მანძილი ორ წერტილს შორის გეოგრაფიულ კოორდინატებში. ორ წერტილს შორის მანძილის განსაზღვრა მხოლოდ longlat კოორდინატებით

მიეცით მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა.

თეორემა 1.1.სიბრტყის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის M 1 (x 1; y 1) და M 2 (x 2; y 2) მათ შორის მანძილი d გამოიხატება ფორმულით.

მტკიცებულება. M 1 და M 2 წერტილებიდან გადმოვცეთ M 1 B და M 2 A პერპენდიკულარები, შესაბამისად.

Oy და Ox ღერძებზე და K-ით აღვნიშნოთ M 1 B და M 2 A წრფეების გადაკვეთის წერტილი (სურ. 1.4). შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:

1) წერტილები M 1, M 2 და K განსხვავებულია. ცხადია, K წერტილს აქვს კოორდინატები (x 2; y 1). ადვილი მისახვედრია, რომ M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. იმიტომ რომ ∆M 1 KM 2 არის მართკუთხა, შემდეგ პითაგორას თეორემით d = M 1 M 2 = = .

2) წერტილი K ემთხვევა M 2 წერტილს, მაგრამ განსხვავდება M 1 წერტილისგან (ნახ. 1.5). ამ შემთხვევაში y 2 = y 1

და d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) წერტილი K ემთხვევა M 1 წერტილს, მაგრამ განსხვავდება M 2 წერტილისგან. ამ შემთხვევაში x 2 = x 1 და d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) წერტილი M 2 ემთხვევა M 1 წერტილს. შემდეგ x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 და

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

სეგმენტის დაყოფა ამ მხრივ.

სიბრტყეზე მიცემული იყოს თვითნებური სეგმენტი M 1 M 2 და M იყოს ამის ნებისმიერი წერტილი

M 2 წერტილის გარდა სხვა სეგმენტი (ნახ. 1.6). რიცხვი l განისაზღვრება ტოლობით l = , ეწოდება დამოკიდებულება,რომელშიც M წერტილი ყოფს სეგმენტს M 1 M 2.

თეორემა 1.2.თუ წერტილი M (x; y) ყოფს სეგმენტს M 1 M 2 l-თან მიმართებაში, მაშინ ამის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით.

x = , y = , (4)

სადაც (x 1; y 1) არის M 1 წერტილის კოორდინატები, (x 2; y 2) არის M 2 წერტილის კოორდინატები.

მტკიცებულება.მოდით დავამტკიცოთ ფორმულებიდან პირველი (4). მეორე ფორმულა ანალოგიურად არის დადასტურებული. შესაძლებელია ორი შემთხვევა.

x = x 1 = = = .

2) სწორი ხაზი M 1 M 2 არ არის Ox ღერძის პერპენდიკულარული (ნახ. 1.6). პერპენდიკულარები M 1 , M, M 2 წერტილებიდან ჩამოვუშვათ Ox ღერძზე და აღვნიშნოთ მათი გადაკვეთის წერტილები Ox ღერძთან შესაბამისად P 1 , P, P 2 . პროპორციული სეგმენტების თეორემის მიხედვით =ლ.

იმიტომ რომ P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô და რიცხვებს (x - x 1) და (x 2 - x) აქვთ იგივე ნიშანი (x 1-ისთვის< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 უარყოფითია), მაშინ

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

დასკვნა 1.2.1.თუ M 1 (x 1; y 1) და M 2 (x 2; y 2) არის ორი თვითნებური წერტილი და წერტილი M (x; y) არის M 1 M 2 სეგმენტის შუა წერტილი, მაშინ

x = , y = (5)

მტკიცებულება.ვინაიდან M 1 M = M 2 M, მაშინ l = 1 და ფორმულებით (4) ვიღებთ ფორმულებს (5).

სამკუთხედის ფართობი.

თეორემა 1.3.ნებისმიერი წერტილისთვის A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) და C (x 3; y 3), რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავეზე

სწორი ხაზი, ABC სამკუთხედის S ფართობი გამოიხატება ფორმულით

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

მტკიცებულება.ფართობი ∆ ABC ნაჩვენები ნახ. 1.7, ჩვენ ვიანგარიშებთ შემდეგნაირად

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

გამოთვალეთ ტრაპეციის ფართობი:

S-ADEC=
,

SBCEF=

ახლა გვაქვს

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

სხვა ადგილისთვის ∆ ABC, ფორმულა (6) ანალოგიურად არის დადასტურებული, მაგრამ მისი მიღება შესაძლებელია „-“ ნიშნით. ამიტომ, ფორმულაში (6) ჩადეთ მოდულის ნიშანი.

