Как находить уравнение окружности. Уравнение окружности и прямой

Уравнение линии на плоскости

Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат

Определение 1

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ -- произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Уравнение прямой.

Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$. Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно, причем точки $A$ и $B$ выбраны так, что прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Выберем произвольную точку $M=\{x,y\}$, принадлежащую прямой $l$ (рис. 3).

Так как прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$.

Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:

Следовательно

Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c={x_2}^2+{y_2}^2-{x_1}^2-{y_1}^2$, Получаем, что уравнение прямой в декартовой системе координат имеет следующий вид:

Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат

Пример 1

Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$. Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$, получим

\[{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=r^2\]

Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(2,\ 4)$ до точки $(0,0)$

Получаем, уравнение окружности имеет вид:

\[{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=20\]

Найдем теперь уравнение окружности, используя частный случай 1. Получим

Тема урока: Уравнение окружности

Цели урока:

Образовательные: Вывести уравнение окружности, рассмотрев решение этой задачи как одну из возможностей применения метода координат.

Уметь:

– Распознать уравнение окружности по предложенному уравнению, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.

Воспитательные : Формирование критического мышления.

Развивающие : Развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Уметь:

– Видеть проблему и наметить пути её решения.

– Кратко излагать свои мысли устно и письменно.

Тип урока: усвоения новых знаний.

Оборудование : ПК, мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. Вступительное слово – 3 мин.

2. Актуализация знаний – 2 мин.

3. Постановка проблемы и её решение –10 мин.

4. Фронтальное закрепление нового материала – 7 мин.

5. Самостоятельная работа в группах – 15 мин.

6. Презентация работы: обсуждение – 5 мин.

7. Итог урока. Домашнее задание – 3 мин.

Ход урока

1. Организационный момент.

3 минуты

Ребята! С окружностью вы познакомились ещё в 5 и 8 классах. А что вы о ней знаете?

Знаете вы много, и эти данные можно использовать при решении геометрических задач. Но для решения задач, в которых применяется метод координат, этого недостаточно. Почему?

Абсолютно верно.

Поэтому главной целью сегодняшнего урока я ставлю выведение уравнения окружности по геометрическим свойствам данной линии и применение его для решения геометрических задач.

И пусть девизом урока станут слова среднеазиатского учёного-энциклопедиста Ал-Бируни: «Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».

Записывают тему урока в тетрадь.

Определение окружности.

Радиус.

Диаметр.

Хорда. И т.д.

Мы ещё не знаем общего вида уравнения окружности.

Учащиеся перечисляют все, что знают об окружности.

Слайд 2

Слайд 3

Цель этапа – получить представление о качестве усвоения учащимися материала, определить опорные знания.

2. Актуализация знаний.

2 минуты

При выведении уравнения окружности вам потребуются уже известное определение окружности и формула, позволяющая найти расстояние между двумя точками по их координатам. Давайте вспомним эти факты /п овторение материала, изученного ранее/:

– Запишите формулу нахождения координат середины отрезка.

– Запишите формулу вычисления длины вектора.

– Запишите формулу нахождения расстояния между точками (длины отрезка).

Корректирование записей…

Геометрическая разминка.

Даны точки А (-1;7) и В (7; 1).

Вычислите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Проверяет правильность выполнения, корректирует расчеты…

Один ученик у доски, а остальные в тетрадях записывают формулы

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

|АВ|=√(х –х)²+(у –у)²

М(х;у), А(х;у)

Вычисляют: С (3; 4)

| АВ| = 10

С лайд 4

Слайд 5

3. Формирование новых знаний.

12 минут

Цель: формирование понятия - уравнение окружности.

Решите задачу:

В прямоугольной системе координат построена окружность с центром А(х;у). М(х; у) - произвольная точка окружности . Найдите радиус окружности.

Будут ли координаты любой другой точки удовлетворять данному равенству? Почему?

Возведём обе части равенства в квадрат. В результате имеем:

r² =(х –х)²+(у –у)²-уравнение окружности, где (х;у)-координаты центра окружности, (х;у)-координаты произвольной точки лежащей на окружности, r-радиус окружности.

Решите задачу:

Какой вид будет иметь уравнение окружности с центром в начале координат?

Итак, что надо знать для составления уравнения окружности?

Предложите алгоритм составления уравнения окружности.

Вывод: … записать в тетрадь.

Радиусом называется отрезок, соединяющий центр окружности с произвольной точкой лежащей на окружности. Поэтому r=|АМ|=√(х –х)²+(у –у)²

Любая точка окружности лежит на этой окружности.

Учащиеся ведут записи в тетради.

(0;0)-координаты центра окружности.

х²+у²=r², где r-радиус окружности.

Координаты центра окружности, радиус, любую точку окружности…

Предлагают алгоритм…

Записывают алгоритм в тетрадь.

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Учитель фиксирует равенство на доске.

Слайд 9

4. Первичное закрепление.

23 минуты

Цель: воспроизведение учащимися только что воспринятого материала для предупреждения утраты образовавшихся представлений и понятий . Закрепление новых знаний, представлений, понятий на основе их применения.

Контроль ЗУН

Применим полученные знания при решении следующих задач.

