Как определить обратную и прямую пропорцию. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Наряду с прямо пропорциональными величинами в арифметике рассматривались также и величины обратно пропорциональные.

Приведём примеры.

1) Длины основания и высоты прямоугольника при постоянной площади.

Пусть требуется выделить для огорода прямоугольный участок площадью в

Мы «можем произвольно установить, например, длину участка. Но тогда ширина участка будет зависеть от того, какую длину мы выбрали. Различные (возможные) значения длины и ширины приведены в таблице.

Вообще, если обозначить длину участка через х, а ширину - через у, то зависимость между ними можно выразить формулой:

Выразив у через х, получим:

Давая х произвольные значения, будем получать соответствующие значения у.

2) Время и скорость равномерного движения при определённом расстоянии.

Пусть расстояние между двумя городами равно 200 км. Чем больше будет скорость движения, тем меньше времени потребуется, чтобы проехать данное расстояние. Это видно из следующей таблицы:

Вообще, если обозначить скорость через х, а время движения - через у, то зависимость между ними выразится формулой:

Определение. Зависимость между двумя величинами выраженная равенством , где k - определённое число (не равное нулю), называется обратно пропорциональной зависимостью.

Число и здесь называется коэффициентом пропорциональности.

Так же, как и в случае прямой пропорциональности, в равенстве величины х и у в общем случае могут принимать положительные и отрицательные значения.

Но во всех случаях обратной пропорциональности ни одна из величин не может быть равной нулю. В самом деле, если хоть одна из величин х или у будет равна нулю, то в равенстве левая часть будет равна ну

А правая - некоторому числу, не равному нулю (по определению), то есть получится неверное равенство.

2. График обратно пропорциональной зависимости.

Построим график зависимости

Выразив у через х, получим:

Будем давать х произвольные (допустимые) значения и вычислим соответствующие значения у. Получим таблицу:

Построим соответствующие точки (черт. 28).

Если будем брать значения х через меньшие промежутки, то и точки расположатся теснее.

При всевозможных значениях х соответствующие точки расположатся на двух ветвях графика, симметричных относительно начала координат и проходящих в I и III четвертях координатной плоскости (черт. 29).

Итак, мы видим, что графиком обратной пропорциональности является кривая линия. Эта линия состоит из двух ветвей.

Одна ветвь получится при положительных, другая - при отрицательных значениях х.

График обратно пропорциональной зависимости называется гиперболой.

Чтобы получить более точный график, надо строить возможно больше точек.

С достаточно большой точностью гиперболу можно начертить, пользуясь, например, лекалами.

На чертеже 30 построен график обратно пропорциональной зависимости с отрицательным коэффициентом. Составив, например, такую таблицу:

получим гиперболу, ветви которой расположены во II и IV четвертях.

Пример

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f (x ) = a x ,a = c o n s t

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

Свойства функции:

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

I. Прямо пропорциональные величины.

Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.

Примеры.

1 . Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.

2 . Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.

3 . Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше )

II. Свойство прямой пропорциональности величин.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?

Решение.

Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9 ) будет равно отношению взятого сахара (8:х ). Получаем пропорцию:

12: 9=8: х;

х=9· 8: 12;

х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.

Решение задачи можно было оформить и так:

Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.

(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9 , во столько же раз число 8 больше числа х , т. е. здесь прямая зависимость).

Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.

Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км . За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же скоростью?

Решение.

Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.

Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.

Основные цели:

• ввести понятие прямой и обратной пропорциональной зависимости величин;
• научить решать задачи, используя эти зависимости;
• способствовать развитию умения решать задачи;
• закрепить навык решения уравнений с помощью пропорции;
• повторить действия с обыкновенными и десятичными дробями;
• развивать логическое мышление учащихся.

ХОД УРОКА

I. Самоопределение к деятельности (организационный момент)

– Ребята! Сегодня на уроке мы познакомимся с задачами, решаемыми с помощью пропорции.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности

2.1. Устная работа (3 мин)

– Найдите значение выражений и узнайте слово, зашифрованное в ответах.