ლექცია 2

სწორი ხაზის განტოლება სიბრტყეზე: სწორი ხაზის განტოლება მთავარ კოეფიციენტთან, წრფის ზოგადი განტოლება, სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში. წრფეებს შორის კუთხე, პარალელურობის პირობები და წრფეების პერპენდიკულარულობა სიბრტყეზე.

2.1. სიბრტყეზე მოყვანილი იყოს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და გარკვეული ხაზი L.

განმარტება 2.1. F(x;y) = 0 ფორმის განტოლება, რომელიც აკავშირებს x და y ცვლადებს, ეწოდება ხაზის განტოლება L(მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში) თუ ეს განტოლება კმაყოფილდება L წრფეზე მდებარე რომელიმე წერტილის კოორდინატებით და არა ამ წრფეზე არ მყოფი წერტილის კოორდინატებით.

სიბრტყეზე ხაზების განტოლების მაგალითები.

1) განვიხილოთ სწორი ხაზი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის Oy ღერძის პარალელურად (ნახ. 2.1). A ასოთი ავღნიშნოთ ამ წრფის გადაკვეთის წერტილი Ox ღერძთან, (a; o) ─ მისი ან-

დინატი. განტოლება x = a არის მოცემული წრფის განტოლება. მართლაც, ეს განტოლება კმაყოფილდება ამ წრფის ნებისმიერი წერტილის M(a; y) კოორდინატებით და არა რომელიმე წერტილის კოორდინატებით, რომელიც არ დევს წრფეზე. თუ a = 0, მაშინ ხაზი ემთხვევა Oy ღერძს, რომელსაც აქვს განტოლება x = 0.

2) განტოლება x - y \u003d 0 განსაზღვრავს სიბრტყეში წერტილების სიმრავლეს, რომლებიც ქმნიან I და III კოორდინატთა კუთხეების ბისექტორებს.

3) განტოლება x 2 - y 2 \u003d 0 არის კოორდინატთა კუთხეების ორი ბისექტრის განტოლება.

4) განტოლება x 2 + y 2 = 0 განსაზღვრავს ერთ წერტილს O(0;0) სიბრტყეზე.

5) განტოლება x 2 + y 2 \u003d 25 არის 5 რადიუსის წრის განტოლება, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე.

Მათემატიკა

§2. წერტილის კოორდინატები თვითმფრინავზე

3. მანძილი ორ წერტილს შორის.

ჩვენ ახლა ვიცით, როგორ ვისაუბროთ წერტილებზე რიცხვების ენაზე. მაგალითად, ჩვენ აღარ გვჭირდება ახსნა: აიღეთ წერტილი, რომელიც არის სამი ერთეული ღერძის მარჯვნივ და ხუთი ერთეული ღერძის ქვემოთ. საკმარისია უბრალოდ ვთქვათ: მიიღეთ წერტილი.

ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ეს ქმნის გარკვეულ უპირატესობებს. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ წერტილებისგან შემდგარი ნახატი ტელეგრაფით, მივაწოდოთ იგი კომპიუტერს, რომელსაც საერთოდ არ ესმის ნახატები, მაგრამ კარგად ესმის რიცხვები.

წინა აბზაცში ჩვენ განვსაზღვრეთ სიბრტყეზე წერტილების რამდენიმე ნაკრები რიცხვებს შორის ურთიერთობის გამოყენებით. ახლა შევეცადოთ თანმიმდევრულად გადავთარგმნოთ სხვა გეომეტრიული ცნებები და ფაქტები რიცხვების ენაზე.

ჩვენ დავიწყებთ მარტივი და საერთო ამოცანებით.

იპოვნეთ მანძილი სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის.