Задача: Из предложенных уравнений назовите номера тех, которые являются уравнениями окружности. И если уравнение является уравнением окружности, то назовите координаты центра и укажите радиус.

Не каждое уравнение второй степени с двумя переменными задаёт окружность.

4х²+у²=4- уравнение эллипса.

х²+у²=0- точка.

х²+у²=-4- это уравнение не задаёт никакой фигуры.

Ребята! А что нужно знать, чтобы составить уравнение окружности?

Решите задачу №966 стр.245(учебник).

Учитель вызывает ученика к доске.

Достаточно ли данных, которые указаны в условии задачи, чтобы составить уравнение окружности?

Задача:

Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и диаметром 8.

Задача : построение окружности.

Центр имеет координаты?

Определите радиус… и выполняйте построение

Задача на стр.243 (учебник) разбирается устно.

Используя план решения задачи со стр.243, решите задачу:

Составьте уравнение окружности с центром в точке А(3;2), если окружность проходит через точку В(7;5).

1) (х-5)²+(у-3)²=36- уравнение окружности;(5;3),r=6.

2) (х-1)²+у²=49- уравнение окружности;(1;0),r=7.

3) х²+у²=7- уравнение окружности;(0;0),r=√7.

4) (х+3)²+(у-8)²=2- уравнение окружности; (-3;8),r=√2.

5) 4х²+у²=4-не является уравнением окружности.

6) х²+у²=0- не является уравнением окружности.

7) х²+у²=-4- не является уравнением окружности.

Знать координаты центра окружности.

Длину радиуса.

Подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности общего вида.

Решают задачу № 966 стр.245(учебник).

Данных достаточно.

Решают задачу.

Так как диаметр окружности в два раза больше её радиуса, то r=8÷2=4. Поэтому х²+у²=16.

Выполняют построение окружностей

Работа по учебнику. Задача на стр.243.

Дано: А(3;2)-центр окружности; В(7;5)є(А;r)

Найти: уравнение окружности

Решение: r² =(х –х)²+(у –у)²

r² =(х –3)²+(у –2)²

r = АВ, r² = АВ²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(х –3)²+(у –2)²=25

Ответ: (х –3)²+(у –2)²=25

Слайду 10-13

Решение типовых задач, проговаривая способ решения в громкой речи.

Учитель вызывает одного ученика записать полученное уравнение.

Возврат к слайду 9

Обсуждение плана решения данной задачи.

Слайд. 15. Учитель вызывает одного ученика к доске решать данную задачу.

Слайд 16.

Слайд 17.

5. Итог урока.

5 минут

Рефлексия деятельности на уроке.

Домашнее задание: §3, п.91, контрольные вопросы №16,17.

Задачи № 959(б, г, д), 967.

Задача на дополнительную оценку (проблемная задача): Построить окружность, заданную уравнением

х²+2х+у²-4у=4.

О чём на уроке мы говорили?

Что хотели получить?

Какая цель была поставлена на уроке?

Какие задачи позволяет решить сделанное нами «открытие»?

Кто из вас считает, что достиг цели, поставленной на уроке учителем на100%, на 50%; не достиг цели…?

Выставление оценок.

Записывают домашнее задание.

Учащиеся отвечают на поставленные учителем вопросы. Проводят самоанализ собственной деятельности.

Учащимся необходимо выразить в слове результат и способы достижения.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С - центр окружности, R - ее радиус, а М - произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b ) - центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у ) - произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = \(\sqrt{(x - a)^2 + (у - b)^2} \), то уравнение (1) можно записать так:

\(\sqrt{(x - a)^2 + (у - b)^2} \) = R

(x - a ) 2 + (у - b ) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b ). Например, уравнение

(x - l) 2 + (y + 3) 2 = 25

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; -3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

x 2 + у 2 = R 2 . (3)

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности .

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

x 2 + у 2 = 49.

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; -6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х - 3) 2 + (у - (-6)) 2 = 81 или (х - 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

(х + 3) 2 + (у -5) 2 =100.

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = -3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(-3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

x 2 + у 2 + 4х - 2y - 4 = 0

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

x 2 + 4х + 4- 4 + у 2 - 2у +1-1-4 = 0

(х + 2) 2 + (у - 1) 2 = 9.

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (-2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(-1; -1), касающейся прямой АВ, если A (2; -1), B(- 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y -5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(-1; -1) - центра окружности до прямой 4х + 3y -5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у ) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох , тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 t х и у через t , находим

x = R cos t ; y = R sin t , 0 t

Уравнения (4) называются параметрическими уравнениями окружности с центром в начале координат .

Задача 6. Окружность задана уравнениями

x = \(\sqrt{3}\)cos t , y = \(\sqrt{3}\)sin t , 0 t

Записать каноническое уравнение этой окружности.

Из условия следует x 2 = 3 cos 2 t , у 2 = 3 sin 2 t . Складывая эти равенства почленно, получаем

x 2 + у 2 = 3(cos 2 t + sin 2 t )

или x 2 + у 2 = 3

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b) , а координаты любой точки окружности (х; у) , то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Решение .
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x-a ) 2 + (y-b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
или
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Решение .
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.