულირებაში, რათა არ მოხდეს შეცდომები ასეთი წვრილმანების გამო.

რა ვისწავლეთ?

გავიგეთ რა არის სფერო და ბურთი. ვისაუბრეთ მათ მსგავსებაზე და განსხვავებაზე. ჩვენ გავიგეთ, რომ ამ ციფრებს შორის განსხვავება თითქმის არ არის. ჩვენ გადავწყვიტეთ, რომ არ არის აუცილებელი ისეთი ფორმულირების მიცემა, როგორიცაა სფეროს მოცულობა.

თემის ვიქტორინა

სტატიის რეიტინგი

Საშუალო რეიტინგი: 4.7. სულ მიღებული შეფასებები: 105.