გამოსავალი:
როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ წერტილები მოცემულია მათი კოორდინატებით და შემდეგ ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ წესი, რომლითაც შეგვიძლია გამოვთვალოთ მანძილი წერტილებს შორის, მათი კოორდინატების ცოდნა. ამ წესის გამოყვანისას, რა თქმა უნდა, დასაშვებია ნახაზის გამოყენება, მაგრამ თავად წესი არ უნდა შეიცავდეს რაიმე მითითებას ნახატზე, არამედ უნდა აჩვენოს მხოლოდ რა მოქმედებები და რა თანმიმდევრობით უნდა შესრულდეს მოცემულ ციფრებზე - კოორდინატებზე. ქულების მისაღებად, სასურველი რიცხვის მისაღებად - წერტილებს შორის მანძილი.

შესაძლოა, ზოგიერთ მკითხველს პრობლემის გადაჭრის ეს მიდგომა უცნაურად და შორს წასული აღმოჩნდეს. რაც უფრო მარტივია, იტყვიან, ქულები მოცემულია, თუნდაც კოორდინატები იყოს. დახაზეთ ეს წერტილები, აიღეთ სახაზავი და გაზომეთ მანძილი მათ შორის.

ეს მეთოდი ზოგჯერ არც ისე ცუდია. თუმცა, ისევ წარმოიდგინეთ, რომ საქმე გაქვთ კომპიუტერთან. სახაზავი არ ჰყავს და არც ხატავს, მაგრამ ისე სწრაფად შეუძლია დათვლა, რომ ეს მისთვის სულაც არ არის პრობლემა. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი ამოცანა დაყენებულია ისე, რომ ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლის წესი შედგება ბრძანებებისგან, რომელთა შესრულებაც მანქანას შეუძლია.

უმჯობესია პრობლემის თავიდან გადაჭრა განსაკუთრებული შემთხვევისთვის, როდესაც ერთ-ერთი მოცემული პუნქტი დევს სათავეში. დაიწყეთ რამდენიმე რიცხვითი მაგალითით: იპოვნეთ მანძილი წერტილების საწყისიდან; და .

ინსტრუქცია. გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა.

ახლა დაწერეთ ზოგადი ფორმულა საწყისიდან წერტილის მანძილის გამოსათვლელად.

წერტილის მანძილი საწყისიდან განისაზღვრება ფორმულით:

ცხადია, ამ ფორმულით გამოხატული წესი აკმაყოფილებს ზემოაღნიშნულ პირობებს. კერძოდ, მისი გამოყენება შესაძლებელია მანქანებზე გამოთვლებში, რომლებსაც შეუძლიათ რიცხვების გამრავლება, მათი დამატება და კვადრატული ფესვების აღება.

ახლა მოდით გადავწყვიტოთ ზოგადი პრობლემა

მოცემულია ორი წერტილი სიბრტყეზე და იპოვნეთ მანძილი მათ შორის.

გამოსავალი:
აღნიშნეთ , , , წერტილების პროგნოზები და კოორდინატთა ღერძებზე.

ხაზების გადაკვეთის წერტილი და აღინიშნება ასოთი . მართკუთხა სამკუთხედიდან, პითაგორას თეორემის მიხედვით, ვიღებთ:

მაგრამ სეგმენტის სიგრძე უდრის სეგმენტის სიგრძეს. წერტილები და , დევს ღერძზე და აქვთ კოორდინატები და , შესაბამისად. მე-2 პუნქტის მე-3 პუნქტში მიღებული ფორმულის მიხედვით, მათ შორის მანძილი არის .

ანალოგიურად კამათით მივიღებთ, რომ სეგმენტის სიგრძე უდრის. ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება და ფორმულაში ვიღებთ.

ამ სტატიაში განვიხილავთ გზებს წერტილიდან წერტილამდე მანძილის დასადგენად თეორიულად და კონკრეტული ამოცანების მაგალითზე. დავიწყოთ რამდენიმე განმარტებით.

განმარტება 1

მანძილი წერტილებს შორის- ეს არის მათი დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე არსებული მასშტაბით. აუცილებელია სასწორის დაყენება, რათა გქონდეთ გაზომვის სიგრძის ერთეული. ამიტომ, ძირითადად, წერტილებს შორის მანძილის პოვნის პრობლემა წყდება მათი კოორდინატების გამოყენებით კოორდინატთა ხაზზე, კოორდინატულ სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში.