14 – с; 0,1 – и; 7 – л; 0,2 – а; 17 – в; 25 – к

– Получилось слово – сила. Молодцы!
– Девиз нашего урока сегодня: Сила – в знаниях! Я ищу – значит учусь!
– Составьте пропорцию из получившихся чисел. (14: 7 = 0,2: 0,1 и т.д.)

2.2. Рассмотрим зависимость между известными нам величинами (7 мин)

– путем, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем ее движения: S = v ·t (с увеличением скорости (времени) увеличивается путь);
– скоростью автомашины и затраченным на путь временем: v = S: t (с увеличением времени на прохождение пути, скорость уменьшается);
– стоимостью товара, купленного по одной цене и его количеством: С = а · n (с увеличением (уменьшением) цены, увеличивается (уменьшается) стоимость покупки);
– цены товара и его количеством: а = С: n (с увеличением количества, уменьшается цена)
– площади прямоугольника и его длины (ширины): S = a · b (с увеличением длины(ширины) увеличивается площадь;
– длины прямоугольника и ширины: a = S: b (с увеличением длины уменьшается ширина;
– числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения этой работы: t = А: n (с увеличением числа рабочих время, затраченное на выполнение работы уменьшается) и т.д.

Мы получили зависимости, в которых с увеличением одной величины в несколько раз, тут же во столько же раз увеличивается другая (примеры показать стрелками) и зависимости, в которых с увеличением одной величины в несколько раз, вторая величина уменьшается в это же количество раз.
Такие зависимости называются прямыми и обратными пропорциональностями.
Прямо-пропорциональная зависимость – зависимость, в которой с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз, увеличивается (уменьшается) вторая величина во столько же раз.
Обратно-пропорциональная зависимость – зависимость, в которой с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз, уменьшается (увеличивается) вторая величина во столько же раз.

III. Постановка учебной задачи

– Какая проблема встала перед нами? (Научиться различать прямые и обратные зависимости)
– Это – цель нашего урока. А теперь сформулируйте тему урока. (Прямая и обратная пропорциональная зависимость).
– Молодцы! Запишите тему урока в тетрадях. (Учитель записывает тему на доске.)

IV. «Открытие» нового знания (10 мин)

Разберем задачи № 199.

1. Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает 300 страниц?

27 стр. – 4,5 мин.
300 стр. – х?

2. В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150г?

48 пачек – 250 г.
х? – 150 г.

3. Автомобиль проехал 310 км, истратив 25 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль на полном баке, вмещающем 40л?

310 км – 25 л
х? – 40 л

4. На одной из сцепляющих шестерен 32 зубца, а на другой – 40. Сколько оборотов сделает вторая шестерня, в то время как первая сделает 215 оборотов?

32 зубца – 315 об.
40 зубцов – х?

Для составления пропорции необходимо одно направление стрелок, для этого в обратной пропорциональности одно отношение заменяют обратным.

У доски ученики находят значение величин, на местах учащиеся решают одну на выбор задачу.

– Сформулируйте правило решения задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью.

На доске появляется таблица:

V. Первичное закрепление во внешней речи (10 мин)

Задания на листах:

1. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
2. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку?

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (5 мин)

Два ученика выполняют задания № 225 самостоятельно на скрытых досках, а остальные – в тетрадях. Затем они проверяют работу по алгоритму и сопоставляют с решением на доске. Ошибки исправляются, выясняются их причины. Если задание выполнено, верно, то рядом ученики ставят себе знак «+».
Учащиеся, допустившие ошибки в самостоятельной работе могут использовать консультантов.

VII. Включение в систему знаний и повторение № 271, № 270.

Шесть человек работают у доски. Через 3–4 минуты учащиеся, работавшие у доски, представляют свои решения, а остальные – проверяют задания и участвуют в их обсуждении.

VIII. Рефлексия деятельности (итог урока)

– Что нового вы узнали на уроке?
– Что повторили?
– Каков алгоритм решения задач на пропорцию?
– Мы достигли поставленной цели?
– Как оцениваете свою работу?