საწყისი მონაცემები: კოორდინატთა წრფე O x და მასზე დევს თვითნებური წერტილი A. ერთი რეალური რიცხვი თანდაყოლილია წრფის ნებისმიერ წერტილში: ეს იყოს გარკვეული რიცხვი A წერტილისთვის. xA,ეს არის A წერტილის კოორდინატი.

ზოგადად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გარკვეული სეგმენტის სიგრძის შეფასება ხდება მოცემულ შკალაზე სიგრძის ერთეულად აღებულ სეგმენტთან შედარებით.

თუ წერტილი A შეესაბამება მთელ რიცხვს რეალურ რიცხვს, რომელსაც თანმიმდევრულად გამოვყოფთ O წერტილიდან წერტილამდე სწორი ხაზის გასწვრივ O A სეგმენტები - სიგრძის ერთეული, შეგვიძლია განვსაზღვროთ O A სეგმენტის სიგრძე მომლოდინე ერთეულის სეგმენტების ჯამური რაოდენობით.

მაგალითად, A წერტილი შეესაბამება რიცხვს 3 - იმისათვის, რომ მას მივაღწიოთ O წერტილიდან, საჭირო იქნება სამი ერთეული სეგმენტის გამოყოფა. თუ A წერტილს აქვს -4 კოორდინატი, ცალკეული სეგმენტები გამოსახულია ანალოგიურად, მაგრამ განსხვავებული, უარყოფითი მიმართულებით. ამრიგად, პირველ შემთხვევაში მანძილი O A არის 3; მეორე შემთხვევაში, O A \u003d 4.

თუ A წერტილს აქვს რაციონალური რიცხვი, როგორც კოორდინატი, მაშინ საწყისიდან (O წერტილი) გამოვყოფთ ერთეულების სეგმენტების მთელ რიცხვს, შემდეგ კი მის აუცილებელ ნაწილს. მაგრამ გეომეტრიულად ყოველთვის არ არის შესაძლებელი გაზომვის გაკეთება. მაგალითად, როგორც ჩანს, რთულია კოორდინატთა პირდაპირი წილადის 4 111 გვერდის დატოვება.

ზემოაღნიშნული გზით, სრულიად შეუძლებელია ირაციონალური რიცხვის სწორ ხაზზე გადადება. მაგალითად, როდესაც A წერტილის კოორდინატი არის 11. ამ შემთხვევაში, შესაძლებელია აბსტრაქციაზე გადასვლა: თუ A წერტილის მოცემული კოორდინატი ნულზე მეტია, მაშინ O A \u003d x A (რიცხვი აღებულია მანძილად); თუ კოორდინატი ნულზე ნაკლებია, მაშინ O A = - x A . ზოგადად, ეს განცხადებები მართალია ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის x A.

შეჯამება: მანძილი საწყისიდან წერტილამდე, რომელიც შეესაბამება ნამდვილ რიცხვს კოორდინატთა წრფეზე, უდრის:

• 0, თუ წერტილი იგივეა, რაც საწყისი;

• x A თუ x A > 0;

• - x A თუ x A< 0 .

ამ შემთხვევაში აშკარაა, რომ თავად სეგმენტის სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ამიტომ მოდულის ნიშნის გამოყენებით ვწერთ მანძილს O წერტილიდან A წერტილამდე კოორდინატით. x A: O A = x A

სწორი განცხადება იქნება: მანძილი ერთი წერტილიდან მეორემდე იქნება კოორდინატების სხვაობის მოდულის ტოლი.იმათ. A და B წერტილებისთვის, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე კოორდინატზე ნებისმიერ ადგილას და აქვთ, შესაბამისად, კოორდინატები x Aდა x B: A B = x B - x A.

საწყისი მონაცემები: A და B წერტილები, რომლებიც დევს სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y მოცემული კოორდინატებით: A (x A , y A) და B (x B , y B) .

A და B წერტილების გავლით დავხაზოთ O x და O y კოორდინატთა ღერძების პერპენდიკულარები და შედეგად მივიღოთ პროექციის წერტილები: A x , A y , B x , B y . A და B წერტილების მდებარეობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი ვარიანტები:

თუ A და B წერტილები ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მათ შორის მანძილი არის ნული;

თუ A და B წერტილები დევს სწორ ხაზზე O x ღერძის პერპენდიკულარულზე (აბსცისის ღერძი), მაშინ წერტილები და ემთხვევა და | A B | = | A y B y | . ვინაიდან წერტილებს შორის მანძილი უდრის მათ კოორდინატებს შორის განსხვავების მოდულს, მაშინ A y B y = y B - y A , და, შესაბამისად, A B = A y B y = y B - y A .

თუ A და B წერტილები დევს O y ღერძის (y ღერძი) პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე - წინა აბზაცის ანალოგიით: A B = A x B x = x B - x A.

თუ წერტილები A და B არ დევს სწორ ხაზზე ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძის პერპენდიკულარულად, ჩვენ ვპოულობთ მათ შორის მანძილს გამოთვლის ფორმულის გამოყვანით:

ჩვენ ვხედავთ, რომ A B C სამკუთხედი აგებულებით მართკუთხაა. ამ შემთხვევაში, A C = A x B x და B C = A y B y. პითაგორას თეორემის გამოყენებით ვადგენთ ტოლობას: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 და შემდეგ გარდაქმნის მას: A B = A x B x 2 + A y B. y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

გამოვიტანოთ დასკვნა მიღებული შედეგიდან: მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე სიბრტყეზე განისაზღვრება ფორმულის გამოყენებით ამ წერტილების კოორდინატების გამოყენებით.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

შედეგად მიღებული ფორმულა ასევე ადასტურებს ადრე ჩამოყალიბებულ განცხადებებს წერტილების დამთხვევის შემთხვევებისთვის ან სიტუაციებისთვის, როდესაც წერტილები დევს ღერძების პერპენდიკულარულ სწორ ხაზებზე. ასე რომ, A და B წერტილების დამთხვევის შემთხვევაში, ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

იმ სიტუაციისთვის, როდესაც A და B წერტილები დევს x ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

იმ შემთხვევისთვის, როდესაც A და B წერტილები მდებარეობს y ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

საწყისი მონაცემები: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z მასზე დევს თვითნებური წერტილებით მოცემული კოორდინატებით A (x A , y A , z A) და B (x B , y B , z B) . აუცილებელია ამ წერტილებს შორის მანძილის დადგენა.

განვიხილოთ ზოგადი შემთხვევა, როდესაც A და B წერტილები არ დევს ერთ-ერთი საკოორდინატო სიბრტყის პარალელურ სიბრტყეში. დახაზეთ A და B წერტილების სიბრტყეები კოორდინატთა ღერძებზე პერპენდიკულარული და მიიღეთ შესაბამისი პროექციის წერტილები: A x , A y , A z , B x , B y , B z

მანძილი A და B წერტილებს შორის არის მიღებული ყუთის დიაგონალი. ამ ყუთის გაზომვის კონსტრუქციის მიხედვით: A x B x , A y B y და A z B z

გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია, რომ პარალელეპიპედის დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი განზომილებების კვადრატების ჯამს. ამ განცხადების საფუძველზე ვიღებთ ტოლობას: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

ადრე მიღებული დასკვნების გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ შემდეგს:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

მოდით გადავცვალოთ გამოთქმა:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

საბოლოო სივრცეში წერტილებს შორის მანძილის განსაზღვრის ფორმულაასე გამოიყურება:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

შედეგად მიღებული ფორმულა ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევებში, როდესაც:

წერტილები ემთხვევა;

ისინი ერთსა და იმავე კოორდინატულ ღერძზე დგანან ან ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძის პარალელურად სწორ ხაზზე.

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები წერტილებს შორის მანძილის საპოვნელად

საწყისი მონაცემები: მოცემულია კოორდინატთა ხაზი და მასზე მდებარე წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (1 - 2) და B (11 + 2). აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი O საცნობარო წერტილიდან A წერტილამდე და A და B წერტილებს შორის.

გამოსავალი

1. მანძილი საცნობარო წერტილიდან წერტილამდე უდრის ამ წერტილის კოორდინატის მოდულს, შესაბამისად O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. A და B წერტილებს შორის მანძილი განისაზღვრება, როგორც ამ წერტილების კოორდინატებს შორის სხვაობის მოდული: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

პასუხი: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

მაგალითი 2

საწყისი მონაცემები: მოცემულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და მასზე განთავსებული ორი წერტილი A (1, - 1) და B (λ + 1, 3). λ არის რეალური რიცხვი. აუცილებელია ამ რიცხვის ყველა მნიშვნელობის პოვნა, რომლისთვისაც მანძილი A B იქნება 5-ის ტოლი.

გამოსავალი

A და B წერტილებს შორის მანძილის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

კოორდინატების რეალური მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

და ასევე ვიყენებთ არსებულ პირობას, რომ A B = 5 და შემდეგ ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

პასუხი: A B \u003d 5 თუ λ \u003d ± 3.

მაგალითი 3

საწყისი მონაცემები: სამგანზომილებიანი სივრცე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y z და მასში მოთავსებული წერტილები A (1, 2, 3) და B - 7, - 2, 4.

გამოსავალი

პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულას A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

რეალური მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

პასუხი: | A B | = 9

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მანძილი სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის.
საკოორდინაციო სისტემები

სიბრტყის თითოეული A წერტილი ხასიათდება მისი კოორდინატებით (x, y). ისინი ემთხვევა ვექტორის 0А კოორდინატებს, რომლებიც გამოდიან 0 წერტილიდან - საწყისი.

მოდით A და B იყოს სიბრტყის თვითნებური წერტილები კოორდინატებით (x 1 y 1) და (x 2, y 2), შესაბამისად.

მაშინ AB ვექტორს აშკარად აქვს კოორდინატები (x 2 - x 1, y 2 - y 1). ცნობილია, რომ ვექტორის სიგრძის კვადრატი მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის ტოლია. მაშასადამე, მანძილი d A და B წერტილებს შორის, ან, რაც იგივეა, ვექტორის AB სიგრძე, განისაზღვრება პირობით.

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

შედეგად მიღებული ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მანძილი სიბრტყის ნებისმიერ ორ წერტილს შორის, თუ ცნობილია მხოლოდ ამ წერტილების კოორდინატები.

ყოველ ჯერზე, როდესაც ვსაუბრობთ სიბრტყის ამა თუ იმ წერტილის კოორდინატებზე, მხედველობაში გვაქვს კარგად განსაზღვრული კოორდინატთა სისტემა x0y. ზოგადად, თვითმფრინავზე კოორდინატთა სისტემის არჩევა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით. ასე რომ, x0y კოორდინატთა სისტემის ნაცვლად, შეგვიძლია განვიხილოთ x"0y" კოორდინატთა სისტემა, რომელიც მიიღება ძველი კოორდინატთა ღერძების 0 საწყისი წერტილის გარშემო ბრუნვით. საათის ისრის საწინააღმდეგოდისრები კუთხეში α .

თუ x0y კოორდინატთა სისტემის სიბრტყის რომელიმე წერტილს ჰქონდა კოორდინატები (x, y), მაშინ ახალ x"0y" კოორდინატულ სისტემაში მას ექნება სხვა კოორდინატები (x", y").

მაგალითად, განვიხილოთ წერტილი M, რომელიც მდებარეობს 0x" ღერძზე და დაშორებულია 0 წერტილიდან 1-ის ტოლ მანძილზე.

ცხადია, x0y კოორდინატთა სისტემაში ამ წერტილს აქვს კოორდინატები (cos α , ცოდვა α ), ხოლო კოორდინატთა სისტემაში x"0y" კოორდინატებია (1,0).

A და B სიბრტყის ნებისმიერი ორი წერტილის კოორდინატები დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ არის დაყენებული კოორდინატთა სისტემა ამ სიბრტყეში. მაგრამ ამ წერტილებს შორის მანძილი არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ როგორ არის მითითებული კოორდინატთა სისტემა. ამ მნიშვნელოვან გარემოებას არსებითად გამოვიყენებთ შემდეგ ნაწილში.

Სავარჯიშოები

I. იპოვეთ მანძილი სიბრტყის წერტილებს შორის კოორდინატებით:

1) (3.5) და (3.4); 3) (0.5) და (5, 0); 5) (-3.4) და (9, -17);

2) (2, 1) და (- 5, 1); 4) (0.7) და (3.3); 6) (8, 21) და (1, -3).

II. იპოვეთ სამკუთხედის პერიმეტრი, რომლის გვერდები მოცემულია განტოლებებით:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 და y = 1.

III. x0y კოორდინატთა სისტემაში M და N წერტილებს აქვთ კოორდინატები (1, 0) და (0,1), შესაბამისად. იპოვეთ ამ წერტილების კოორდინატები ახალ კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც ასევე მიიღება ძველი ღერძების სასტარტო წერტილის გარშემო 30°-იანი კუთხით საათის ისრის საწინააღმდეგოდ როტაციით.

IV. x0y კოორდინატთა სისტემაში M და N წერტილებს აქვთ კოორდინატები (2, 0) და (\ / 3/2, - 1/2) შესაბამისად. იპოვეთ ამ წერტილების კოორდინატები ახალ კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც მიიღება ძველი ღერძების ამოსავალი წერტილის გარშემო 30°-იანი კუთხით საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვით.

მოსწავლეებისთვის მათემატიკაში ამოცანების ამოხსნას ხშირად თან ახლავს მრავალი სირთულე. დავეხმაროთ სტუდენტს ამ სირთულეებთან გამკლავებაში, ასევე ასწავლოს მას, თუ როგორ გამოიყენოს თავისი თეორიული ცოდნა კონკრეტული ამოცანების გადაჭრაში საგნის „მათემატიკა“ კურსის ყველა განყოფილებაში ჩვენი საიტის მთავარი მიზანია.

თემის ამოცანების ამოხსნის დაწყებისას მოსწავლეებმა უნდა შეძლონ სიბრტყეზე წერტილის აგება მისი კოორდინატების მიხედვით, აგრეთვე მოცემული წერტილის კოორდინატების პოვნა.

A (x A; y A) და B (x B; y B) სიბრტყეზე აღებულ ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლა ხორციელდება ფორმულით. d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), სადაც d არის სიბრტყის ამ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე.

თუ სეგმენტის ერთ-ერთი ბოლო ემთხვევა საწყისს, ხოლო მეორეს აქვს კოორდინატები M (x M; y M), მაშინ d-ის გამოთვლის ფორმულა მიიღებს ფორმას OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლა ამ წერტილების კოორდინატების გათვალისწინებით

მაგალითი 1.

იპოვეთ მონაკვეთის სიგრძე, რომელიც აკავშირებს A(2; -5) და B(-4; 3) წერტილებს კოორდინატულ სიბრტყეზე (ნახ. 1).

გამოსავალი.

ამოცანის პირობა მოცემულია: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 და y B = 3. იპოვეთ d.

d \u003d √ ფორმულის გამოყენებით ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), მივიღებთ:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. წერტილის კოორდინატების გამოთვლა, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული სამი მოცემული წერტილიდან

მაგალითი 2

იპოვეთ O 1 წერტილის კოორდინატები, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული სამი წერტილიდან A(7; -1) და B(-2; 2) და C(-1; -5).

გამოსავალი.

პრობლემის პირობის ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. სასურველ წერტილს O 1 ჰქონდეს კოორდინატები (a; b). ფორმულის მიხედვით d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ვპოულობთ:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

ჩვენ ვქმნით სისტემას ორი განტოლებისგან:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა გვერდების კვადრატში ვწერთ:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

გამარტივება, ჩვენ ვწერთ

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

სისტემის ამოხსნის შემდეგ ვიღებთ: a = 2; b = -1.

წერტილი O 1 (2; -1) თანაბრად არის დაშორებული იმ სამი წერტილისგან, რომლებიც მოცემულია იმ პირობით, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე. ეს წერტილი არის წრის ცენტრი, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს. (ნახ. 2).

3. წერტილის აბსცისის (ორდინატის) გამოთვლა, რომელიც დევს აბსცისის (ორდინატთა) ღერძზე და არის მოცემული მანძილით ამ წერტილიდან.

მაგალითი 3

მანძილი B(-5; 6) წერტილიდან x ღერძზე მდებარე A წერტილამდე არის 10. იპოვეთ A წერტილი.

გამოსავალი.

ამოცანის პირობის ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ A წერტილის ორდინატი არის ნული და AB = 10.

A წერტილის აბსცისის აღნიშვნისას a-ს მეშვეობით ვწერთ A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

ვიღებთ განტოლებას √((a + 5) 2 + 36) = 10. მისი გამარტივებით გვაქვს

a 2 + 10a - 39 = 0.

ამ განტოლების ფესვები a 1 = -13; და 2 = 3.

ვიღებთ ორ ქულას A 1 (-13; 0) და A 2 (3; 0).

გამოცდა:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

ორივე მიღებული ქულა ერგება პრობლემის მდგომარეობას (ნახ. 3).

4. წერტილის აბსცისის (ორდინატის) გამოთვლა, რომელიც დევს აბსცისას (ორდინატზე) ღერძზე და არის იმავე მანძილზე ორი მოცემული წერტილიდან.

მაგალითი 4

იპოვეთ წერტილი Oy ღერძზე, რომელიც იმავე მანძილზეა A (6; 12) და B (-8; 10) წერტილებისგან.

გამოსავალი.

ამოცანის პირობით მოთხოვნილი წერტილის კოორდინატები, რომელიც მდებარეობს Oy ღერძზე, იყოს O 1 (0; b) (Oy ღერძზე მდებარე წერტილში აბსციზა ნულის ტოლია). აქედან გამომდინარეობს, რომ O 1 A \u003d O 1 B.

ფორმულის მიხედვით d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ვპოულობთ:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

გვაქვს განტოლება √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) ან 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

გამარტივების შემდეგ ვიღებთ: b - 4 = 0, b = 4.

მოთხოვნილი პრობლემური პუნქტის პირობით O 1 (0; 4) (ნახ. 4).

5. წერტილის კოორდინატების გამოთვლა, რომელიც იმავე მანძილზეა კოორდინატთა ღერძებიდან და რომელიმე მოცემული წერტილიდან.

მაგალითი 5

იპოვეთ M წერტილი, რომელიც მდებარეობს კოორდინატთა სიბრტყეზე ერთსა და იმავე მანძილზე კოორდინატთა ღერძებიდან და A წერტილიდან (-2; 1).

გამოსავალი.

საჭირო წერტილი M, ისევე როგორც წერტილი A (-2; 1), მდებარეობს მეორე კოორდინატთა კუთხეში, რადგან ის თანაბრად არის დაშორებული A, P 1 და P 2 წერტილებისგან. (ნახ. 5). M წერტილის დაშორებები კოორდინატთა ღერძებიდან ერთნაირია, შესაბამისად, მისი კოორდინატები იქნება (-a; a), სადაც a > 0.

პრობლემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

იმათ. |-ა| = ა.

ფორმულის მიხედვით d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ვპოულობთ:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

მოდით გავაკეთოთ განტოლება:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

კვადრატისა და გამარტივების შემდეგ გვაქვს: a 2 - 6a + 5 = 0. ვხსნით განტოლებას, ვპოულობთ a 1 = 1; და 2 = 5.

ვიღებთ ორ ქულას M 1 (-1; 1) და M 2 (-5; 5), რომლებიც აკმაყოფილებენ პრობლემის პირობას.

6. წერტილის კოორდინატების გამოთვლა, რომელიც იმავე მითითებულ მანძილზეა აბსცისა (ორდინატი) ღერძიდან და ამ წერტილიდან.

მაგალითი 6

იპოვეთ M წერტილი ისეთი, რომ მისი მანძილი y ღერძიდან და A წერტილიდან (8; 6) იყოს 5-ის ტოლი.

გამოსავალი.

ამოცანის პირობიდან გამომდინარეობს, რომ MA = 5 და M წერტილის აბსციზა 5-ის ტოლია. M წერტილის ორდინატი იყოს b-ის ტოლი, მაშინ M(5; b) (ნახ. 6).

d \u003d √ ფორმულის მიხედვით ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) გვაქვს:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

მოდით გავაკეთოთ განტოლება:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. მისი გამარტივებით მივიღებთ: b 2 - 12b + 20 = 0. ამ განტოლების ფესვებია b 1 = 2; b 2 \u003d 10. აქედან გამომდინარე, არის ორი წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას: M 1 (5; 2) და M 2 (5; 10).

ცნობილია, რომ ბევრ სტუდენტს პრობლემების დამოუკიდებლად გადაჭრისას სჭირდება მუდმივი კონსულტაციები მათი გადაჭრის ტექნიკასა და მეთოდებზე. ხშირად მოსწავლე ვერ პოულობს პრობლემის გადაჭრის გზას მასწავლებლის დახმარების გარეშე. მოსწავლეს შეუძლია ჩვენს ვებგვერდზე მიიღოს საჭირო რჩევები პრობლემების გადაჭრის შესახებ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით, როგორ უნდა იპოვოთ მანძილი სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.